ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE PERFUSAO SANGUINEA DO

MUSCULO MASSETER NA DESORDEM TEMPOROMANDIBULAR

MIOGENICA CRONICA

Derek Guimaraes Mota Vieira

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Rio de Janeiro

Marco de 2019

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecanica

DEM/POLI/UFRJ

ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE PERFUSAO SANGUINEA DO

MUSCULO MASSETER NA DESORDEM TEMPOROMANDIBULAR

MIOGENICA CRONICA

Derek Guimaraes Mota Vieira

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Aprovada por:

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

Prof. Marcelo Jose Colaco, D.Sc.

Prof. Gabriel Lisboa Verissimo, D.Sc.

Dr. Heraclito Fernando Gurgel Barboza, PT.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARCO DE 2019

Vieira, Derek Guimaraes Mota

Estimativa do Coeficiente de Perfusao Sanguınea

do Musculo Masseter na Desordem Temporomandibular

Miogenica Cronica/ Derek Guimaraes Mota Vieira. – Rio

de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2019.

XII, 58 p.: il.; 29, 7cm.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2019.

Referencias Bibliograficas: p. 50 – 51.

1. Estimativa de Parametros. 2. Desordem

Temporomandibular. 3. Termografia por Infravermelho.

4. Abordagem Bayesiana. 5. Equacao de Pennes. I.

Orlande, Helcio Rangel Barreto. II. Universidade Federal

do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Mecanica.

III. Estimativa do Coeficiente de Perfusao Sanguınea

do Musculo Masseter na Desordem Temporomandibular

Miogenica Cronica.

iii

”A viagem nao acaba nunca.

So os viajantes acabam. E

mesmo estes podem prolongar-se

em memoria, em lembranca, em

narrativa.”Jose Saramago

iv

Agradecimentos

Agradeco a todos os meus familiares, pai, mae, irmaos, e alguns tios e primos pelo

apoio incondicional e pela ajuda que em muitos momentos foi essencial. Principal-

mente, a minha avo Zaide Vieira, pelo carinho unico e diferenciado!

Agradeco ao meu orientador, Helcio Orlande, pela paciencia, tempo dedicado,

motivacao, tema de pesquisa e pelo exemplo de professor. Foi uma grande supressa

que nesse ultimo momento da graduacao, eu possa descobrir que pesquisas existem

e como elas podem ser interessantes, e alem disso me fazer gostar da engenharia

mecanica de uma forma diferente.

Agradeco a todos os meus amigos, que faco questao de nao citar para que nao

ocorra nenhum tipo de preferencia, que cada algum de alguma forma me ajudou ao

longo dessa trajetoria. Alguns pelas conversas aleatorias sobre cinema, outros com

a rotina cansativa da UFRJ e ate pelos dias de folga no bar. Cada um de uma forma

diferente, mas sem duvida fundamentais para poder realizar esse sonho.

–

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico

ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE PERFUSAO SANGUINEA DO

MUSCULO MASSETER NA DESORDEM TEMPOROMANDIBULAR

MIOGENICA CRONICA

Derek Guimaraes Mota Vieira

Marco/2019

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Programa: Engenharia Mecanica

A busca por diagnosticos que sejam mais eficientes e seguros na medicina pro-

movem o estudo de diversas tecnicas com essas caracterısticas, como a termografia

por infravermelho. Ela se diferencia por ser uma tecnica totalmente segura, nao

invasiva e nao radioativa. A termografia permite medir a temperatura superficial da

pele a partir da radiacao infravermelha emitida pelo corpo. A temperatura do corpo

humano e regulada devido a diversos processos que acontecem em diferentes tipos

de tecidos como a geracao metabolica, perfusao sanguınea entre outros. Enquanto

isso, existe uma correlacao muito forte entre patologias e temperatura corporal.

Considerando o caso unidimensional, no presente estudo sera investigada uma

forma matematica para descrever o problema de transferencia de calor em pessoas

com a desordem temporomandibular (DTM), patologia comum que pode causar

dor, desconforto e perda de mobilidade da mandıbula. Com isso serao desenvol-

vidos instrumentos capazes de estimar a perfusao sanguınea do musculo masseter,

empregando a abordagem Bayesiana.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

THE ESTIMATION OF BLOOD PERFUSION COEFFICIENT FOR

CHRONICAL MYOGENIC TEMPOROMANDIBULAR DISORDER

Derek Guimaraes Mota Vieira

March/2019

Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande

Department: Mechanical Engineering

The search for safer and more efficient medical diagnosis promote the study

of many techniques that embrace those characteristics, such as the infrared ther-

mography. It differs from others by being a completely safe, non-invasive and

non-radioactive technique. The thermography allows us to measure the superficial

temperature of the skin through the infrared radiation that the body emits. The

temperature of the human body is regulated through many processes that happen in

different tissues, as the metabolic heat generation, blood perfusion, among others.

Meanwhile, there is a strong correlation between pathologies and body temperature.

Considering the unidimensional case, our study will investigate a mathematical

way of describing the problem of heat transfer in patients with temporomandibular

disorder (TMD), a common pathology that can cause pain, a high discomfort and

the lost of mobility of the mandible. Through that, instruments that are capable of

estimating the blood perfusion of the masseter muscle using the Bayesian framework

will be developed.

vii

Sumario

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xii

1 Introducao 1

2 Revisao Bibliografica 4

2.1 Desordem Temporomandibular, Diagnostico e Tratamento . . . . . . 4

2.2 Termografia por Infravermelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Problema Fısico e Formulacao Matematica 11

3.1 Biotransferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Metodo dos Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2 Regime transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Estimativa de Parametros 23

4.1 Mınimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Abordagem Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Funcao Objetivo Maximum a Posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Resultados e Discussoes 29

5.1 Medidas Simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Distribuicoes a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Funcao Objetivo e Metodo de Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4 Estimativa do Coeficiente de Perfusao do Musculo . . . . . . . . . . . 35

viii

5.4.1 Efeito das incertezas a priori do coeficiente de perfusao do

musculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4.2 Efeito da estimativa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4.3 Efeito das incertezas experimentais . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4.4 Efeito do numero de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4.5 Efeito da incerteza a priori dos outros parametros . . . . . . . 45

6 Conclusoes e Sugestoes para Trabalhos Futuros 48

Referencias Bibliograficas 50

A Codigo Fonte 52

A.1 Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.2 Funcao Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3 Minimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ix

Lista de Figuras

2.1 Alguns musculos do sistema estomatognatico. . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Exames, informacoes medicas e tecnicas de imagem. . . . . . . . . . . 8

2.3 Na imagem superior, uma imagem termografica de joelho saudavel,

na imagem inferior uma imagem termografica de condropatia patelar

grau III em joelho esquerdo. Adaptado de [1]. . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Tecidos na regiao da articulacao temporomandibular . . . . . . . . . 13

3.2 Temperatura para todo domınio com T0 = 37 ◦ C . . . . . . . . . . . 17

3.3 Temperatura para todo domınio com T0 = 22 ◦ C . . . . . . . . . . . 17

3.4 Temperatura musculo, gordura e epiderme com T0 = 37 ◦ C . . . . . 18

3.5 Perfil temperatura musculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Perfil temperatura gordura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7 Perfil temperatura derme reticular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.8 Perfil temperatura derme papilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.9 Perfil temperatura derme epiderme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1 Aproximacao para temperatura superficial. . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Histograma dos erros de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Temperatura experimental simulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4 Comparacao dos casos das Tabelas 5.1 e 5.2 . . . . . . . . . . . . . . 37

5.5 Comparacao dos caso das Tabelas 5.3 e 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Comparacao dos casos das Tabelas 5.5 e 5.6 . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Resposta da temperatura superficial para os casos da Tabela 5.5 e 5.6 42

5.8 Comparacao do 1◦ caso apresentado das Tabelas 5.7 e 5.8 . . . . . . 44

5.9 Comparacao do 2◦ caso das Tabelas 5.7 e 5.8 . . . . . . . . . . . . . 44

5.10 Comparacao do 3◦ caso das Tabelas 5.7 e 5.8 . . . . . . . . . . . . . 45

x

5.11 Comparacao dos casos das Tabelas 5.9 e 5.10 . . . . . . . . . . . . . . 47

xi

Lista de Tabelas

3.1 Valores dos parametros dos tecidos [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Valores dos parametros constantes [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Diferenca relativa das medidas de temperatura . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Valores dos coeficientes de perfusao nos tecidos . . . . . . . . . . . . . 19

5.1 Analise da incerteza da priori da perfusao sanguınea (ωmusc) . . . . . 35

5.2 Efeito da incerteza a priori da perfusao sanguınea (ωmusc) . . . . . . 36

5.3 Analise das estimativas iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Efeito da estimativa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Analise das incertezas das medidas experimentais . . . . . . . . . . . 40

5.6 Efeito das incertezas das medidas experimentais . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Analise do numero de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.8 Efeito do numero de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.9 Analise da incerteza dos outros parametros . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.10 Efeito das incertezas dos outros parametros . . . . . . . . . . . . . . 46

xii

Capıtulo 1

Introducao

Com a evolucao da ciencia, os problemas se tornaram cada vez mais complexos e in-

terdisciplinares. A bioengenharia e um exemplo da necessidade de areas da ciencia,

muitas vezes consideradas divergentes, se relacionarem e atuarem de maneira con-

junta. O uso de conhecimentos matematicos e de engenharia na medicina pode ser

considerado vital no auxilio de diagnosticos, prevencoes e recursos terapeuticos de di-

versos tipos de patologias. Com ele foi possıvel desenvolver equipamentos e tecnicas

como a termografia por infravermelho e o tratamento de cancer por hipertermia.

Existe uma grande demanda da sociedade por novos metodos que aumentam a

expectativa e melhoram a qualidade de vida do ser-humano. Com esse intuito, a

utilizacao da termografia na medicina se torna cada vez mais interessante, princi-

palmente, por ser uma tecnica nao-invasiva, nao-radioativa e segura. A termografia

por infravermelho e uma tecnica de imagem onde e possıvel medir a temperatura

da pele a partir da emissao de radiacao dos tecidos do corpo humano. Logo, pode

ser replicada diversas vezes sem oferecer nenhum risco, tanto ao examinador quanto

ao paciente. Alem disso, possui baixo custo relativo associado ao procedimento,

diferentemente de metodos como o Raio-X onde, apesar de nao ser invasivo, possui

emissao de radiacao, impossibilitando a sua repetibilidade irrestrita [3].

A temperatura do corpo e resultado de diversos tipos de processos, como a

perfusao sanguınea, o metabolismo entre outros. Ela e mantida em um intervalo

limitado entre 33 a 42 ◦C . Esse e um dado extremamente importante, pois diver-

sos artigos [3] evidenciam que existe uma correlacao muito forte entre temperatura

corporal e doencas. Uma temperatura corporal fora desse intervalo pode ser con-

1

siderada um forte indicativo de algum tipo de patologia. Sendo assim, a busca

da correlacao da temperatura com doencas e quase uma consequencia natural das

pesquisas.

Essa relacao nao e diferente para a desordem temporomandibular (DTM), que e

uma das principais motivacoes do presente estudo. A DTM e uma desordem comum

entre a populacao e o sintoma mais frequente e a dor. Como discutido no capıtulo 2,

ela pode acarretar perda de mobilidade e qualidade de vida, podendo ser um grande

limitador das pessoas afetadas por ela.

Sendo assim, este estudo visa servir de base para pesquisas futuras que tenham

como objetivo a melhor compreensao da doenca e que possuam como enfoque a

utilizacao de modelos matematicos para isso. Sao desenvolvidos alguns modelos, ex-

plicitadas suas limitacoes e, principalmente, analisada a influencia do conhecimento

previo dos parametros e as medidas experimentais.

Acredita-se que, com uma maior base teorica e pratica consolidada do uso da

termografia na medicina, seja possıvel obter diagnosticos simplificados para diversas

patologias.

No Capıtulo 2 sao abordados os principais artigos que serviram de base para a

realizacao deste projeto final, com intuito de descrever e evidenciar o potencial da

utilizacao da termografia no diagnostico da desordem temporomandibular. Sao mos-

tradas as maneiras mais comuns de diagnostico, sintomas, tratamentos e incidencias

na populacao brasileira e mundial e como elas se correlacionam com a temperatura

superficial da pele. E apresentada, brevemente, a utilizacao e origem da termogra-

fia por infravermelho na medicina, exemplificando casos onde o uso da tecnica ja e

uma realidade e onde a aplicacao ainda se encontra em fase investigativa, e os seus

inumeros desafios e vantagens. Um procedimento experimental e especificado para

apresentar como a temperatura superficial da pele pode ser utilizada no diagnostico

da DTM, alem dos fatores que podem influenciar na tomada de dados e os cuidados

para que seja feita uma correlacao dos mesmos de maneira correta.

No Capıtulo 3 e mostrado o modelo matematico utilizado para o problema de

bio-transferencia de calor (Equacao de Pennes), suas limitacoes e quais aproximacoes

sao feitas. Todos os dados necessarios para a solucao do problema fısico sao apre-

sentados, como coeficientes de perfusao, condicoes de contorno entre outros. Alem

2

disso, e descrito o metodo numerico empregado na solucao da equacao de Pennes

(metodo dos volumes finitos), com intuito de estimar os perfis de temperatura dos

orgaos internos e a temperatura superficial da pele. Todos os dados coletados sao

utilizados nas estimativas de parametros desenvolvidas nos capıtulos subsequentes

a esse.

No capitulo 4, a base teorica empregada na estimativa de parametros e definida,

como o metodo de mınimos quadrados e a abordagem Bayesiana. A finalidade do

capitulo e definir quais sao as tecnicas empregadas no Capıtulo 5 e as diferencas

entre os metodos. Tambem e proposta a funcao objetivo para um procedimento de

minimizacao a ser usado na solucao de problemas inversos, onde o conhecimento dos

parametros a priori, tanto qualitativos como quantitativos, sao levados em consi-

deracao na estimativa de parametros.

No Capıtulo 5 sao mostrados os principais resultados obtidos baseados nas

hipoteses propostas. O principal dado investigado e o coeficiente de perfusao

sanguınea do musculo masseter e como ele pode interferir nas estimativas e tem-

peratura superficial da pele. Os principais resultados e discussoes sao reservados a

este capitulo.

No Capıtulo 6 sao feitas conclusoes a partir dos resultados gerados, bem como

consideracoes e discussoes sobre os capıtulos anteriores. Tambem sao feitas analises

da utilizacao concreta dos valores encontrados no estudo para o uso da termografia

e algumas sugestoes para trabalhos futuros.

3

Capıtulo 2

Revisao Bibliografica

2.1 Desordem Temporomandibular, Diagnostico

e Tratamento

As desordens temporomandibulares (DTMs) sao definidas como as dores orofaciais

e disfuncoes de mobilidade que envolvem as estruturas estomatognaticas (Fig.2.1),

como os musculos masticatorios e a articulacao temporomandibular (ATM) [4]. Elas

podem ser subclassificadas em dois subgrupos: as que possuem origem articular ou

muscular. Estas possuem causas multifatoriais e estao relacionadas a fatores es-

truturais, neuromusculares, problemas dentais, como caries ou perdas dentarias,

psicologicos, onde devido a tensao ha um aumento da atividade muscular que gera

espasmo e fadiga, habitos parafuncionais, como o bruxismo, e lesoes na ATM [5].

Devido a abrangencia da classificacao e as alteracoes fisiologicas ocasionadas, o pre-

sente estudo se limita a investigar somente as DTMs de origem muscular.

4

Figura 2.1: Alguns musculos do sistema estomatognatico.

Adaptadas de [6].

A DTM possui uma denominacao muito ampla. No entanto, na populacao com

esta desordem, o sintoma mais comum e a dor. Estudos recentes [7] estimam que

entre 3 e 15% da populacao a possuem, com uma proporcao maior de mulheres (cerca

de 2 a 6 mulheres para cada homem). Alem disso, elas prevalecem com o sintoma

da dor, que pode ser explicado pelo hormonio sexual feminino, o estrogenio, que

aumenta a sensibilidade dolorosa. Atualmente, pesquisas tentam correlacionar os

sintomas, idade e genero para poder compreender, tratar e diagnosticar com melhor

acuracia a desordem [7].

No ultimos anos, houve um aumento do numero de diagnosticos da desordem,

podendo ser relacionado a fatores ambientais como os espacos urbanos que propiciam

maior nıvel de estresse para a populacao, ou ainda pela crescente procura de ajuda

medica pela populacao. Uma maior compreensao e vital, pois estatısticas evidenciam

que a dor causada por essa disfuncao gera um impacto extremamente negativo entre

os pacientes, como na realizacao de atividades relacionadas ao trabalho e escola

(59,09%), o sono (68,18%) e o apetite/alimentacao (63,64%) [5].

O estudo das causas e dos mecanismos patofisiologicos da DTM sao bastante

escassos e reduzidos. Pesquisas recentes indicam que a sua origem pode estar ligada

a causas multifatoriais. No entanto, para um diagnostico preciso e uma indicacao

5

correta de tratamento, e importante distinguir quais sao as origens da desordem [7].

Na atualidade, nao existe nenhum metodo confiavel capaz de mensurar a

existencia e severidade da patologia, e seja utilizado de maneira irrestrita entre

os pesquisadores e clınicos. Porem, o mais indicado inicialmente e a investigacao do

historico do paciente, que vai desde os sintomas iniciais ate o momento da analise,

realizado com base nas lembrancas do paciente (anamnese) e alguns exames fısicos

secundarios [7].

A existencia de profissionais bem capacitados e treinados e imprescindıvel na

tomada dos exames fısicos, atraves dos quais e possıvel realizar uma avaliacao por

meio da apalpacao, testes de mobilidades e presenca de ruıdos na articulacao tem-

poromandibular. Com esta avaliacao, a anamnese e exames suplementares, o clınico

e capaz de determinar, da melhor forma existente, o diagnostico e o tratamento

indicado.

Atualmente, o uso de exames auxiliares como a polissonografia, tomografia, ter-

mografia por infravermelho dentre outros, sao indicados somente em casos indi-

viduais e nao servem como forma de diagnostico unica, ademais estao restritos a

pesquisas academicas. Esses exames ainda nao conseguem correlacionar os dados

coletados com a existencia da DTM [7] de forma direta. No futuro, e razoavel

pensar que existirao novas tecnologias e esse limitador nao exista mais. Por isso, as

pesquisas na area de bioengenharia e inovacao sao importantes.

Depois de definido o diagnostico da disfuncao temporomandibular e viavel indicar

a melhor forma de tratamento para o paciente. Essa e uma area que cresce cada

vez mais, possui integracao com diferentes areas da saude e se adequa da melhor

forma possıvel a pessoa doente. Contudo, deve ser feita de maneira cuidadosa, pois

casos onde o tratamento indicado for inapropriado podem agravar o quadro clınico,

ocasionar perda de qualidade de vida e impactos permanentes aos pacientes.

O tratamento consiste, basicamente, em reduzir a dor do paciente, que pode

ser muito intensa, aumentar a mobilidade do aparelho mastigatorio e de auxılio

psicologico que reduza a intensidade de carga sofrida. Inicialmente, sao indicados

tratamentos nao invasivos e depois e definido, individualmente, o tratamento mais

apropriado dependendo do fator que causa a desordem. Segundo [8], 90% dos pa-

cientes que recebem tratamentos conservadores, que nao gera alteracoes estruturais

6

da ATM, percebem o controle dos sintomas e, dentre todos os tratamentos possıveis,

alguns deles sao, placas inter-oclusais, atividades fısicas e uso de farmacos.

2.2 Termografia por Infravermelho

Em 1800, William Hershell descobriu como funcionava a temperatura de cada cor

do arco-ıris, espectro da radiacao eletromagnetica visıvel, e alem disso conseguiu

medir a temperatura da regiao do espectro eletromagnetico abaixo do vermelho,

que nao possui radiacao visıvel, conhecida nos dias de hoje como infravermelho.

Combinando isso e os conhecimentos de Einstein, sobre o efeito fotoeletrico, em

1950 o exercito americano criou projetos na tentativa de registrar mapas de calor

com cameras infravermelhas e rapidamente essa tecnologia se desenvolveu [1].

Documentos de 400 a.C. mostram que ja existiam relatos que relacionavam a

temperatura com patologias. Na decada de cinquenta foram iniciados estudos que

utilizavam a termografia como tecnica para o processo de avaliacao medica [3] e

em 1987 a American Medical Association reconheceu a tecnica como instrumento

de diagnostico. Atualmente, a termografia e utilizada nas mais diversas areas, como

fisioterapia, ortopedia, medicina do esporte, odontologia e etc.

O ser-humano possui mecanismos de regulacao da temperatura do corpo inde-

pendentes do ambiente ao seu redor, mantendo uma faixa bastante restrita de 33-42

◦C, conhecido por termo-regulacao. Qualquer tipo de variacao fora desse intervalo e

um indicativo de alguma patologia. Consequentemente, a utilizacao da termografia

por infravermelho e extremamente promissora [1].

A termografia por infravermelho pode ser utilizada como instrumento de imagem

na medicina. Na Fig.2.2 sao mostrados alguns outros tipos de tecnicas de imagem.

Com a termografia, e possıvel aferir a temperatura superficial da pele, um dos orgaos

mais importantes na termo regulacao, a partir da medicao da emissao de ondas ele-

tromagneticas no espectro do infravermelho. Ao longo do tempo, os equipamentos se

desenvolveram bastante e atualmente e possıvel medir diferencas muito pequenas de

temperatura em regimes transientes [1], permitindo assim, observar a temperatura

do corpo em determinadas condicoes e como ela varia a determinados estımulos.

A termografia e uma tecnica nao invasiva e nao ionizante. Por isso, e totalmente

7

Figura 2.2: Exames, informacoes medicas e tecnicas de imagem.

Retirado de [1]

indolor e segura, nao gerando nenhum dano, tanto para o paciente como para o exa-

minador. Devido a essa vantagem, o emprego da tecnica pode ser repetida diversas

vezes em um mesmo paciente sem prejuızos ao corpo humano, alem de possuir um

custo relativo baixo, possibilitando ser um exame acessıvel.

O exame realizado busca correlacionar a patologia com o mapa de temperatura

encontrado, como por exemplo o cancer, que devido a angiogenese (formacao de

novos vasos sanguıneos), acarreta uma elevacao da temperatura na regiao do tumor.

Ja em outros casos, como a condropatia, o diagnostico ocorre devido a assimetria

de temperatura em regioes do corpo similares (Fig. 2.3). Atualmente, devido a

todas vantagens citadas anteriormente, a termografia e utilizada como um amplo

campo de pesquisa e ja e possıvel utiliza-la como tecnica de diagnostico em algumas

doencas, como cancer de mama, melanoma e osteoartrite [1].

8

Figura 2.3: Na imagem superior, uma imagem termografica de joelho saudavel, na

imagem inferior uma imagem termografica de condropatia patelar grau III em joelho

esquerdo. Adaptado de [1].

2.3 Procedimento Experimental

No presente estudo, nao sao utilizadas as medidas experimentais para as estimativas

feitas. Porem, como forma de apresentar o procedimento experimental e compre-

ender melhor a patofisiologia da DTM, essa secao se dedica a mostrar, de maneira

breve, como e feito o procedimento experimental. Sendo assim, e usado como base

o projeto de pesquisa de Heraclito Fernando Gurgel Barboza do Departamento de

Radiologia da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).

Com a intencao de se obter medidas da temperatura superficial da pele e conse-

guir correlacionar com o diagnostico da DTM, e vital que se mantenha um procedi-

mento experimental rıgido e preciso. Devem ser impostos alguns criterios, como a

selecao do grupo de voluntarios e temperatura da sala, para que sejam controlados

os dados obtidos.

No presente estudo, somente serao analisados os pacientes com DTM, com di-

agnostico clınico por examinadores capacitados, que possuem origem muscular e

com dor miofascial. Nao havera distincao entre o grupo de voluntarios, que tem

mais de 18 anos e sao alfabetizados, em relacao a raca, genero, idade e classe so-

cial. Metade dos participantes deverao fazer parte do grupo controle, os quais nao

9

sao diagnosticados com a desordem. Todos os voluntarios do experimento precisam

assinar o termo de consentimento livre e esclarecido, regulamentado pela legislacao

brasileira sobre etica na pesquisa.

As pessoas que nao poderao fazer parte do estudo sao aquelas as quais nao

possuem os fatores de inclusao ou possuam diabetes, hipertireoidismo, hipertensao

arterial e qualquer outro fator que possa alterar de forma nao controlada a tempe-

ratura superficial da pele.

No dia do experimento, a sala devera ser mantida a temperatura de (22± 1) ◦C

com baixo fluxo de ar com intuito de reduzir a perda de calor por conveccao. Os

pacientes sao orientados a nao ingerir bebidas alcoolicas e cafe ate 24 horas antes do

exame, nao utilizar nenhum tipo de locao e maquiagem, nao realizar exercıcios 12

horas antes do exame entre outras medidas que estimulem ou reduzam a temperatura

do corpo humano [9].

Os pacientes serao aclimatados durante 15 minutos em uma sala com tempe-

ratura constante e sem a presenca de luzes incandescentes. Em seguida, passarao

por um processo de demarcacoes de pontos de interesse do lado direito e esquerdo

do rosto. Posteriormente, serao realizadas as imagens termograficas desses pontos,

iniciando com os pacientes com os dentes semicerrados e depois com maximo aper-

tamento dentario voluntario. Estima-se que esse tempo de apertamento maximo

dentario sera de 90 segundos, para evitar dor excessiva ao paciente [9].

E esperado, devido ao processo de apertamento dentario, que ocorra a reducao

de perfusao sanguınea nos tecidos do sistema estomatognatico, consequentemente

reduzindo a temperatura superficial da pele pela reducao de irrigacao sanguınea.

Em pessoas saudaveis e esperado que a recuperacao da temperatura inicial ocorra

de maneira mais rapida, enquanto que nos nao saudaveis, devido a problemas no

sistema nervoso, a recuperacao deve ocorrer de maneira mais lenta ou ate mesmo

nao ocorrer no tempo observado. Alem disso, o tempo analisado e muito pequeno e

a alteracao da geracao de calor metabolica e reduzida. Esse processo e o inverso do

que acontece na vasodilatacao, onde o fluxo sanguıneo aumenta, consequentemente

aumentando a temperatura [9].

10

Capıtulo 3

Problema Fısico e Formulacao

Matematica

3.1 Biotransferencia de Calor

O estudo da biotransferencia de calor se caracteriza por ser uma area do conheci-

mento bastante interdisciplinar, unindo diversos profissionais com formacoes distin-

tas, como engenharia, medicina, entre outras. Essa interdisciplinaridade contribui

para uma visao bastante densa e diversificada para a resolucao dos problemas.

O primeiro modelo para o problema de biotransferencia de calor foi proposto

pelo pesquisador H. Pennes, em 1948. Ele e utilizado na maior parte dos estudos

realizados na area devido a sua simplicidade e aplicabilidade. Alem disso, serve de

base para muitos outros modelos mais sofisticados e que fazem suposicoes iniciais

diferentes das propostas por Pennes [10].

Um dos termos mais importantes na equacao proposta por Pennes e a contabi-

lizacao da influencia do fluxo sanguıneo no perfil de temperatura, termo importante

na termo-regulacao, encontrado nos tecidos do corpo humano. Para isso, Pennes

considerou que a taxa volumetrica de calor transferida pela perfusao sanguınea, Qp,

e proporcional a diferenca de temperatura do sangue arterial que entra no tecido e

do sangue venoso que sai. Com isso, e possıvel chegar a formulacao mais conhecida

para a geracao de calor pela perfusao sanguınea como:

Qp = ωsρscps(Ts − T ) (3.1)

11

onde T, ω, ρ e cp sao a temperatura, o coeficiente de perfusao, a massa especıfica

e o calor especifico a pressao constante, respectivamente. O subscrito “s”se refere

as propriedades do sangue. Essa proposta considerou que o sangue que entra nos

pequenos vasos do sistema circulatorio sanguıneo a uma temperatura Ts sai a uma

temperatura T , a qual esta totalmente em equilıbrio termico com os tecidos do

entorno.

Tendo isso em vista, Pennes propos a seguinte formulacao para a equacao dife-

rencial de transferencia de calor, considerando um espaco generico de coordenadas

[10]:

ρc∂T (r, t)

∂t= ∇ · (k∇T ) + ωsρscps[Ts − T (r, t)] +Qmet (3.2)

onde k e r sao a condutividade termica do tecido e o vetor posicao em um sistema

generico de coordenadas, respectivamente. Note que o segundo termo da direita

da Eq.3.2 representa a perfusao sanguınea, enquanto Qmet e a taxa volumetrica de

geracao metabolica.

Apesar deste modelo conter algumas limitacoes, ele possui boa concordancia com

as medidas experimentais encontradas e se destaca pela sua simplicidade. Proporci-

ona assim, grande aplicabilidade em diversas areas, como por exemplo as simulacao

numerica aplicadas em tratamentos de cancer por hipertermia. [2]

Pensando no problema de transferencia de calor para o diagnostico da DTM, a

hipotese inicial pode ser estudada pressupondo que a conducao de calor ocorre em

somente uma dimensao, x, e os parametros fısicos possuem valores constantes para

cada tecido [2]. A Fig.3.1 descreve como sao os tecidos na regiao de interesse do

presente estudo, supondo contato perfeito entre as camadas. Tal hipotese deve ser

apropriada a um ponto central do musculo. Por outro lado, efeitos multidimensionais

devem ser avaliados em trabalhos futuros.

12

Figura 3.1: Tecidos na regiao da articulacao temporomandibular

Para o caso unidimensional representado na Fig. 3.1, a equacao adaptada de

Pennes e dado por:

ρ(x)cp(x)∂T (x, t)

∂t=

∂

∂x

[k(x)

∂T (x, t)

∂x

]+ ωs(x)ρscps[Ts − T (x, t)] +Qmet(x) (3.3)

Os parametros utilizados neste modelo estao descritos na Tabela 3.1 e foram

obtidos da referencia [2].

Tabela 3.1: Valores dos parametros dos tecidos [2].

Tecidos Epiderme Derme Derme Gordura Musculo

papilar reticular

Espessura (mm) 0,1 0,4 0,8 2 12,6∗

ρ(kg/m3) 1200 1200 1200 1000 1085

J/(kgK) 3589 3300 3300 3674 3800

k(W/(mK)) 0,235 0,445 0,445 0,185 0,51

Qmet(W/m3) 0 368,1 368,1 368,4 684,2

ωs(1/s) 0 2x10−4 13x10−4 10x10−4 27x10−4

A regiao de interesse no presente estudo e distinta da aplicada em [2], no en-

tanto nao foram encontrados valores especıficos para as propriedades termofısicas

e espessuras dos tecidos. Logo elas sao utilizadas, mas sua influencia nas incerte-

zas e comentada. No entanto, em relacao a espessura do musculo masseter foram

encontrado dados em [11] e empregados aqui.

13

A temperatura do sangue e temperatura do meio ambiente, para o presente

estudo sao consideradas constantes no tempo e no domınio, e sao apresentadas

Tabela 3.2. Esta tabela tambem mostra os valores usados para a massa especıfica e

o calor especıfico do sangue.

Tabela 3.2: Valores dos parametros constantes [2]

Parametros Valores

Ts 37◦C

Tar 22◦C

ρs 1060(kg/m3)

cps 3770(J/kgK)

O valor para a temperatura do ambiente externo e determinado no procedimento

experimental e deve ser muito bem controlado para que nao ocorra interferencias

imprevistas, contribuindo para falhas no diagnostico.

As condicoes de contorno para o problema foram modeladas da seguinte ma-

neira: ambas as superfıcies possuem condicoes de contorno do terceiro tipo, porem

a superfıcie mais externa da pele, que esta em contato com o ar do meio ambiente,

perde calor para o meio externo por conveccao com um coeficiente, h1 = 10 W/mK

(Eq. 3.4), enquanto que a superfıcie interna pode ser considerado com um coeficiente

global, h2 = 100 W/mK , que representa a transferencia de calor com os orgaos mais

internos ao musculo (Eq. 3.5). Assim, temos:

−k(x)∂T (x, t)

∂x+ h1T = h1Tar em x = 0, t > 0 (3.4)

k(x)∂T (x, t)

∂x+ h2T = h2Ts em x = L, t > 0 (3.5)

onde L e o comprimento total das camadas dos tecidos e considerado aqui como

L = 15, 9 mm.

A condicao inicial tambem deve ser previamente conhecida para que seja possıvel

a resolucao da equacao diferencial pelo metodo dos volumes finitos proposto na Secao

3.2 . Ela possui a seguinte forma:

T (x, t) = F (x) em t = 0, 0 < x < L (3.6)

14

onde considera-se a possibilidade que os tecidos estejam temperaturas iniciais dis-

tintas.

3.2 Metodo dos Volumes Finitos

A solucao analıtica para a equacao diferencial do problema de biotransferencia de ca-

lor pode ser uma tarefa muito ardua e sem solucao devido as nao-linearidades e como

os parametros variam ao longo do domınio. No entanto, existem diversos metodos

numericos apropriados para realizar essa tarefa com baixo custo computacional e

respostas bastante satisfatorias.

O metodo numerico consiste, basicamente, em descrever a variavel dependente

em uma quantidade finita de locais conhecidos por pontos da malha. Dentre todas as

ferramentas existentes, o metodo de volumes finitos foi escolhido no presente estudo

para descrever a temperatura no domınio analisado. Ele possui, fundamentalmente,

a formulacao onde cada ponto da malha seja envolvido por um volume de controle.

Posteriormente, as equacoes diferenciais sao integradas para esses volumes e obtidas

as respostas para o perfil de temperatura, juntamente com as condicoes de contorno

e inicial.

“A caracterıstica mais atraente da formulacao dos volumes finitos e que a solucao

resultante deve implicar que a conservacao integral de quantidades como massa,

momento e energia e exatamente satisfeita atraves de qualquer grupo de volumes de

controle e, e claro, atraves de todo o domınio de calculo. Esta caracterıstica existe

para qualquer numero de pontos, e nao apenas no caso limite em que o numero de

pontos torna-se muito grande. Entao, mesmo para uma malha grosseira, a solucao

exibe balancos integrais exatos” [12]. Todas essas vantagens contribuem para a sua

escolha.

Com isso, o codigo utilizado para a solucao do problema de biotransferencia, foi

desenvolvido pela aluna de graduacao do curso de Engenharia Mecanica da UFRJ,

Marion Lerreur. No codigo desenvolvido por ela no software MATLAB, foi pro-

posto um caso unidimensional, onde e possıvel calcular o dano termico e o perfil de

temperatura em todo o domınio analisado, aplicado no tratamento de cancer por

hipertermia, atraves de um esquema explicito.

15

No entanto, para ser empregado neste trabalho, o codigo foi simplificado com

a retirada dos parametros do laser e a sua influencia. Apesar do foco do trabalho

nao ser entrar em detalhes e questoes sobre o metodo desenvolvido e verificado pela

aluna, vale ressaltar algumas consideracoes que foram utilizadas como, o uso de

uma malha com espacamento entre os pontos, ∆x = 0, 05 mm, e a variacao no

tempo, ∆t = 0, 0020 s. A discretizacao no tempo foi derivada de uma condicao

de estabilidade que depende de alguns parametros dos tecidos e ∆x. Vale tambem

ressaltar que todos os tecidos possuem pelo menos um ponto de discretizacao e

podem ter uma temperatura atribuıda.

3.2.1 Regime permanente

Para a resolucao da equacao diferencial, e necessario conhecer a condicao inicial

conforme a Eq. 3.6. Estimando essa condicao inicial, antes do apertamento dentario

feito no exame (tempo de analise do estudo), e empregada a simulacao computa-

cional. Sendo assim, foi considerada uma temperatura arbitraria constante que foi

aplicada a todo o domınio, e posteriormente imposto um tempo longo o suficiente

para que os parametros da equacao de biotransferencia, como perfusao sanguınea e

geracao metabolica, facam com que o perfil de temperatura descrito seja o regime

permanente, considerado semelhante ao perfil de temperatura de uma pessoa em

repouso.

Sao propostos dois casos: o primeiro com a temperatura inicial sendo T0 = 37 ◦

C para todos os pontos do domınio (Fig.3.2) e outro com temperatura inicial T0 =

22 ◦ C (Fig.3.3)

A partir de 30 minutos, em ambos os casos, os valores das temperaturas se

aproximam e evidenciam a convergencia para o regime permanente com perfil de

temperaturas bastante similares.

Sendo assim, a partir de qualquer temperatura inicial, os graficos convergem

para as mesmas temperaturas no regime permanente. No entanto, sao feitas algumas

analises numericas para T0 = 37 ◦C , como forma de teste do regime permanente. Na

Fig. 3.4 foram escolhidos tres pontos que possuem localizacao em tecidos distintos,

sendo eles, epiderme, gordura e musculo. A partir de 25 min e observado que a

temperatura comeca a mudar com uma velocidade mais lenta, se aproximando do

16

Figura 3.2: Temperatura para todo domınio com T0 = 37 ◦ C

Figura 3.3: Temperatura para todo domınio com T0 = 22 ◦ C

regime permanente.

Como parte da analise foi realizada uma diferenca relativa, conforme Eq. 3.7,

17

Figura 3.4: Temperatura musculo, gordura e epiderme com T0 = 37 ◦ C

para aferir a diferenca de temperatura entre 30 e 45 minutos. Os resultados estao

mostrados na Tab.3.3|T45min − T30min|

T45min

(3.7)

Tabela 3.3: Diferenca relativa das medidas de temperatura

Tecido Valores

Epiderme 0,011%

Gordura 0,012%

Musculo 0,003%

Com base nos dados obtidos, diferenca relativa pequena, e possıvel afirmar que

a partir de 45 minutos o regime se aproxima do regime permanente com suficiente

grau de precisao.

3.2.2 Regime transiente

O regime transiente, de acordo com o procedimento experimental discutido na Secao

2.3, representa o momento em que o paciente sera solicitado a realizar o maximo

18

apertamento dentario voluntario. Com base em artigos e na literatura medica, e es-

perada a reducao da perfusao sanguınea da regiao de interesse e, consequentemente,

da temperatura da regiao.

No entanto, nao existe nenhuma referencia cientıfica que mostre qual seria essa

reducao, tanto para pessoas saudaveis como as diagnosticadas com a desordem tem-

poromandibular. No presente estudo, estima-se que somente o coeficiente de per-

fusao e alterado e sofre uma reducao de 50 % durante o apertamento dentario. Nas

secoes subsequentes e discutido como a alteracao no parametro de perfusao afeta o

modelo matematico na previsao da temperatura superficial da pele.

Lembrando que todos os parametros para resolucao do regime transiente estao de

acordo com o proposto na Secao 3.1 e a Tab. 3.4 apresenta os valores do coeficiente

de perfusao sanguınea com a reducao de 50 %.

Tabela 3.4: Valores dos coeficientes de perfusao nos tecidos .

Tecidos Epiderme Derme Derme Gordura Musculo

papilar reticular

ωs(1/s) 0 1x10−4 6, 5x10−4 5x10−4 13, 5x10−4

Com novo T0 = T (x, 45min), temperatura final para o regime permanente,

mesmas condicoes de contorno expressas pelas Eqs. 3.4 e 3.5 e o modelo da Eq. 3.3,

o grafico para as temperaturas utilizando o metodo de elementos finitos para 5

pontos, distribuıdos na epiderme, derme papilar, derme reticular, gordura e musculo,

e melhor descritos pelas legendas das Figs. 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9.

O valor encontrado para a diferenca de temperatura no instante t = 0 s e

t = 90 s para a superfıcie da pele, medida experimental mais importante nas esti-

mativas realizadas e a unica possıvel de ser medida pela camera termografica, foi

de ∆T = 0, 07 ◦C. A maior parte das cameras termograficas utilizadas em ex-

perimentos cientıficos possuem uma sensibilidade termica pequena o suficiente para

medir a diferenca de temperatura dessa ordem de grandeza, logo o procedimento

experimental e viavel.

19

Figura 3.5: Perfil temperatura musculo

Figura 3.6: Perfil temperatura gordura

20

Figura 3.7: Perfil temperatura derme reticular

Figura 3.8: Perfil temperatura derme papilar

21

Figura 3.9: Perfil temperatura derme epiderme

22

Capıtulo 4

Estimativa de Parametros

A tentativa do homem conhecer, descrever e formular os fenomenos da natureza

por equacoes matematicas e uma pratica muito antiga. Com a evolucao da ciencia

surgiram diferentes modelos que descrevem com bastante precisao diversos desses

fenomenos. Contudo, frequentemente, nao sao conhecidos os valores dos parametros

e quais leis fısicas sao aplicadas a esses problemas.

Atualmente, ha diversas tecnicas que tentam aproximar as medicoes obtidas,

que por suposicao sao os “valores reais”para os fenomenos fısicos, com os modelos

existentes. Porem, existem diversas complicacoes que dificultam esse processo como

erros aleatorios inerentes do processo de medicao, aproximacoes feitas nos modelos

e outras complicacoes que implicam no valor final da variavel de interesse.

Nas secoes subsequentes, sao descritas algumas das abordagem existentes utili-

zadas para a estimativa dos parametros da equacao de Pennes (Eq. 3.3) no caso do

presente estudo, ja que grande parte deles possui valores pouco conhecidos ou sao

bastante complexos de serem medidos.

Vale ressaltar que toda a parte teorica proposta nesse capıtulo foi baseada em

[13], como modelos, aproximacoes e consideracoes feitas.

4.1 Mınimos Quadrados

Mınimos quadrados e uma das funcoes objetivo mais simples e mais frequentemente

aplicada na estimativa de parametros, tanto linear como nao-linear. Para mostrar

a sua formulacao matematica, e necessario fazer algumas consideracoes. Primeiro,

23

deve-se supor que o vetor de parametros (Eq. 4.1) do modelo fısico em questao como,

coeficientes de perfusao e temperatura do sangue, e de medidas de temperatura (Eq.

4.2) possuem a seguinte forma:

P = [P1, P2, ..., PN ]T (4.1)

Y = [Y1, Y2, ..., YI ]T (4.2)

onde Pi, N , Yj e I sao os parametros, numero de parametros, medidas experimentais

e quantidade de medidas experimentais, respectivamente.

Propondo que as medidas experimentais sao representadas pelas valores obtidos

mais um erro com valores aditivos, pode ser descritas da seguinte maneira:

Y = T(P) + ε (4.3)

onde T(P) e ε sao a solucao do problema fısico em funcao do vetor de parametros, P,

e os erro de medidas experimentais, respectivamente. A solucao matematica descrita

acima, supostamente, representa de maneira perfeita o problema. No entanto, erros

atribuıdos ao modelo nao sao computados e sao descritos na Secao 4.2 .

Atribuindo uma distribuicao Gaussiana para os erros de medida, ε, com media

zero, matriz de covariancia, W, e independencia com os parametros P, a funcao de

probabilidade para ε tem a seguinte forma [13]:

π(ε) = 2π−I/2|W|−1/2exp

{−1

2εTW−1ε

}(4.4)

Com a Eq. 4.3 e possıvel reescrever a Eq. 4.4 da seguinte maneira:

π(ε) = π(Y|P) (4.5)

π(Y|P) = 2π−I/2|W|−1/2exp

{−1

2[Y −T(P)]TW−1[Y −T(P)]

}(4.6)

A Eq. 4.5 e a funcao de probabilidade relativa das medidas experimentais, Y,

com os parametros P fixos, chamada de funcao de verossimilhanca. Uma maneira

bem comum de solucao para problemas inversos na estimativa de parametros e a

24

maximizacao da funcao de probabilidade relativa. Para isso, e somente necessario

minimizar a funcao objetivo (Eq. 4.7)

S = [Y −T(P)]TW−1[Y −T(P)] (4.7)

O metodo de mınimos quadrados e equivalente a simplificacao da Eq. 4.7 para

o caso especifico em que a matriz covarianca das medidas, W , possui os elementos

nao correlacionados e uma variancia constante σmeas, isto e:

W = Idσ2meas (4.8)

onde Id e a matriz identidade. A simplificacao da funcao objetivo fica da seguinte

maneira:

S = [Y −T(P)]T [Y −T(P)] (4.9)

A partir da minimizacao da funcao acima, e possıvel encontrar os parametros P

por mınimos quadrados. Existem diversos algoritmos capazes [13] de realizar essa

operacao com baixo custo computacional e obter alguns resultados satisfatorios.

4.2 Abordagem Bayesiana

A abordagem Bayesiana foi desenvolvida por Thomas Bayes. Ela, de maneira gros-

seira, expressa a ideia de que o conhecimento de informacoes passadas influenciam

as medidas que sao realizadas em um tempo presente. Um bom exemplo disso seria

o caso onde e jogado um dado nao viciado ao acaso que possui probabilidades iguais

para todas as face do dado. Na primeira rodada, hipoteticamente, o numero um sai.

Quando for realizada a segunda jogada, sabendo que na primeira ja saiu o numero

um, a probabilidade do resultado se repetir sera reduzida.

Em efeitos praticos e no presente estudo, com a abordagem Bayesiana e possıvel

obter dados estatısticos resultantes da combinacao entre observacoes experimen-

tais e conhecimentos previos dos parametros investigados, os quais sao modelados

a partir de distribuicoes probabilısticas. Muitas vezes, as informacoes a priori dos

parametros sao obtidas de maneira qualitativa. Contudo, e dever do pesquisador

descreve-las de forma quantitativa, como distribuicoes de probabilidade, com intuito

25

de aplicar o metodo de maneira correta. Vale ressaltar que as distribuicoes proba-

bilısticas atribuıdas aos parametros podem variar entre pesquisadores, ja que o grau

de conhecimento e o peso atribuıdo a elas podem variar entre pesquisas.

Como a abordagem Bayesiana contabiliza essas duas informacoes, e importante

frisar que tanto as informacoes a priori quanto os dados experimentais nao se sobres-

saem um sobre o outro, desde que eles nao possuam incertezas grandes o suficiente

para que sejam desconsideradas.

A solucao de problemas inversos tenta encontrar respostas para parametros des-

conhecidos com base em formulacoes matematicas de qualquer tipo de processo,

utilizando medidas experimentais disponıveis de variaveis dependentes (no presente

estudo, a temperatura superficial da pele). Existem diversas tecnicas capazes de

resolver esses tipos de problemas, porem as mais comuns possuem como finalidade

a minimizacao de uma funcao objetivo que expressa a diferenca entre medidas ex-

perimentais e medidas estimadas da resposta do problema fısico.

A solucao de problemas inversos dentro da abordagem Bayesiana pode ser cate-

gorizada como inferencia estatıstica da densidade de probabilidade a posteriori, onde

o modelo contabiliza a distribuicao de probabilidade condicional dos parametros des-

conhecidos, dadas as medidas experimentais. Ja o modelo que expressa os dados

das medidas dos parametros sem as medidas experimentais e conhecido por modelo

a priori. As informacoes a priori podem ser combinadas com o modelo descrito

acima para formar a distribuicao de probabilidade a posteriori utilizando o teorema

de Bayes.

Como a intencao e obter uma funcao objetivo para o problema, e necessario

definir e apresentar algumas expressoes e hipoteses importantes para a solucao do

problema. Primeiro, todas as variaveis utilizadas sao modeladas como variaveis

aleatorias . Toda a informacao obtida do parametro P antes de serem feitas as

medidas Y devem ser levadas em consideracao. Depois disso, deve ser atribuıda

uma distribuicao de probabilidade π(P), que representa as informacoes a priori.

Todas as distribuicoes de probabilidades devem ser escolhidas com cautela, levando-

se em conta a que melhor se adapta ao problema, pois elas interferem diretamente

nos resultados obtidos. Deve ser escolhida uma funcao de verossimilhanca para

π(P|Y) capaz de modelar adequadamente os erros de medidas e expressar a relacao

26

entre as medidas observadas e o modelo matematico, como a Eq. 4.6.

Feitas essas consideracoes, e viavel desenvolver metodos para investigar a funcao

de probabilidade a posteriori, conhecida como a distribuicao de probabilidade con-

dicional do parametro desconhecido dado as medidas, π(P|Y). O teorema de Bayes

descreve de maneira matematica essa distribuicao na forma [13]:

π(P|Y) =π(P,Y)

π(Y)(4.10)

onde, π(P,Y) e π(Y) sao a distribuicao de probabilidade conjunta de P e Y e a

distribuicao de probabilidade marginal de Y, respectivamente. Geralmente π(P,Y)

e desconhecida e pode ser reescrita da seguinte maneira:

π(P,Y) = π(Y|P)π(P) (4.11)

de modo que a Eq. 4.10 torna-se:

πposteriori(P) = π(P|Y) =π(Y|P)π(P)

π(Y)(4.12)

onde πposteriori(P) e π(P) sao a distribuicao de densidade de probabilidade do

parametro P a posteriori e a priori, respectivamente. π(Y) possui o papel de uma

constante de normalizacao. Porem, como a sua solucao pode ser muito complexa e

desnecessaria em muitos casos, o Teorema de Bayes pode ser reescrito como:

πposteriori(P) = π(P|Y) ∝ π(Y|P)π(P) (4.13)

4.3 Funcao Objetivo Maximum a Posteriori

Como discutido na Secao 4.2, a minimizacao de uma funcao objetivo e uma das

formas mais comuns de resolver problemas inversos. Para definir a funcao objetivo

que melhor se adapta, e necessario fazer mais algumas hipoteses e utilizar algumas

equacoes ja definidas. Primeiro, considerando uma distribuicao Gaussiana para as

informacoes a priori dos parametros desconhecidos, temos [13]:

π(P) = (2π)−N/2|V|−1/2exp

[−1

2(P− µ)TV −1(P− µ)

](4.14)

27

onde µ , V, sao os vetores da media e a matriz de covariancia conhecidas a priori

relativas ao vetor de parametros, P, respectivamente. N e o numero de parametros

do modelo. Com as Eqs. 4.4, 4.13 e 4.14 pode ser escrito:

ln[π(P|Y)] ∝ −1

2[(I +N)ln(2π) + ln|W|+ ln|V|+ SMAP ] (4.15)

onde,

SMAP = [Y −T(P)]TW−1[Y −T(P)] + (P− µ)TV−1(P− µ) (4.16)

A maximizacao da funcao de probabilidade dos parametros a posteriori pode

ser executada, conforme observado na Eq. 4.16 , a partir da minimizacao de SMAP

devido aos termos constantes e o sinal negativo da exponencial. Vale notar que o

primeiro termo da equacao contem a funcao de verossimilhanca (termo semelhante

ao resolvido para o metodo de mınimos quadrados da Eq. 4.9), enquanto o segundo

representa a distribuicao de probabilidade a priori dos parametros desconhecidos.

Esse fato, mostra que a funcao objetivo proposta na Secao 4.1 nao pode ser conside-

rada um estimador Bayesiano, pois as informacoes obtidas dos parametros a priori

sao desconsideradas pelo estimador e so sao utilizadas as informacoes estatısticas

fornecidas pelas medidas experimentais.

28

Capıtulo 5

Resultados e Discussoes

5.1 Medidas Simuladas

As medidas experimentais ainda nao estao disponıveis. Logo, sao utilizadas medidas

simuladas que sao provenientes da solucao do problema direto utilizado na Secao

3.2.

O codigo de volumes finito, que foi utilizado aqui, nao disponibiliza a temperatura

superficial da pele diretamente, mas podem ser feitas algumas aproximacoes que

sejam capazes de aferir esse dado. Para isso, a maneira encontrada foi a utilizacao

de diferencas finitas, atraves da expansao da serie de Taylor de primeira ordem (Eq.

5.1).

T (x+ ∆x/2) ≈ T (x) +∂T

∂x∆x/2 (5.1)

Logo, simplificando para o caso especıfico da temperatura superficial da pele:

∂T

∂x≈ T1 − Tsup

∆x/2(5.2)

Utilizando a Eq. 3.4 como expressao de aproximacao (condicao de contorno para

a superfıcie em contato com o ar) :

−k (T1 − Tsup)∆x/2

+ h1Tsup = h1Tar (5.3)

onde Tsup, T1, ∆x sao a temperatura superficial da pele, temperatura do ponto mais

proximo da superfıcie, o qual varia dependendo da malha escolhida pelo metodo de

29

volumes finitos, e a distancia entre os pontos da malha, respectivamente. Resolvendo

a Eq. 5.3 e colocando Tsup em destaque, obtem-se:

Tsup =

2k

∆xT1 + h1Tar

2k

∆x+ h1

(5.4)

Utilizando a aproximacao proposta pela Eq.5.4, e possıvel observar na Fig. 5.1

a temperatura da pele ao longo do tempo de apertamento maximo voluntario.

Figura 5.1: Aproximacao para temperatura superficial.

Supondo que os erros das medidas simuladas possuam natureza aleatoria e uma

distribuicao Gaussiana (com media igual a zero e desvio padrao igual a um), sera

utilizada a funcao interna, randn, do software Matlab o qual e capaz de produzir os

numeros randomicos com essa distribuicao, segunda a documentacao fornecida pela

empresa [14]. O histograma dos erros das medidas simuladas e mostrado na Fig 5.2.

Alem disso, considerando que elas nao sao correlacionadas e possuem um des-

vio padrao constante, σmeas (Eq. 4.8). As medidas simuladas podem ser escritas

conforme a Eq. 5.5.

Y (ti) = Texa(ti) + σmeasε(ti) (5.5)

30

Figura 5.2: Histograma dos erros de medida.

onde Y (ti), Texa(ti) , ε, σmeas sao as medidas experimentais simuladas para o ins-

tante t, temperatura proveniente do metodo direto no instante t, erros aleatorios com

a distribuicao Gaussiana e desvio padrao das medidas experimentais simuladas, res-

pectivamente. Sera considerado σmeas = 0, 05 ◦C com base em outros experimentos

similares executados no LTTC (Laboratorio de Transmissao e Tecnologia do Calor).

Seguindo a Eq. 5.5, as medidas experimentais simuladas sao mostradas na Fig.

5.3, e possuem uma frequencia de medida de 500 Hz

5.2 Distribuicoes a Priori

Como demonstrado na Eq. 5.7, as informacoes a priori dos parametros desem-

penham um papel muito importante na funcao objetivo, dependendo do grau de

conhecimento que se tem sobre elas. Frequentemente, o conhecimento e somente

qualitativo, mas e estritamente necessario escreve-la de maneira quantitativa. Essa

mudanca de abordagem deve ser feita de maneira crıtica e analıtica, pois pode in-

fluenciar profundamente o resultado final.

Para isso, as distribuicoes de probabilidade a priori dos parametros definidas

31

Figura 5.3: Temperatura experimental simulada.

sao escritas como distribuicoes Gaussianas que seguem a seguinte equacao:

π(Pj) =1√

2πσ2j

exp

[−1

2

{Pj − µj

σj

}(1/2)]

(5.6)

σP = [σ1, σ2, ..., σN ]T

Supondo um intervalo de 99 % de confianca, onde, Pj, µj, σj sao os valores

encontrados para os parametros, a media dos valores esperados (constante para todas

as analises e de acordo com os valores de referencia para cada parametro) e o desvio

padrao, respectivamente. Esta distribuicao foi utilizada para todos os parametros a

serem estimados. No entanto, ao longo do presente capıtulo sao atribuıdos diferentes

valores para σj, com intuito de investigar como e a influencia dessa variavel na

otimizacao da funcao objetivo e determinar como isso afasta ou aproxima os valores

dos parametros ao modelo matematico proposto.

5.3 Funcao Objetivo e Metodo de Solucao

A Eq. 4.16 sera utilizada como funcao objetivo no presente estudo com a finalidade

de estimar os parametros empregados que se adequem a solucao do problema direto

32

da equacao de Pennes e as informacoes a priori.

Levando em conta todas as consideracoes feitas acima, como as medidas nao sao

correlacionadas e com desvio padrao constante, σmeas = 0, 05 ◦C, tambem supoe-se

que os parametros nao sao correlacionados, tendo cada um desvios padroes dados

por σ1, σ2, ..., σN , respectivamente.

Assim, pode-se reescrever a equacao Eq. 4.16 na forma:

SMAP =I∑

i=1

[Yi − Ti(P )]

σ2meas

2

+N∑j=1

(P − µj)

σ2pj

2

(5.7)

E interessante perceber que a funcao objetivo a ser minimizada e uma media

ponderada entre o metodo dos mınimos quadrados e as informacoes a priori dos

parametros, alem de que os desvios padroes desempenham a funcao de peso dessa

media ponderada. Sendo assim, quanto maior o desvio padrao, menor sera a in-

fluencia do parametro no resultado da minimizacao. Essa analise e interessante,

pois confirma que os parametros conhecidos com maior grau de precisao (menor

desvio padrao) possuirao maior impacto no resultado final e o mesmo se aplica para

as medidas.

Os parametros utilizados sao descritos no Anexo A.1, ja o codigo que implementa

a funcao objetivo e apresentado no Anexo A.2.

Em relacao ao processo de otimizacao empregado, ha diversos metodos numericos

capazes de realizar a minimizacao da funcao maximo a posteriori, SMAP . Entretanto,

o metodo selecionado para essa tarefa foi a funcao lsqnonlin, pre-definida no soft-

ware MATLAB, devido a sua simplicidade de implementacao e gasto computacional

consumido. Segundo a documentacao disponibilizada no site da MathWorks [14],

a lsqnonlin e capaz de solucionar problemas nao-lineares de ajustes de curvas por

mınimos quadrados, onde as entradas devem ser a funcao a ser ajustada, SMAP , uma

estimativa inicial, x0 e opcionalmente o metodo de otimizacao. O valor de saıda da

funcao sera um vetor ou a incognita minimizada e a norma do vetor resıduo. Os

problemas resolvidos possuem a seguinte forma:

minP||f(P)||22 = min

x(f1(P)2 + f2(P)2 + ...+ fz(P)2) (5.8)

A soma das funcoes a serem minimizadas, f(P), devem ser inseridas na forma

33

de um vetor de funcoes dado por:

f(P) = [f1(P), f2(P), ..., fz(P))]T (5.9)

Ajustando a Eq. 5.8 para o caso especifico proposto, o x desempenhara o lugar

do vetor de parametros, P, o z sera a soma do numero de medidas e do numero de

parametros minimizados, N + I. O vetor de funcoes, f(x) sera gerado a partir da

aplicacao de funcoes em lacos que estao explicitados e contextualizados no Anexo

A.3.

Dentre os diferentes tipos de algoritmos de otimizacao possıveis, o empregado

na otimizacao de SMAP foi o Levenberg-Marquardt. Com o desejo de compreender

o processo de otimizacao e definir as suas limitacoes, sao demonstradas algumas ex-

pressoes que devem ser conhecidas. Primeiro, deve-se propor a expansao de primeira

ordem da serie de Taylor da funcao SMAP (P + ∆P) ao redor de um ponto inicial

P :

Smap(P + ∆P) = f(P) + J(P)∆P, (5.10)

onde,

J(P) =∂fm∂PN

, Matriz Jacobiana (5.11)

Segundo [15], baseando-se em uma proposicao feita previamente por Levenberg,

Marquardt determinou que:

(JTJ + diag(JTJ)λ)∆P = JTε (5.12)

onde λ e um multiplicador de Lagrange. O metodo de Levenberg-Marquardt con-

siste, basicamente, em um processo iterativo do problema que deve convergir para

a solucao, dado diferentes valores de λ e uma estimativa inicial x0. Inicialmente, e

atribuıdo uma valor arbitrario (geralmente pequeno e na ordem de 10−4[15]) e que

a cada iteracao tem seu valor alterado. Se o λ levar a uma reducao do resıduo dos

mınimos quadrados, ele deve ser reduzido. Caso contrario, ele deve ser aumentado.

No entanto, e importante ressaltar que numeros muito grandes podem levar a insta-

bilidades numericas e quanto maior a quantidade de parametros mais complexa e a

sua solucao, o que pode limitar bastante problemas que possuem muitos parametros.

34

5.4 Estimativa do Coeficiente de Perfusao do

Musculo

Apresentado no Capıtulo 2, o fator que pela literatura medica deve possuir maior

influencia na temperatura superficial da pele, por ser um dos principais sistemas de

regulacao da temperatura do corpo humano, e a perfusao sanguınea. Sendo assim, o

presente estudo tem como prioridade investigar a estimativa da perfusao sanguınea

no musculo.

Sao propostas diversas hipoteses para uma melhor compreensao da influencia

desse parametro, tanto na resposta do sistema quanto na sua adequacao ao mo-

delo teorico. Nas subsecoes subsequentes sao apresentadas todas essas hipoteses,

evidenciando a sua influencia e demonstrando o seu desempenho na otimizacao.

5.4.1 Efeito das incertezas a priori do coeficiente de per-

fusao do musculo

A primeira situacao investigada propoe a analise da estimativa do coeficiente de

perfusao sanguınea do musculo em quatro situacoes diferentes. Em todas elas, os

valores dos parametros e os desvios padroes sao mantidos constantes, enquanto que

o valor do desvio padrao da perfusao sanguınea do musculo varia segundo a Tab.

5.1.

Tabela 5.1: Analise da incerteza da priori da perfusao sanguınea (ωmusc)

Variavel/hipotese 1o 2o 3o 4o

σj 5 % 5 % 5 % 5 %

σωmusc 10% 30 % 50 % 75 %

ωmusc (1/s) 13.5× 10−4 13.5× 10−4 13.5× 10−4 13.5× 10−4

σmeas 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C

x0 0, 9P 0, 9P 0, 9P 0, 9P

Os valores para o desvio padrao sao a porcentagem do valor medio do parametro

em questao. A estimativa inicial, x0, necessaria para a execucao do metodo foi

mantida em 90% em relacao ao vetor de parametros, P, para todos os casos mesmo

35

o valor nao sendo o mais eficiente para execucao da funcao de minimizacao. O

ωmusc e o valor para o coeficiente de perfusao sanguınea do musculo. Alem disso,

foram utilizadas todas as medidas experimentais simuladas derivadas da resolucao

do problema direto, totalizando 45000 medidas, sendo uma a cada 0, 002 s.

Com essas hipoteses definidas, o resultado da otimizacao esta apresentado na

Tab. 5.2.

Tabela 5.2: Efeito da incerteza a priori da perfusao sanguınea (ωmusc)

Operacao/hipotese 1o 2o 3o 4o

Iteracoes 8 9 8 28

Resıduo inicial 1, 72× 105 1, 27× 105 5, 08× 105 4, 27× 105

Resıduo final 45129,0 44989,9 45025,2 44898,7

ωmusc estimado 12, 9× 10−4 12, 8× 10−4 14, 5× 10−4 16, 3× 10−4

Diferenca relativa 3,8% 5,2 % 7,2 % 20,4%

D(ωmusc)

Media das diferencas 2,0% 0,4 % 0,1 % 0,1 %

relativas MD(X)

Na Tab. 5.2, as grandezas D(σmusc) e MD(X) sao calculados por:

D(ωmusc) =|ωmusc − ωmusc estimado|

ωmusc

(5.13)

MD(X) =

∑N−1j=1

|Xj − Pj|Pj

N − 1(5.14)

No calculo de MD(X), o ωmusc e o unico parametro que nao e levado em consi-

deracao, e Xj e o valor do parametro estimado.

Observando a tabela de resultados, nota-se que a influencia do aumento do desvio

padrao da perfusao sanguınea do musculo se da conforme o esperado. O valor alto

do resıduo, mesmo que mantido quase constante para todas as hipoteses, pode ser

justificado devido ao grande numero de medidas utilizadas.

Averiguando a pequena alteracao na media da diferenca relativa dos outros

parametros, demonstra-se que a otimizacao da funcao objetivo nao altera significa-

tivamente as estimativas dos parametros quando o grau de conhecimento e mantido.

36

Porem, ocorre uma aproximacao do valor das medias dos parametros a priori, en-

quanto que ocorre um distanciamento de ωmusc. Essa ocorrencia pode ser explicada

devido a necessidade dos parametros se aproximarem da resposta de referencia com

a reducao do conhecimento de ωmusc. Deve-se tambem mencionar, que todas os

parametros estimados estao dentro do intervalo de confianca de 99% proposto na

distribuicao a priori.

Na Fig. 5.4, sao apresentadas as curvas de temperatura para os quatro casos

investigados utilizando o vetor de parametros otimizado resultantes do programa de

volumes finitos e as medidas experimentais simuladas com as barras de erros com

intervalo de confianca de 99%.

Vale ressaltar que nao sao mostradas todas as medidas, pois uma grande super-

posicao dificultaria a visualizacao. Observa-se na Fig 5.4 que em todos os cenarios, a

solucao do problema direto com os parametros otimizados se adapta bem as medidas

simuladas e as curvas se sobrepoem. O mesmo ocorre para as medidas experimentais

simuladas.

Figura 5.4: Comparacao dos casos das Tabelas 5.1 e 5.2

37

5.4.2 Efeito da estimativa inicial

A estimativa inicial, x0, e necessaria para a execucao do metodo de otimizacao.

Nesta secao sao propostas 4 estimativas iniciais e e verificado se ocorre alguma

alteracao nos parametros estimados, e como isto afeta a resposta para a temperatura

superficial da pele.

Para isso, todas as variaveis do problema sao mantidas constantes e e alterado

somente o valor para estimativa inicial. As principais variaveis estao de acordo com

a Tab. 5.3.

Tabela 5.3: Analise das estimativas iniciais

Variavel/hipotese 1o 2o 3o 4o

σj 10 % 10 % 10 % 10 %

σj(ωmusc) 50 % 50 % 50 % 50 %

ωmusc 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4

σmeas 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C

x0 P P + 2, 576σP P − 2, 576σP 0, 4P

Os valores para x0 foram escolhidos de forma que sejam testados 4 pontos distin-

tos. Nos limites inferiores e superiores, para compreender como e o comportamento

dos parametros nesses pontos. O ponto otimo, onde e previsto maior agilidade do

metodo. E um ponto fora do intervalo de confianca da distribuicao a priori, que

tem pouco significado fısico mas e importante para entender se existe uma con-

vergencia do metodo mesmo em situacoes pouco provaveis. Os resultados obtidos

sao apresentados na Tab. 5.4

Com a estimativa inicial igual ao 4o caso, empregando o metodo de otimizacao

proposto, o metodo nao converge e nao e possıvel encontrar valores para o vetor de

parametros. A nao convergencia do metodo pode ser explicada pela grande distancia

do ponto otimo, evidenciado pelo resıduo inicial.

Os valores encontrados para os outros cenarios sao consistentes e todos se encon-

tram dentro do intervalo de confianca proposto na distribuicao a priori. Ao utilizar

pontos iniciais proximos do ponto de minimizacao, como no 1o cenario, o numero de

iteracoes e reduzido significativamente, consequentemente, o tempo computacional

gasto tambem.

38

Tabela 5.4: Efeito da estimativa inicial

Operacao/hipotese 1o 2o 3o 4o

Iteracoes 3 13 13 −

Resıduo inicial 44840,5 5, 87× 107 6, 54× 107 6, 51× 108

Resıduo final 44840,2 44989,9 45114,1 −

ωmusc estimado 12, 8× 10−4 13, 8× 10−4 14, 9× 10−4 −

Diferenca relativa 5,9% 1,9 % 10,8 % −

D(ωmusc)

Media das diferencas 0,3% 9,7 % 11,5 % −

relativas MD(X)

A variabilidade detectada nos parametros estimados pode ser explicada devido

a natureza dos erros das medidas simuladas, o que leva a serem encontrados pontos

de mınimos diferentes. Para comprovacao dessa hipotese, e necessario um estudo

estatıstico mais aprofundado capaz de garantir que essa variabilidade seja reduzida

para as suas medias utilizando um numero maior de estimativas.

Novamente, verificando se os parametros estimados possuem uma adequacao

apropriada ao modelo matematico e as medidas simuladas, e preparada a Fig. 5.5.

Mais uma vez, as curvas com os parametros otimizados se sobrepoem e acomodam

com bastante precisao as medidas simuladas, confirmando a execucao do metodo de

otimizacao.

5.4.3 Efeito das incertezas experimentais

No processo de minimizacao da funcao objetivo proposta, as incertezas experimen-

tais sao expressas na forma do desvio padrao das medidas, σmeas. Quanto maior for a

incerteza, maior sera o desvio padrao. Consequentemente, as medidas experimentais

retem menor peso no processo de otimizacao.

Com o objetivo de entender como essa grandeza influencia no problema, sao

propostos 3 cenarios distintos. A distribuicao a priori dos parametros e a estimativa

inicial sao mantidas constantes e sao alteradas as incertezas das medidas, conforme

mostrado na Tab. 5.5.

Realizando o processo de minimizacao da funcao objetivo, sao obtidos os resul-

39

Figura 5.5: Comparacao dos caso das Tabelas 5.3 e 5.4

Tabela 5.5: Analise das incertezas das medidas experimentais

Variavel/hipotese 1o 2o 3o

σj 10 % 10 % 10 %

σj(ωmusc) 50 % 50 % 50 %

ωmusc 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4

σmeas 0,01 ◦C 0,05 ◦C 0,1 ◦C

x0 0, 9P 0, 9P 0, 9P

tados apresentados na Tab. 5.6.

E constatado que o aumento do desvio padrao das medidas ocasiona uma apro-

ximacao dos parametros otimizados as medias das informacoes a priori. Como

comprovado anteriormente, esse aumento de σmeas leva as medidas experimentais a

terem menor peso, aproximando assim os parametros as informacoes a priori obti-

das.

A perfusao sanguınea no 3◦ caso, devido a natureza aleatoria das medidas expe-

rimentais, se distancia do valor da media da informacao a priori. No entanto, em

estudo estatıstico mais aprofundado com um maior numero de medidas experimen-

tais, o valor para a media do parametro otimizado pode ser diferente do encontrado

e pode ser comprovada a hipotese inicial, como ocorre com as medias a priori para

os outros parametros.

40

Tabela 5.6: Efeito das incertezas das medidas experimentais

Operacao/hipotese 1o 2o 3o

Iteracoes 5 6 6

Resıduo inicial 9, 64× 106 2, 15× 106 7, 07× 105

Resıduo final 45093,4 44633,8 45559,1

ωmusc estimado 17, 9× 10−4 12, 5× 10−4 16, 1× 10−4

Diferenca relativa 31,9% 7,2 % 19,2 %

D(ωmusc)

Media das diferencas 5,4% 4,4 % 4,2 %

relativas MD(X)

Os resıduos inicias tambem apresentam uma reducao com a diminuicao da incer-

teza das medidas. Inicialmente, acredita-se que esse fato possa levar uma reducao

consideravel no tempo computacional gasto. No entanto, nao foi constatado uma

melhor eficiencia do metodo, ja que o numero de iteracoes foi, basicamente, o mesmo.

E possıvel observar graficamente como as curvas com os novos parametros cal-

culados pelo grafico disponıvel na Fig. 5.6.

Figura 5.6: Comparacao dos casos das Tabelas 5.5 e 5.6

Mostrando somente as medidas simuladas geradas considerando o 2o caso, por

41

ser um valor intermediario, as curvas se sobrepoem e as diferencas entre elas e

imperceptıvel. Alem disso, foi observado que todas os parametros estao devidamente

distribuıdos dentro do intervalo de confianca proposto na distribuicao a priori. A

superposicao observada ocorre para tempos pequenos, como o utilizado, nao sendo

observada para tempos maiores como mostrado na Fig. 5.7 em um caso hipotetico

com ∆t = 300 s.

Figura 5.7: Resposta da temperatura superficial para os casos da Tabela 5.5 e 5.6

5.4.4 Efeito do numero de medidas

Na pratica, a utilizacao do intervalo de medidas empregado, ∆t = 0, 0020 s, nao e

plausıvel, pois ele esta completamente relacionado com a frequencia de medidas da

temperatura executado pela camera termografica. Sendo assim, e estudado como o

numero de medidas experimentais modifica a estimativa de parametros. Portanto,

sao analisados os casos mostrados na Tab. 5.7.

Os resultados obtidos a partir da minimizacao da funcao objetivo sao apresen-

tados na Tab.5.8.

Como afirmado anteriormente, a utilizacao de um menor numero de medidas

experimentais produz uma funcao objetivo com menos termos, diminuindo assim a

42

Tabela 5.7: Analise do numero de medidas

Variavel/hipotese 1o 2o 3o

σj 10 % 10 % 10 %

σj(ωmusc) 50 % 50 % 50 %

ωmusc 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4 13, 5× 10−4

σmeas 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C

x0 0, 9P 0, 9P 0, 9P

Numero de medidas 15000 1800 90

Frequencia de medidas 167 Hz 20 Hz 1 Hz

Tabela 5.8: Efeito do numero de medidas

Operacao/hipotese 1o 2o 3o

Iteracoes 12 13 13

Resıduo inicial 6, 27× 105 1, 49× 105 4, 87× 103

Resıduo final 15220,0 1819,8 88,8

ωmusc estimado 9, 7× 10−4 14, 4× 10−4 14, 0× 10−4

Diferenca relativa 28,4% 7,0 % 4,0 %

D(ωmusc)

Media das diferencas 11,7% 0,3 % 0,09 %

relativas MD(X)

sua importancia no processo de minimizacao. O mesmo ocorre como citado ante-

riormente quando se aumenta a incerteza sobre as medidas, σmeas. E importante

notar que os valores das medias da informacao a priori se aproximam ao vetor

de parametros estimado. Logo, as informacoes a priori se destacam, por isso essa

reducao.

O resıduo tanto inicial como final diminuem bastante quanto menor o numero

de medidas experimentais. Entretanto, o numero de iteracoes necessarias para a

minimizacao nao se altera, nao contribuindo de maneira significativa para a reducao

de custo computacional, independente do caso simulado para o processo.

.

.

43

Figura 5.8: Comparacao do 1◦ caso apresentado das Tabelas 5.7 e 5.8

Figura 5.9: Comparacao do 2◦ caso das Tabelas 5.7 e 5.8

.

Observando os graficos mostrados nas Figs.5.8, 5.9 e 5.10 , como ja mencionado,

e possıvel notar que as curvas de temperatura se distanciam das medias das medidas

simuladas, conforme diminuem o numero de medidas.

44

Figura 5.10: Comparacao do 3◦ caso das Tabelas 5.7 e 5.8

5.4.5 Efeito da incerteza a priori dos outros parametros

Com intuito de compreender como o grau de conhecimento dos outros parametros

modificam a estimativa de ωmusc, sao propostos 3 cenarios onde sao variados os

desvios padroes dos parametros, exceto o desvio padrao do coeficiente de perfusao

sanguınea do musculo masseter, que se mantem constante.

Alem dos valores de referencia para os parametros (Tab. 3.1 e 3.2), os valores

utilizados na simulacao estao dispostos conforme a Tab. 5.9.

Tabela 5.9: Analise da incerteza dos outros parametros

Variavel/hipotese 1o 2o 3o 4o

σj 10 % 30 % 50 % 75 %

σωmusc 50% 50 % 50 % 50 %

σmeas 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C 0,05 ◦C

x0 0.9P 0, 9P 0, 9P 0, 9P

Numero de medidas 45000 45000 45000 45000

Os resultados da minimizacao estao disponıveis de acordo com a Tab. 5.10.

Observa-se que os cenarios propostos nao possuem nenhuma relacao direta com

os valores de referencia. Isto se deve ao fato de que, quanto maior forem as incerte-

45

Tabela 5.10: Efeito das incertezas dos outros parametros

Operacao/hipotese 1o 2o 3o 4o

Iteracoes 7 18 13 8

Resıduo inicial 3.32× 106 7.83× 106 7.48× 106 6.84× 106

Resıduo final 44888.9 45276.7 44696.6 44571.3

ωmusc estimado 12.3× 10−4 15.9× 10−4 14.7× 10−4 12.7× 10−4

Diferenca relativa 9.1% 17.7 % 9.2 % 5.2 %

D(ωmusc)

Media das diferencas 4.7% 8.9 % 7.3 % 8.9 %

relativas MD(X)

zas dos parametros, os termos da funcao objetivo referentes a distribuicao a priori

tem o seu peso reduzido. Logo, para melhores estimativas do parametro de inte-

resse, todos os outros parametros, de maneira geral, possuem pouco influencia no

processo de minimizacao. Alem disso, e importante notar que as diferencas relativas

(MD(X)) nao variam como esperado (quanto maior a incerteza, mais distantes do

ponto de referencia) , pois a variacao dos erros das medidas experimentais tambem

e limitada por uma distribuicao gaussiana, fazendo com que MD(X) nao aumente

indefinidamente.

Plotando o grafico para essas situacoes, o modelo se adapta como mostrado na

Fig. 5.11

46

Figura 5.11: Comparacao dos casos das Tabelas 5.9 e 5.10

47

Capıtulo 6

Conclusoes e Sugestoes para

Trabalhos Futuros

Conforme a revisao bibliografica, a termografia por infravermelho detem um poten-

cial enorme para utilizacao na medicina. Ela se caracteriza por ser uma tecnica

totalmente segura e efetiva em diagnosticos de doencas, apesar de ainda estar em

desenvolvimento. Para o caso especıfico da desordem temporomandibular, e difıcil

imagina-la como forma unica de diagnostico, devido ao pouco conhecimento sobre

a sua patofisiologia. Mesmo assim, nao deixa de ser uma tecnica promissora.

Foi proposto um modelo matematico para a biotransferencia de calor que se ba-

seia na equacao de Pennes. Fundamentado nisso, foi possıvel simular computacional-

mente as temperaturas de todos os tecidos da regiao de interesse, que posteriormente

sao utilizadas nas estimativas dos parametros por uma abordagem Bayesiana.

Primeiramente, foi desenvolvida a base teorica necessaria que utiliza abordagem

Bayesiana, e depois proposta a funcao objetivo empregada no trabalho. Os resulta-

dos gerados foram consistentes com os esperados. No entanto, as observacoes foram

prejudicadas devido a baixa influencia da alteracao dos parametros sobre a tempe-

ratura em espacos de tempo muito curtos. Se analisado em intervalos maiores, a

alteracao e mais explıcita.

Tendo todos esses termos em vista, o estudo se limita a um tratamento mais

introdutorio para o diagnostico da desordem temporomandibular com uma visao

matematica. Ele cobre uma grande gama de assuntos e hipoteses. No futuro, e

esperado que o presente trabalho possa servir de base para pesquisas mais aprofun-

48

dadas na area com medidas experimentais reais.

Para trabalhos futuros, sao sugeridos alguns procedimentos que podem aumentar

o grau de conhecimento sobre o problema e oferecer maior precisao para as solucoes

encontradas. Algumas delas sao:

A investigacao dos valores das propriedades termofısicas especıficas da regiao

da articulacao temporomandibular (area de interesse do presente estudo) e suas

variabilidades, que costumam variar entre indivıduos e ate mesmo para a mesma

pessoa. Isto podera aumentar a precisao das estimativas dos parametros, ja que as

incertezas dos parametros a priori diminui. Alem disso, uma analise estatıstica com

um numero maior de amostras de parametros estimados tambem e importante para

compreender como se comporta o metodo de otimizacao nessas condicoes.

As estimativas devem ser feitas usando as medidas experimentais reais, nao mais

as simuladas. Elas podem contribuir para confirmar ou descartar a hipotese de

que o coeficiente de perfusao sanguınea diminui no maximo apertamento voluntario

em pessoas com a DTM, medir sua ordem de grandeza como tambem melhorar a

estimativa do vetor de parametros.

Outros metodos de otimizacao devem ser propostos, como o enxame de partıcula

e evolucao diferencial. Todos eles podem ser comparados para avaliar qual melhor

se aplica ao problema. Tambem pode ser interessante desenvolver tecnicas mais

avancadas para as estimativas dos parametro como, Metodo de Monte Carlo com

Cadeia de Markov, que tambem utiliza a abordagem Bayesiana. Elas devem trazer

maior desempenho computacional e parametros estimados mais precisos.

49

Referencias Bibliograficas

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51

Apendice A

Codigo Fonte

A.1 Parametros

N = 31 ; % numero de parametros

Ts=37+273.15; % temperatura do sangue

Tinf =22.5+273.15; %temperatura do meio ex terno ( ar )

h1=10; % c o e f i c i e n t e de conveccao do ar com a p e l e

h2=100; % c o e f i c i e n t e de conveccao i n f i n i t o , gordura . . .

rhos =1060; %massa e s p e c i f i c a do sangue

cps =3770; %c a l o r e s p e c i f i c o

%propr i edades da epiderme

rhoa =1200; %kg /mˆ3 %massa e s p e c i f i c a

cpa =3589; %J/ kg .K %c a l o r e s p e c i f i c o

ka =0.235; %W/m.K %c o n d u t i v i d a d e termica

%alphaa=ka /( rhoa∗cpa ) ;

Qmeta=0.00001; %W/mˆ2 %f l u x o de c a l o r do metabolismo

wsa =0.000001; %1/ s %per fusao

%derme p a p i l a r

rhoc =1200;

52

cpc =3300;

kc =0.445;

%alphac=kc /( rhoc∗cpc ) ;

Qmetc=368.1;

wsc =0.0002∗ (1/2) ;

%derme r e t i c u l a r

rhod =1200;

cpd=3300;

kd =0.445;

%alphad=kd /( rhod∗cpd ) ;

Qmetd=368.1;

wsd =0.0013∗ (1/2) ;

%gordura

rhoe =1000;

cpe =3674;

ke =0.185;

%alphae=ke /( rhoe∗cpe ) ;

Qmete=368.4;

wse =0.0001∗ (1/2) ;

%musculo

rho f =1085;

cp f =3800;

k f =0.51;

%a l p h a f=k f /( r h o f ∗ c p f ) ;

Qmetf =684.2;

wsf =27∗10ˆ−4∗(1/2);

%Parametros a serem est imados

P(1) = h1 ;

53

P(2) = h2 ;

P(3) = rhos ;

P(4 ) = cps ;

P(5 ) = rhoa ;

P(6 ) = cpa ;

P(7 ) = ka ;

P(8) = Qmeta ;

P(9 ) = wsa ;

P(10) = rhoc ;

P(11) = cpc ;

P(12) = kc ;

P(13) = Qmetc ;

P(14) = wsc ;

P(15) = rhod ;

P(16) = cpd ;

P(17) = kd ;

P(18) = Qmetd ;

P(19) = wsd ;

P(20) = rhoe ;

P(21) = cpe ;

P(22) = ke ;

P(23) = Qmete ;

P(24) = wse ;

P(25) = rho f ;

P(26) = cpf ;

P(27) = kf ;

P(28) = Qmetf ;

P(29) = wsf ;

P(30) = Ts ;

P(31) = Tinf ;

%Desvio padrao a p r i o r i dos parametros

54

sigmaP (1) = 0.01∗ h1 ;

sigmaP (2) = 0.01∗ h2 ;

sigmaP (3) = 0.01∗ rhos ;

sigmaP (4) = 0.01∗ cps ;

sigmaP (5) = 0.01∗ rhoa ;

sigmaP (6) = 0.01∗ cpa ;

sigmaP (7) = 0.01∗ ka ;

sigmaP (8) = 0.01∗Qmeta ;

sigmaP (9) = 0.01∗wsa ;

sigmaP (10) = 0.01∗ rhoc ;

sigmaP (11) = 0.01∗ cpc ;

sigmaP (12) = 0.01∗ kc ;

sigmaP (13) = 0.01∗Qmetc ;

sigmaP (14) = 0.01∗wsc ;

sigmaP (15) = 0.01∗ rhod ;

sigmaP (16) = 0.01∗ cpd ;

sigmaP (17) = 0.01∗kd ;

sigmaP (18) = 0.01∗Qmetd ;

sigmaP (19) = 0.01∗wsd ;

sigmaP (20) = 0.01∗ rhoe ;

sigmaP (21) = 0.01∗ cpe ;

sigmaP (22) = 0.01∗ ke ;

sigmaP (23) = 0.01∗Qmete ;

sigmaP (24) = 0.01∗wse ;

sigmaP (25) = 0.01∗ rho f ;

sigmaP (26) = 0.01∗ cp f ;

sigmaP (27) = 0.01∗ kf ;

sigmaP (28) = 0.01∗Qmetf ;

sigmaP (29) = 0.5∗ wsf ;

sigmaP (30) = 0.01∗Ts ;

sigmaP (31) = 0.01∗ Tinf ;

55

Tsup = v o l f i n (P) % funcao de volumes f i n i t o s para a f e r i r a

%temperta tura s u p e r f i c i a l da p e l e

I = length ( Tsup ) ; % Quantidade de medidas ( tempo f i n a l )

sigmameas = 0 . 0 5 ; %d e s v i o padrao medidas

Y = Tsup + sigmameas∗randn (1 , I ) ; %medidas s imuladas

mu = P; %media dos parametros

56

A.2 Funcao Objetivo

% . . . . . . . . . FUNCAO OBJETIVO MAXIMO A POSTERIORI . . . . . . . . . %

function F = MAP(P) % Funcao o b j e t i v o , com os parametros

% como entrada

global Y sigmameas mu sigmaP I N

Tsup = v o l f i n (P) ;% Funcao onde sao a p l i c a d o s os parametros

% e re torna a temperatura s u p e r f i c i a l

% p e l o metodo de e lementos f i n i t o s

for k = 1 : I

F(1 , k ) = (Y(1 , k ) − Tsup (1 , k ) )/ sigmameas ;

end

for k = I +1: I+N

F( k ) = (P(1 , k−I ) − mu(1 , k−I ) )/ sigmaP (k−I ) ;

end

57

A.3 Minimizacao

% . . . . . . . . . LSQNONLIN . . . . . . . . . % ,

global Y sigmameas mu sigmaP I N

%Y = medidas exper imenta i s s imuladas

%sigmameas = d e s v i o padrao das medidas

%mu = v a l o r das medias dos parametros

%sigmaP = dev io padrao a p r i o r i dos parametros

%I = numero de medidas

%N = Numeros de parametros

%P = Parametros em ques tao

%x0 = chute i n i c i a l

%l b = l i m i t a n t e i n f e r i o r

%ub = l i m i t a n t e s u p e r i o r

%resnorm = norma q u a d r a t i c a do r e s i d u o da minimizacao

%F = v e t o r de parametros minimizados

lb = P − 2.576∗ sigmaP

ub = P + 2.576∗ sigmaP

opt ions = opt imopt ions ( ’ l s q n o n l i n ’ , ’ Disp lay ’ , ’ i t e r ’ ,

’ Algorithm ’ , ’ l evenberg−marquardt ’ ) ;

[ x , resnorm , r e s i d u a l , e x i t f l a g , output ] =

l s q n o n l i n (@MAP, x0 , [ ] , [ ] , opt ions ) ;

58