Rosa Leão – 2019

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hoje

Para que serve a inferência estatística ?

Método dos Momentos

Maximum Likehood Estimator (MLE)

Teste de hipótese: definições

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Para que serve a inferência estatística ?

Para qualquer modelo probabilístico é necessário estimar os parâmetros das funções distribuição de probabilidade que serão usadas

A estimativa pode ser feita a partir de dados coletados do sistema

Exemplo: taxa de chegada de clientes no sistema, taxa de serviço de um recurso, taxa de falha de um equipamento, etc

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Para que serve a inferência estatística ?

As estimativas são baseadas nos resultados coletados do sistema durante um certo tempo

O conjunto de todos os resultados possíveis de serem obtidos durante a execução do sistema é denominado população

Em geral somente um sub-conjunto da população está disponível

Métodos de inferência estatística tem o objetivo de estimar características de uma população a partir de um sub-conjunto da população denominado amostra

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A medida que o tamanho da amostra aumenta, as estimativas se tornam mais representativas da população

A inferência estatística envolve as seguintes tarefas:

Estimativa de parâmetros do modelo

Teste de hipotése a respeito de parâmetros e distribuição de probabilidade da população

Para que serve a inferência estatística ?

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Amostra aleatória

Definição:

O conjunto de variáveis aleatórias X1 , X

2 , ...,

XN é uma amostra aleatória de tamanho N da

população que possui a função distribuição F

X(x), dado que elas são independentes e

identicamente distribuídas com FXi(x) =F

X(x),

para todo i e todo x.

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Estatística

Definição:

Qualquer função W(X1 , X

2 , ..., X

N ) calculada

a partir dos valores X1 , X

2 , ..., X

N é chamada

de uma estatística.

Exemplo: média amostral:

variância amostral:

X n=1n ∑i=1

nX i

S2=

1n−1

∑i=1

n X i−X n

2

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Estimador

Definição:

Qualquer estatística (X1 , X

2 , ..., X

N )

usada para estimar um parâmetro da população é chamada um estimador para

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Propriedades desejáveis para um estimador

Não tendencioso (unbiased): na média o estimador deve fornecer o valor verdadeiro.

Eficiente: deve apresentar a menor variância quando comparado com outros

Consistente: deve convergir em probabilidade para o valor verdadeiro

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Estimador não tendencioso

Definição:

Uma estatística (X1 , X

2 , ..., X

N ) é uma

estimador não tendencioso do parâmetro se E[(X

1 , X

2 , ..., X

N )] =

A média amostral e a variância amostral são estimadores não tendenciosos.

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Estimador eficiente

Definição:

Um estimador 1 do parâmetro é mais

eficiente que um estimador 2, dado que:

1 e

2 são estimadores não tendenciosos

de

Var[1 ] ≤ Var[

2] para todo

Var[1 ] < Var[

2] para algum

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Estimador consistente

Definição:

Um estimador do parâmetro é consistente se ele converge em probabilidade para

Onde N é o tamanho da amostra

limN ∞ P [∣−∣]=0

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Métodos para estimativa de parâmetros

Método dos momentos

Método da máxima verossimilhança (maximum likehood)

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Método dos Momentos

Suponha a estimativa de um ou mais parâmetros da variável aleatória X

Defina o K-ésimo momento amostral da v.a. X como:

Igualando o valor obtido para o momento amostral com a expressão do momento da v.a. X, temos uma equação

M k=∑i=1n X i

k /n , i=1, 2, ...

E [X k]=M k

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Método dos Momentos

O número de equações a serem resolvidas é igual ao número de parâmetros que temos que estimar para v.a. X

Exemplo: Se a v.a. X tem três parâmetros, precisamos de três equações:

E [X ]=M 1

E [X 2]=M 2

E [X 3]=M 3

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Método dos Momentos: exemplo

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Maximum likelihood estimation (MLE)

MLE is a method of estimating the parameters of a statistical model given observations, by finding the parameter values that maximize the likelihood of making the observations given the parameters.

Observations Parameters

Compute parameters values that make the observed results the most probable

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Maximum likelihood estimation (MLE)

For example, one may be interested in the heights of adult female penguins, but is unable to measure the height of every single penguin in a population due to cost or time constraints.

Assuming that the heights are normally distributed with some unknown mean and variance, the mean and variance can be estimated with MLE while only knowing the heights of some sample of the overall population.

MLE would accomplish this by taking the observed mean and variance and finding particular parameters values that make the observed results the most probable given the model.

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Método MLE

Função densidade conjunta das v.a. Xi

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Método MLE – função likehood

Função likehood das v.a. Xi

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Método MLE

Objetivo é obter os estimadores de

1

2 , ...,

k que maximizam a probabilidade

de ocorrência da sequência de observações

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Método MLE

Os valores de 1

2 , ...,

k que maximizam

a função likehood são os “maximum likehood estimators-MLE” dos parâmetros

1

2 , ...,

k

Os MLE dos parâmetros são os valores para os quais a sequência de amostras tem a maior probabilidade de ocorrer pois maximizam a função densidade conjunta

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Método MLE: exemplo 1

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Método MLE: exemplo 1Maximizar L(p) é equivalente a maximizar o logaritmo natural de L(p)

Calcular a segunda derivada de ln L(p) e verificar se é negativa para afirmar que o valor encontrado para p maximiza ln L(p)

L p= p∑ x

i 1− pn−∑ x

i ,0 p1ln L p=∑

i=1n x i ln pn−∑

i=1n x i ln 1− p

d ln L pdp

=∑i=1n x i1

pn−∑i=1n xi −1

1− pp=1

n∑i=1n x i

(ln(x))'= 1/x (ln(g(x))'= 1/g(x) * g'(x)

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Método MLE: exemplo 2

d (L(λ))

d (λ)=−n+

1λ ∑

i=1

n

xi

−n+ 1λ∑

i=1

n

xi=0

λ=1n ∑i=1

n

xi

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Testes Estatísticos

São procedimentos que nos permitem decidir quando aceitar ou rejeitar uma determinada hipótese baseados na informação contida em uma amostra

Duas hipóteses devem ser definidas:

Hipótese nula - H0

Hipótese contraditória – H1 : é a hipótese

alternativa que gostaríamos de aceitar caso a hipótese nula seja falsa. Deve ser escolhida de acordo com o interesse.

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Testes Estatísticos: Regiões

O teste é baseado em um conjunto de variáveis aleatórias X

1 , X

2 , ..., X

N que é uma

amostra aleatória de tamanho N da população

O teste irá dividir o espaço de observações em duas regiões:

R(H0) – região de aceitação

R(H1) – região crítica ou de rejeição

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Testes Estatísticos: Tipos de Erros

Tipo de erro I: A hipótese nula (H0) é verdadeira mas

a amostra está na região de rejeição do teste. Logo a hipótese H

0 será rejeitada quando deveria ser aceita.

A probabilidade de ocorrer este erro é também chamada de nível de significância do teste.

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Testes Estatísticos: Tipos de Erros

Tipo de erro II: A hipótese nula (H0) é falsa mas a

amostra está na região de aceitação do teste. Logo a hipótese H

0 será aceita quando deveria ser rejeitada.

A probabilidade de ocorrer este erro é

é chamada a potência do teste (power of the test)

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Testes Estatísticos: Tipos de Erros

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Testes Estatísticos: Tipos de Erros

Verdadeiro positivo

Verdadeiro negativo

Falso positivo

Falso negativo