Rosa – 2012

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojePareto x Lei de PotênciaV.a. ConjuntasEstatística de ordemDistribuição da soma de duas v.a.

Aula passadaExemplos de v. a. contínuas: Hipoexponencial, Erlang, Hiperexponencial, Gamma, Weibull, Normal, Chi­Square, Uniforme, Lognormal, Pareto

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Variável Aleatória Pareto

Tem sido usada para modelar: Tamanho de arquivo web armazenado em provedores Tempo em OFF de uma fonte web (tempo que o usuário está pensando) Tamanho de uma rajada FTPTempo de CPU consumido por um processoTamando de reservatórios de petróleo

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V.a. Pareto V.a. Pareto

f X x = k x−−1 , x≥k ; , k0

F X x=1−kx

E [ X ]=∞ ,≤1k

−1,1

∞ ,≤2k 2

−12−2

,2Var [X ]=

V.a. Pareto possui cauda longa pois média e variância são infinitas para alpha < 1.

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Variável Aleatória Pareto

K = 1, é o menor valor que v.a. pode assumir

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Princípio de Pareto

Para diversos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos provém de 20% das causas

Exemplo: 80% das vendas provém de 20% dos clientes

80% das vendas

20% dos clientes

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Princípio de Pareto: por que é importante ?

É importante saber que a maioria dos resultados vêem de uma minoria:

20% dos trabalhadores contribuem para 80% dos resultados

20% dos bugs contribuem para 80% dos crashes

20% dos usuários contribuem para 80% das vendas

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Cauda longa (Heavy Tail)

Uma v.a. possui cauda longa com índice 0<p<=2 se existe uma constante k tal que para um valor grande de x, tem-se:

1−F X x≈k

x p

onde f x≈g x significa f x =g x1x com lim

x∞

x=0

Uma v.a. de cauda longa possui variância infinita e média infinita para p<=1

Exemplos: Leis de Potência, Pareto, Zipf

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Lei de Potência (Power Law)

Relação matemática entre duas quantidades: número ou frequência de um objeto varia com a potência de algum atributo do objeto (ex: tamanho do objeto, preço do objeto)

y=axbFrequencia do objeto

Tamanho do objeto

A power-law implies that small occurrences are extremely common, whereas large instances are extremely rare80% dos

casos

20% dos casos

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Pareto x Lei de Potência A função distribuição de uma v.a. Pareto segue uma lei de

PotênciaF X x=1−

kx

O Princípio de Pareto é um exemplo de lei de potência:

- 80% das terras da Itália era de propriedade de 20% dos italianos - 80% das vendas provém de 20% dos clientes - 80% dos impostos vem de 20% da população - 80% dos arquivos na Internet tem tamanho pequeno

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Teste para lei de potência

Plotar a CDF em escala log-log.

Em uma lei de potência temos:

Logo em uma lei de potência veremos uma linha reta com inclinação b em um plot log-log.

y=axb , entãolog y =log a b log x

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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial

1−F X x=kx

A distribuição complementar da v.a. Pareto obedece a uma Lei de Potência

Para k=1,=1, temos log 1 / xPara k=1,=2, temos log 1 / x2

Para v.a. Exponencial, temos:

1−FY y=e− x , Para=1, temos log e−x

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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial

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Variáveis Aleatórias Conjuntas

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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades

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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades

Função densidadeMarginal da v.a. X

Função densidadeMarginal da v.a. Y

Função distribuição Marginal da v.a. X

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Função Distribuição Marginal da v.a. X

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Estatística de Ordem: motivação

Suponha que você queira saber a distribuição do tempo de execução de uma tarefa que é composta de várias tarefas em paralelo

Suponha agora que você queira saber a distribuição do tempo até que a primeira tarefa termine

t1

t2

t3

t4

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Estatística de Ordem

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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo

FY 1 y =P [Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]

Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja

Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }

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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo

SeY 1 y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y

P [Y 1 y ]=1−F Y 1 y =1−F X y n ,

FY 1 y =1−1−F X y n

Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }

P [Y 1 y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]

pois X i são i.i.d.

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Estatística de Ordem: distribuição do máximo

FY n y=P [Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]

Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja

Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }

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Estatística de Ordem: distribuição do máximo

Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }

SeY n y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y

P [Y n y ]=F Y n y=F X y n ,

P [Y n y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]

pois X i sãoi.i.d.

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

F Z z=P [Z≤z ]=∬Az

f X ,Y x , ydxdy

Sejam X e Y v.a. independentes

Seja Z=X ,Y =XY ,então

onde AZ é subconjunto emℜ2 tal que

Az={x , y ∣ x , y ≤z}

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

x

y

X+Y=Z

X :−∞ ,∞

Y :−∞ , z−x

X+Y<Z

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

F Z z=∫−∞

∞

∫−∞

z−xf X ,Y x , y dydx

F Z z=∫−∞

∞

∫−∞

zf X ,Y x , t−x dtdx

F Z z=∫−∞

z

∫−∞

∞

f X ,Y x , t−x dxdt

y=t-x

Função densidade da v.a. Z

t=y+x= z

F Z z=∫−∞

z

∫−∞

∞

f X x f Y t−x dxdt

pois X e Y sãoindependentes

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

F Z z=∫−∞

∞

∫−∞

z−xf X ,Y x , y dydx

F Z z=∫−∞

∞

∫−∞

z−xf X x f Y y dydx

pois X e Y sãoindependentes

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Exemplo: Performance de um programa multithread

t1

t2t3

Tempo total de execução

T

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Exemplo: Performance de um programa multithread

t1

t2t3

Tempo total de execução

T

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Exemplo: Performance de um programa multithread

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Exemplo: Performance de um programa multithread

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Exemplo: Performance de um programa multithread