Rosa – 2014

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojeProbabilidade CondicionalIndependência de EventosTeorema da Probabilidade TotalLei de BayesVariáveis AleatóriasPMF, CDF 

Aulas passadasEspaço AmostralÁlgebra de EventosAxiomas deProbabilidadeAnáliseCombinatória

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Probabilidade CondicionalRelacionamento entre a ocorrência de um evento e outros eventos

Qual a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu?Dado que o resultado do experimento aleatório é elemento de B, qual a probabilidade deste ser também elemento de A?

Espaço amostral passa a ser o evento B

SEvento BEvento A

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Probabilidade Condicional

Definição: 

P [A∣B ]=P [A∩B]

P[B]Probabilidadede A dado B

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Eventos IndependentesSejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S

A e B são independentes se 

P [A∩B ]=P [A ]P [B ]

Note que se A e B são independentes, então

P [A∣B ]=P [A∩B ]

P [B ]=

P [A ]P [B ]

P [B ]=P [A ]

2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro

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Regra do produto (1)Teorema :  Considere um conjunto finito                        de eventos tais que os eventos condicionais 

                                   tenham probabilidades positivas. 

Temos que:  

A i /A1∩A2∩...∩A i−1

A1, A2, ..., An

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Regra do produto (2)Para demonstrar basta escrever: 

E reescrever o lado direito da equação usando a definição de probabilidade condicional: 

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Exemplo: Dado e moeda

Evento A: resultado do dado é ímpar

Evento B: resultado da moeda é cara

Eventos A e B são independentes ? S={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),

(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} 

P [A∩B]=P [A]P[B]=1/4

P [A∩B ]

A∩B

P[A] = 1/2,  P[B] = 1/2

= {(1,Ca), (3,Ca), (5,Ca) }

= 3/12 = 1/4

   A e B sãoindependentes!

P [A/B]=P[ A∩B] /P [B]=1/2

6 resultados em 12

3 resultados em 6

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Exemplo: Dois dadosEvento A : os dois dados são pares

Evento B : soma dos dados é menor que 7A e B são independentes?A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4), 

(6,6)}B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), 

(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

P [A∩B ]≠P [A ]P [B ]

P [A∩B ]

A∩BP[A] = 9/36=1/4, P[B]=15/36=5/12

= {(2,2), (2,4), (4,2) }

= 3/36 = 1/12

A e B não sãoindependentes!

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Eventos: Mutuamente Exclusivos x Independentes

Experimento Aletório: Jogar um dado e uma moedaS={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),

(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} 

Evento A: resultado da moeda é cara   P(A) = 1/2

Evento B: resultado da moeda é coroa   P(B) = 1/2

Eventos A e B são independentes ou mutuamente exclusivos?

A∩B=∅ A e B são mutuamenteexclusivos!

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Eventos: Mutuamente Exclusivos x IndependentesEvento A: resultado do dado é maior do que 2

Evento B: resultado da moeda é caraS={(1,Ca),(1,Co),(2,Ca),(2,Co),(3,Ca),(3,Co),

(4,Ca),(4,Co),(5,Ca),(5,Co),(6,Ca),(6,Co)} 

A∩B = { (3,Ca), (4,Ca), (5,Ca), (6,Ca)}

P [A∩B] = 4/12 = 1/3

P [A∩B]=1/3=P [A]P [B]=2 /6

P[A] = 8/12 = 2/3,  P[B] = 1/2

   A e B sãoindependentes!

P [A/B]=P[ A∩B] /P [B]=2 /3

8 resultados em 12

2 resultados em 3

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CondicionamentoRelacionar eventos para calcular probabilidade

Sejam A e B dois eventos, temos que

P [A∩B]P [A∩B] mutuamenteexclusivos

Definição de probabilidadecondicional

P [A]=P [ A∩B∪A∩B ]

=

=

definição deconjuntos

P [A∩B]P [A∩B]

P [A∣B ]P [B]P[A∣B]P [B ]

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Teorema da Probabilidade Total

Generalização do conceito

Seja Bi (i=1,...,n) uma partição do espaço amostral

mutuamente exclusivos, união é igual ao espaço amostral

B1

B2

B3

Bn-1

Bn

. . .A

Considere o evento Aprobabilidade de A ocorrer (em função de B

i)?

P [A]=∑i=1

i=n

P [A∣Bi ]P [Bi ]Teorema da ProbabilidadeTotal

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Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B 

condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso 

 Uso do teorema da probabilidade total

P [B i /A]=(P [A/B i]P [B i])

(∑i=1

i=n

P [A∣B i ]P [B i])P [A]

P [Bi∩A]

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Exemplo 1Técnica (imperfeita) para acusar defeitos em processadores

95% verdadeiro positivo

5% falso positivo

1% dos processadores possuem defeitos

Qual a probabilidade de um processador ser defeituoso dado que o teste foi positivo?Eventos

D : processador defeituoso

T : resultado do teste é positivo

teste acusa defeito quando processadorestá defeituosoteste acusa defeito quando processadorestá ok

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Exemplo 1D : processador defeituoso

T : resultado do teste é positivo

Pergunta: P[D|T] ?

P [D ]=0.01

P [D∣T ]=P[D∩T ]

P [T ]=

P[T∣D ]P[D ]

P [T ]

P [T∣D]=0.95 P [T∣D ]=0.05

P [T ]=P [T∣D ]P [D ]P [T∣D ]P [D ]

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Exemplo 2Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a resposta ou arrisca uma das alternativas. Seja p a probabilidade do estudante saber a resposta e1­p a probabilidade do estudante arriscar adivinhá­la. Assuma que um estudante que arrisca a resposta, acerta a resposta correta com probabilidade 1/m, onde m é o número de alternativas de múltipla escolha. Qual é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a resposta da questão, dado que ele respondeu corretamente ? 

=> Primeiro passo: definição dos eventos

=> Segundo passo: definição da equação a ser usada  

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Exemplo 2Evento C: o estudante responde corretamente 

Evento K: o estudante sabe a resposta 

Se m=5 e p=1/2, então a probabilidade de um estudante saber a resposta de uma questão que ele respondeu corretamente é 5/6.

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Exemplo 3Vamos supor que vamos selecionar 3 cartas em um baralho comum (com 52 cartas) ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos 3 reis?

 Pela regra do produto, temos:

Evento Ai={i­ésima carta retirada é rei}, onde i=1,2,3

Queremos calcular P(A1∩A 2∩A3)

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Exemplo 4Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido pode ser recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido seja corretamente recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 seja recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine:

– Probabilidade que um 1 seja recebido

– Probabilidade que um 0 seja recebido

– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi

recebido

– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi

recebido

– Probabilidade de um erro

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Exemplo 4Definição de eventos:

–               0 é transmitido

–               0 é recebido

–               1 é transmitido

–               1 é recebidoT 1=T 0

R1=R0

T 0

R0

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Exemplo 4Perguntas: 

– Probabilidade que um 1 seja recebido

– Probabilidade que um 0 seja recebido

– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido

– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido

– Probabilidade de um erro

P(R1)

P(R0)

P(T 1/R1)

P(T 0 /R0)

P(R1/T 0)P(T 0)+P(R0 /T 1)P(T 1)

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Exemplo 4Sabe­se que: 

P(R0/T 0)=0.94 ⇒P (R1/T 0)=1−P (R0 /T 0)=0.06P(R1 /T1)=0.91 ⇒P(R0/T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P (T1)=1−P (T 0)=0.55

Cálculo de P(R1) e P(R

0) 

P(R1)=P(R1/T 1)P(T 1)+P (R1/T 0)P (T 0)

0.91∗0.55+0.06∗0.45=0.5545

P(R0)=1−P(R1)=0.4455

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Exemplo 4Sabe­se que: 

P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55

Cálculo de P(T1/R

1) 

P(T 1/R1)=P(T 1∩R1)

P(R1)=

P(R1/T 1)P(T 1)

P(R1)=

0.91∗0.550.5545

=0.9026

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Exemplo 4Sabe­se que: 

P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55

Cálculo de P(T0/R

0) 

P(T 0 /R0)=P(T 0∩R0)

P(R0)=

P(R0/T 0)P(T 0)

P(R0)=

0.94∗0.450.4455

=0.9494

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Exemplo 4Sabe­se que: 

P(R0/T 0)=0.94 ⇒P(R1/T 0)=1−P(R0/T 0)=0.06P(R1/T 1)=0.91 ⇒P(R0 /T 1)=1−P(R1/T 1)=0.09P(T 0)=0.45 ⇒P(T 1)=1−P(T 0)=0.55

Cálculo de P(“Erro”)  

P(Erro)=P(R1/T 0)P (T 0)+P(R0 /T 1)P(T 1)

0.06∗0.45+0.09∗0.55=0.0765

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Variáveis Aleatórias

Necessidade de expressar eventos de forma precisa

Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado

Idéia: Mapear eventos em números reais!

A B C D E

reais

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Exemplo: 1 dado

Considere um dadoGanha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou 3

1 2 3 4 5 6

0 10-5

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Definição de V.A.

Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S

v.a. é uma função (e não uma variável)

imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo)

função não precisa ser bijetora (um­para­um)

X :S ℜ

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Exemplo: 2 dados

Considere dois dados (vermelho e preto)

Espaço amostral:S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 

       (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }

Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados

Inversa de X

eventos que levam a um certo valor de X

X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

X i , j =i j

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Função probabilidade de massa (pmf)

Associar probabilidade a valores de uma v.a.

Seja X uma v.a. (discreta)

Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x

notação de pmf (probability mass function)

{s∣X s=x }

pX x =P [X =x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x

P [s]

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Propriedades da função probabilidade de massa

onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir 

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Exemplo: 2 dados

Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados

Defina a pmf de X

Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? 

= 1/36

= 2/36

= 3/36

X=2 : {(1,1)}

X=3 : {(1,2), (2,1)}

X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}

. . .

pX x =P [X =x ]

pX 2=P [X =2]

pX 3=P [X =3]

px 4=P [X =4]

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Exemplo: 2 dadospmf, graficamente

x (valor que X pode assumir)

P [

X =

x]

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Função distribuição cumulativa (cdf)

Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)

Dada v.a. X, temos

notação da cdf (cumulative distribution function)

FX(x) é não decrescente

Limite quando x tende a infinito é 1

F X x =P [X x ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx

P [ s ]

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Propriedades da função distribuição cumulativa