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Associação Diocesana de Ensino e Cultura de Caruaru

FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE CARUARU

Reconhecida pelo Decreto 6399 de 15.01.69 D.O. 17-01-69

CURSO: ADMINISTRAÇÃO

Prof. Wellington Marinho Falcão

AULA 3

1

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Temos uma urna com uma bola nº 1, duas bolas nº 2, três bolas nº 3, duas bolas nº 4 e uma bola nº 5.

Sua distribuição de probabilidade tomaria a seguinte forma:

Tiremos do conjunto universo acima todas as amostras possíveis de 2 elementos. As amostras serão retiradas com reposição e tiremos as médias destas amostras.

1 2 2 3 3 3 4 4 5

1 1 1,5 1,5 2 2 2 2,5 2,5 3

2 1,5 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5

2 1,5 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5

3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4

3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4

3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4

4 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5

4 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5

5 3 3,5 3,5 4 4 4 4,5 4,5 5

FIG.2

2

O conjunto de valores 1, 2, 3, 4 e 5 (as bolas da urna) forma o conjunto universo cuja distribuição se vê na FIG.1.

O que fizemos para a FIG.2 foi construir uma nova distribuição com as 81 médias amostrais de tamanho n = 2, ou seja, é posível se retirar com reposição 81 amostras de 2 elementos do conjunto universo da FIG.1. Esta nova distribuição se chama distribuição das médias amostrais.

Para a população Ω

N = 9

X = 1,2,3,4,5

A média µ será calculada da seguinte forma:

Xi fi Xifi

1 1 1

µ =

2 2 4

3 3 9 4 2 8 5 1 5

Média µ = 3

E o desvio padrão σ para o conjunto universo Ω?

σ =

9=∑ fi

∑ = 27fixi

39

27==

∑∑

fi

xifi

2²

− ∑∑

N

fixi

N

fixi

3

Xi² fi fiXi2

1 1 1

σ=

4 2 8 9 3 27 16 2 32 25 1 25

Agora calculemos a média e o desvio padrão para a distribuição das médias amostrais.

Xi fi Xifi Xi² Xi²fi

1 1 1 1 1

1,5 4 6 2,25 9

2 10 20 4 40

2,5 16 40 6,25 100

3 19 57 9 171

3,5 16 56 12,25 196

4 10 40 16 160

4,5 4 18 20,25 81

5 1 5 25 25

=

Perceba que a média da distribuição das médias amostrais é igual à média da distribuição do conjunto universo: µ =

∑ = 93²fixi

15,133,19

27

9

932

==

−

∑ = 81fi

∑ = 243fixi

∑ = 783² fixi

381

243==

∑∑

fi

xifi

Xµ

Xµ

XσXµ

4

=

Observe que se fizermos ,onde n é o tamanho da amostra, teremos:

Pelo Teorema do Limite Central a distribuição das médias amostrais de amostras de tamanho n tem média igual à do conjunto universo e desvio padrão igual ao desvio padrão do conjunto universo dividido pela raiz quadrada do tamanho das amostras.

A distribuição das médias amostrais tomaria a seguinte forma:

FIG.3

Perceba a forma de sino acima (se ligarmos os pontos). Neste teorema a distribuição das média amostrais será normal mesmo que a distribuição do conjunto universo não o seja.

81,081

243

81

7832

=

−

n

σ

81,02

15,1==

n

σ ,ou seja,

nX

σσ =

Xσ

BIBLIOGRAFIA

Introdução Ilustrada à Estatística – autor: Sérgio Francisco Costa – Editora Harbra

Estatística e Introdução à Econometria – autor: Alexandre Sartoris – Editora Saraiva

Estatística Aplicada à Gestão Empresarial – autor: Adriano Leal Bruni – Editora Atlas

Estatística Fácil – autor Antônio Arnot Crespo – Editora Saraiva