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ACH2138 Modelagem e Simulação de Sistemas Complexos

Introdução à Inferência

Teorema do Limite Central Intervalos de Confiança

Prof. Marcelo S. Lauretto [email protected] www.each.usp.br/lauretto

Referência:

W.O.Bussab, P.A.Morettin. Estatística Básica, 6ª Edição. São Paulo: Saraiva, 2010 – Capítulo 10

Seções mais relevantes para nossa disciplina: 7, 8, 9

1

1. Inferência Estatística: Introdução

• Definição de Inferência Estatística:

– Processo de aprender (inferir/generalizar) as características

de uma população a partir de uma amostra

– As características da população são denominadas parâmetros

• Usualmente, não são observáveis diretamente

– As características da amostra são denominadas estatísticas

• São observadas / computadas a partir dos dados

• Contraste com a Estatística Descritiva:

– Estatística descritiva foca exclusivamente nas propriedades

dos dados observados

– Não se assume que os dados vieram de uma população maior

– Não há preocupação com a generalização para a população

2

1. Inferência Estatística: Introdução

• Principais problemas da inferência estatística:

– Estimação

• Derivação de estimativas pontuais e intervalos estatísticos para os

parâmetros

– Testes de hipóteses

– Previsão

3

2. População e Amostra

• Definição:

– População é o conjunto de todos os elementos ou resultados

sob investigação.

– Amostra é qualquer subconjunto da população.

• Exemplo 10.1 (adaptado): Salários dos moradores de um bairro

– Consideremos uma pesquisa para estudar as remunerações

dos moradores de um bairro em São Paulo (população)

– Seleciona-se uma amostra de 2000 moradores daquele bairro

– Esperamos que a distribuição observada dos salários na

amostra reflita a distribuição de todos os salários – desde que

a amostra tenha sido escolhida com cuidado.

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• Exemplo 10.3: Duração de lâmpadas

– Suponha que o interesse seja investigar a duração de um

novo tipo de lâmpada

– Uma amostra de 100 lâmpadas do novo tipo são deixadas

acesas até queimarem, e a duração (h) de cada lâmpada é

registrada

– População: universo de todas as lâmpadas fabricadas ou a

serem fabricadas por essa empresa sob o mesmo processo

• Impossível observar toda a população:

– Ensaio destrutivo

– Não é possível conhecer todas as lâmpadas que ainda serão

produzidas

5


• Exemplo 10.5: Moeda

– Suponha que, no lançamento de uma moeda específica,

consideramos a variável aleatória X definida como:

• X = 1 se a moeda der cara; X = 0 se der coroa

– A probabilidade da moeda dar cara, denotada por p, é

desconhecida. Ou seja, Pr 𝑋 = 1 = 𝑝, Pr 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝

– Para poder conhecer melhor a moeda e podermos fazer

algumas inferências sobre 𝑝, lançamos a moeda 50 vezes e

contamos o número de caras observadas.

– A população pode ser considerada como tendo distribuição de

Bernoulli com parâmetro 𝑝.

– A amostra será uma sequência de 50 números 0’s e 1’s.

6

3. Problemas de Inferência

• Exemplos de formulações e problemas de inferência:

• Retornando ao Exemplo 10.5 – moeda

– Indicando por Y o número de caras obtidas depois de lançar a

moeda 50 vezes, se pudermos assumir que os lançamentos

são independentes e realizados aproximadamente sob as

mesmas condições, sabemos que Y segue uma distribuição

binomial, 𝑌 ∼ 𝐵𝑖𝑛 50, 𝑝

– Suponha que, após os lançamentos da moeda, tenham

ocorrido 36 caras.

• Podemos concluir que a moeda é “honesta”?

– Problema de teste de hipótese

• Supondo que tenhamos concluído que a moeda não é honesta (ou seja,

concluímos que 𝑝 ≠ 1/2), qual é a melhor estimativa para 𝑝?

– Problema de estimação 7

5. Amostragem aleatória simples

• A amostragem aleatória simples (AAS) é a maneira mais fácil para seleção de uma amostra probabilística de uma população

• Para populações finitas, onde se tem uma listagem de todas as N unidades elementares, pode-se atribuir um número sequencial para cada elemento, e em seguida sortear-se n desses números (por métodos manuais ou por rotinas computacionais)

• Todos os elementos têm a mesma probabilidade de ser selecionados

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• Amostragem pode ser feita com reposição ou sem reposição

– Amostragem sem reposição: fornece maior quantidade de

informação (pois mais elementos distintos são observados)

– Amostragem com reposição: tratamento teórico mais simples

• Implica em independência entre as unidades selecionadas

• Facilita o desenvolvimento das propriedades dos estimadores

– Para efeitos práticos, quando a população é grande e a

amostra é relativamente pequena, a diferença entre as duas

formas se torna baixa

• Por exemplo, em uma amostra de tamanho 200 de uma população de

1.000.000, a probabilidade de repetição de pelo menos um elemento é

de aproximadamente 2%

– Neste curso, o plano amostral considerado será o de

amostragem aleatória simples com reposição 9


• Exemplo 10.7 (adaptado):

– Uma urna (população) contém cinco tiras de papel,

numeradas 1,3,5,5,7

– Defina a variável X como sendo o valor assumido por um

elemento retirado ao acaso da população. A distribuição de X

é dada pela Tabela 10.1 abaixo

– Suponha que duas tiras sejam retiradas ao acaso da urna,

com reposição.

– Denote por 𝑋1 e 𝑋2 os números sorteados na 1ª e na 2ª

extração 10


• Exemplo 10.7 (cont):

– A distribuição conjunta do par 𝑋1, 𝑋2 pode ser calculada

diretamente por Pr 𝑋1, 𝑋2 = Pr 𝑋1 Pr 𝑋2 , já que 𝑋1 e 𝑋2 são

independentes. Exemplos:

• Pr 1,1 = Pr 1 Pr 1 =1

5

1

5=

1

25

• Pr 1,5 = Pr 1 Pr 5 =1

5

2

5=

2

25

• Tabela 10.2 apresenta as probabilidades de todos os pares

– Além disso, as distribuições marginais de 𝑋1 e 𝑋2 (somas das

linhas e das colunas na tabela anterior) são independentes e

iguais às distribuições de X.

11



– Desse modo, cada uma das 25 possíveis amostras de

tamanho 2 que podemos extrair dessa população corresponde

a observar uma realização particular da variável aleatória

conjunta (𝑋1, 𝑋2), com 𝑋1 e 𝑋2 independentes e Pr 𝑋1 = 𝑥 = Pr 𝑋2 = 𝑥 = Pr(𝑋 = 𝑥), para todo 𝑥.

– Essa é a caracterização de amostra casual simples que

usaremos nesta disciplina.

12


13




– As distribuições marginais de 𝑋1 e 𝑋2 (somas das linhas e das

colunas na tabela anterior) são independentes e iguais às

distribuições de X.

– Desse modo, cada uma das 25 possíveis amostras de

tamanho 2 que podemos extrair dessa população corresponde

a observar uma realização particular da variável aleatória

conjunta (𝑋1, 𝑋2), com 𝑋1 e 𝑋2 independentes e Pr 𝑋1 = 𝑥 =Pr 𝑋2 = 𝑥 = Pr(𝑋 = 𝑥), para todo 𝑥.

– Essa é a caracterização de amostra casual simples que

usaremos nesta disciplina.

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• Definição:

– Uma amostra aleatória simples de tamanho 𝑛 de uma variável

aleatória 𝑋, com dada distribuição, é o conjunto de 𝑛 variáveis

aleatórias independentes 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, cada uma com a

mesma distribuição de 𝑋.

– A amostra será a 𝑛-upla ordenada (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), onde 𝑋𝑖

indica a observação do 𝑖-ésimo elemento sorteado.

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• Note que amostras aleatórias obtidas sem reposição não satisfazem à definição acima.

– Tomando o Exemplo 10.7 (urna com cinco tiras), suponha que

𝑋1 e 𝑋2 sejam retirados sem reposição

– Note que 𝑋1 e 𝑋2 não são independentes, e a distribuição de

probabilidades de 𝑋2 após a retirada de 𝑋1 não é igual à

distribuição original. P.ex.

• Pr 𝑋2 = 1|𝑋1 = 1 = 0 ≠ Pr 𝑋2 = 1 =1

5

• Pr 𝑋2 = 3|𝑋1 = 1 =1

4≠ Pr 𝑋2 = 3 =

1

5

• Pr 𝑋2 = 5|𝑋1 = 1 =1

2≠ Pr 𝑋2 = 5 =

2

5

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• Problemas:

17

(d) Responder ao item (b) por meio de simulação (gerando 10.000 pares de famílias e calculando suas probabilidades através das respectivas frequências); comparar os resultados com os do item (b)

6. Estatísticas e parâmetros

• Obtida uma amostra, quase sempre desejamos usá-la para produzir alguma característica específica

• Por exemplo, se quisermos calcular a média da amostra (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), esta será dada por

– Note que 𝑋 também uma variável aleatória!

(Pois só é conhecida após a observação da amostra)

• Outras características da amostra também serão funções do vetor (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).

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• Definição:

– Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, uma

estatística 𝑇 é uma função de 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛.

Notação: 𝑟(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

• Algumas estatísticas comuns são:

19


• Algumas estatísticas comuns são (cont):

• Em inferência estatística, usamos nomenclaturas distintas para as características da amostra e da população.

20


• Definição:

– Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma

característica da população.

• Assim, se estivermos colhendo amostras de uma população, identificada pela variável aleatória X, seriam parâmetros a média 𝐸(𝑋) e a variância Var(𝑋).

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• Símbolos mais comuns para parâmetros e estatísticas:

22


• Símbolos mais comuns para parâmetros e estatísticas:

23

7. Distribuições amostrais

• O problema da inferência é fazer uma afirmação sobre os parâmetros da população através da amostra

• Digamos que nossa afirmação deva ser feita sobre um parâmetro 𝜃 da população (p.ex. média, variância ou qualquer outra medida)

• Suponha que foi adotada uma AAS de n elementos sorteados dessa população.

• Nossa decisão será baseada na estatística T, que será uma função da amostra (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), isto é, 𝑇 = 𝑟(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

• Colhida a amostra, teremos observado um particular valor de T, digamos 𝑡0, e baseados nesse valor é que faremos a afirmação sobre 𝜃, o parâmetro populacional

24


• Esquema de inferência sobre 𝜃

25

Figura 10.1 (a): Esquema de inferência sobre


• A validade da afirmação (inferência) sobre 𝜃 depende de conhecermos o que ocorreria com a estatística T, se pudéssemos retirar todas as amostras da população (usando o mesmo plano amostral).

• Ou seja, deveríamos conhecer qual seria a distribuição de T se pudéssemos calcular T para todos os valores possíveis de (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).

• Essa distribuição é chamada distribuição amostral da estatística T e desempenha papel fundamental na teoria da inferência estatística frequentista.

– Obs: Na inferência Bayesiana, busca-se conhecer a

distribuição do próprio parâmetro populacional 𝜃 sem

necessidade do conceito de distribuição amostral; todavia,

essa abordagem não será estudada nesta disciplina. 26


• A distribuição amostral pode ser compreendida esquematicamente conforme figura 10.1 (b), onde se tem:

– Uma variável aleatória X na população segue uma distribuição

de probabilidade 𝑋 ∼ 𝑓(𝑥|𝜃), onde 𝜃 é o parâmetro de

interesse

– Todas as amostras retiradas da população, de acordo com um

procedimento de amostragem pré-definido

– Para cada amostra, calcula-se o valor 𝑡 da estatística 𝑇

– Os valores 𝑡 formam uma nova população, cuja distribuição

recebe o nome de distribuição amostral de 𝑇

27


28

Figura 10.1 (b): Distribuição amostral da estatística T


• Exemplo 10.9:

– Voltemos ao exemplo 10.7, no qual consideramos a seleção

de amostras de tamanho 2, com reposição, da população

{1, 3, 5, 5, 7}

– Consideremos a distribuição da estatística

𝑋 =𝑋1 + 𝑋2

2

– Essa distribuição é obtida com o auxílio da Tabela 10.2

• Por exemplo, 𝑋 = 1 somente ocorre o par (1,1) e portanto

Pr 𝑋 = 1 = 1/25.

• 𝑋 = 3 ocorre para os pares {(1,5), (3,3), (5,1)} e portanto

Pr 𝑋 = 3 =2

25+

1

25+

2

25=

5

25=

1

5.

29


30




– Procedendo de maneira análoga para os demais valores que

𝑋 pode assumir, obtemos a Tabela 10.3

31



– Distribuições amostrais de outras estatísticas de interesse

podem ser obtidas:

– P.ex:

32

7. Distribuições amostrais • Exemplo 10.5 (cont):

– No caso do lançamento de uma moeda 50 vezes, usando

como estatística

Y = número de caras obtidas,

a obtenção da distribuição amostral, que já foi vista, é feita por

meio do modelo binomial 𝐵𝑖𝑛 50, 𝑝 , onde p denota a

probabilidade de ocorrência de cara em um lançamento,

0 < 𝑝 < 1.

– Suponha que, na realização do experimento, obtivemos

Y = 36 caras

– Se a moeda fosse honesta, a probabilidade de se obterem 36

ou mais caras em 50 lançamentos seria da ordem de 1/1000

– Ou seja, se a moeda fosse honesta, o resultado observado

(36 caras) seria muito pouco provável, o que indica que a

probabilidade de cara é maior do que meio, ou seja, 𝑝 > 0,5.

33



34

7. Distribuições amostrais • Exemplo 10.5 (cont):

– Outra forma de calcular Pr 𝑌 ≥ 36 𝑝 = 0.5 : Simulação

1. Sorteie M valores 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑀, cada qual com distribuição 𝐵𝑖𝑛 50, 𝑝 .

M deve ser um número moderado (p.ex. M=10000)

2. A probabilidade Pr 𝑌 ≥ 36 𝑝 = 0.5 será estimada por

Pr 𝑌 ≥ 36 𝑝 = 0.5 =|𝐴|

𝑀, emque 𝐴 = quant.valores𝑌𝑖 ≥ 36

– Exemplo de script em R:

M = 10000

Y = rbinom(n=M, size=50, prob=0.5)

hist(Y, breaks=100)

prY = length(which(Y>=36)) / M

print(prY)

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• Exemplo 10.8:

– Considere a retirada de uma AAS de 5 alturas (em cm) de

uma população de mulheres cujas alturas X seguem a

distribuição normal N 167; 25 (𝜇 = 167, 𝜎2 = 25, 𝜎 = 5)

– Qual seria a distribuição amostral da mediana das 5 alturas

retiradas da população?

– Como não podemos gerar todas as possíveis amostras de

tamanho 5 da população, é possível simular, via Excel ou R,

um conjunto grande de amostras de tamanho 5, calcular a

mediana de cada amostra e em seguida calcular algumas

estatísticas de interesse sobre as medianas calculadas

36



– No exemplo do livro, os autores geraram 200 amostras de

tamanho 5 (denotadas por 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋200) e obtiveram os

seguintes resultados:

– Os resultados indicam que a distribuição amostral de md deve

ser próxima de uma normal, com média próxima de 𝜇 = 167 e

desvio padrão menor do que 𝜎 = 5.

– Figura 10.3 apresenta o histograma dos valores das medianas

obtidos nas 200 amostras

37



38



– Simulação em Excel de amostras deste exemplo para estimar

as distribuições da média e da mediana:

1. Cada amostra 𝑋𝑖 = (𝑋𝑖1, 𝑋𝑖2, 𝑋𝑖3, 𝑋𝑖4, 𝑋𝑖5) é gerada pelo método da

transformação inversa1: Para cada elemento 𝑋𝑖:

a) Gerar um número 𝑈 com distribuição uniforme no intervalo [0,1]

» Excel: função ALEATÓRIO

b) O número 𝑋𝑖 é dado pela equação𝑋𝑖 = 𝐹−1(𝑈), onde 𝐹−1(𝑝) denota aqui o inverso da função de distribuição acumulada normal

com média 167 e desvio padrão 5

» Com esse procedimento, 𝑋𝑖~𝑁(167,25)

» Excel: função INV.NORM.N

– Fórmula em Excel: =INV.NORM.N(ALEATÓRIO(), 167, 5)

• (continua no próximo slide)

39

1Referência:Sheldon Ross. A First Course in Probability. 8th Ed. – Seção 10.2.1



– Simulação em Excel de amostras deste exemplo para estimar

as distribuições da média e da mediana (cont):

2. Repetir o procedimento 1 para gerar um número grande de amostras

p.ex. 10.000 amostras

3. Calcular a média/mediana para cada amostra

4. Organizar k blocos para o histograma (p.ex. k=20):

– maxmed: máximo das médias (ou das medianas) calculadas sobre as

amostras

– minmed: mínimo das médias (ou das medianas) calculadas sobre as

amostras

– Para i=0 até k:

limite(i) = i * (maxmed-minmed)/k + minmed

5. Gerar o histograma através do suplemento “Análise de Dados”

– Planilha Excel disponível na página da disciplina 40



– Resultados:

• Média:

𝐸 𝑋 = 160.03; 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 4.9; 𝑑𝑝 𝑋 = 2.21; min 𝑋 = 152.51;max 𝑋 = 168.76

• Mediana:

𝐸 𝑚𝑑 = 160.06; 𝑉𝑎𝑟 𝑚𝑑 = 7.11; 𝑑𝑝 𝑚𝑑 = 2.67; min 𝑚𝑑 = 149.62;max 𝑚𝑑 = 169.64

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– Script em R para simulação:

mu = 167

sigma = 5

alturas = rnorm(n=5*M, mean=mu, sd=sigma)

X = matrix(alturas, ncol=5)

medias = apply(X, 1, mean)

print(c(mean(medias), var(medias), sd(medias),

min(medias), max(medias)))

hist(medias, breaks=100)

medianas = apply(X, 1, median)

print(c(mean(medianas), var(medianas), sd(medianas),

min(medianas), max(medianas)))

hist(medianas, breaks=100)

44


• Problemas

45


• Problemas

46

8. Distribuição amostral da média

• Estudaremos a distribuição amostral da estatística 𝑋 , a média da amostra

• Consideremos uma população identificada pela variável 𝑋, cujos parâmetros média populacional 𝜇 = 𝐸(𝑋) e variância populacional 𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) são supostamente conhecidos

• Vamos retirar todas as possíveis AAS de tamanho n dessa população, e para cada uma calcular a média 𝑋

• Em seguida, consideremos a distribuição amostral e estudemos suas propriedades

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• Exemplo 10.10:

– Voltemos ao Exemplo 10.7

– A população {1,3,5,5,7} tem média 𝜇 = 4,2 e variância

𝜎2 = 4,16. A distribuição amostral de 𝑋 está na Tabela 10.3,

da qual obtemos

– Analogamente, encontramos

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝𝑖𝑖 (𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋 )2= 𝑝𝑖𝑖 𝑥𝑖 2 − 𝐸 𝑋 2, resultando em

48


• Exemplo 10.10:

– Verificamos dois fatos:

• A média das médias amostrais coincide com a média populacional

• A variância de 𝑋 é igual à variância de X, dividida por 𝑛 = 2

– Esses fatos não são casos isolados.

– O resultado a seguir mostra que isso vale no caso geral

49


50

Obs: As propriedades mencionadas na prova acima são que, se 𝑋1, … , 𝑋𝑛 são variáveis aleatórias independentes, então a média de suas somas é igual à soma de suas médias, e a variância de suas variâncias é igual à soma de suas variâncias


• O desvio padrão da distribuição amostral de uma estatística 𝑇 = 𝑟(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)é usualmente denominado erro padrão

– Termo adotado para evitar confusão entre o desvio padrão de

𝑋e o desvio padrão de 𝑇

– Por essa razão, é usual nos referirmos a 𝜎/ 𝑛 (o desvio

padrão de 𝑋 ) como o erro padrão de 𝑋

51



– Para a população {1,3,5,5,7}, vamos construir os histogramas

das distribuições de 𝑋 para 𝑛 = 1,2 e 3

52



53



54



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– Observe nos histogramas que, conforme o tamanho da

amostra (n) vai aumentando, o histograma tende a se

concentrar cada vez mais em torno de E 𝑋 = 𝐸 𝑋 = 4.2, já

que a variância vai diminuindo.

– Quando n for suficientemente grande, o histograma alisado

aproxima-se de uma distribuição normal.

– Essa aproximação pode ser verificada analisando-se os

gráficos da Figura 10.5 (próximos slides), que mostram o

comportamento do histograma de 𝑋 para várias formas da

distribuição da população e vários valores do tamanho da

amostra n.

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57


58

População


59

População


60

População


• As observações empíricas nos gráficos anteriores de que 𝑋 se aproxima de uma distribuição normal para valores grandes de n são consequência do Teorema do Limite Central (TLC), apresentado abaixo:

• Embora não seja apresentada a demonstração desse teorema, o importante é saber como esse resultado pode ser usado

61


• Exemplo 10.11 (Teorema do Limite Central):

– Suponha que uma máquina empacotadora de café está

regulada para encher pacotes cujos pesos X (em gramas)

devem seguir uma 𝑋 ∼ 𝑁(500,100) – média de 500g e desvio

padrão de 10g

– Denotamos por X o peso de um pacote enchido pela máquina

– Suponha que nosso interesse seja avaliar se essa máquina

está regulada

– Para isso, colhemos uma amostra de 𝑛 = 100 pacotes e

pesando-os

– Pelo Teorema do Limite Central, 𝑋 deverá ter uma distribuição

normal com média 500g e variância 100/100=1, e portanto seu

desvio padrão será de 1g.

62


• Exemplo 10.11:

– Logo, se a máquina estiver regulada, a probabilidade de

obtermos uma amostra de 100 pacotes com média diferindo

de 500g por uma diferença menor que dois gramas será

onde Z é a transformação de padronização de 𝑋 :

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎/ 𝑛

– Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do

intervalo (498, 502).

– Se observarmos uma média fora desse intervalo, podemos

considerar como um evento raro, e será razoável supor que a

máquina esteja desregulada.

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– No corolário acima, basta notar que se usou a transformação

de padronização de 𝑋

• A variável aleatória 𝑒 = 𝑋 − 𝜇 é chamada erro amostral da média; o resultado abaixo é imediato.

𝑒

𝜎/ 𝑛=

𝑋 − 𝜇

𝜎/ 𝑛∼ 𝑁(0,1)

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• O parâmetro 𝜎𝑋 = 𝜎/ 𝑛 é usualmente denominado erro padrão da média amostral 𝑋

– Tecnicamente, esse parâmetro é na realidade o desvio padrão de 𝑋 , mas

usa-se o termo erro padrão para não confundir com o desvio-padrão da

variável original X.

• O Teorema do Limite Central afirma que a distribuição de 𝑋 aproxima-se da distribuição normal quando n tende a infinito

• A rapidez dessa convergência depende da distribuição original da população da qual a amostra é retirada (ver Figura 10;5)

– Se a população original tem uma distribuição próxima da normal, a

convergência é rápida

– Se a população original se afasta muito de uma distribuição normal, a

convergência é mais lenta

• precisamos de amostras maiores

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• Problemas:

66

Dicas: Para o item (a), calcule 𝐹−1 0.1 𝜇, 𝜎 = 10), para valores de 𝜇 = 500, 501, 502,… onde 𝐹−1 denota a função quantil (inversa) da distribuição normal; escolha o menor valor de 𝜇 para o qual 𝐹−1 0.1 𝜇, 𝜎 = 10) ≥ 500; para o item (b), calcule Pr(𝑋 < 500)

9. Intervalos de confiança

• Intervalos de confiança são intervalos estatísticos baseados na distribuição amostral de um estimador pontual

• Exemplo 11.12:

– Suponha que queiramos estimar a média 𝜇 de uma população

qualquer, e para tanto usamos a média 𝑋 de uma amostra de

tamanho n. Do TLC,

com 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎𝑋 2 = 𝜎2/𝑛.

– Desse resultado podemos determinar a probabilidade de

cometermos erros de determinadas magnitudes

67



– Por exemplo,

ou

que é equivalente a

e, finalmente,

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• É importante lembrar que, sob o ponto de vista frequentista, 𝜇 não é uma variável aleatória e sim um parâmetro, e a expressão (11.33) deve ser interpretada da seguinte maneira:

• Se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos (aleatórios) da forma 𝑋 − 1.96𝜎𝑋 , 𝑋 + 1.96𝜎𝑋 , todos baseados em amostras de tamanho n, 95% deles conteriam o parâmetro 𝜇.

– Figura 11.13 mostra o funcionamento e o significado de um

intervalo de confiança (IC) para 𝜇, com 𝛾 = 0.95 e 𝜎2

conhecido

• Dizemos que 𝛾 é o coeficiente de confiança

• Escolhida uma amostra e encontrada sua média 𝑥 0, e admitindo-se 𝜎2 conhecido, podemos construir o intervalo

𝑥 0 − 1.96𝜎𝑋 , 𝑥 0 + 1.96𝜎𝑋 (11.34)

• Esse intervalo pode ou não conter o parâmetro 𝜇, mas pelo exposto acima temos 95% de confiança de que contenha.

69


• Figura 11.3: significado de um IC para 𝜇, com 𝛾 = 0.95

70


• Para ilustrar, consideremos o seguinte experimento de simulação:

– Foram geradas 20 amostras de tamanho 𝑛 = 25 de uma distribuição

normal com média 𝜇 = 5 e desvio padrão 𝜎 = 3

– Para cada amostra foi construído o intervalo de confiança para 𝜇, com

coeficiente de confiança 𝛾 = 0.95:

𝜎𝑋 =3

25=

3

5= 0.6 ⟹ 1.96𝜎𝑋 = 1.176

ou seja, cada intervalo é da forma 𝑋 ± 1.176

– Figura 11.4 apresenta os intervalos obtidos, dentre os quais 3 intervalos

(amostras 5, 14 e 15) não contêm a média 𝜇 = 5

• Exercício:

– Repetir a simulação descrita acima, com 1000 amostras de tamanho

𝑛 = 25 e demais parâmetros similares ao exemplo

– Calcular a proporção de intervalos contendo a média 𝜇 = 5

71


• Figura 11.4: Intervalos de confiança para a média de uma 𝑁(5,9), para 20 amostras de tamanho 𝑛 = 25

72


• Usando a aproximação pela distribuição normal (Eq. 11.34), para um coeficiente de confiança qualquer 𝛾, teremos que usar

o valor 𝑧𝛾 tal que P −𝑧𝛾 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛾 = 𝛾, com 𝑍~𝑁(0,1). O valor

de 𝑧𝛾 é calculado por

𝑧𝛾 = −Φ−11 − 𝛾

2

– Outra forma de calcular 𝑧𝛾: 𝛼 = (1 − 𝛾); 𝑧𝛾 = Φ−1 1 −𝛼

2

• O intervalo fica então:

𝑋 − 𝑧𝛾𝜎𝑋 , 𝑋 + 𝑧𝛾𝜎𝑋 (11.37)

• Observe que a amplitude do intervalo (11.37) é 𝐿 = 2𝑧𝛾𝜎/ 𝑛,

que é uma constante, independente de 𝑋

– Se construirmos vários intervalos de confiança para o mesmo valor de 𝑛, 𝜎

e 𝛾, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude 𝐿

73


• Se o desvio padrão populacional 𝜎 não for conhecido, podemos substituir em (11.37) 𝜎𝑋 pelo desvio padrão amostral 𝑠, dado por:

𝑠2 =1

𝑛 − 1 (𝑋𝑖 − 𝑋 )2

𝑛

𝑖=1, 𝑠 = 𝑠2

Assim, podemos estimar 𝜎𝑋 por:

𝜎 𝑋 = 𝑠𝑛

– Para n grande, da ordem de 100 ou superior, o intervalo

(11.37) pode ser usado com 𝜎 𝑋 no lugar de 𝜎𝑋

• Em simulação, utiliza-se normalmente 𝑛 ≫ 100, e portanto essa

aproximação pode ser usada sem problemas.

• Quando n é pequeno, é mais adequado construir o intervalo de confiança

usando a distribuição t de Student ao invés da distribuição normal padrão

(assunto não abordado nesta disciplina, pela razão exposta no item

acima). 74

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