estatÍstica bÁsica - teste de hipóteses para a média · teste para a m edia exemplo uma m...
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ESTATISTICA BASICATeste de hipoteses para a media
Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/
[email protected] – sala 07
Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA
Teste para a media
Exemplo
Uma industria usa, como um dos componentes das maquinas que produz,um parafuso importado, que deve satisfazer a algumas exigencias.
Uma dessas e a resistencia a tracao.
Esses parafusos sao fabricados por alguns paıses, e as especificacoes tecnicasvariam de paıs para paıs.
Por exemplo, o catalogo do paıs A afirma que a resistencia media a tracaode seus parafusos e de 145kg, com desvio padrao de 12kg.
Ja para o paıs B, a media e de 155kg e desvio padrao 20kg.
Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, sera leiloado a um precomuito convidativo.
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Teste para a media
Para que a industria saiba se faz ou nao uma oferta, ela necessita saber qualpaıs produziu tais parafusos.
O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilao sera divulgada aresistencia media x de uma amostra de 25 parafusos do lote.
Suponha que interessa a industria fazer uma proposta apenas no caso doparafuso ser de origem B.
Qual a regra de decisao deve ser usada pela industria para dizer se os para-fusos sao do paıs B ou de outros paıses?
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Teste para a media
Suponha que no dia do leilao, fossemos informados de que x = 148.
Qual decisao tomar?
Podemos estar errados na decisao?
E possıvel que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente mediade x = 148?
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Teste para a media
Hipoteses
H0 : os parafusos sao de origem B
⇒ X segue uma distribuicao com media µ = 155
H1 : os parafusos nao sao de origem B
⇒ X segue distribuicao desconhecida media µ =?
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Teste para a media
As hipoteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo
H0 : µ = 155
H1 : µ 6= 155 (Hipotese bilateral)
H0 : µ = 155
H1 : µ < 155 (Hipotese unilateral a esquerda)
H0 : µ = 155
H1 : µ > 155 (Hipotese unilateral a direita)
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Teste para a media
As hipoteses podem ser representadas de forma mais sucinta, por exemplo
H0 : µ = 155
H1 : µ 6= 155 (Hipotese bilateral)
H0 : µ = 155
H1 : µ < 155 (Hipotese unilateral a esquerda)
H0 : µ = 155
H1 : µ > 155 (Hipotese unilateral a direita)
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Teste para a media
Regiao Crıtica (RC)
RC = { x : x ≤ xc1 ou x ≥ xc2 }
RC = { x : x ≤ xc1}
RC = { x : x ≥ xc2 }
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Teste para a media
Regiao Crıtica (RC)
RC = { x : x ≤ xc1 ou x ≥ xc2 }
RC = { x : x ≤ xc1}
RC = { x : x ≥ xc2 }
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Teste para a media
Erro Tipo I: dizer que os parafusos nao sao de B quando na realidade sao.
Erro Tipo II: dizer que os parafusos sao de B quando na realidade nao sao.
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Teste para a media
A probabilidade de cometer um erro tipo I ou tipo II pode ser representadapor:
P( Erro Tipo I ) = P(X ∈ RC |H0 e verdadeira ) = α
P( Erro Tipo II ) = P(X 6∈ RC |H0 e falsa ) = β
RC: Regiao crıtica.
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Teste para a media
Fixando α = 5% tem-se
5% = P( Erro tipo I ) = P( X < xc1 ou X > xc2 | X ∼ Normal(155; 16) )
= P (Z < −1, 96 ou Z > 1, 96)
e onde obtem-se
−1, 96 =xc1 − 155
4⇒ xc1 = 147, 16
e
1, 96 =xc2 − 155
4⇒ xc1 = 162, 84
com regiao crıtica
RC = {x : x < 147, 16 ou x > 162, 84}
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Teste para a media
Exemplo
Uma maquina automatica para encher pacotes de cafe enche-os segundouma distribuicao normal, com media µ e variancia sempre igual a 400g2.
A maquina foi regula para µ = 500g .
Periodicamente uma amostra de 16 pacotes e colhida para verificar se aproducao esta sob controle, isto e µ = 500g ou nao.
Se uma dessas amostras apresentar media x = 492g , deve-se parar aproducao para regular a maquina ou nao?
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Teste para a media
1. Definindo a v.a. X como sendo o peso de cada pacote, tem-se que
X ∼ Normal(500g , 400g2)
e as hipoteses a serem testadas serao:{H0 : µ = 500gH1 : µ 6= 500g
2. O peso medio amostral dos pacotes e dado pela estatıstica
X ∼ Normal(500g , 25g2
)
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Teste para a media
3. Fixando α = 1%. A regiao crıtica sera dada por
−2, 58 =xc1 − 500
5⇒ xc1 = 487, 1
e
2, 58 =xc2 − 500
5⇒ xc2 = 512, 9
e portanto
RC = {x : x < 487, 1g ou x > 512, 9g}
4. A media obtida da amostra e x = 492g . Como
x 6∈ RC ⇒ H0 nao deve ser rejeita
5. Conclusao: O desvio da media da amostra pode ser considerado comodevido apenas ao sorteio aleatorio dos pacotes.
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Exercıcios
Exercıcios
Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto temdistribuicao normal, com desvio padrao 2kg .
A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria oproduto da linha de producao se a media de consumo per capita fosse menorque 8kg . Caso contrario, continuaria a fabrica-lo.
Foi realizado uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25indivıduos, e verificou-se que
∑25i=1 Xi = 180Kg , em que Xi representa
consumo mensal do i-esimo indivıduo da amostra.
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Exercıcios
1 Construa um teste de hipotese adequado, utilizando α = 0, 05, e combase na amostra colhida determine a decisao a ser tomada pela direto-ria.
2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisao errada se, na realidade,a media populacional for µ = 7, 8Kg?
3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisao seria a mesma? Jus-tifique.
4 Se o desvio da populacao fosse 4Kg , qual seria a decisao, com α =0, 05? Justifique.
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Exercıcios
1 Construa um teste de hipotese adequado, utilizando α = 0, 05, e combase na amostra colhida determine a decisao a ser tomada pela direto-ria.
2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisao errada se, na realidade,a media populacional for µ = 7, 8Kg?
3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisao seria a mesma? Jus-tifique.
4 Se o desvio da populacao fosse 4Kg , qual seria a decisao, com α =0, 05? Justifique.
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Exercıcios
1 Construa um teste de hipotese adequado, utilizando α = 0, 05, e combase na amostra colhida determine a decisao a ser tomada pela direto-ria.
2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisao errada se, na realidade,a media populacional for µ = 7, 8Kg?
3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisao seria a mesma? Jus-tifique.
4 Se o desvio da populacao fosse 4Kg , qual seria a decisao, com α =0, 05? Justifique.
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Exercıcios
1 Construa um teste de hipotese adequado, utilizando α = 0, 05, e combase na amostra colhida determine a decisao a ser tomada pela direto-ria.
2 Qual a probabilidade β de se tomar uma decisao errada se, na realidade,a media populacional for µ = 7, 8Kg?
3 Se a diretoria tivesse fixado α = 0, 01, a decisao seria a mesma? Jus-tifique.
4 Se o desvio da populacao fosse 4Kg , qual seria a decisao, com α =0, 05? Justifique.
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