estatística aula 05 distribuição de freguência prof. diovani milhorim

Estatística

Aula 05

Distribuição de freguência

Prof. Diovani Milhorim


TABELA PRIMITIVA OU ROL:

Vamos considerar a forma pela qual podemos descrever os dados estatísticos resultantes de variáveis quantitativas, como nos casos de notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salários recebidos pelos operários de uma fábrica etc.



Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:

A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva.



A maneira mais simples de organizar os dados é através de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.



Analisando o rol da figura anterior:Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maior (173 cm); que a amplitude de variação foi de 173 – 150 = 23 cm; e, ainda, a ordem que um valor particular da variável ocupa no conjunto.

Com um exame mais acurado, vemos que há uma concentração das estaturas em algum valor entre 160 cm e 165 cm e, mais ainda, que há poucos valores abaixo de 155 cm e acima de 170 cm.



No exemplo anterior a variável em questão, estatura, será observada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido.



Denominamos freqüência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela chamada de distribuição de freqüência:



Mas o processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito espaço mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, o agrupamento dos valores em vários intervalos.

Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 ├ 158, diremos que nove alunos têm estaturas entre 154, inclusive, e 158 cm.

Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos chamar os intervalos de classes.



Notação: Nas distribuições de freqüência, usar-se-a as seguintes convenções, usuais em Matemática e na Estatística:

0 ┤10 – corresponde a valores de variável maiores do que zero (excluído este) e até dez, inclusive. 0├ 10 – corresponde a valores da variável, a partir de zero, inclusive, e até dez, exclusive. 0 – 10 – corresponde aos valores da variável maiores do que zero (exclusive este) e até dez (exclusive este). 0 ├┤10 – corresponde os valores da variável, a partir de zero (inclusive) e até dez (inclusive).



Chamamos de freqüência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe, os dados da tabela anterior podem ser dispostos como na tabela abaixo, denominada distribuição de freqüência com intervalos de classe:


Elementos de uma Distribuição de freguência

Classe:

Classes de freqüência ou simplesmente classes são intervalos de variação da variável.

As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,...k (onde k é o número total de classes da distribuição).

Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 ├ 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribuição e formada de seis classes, podemos afirmar que k = 6.



Limites de Classes:

Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.

O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).

Na segunda classe, por exemplo, temos: l2 = 154 e L2 = 158.

Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 886/66 do IBGE, em termos de desta quantidade até menos aquela, usando o símbolo ├ (inclusão de li e exclusão de Li). Assim, o indivíduo com altura de 158 cm está na terceira classe (i = 3) e não na segunda.



Amplitude de um intervalo de classe (hi)

Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe.

Ela é obtida pela diferença entre os limites superiores e inferiores dessa classe e indicada por hi. Assim:



Amplitude total da distribuição (AT)

Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):

AT = L (máx.) – l (mín.)



Amplitude amostral (AA)

Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra:

AA = x(máx.) – x(mín.)



Ponto médio de uma classe (xi)

Ponto médio de uma classe (xi) e, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a média aritmética das de cada intervalo de classe.



Freguência simples e absoluta de uma classe

Freqüência simples ou freqüência absoluta ou, simplesmente freqüência de uma classe ou de um valor individual é o número de observações correspondente a essa classe ou a esse valor.

A freqüência simples é simbolizada por fi (lemos f índice i) ou freqüência da classe i.

Assim, em nosso exemplo, temos: f1 = 4; f2 = 9; f3 = 11; f4 = 8; f5 = 5; f6 = 3



Classe de maior freguência e classe de menor freguência.

Denomina-se classe de maior freqüência ou modal àquela em que se verifica o maior número de freqüências, e analogamente, de menor freqüência àquela em que se verifica o menor número de freqüências.

No nosso exemplo, a maior freqüência se verifica no intervalo de classe 3 porque nele estão incluídos o maior número de alunos e a menor freqüência no intervalo de classe 6, onde estão incluídos o menor número de alunos.



Classe de maior freguência e classe de menor freguência.

A soma de todas as freqüências é representada pelo símbolo do somatório:

É evidente que:

Para a distribuição em estudo, temos:



Podemos, agora, dar à distribuição de freqüência das estaturas dos quarenta alunos do Colégio A, a seguinte representação tabular técnica:


Números de classes:

A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de freqüência, é a determinação do número de classes, a amplitude e os limites dos intervalos de classe.Quando o resultado não é exato, devemos arredondá-lo para mais.

Em nosso exemplo, temos:

Para n = 40 i = 6 h = 173 – 150 / 6 h = 23 / 6

h = 3,8 = 4, isto é, seis classes de intervalos iguais a 4.


Exercício:

As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1 2 3 4 5 6 6 7 7 8

2 3 3 4 5 6 6 7 8 8

2 3 4 4 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 7 7 8 9

a) Construa a tabela de distribuição de freguência considerando a existência de 5 classes.


Exercício:

b) Agora, responda:

1. Qual a amplitude amostral?

2. Qual a amplitude da distribuição?

3. Qual o número de classes da distribuição?

4. Qual o limite inferior da quarta classe?

5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?

6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?


Exercício:

c) Complete:

1. h3 =

2. n =

3. li =

4. L3 =

5. x2 =

6. f5 =


Freqüência simples ou absoluta: (fi)

São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe.

∑ fi = n

Freqüência Relativa: (fri)

são os valores das razões entre as freqüências simples e a freqüência total.

fri = fi / ∑fi


Freqüência acumulada (Fi)

Chama-se freqüência acumulada de uma classe à soma da freqüência absoluta da classe com as das classes inferiores.

Fk = f1 + f2 + ... + fk ou Fk = ∑fi (i = 1, 2, ..., k)

Freqüência acumulada relativa (Fri)

É a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição.

Fri = Fi / ∑fi


Considerando a tabela 5, podemos montar a seguinte tabela com as freqüências estudadas:


DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA SEM INTERVALO DE CLASSE:

Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a distribuição é chamada distribuição sem intervalos de classe, tomando a seguinte forma:


DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA SEM INTERVALO DE CLASSE:

Exemplo:

Seja x a variável “número de cômodos das casas de vinte famílias entrevistadas”

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