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Associação Diocesana de Ensino e Cultura de Caruaru

FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE CARUARU

Reconhecida pelo Decreto 6399 de 15.01.69 D.O. 17-01-69

CURSO: ADMINISTRAÇÃO

Prof. Wellington Marinho Falcão

AULA 10

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COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIAS E ANÁLISE DE VARIÂNCIA

Primeiramente vamos comparar duas médias cujas amostras sejam grandes n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30, casuais, independentes e as variáveis de interesse forem, no mínimo, de 3º nível.

A fórmula para o caso acima é:

�� = ����� − �����(��)�� + �(�)�

GLIB = n1 + n2 – 2

H0: µ1 = µ2

Ha: µ1 ≠ µ2

Outra condição necessária é a de que as variâncias possam ser consideradas iguais e que as diferenças verificadas se devam ao acaso, tendo na população-mãe, distribuição normal.

Vejamos um exemplo:

1º) Alcebíades deseja provar que o QI das loiras é tão alto quanto o das morenas, por isso, ele pega uma amostra aleatória de 31 loiras e uma outra de 31 morenas, coletando os seguintes QIs:

X1 = QI das loiras

2

90 125 85 95 140 150

145 100 110 105 125 125

95 105 95 120 130 105

90 110 115 135 75 85

105 125 60 140 100 130

145 125 65 130 75 110

125 100 120 120 85 85

105 90 100 95

130 90 85 100

x1 = QI das loiras x2 = QI das morenas

As estatísticas para as loiras são:

n1 = 31

��1 = 104,6774

s²(x1) = 399,8925

As estatísticas para as morenas são:

n2 = 31

��2 = 107,2581

s²(x2) = 546,3978

Parto da hipótese probanda (H0) de que os QIs médios são iguais e que a ligeira superioridade em prol das morenas se deve ao acaso.

Calculando t0, para aceitarmos H0 precisamos que:

- tc ˂ t0 ˂ tc

�� = ���,��������,������,���� ����,���

= - 0,45

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Para α = 5% com 6º0 graus de liberdade. GLIB = 31+ 31 -2 = 60

Te mos tc = 2

Como -2 ˂ -0,45 ˂ 2 aceito H0, isto é, loiras e morenas, em média, têm o mesmo QI

Nota:

Se pelo menos umas das amostras for menor que 30, a fórmula será:

�� = ����� − ���� ! ∑ �� + ∑ �(�� + � − 2)$ %�� + ����� &

GLIB = n1 + n2 – 2

H0: µ1 = µ2

Ha: µ1 ≠ µ2

2º) Queremos comparar o QI médio de um grupo de crianças bem nutridas (n1 =6) com o de um outro grupo de crianças mal nutridas (n2 =8)

BEM NUTRIDAS

MAL NUTRIDAS X1 X1 - '�= x1 X1²

X2 X2 - '�= x2 X2² 115 -2,67 7,11

98 0,25 0,06 118 0,33 0,11

89 -8,75 76,56 116 -1,67 2,78

96 -1,75 3,06 110 -7,67 58,78

102 4,25 18,06 125 7,33 53,78

100 2,25 5,06 122 4,33 18,78

100 2,25 5,06

����� = 117,6667 ( �� =141,33

102 4,25 18,06

95 -2,75 7,56

���� = 97,75 ( � =133,50

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�� = ���,���)�,��%���,��*���,�+�,�*- &%�,��.�& = 7,71 GLIB = n1 + n2 - 2 = 12 e α = 5%

tc = 2,18. Como t0 > tc, recuso H0 e aceito Ha, ou seja, alimentação influi na inteligência.

Até agora estávamos comparando duas médias. E se quisermos fazer comparações entre três ou mais méidas?

Usamos a Análise de Variância

Vejamos:

Um zootecnista quer comparar a produção diária de leite em função de três tipos de ração (A, B e C) dadas às vacas leiteiras. Escolhemos para o nosso experimento 15 vacas da mesma raça e idade. Por sorteio estas são subdivididas em três grupos e cada grupo será alimentado com uma ração diferente de maneira idêntica.

Para α = 5%

LITR

OS

DE

LEI

TE RAÇÕES

A B C

30 50 58

25 8 32

35 48 46

40 65 40

46 36 59

∑ 176 207 235

MÉDIAS 35,2 41,4 47

H0: µA = µB = µC

Ha: Há pelo menos uma diferença

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Utilizemos a seguinte técnica

XA XB XC ∑ XA² XB² XC² ∑

30 50 58 138 900 2.500 3.364 6.764

25 8 32 65 625 64 1.024 1.713

35 48 46 129 1.225 2.304 2.116 5.645

40 65 40 145 1.600 4.225 1.600 7.425

46 36 59 141 2.116 1.296 3.481 6.893

∑ 176 207 235 618 6.466 10.389 11.585 28.440

Ti T ∑∑X²

VT = ∑∑X² - /²1��1-�1� = 28.440 – ���²����� = 2.978

VE = ∑ %/2-12 & - /-1��1-�1� =

���-� + ��-

� + 3�-� + ���-

����� = 348

VD = VT – VE = 2.878 – 348 = 2.630

Mas quem são VT, VE e VD?

VD são os somatórios dos quadrados das variações dentro de cada grupo (A,B,C), ou seja, pegamos a produção de cada vaca do grupo A, por exemplo, subtraímos da produção média de A ('7 ����=35,2) e elevamos ao quadrado, idem para B e C. VD = 2.630 chama-se somatório das variações dentro dos grupos.

VE é o somatório dos quadrados das diferenças entre a média geral e as médias de cada grupo, sendo '7 ����= 35,2 e a diferença seria 35,2 – 41,2 que é média geral (618 / 15 = 41,2) desta diferneça se eleva ao quadrado, idem para B e C,onde ao invés de se usar '7 ����, usaria '8 ���� e '9 ���� respectivamente.

VT é a soma dos quadrados das diferenças entre a produção de cada uma das 15 vacas e média geral (618 / 15 = 41,2).

Perceba que VT = VE + VD

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O detalhamento disto virá ...as soon as possible.

Precisamos saber os graus de liberdade de VT, VE e VD.

VT possui GLIB = total de vacas -1 = 15 -1 = 14

VE possui GLIB = total de grupos -1 = 3 -1 = 2

VD possui GLIB que é o número de elementos por grupo -1 vezes o número de grupos = (5 -1) x 3 = 12

Perceba que GLIBVT = GLIBVE +GLIBVD 14 = 2 + 12

Façamos o quadro resumo:

GLIB

variância estimada

F0

VE 348 2 348/2=174 174/219,17=0,79

VD 2.630 12 2.630/12=219,17 VT 2.978 14

Procuramos na tabela da Distribuição F de Snedecor para α = 5% com 2 GLIB no numerador e 12 GLIB no denominador e achamos Fc = 3,89

Se F0 > Fc rejeito Ho

Se F0 < Fc não rejeito H0

Como 0,79 < 3,89, não rejeito H0, ou seja, µA = µB = µC

Isto nos leva a concluir que a rações, e trocadas entre si é o mesmo que trocar seis por meia dúzia.

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BIBLIOGRAFIA

Introdução Ilustrada à Estatística – autor: Sérgio Francisco Costa – Editora Harbra

Estatística e Introdução à Econometria – autor: Alexandre Sartoris – Editora Saraiva

Estatística Aplicada à Gestão Empresarial – autor: Adriano Leal Bruni – Editora Atlas

Estatística Fácil – autor Antônio Arnot Crespo – Editora Saraiva