Estatística 1. Introdução

O uso de pesquisa é cada vez mais utilizado nas várias atividades humanas. Exemplos: a) Utiliza-se a pesquisa para saber qual a emissora de rádio mais ouvida da cidade. b) As pesquisas eleitorais indicam as preferências dos eleitores.

A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha da amostra, a coleta e a organização dos dados (informações), o resumo desses dados (em tabelas ou gráficos) e a interpretação dos resultados.

A parte da matemática que trata desse assunto é a Estatística. População e amostra Se quisermos saber, por exemplo, qual a matéria favorita dos alunos da turma 101 da Escola Estadual de Ensino médio Afonso Maurer, podemos consultar todos os alunos da turma. No entanto, se quiséssemos saber qual a matéria preferida de todas as turma de primeiro ano do Brasil, seria inviável consultar um a um desses alunos que constituem a população total de alunos de primeiro ano do Ensino médio. Recorremos então ao que se chama de amostra,ou seja, um grupo de alunos do primeiro ano, que consultados permitem que se chegue ao resultado mais próximo da realidade.

Responda: 1) Na pesquisa antropológica realizada no nosso projeto qual é a população e a amostra obtida?

Indivíduo ou objeto Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto. Exemplos:

a) Em uma pesquisa de intenção de votos o objeto são as pessoas entrevistadas. b) Quando se consideram algumas marcas de lâmpadas para testar a durabilidade, cada marca é um objeto da

pesquisa. Responda: 2) E a pesquisa antropológica realizada no nosso projeto o que é o objeto?

Variáveis: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Variável qualitativa: quando apresentam como valores uma qualidade dos indivíduos pesquisados. Ex: Quando se tratar de pessoas as variáveis podem ser: sexo, cor de cabelo, esporte favorito,.... Variável quantitativa: Quando as variáveis de uma pesquisa podem ser medidas ou contadas.

Variável quantitativa discreta: pode ser contadas. Ex: Número de irmãos(0,1,2,3,...)

Variável quantitativa contínua: pode ser medidas. Ex: Altura de uma pessoa (1,55m; 1,70m; 1,80m,...)

3) Responda: Novamente nos reportando para a pesquisa antropológica, existem diversas variáveis presentes nesta pesquisa: Cite duas variávies qualitativas? E possui variáveis quantitativas, qual?

Exercício proposto:

1) Uma concessionária de automóveis tem cadastrados 3 500 clientes e fez uma pesquisa sobre a

preferência de compra em relação a “cor” (branca, vermelha ou azul), “preço”, “número de portas”

(duas ou quatro) e “estado de conservação” (novo ou usado). Foram consultados 210 clientes. Diante

dessas informações responda:

a) Qual a população e amostra da pesquisa?

b) Quais são as variáveis e qual é o tipo de cada uma?

c) Quais os possíveis valores da variável “cor” nessa pesquisa.

Frequência: Número de vezes que o valor de determinada variável éobservado. Frequência absoluta (fi) de cada variável é o número de vezes que essa variável aparece. Frequência relativa(fr) de cada variável é a razão entre a frequência absoluta e o número total de elementos. Exemplos: Suponha que entre um grupo de turistas, participantes de uma excursão, tenha sido feita uma pesquisa sobre a nacionalidade de cada um e que o resultado dela tenha sido o seguinte: Pedro: Brasileiro; Ana: Brasileira; Ramón: espanhol; Laura: Espanhola; Claudia: Brasileira; Sérgio: Brasileiro; Raul: Argentino; Nelson: Brasileiro; Silvia: Brasileira; Pablo: Espanhol. Responda:

1) Qual é a variável? O numero de vezes que a variável é citada representa a frequência absoluta daquele valor:

2) Encontre a frequência absoluta(fi) de cada um dos valores: Brasileira: Espanhola: Argentina:

Existe também a frequência relativa(fr), que registra a frequência absoluta em relação ao total de citações. Nesse exemplo temos:

Frequência relativa da nacionalidade brasileira:

6 em 10 ou 10

6ou

5

3ou 0,6 ou 60%

3) Encontre a frequência relativa(fr) das demais nacionalidades:

Obs: a frequência relativa pode ser expressa em fração, decimal ou porcentagem. Tabela de frequência É uma tabela que mostra a variável e suas realizações, com frequências absolutas e relativas. Vamos preencher a tabela de frequência do exemplo anterior:

Nacionalidade fi fr

Exercícios:

1) Um grupo de alunos foi consultado sobre o time paulista de sua preferência, e os votos foram registrados assim: Santos , Palmeiras , Corinthians , São Paulo Construa a tabela de frequência correspondente a essa pesquisa.

Tabelas de frequência quantitativa Podemos nos deparar com duas situações, vamos tomar como exemplo um grupo de aluno nos quais foram registrados a idade em (anos) o “peso” (em quilogramas) e a altura (em metros).

Primeira situação: Vamos elaborar a tabela de frequência da variável idade:

Idade (em anos) fi fr (fração) fr(%)

Total

Segunda situação: Para a variável altura aparecem muitos valores diferentes, o que torna inviável colocar uma linha para cada valor. Em casos como esse, agrupamos os valores em intervalos (ou classes), como veremos a seguir: 1º) Calcula-se a diferença entre a maior e a menor altura registrada, obtendo a amplitude total: 2º) escolhemos o número de intervalos (geralmente superior a quatro), consideramos um número conveniente (um pouco acima da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada intervalo (classe). Um número um pouco acima de 0,17m pode ser 0,18m Se quisermos 6 classes: 0,18m:6=0,03m A partir do menor valor adicionamos 0,03m teremos: 1,62 + 0,03=1,65m O primeiro intervalo será 1,62 1,65 O símbolo indica intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.

Altura(em classes) Fi Fr (decimal)

Fr(%)

1,62 1,65 2 0,10 10

Total

1) Responda: a) Quantos alunos tem altura variando entre

1,68m e 1,77m?

b) Quanto por cento dos alunos tem altura de 1,65m e 1,68m?

c) Quantos alunos tem altura inferior a 1,74m?

d) Quantos alunos tem altura superior a 1,74m?

Terceira situação Usando os dados da mesma pesquisa, elabore a tabela de frequências da variável “peso” com seus valores agrupados em 5 classes:

1) Os salários, em reais, dos empregados de uma empresa foram tabulados, resultando na distribuição de frequência a seguir:

De acordo com a tabela, responda:

Tabelas e Gráficos Os dados depois de tratados podem ser apresentados em tabelas. As tabelas devem ter os seguintescomponentes: • Título: Precede a tabela e explica, em poucas palavras, o dado em estudo. Se for o caso, indica o tempo e o lugar a que os dados se referem. • Cabeçalho: Especifica o conteúdo de cada coluna • Coluna Indicadora: Especifica em cada linha os valores que os dados podem assumir. • Corpo da tabela: Apresenta a frequência dos dados. • Fonte: Especifica a entidade, o pesquisador ou pesquisadores que forneceram os dados, quando esses não foram coletados por você.

A organização dos dados em tabelas de frequência proporciona um meio eficaz de estudo do comportamento de características de interesse. Muitas vezes, a informação contida nas tabelas pode ser mais facilmente visualizada através de gráficos. Meios de comunicação apresentam, diariamente, gráficos das mais variadas formas para auxiliar na apresentação das informações. Órgãos públicos e empresas se municiam de gráficos e tabelas em documentos internos e relatórios de atividades e desempenho. Graças à proliferação de recursos gráficos, cuja construção tem sido cada vez mais simplificada em programas computacionais, existe hoje uma infinidade de tipos de gráficos que podem ser utilizados.

a) Qual é o número de classes da distribuição:

b) Qual a amplitude de cada classe?

c) Quantos funcionários tem salário inferior a R$950,00?

d) Qual a porcentagem aproximada de funcionários com salário igual ou superior a R$750,00? E inferior a R$1350,00?

Vamos definir quatro tipos básicos de gráficos: Gráfico colunas ou barras: é a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barra). Matéria favorita dos alunos da Escola X

Gráfico linha: utiliza a linha poligonal para representar a série:

Gráfico se setores (ou gráfico de pizzas):É construído com base em um círculo, e é empregado sempre que

desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos

setores quantas são as partes. Obtemos cada setor por uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da

série corresponde 360º.

Gráfico Histograma: é usado quando uma variável tem seus valores indicados por classes.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

1 2 3 4

Em

mil

to

nela

das

Tempo em Anos

ProduçãoBrasileira de Carvão Mineral Bruto

Medidas de tendência central

São medidas utilizadas principalmente para a descrição de dados. Neste caso o que se deseja encontrar são os valores representativos do conjunto de dados, de modo a resumir ao máximo as observações sobre os dados em questão. Exemplos de situações que envolvem medidas de tendência central:

Com base na idade das pessoas de um grupo podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo.

Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos terminar uma só temperatura que fornece a ideia aproximada de todo o período.

Iremos estudar as seguintes medidas de tendência central: Média, moda e mediana. Media aritmética (MA)

Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos.

4,215

107

5

2024212022MA

Dizemos que a média aritmética ou simplesmente média de idade do grupo é 21,4 anos.

Se ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram-se 14ºC às 6h, 15ºC às 7h, 15ºC às 8h, 18ºC às 9h, 20ºC às10h e 23º às 11h, encontre amédia aritmética:

Dizemos, então que no período das 6h Às 11h a temperatura média é _____

Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores nxxxxx ,...,,,, 4321 de uma variável, a média

aritmética é:

n

xxxxMA n...,321

Média aritmética ponderada (MP): Um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2); 7,0 na pesquisa (peso 3); 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho da equipe (peso 2) a sua média será:

25,68

54

8

1462113

2132

0,720,610,735,62MP

Resolva: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? Pense na seguinte situação: Um grupo de pessoas com idade de 2,3,2,1,2 e 50. Se fossemos calcular a média de idade deste grupo será que utilizando média aritmética conseguiríamosdemostrar as características desse grupo em termos de idade? Em casos como esse são usadas outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana.

Moda ( OM )

É medida de tendência central definida como o valor que mais frequente de um grupo de valores observados.

No exemplo do grupo de pessoas com idade de 2,3,2,1,2 e 50, a moda é OM = 2anos.

No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola e

cujos registros foram15min, 14min, 18min, 15min, 14min, 25min, 16min, 15min, 15min e 16min. OM =____

Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5;0 e 6;0 encontre a moda: Chama-se bimodal. Obs: quando não há repetição de números não há moda.

Mediana ( Me)

Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:

O número que ocupar a posição central se n for ímpar;

A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par. Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3,5,2,0,1,3,4,5,7,0,2,3,4 e 7. Em ordem crescente temos:

Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8º. Logo a mediana é 3, ou seja, Me=____

As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16,14,12,13,16,16 e 17anos. Inicialmente colocamos os valores em ordem crescente ou decrescente. Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois termos centrais, que são o 4º e 5º termo. Logo a mediana é dada por: Exercícios:

1) Durante os sete primeiros jogos de um campeonato, um time marcou, respectivamente, 3,2,1,1,4,3 e 2 gols. Determine: a) A média de gols por partida (MA)

b) A moda ( OM )

c) A mediana ( Me )

2) De segunda-feira a sábado, os gastos com alimentação de uma pessoa foram 15,13, 12,10,14 e 14 reais:

Determine: d) A média diária de gastos (MA)

e) A moda ( OM )

f) A mediana ( Me )

Média aritmética, moda e mediana com base nas tabelas de frequência. Exemplos: 1º)Pesquisa sobre o número de irmãos de cada alunos de uma classe.

Média aritmética Obs: embora 1,35 irmão aparentemente seja um absurdo, é correto um valor deste tipo, assim como 3,5 gols por partida, pois a média aritmética é uma medida de tendência. Moda Mediana Como o total de frequências é 40(número par), os valores centrais são o 20º e 21º. Colocando em ordem crescente temos:

Logo, Me =

2º) Pesquisa sobre o “peso” (em quilograma) de um grupo de pessoas.

Com base na tabela em que os pesos estão agrupados em classes, consideramos, em cada classe o seu valor médio e anexamos uma nova coluna a tabela.

Agora, podemos calcular MA, OM e Me usando valores médios de suas frequências.

Média aritmética Moda Mediana Como o total de frequências é 20(número par), os valores centrais são o 10º e 11º. Colocando em ordem crescente temos: Logo

Me =

Exercícios propostos:

1) DetermineMA, OM e Me a partir das tabelas de frequência.

a) Idade (em anos)

b) Altura (em metros) em um grupo de 21 pessoas.