estabilidade de pontos de equilíbrio - microsistemascol.com · 3.7.2. métodos baseados em...

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Estabilidade de pontos de equilíbrio

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Exemplos

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3.4.2. Método de Lyapunov da linearização

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Exemplo

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• Serie de Taylor f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n

• Ponto (a) x´= - x3-x+(x3/6) , então x´=-x

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3.5. Método Directo de Lyapunov

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Exemplo

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Exemplo

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3.5.5. Teorema de Lyapunov (estabilidade local)

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3.5.5. Teorema de Lyapunov (estabilidade global)

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Exemplo

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3.5.6. Teorema de Lyapunov (instabilidade)

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3.6. Função de Lyapunov de sistemas lineares

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3.6.2. Função de Lyapunov para SLIT

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3.7. Função de Lyapunov de sistemas não lineares

• 3.7.1. Métodos analíticos Uma maneira simples de obter uma função candidata a função de Lyapunov é a que decorre do seguinte teorema:

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Exemplo: Obter uma função de Lyapunov para o sistema autónomo

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3.7.1.2. Teorema de Krasovskii generalizado

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3.7.1.3. Método do gradiente variável

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Exemplo:

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3.7.2. Métodos baseados em conceitos físicos

• Por vezes utiliza-se o conhecimento que se tem sobre a física do processo para a

obten-ção da função de Lyapunov associada a um determinado sistema. • Esta anda de um modo geral associada ao conceito de energia (potencial,

cinética, eléctrica, magnética) e ao facto de que normalmente a sua soma (potencial+cinética, para sistemas mecânicos ou eléctrica+magnética para sistemas eléctricos) se dissipa com o decorrer do tempo.

• A energia tem um valor essencialmente positivo ou nulo, o que significa ser V(x) definida positiva.

• A dissipação significa que V(x) diminui e tende para zero quando x→0, ou seja, V´( x) é definida negativa.

• Este método é vantajoso em relação aos métodos matemáticos sempre que se lida com sistemas de ordem elevada.

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3.8. Conjuntos invariantes A introdução do conceito de conjunto invariante e dos teoremas a ele associados, permi-te analisar a estabilidade de sistemas no caso em que a função de Lyapunov não permite efectuar o estudo da estabilidade em torno de um ponto de equilíbrio.

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Os dois teoremas que se seguem são relativos à estabilidade de um sistema numa região contendo um conjunto invariante (estabilidade local) e em todo o espaço de estados (estabilidade global 3.8.2. Teorema local do conjunto invariante

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3.8.3. Teorema global do conjunto invariante

• Exemplo

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3.9. Estabilidade de sistemas não autónomos

Os conceitos de estabilidade de sistemas não autónomos são muito semelhantes aos que foram definidos para os sistemas autónomos. No entanto, uma vez que o tempo aparece explicitamente nas equações do sistema, é de esperar que este também apareça nas defi-nições de estabilidade, e em particular surja o instante t0 em que o sistema inicia a sua trajectória, em vez do instante 0.

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Exemplo:

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3.9.5. Método directo de Lyapunov para sistemas lineares não autónomos.

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3.9.6. O método da linearização para sistemas não autónomos

O método da linearização apresentado para sistemas autónomos pode ser estendido a sistemas não autónomos. Seja o sistema não autónomo (3.72). O desenvolvimento do 2º membro do sistema em série de Taylor, em torno de xe=0, conduz a

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3.9.7. Teoremas sobre instabilidade

Os teoremas que se seguem utilizam o método directo de Lyapunov e aplicam-se tanto a sistemas autónomos com não autónomos. Indicam condições suficientes para que um sistema seja instável. Considere-se o sistema (3.72) e 3.9.7.1. Primeiro teorema sobre instabilidade

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