Agentes Baseados em Agentes Baseados em UtilidadeUtilidade

Métodos da Computação InteligenteMétodos da Computação Inteligente

Universidade Federal de PernambucoUniversidade Federal de Pernambuco

Aluno: Rodrigo Barros de Vasconcelos LimaAluno: Rodrigo Barros de Vasconcelos Lima

Parte I: Decisões Parte I: Decisões SimplesSimples

“Como um agente deve tomar decisões de modo que, em média, ele consiga o que quer”

Função de UtilidadeFunção de Utilidade Funções de Utilidade associam um valor a um estado;

Indica o “desejo” por estar nesse estado;

Resulti(A): todos os possíveis estados de saída de uma ação em um ambiente não-determinista A;

Para cada saída possível é associado uma probabilidade: P (Resulti(A) | Do(A), E)

Onde, E resume a evidência que o agente possuí do mundo

Do(A) indica que a ação A foi executada no estado atual

Utilidade esperada de uma ação A dado a evidência do mundo E:

EU(A|E) = i P(Resulti(A)|Do(A),E) U (Resulti(A))

Problemas: P, Result nem sempre disponíveis Cálculo de EU pode ser de custo computacional proibitivo

Preferências RacionaisPreferências Racionais Preferências racionais permitem descrever o melhor comportamento

como aquele que maximiza EU;

Notação: A B: A é preferível a B A ~ B: agente indiferente entre A e B A B: agente prefere A à B ou é indiferente

Em ambientes não deterministas:

A e B são loterias, i.e., distribuições probabilísticas sobre um conjunto de estados de saída (os “prêmios” de uma loteria)

L = {p1.S1; p2. S2; ...; pn.Sn}

Preferências de um agente com relação aos estados do mundo; Ambiente determinista: função valor V: Estados(ambiente) N Ambiente não determinista: função de utilidade U: Estados(ambiente) R

Restrições Sobre Preferências Restrições Sobre Preferências RacionaisRacionais

Axiomas da Teoria da Utilidade: Orderabilidade:

(A > B) ( B > A) (A ~ B)

Transitividade:(A > B) (B > C) (A > C)

Continuidade:A > B > C p [p.A; 1 - p.C] ~ B

Substitutability:A ~ B [p.A; 1 – p.C] ~ [p.B; 1 – p.C]

Monoticidade:A > B ( p q [p.A; 1 – p.B] [q.A; 1 –

q.B] )

Decomposabilidade:[p.A; 1 – p. [q.B; 1 – q.C] ] ~ [p.A; (1 – p)q.B; (1 – p)(1 – q). C]

Preferências que satisfazem os axiomas, garante existência de uma função real U tal que:

U(A) > U(B) A > B U(A) = U(B) A ~ B U (p1.S1; ... ; pn.Sn) = i pi U(Si)

Restrições Sobre Preferências Restrições Sobre Preferências RacionaisRacionais

Violação das restrições levam a comportamentos irracionais;

Exemplo: agente com preferências não transitivas pode ser induzido a dar todo o seu dinheiro:

Se B > C, então um agente que possuí C pagaria 1 centavo para obter B Se A > B, então um agente que possuí B pagaria 1 centavo para obter A Se C > A, então um agente que possuí A pagaria 1 centavo para obter C

Processo para Estimar UtilidadesProcesso para Estimar Utilidades

Criar uma escala com o “melhor premio possível” (U(S) = uT) e a “pior catástrofe possível” (U(S) = u);

Utilidades normalizadas: uT = 1 e u= 0

Para estimar utilidade de saídas intermediárias: Uma saída intermediária S é confrontada com uma loteria padrão

[p. uT;(1-p). u];

Probabilidade p ajustada até o agente ser indiferente entre S e a loteria padrão;

Assumindo utilidades normalizadas utilidade S é dada por p;

Exemplo: A Utilidade do DinheiroExemplo: A Utilidade do Dinheiro

Um jogador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000 em um programa de TV;

Apresentador oferece uma aposta: Se ele jogar a moeda e aparecer cara jogador perde tudo; Se aparecer coroa jogador ganha R$ 3.000.000;

O Valor Monetário Esperado da Aposta é: 0.5 (R$ 0) + 0.5 (R$ 3.000.000) = $ 1.500.000;

O Valor Monetário esperado da Aposta é de R$ 1.000.000 (menor);

Isso indica que seria melhor aceitar a aposta ?

Exemplo: A Utilidade do DinheiroExemplo: A Utilidade do Dinheiro

Utilidade Esperada para cada uma das duas ações:

EU (Aceitar) = 0.5 U(Sk) + 0.5 U(Sk+3.000.000) EU (Rejeitar) = U(Sk+1.000.000)

Onde, Sk = riqueza atual do jogador;

Deve-se atribuir valores de utilidade para cada saída: Sk = 5; Sk+3.000.000 = 10; Ação racional: rejeitar ! Sk+1.000.000 = 8

Conclusão: Utilidade não é diretamente proporcional ao valor monetário; Utilidade (mudança no estilo de vida) para o primeiro R$ 1.000.000 é muito alta;

Funções de Utilidade Multi-AtributoFunções de Utilidade Multi-Atributo

Como tratar funções de utilidades com várias variáveis X1, ..., Xn ?

Ex.: Construir aeroporto - U(Mortes, Barulho, Custo)

Existem basicamente dois casos:

Decisões podem ser tomadas sem combinar os valores dos atributos em um único valor da utilidade (Dominância);

A utilidade resultante da combinação dos valores dos atributos pode ser especificada concisamente (Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-atributo);

Dominância TotalDominância Total Se um estado S1 possui valores melhores em todos seus atributos do

que S2, então existe uma dominância total de S1 sobre S2; i Xi(B) Xi(A) (e portanto U(B) U(A))

Ex.: Local S1 para Aeroporto custa menos, gera menos poluição sonora e é mais seguro que S2;

Dominância total raramente acontece na prática;

Dominância EstocásticaDominância Estocástica

Exemplo, custo de construir aeroporto : Em S1 valor uniformemente distribuído entre $2,8 e $4,8 bilhões;

Em S2 valor uniformemente distribuído entre $3 e $5,2 bilhões;

Dada a informação que utilidade decresce com custo: S1 domina estocasticamente S2

$

- 2,8-5.2

P

S1

S2

Dominância EstocásticaDominância Estocástica

Se duas ações A1 e A2 possuem uma distribuição de probabilidade p1(x) e p2(x) para X, então A1 possui dominância estocástica em X sobre A2 se:

x p1(x’) dx’ p2(x’) dx’

Na prática, dominância estocástica pode geralmente ser definida usando apenas um raciocínio qualitativo;

Ex.: custo de construção aumenta com a distância para a cidade: S1 é mais próximo da cidade do que S2 S1 domina S2 estocasticamente sobre o

custo

$

- 4,8-5.2

P

S1

S2

1

Estrutura de Preferência e Utilidade Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-AtributoMulti-Atributo

Supondo que existem n atributos com d possíveis valores: No pior caso, serão necessários dn valores;

A Teoria da Utilidade Multi-atributo assume que preferências de agentes possuem certa regularidade (estrutura);

Tenta mostrar que a Utilidade de um agente possui uma função de utilidade do tipo:

U(x1 ... Xn) = f[ f1(x1) ..... F2(x2) ]

Onde f seja uma função o mais simples possível

Estrutura de Preferência: Determinista Estrutura de Preferência: Determinista

X1 e X2 são preferencialmente independente de X3 sss: Preferência entre {x1, x2, x3} e {x1’, x2’, x3} não depende em x3

Ex.: {barulho, custo, segurança}{20.000 sofrem; $4,6 bilhões; 0,06 mortes/mhm} vs. {70.000 sofrem; $4,2 bilhões; 0,06 mortes/mhm}

Independência preferencial mútua (MPI): todos os pares de atributos são preferencialmente independente com relação aos demais;

Com MPI, o comportamento preferencial do agente pode ser descrito como uma maximização da função: V (x1 ... xn) = i Vi(xi)

Estrutura de Preferência: EstocásticaEstrutura de Preferência: Estocástica

Deve-se levar em consideração preferências sobre loterias;

X é independente de utilidade com relação a Y sss: Preferências sobre loterias em X não dependem dos valores dos atributos de Y

Independência de utilidade mútua (MUI): conjunto de atributos é independente de utilidade dos atributos restantes;

Existe MUI então, comportamento do agente pode ser descrito usando a função:

U = k1U1 + k2U2 + k3U3 + k1 k2U1U2 + k2 k3U2U3 + k3 k1U3U1 + k1

k2k3U1U2U3

Redes de DecisõesRedes de Decisões

Extende Redes Bayesianas com ações e utilidades;

Nós de Chance (ovais): representam variáveis como nas redes Bayesianas;

Nós de Decisão (retângulo): pontos onde agente deve escolher uma ação;

Nós de Utilidade (diamantes): representam as funções de utilidade do agente;

Algoritmo de avaliação: 1. Atribuir os valores das variáveis para o estado corrente;

2. Calcular o valor esperado do nó de utilidade dado a ação e os valores das variáveis;

3. Retornar a ação com maior Utilidade Máxima Esperada

Teoria do Valor da InformaçãoTeoria do Valor da Informação

A Teoria do Valor da Informação permite que o agente escolha quais informações adquirir;

Exemplo: comprar os direitos de exploração de reservas de petróleo: Dois blocos A e B, apenas um possui óleo com valor C; Probabilidade de comprar o bloco certo = 0,5 O preço de cada bloco é C/2; Consultor oferece uma pesquisa para detectar qual bloco possui petróleo. Qual o

valor dessa informação?

Solução: Calcular o valor esperado da informação = valor esperado da melhor ação dada

a informação – valor esperado da melhor ação sem a informação; Pesquisador irá informar: “há óleo em A” ou “não há óleo em A” (p = 0,5) Então:

0,5 x valor de “comprar A” dado que “há óleo em A” + 0,5 x valor de “comprar B” dado que “não há óleo em A” – 0 == (0,5 x k/2) + (0,5 x k/2) – 0 = k/2

Valor da Informação: Fórmula GeralValor da Informação: Fórmula Geral

Valor da melhor ação sem nova evidência:EU(|E) = max A i U(Resulti(A)) P(Resulti(A) | Do(Resulti(A), E)

Onde, E = Evidência atual, = melhor ação

Valor da melhor ação após obtenção da nova evidência NE:EU(NEj|E, NE) = max A i U(Resulti(A)) P(Resulti(A) | Do(Resulti(A), E, NE)

NE é uma variável aleatória, cujo valor é atualmente desconhecido;

Deve-se calcular o ganho esperado sobre todos os possíveis valores en que NE pode assumir:

VPIE (NE) = ( k P(NE = en | E) EU( en | E, NE = em) ) – EU( | E)

Valor da Informação: ExemploValor da Informação: Exemplo

A1 e A2 são as únicas ações possíveis, com utilidades esperadas U1 e U2;

Nova evidência NE produzirá novas utilidades esperadas U1’ e U2’; A1 e A2 duas rotas distintas através de uma montanha;

A1 = caminho mais baixo, sem muito vento;

A2 = caminho mais alto, com muito vento;

U (A1) > U (A2) !!!

Mas, e se adquiríssemos uma nova evidência NE?

Valor da Informação: ExemploValor da Informação: Exemplo E se mudássemos o cenário?

II) A1 e A2 são duas estradas onde venta muito e de mesmo tamanho;

III) Mesmas estradas A1 e A2 mas agora no verão;

Conclusão: uma informação só terá valor caso ela gere uma mudança de

plano, e se esse novo plano for significante melhor do que o antigo !

Parte 2: Decisões Parte 2: Decisões ComplexasComplexas

“Métodos para decidir o que fazer hoje, dado que nós poderemos ter que decidir de novo amanhã”

Problemas de Decisões SeqüenciaisProblemas de Decisões Seqüenciais

Exemplo:

Interação termina quando agente alcança um dos estados finais (+1 ou -1); Ações disponíveis: Up, Down, Left e Right; Ambiente totalmente observável; Ações não confiáveis (locomoção estocástica);

1 2 43

3

2

1 INÍCIO

-1

+1 0.8

0.1 0.1

Processo de Decisão Markoviana (MDP)Processo de Decisão Markoviana (MDP)

Definido pelos seguintes componentes: Estado Inicial: S0

Modelo de Transição: T(s,a,s’) Função de Recompensa: R(s)

Modelo de Transição T(s, a, s’): probabilidade de chegar a s’ como resultado da execução da ação a em s;

Hipótese de transições Markovianas: próximo estado depende apenas da ação atual e estado atual, não passados;

Em cada estado s agente recebe uma Recompensa R(s): R(s) = -0.04 para todos estados não terminais; Dois estados finais R(s) = +1 ou R(s) = -1;

Utilidade é a soma das recompensas recebidas;

Como são as soluções para esse Como são as soluções para esse problema?problema?

Seqüência fixa de ações não resolvem o problema;

Uma solução deve especificar o que o agente deve fazer em qualquer um dos estados que ele possa chegar: Diretriz (Policy): (s) = ação recomendada para estado s

Diretriz Ótima: Diretriz que produz a mais alta utilidade esperada; Notação: *

1 2 43

3

2

1

-1

+1

Funções de Utilidade para Problemas Funções de Utilidade para Problemas SeqüenciaisSeqüenciais

Como definir funções de utilidades para problemas seqüenciais?

Uh ([s0, s1, ... , sn])

Primeiro deve-se responder as seguintes perguntas: O Horizonte Temporal para a tomada de decisão é Finito (humanos) ou Infinito

(trans-humanos www.transhumanism.org/ )

Como calcular a utilidade de uma seqüência de estados?

Horizontes Finitos e InfinitosHorizontes Finitos e Infinitos

Horizontes finitos: Existe um tempo limite N após o qual nada mais importa (game-over!); Uh ([s0, s1, ... , sn+k]) = Uh ([s0, s1, ... , sN]), para todo k > 0;

Exemplo.: Supondo que o agente inicia em (3,1) N = 3 para atingir +1 agente deve executar ação Up N = 100 tempo suficiente para executar ação Left (rota mais segura)

Diretriz ótima para um ambiente finito é não estacionária;

Para horizontes infinitos: Ação ótima depende apenas do estado atual; Diretriz ótima é estacionária;

Cálculo de Utilidade para Seqüência de Cálculo de Utilidade para Seqüência de EstadosEstados

Com o que Uh ([s0, s1, ... , sn]) se parece ? Função de utilidade com vários atributos !

Deve-se supor que preferências entre seqüências de estados são estacionárias; [s0, s1, s2, ... ] e [s0’, s1’, s2’, ... ],

se s0 = s0’ então,

[s1, s2, ... ] e [s1’, s2’, ... ] devem estar ordenados segundo a mesma preferência

Baseado no principio estacionariedade, existem apenas duas maneiras de atribuir utilidades a seqüência de utilidades: Recompensas aditivas; Recompensas descontadas;

Recompensas (juntar em uma)Recompensas (juntar em uma)

Recompensas Aditivas: Uh ([s0, s1, ... , sn]) = R(s0) + R(s1) + R(s2) + ...

Recompensas Descontadas: Uh ([s0, s1, ... , sn]) = R(s0) + R(s1) + 2 R(s2) + ...

Onde é chamado fator de desconto com valor entre 0 e 1;

Fator de desconto: Descreve a preferência de um agente com relação a recompensas atuais sobre

recompensas futuras; próximo a 0 recompensas no futuro distante são irrelevantes; = 1 recompensa aditiva;

Algoritmo Value IterationAlgoritmo Value Iteration Idéia: calcular a utilidade de cada estado e as usar para escolher uma ação ótima em

cada estado;

Utilidade de cada estado definida em termos da utilidade das seqüências de ações que podem se seguir a partir dele;

Seqüência de estados dependem da Diretriz usada, portanto temos: U(s) = E [ t=0 R(st) | , s0 = s ]

Utilidade de um estado é dado pela

equação de Bellman: U(s) = R(s) + maxa s

’ T(s,a,s’) U(s’)

Exemplo: U(1,1) = -0.04 + max { 0.8 U(1,2) + 0.1 U(2,1) + 0.1 U(1,1),

(Up)

0.9 U(1,1) + 0,1 U(2,1), (Left)

0.9 U(1,1) + 0.1 U(2,1), (Down)

0.8 U92,1) + 0.1 U(1,2) + 0.1 U(1,1) } (Right)

1 2 43

3

2

1

0.812

0.762

0.705

0.812 0.918

0.660 -1

+1

0.655 0.611 0.388

Algoritmo Value IterationAlgoritmo Value Iteration

Equações de Bellman são a base do algoritmo Value Iteration para resolver MDPs;

N estados = N equações;

Algoritmo:1. Inicializar utilidades com valores arbitrários (tipicamente 0);2. Calcular o lado direito da equação para cada estado;3. Atualizar valor da utilidade de cada estado;4. Continuar até atingir um equilíbrio;

Prova-se que essa iteração eventualmente converge para um único conjunto de soluções (algoritmo atinge equilíbrio !) Pg. 620 AIMA

Algoritmo Policy IterationAlgoritmo Policy Iteration Idéia: se uma ação é claramente melhor que outras, então a magnitude

exata de da utilidade de cada estado não necessita ser precisa;

Alterna entre dois passos, iniciando a partir de uma diretriz inicial 0: Avaliação da Diretriz: dada diretriz i , calcular Ui = U i ;

Melhora da Diretriz: calcular nova diretriz i+1; explicar como

Algoritmo encerra quando passo Melhora de Diretriz não produz nenhuma mudança nas utilidades;

Mais simples que resolver equações de Bellman: Ação em cada estado é fixada pela diretriz; Ui(s) = R(s) + s

’ T(s, i(s), s’) Ui(s’);

Exemplo: Ui (1,1) = 0.8 Ui(1,2) + 0.1 Ui(1,1) + 0.1 Ui(2,1) 1 2 43

3

2

1

-1

+1

MDPs Parcialmente Observáveis MDPs Parcialmente Observáveis (POMDPs)(POMDPs)

MDPs assumem que o ambiente é totalmente observável; Diretriz ótima depende apenas estado atual;

Em ambientes parcialmente observáveis agente não sabe necessariamente onde ele está;

Quais os problemas que surgem? Agente não pode executar ação (s) recomendada para o estado; Utilidade do estado s e a ação ótima depende não só de s, mas de quanto o

agente conhece sobre s;

Exemplo: agente não tem menor idéia de onde está S0 pode ser qualquer estado menos os finais;

Solução: Mover Left 5 vezes;

Up 5 vezes e Right 5 vezes;

1 2 43

3

2

1

-1

+1start

MDPs Parcialmente Observáveis MDPs Parcialmente Observáveis (POMDPs)(POMDPs)

Possui os mesmo elementos de um MDP acrescentando apenas: Modelo de Observação: O(s, o); Especifica a probabilidade de perceber a observação o no estado s;

Conjunto de estados reais que o agente pode estar = Belief State;

Em POMDPs um Belief State b, é uma distribuição probabilística sobre todos os estados possíveis: Ex.: estado inicial na figura = {1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 0, 0}

b(s) denota a probabilidade associada ao estado s pelo Belief State b;

MDPs Parcialmente Observáveis MDPs Parcialmente Observáveis (POMDPs)(POMDPs)

b = Belief State atual;

Agente executa a ação a e percebe a observação o, então: Novo Belief State b’ = FORWARD (b, a, o);

Ponto fundamental em POMDs: A ação ótima depende apenas do Belief State corrente do agente; * (b): mapeamento de crenças em ações;

Ciclo de decisão de um agente POMDP:1. Dado o Belief State corrente b, execute ação a = * (b);

2. Receba observação o;

3. Set o Belief State corrente para FORWARD (b, a, o).

Observações Importantes para POMDPsObservações Importantes para POMDPs

POMDPs incluem o Valor da Informação como parte do processo de decisão: Ação modifica tanto o estado físico quanto o Belief State;

Resolver um POMDP sobre um estado físico pode ser reduzido a resolução de um MDP sobre um Belief State: Belief States são sempre observáveis;

No entanto, MPDs obtidos normalmente são contínuos e possuem alta dimensão: Algoritmos Value Iteration e Policy Iteration devem ser modificados para

poderem aplicados a MPDs contínuos;

Decision Theoretic-AgentsDecision Theoretic-Agents

Decision Theoretic-Agent: Pode tomar decisões racionais baseado no que acredita e dejeja; Capaz de tomar decisões em ambientes onde incertezas e objetivos conflitantes

deixariam um agente lógico sem poder decidir; Possui uma escala contínua de medida de qualidade sobre os estados;

Pode ser constuido para um ambiente POMDP usando Redes de Decisões Dinâmicas para: Representar os modelos de Transição e Observação; Atualizar o Belief State; Projetar possíveis sequencias de ações;

Decisões são tomadas projetando para frente possíveis sequencias de ações e esclhendo a melhor;

Rede de Decisão Dinâmica (DDN)Rede de Decisão Dinâmica (DDN)

Rede Bayesiana dinâmica com nós de Decisão e Utilidade (Redes de Decisões);

Onde: Xt = estado no tempo t; Rt = recompensa no tempo t Et = evidência no tempo t; Ut = utilidade no tempo t; At = ação no tempo t; T (s, a, s’) = P(Xt+1 | Xt , At) O (s, o) = P (Et | Xt)

At-2 At-1 At At+1 At+2

Xt-1 Xt Xt+1 Xt+2 Xt+3

Rt-1 Rt Rt+1 Rt+2 Rt+3

Ut+3

Et-1 Et+3Et+2Et+1Et

Decisões com Múltiplos Agentes: Decisões com Múltiplos Agentes: Teoria dos JogosTeoria dos Jogos

O que acontece quando a incerteza é proveniente de outros agentes e de suas decisões? A Teoria dos Jogos trata essa questão !

Jogos na Teoria dos Jogos são compostos de: Jogadores; Ações; Matriz de Resultado;

Cada jogador adota uma Estratégia (diretriz); Estratégia Pura: diretriz deterministica, uma ação para cada situação; Estratégia Mista: ações selecionadas sobre uma distribuição probabilística;

Perfil de Estratégia: associação de uma estratégia a um jogador;

Solução é um perfil de estratégia racional;

Teoria dos Jogos: Exemplo 1Teoria dos Jogos: Exemplo 1

Dois ladrões (Alice e Bob) são presos perto da cena do crime e interrogados separadamente;

Matriz de resultados:

Dilema do Prisioneiro: Eles devem testemunhar ou se recusar? Ou seja, qual estratégia adotar?

Estratégia Dominante: Estratégia que domina todas as outras; É irracional não usar uma estratégia dominante, caso uma exista;

Equilíbrio de Estratégia Dominante: Situação onde cada jogador possui uma estratégia dominante;

Alice: testemunhar Alice: recusar

Bob: testemunhar A = -5; B = -5 A = -10; B = 0

Bob: recusar A = 0; B = -10 A = -1; B = -1

Teoria dos Jogos: Exemplo 1Teoria dos Jogos: Exemplo 1

Um resultado é dito “Pareto Dominated” por outro se todos jogadores preferirem esse outro resultado;

Qual será a decisão de Alice se ela for racional e esperta? Bob irá testemunhar, então {Testemunhar} !

Então, eis que surge o dilema: Resultado para o ponto de equilíbrio é Pareto Dominated pelo resultado

{recusar, recusar} !

Há alguma maneira de Alice e Bob chegarem ao resultado (-1, -1)? Opção permitida mais pouco provável; Poder atrativo do ponto de equilíbrio !

Equilíbrio de NashEquilíbrio de Nash

Equilíbrio de Nash: Agentes não possuem intenção de desviar da estratégia especificada; Condição necessária para uma solução;

Equilíbrio de Estratégia Dominante é um Equilíbrio de Nash;

Esse conceito afirma que existem estratégias que se equilibram mesmo que não existam estratégias dominantes;

Exemplo:

Dois equilibrios de Nash: {dvd, dvd} e {cd, cd}

Acme: DVD Acme: CD

Best: DVD A = 9; B = 9 A = -4; B = -1

Best: CD A = -3; B = -1 A = 5; B = 5

Jogos com Múltiplos MovimentosJogos com Múltiplos Movimentos

Tipo mais simples de jogos com múltiplos movimentos, Jogo Repetido: Jogador se depara com a mesma escolha repetidamente; Mantém conhecimento sobre escolhas anteriores dos jogadores.

Estratégia para Jogo Repetido especifica escolha de ação: A cada iteração; Para cada jogador; Para todas as possíveis histórias de escolhas anteriores;

Para o Dilema do Prisioneiro, escolha da ação dependerá do tipo do compromisso: Alice e Bob podem saber quantas vezes irão jogar:

melhor ação = testemunhar; Ou não:

melhor ação = continuar recusando até que o outro jogador testemunhe;

Jogos de Informações ParciaisJogos de Informações Parciais

São jogos repetidos em ambientes parcialmente observáveis;

Exemplos: Pôquer; Abstração sobre uma guerra nuclear;

Esse tipo de jogo é resolvido considerando-se Belief States assim como POMDPs; Diferença: jogador conhece seu próprio Belief State mas não o do adversário;

Algoritmos para práticos para resolução desses problemas ainda são muito recentes;