ab c

V

R

OPERAÇÕES  E  PROPRIEDADES

Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois conjuntos R = {, , , ...} e V = {a, b, c}.

No conjunto R, denominado conjunto dos operadores, são definidas duas operações, que indicaremos por e .

No conjunto V, chamado de conjunto de vetores, é definida a operação @.

operadores ou

escalares @

vetores

Uma operação externa (), que opera com um elemento de cada conjunto é também definida para esse sistema.

operaçãoexterna

( a) V

Para as operações de R e V devem valer as propriedades:

(1) R e R a @ b V (fechamento)

(2) ( ) = ( ) e ( ) = ( ) (a @ b) @ c = a @ (b @ c) (associativa)

(3) = = e = = a @ n = n @ a = a (elemento neutro)

(4) ’ = ’ = e para , ’’ = ’’ = V a@ a’ = a’ @ a = n (elemento inverso)

(5) = e = a @ b = b @ a (comutativa)

(6) ( ) = ( ) ( ) (distributiva de em relação a )

Estas propriedades caracterizam R como um corpo e V como um grupo comutativo.

Além das propriedades citadas, devem também ser verificados os axiomas:

A1 - (a @ b) = ( a) @ ( b)

A2 – ( ) a = ( a) ( a)

A3 – ( @ ) a = ( a)

A4 – a = a e ’ a = a’

A5 – n a = 0, sendo 0 um elemento de V.

EXEMPLO

R – conjunto dos reais com as operações adição e multiplicação (corpo dos reais).

V – conjunto das matrizes quadradas com a operação adição.

- operação externa – multiplicação de número real por matriz.

SUBESPAÇO VETORIAL

Seja V um espaço vetorial.

Todo subconjunto V’ de V que verifica as propriedades(1) 0 V', sendo 0 o vetor nulo.(2) au V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'.(3) u + v V' , para todo u e v de V'.

é denominado subespaço vetorial.

Os conjuntos {0} e V são denominados subespaços vetoriais próprios de V.

O conjunto das matrizes A = [aij]2x2, é um espaço vetorial sobre R. (Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [aij]2x2, tais que aij = x R se i = j = 1 e aij = 0 para i 1 e j 1, este subconjunto será um subespaço vetorial de A.

Exemplo:

0 00 0

(1) 0 = pois 0 A.

(2) Seja k um nº real e M = uma matriz de A.a 00 0

Verificando:

kM = A. Ka 0 0 0

(3) Sejam M1 = e M2 =a 0

0 0

b 0

0 0

M1 + M2 = A. a + b 0 0 0

EXERCÍCIOS:

01 - Verifique se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R2 sobre R.a) {(x1, x2) | x1 + x2 = 0}  b) {(x1, x2) | x1x2 = 0}c) {(x1, x2) | x1 = 3x2}  d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1}

(a) (1) 0 = (0, 0) V pois 0 + 0 = 0.

(2) Seja os vetores (a, b) e (c, d) tais que a + b = 0 e c + d = 0.

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Para a + b = 0 e c + d = 0, devemos ter a = - b e c = - d.

Assim, a + c = - b – d

Portanto, (a + c, b + d) = (- b – d, b + d) e (–b – d) + (b + d) = 0.

Deste modo (a + c, b + d) V

Indicaremos cada subconjunto por V.

(3) k.(a, b) = (ka, kb).

Como a + b = 0, ka + kb = k(a + b) = k.0 = 0.

k(a, b) V

V = {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} é um subespaço vetorial de R2.

b) {(x1, x2) | x1x2 = 0}

(1) 0 = (0, 0) V pois 0.0 = 0.

(2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) V

Para que x1.x2 seja igual a zero basta que um deles seja zero.

Temos, por exemplo, (0, 4) e (2, 0) ambos pertencentes a V.

(0, 4) + (2, 0) = (2, 4) que não pertence a V, pois 2.4 0.

Portanto, V não é subespaço vetorial.

c) {(x1, x2) | x1 = 3x2} 

(1) 0 = (0, 0) V pois 0 = 3.0.

(2) Os vetores de V têm a forma (3x, x) pois x1 = 3x2.

(3x, x) + (3y, y) = (3x + 3y, x + y)

3x + 3y = 3(x + y) a soma dos vetores pertencem a V.

(3) k.(3x, x) = (3kx, kx).

Como 3kx = 3.(kx), k.(3x, x) V.

V = {(x1, x2) | x1 = 3x2} é um subespaço vetorial.

d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1}

(1) 0 = (0, 0) V pois 0 3.0 + 1.

V = {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} não é subespaço vetorial de R2.

2 - Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço vetorial das matrizes 2x2.a) V = {B S | AB = BA}b) V = {B S | AB BA}c) V = {B S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j)

a) V = {B S | AB = BA}

0 00 0

(1) 0 = V pois 0.A = A.0 = 0.

(2) Sejam B1 e B2 matrizes de B. Isto é AB1 = B1A e AB2 = B2A.

A.(B1 + B2) = AB1 + AB2 = B1A + B2A = (B1 + B2).A.

Portanto, B1 + B2 pertencem a V pois comuta com A.

(3) (kB).A = k.(A.B) = (KA).B. Como kB comuta com A, kB V

V = {B S | AB = BA} é um subespaço vetorial e de S.

b) V = {B S | AB BA}

Não é um subespaço vetorial pois a matriz nula não pertence a V umavez que ela comuta com qualquer outra matriz.

c) V = {B S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j)

0 00 0

(1) 0 = V pois 0.A = 0.

(2) Sejam B1 e B2 tais que B1A = 0 e B2A = 0.

(B1 + B2).A = B1.A + B2.A = 0 + 0 = 0. Portanto, (B1 + B2) V

(3) (kB1).A = k.(B1.A) = k.0 = 0. Portanto, kB1 V.

V = {B S | BA = 0} é um subespaço vetorial.