equipe cubo truncado - influência da matemática nas construções civis

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UNISCENTRO UNIVERSITRIO DO SUL DE MINAS

LICENCIATURA EM MATEMTICA

ANGELO CASSIMIRO LOPESJUSSARA MARIA LOPES DOS SANTOS

LILYANNE KARULYNNE CRUVINEL OLIVEIRALOURENO VITOR SILVA FERREIRA

WALBERT FRANCISCO DE PAULA

INFLUNCIA DA MATEMTICA NAS CONSTRUES CIVIS

Varginha2014



1

ANGELO CASSIMIRO LOPESJUSSARA MARIA LOPES DOS SANTOS

LILYANNE KARULYNNE CRUVINEL OLIVEIRALOURENO VITOR SILVA FERREIRA

WALBERT FRANCISCO DE PAULA

INFLUNCIA DA MATEMTICA NAS CONSTRUES CIVIS

Trabalho apresentado ao curso de Licenciatura emMatemtica, do Centro Universitrio do Sul de MinasUNIS/MG.

Varginha2014



2

SUMRIO1 SURGIMENTO DA MATEMTICA NAS ANTIGAS CONSTRUES CIVIS

.......3

2

CONTRIBUIO DOS EGPCIOS CONSTRUO DE GRANDES EDIF. ........52.1Modelos arquitetnicos da cultura egpcia

.......................................................................6

3 ORIGEM DA ENGENHARIA CIVIL

............................................................................13

3.1Histria ..............................................................................................................................14

3.2Era moderna .....................................................................................................................16

4

FIGURAS GEOMTRICAS NAS CONSTRUES CIVIS.......................................17

5 USO TERICO E PRTICO DA MATEMTICA NAS CONSTRUES CIVIS

..21

5.1Elaborao de projetos atravs da matemtica

..............................................................21

5.2Objetivos visados ..............................................................................................................25

5.3Deteco e soluo de problemas estruturais

..................................................................25

6 DESENVOLVIMENTO ..................................................................................................25

6.1Estudo do terreno .............................................................................................................256.2Projeto e materiais

............................................................................................................26

6.3Planta baixa da obra

.........................................................................................................27

6.4

Projeto em ao

.................................................................................................................28

7 ANLISE DO PROJETO REALIZADO

.......................................................................31

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................................36



3

1 SURGIMENTO DA MATEMTICA NAS ANTIGAS CONSTRUES CIVIS

Desde os tempos primrdios da Babilnia e do Egito, a matemtica uma ferramenta

indispensvel no cotidiano das pessoas. Diversos axiomas foram teorizados ao decorrer dos

sculos, visando alcanar uma cincia cada vez mais exata e ratificada.

No entanto, por volta de 580 a. C., Pitgoras de Samos, adicionou uma certa divindade

aos nmeros, defendendo a tese de que todas as coisas possuem uma estrutura matemtica

intrnseca a elas. Isso fez com que todas as concepes acerca da origem do universoperdessem um pouco de credibilidade.

Figura 01: Pitgoras de Samos (570-496 a. C.)



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Fonte:http://profellingtonalexandre.blogspot.com.br/2012/08/historia-da-filosofia.html> Acesso em: 02 de maio

de 2014

Todavia, o pensamento matemtico seguia rumos diferentes de acordo com a sua

localizao geogrfica. Os babilnios concentravam seus conhecimentos matemticos atravs

da astronomia, tornando suas teorias bem abstratas. J os egpcios, tratavam a matemtica de

maneira mais tcnica devido s preocupaes com a agricultura. Isso pode ser percebido na

comparao dos sistemas de numerao egpcio e babilnio, o qual o primeiro bem menos

ambguo e menos complexo que o outro.

Como as terras do Egito eram banhadas pelo rio Nilo, a agricultura foi uma forma bem

lucrativa para essas civilizaes. Alm disso, outra questo que marca a histria do Egito so

suas bela pirmides. Construes que no seriam possveis sem um conhecimento, no mnimo

bsico de trigonometria, geometria e na rea que denomina-se hoje de Engenharia Civil. Na

verdade, a matemtica um artifcio de clculo usado para resolver questes fsicas da

engenharia civil. E dentro destes recursos matemticos que podemos citar a trigonometria.

Em diversos clculos que envolvem fora e presso so utilizados vetores. Para realizarem

clculos com esses vetores os engenheiros utilizam muito esta rea da matemtica. A

trigonometria usada em todo e qualquer clculo de projeto estrutural da construo civil.

Principalmente em clculos que envolvem fsica (a maioria deles entra nesse caso), mecnica
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de materiais, mecnica de solos, resistncia de materiais, dimensionamento de esforos

solicitantes, entre outros.

Figura 02: Rio NiloEgito

Fonte:http://www.lamma.ufrj.br/sites/spo/atlasul/documentos/curiosidades/barragem_aswan.htm>Acesso em: 02 de maio de 2014

2 CONTRIBUIO DOS EGPCIOS CONSTRUO DE GRANDES EDIFCIOS

O Egito foi uma das grandes civilizaes da antiguidade. Saiu da era neoltica e depois

de 500 anos j estavam construindo as pirmides. Suas faanhas arquitetnicas desafiam os

pesquisadores atualmente. Iniciaram sua unificao no limiar da Histria, com o surgimento

da escrita e souberam registrar seus acontecimentos.

Adentrando a idade dos metais os egpcios souberam utilizar o ferramental de forma

produtiva em diversas reas, no s na arquitetura como tambm na escultura, cermica, etc.

Inovaram os meios de transporte e elevao, bem como um sistema de medidas.
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Desenvolveram um sistema prprio para nivelar e aprumar as edificaes. Conheciam as

propriedades dos solos, pois, escolhiam sempre um plat rochoso para instalar a construo.

As edificaes que restaram dessa poca no so muitas e basicamente, se resumem

em obras de culto fnebre ou templos. A grande inovao trazida por eles est no preparo dos

materiais, assim como no seu deslocamento. Os volumes envolvidos so surpreendentes. Isto

denota uma rpida organizao social, grande nmero de trabalhadores e principalmente,

vontade de edificar.

As primeiras grandes construes so as pirmides, edifcios ainda enigmticos que

assombram pelo gigantismo. Ainda no h um consenso ente os estudiosos quanto aos

mtodos utilizados na construo. So milhares de toneladas de pedra calcria, lavrada,

transportada e assentada com extrema preciso.

A despeito do pequeno aproveitamento interno, com poucas cmaras morturias, tudo

parece obedecer a um traado previamente estabelecido. Suspeita-se tambm que a maioria

delas ainda no esteja totalmente explorada, ou seja, outras cmaras ainda esto ocultas. Tudo

interligado por infindveis tneis. Isto vem confirmar a hiptese de planejamento minucioso a

construo. Hoje nos parece normal, mas, h 4.500 anos?

No aspecto construtivo, vale lembrar tambm o uso da elevao por calo, sistema

caracterstico dos egpcios para elevar os blocos de pedra grande altura. Outra tcnicautilizada foi a do uso de contrapeso, ou seja, um recipiente cheio de pedras preso a uma haste

levantava os objetos na outra extremidade. A lubrificao por gua ou leite sob os trens de

madeira, tambm est registrada nos anais da histria. A fora humana foi fundamental para

essas realizaes, porem a animal pode ter sido utilizada.

Outra inovao caracterstica dessa poca atravs dos egpcios a esttica. A partir

deles os templos passam a ostentar ornamentos em sua estrutura, representada por colunas

torneadas, fruto do uso de ferramentas metlicas. A altura dos templos que se sucederamtorna-se expressiva. Se antes eram macios, compactos e de limitado espao interno, estes

passam a galgar maior altura. As colunatas passam a ser executadas com blocos menores,

lavrados em formato curvo e assentados como se fosse uma chamin. Chegavam aos vinte

metros. H vestgios da utilizao de rampas de terra para a superposio de blocos na

cobertura dos templos.

2.1Modelos arquitetnicos da cultura egpcia

Figura 03: MASTABA



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Fonte:http://profmarcopadua.net/> Acesso em: 02 de maio de 2014

A mastaba uma edificao funerria originria da era neoltica. Evoluram no

aspecto interno com o aumento de salas destinado as oferendas e acondicionar o sarcfago.

Geralmente escavada em cova rasa era protegida por vrias camadas de pedras, agora

lavradas com ferramentas metlicas. Com o passar do tempo as cmaras so escavadas no

solo e acessadas por escadas dificultando a ao dos saqueadores. Eram destinadas aos faras

e nobres. Aps as pirmides continuam a ser construdas apenas para os nobres.

Figura 04: PIRMIDE DE DEGRAUS
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Fonte:http://profmarcopadua.net/>Acesso em: 02 de maio de 2014

Atravs de uma sucesso de mastaba nasce a primeira pirmide conhecida como

escalonada. Construda por volta de 2.650 a.C. pelo fara Djoser e seu arquiteto Imhotep

inaugura um novo ciclo de grandes obras que vo culminar no planalto de Gis. Semelhante a

uma mastaba no uso chega aos 60 m de altura. Ali encontramos tambm um templo e palcio

compondo o complexo de Sakara.

Figura 05: PIRMIDE CURVADA


Na regio de Dashur outra pirmide que se destaca conhecida como Curvada por

ter suas arestas curvas. No se sabe ao certo se esta era a inteno ou se foi um erro de

execuo. Construda pelo fara Sneferu pertencente a 4.Dinastia chega aos 102 m de altura.

Nesta, a busca pelo solido piramidal de face lisa claramente perceptvel. Possui duas

entradas, uma face norte, outra face oeste, o que a diferencia das demais.
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Figura 06: PIRMIDE DE MEIDUM

Fonte:http://profmarcopadua.net/> Acesso em: 02 de maio de 2014

Conhecida como Meidum, esta pirmide tambm construda por Sneferu se destaca na

paisagem egpcia. Alguns acreditam que nem tenha sido comeada por ele. O fato que foi

abandonada por ter desabado durante a construo. Na inteno de chegar a uma altura maior,

no usando uma tcnica mais adequada, houve o acidente, talvez o primeiro grande da histria

as construes. Em seguida ela abandonada.

Figura 07:

PIRMIDE VERMELHA


A terceira pirmide construda por Sneferu conhecida como Vermelha por sua

colorao avermelhada tpica dos blocos de pedra utilizados. Considerada um verdadeiro

solido piramidal de face lisa, mantm sinais de um revestimento externo com esta finalidade.

Atualmente inexistente este material possivelmente foi usado em outras construes,

como era costume na poca. Possui um ngulo de inclinao de 43 graus e a terceira maior

em altura.
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Figura 08: PLANALTO DE GIZ


O ciclo das pirmides termina por volta de 2.500 a.C. com as maiores e mais

conhecidas. Quops, Qufren e Miquerinos esto no auge dessas grandes construes daantiguidade. Contendo um complexo lay-out interno ainda inexplorado totalmente.

composta por cmaras e infindveis tneis, inclusive escavado a 30 m em rocha s. A maior

delas ultrapassa os 140 m e fazem parte das 7 maravilhas do mundo antigo.

Figura 09: TEMPLO DE KARNAK




11

O templo de Karnak, na verdade vrios interligados, foram construdos entre os anos

2.200 e 360 a.C. por diversos faras. Considerado o maior do Antigo Egito se encontra na

antiga Tebas, capital do imprio, hoje Luxor. Suas colunatas atingem os 20 m de altura e

foram construdas com blocos curvos, semelhante a uma chamin. No topo aparecem os

capitis, discos de pedra como acabamento que mais tarde sero adornados pelos gregos.

Destinado aos Deuses egpcios teve seu auge na XVIII dinastia.

Figura 10: TEMPLO DE LUXOR


O Templo de Luxor foi iniciado na poca de Amenfis III e ampliado mais tarde por

Ramss II, completado somente no perodo muulmano. o nico monumento do mundo que

contm em si mesmo documentos das pocas faranica, greco-romana, copta e islmica, com

nichos e afrescos coptas e at uma Mesquita (Abu al-Haggag). Este templo era dedicado no

s ao Deus Amon, como tambm s divindades Mut (esposa de Amon) e Khonsu. As suas

dimenses so menores do que as do Templo de Karnak. Descoberto em 1.881 pelo

arquelogo Gaston Maspero, se encontrava muito bem conservado, entretanto uma vila

prxima teve de ser removida para seu restauro.
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Figura 11: VALE DOS REIS


O Vale dos Reis no Egito o local onde, por um perodo de quase 500 anos, entre os

sculos XVI e XI a.C., tumbas foram construdas para os faras e poderosos nobres do

Imprio Novo (da XVIII at a XX dinastia do Antigo Egito). Ali foi o principal local de

sepultamento das principais figuras reais do Imprio Novo. As tumbas reais so decoradas

com cenas da mitologia egpcia e expe as crenas e rituais funerrios do perodo. A planta

comumente usada nas tumbas consistia em um longo corredor inclinado, descendo atravs de

uma ou mais salas (possivelmente em referncia ao caminho do Deus-Sol at o submundo),at a cmara funerria.

Figura 12: TEMPLO DE HATCHEPSUT

Fonte:http://profmarcopadua.net/>Acesso em 02 de maio de 2014



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Hatchepsut foi um fara do Antigo Egito, no comeo do sculo XV a.C., pertencendo

XVIII Dinastia do Imprio Novo. Ao oitavo ano de seu reinado o templo de Milhes de

Anos iniciado na margem ocidental de Tebas. O local escolhido foi a encosta de uma

falsia, onde hoje encontramos o Vale dos Reis e das Rainhas. Foram construdos tambm

obeliscos com mais de 300 toneladas, com granito vindo de Assu.

Figura 13: TEMPLO DE ABU SIMBEL


Ramss II foi o terceiro fara da XIX dinastia egpcia, reinando aproximadamente

entre 1.279 a.C. e 1.213 a.C. O seu reinado foi possivelmente o mais prestigioso da histria

egpcia tanto no aspecto econmico, administrativo, cultural e militar. Foi tambm um dos

mais longos da histria egpcia, sendo considerado o maior construtor, donde recebeu o nome

de o Grande.

Figura 14: RAMESSEUM



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O templo funerrio de Ramss conhecido como o Ramesseum. Situado na margemocidental de Tebas estava dedicado ao Deus Amon e ao prprio fara, encontrando-se hoje

num estado bastante deteriorado. O templo era famoso pela esttua colossal de Ramss em

posio sentada (da qual apenas restam apenas fragmentos). Nas paredes do templo foram

representados eventos como a Batalha de Kadesh e a celebrao da festa do Deus Min, assim

como uma procisso dos numerosos filhos do fara. No local foi descoberto um papiro que

continha a obra literria "Conto do Campons Eloquente" e textos de carter mdico.

Aps dezenas de faras e 3.000 anos de histria a cultura egpcia, depois de inmerosavanos arquitetnicos assim como em outras reas, entra em fase de decadncia. Seu apogeu

se d durante o reinado de Ramss II, o Grande e declina at o comeo da era crist, mais

precisamente depois da batalha do Accio em 30 a.C. onde Clepatra VII, a ltima fara,

vencida pelo exrcito romano, comandado por Otaviano Augusto, Cezar de Roma. Estes

tomam posse do novo territrio, dando incio ao esquecimento e desintegrao da cultura

egpcia que perdurar por 1.200 anos.

3 ORIGEM DA ENGENHARIA CIVIL

Engenharia civil o ramo da engenharia que engloba a concepo, o projeto,

construo e manuteno de todos os tipos de infraestrutura necessrios ao bem estar e ao

desenvolvimento da sociedade, alm da preservao do ambiente natural. Desta forma, esta

rea dedica-se criao de edifcios, pontes, tneis, usinas geradoras de energia, indstrias e

inmeros outros tipos de estrutura.

Desde o incio da histria, os humanos passaram a construir seus prprios abrigos

utilizado os elementos naturais ao seu redor. Posteriormente, as estruturas adquiriram



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caractersticas cada vez mais complexas, reflexo do desenvolvimento das tcnicas. Passou-se

ento, a utilizar conhecimentos cientficos nesta rea, de forma que as dimenses, a

resistncia e outros atributos de uma determinada obra podiam ser estimados. Novos materiais

passaram a ser utilizados, sobretudo ferro e cimento, que possibilitaram o surgimento das

grandes estruturas que hoje compem o cenrio do mundo moderno.

Desta forma, a formao de um engenheiro civil fortemente ligada s cincias

exatas. Contudo, um bom profissional deve conter muitos outros atributos, principalmente

habilidades em comunicao e de anlise racional dos fatos, alm de seguir um cdigo de

tica, visto que suas obras influenciam significativamente em todos os segmentos da

sociedade. Dada a vasta abrangncia, a engenharia civil divide-se em vrios campos

especficos, desde geotecnia, mapeamento, at transportes, construo e estrutural, dentre

muitas outras.

3.1Histria

Desde o incio da existncia humana, conhecimentos e habilidades de engenharia tem

sido necessrios para evoluo do padro de vida. A partir do momento em que tribos

deixaram de ser nmades, surgiram assentamentos que necessitavam de estrutura necessriapara abrigo e proteo que, ao longo do tempo, cresceram em complexidade. Ao decorrer dos

sculos, a grande demanda por estruturas cada vez maiores e mais eficientes impulsionava o

surgimento de novas tcnicas e a formao de profissionais habilitados para assumir tal

responsabilidade. Entretanto, a profisso de engenheiro civil s foi reconhecida oficialmente a

partir da Revoluo Industrial. Engenheiros civis constroem a infraestrutura do mundo.

Fazendo isso, eles moldam a histria das naes.

So diversas as obras remanescentes que atestam o desenvolvimento da engenharia

civil ao longo de milnios. Os registros escritos destas construes, contudo, se perderam no

tempo. Grandes obras de engenharia surgiram h mais de cinco mil anos na Mesopotmia,

embora haja poucos edifcios remanescentes. Os sumrios que habitavam a regio

construram muros e templos e criaram canais para irrigao. Ainda na mesma regio surgiu a

pavimentao, feita com pedras achatadas colocadas nos trajetos mais movimentados das

cidades. Ainda na Mesopotmia h registro da primeira ponte feita de pedra, que se estendia

sobre o rio Eufrates. At ento, as pontes eram feitas somete com madeira.



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Durante a expanso do Imprio Romano, houve o surgimento de novas tcnicas

construtivas, especialmente a partir da grande oferta de matrias-primas e trabalho escravo.

Embora no tenha grande ligao com a cincia, a engenharia praticada pelos romanos estava

fortemente ligada ao pragmatismo. As grandes estruturas eram voltadas sobretudo para bens

pblicos, como aquedutos, portos, mercados, pontes, barragens e estradas. Vitrvio foi o autor

de um dos manuscritos mais antigos sobre engenharia, no qual descreve as tcnicas e

habilidades que um profissional deve dominar, como conhecimentos cientficos, filosficos e

ticos, dentre outros. Os romanos tambm foram os primeiros a utilizar concreto em suas

obras, quando descobriu-se que uma mistura formada principalmente por cinzas vulcnicas

solidificava-se e dava origem a um material to duro quanto as rochas.

Na ndia a maior parte das construes eram feitas com madeira. Contudo, a partir do

surgimento do budismo, novos e grandes templos e monastrios foram construdos no topo e

nas bordas das montanhas, o que exigiu novas tcnicas que faziam o uso de pedras e rochas.

De forma similar, o hindusmo motivou o surgimento de grandes templos construdos com

pedras. As tcnicas de engenharia na China, por outro lado, desenvolveram-se de forma quase

independente quelas do mundo ocidental. Os chineses utilizavam-se da grande variedade de

matrias primas existentes em seu territrio para construo das fundaes de pedra e casas de

tijolos e telhados de argila. Destaca-se, ainda o surgimento de pontes suspensas antes feitascom fibras de bambu e posteriormente com correntes de ferro, alm dos pagodes, templos em

forma de torres. Contudo, a mais notvel obra ainda remanescente a Muralha da China, que

se estende por milhares de quilmetros e cuja construo iniciou-se em 220 a.C.

No continente africano ao sul do deserto do Saara, as obras com estilos mais simples

utilizavam-se dos materiais existentes e dependiam da cultura das milhares de etnias

diferentes do continente. Destaca-se, contudo, um local de cunho religioso, o Grande

Zimbabwe, cuja origem remonta ao sculo XI. Na Amrica, por fim, as grandes civilizaesinovaram em tcnicas que os permitiram criar grandes templos, especialmente de cunho

religioso. Durante a civilizao Maia, muitas grandes obras foram realizadas, das quais

destaca-se a cidade de Teotihuacan. Os Incas, sculos depois, estenderam seus domnios na

cordilheira dos Andes e criaram elementos de infraestrutura como pontes, estradas e

complexos urbanos, centralizados na ento capital, Cusco. Dentre os principais feitos dos

Astecas, contemporneos dos Incas, destaca-se a cidade de Tenochtitln, capital do imprio

dotada de complexos componentes urbanos, localizada numa regio pantanosa no centro de

um lago.



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Figura 15: TEOTIHUACAN

Fonte:http://www.destination360.com/north-america/mexico/mexico-city/teotihuacan-2>Acesso em:08 de maio de 2014O Imprio Romano, devido sua grande extenso e falta de governo central, no

conseguiu se manter unido e chegou ao fim no ano de 476. Muitas das obras de infraestrutura,

inclusive estradas, aquedutos e portos ento existentes, foram demolidas para construo de

fortificaes. Durante todo o perodo medieval, quase no houveram avanos cientficos, o

que afetou tambm o desenvolvimento de tcnicas de engenharia, que passaram a se restringir

a conceitos prticos pouco estruturados. Os rabes, sobretudo durante o perodo da expanso

islmica, incorporaram tcnicas romanas sobretudo utilizadas em fortificaes, embora jpossussem conhecimentos na construo de grandes mesquitas.

No havia mtodo cientfico nas construes, pelo que eram baseadas no sistema de

tentativa e erro, sendo numerosos os exemplos de colapso de estruturas. Neste perodo nota-

se, ainda, a criao de grandes fortificaes em castelos, para prevenir invases. Houve um

avano na utilizao de rodas de gua para transportar gua e mover moinhos. Houveram

tambm avanos na construo de canais navegveis.

3.2Era moderna

A partir da Renascena, o profissional engenheiro passou a ganhar importncia e

reconhecimento, ao contrrio do perodo medieval em que projetos eram criados por artesos.

Um dos pioneiros do perodo foi Filippo Brunelleschi, que projetou o domo da catedral de

Santa Maria del Fiore em Florena. Ainda com o surgimento da impresso de livros,

comearam a surgir os primeiros manuais com tcnicas de projeto e construo.

Figura 16: Catedral de Santa Maria del Fiore - Florena
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Fonte:http://lugaresondeir.com.br/cidades/florenca/catedral-santa-maria-del-fiore/> Acesso em: 08 demaio de 2014

Posteriormente, a Revoluo Industrial comeava a mudar radicalmente o perfil da

Inglaterra, o que posteriormente viria a acontecer no restante da Europa. A populao

comeou a migrar da zona rural para as cidades para trabalharem nas indstrias. As obras

estruturais necessrias para o desenvolvimento industrial era geralmente conduzida por

engenheiros militares. No entanto, em 1768, o ingls John Smeaton se autodenominou

'engenheiro civil' para diferenciar-se dos profissionais militares, criando assim uma nova e

distinta profisso. Poucos anos depois criou a Sociedade dos Engenheiros Civis, com a

finalidade de reunir profissionais para conceber e executar grandes projetos.

A Revoluo Industrial trouxe consigo novas tcnicas e materiais pertinentes

engenharia. A Ponte de Ferro, no Reino Unido, foi a primeira ponte de arco construda

somente com ferro fundido, o que considerado um marco na histria. Conforme ocorria o

crescimento econmico, era cada vez maior a necessidade de se acelerar os transportes. Por

isso, houve grande ampliao do sistema de canais e posteriormente surgiu a primeira

ferrovia. A utilizao do ferro como elemento estrutural causou grandes mudanas,especialmente por conta de sua resistncia, capacidade de pr-fabricao e facilidade de

montagem. Os engenheiros civis, a partir de ento, puderam inovar no formato dos prdios,

alm de agilizar sua construo. Houve ainda inovao no que se refere construo de

tneis, a partir do primeiro construdo sob o rio Tmisa em Londres para a criao do sistema

metrovirio londrino.

A partir do sculo XX, a engenharia como um todo passou a se desenvolver e se

especializar sobretudo por conta dos avanos cientficos e fundamentaes tericas docomportamento dos materiais. A partir de ento surgiram grandes estruturas antes
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inimaginveis, como o Viaduto de Millau, na Frana, a mais alta ponte para veculos do

mundo, e o Burj Khalifa, o mais alto edifcio do mundo, com mais de oitocentos metros de

altura. A Sociedade Americana de Engenheiros Civis compilou uma lista com as sete

maravilhas do mundo moderno, das quais destacam-se o Eurotnel, sob o estreito de Dover

entre o Reino Unido e a Frana, o canal do Panam, que liga o oceano Pacfico ao Atlntico e

a Usina Hidreltrica de Itaipu entre o Brasil e o Paraguai.

4 FIGURAS GEOMTRICAS NAS CONSTRUES CIVIS

A Geometria (emgrego antigo:;geo- "terra",-metria "medida") um ramo

da matemticapreocupado com questes de forma, tamanho e posio relativa de figuras e

com as propriedades do espao, j a arquitetura pode ser compreendida como o resultado

construdo, fruto da manipulao de slidos geomtricos, atravs da composio de volumes

cheios e vazios, salincias e reentrncias, num jogo de luz e sombra, com cuidados estticos,

preenchendo determinada finalidade e inserido num determinado ambiente urbano.

A partir da geometria Euclidiana, e at antes dela, que a humanidade pde construir

suas casas, suas cidades e seus principais monumentos, mas desde est poca o

desenvolvimento das cidades ocorreu diversas inovaes no ramo da construo civil,construes com as mais formas chamam a ateno por seus aspectos estruturais, seja um

simples edifcio prismtico, comum em nossas cidades, sejam outros em forma piramidal, ou

cnica, mais raros, ou ainda os recentes projetos contemporneos, aparentemente caticos e

sem formas definidas, mas que so traados atravs de novos conceitos geomtricos,

auxiliados pelas novas ferramentas da computao. Para a elaborao desses projetos, so

necessrios dados objetivos, medidas, escalas, construes de figuras geomtricas grficas,

corretas e precisas. nesse momento que geometria e a matemtica se revelam umaindispensvel ferramenta e uma inseparvel aliada na determinao e construo dos volumes

e espaos concebidos, atravs da combinao das suas variadas figuras geomtricas.

Vamos apresentar, de maneira bastante resumida, alguns exemplos bem conhecidos, a

ttulo de ilustrao, onde fica clara a ligao entre as figuras geomtricas nas construes

civis.

Figura 17: PAVILHO DE BARCELONA MIES VAN DER ROHE / 1929
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Fonte:http://www.usjt.br/arq.urb/> Acesso em: 10 de maio de 2014

Este projeto foi feito para representar a Alemanha na feira internacional de Barcelona

de 1929. Neste projeto, um dos mais emblemticos da Arquitetura Moderna Internacional,

podemos apreciar o emprego de figuras geomtricas, simples, puras, como quadrados,

retngulos, planos ortogonais para a composio dos volumes e dos espaos arquitetnicos.

Figura 18: PIRMIDE DO LOUVRE, PARIS I.M. PEI / 1989

Fonte:http://www.usjt.br/arq.urb/> Acesso em: 10 de maio de 2014

Este projeto foi feito durante a reforma e ampliao do Museu do Louvre em Paris,

constituindo-se na sua entrada principal. A forma arquitetnica desta obra resultado direto
http://www.usjt.br/arq.urb/http://www.usjt.br/arq.urb/http://www.usjt.br/arq.urb/http://www.usjt.br/arq.urb/http://www.usjt.br/arq.urb/http://www.usjt.br/arq.urb/



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da aplicao da figura geomtrica de uma pirmide pura e transparente, com base quadrada de

34 metros de lados e 22 metros de altura. Nesse projeto, bem como em grande parte da obra

de I.M. Pei observamos a aplicao constante de figuras geomtricas simples como tringulos,

quadrados e crculos, que geram formas volumtricas simples, mas de grande fora plstica.

Figura 19: A CASA DO CANTADOR, BRASILIA/ 1986

Fonte:http://www.usjt.br/arq.urb/> Acesso em: 10 de maio de 2014A parbola surgiu atravs da interseco transversal de um cone, que foi uma forma

geomtrica muito presente nas obras do arquiteto Oscar Niemeyer como a casa do cantador

que uma obra que mais representa este seu estilo. Inaugurada em 1986 para homenagear os

nordestinos que moram no Distrito Federal.

Figura 20: Ponte Akashi-Kaikyo

Fonte:http://wetete.com/ponte-akashi-kaikyo-uma-obra-da-engenharia/>Acesso em 10 de maio de 2014
http://www.usjt.br/arq.urb/http://www.usjt.br/arq.urb/http://wetete.com/ponte-akashi-kaikyo-uma-obra-da-engenharia/http://wetete.com/ponte-akashi-kaikyo-uma-obra-da-engenharia/http://wetete.com/ponte-akashi-kaikyo-uma-obra-da-engenharia/http://wetete.com/ponte-akashi-kaikyo-uma-obra-da-engenharia/http://www.usjt.br/arq.urb/



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A ponte uma estrutura calculada geometricamente, pois abrange a utilizao de

transportes, tendo que ser bastante segura. Ela possui vrias formas geomtricas como:

retngulos, cones, retas e planos.

A sociedade contempornea avana celeremente para novas formas de viver e fruir

seus espaos, novos paradigmas esto postos para a sua convivncia. Questes como a

globalizao, a comunicao instantnea, a preservao do meio ambiente, o rompimento de

padres, valores e formas tradicionais, novos conhecimentos cientficos esto na pauta das

nossas preocupaes. Essas inquietaes podem desaguar em novas formas dos nossos

espaos construdos, que vo ainda conviver por muito tempo com formas tradicionais, face

s grandes disparidades sociais e econmicas da humanidade. Assim, a par das novas e

complexas experimentaes formais, vo coexistirem solues volumtricas mais singelas,

isto , ao lado das obras excepcionais topolgicas da vanguarda arquitetnica internacional

vo estar presentes outras de solues tradicionais, euclidianas. Assim, procuramos mostrar,

atravs dos poucos exemplos e anlises apresentadas, como as formas geomtricas so

utilizadas nas construes civis.

A Geometria Euclidiana ainda est presente num grande nmero de edificaes

correntes, ao lado de novas experimentaes formais, baseadas em novas geometrias.Entender os preceitos euclidianos tradicionais, suas figuras bsicas, suas construes, bem

como os novos conceitos geomtricos, como fractais, binicos e topolgicos podem contribuir

decisivamente para a criao e desenvolvimento das formas usadas nas construes civis,

ento podemos considerar que a geometria no um elemento limitador ou castrador da

atividade criativa e sim um poderoso aliado, desde que conhecido e dominado.

Contudo pode considerar que as figuras geomtricas e o conhecimento cerca da

matemtica bsica envolvida na engenharia civil englobam muitos aspectos do cotidiano eque merecem uma ateno maior quando so estudadas, j que podem responder o motivo

pelo qual todas as estruturaes existentes se estabilizam.

5 USO TERICO E PRTICO DA MATEMTICA NAS CONSTRUES CIVIS

A convergncia de ideias entre a matemtica e a construo civil muito vasta, visto

que todo o alicerce da engenharia civil constitudo por cincias exatas. Nenhuma espcie depreconceito deve ser tomado num projeto, pois este, requer todo um planejamento de sua

estrutura fsica desde seu incio. Comeando pelo norteamento das tarefas especficas para



23

cada profissional. Este fato indica a necessidade de fragmentar toda e qualquer proposta de

trabalho afvel, para estabelecer uma linha de conduta no projeto.

Desse modo, o Arquiteto ficar encarregado elaborao das construes de um modo

terico, como plantas e maquetes, visando construir a base de todo o ofcio. O engenheiro ir

calcular a estrutura e identificar os materiais que sero utilizados na obra. O pedreiro ir

oferecer todas as medidas dos materiais necessrios. O carpinteiro e\ou marceneiro calcular

os ngulos alcanados na estrutura da obra j em andamento.

5.1Elaborao de projetos atravs da matemtica

O primeiro panorama a ser realizado a planta baixa da construo. Ou seja, a

ilustrao do corte horizontal da obra. Essa etapa depender de diversos clculos abordando

escalas, razes, propores, reas e semelhanas. Pois todo o desenho representar uma escala

menor da obra real. Isso permitir obter informaes sobre o imvel, mesmo que ele ainda

no tenha sido construdo.

Para efetuar tal procedimento, apenas de maneira construtiva e investigadora, visto

que o escopo deste trabalho no esgotar alguma rea de conhecimento da Engenharia civil

ou Arquitetura, mas sim ampliar a viso para a interdisciplinaridade do curso em atividade, oconhecimento das seguintes propriedades so fundamentais:

Ter cincia das utilidades das ferramentas bsicas a serem utilizadas para realizar o

esboo da obra, como compasso, rgua, transferidor de grau e esquadros.

Figura 21Esquadros

Fonte: Guia de EstudoGeometria Pala e Espacial IUnid. 1. P. 17.

Figura 22 - Compasso



24

Fonte: Guia de EstudoGeometria Pala e Espacial IUnid. 1. P. 18.

Figura 23Rgua

Fonte:http://loja.ferramix.com.br/ecommerce_site/produto_9980_5283_Regua-300-mm-Aco-Inox-lee-Tools-682893> Acesso em: 29 de abril de 2014.

Figura 24Transferidor de grau

Fonte:http://www.sodine.com.br/material-para-escritorio/acrilicos/transferidor-escolar-180-graus-c-10-un>Acesso em: 29 de abril de 2014.

Os esquadros podem ser teis na construo de linhas retas, vrtices com ngulos retos

e na anlise da angulao de paredes.

Com o compasso pode-se construir circunferncias ou arcos de circunferncia, e

marcao de segmentos numa reta dada.

A rgua til tanto para traar segmentos de reta, quanto para medir distncias.

J o transferidor de grau possibilita a marcao de graus num determinado vrtice,

sendo de sua propriedade, o desenho de um crculo, disponibiliza tambm o desenho de uma

circunferncia.
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25

Conhecer os principais entes da Geometria: ponto, reta, ngulo, construes e

figuras geomtricas, reas e volumes de slidos

Segundo Euclides, na sua obra Os elementos: Ponto o, que no tem partes, ou o,

que no tem grandeza alguma. Ele o incio de qualquer construo geomtrica.

A reta iniciada por um ponto e, em seguida, por infinitos pontos. Sendo posto a

menor distncia entre eles. Existem outras propriedades que uma reta pode assumir, como

semirreta e segmento de reta.

Segundo Carvalho (2007, p. 26) o ngulo formado por duas semirretas com mesma

origem, chamado de vrtice. O conjunto de todos os pontos que esto nas semirretas e, entre

elas, forma a regio angular.

Diversas construes geomtricas podero ser utilizadas para a realizao da planta

baixa. As perpendiculares e paralelas so populares nessa atividade.

Todos os pontos citados anteriormente so de suma importncia para a construo de

figuras como tringulos, quadrilteros e circunferncias. Cujas so formadoras dos desenhos

de uma planta.

Conhecer teorias usadas para calcular a rea ou o volume de um slido so de suma

importncia para identificar completamente a dimenso de uma figura plana ou espacial

estabelecida. Sendo assim, necessrio que se conhea os diversos teoremas da geometria

espacial, para que se possa prever toda a estrutura geomtrica das construes.

Com base nas construes vistas anteriormente pode-se concluir que popularmente, as

obras de construo civil especificam-se na sua forma por ser dotadas de poliedros.

Chamamos de poliedro o slido limitado por quatro ou mais polgonos planos, pertencentes a

planos diferentes.

Figura 25: Poliedros regulares



26

Fonte:http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial7.php>Acesso em 12 de maio de 2014

5.2

Objetivos visados

Como toda obra necessita, tanto na teoria, quanto na prtica, de ideias norteadoras do

seu processo, necessrio instalar metas para manter um bom desenvolvimento do projeto.

No caso de construes civis, as premissas que devero ser tomadas para o incio do projeto

a anlise do terreno e as suas peculiaridades. Somente depois de uma anlise bem minuciosa

que deve-se conduzir o projeto, porm, ainda de modo ilustrativo, para ter-se uma ideia

generalizada e bem ratificada da obra.

5.3Deteco e soluo de problemas estruturais
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27

Aps a anlise do terreno e a deteco de suas caractersticas, ser feito o

levantamento dos processos necessrios para que seja adaptado para uma determinada

construo. O enquadramento mais comum em terrenos, alm de sua limpeza, aterraplanagem (nivelamento ou aterramento do solo). Pois propicia-o a uma construo

compacta.

Alguns terrenos possuem singularidades que devem ser bem estudadas. Como por

exemplo: solos que possuem uma declividade maior no fundo. Sendo assim, torna-se fcil a

retirada da gua das chuvas e rede de esgoto. No entanto, outros casos podem restringir a sua

utilidade. Como o caso de terrenos que possuem a sua frente com um declive maior. A

terraplanagem ser, provavelmente, a nica forma de solucionar tal problema.

6 DESENVOLVIMENTO

Para exemplificar este trabalho, uma simulao de construo civil ser realizada, a

fim demonstrar de forma metdica os processos necessrios para sua idealizao e como a

matemtica incide de forma prtica nestas obras.

6.1Estudo do terreno

Para facilitar a simulao, supe-se dispor de um terreno plano e quadrado com lados

medindo 35m cada um. Resultando numa rea de 1.225 m. Porm, deve-se dedicar 1,90m de

largura de 2 lados do terreno para a construo da calada para a circulao de pedestres. A

nova rea ser ento de 1.095,61m, pois 33,10 x 33,10 = 1.095,61.

Figura 25rea do terreno



28

Fonte: (FERREIRA, 2014, Google SketchUp 8 pro.)

6.2

Projeto e materiais

Com a rea real do terreno em mos, pode-se elaborar o esboo de toda a obra,

seguindo os critrios que forem desejados. Nesta construo prev-se um muro pavimentado

de pedra com largura de 0,18m, que cerque todo o terreno. A casa deve ter uma piscina, uma

sauna, varanda em, no mnimo 2 lados, uma garagem, uma sala de estar, 2 quartos, uma

lavanderia, uma sute, 2 banheiros (incluindo com a sute), uma sala de jantar e uma cozinha.

A piscina dever ter a sua rea igual a 36m, 1,80m de profundidade, com as bordas

revestidas com uma camada de pedras de arenito, e outra com tijolos de concreto.

A sauna dever ter aproximadamente 21m, revestida com camadas de madeira cor

canela. E uma rea de 16m antes da sauna, pavimentada com o solo revestido com lajotas na

cor cinza.

A varanda ter uma altura de 4m, com largura de 4m, com telhas asflticas, com a

base feita de tijolos antigos. O solo ser revestido por madeira parquet.

A caixa dgua deve ficar entre a laje e o telhado.A garagem ter 24m, com o solo revestido de estuque branco.



29

A sala de estar ter 48m, com o solo revestido de piso de madeira clara.

Os dois quartos devero ter 24m cada um, com o solo revestido com piso de madeira.

A lavanderia dever ter 8m, e tambm com o cho revestido com piso de madeira.

A sute dever totalizar 77m (incluindo o banheiro), com o solo revestido de piso de

madeira escura, e o banheiro com o solo revestido com placas de cortia.

O segundo banheiro ter aproximadamente 20m, e tambm com o solo revestido com

placas de cortia.

A sala de jantar ter 63m, e ter o mesmo piso da sala de estar.

A cozinha dever der 36m, tambm com o mesmo piso da sala de estar e de jantar.

A construo dever ter 72m de grama na sua frente, e mais 72m da mesma, no seu

lado esquerdo, com mais, aproximadamente, 12m no seu lado direito.

O porto que dar acesso rua dever ter 3m de comprimento, e a grade da garagem,

4,5m. Ambos devero ser feitos de metal.

As janelas e portas que serviro de entrada e sada da casa devero ser feitas de vidro

translcido, e acabamento com pedras de granito.

As portas que serviro como entrada para quartos da casa devero ser feitas de

madeira cerejeira original, e todas com 0,85m de largura. Exceto a porta da sauna, que dever

ser feita de metal.No dever haver parede dividindo a cozinha da sala de jantar. Apenas um balco feito

de blocos de vidro escuro translcido, numa altura no mais que 1,5m.

Todo o restante do terreno da construo dever ser revestido com estuque branco. As

paredes da casa devero ter a mesma largura do muro que a contorna (0,18m). E devero ser

pintadas na cor salmo claro.

6.3

Planta baixa da obra

Tendo estas informaes precedendo a construo da planta baixa de uma obra, torna-

se possvel seguir uma linha de tempo cronolgica ideal.



30

Figura 26Planta baixa da obra


6.4Projeto em ao

Esta obra, assim como outras, deve possuir uma fundao no solo para manter-se fixa

e estvel. Em seguida, realiza-se o levantamento das paredes. As quais tero uma altura de

4m.



31

Figura 27Levantamento das paredes


Logo aps as paredes, deve-se construir o teto. Geralmente, quando se quer ter uma

base de concreto, ou seja, uma laje, esta deve ser feita de uma s vez, devido a

impossibilidade de fragmentar essa tarefa para ser concluda em outro dia. Durante o seu

processo deve ter escoras para que fique perfeitamente plana e no corra riscos dedesabamento.

Na parte do telhado, deve-se manter uma declividade notria, para melhorar o

escoamento da gua das chuvas. Com as paredes e telhado prontos, pode-se comear a

varanda e a piscina.

Faz-se depois, o revestimento do terreno com os materiais citados no tpico passado, e

as demais peculiaridades pedidas na obra.

Devido altura das janelas, foi preciso fazer uma laje em toda a varanda, para manterem acordo, as caractersticas do projeto.

Estudando as metas de maneira minuciosa, eliminando possveis equvocos, o projeto

visado ganha sua forma real e estruturada.



32

Figura 28Obra concluda




33

7 ANLISE DO PROJETO REALIZADO

Desde o desenvolvimento da planta baixa da obra, foi necessrio ter conhecimentos

matemticos para conhecer a rea de cada repartio do terreno. Uma noo tridimensional

necessria para um esboo proporcional construo. Como os desenhos foram feitos em

escala real, mudando apenas a distncia e o ngulo focal de viso, ao passar a planta para uma

folha, seria necessrio estabelecer uma proporcionalidade como: 1m = 1cm, e 10cm = 1mm.

Pois uma figura real, desenhada em propores menores, dever ter uma razo entre elas para

que obedeam as mesmas escalas proporcionais de medida. Isso j o incio para oconhecimento da razo, proporo, e semelhana. Teorias que so fundamentais em qualquer

construo civil.

Ao construir a piscina, foi necessrio o conhecimento de profundidade, determinando

o formato de uma figura geomtrica espacial. Ela tem 12m de comprimento e 3m de largura,

totalizando uma rea de 36m. Mas esta informao consta apenas a sua superfcie ou a sua

base. Ao passo que possui 1,80m de profundidade. Logo, ser necessrio descobrir a rea total

desse slido para que se possa ter uma noo do seu espao. Em seguida, pode-se tambm,descobrir o seu volume total. Ento, denominaremos o comprimento da piscina de a, a sua

largura de b, e a sua profundidade de c. Segundo Filho e Silva (p. 432, 2000), a rea

total ser a soma das reas das superfcies das bases com a rea da superfcie lateral. Fica

assim:

At =2 x Ab + Al

At = rea total a = 12

Ab = rea da base b = 3

Al = rea lateral c = 1,8

At = 2 x (a x b) + [2 x (a x c) + 2 x (b x c)]

At = 72 + [2 x 21,6 + 2 x 5,4]

At = 72 + 43,2 + 10,8

At = 126m

Ainda com base nos mesmos autores, o volume desta piscina (prisma reto)

calculado pelo produto da rea da base pela profundidade. Fica assim:



34

V = Ab x h

V = Volume a = 12

Ab = rea da base b = 3

h = profundidade c = 1,8

V = a x b x c

V = 12 x 3 x 1,8

V = 64,8m

Em verdade, essa obra apresentaria muito mais peculiaridades. No entanto, somente

uma representao abstrata de uma possvel construo civil. Com todos esses aspectos,

torna-se possvel a percepo de como o homem conseguiu aprimorar suas obras de maneira

que obedeam quaisquer premissas estabelecidas.

Outro exemplo pode ser emitido quando o assunto so lajotas:

O banheiro de uma casa tem o formato de um paraleleppedo. O p-direito(distncia entre o cho e o teto) desse banheiro de 3m, enquanto as distncias entre

as paredes paralelas entre si so 4m e 5m.O cho do banheiro est revestido com porcelanato, o tento est pintado

com tinta branca e as paredes esto todas completamente azulejadas. Se o nico tipode azulejo utilizado apresenta formato quadrado e tem lado de 20cm, a porta tem

medidas 80cm x 260cm e a janela tem 40cm x 80cm, quantos azulejos foram usadospara cobrir as paredes desse banheiro?

a)890 b)1.150 c)1.290 d)1.350 e)1.690

(JUNIOR, 2009, p. 5)Resoluo:

Nesse banheiro, existem 4 paredes, sendo que duas so do tipo A e duas do tipo B,

conforme a figura a seguir:

Figura 29: planificao do banheiro

Fonte: (JUNIOR, 2009, p. 5)

Nas paredes do tipo A, podemos colocar 500/20 = 25 azulejos na horizontal e 300/20

= 15 azulejos na vertical. Cada parede do tipo A ter 375 azulejos. Nas paredes do tipo B,podemos colocar 400/20 = 20 azulejos na horizontal e 300/20 = 15 azulejos na vertical. Cada

parede do tipo A ter 300 azulejos. Na porta devemos excluir 80/20 = 4 azulejos na horizontal



35

e na vertical 260/20 = 13 azulejos. Isso totaliza 4 x 13 = 52 azulejos. Na janela devemos

excluir 40/20 = 2 azulejos na horizontal e na vertical 80/20 = 4 azulejos. Isso totaliza 2 x 4 = 8

azulejos. Assim, o total de azulejos nesse banheiro ser 375 x 2 + 300 x 2 528=1.290.

(Alternativa C)

Majoritariamente, as construes civis mantm suas formas poligonais a fim de manter

o espao e o perfeito encaixe das subdivises da obra. Esta percepo foi adquirida ao

raciocnio lgico humano de maneira totalmente natural, com a necessidade de alojamento.

So notrias as construes de outros seres vivos que tambm conseguiram obter bons

resultados quanto s suas adaptaes necessrias em relao ao meio ambiente. Um bom

exemplo so as abelhas, que ao optarem por construir seus favos de estoque de mel em forma

de hexgonos, obtiveram um perfeito encaixe entre todos os repartimentos da colmeia,

aproveitando todo o seu espao.

Figura 30: Colmeia

Fonte:http://pt.dreamstime.com/imagens-de-stock-royalty-free-abelhas-no-favo-de-mel-image7470969> Acessoem: 12 de maio de 2014

Provavelmente, nenhuma abelha fez clculos matemticos de forma estruturada e

simblica. Todavia, suas molduras foram ganhando sentidos teis atravs da seleo

natural, de onde a colmeia mais eficiente, consegue proliferar com maior facilidade.
http://pt.dreamstime.com/imagens-de-stock-royalty-free-abelhas-no-favo-de-mel-image7470969http://pt.dreamstime.com/imagens-de-stock-royalty-free-abelhas-no-favo-de-mel-image7470969http://pt.dreamstime.com/imagens-de-stock-royalty-free-abelhas-no-favo-de-mel-image7470969



36

Figura 31: Quadrilteros, crculo e circunferncia



37

Fonte: (FILHO & SILVA, 2000, p. 423)

Figura 32: Hexgonos regularesrepresentao grfica de uma colmeia



38

Fonte: (FERREIRA, 2014, Java C. a. R.)

Esses clculos e comparaes so exemplos de como a matemtica pode influenciar de

maneira indispensvel nas construes civis. A sua utilidade abrange diversas atividades do

ser humano, e no possvel dispensar o seu uso. Desde um raciocnio lgico simples, at

clculos complexos, preciso ter cincia de que a matemtica de certa forma, quase

intrnseca ao homem, desde quando a sua necessidade de evoluo foi detectada.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS



39

COMMANDINO, Frederico. Euclides Elementos de Geometria. So Paulo: Edies

Cultura, 1944.

CARVALHO, Hlio Srgio Leo de. Guia de Estudo Geometria Plana e Espacial I

Unid. 1 a 3. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2007.

FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Claudio Xavier da. Matemtica aula por aula. Vol. Uni.

So Paulo: FTD, 2000.

MATEMTICA NA CONSTRUO. Direo Geral: JUNIOR, Roberto Machado.

Apresentao: LOPES, Antnio Jos. Roteiro: SALGADO, Douglas; Idem. TV Escola.

JUNIOR, Euler de Freitas Silva. Curso preparatrio para o novo ENEM: caderno de

questes: matemtica e suas tecnologias. Curitiba: IESDE, Brasil, 2009.

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HANSEN, Karen; ZENOBIA, Kent. Civil Engineer's Handbook of Professional Practice.

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KENNIE, T.J.M.; G. Petrie. Engineering Surveying Technology. S. l.: Taylor & Francis

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WEINER, Ruth F. Environmental Engineering. S. l.: Elsevier Science, 2003. 484 p.
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equipe cubo truncado - influência da matemática nas construções civis

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