equações parabólicas no domínio do tempo aplicadas à
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Universidade Federal de Minas Gerais
Escola de Engenharia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Equações Parabólicas no Domínio do Tempo Aplicadas à
Análise de Cobertura e Desempenho de Sistemas de Comu-
nicação sem Fio em Terrenos Irregulares
HUGO DANIEL MELO FERREIRA
Trabalho submetido à banca examinadora de-
signada pelo Colegiado do Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica da Univer-
sidade Federal de Minas Gerais, como requisito
parcial para obtenção do grau de Mestre em En-
genharia Elétrica.
ORIENTADOR: PROF. DR. CÁSSIO GONÇALVES DO REGO
COORIENTADOR: PROF. DR. GLAUCIO LOPES RAMOS
Belo Horizonte, Setembro de 2018
Este trabalho é dedicado a Joel, Rosa, Higo,
José e Joana (in memoriam).
ii
Agradecimentos
A todos amigos e familiares que de alguma forma me deram suporte
neste trabalho, em especial:
Aos meus pais e irmão pelo apoio incondicional e suporte nos mo-
mentos que mais precisei;
Aos meus avós e tios pela compreensão, ajuda e carinho;
Ao meu orientador Prof. Cássio Rego, pelos ensinamentos passa-
dos, pela confiança e conselhos ao longo desta pesquisa;
Ao meu coorientador Glaucio Lopes, pelo suporte durante a pes-
quisa;
A meus amigos do GAPTEM, Diego Tami, Diego Andrés, Nayara,
Tcharles, Solival e David pelo convívio e boas conversas;
À agencia CAPES, pela bolsa de estudo;
À Deus.
iii
Resumo
Este trabalho tem como objetivo abordar problemas de radiopropagação
através do método da equação parabólica. Para utilizar tal modelo, a formulação
é desenvolvida no domínio do tempo, onde se considera tanto problema eletrica-
mente suaves, quanto irregulares. Para isso, o método utilizado para resolver as
equações é baseado no método de Cranck-Nicolson para que a estabilidade seja
garantida. A formulação TDPE (Time Domain Parabolic Equation) é desenvol-
vida considerando uma abordagem conhecida como NAPE (Narrow Angle Para-
bolic Equation).
A técnica numérica considera atmosfera não-homogênea, onde de acordo
com a variação de altura, altera-se o valor do índice de refração. Outro fator a ser
considerado está relacionado às perdas do solo, onde se utiliza uma condição de
contorno deduzida a partir da condição de Leontovich. O truncamento do domínio
computacional superior é feito através de funções conhecidas com janelas de trun-
camento. Para alguns casos analisados, será utilizada a janela de Hanning.
A formulação TDPE desenvolvida é aplicada em perfis canônicos (terra
plana e cunha) e casos onde se analisa perfis reais. Outro ponto analisado é a
comparação feita entre a presente formulação, considerando atmosfera não-homo-
gênea e outra formulação que considera atmosfera homogênea. Por fim, como
último caso avaliado, é simulado um perfil real considerando a mudança das ja-
nelas de truncamento de domínio, onde se utiliza as janelas de Hanning, Ham-
ming, Kaiser e Hanning Poisson.
Palavras-chave: Equação parabólica, TDPE, NAPE, atmosfera não-homogênea,
janelas de truncamento.
iv
Abstract
This work addresses radio propagation problems through the parabolic
equation method. To use such a model, the formulation is developed in the time
domain, where both electrically soft and irregular problems are considered. For
this, the method used to solve the equations is based on the Cranck-Nicolson
method for stability to be guaranteed. The TDPE (Time Domain Parabolic Equa-
tion) formulation is developed considering an approach known as NAPE (Narrow
Angle Parabolic Equation).
The numerical technique considers the nonhomogeneous atmosphere,
where a variation of height is made, the value of the index of refraction is altered.
Another factor to be considered is related to soil losses, where a contour condition
deduced from the Leontovich condition is used. The truncation of the upper com-
putational domain is done through known functions with truncation windows. For
some cases analyzed, the Hanning window will be used.
The developed TDPE formulation is applied in canonical profiles (flat
earth and wedge) and cases where real profiles are analyzed. Another point ana-
lyzed is the comparison made between the present formulation, considering non-
homogeneous atmosphere and another formulation that considers homogeneous
atmosphere. Finally, as the last evaluated case, a real profile is simulated consid-
ering the change of domain truncation windows, where the Hanning, Hamming,
Kaiser and Hanning Poisson windows are used.
Keywords: Parabolic Equation, TDPE, NAPE, non-homogeneous atmosphere,
truncation window.
v
Sumário
Resumo iii
Abstract iv
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas ix
Glossário x
1 Introdução 01
1.1 Contexto e Motivação ............ ........ ........ ............ ........ ........ 01
1.2 Justificativa e objetivos ....... ........ ......... .. ............ ........ ........ 02
1.3 Estrutura do texto .... ............ ........ ........ ............ ........ ........ 03
2 Desenvolvimento 04
2.1 Equação Parabólica .... .... .... ......... .... ............ ........ ........ ...... 04
2.2 Formulação da Equação Parabólica ..... ............ ........ ........ ....... 06
2.3 Equação Parabólica no Domínio do Tempo (TDPE) ...... ........ ...... 10
2.3.1 Condição de contorno de impedância do solo ..... ......... ...... 11
2.3.2 Camada Absorvente .... ......... ........ .. ............ ........ ....... 13
2.4 Variação Atmosférica .. ........ ......... .... ............ ........ ........ ...... 16
2.5 Formulação Numérica ..... ......... ........ . ............ . ....... ........ ..... 18
2.5.1 Condição de contorno de impedância do solo ..... ......... ...... 21
2.5.2 Implementação da camada absorvente ............ ........ ........ 22
vi
2.6 Conclusões parciais .......... ........ ......... ............ ........ ........ ..... 23
3 Simulação e Resultados 24
3.1 Modelagem da fonte ...... ......... ........ ... ............ ........ ........ ..... 25
3.2 Terra Plana ........ ............ ........ ........ ............ ........ ........ .. ... 26
3.3 Relevo Cunha ...... ............ ........ ........ ............ ........ ........ ..... 28
3.4 Ângulo de Propagação ..... ......... ........ . ............ ........ ........ ..... 31
3.5 Dinamarca ........ ............ ........ ........ ............ ........ ........ ...... 32
3.6 Tempo de processamento .. ........ ......... ............ ........ ........ ...... 36
3.7 Camada absorvente ...... ......... ........ ... ............ ........ ........ ...... 37
3.8 Conclusões parciais .......... ........ ......... ............ .... .... ........ ..... 40
4 Conclusões 41
4.1 Conclusões finais .. ............ ........ ........ ............ ........ ........ ..... 41
4.2 Proposta de continuidade .. ......... ........ ........ .... ........ ........ ...... 42
Referências Bibliográficas 44
vii
Lista de Figuras
2.1 Problema de interesse com terreno irregular ...... ........ ........ . . ..... ...... 05
2.2 Propagação de energia para ângulos pequenos na direção paraxial x ..... 09
2.4 Relevo discretizado e seu respectivo vetor de inclinação ........ ... . .......... 13
2.5 Comportamento das janelas da camada absorvente ........ ........ . ....... ... 15
2.6 Variação da refratividade para formação de dutos atmosféricos a) duto su-
perficial, b) duto superficial elevado e c) duto elevado ...... ......... .. ...... ..... 17
2.7 Malha do método Crank-Nicolson .. ...... ......... ... ...... .. ... ..... ............ 18
3.1 Forma de onda f ct ............... ........ . ....... ............ ........ ........ .. .. 26
3.2 Modelo terra plana para cálculo de campo .......... ........ .... ..... . ..........27
3.3 Sinal recebido para modelo terra plana para atmosfera homogênea (azul), nova
formulação com atmosfera homogênea (preto) e atmosfera não-homogênea (ver-
melho) ..... ........ ...... ............ ........ ........ ............ ........ ........ .......... 27
3.4 Perfil de relevo tipo cunha ....... .... .... .. ..... ....... .... .... ........ ........... 28
3.5 Sinal Recebido para o relevo cunha para solo médio .... ..... ... .. . ....... .... 29
3.6 Sinal Recebido para o relevo cunha para solo seco .. ........ ....... . .......... 30
3.7 Comparação para sinal recebido para dois tipos de solo .... ........ .. ........ 30
3.8 Sinal recebido para distâncias de 100, 300, 400, 700 e 1000 metros ....... .. 31
3.9 Perfis dos terrenos verificados na Dinamarca .... ......... . . ... ...... ........... 33
3.10 Sinal emitido pela fonte ...... ......... ..... ............ ........ .... .... ..... ..... 34
viii
3.11 Sinal Recebido para o relevo Jerslev .... . ............ .. ...... ... ..... ....... ... 34
3.12 Perfil de campo para o relevo Jerslev ... ............ ........ ........ ......... .. 35
3.13 Sinal Recebido para o relevo Mjels ....... ...... ...... ... ..... ..... ... ..... ..... 35
3.14 Perfil de campo para o relevo Mjels .... . ............ . ....... .. ...... ....... .... 36
3.15 Sinal recebido para o relevo Mjels com diferentes janelas de absorção …. 37
3.17 Perfil de campo para o relevo Mjels com (a) janela de Hamming, (b) janela
de Kaiser e (c) janela de Hanning-Poisson ... ............ ........ ..... ... ..... ...... 39
ix
Lista de Tabelas
III.I Parâmetros da simulação ....... ..... ... .. ............ ..... ... ........ ........... 26
III.II Custo computacional para cada tipo de relevo .. ........ . ........ ......... .. 36
x
Glossário
EP – Equação Parabólica
FDTD – Finite Difference Time Domain
GPU – Graphic Processing Unit
M oM – Method of Moments
NAPE – Narrow Angle Parabolic Equation
PE – Parabolic Equation
SHF – Super High Frequency
SSPE – Split Step Parabolic Equation
TDPE – Time Domain Parabolic Equation
TE – Transverse Eletric
UHF – Ultra High Frequency
UTD – Uniform Theory of Diffraction
UWB – Ultra Wide Band
VHF – Very High Frequency
WAPE – Wide Angle Parabolic Equation
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Contexto e M otivação
A previsão da cobertura do sinal radioelétrico é um pré-requisito funda-
mental para o planejamento, análise e otimização de sistemas de comunicação
sem fio. Logo, uma análise do comportamento do sinal em diversas frequências de
operação, considerando-se diferentes taxas de transmissão e esquemas de modula-
ção, bem como nas diversas condições do canal de propagação, resultam um tema
importante de ser estudado e compreendido.
O campo das radiocomunicações está mudando rapidamente e as necessi-
dades de operação em bandas mais largas demandam o uso de métodos mais
precisos para previsão de desempenho de sistemas de comunicação sem fio, os
quais tem tido sua demanda aumentada nos últimos anos devido a evolução dos
serviços de comunicação pessoal. Estes, permitem a transmissão de dados, sons,
imagens e acesso à internet com operação em altas taxas, de maneira a permitir
uma melhor eficiência no seu oferecimento. Para a implantação destes serviços é
necessário o dimensionamento de enlaces de rádio digital de alta capacidade, os
quais acomodam a grande quantidade de informação e fornecem a ligação entre
os provedores dos serviços e suas estações de transmissão.
O espectro eletromagnético é dividido em nove bandas de frequência com-
preendidas entre os 30 kHz e 300 GHz, sendo principalmente as bandas VHF (30
MHz a 300 MHz), UHF (300 MHz a 3 GHz) e SHF (3 GHz a 30 GHz) as faixas
de frequência mais utilizadas na transmissão de sinais comunicações sem fio com
mobilidade [1]. Considerando que a propagação do sinal de rádio é influenciada
diretamente pela frequência de transmissão, diversos modelos para predição de
2
cobertura vêm sendo desenvolvidos com aplicações em determinadas faixas do
espectro radioelétrico.
De modo geral podem-se agrupar os modelos de predição de cobertura
radioelétrica como do tipo analíticos, semi-empíricos e empíricos. Para caracteri-
zar sistemas banda-larga e sistemas de comunicação modernos, cresce o interesse
em desenvolver técnicas robustas no domínio do tempo, já que, fazer uma análise
de várias frequências pode se tornar computacionalmente dispendioso. Os mode-
los de predição do tipo analítico oferecem resultados mais completos e coerentes,
o que se deve ao maior rigor de sua formulação, muito embora sejam computaci-
onalmente mais intensos. Entre as técnicas analíticas tradicionais podemos men-
cionar o método da equação parabólica (PE) [2],[3], o método das equações inte-
grais resolvidas por métodos numéricos como, por exemplo, o Método dos Mo-
mentos (MoM) [4]–[7], as técnicas de traçado de raios combinadas com a Teoria
Uniforme da Difração (UTD) [8]–[10], e o método das Diferenças Finitas no Do-
mínio do Tempo (FDTD) [11]–[13].
O uso das Equações Parabólicas no Domínio do Tempo (TDPE) foi in-
troduzido primeiramente por Claerbout [14], nos anos 70, onde foi utilizado para
o calcular a propagação de ondas sísmicas. A introdução desta técnica para análise
de problemas eletromagnéticos foi proposta por Popov [15], onde foi deduzida uma
condição de contorno de impedância do solo para que fossem introduzidas as per-
das relacionadas ao solo. No mesmo trabalho, Popov também propôs uma condi-
ção de contorno de transparência não local para o truncamento do domínio com-
putacional superior.
1.2 Justificativa e Objetivos
A caracterização de canal de propagação em ambientes urbanos é um tema com
grande quantidade de estudos publicados na literatura devido à importância teórica e
3
prática que esta possui. O método da equação parabólica tem se mostrado como alterna-
tiva interessante em projetos de rádio enlaces, dada a maior precisão e rigor nas predições.
Outro aspecto importante deste método é a possibilidade de inserir algumas particulari-
dades em relação ao ambiente de propagação, tais como: variações atmosféricas, terrenos
com diferentes parâmetros elétricos e a possibilidade de simular relevos irregulares.
Este trabalho tem como contribuição uma proposta de melhoria para a
ferramenta de análise da equação parabólica no domínio do tempo já desenvolvida
em [16], onde se considera atmosfera não-homogênea [17]. Outro ponto a ser con-
siderado é a possibilidade de cálculo de campo onde se considera relevos irregula-
res e em grandes distâncias. Portanto, a implementação deste método, se torna
uma alternativa para análise de campo no domínio do tempo, possibilitando as-
sim, analisar casos práticos com diferentes técnicas numéricas já desenvolvidas no
GAPTEM – UFMG (Grupo de Antenas, Propagação e Teoria Eletromagnética)
[18] – [20].
1.3 Estrutura do Texto
O presente texto está organizado da seguinte forma: no Capítulo 2 é realizado o
desenvolvimento da formulação da equação parabólica (PE). O desenvolvimento da for-
mulação no domínio temporal é feito com base no método das diferenças finitas.
O Capítulo 3 exibe os resultados obtidos, onde a formulação proposta é
avaliada por meio da solução de problemas canônicos (terra plana e cunha) e em
seguida comparada com outra formulação TDPE. O método é aplicado conside-
rando mudança no índice de refração atmosférico. Por fim, dois casos práticos são
analisados, avaliando o comportamento do sinal de acordo com a mudança da
camada absorvente.
O Capítulo 4 apresenta as conclusões e as propostas de continuidade para
trabalhos futuros.
4
Capítulo 2
Desenvolvimento
Este capítulo tem por finalidade apresentar a formulação utilizando
TDPE para o cálculo de campo em terrenos irregulares, conforme é mostrado na
Figura 2.1. A princípio a formulação é deduzida a partir das equações de Maxwell,
no domínio da frequência e em seguida transformada para o domínio do tempo.
Feita a transformação, foi implementada a condição de Leontovich para terrenos
lineares por partes para que seja possível estimar as perdas do solo. Após definir
tais condições, é apresentada também a formulação de diferenças finitas de acordo
com o Método de Crank-Nicolson para análise numérica e implementar as cama-
das absorventes como por exemplo a janela de Hanning, Hamming e Kaiser (uti-
lizada para limitar o domínio computacional na parte superior).
2.1 Equação Parabólica
O método de equação parabólica proposto por Leontowich e Fock [21],[22]
é uma abordagem de simulação eficiente para a propagação sobre a superfície da
Terra, transformando assim a PE de Leontovich em uma ferramenta universal de
teoria da difração. Na propagação de ondas de rádio, a PE foi utilizada primeiro
para derivar fórmulas analíticas explícitas para campos eletromagnéticos em am-
bientes de propagação. Uma simplificação foi alcançada através da introdução da
condição de contorno de impedância. A modelagem numérica da propagação de
ondas eletromagnéticas através da TDPE permite inserir várias informações rela-
tivas ao caminho de propagação, tais como, perfil do relevo, características elétri-
cas do terreno e condições atmosféricas. Com a inserção dessas características, a
5
simulação de uma grande classe de enlaces torna-se aceitável em projetos de redes
sem fio.
Outra característica importante para o uso da técnica da equação para-
bólica no domínio do tempo, ao contrário dos métodos tradicionais (domínio da
frequência), é que, com o uso da mesma torna-se possível obter solução para uma
faixa ampla de frequências com apenas uma simulação, ou seja, é possível obter
uma solução para diferentes tipos de serviços de comunicação, e calcular parâme-
tros do canal dependentes do tempo. Esta técnica também despreza o retro espa-
lhamento do sinal, ou seja, soluções que estão no sentido contrário ao de propa-
gação são desprezadas, resultando na redução do custo computacional [23]. Essa
consideração se torna aceitável para enlaces ponto-a-ponto e para simulações em
relevos considerados eletricamente suaves.
Considerar variações do índice de refração da atmosfera é interessante
pois em certos casos é necessário considerar a dispersão causada por essas varia-
ções, tais como, alto índice de precipitação, zonas litorâneas, florestas tropicais ou
até mesmo enlaces de longa distância. Através dessas considerações, os enlaces de
alto desempenho podem ser modelados sob várias condições de ambientes de pro-
pagação.
Figura 2.1 – Problema de interesse com terreno irregular.
6
2.2 Formulação da equação parabólica
Como já mencionado no início deste capítulo, serão tratadas a princípio
as equações de Maxwell no domínio da frequência. Sendo assim, as equações de
Maxwell em sua forma harmônica omitindo o termo jwte e considerando ausência
de fontes de correntes e cargas no domínio computacional, tais equações são des-
critas por
0HE jw , (2.1)
H jw r E , (2.2)
0r E , (2.3)
0H , (2.4)
onde E e H são os vetores de campo elétrico e magnético, respectivamente, 0
é a permeabilidade magnética do vácuo ( 74 10 H m ), r é a permissividade
elétrica do meio que varia com a posição e w a frequência angular.
Utilizando as propriedades vetoriais do operador diferencial , é possível
reescrever a equação do divergente do vetor deslocamento elétrico na forma
. . . 0r E E r r E (2.5)
e
..
E rE
r
. (2.6)
Considerando que a variação da permissividade elétrica se dê apenas na
direção z e que a mesma é muito pequena ( r r ), é possível reescrever
a Equação (2.6) como:
. 0E (2.7)
7
Calculando o rotacional da Equação (2.1) e utilizando a Equação (2.2), é
obtida a equação de onda do vetor campo elétrico, dada por
0E jw jw r E . (2.8)
Considerando que a permissividade elétrica do meio varia apenas na di-
reção z , e que k é o número de onda definido por
2 20k w r , (2.9)
20r n z , (2.10)
e
2.E E E , (2.11)
é possível através da equação (2.7), escrever a equação de onda para o campo
elétrico
2 2 20 0E k n z E , (2.12)
onde n z representa o índice de refração atmosférico de acordo com a altura z
e 0 é a permissividade elétrica do vácuo ( 128,85 10 F m ). Da mesma maneira
que foi mostrado como se chega à equação de onda do campo magnético, é possível
obter a equação de onda para o campo elétrico, através do princípio da dualidade.
O estudo em questão assume o relevo invariante na direção perpendicular
à direção de propagação. Considerando o problema eletromagnético sendo bidi-
mensional onde os campos são independentes da coordenada transversa y , ou
seja, não há variação de campo nessa direção e que todos os campos podem ser
decompostos em componentes de propagação horizontalmente e verticalmente po-
larizados [3].
8
Para polarização horizontal, o campo elétrico E somente possui uma
componente não nula yE , enquanto que, para polarização vertical, o campo mag-
nético H somente possui uma componente não nula yH . Para polarização hori-
zontal, o campo é definido por
, ,yx z E x z , (2.13)
e para polarização vertical
, ,yx z H x z . (2.14)
Neste trabalho a formulação foi desenvolvida considerando o campo com
polarização vertical, ou seja, para uma solução do tipo yTE . Dessa forma, admi-
tindo que o meio é homogêneo com índice de refração n, com variação suave, a
componente de campo satisfaz a equação de onda escalar sendo possível res-
crever a equação de onda do campo elétrico descrita na Equação (2.12) como
2 2
2 202 2
, ,, 0
x z x zk n z x z
x z
. (2.15)
Tal formulação foi desenvolvida com o interesse de resolver problema
onde a energia se propaga em ângulos pequenos de uma direção preferida. Tal
direção é chamada de direção paraxial. Neste trabalho, foi escolhido a direção x
positivo como sendo a direção paraxial. A Figura 2.2 mostra um esquema de
propagação.
Para a equação de onda escalar foi introduzida uma função reduzida as-
sociada a direção paraxial x, de acordo com a equação abaixo
0, ,jk xu x z e x z . (2.16)
O uso da função reduzida acima é justificado pelo fato de haver uma lenta
variação de amplitude da energia que se propaga em ângulos próximos à direção
paraxial. Sendo assim, substituindo a Equação (2.16) na Equação (2.15), o proce-
dimento para obter a equação escalar em termos de u é descrito abaixo
9
Figura 2.2 – Propagação de energia para ângulos pequenos na direção paraxial x.
0
0 0
2 2
2 202 2
, ,, 0
jk x
jk x jk xu x z e u x z
e k n z u x z ex z
,
0 0 0
2 22 2 2
0 0 02 2
, ( , ) ( , )2 , , 0jk x jk x jk xu x z u x z u x zjk k u x z e e k n z u x z e
x x z
,
2 2
2 20 02 2
( , ) ( , ) ( , )2 1 , 0
u x z u x z u x zjk k n z u x z
x x z
. (2.17)
Após obtida a equação de onda escalar em termos de u como mostrado
na Equação (2.17), pode-se fatorar a mesma em dois termos como é mostrado
abaixo
0 01 1 ( , ) 0jk Q jk Q u x zx x
, (2.18)
onde 121Q Z e
22
2 20
11Z n z
k z
.
O primeiro termo e o segundo da Equação (2.18) correspondem, respecti-
vamente à propagação da onda no sentido positivo e negativo em relação ao eixo
x. O segundo termo relacionado ao retroespalhamento do sinal é desprezado, logo
a Equação (2.18) é reduzida para
10
0 1 ( , ) 0jk Q u x zx
. (2.19)
A precisão da equação parabólica é limitada para ângulos de propagação
pequenos, inferiores a 15°, devido ao primeiro termo na expansão da série de Tay-
lor seja negligenciado, para que, o erro ao se fazer essa aproximação seja pequeno.
Dessa forma, a equação parabólica padrão é conhecida como uma aproximação de
ângulos estreitos (Narrow Angle Parabolic Equation, NAPE) da equação de onda.
Tal aproximação se torna coerente visto que, os ângulos de propagação encontra-
dos para enlaces de longo alcance são geralmente inferiores a alguns graus. Por-
tanto a precisão da PE se torna adequada para a modelagem numérica.
Para problemas que envolvem ângulos de propagação mais largos, maiores
que 15°, a expansão do operador Q é necessária.
Após a fatoração mostrada na Equação (2.18) e desconsiderando o retroes-
palhamento do sinal conforme mostrado Equação (2.19), a equação parabólica
clássica considerando variação do índice de refração da atmosfera é determinada
por
2
2 20 02
( , ) ( , )2 1 , 0
u x z u x zjk k n z u x z
z x
. (2.20)
2.3 Equação Parabólica no Domínio do Tempo
(TDPE)
Para obter a equação parabólica no domínio do tempo, Popov et. al [24],[25]
define um transformada de Fourier especial abaixo
01
, , , ,2
jk sx z s f k u x z k e dk
, (2.21)
onde f k representa o espectro inicial do pulso, definido por
0
,jksf k f s e ds
11
, ,x z s representa o sinal recebido em um ponto (x,z), s ct x é a distância
da frente de onda paraxial ct , e c é a velocidade da luz no vácuo.
Usando a transformada de Fourier descrita na Equação (2.21), é obtida a
equação TDPE de acordo com a Equação (2.20)
2 2 22
2 2
, , , , , ,2 1 0
x z s x z s x z sn z
z x s s (2.22)
Em muitos casos a formulação TDPE mostrada na Equação (2.22) é dedu-
zida assumindo índice de refração n=1. Para problemas de propagação em peque-
nas distâncias, essa consideração se torna razoável. Considerando atmosfera ho-
mogênea, a Equação (2.22) é reduzida para
2 2
2
, , , ,2
x z s x z s
x s z. (2.23)
Entretanto, para avaliação de problemas eletromagnéticos de longo alcance
essa aproximação pode ocasionar problemas de precisão. Para este tipo de pro-
blema, torna-se mais viável a consideração de uma atmosfera não-homogênea para
que a avaliação se torne mais precisa. Logo, o uso da Equação (2.22) se torna
mais adequado para o estudo de caso deste trabalho.
2.3.1 Condição de contorno de impedância do
solo
Para estimar as perdas decorrentes da interação entre as ondas eletromag-
néticas que propagam e o terreno, é utilizada a condição de contorno de Leonto-
vich modificada para o domínio do tempo. Para encontrar tal condição, parte-se
da sua versão no domínio da frequência [26],
0
( , ) 1' , 0solo
solo
u x zjk h x u x z
z
, (2.24)
12
considerando 4j e sendo a condutividade do solo , z h x a
função que descreve a altura em cada ponto e 'h x a inclinação de cada segmento
do terreno, sendo definido como linear por partes. Para ilustrar o comportamento
desta variável, considerou-se um relevo arbitrário mostrado na Figura 2.3-(a) e em
seguida foi calculado numericamente a inclinação de cada segmento para o relevo
em questão, onde é possível observar que a discretização do relevo é do tipo
staircase, mostrada na figura 2.3-(b).
Deste modo, aplicando a transformada especial de Fourier demonstrada na
Equação (2.21), na Equação (2.24), a condição de contorno modificada no domínio
do tempo é definida por
0
2, , 1 1, ,
2jk s
k k jqx z sF k u x z k e dk
z k jr
01
' , ,2
jk sjkh x F k u x z k e dk
, (2.25)
onde 4r c e 2 1q c . Assumindo polarização vertical, tem-se
0
, , , ,1 1'
, ,1' ' 0
s
x z s x z sh x
z s
x z sN s s ds
s
(2.26)
e
1
0
sr q trs dt
N s e q e I qt r qt
, (2.27)
onde 1I representa a função de Bessel modificada de primeira ordem, proposta
por Popov [15].
13
(a) Relevo arbitrário com 99 km de extensão.
(b) Inclinação 'h x de cada segmento do terreno.
Figura 2.3 – Relevo discretizado e seu respectivo vetor de inclinação.
2.3.2. Camada Absorvente
Segundo Levy, em [3], camadas absorventes são camadas adicionadas
acima da região de interesse, na qual um filtro é aplicado ao campo PE para
absorver energia ascendente no momento em que ele retorna do topo do domínio.
Isto é equivalente a adicionar uma parte complexa ao índice de refração, tornando
assim o meio de propagação com perdas na camada absorvente. Para que o filtro
14
não afete a propagação na região de interesse, deve ser tal que apenas a energia
desprezível se propague de volta para o baixo da camada.
Portanto, para evitar o truncamento artificial causando a forte reflexão de
ondas acima da região de interesse, que afetam os resultados do cálculo numérico,
é necessário fazer com que o campo dentro do limite superior seja lentamente
atenuado [23]. Uma maneira efetiva de implementar camadas absorventes é
utilizando janelas de truncamento de domínio, amplamente utilizadas em
processamento de sinal e projetos de filtros. Tal técnica consiste na multiplicação
da função a ser calculada por uma janela de comprimento finito.
Um tipo de janela muito utilizada e com boa precisão é a janela de
Hanning. Sua formulação é descrita por
21 cos
2
z
HJ z
, (2.28)
onde H representa a largura da camada absorvente.
Outras janelas podem ser utilizadas tais como, janela de Hamming, janela
de Kaiser e janela de Hanning-Poisson. As janelas de Hamming e Hanning fazem
parte da família de janelas senoidais, apresentando um comportamento seme-
lhante. As formulações da janela de Hamming, Kaiser e Hanning-Poisson são des-
critas abaixo
2
0 54 0 46, , cosz
J zH
, (2.29)
2
0
0
21
z HI
HJ z
I (2.30)
e
22
0,5 1 cos expzz
J zH H
. (2.31)
15
A janela de Kaiser descrita na Equação (2.30), utiliza a função de Bessel
de ordem zero modificada Io. Outro parâmetro importante para essa função é o
parâmetro , pois o mesmo está associado ao comportamento da função. A janela
de Hanning-Poisson descrita na Equação (2.31) é obtida através do produto da
janela de Hanning com a janela de Poisson, definida por uma função exponencial
[27]. Esta função também apresenta um parâmetro variável determinado por .
A Figura 2.4 ilustra o comportamento das quatro funções de janelas cita-
das anteriormente. Nela é possível notar que o valor máximo que as janelas atin-
gem é 1, sendo que janela de Hamming é a única entre as janelas citadas que não
tem valor nulo.
Figura 2.4 – Comportamento das janelas da camada absorvente.
Para este trabalho foi utilizada a janela de Hanning, devido a sua simpli-
cidade, apresentando-se como uma alternativa interessante e com resultados sa-
tisfatórios. Em relação à condição de contorno das demais bordas, a parede lateral
16
esquerda é limitada pela posição da fonte. Para a parede lateral direita, também
não há necessidade de definir outra camada absorvente, já que, a formulação
desenvolvida desconsidera o retroespalhamento.
2.4. Variação atmosférica
A recomendação ITU-R P453-13 [28] propõe métodos para estimar o índice
de refração e descreve características de perfis tanto superficiais quanto verticais.
Tendo como base esta recomendação e considerando que a formulação proposta
neste trabalho considera variação do índice de refração, é possível calcular a média
do índice de refração n como sendo função dependente da altura z. Tal formulação
é descrita por
0601 10
zzn z N e
, (2.32)
onde No representa o valor médio da refratividade atmosférica no nível do mar e
zo a escala de altura definida em quilômetros.
Esses dois termos, segundo a recomendação, podem ser determinados es-
tatiscamente para diferentes climas. Para fins de referência, é definido um valor
médio global tanto para a refratividade quanto para a altura de escala, sendo
0 315N e 0 7 35, kmz . Portanto, a Equação (2.32), após a determinação de va-
lores é definida como
6 73501 315 10
z
n z e
. (2.33)
Outro tipo de perfil de refratividade muito abordado e com bastante apli-
cações em propagação é o perfil conhecido como duto atmosférico. Duto atmosfé-
rico é um fenômeno de inversão térmica, que ocorre paralelamente à superfície
terrestre podendo atingir distancias da ordem de dezenas de quilômetros, sendo
capaz de alterar o curso de um feixe de ondas, e de mantê-lo canalizado em parte
17
[29]. A Figura 2.5 mostra os tipos de dutos atmosféricos, relacionando a refrativi-
dade modificada, que pode ser modelada como variações lineares, como função da
variação da altura acima da superfície. Tal modelagem pode ser caracterizada
conforme Equação (2.34)
610 1N n . (2.34)
O duto também provoca o aparecimento de um fenômeno que ora reforça,
ora atenua a onda, chamado de convergência e divergência, respectivamente, e
por ser uma simples atenuação ou reforço do sinal em todo o espectro, é classifi-
cado como desvanecimento plano.
Figura 2.5 – Fonte: Adaptado de ITU-R P.453.13(2017) [28]. Variação da refratividade para for-
mação de dutos atmosféricos a) duto superficial, b) duto superficial elevado e c) duto elevado.
18
2.5. Formulação numérica
Para implementar a TDPE computacionalmente, utilizou-se o esquema
de diferenças finitas baseado no método de Crack-Nicolson. Sua ideia básica con-
siste em substituir as derivadas presentes em uma equação diferencial por expres-
sões algébricas construídas a partir da série de Taylor. Este método é considerado
um método implícito, de segunda ordem no tempo e no espaço, sendo considerado
numericamente estável [30]. A Figura 2.6 exemplifica uma amostra computacional
do método de Crank-Nicolson, onde os pontos com a marcação de um “x” estão
envolvidos na diferença de tempo e os pontos com a marcação de um círculo,
envolvidos na diferença espacial.
Figura 2.6 – Malha do método Crank-Nicolson.
Para fornecer precisão ao método, as aproximações das diferenças finitas
são desenvolvidas no ponto médio do incremento de tempo. Para fazer isso, a
primeira derivada pode ser aproximada em 1 2j por
1, ,
1 t ti j i j
s s
, (2.35)
onde representa a função transiente reduzida de campo espalhado. Assim como
aproximada a primeira derivada, o mesmo é feito para a segunda derivada,
19
porém com avanço de incremento de 1i . Sendo assim, tal aproximação da de-
rivada é definida por
2
1 1, , ,2 2
12t t t
i j i j i js s
, (2.36)
onde s t s e os índices i e j das equações representam respectivamente
ix i x e jz j z no plano ,x z .
Outras aproximações utilizadas para o desenvolvimento da discretização
da TDPE serão apresentadas abaixo, como:
2
1 1 1 11, 1, 1 , , 1 1, 1, 1 , , 12 2
1
4t t t t t t t ti j i j i j i j i j i j i j i j
z z
(2.37)
2
1 11, , 1, ,
1 t t t ti j i j i j i j
x s x s
. (2.38)
Através das aproximações descritas nas Equações (2.35) – (2.38) é possí-
vel calcular o valor de 11,
ti j
para cada passo de tempo t s . Para isso é necessário
reescrever a Equação (2.22) na forma Ax=B, sendo A, a matriz tridiagonal. A
equação na sua forma tridiagonal é descrita por
2
1 1 11, 1 1, 1, 12 2 2 2
1 1, 1 , 1 1, 1 1, 1 , 1 , 12
1, 1, ,2 2
2
1,2
2 11 2 8 1
1
8 2 8 2
2 1
t t ti j i j i j
t t t t t ti j i j i j i j i j i j
t t ti j i j i j
ti j
n
z z x s s z
z
x s z x s z
n
s
1
, ,2 t ti j i j
, (2.39)
onde, para efeito simplificativo, algumas variáveis foram discretizadas, tais
como:
2
2
1jn
s
, (2.40)
sendo jn o valor do índice de refração para cada ponto j z ,
20
8
x s
(2.41)
e
2
1
z
. (2.42)
A técnica utilizada para solucionar o sistema de equações descrito na
Equação (2.39) é conhecida com Algoritmo de Thomas. Em sistemas tridiagonais
existe uma matriz de coeficientes repleta de zeros, exceto ao longo da diagonal
principal, nos elementos logo acima e logo abaixo da diagonal principal. Diferen-
temente de outros métodos que podem ser utilizados para solucionar sistemas
tridiagonais (Gauss, Gauss-Jordan, decomposição LU), o Algoritmo de Thomas
tem certa vantagem em relação aos outros métodos pois, o mesmo economiza
memória e tempo computacional através do não armazenamento dos elementos
nulos da matriz, sendo considerado um método estável e de fácil implementação
[31].
Seu funcionamento consiste em armazenar os elementos não nulos da ma-
triz de coeficientes A em três vetores. Os elementos diagonais iiA são atribuídos
ao vetor da diagonal principal. Os elementos acima da diagonal , 1i iA são atribuídos
ao vetor acima da diagonal principal e os elementos abaixo da diagonal, 1,i iA são
atribuídos ao vetor abaixo da diagonal principal. Com base nas Equações (2.40)
– (2.42), a matriz A é definida por
2 2
2 2
2 2
2 2
. (2.43)
21
2.5.1 Condição de contorno de impedância do
solo
De forma análoga ao que foi descrito para a discretização da TDPE é feito
também para discretizar a condição de contorno de impedância do solo. Para isso
é necessário aproximar unilateralmente a derivada em soloz z , já que o campo
abaixo da superfície é desconhecido. Por ser desconhecido este campo, o mesmo é
calculado não na superfície, mas um pouco acima dela. Como o valor de z é
pequeno, esta aproximação é aceitável.
2
2
, , , , , ,1solo solo solox z s x z z s x z s
z z z z
. (2.44)
Através da Equação (2.44) é possível discretizar a condição de contorno
substituindo a Equação (2.26) no segundo termo da Equação (2.44). Sendo assim,
a Equação (2.44), manipulada, é descrita abaixo
2
2
0
, , , , , ,1 1'
, ,1 1' ' ,
solo solo solo
ssolo
x z s x z z s x z sh x
z z z s
x z sN s s ds
z s
(2.45)
e utilizando a Equação (2.45) na Equação (2.22), a TDPE para o solo é encon-
trada, conforme descrito
2
0
2
2
, , , ,1 1'
, , , ,1 1' ' 2
, ,1 0.
solo solo
ssolo solo
solo
x z z s x z sh x
z z s
x z s x z sN s s ds
z s x s
x z sn z
s
(2.46)
Conforme proposto em [16], o sistema de diferenças finitas é similar à
TDPE. Para isso, a integral presente na Equação (2.46) é calculada através da
22
regra trapezoidal, pelo fato da mesma ser facilmente inserida no esquema de mar-
cha do algoritmo. Porém o integrando 'N s s é calculado por meio da regra
de 1 3 de Simpson, devido ao seu comportamento oscilatório maior. Sendo assim,
a equação para condição de contorno com base nas Equações (2.35) – (2.38) e
(2.44) – (2.46) é definida por
2
1 11, 1, 12 2 2
1 1, , 1, 1,
0
1 1 1, 1, , , , 1 1, 1, 12
2 11 8 1 1 1'
2
1 1' '
8 1
1
t ti j i j
st t t ti j i j i j i j
t t t t t t ti j i j i j i j i j i j i j
nh x
z x s x s s z
N s s sz
x s z
1, , 1 1, 1 , 1 , 12
2
1 1, , ,2
1 1'
2
2 12 .
t t t t ti j i j i j i j i j
t t ti j i j i j
h xz z s
n
s
(2.47)
2.5.2 Implementação da camada absorvente
Para implementar a camada absorvente, foi utilizada a princípio, a janela
de Hanning, com equação descrita na Equação (2.28). Este método é de fácil
implementação, pois para seu funcionamento, é necessário apenas multiplicar os
termos da matriz B correspondentes à região da janela em cada ponto corres-
pondente do vetor solução x . Como consequência dessa operação, há uma redu-
ção da amplitude da função , ,x z s no interior da camada absorvente a fim de
reduzir o efeito causado por reflexões espúrias.
23
2.6. Conclusões parciais
Este capítulo apresentou a formulação da equação parabólica no domínio
do tempo, tendo como princípio as equações de Maxwell no domínio da frequência,
para em seguida, através de uma transformada de Fourier especial, deduzir a
forma temporal da PE.
Como forma de redução do custo computacional, soluções no sentido
contrário à direção de propagação (retroespalhamento) foram desconsideradas. O
modelo de equações apresentado é limitado para ângulos pequenos, sendo esta
limitação conhecida como NAPE.
Para o desenvolvimento da formulação numérica, a TDPE foi caracteri-
zada de acordo com o método de Crank-Nicolson. Formadas as equações, um
sistema tridiagonal foi feito e para solucioná-lo foi utilizado o algoritmo de Tho-
mas pelo fato do mesmo apresentar fácil implementação e eficiência em relação a
outros métodos.
Na formulação proposta foi considerado os efeitos causados por variações
atmosféricas, sendo assim os cenários que serão abordados estarão mais próximos
da realidade. Outra função também utilizada para determinar os campos com
mais exatidão, foi o uso de camadas absorventes, com o objetivo de truncar o
limite superior do domínio computacional para atenuar as reflexões espúrias cau-
sadas por esse truncamento.
No Capítulo 3 serão apresentados os resultados obtidos através da formu-
lação apresentada. A princípio será considerado perfis mais simples, como por
exemplo, perfis canônicos como: terra plana e cunha. Em seguida serão conside-
rados relevos irregulares e reais para a verificação do comportamento da função
calculada de acordo com determinado tipo de camada absorvente.
24
Capítulo 3
Simulação e Resultados
Este capítulo tem a finalidade de apresentar os resultados obtidos considerando
a formulação desenvolvida no Capítulo 2. Para isso, através do software construído, foram
analisados dois tipos de perfil de relevo canônicos, sendo eles: terra plana e relevo na forma
de cunha, sendo a cunha um perfil com extensão de 1 km. Para as simulações que envol-
vem o relevo do tipo terra plana, foi comparado com [16] a formulação desenvolvida neste
trabalho considerando atmosfera homogênea e, em seguida comparada com a formulação
que considera atmosfera não-homogênea. Neste último caso, a formulação considera vari-
ações atmosféricas com índice de refração diferente de 1 (um) com resultados apresentados
com amplitudes de campo normalizadas. Para o relevo do tipo cunha foi analisada a in-
fluência do ângulo de propagação, tanto para o sinal recebido, quanto para a influência do
solo. Em seguida, foram analisados dois casos com perfis reais. Os dados desses perfis
foram extraídos através de uma campanha de medições realizadas na Dinamarca [32]. Os
perfis em questão são conhecidos por Jerslev e Mjels. Ambos os perfis possuem cerca de
5,5 km de extensão cada e foram obtidos através de mapas digitais com resolução de 50
metros. Estes terrenos apresentam características de relevos irregulares e com regiões ru-
rais.
Para concluir, utilizando o perfil Mjels, foram feitas simulações com diferentes
tipos de janelas de amortecimento, a fim de avaliar a que apresentou melhor desempenho
para este tipo de relevo.
Todas as simulações foram realizadas em um computador Intel Core i7 a 2,9
GHz com 16 GBytes de memória RAM, unidade de estado sólido (SSD) de 128 GBytes
mais disco rígido de 1 TBytes, utilizando o sistema operacional Windows 10©. Todas as
simulações foram feitas no software Matlab® R2018a.
25
3.1. M odelagem da fonte
Para modelagem da fonte em equações parabólicas é necessário levar em consi-
deração duas condições de contorno. A primeira está relacionada à fonte e a segunda
relacionada à condição de causalidade. A primeira condição é descrita por
0 , ,z s A z f ct , (3.1)
onde f ct é a função espacial que representa a variação temporal do sinal e
A z representa a variação da distribuição de campo ao longo do eixo z, mais
precisamente, está relacionado ao diagrama de radiação da fonte.
A segunda condição de contorno mostra que o valor da solução para os
pontos em t=0, é nula. Equacionando esta condição, a mesma é definida por
0 0 , ,x z . (3.2)
Considerando as condições mostradas nas Equações (3.1) e (3.2), foi mo-
delada a fonte f ct e A z utilizando um pulso exponencial banda larga [16]. A
equação que modela a fonte é descrita por
2 10
2 105
c n t t
a c n t tf ct e sen
a , (3.3)
e
2
j z z z
z
A z e , (3.4)
onde t é o valor do passo de tempo discretizado, a é a largura espacial do sinal,
0z representa a altura da antena e controla o diagrama de radiação da fonte.
A forma de onda f ct referente as Equações (3.3) e (3.4) é mostrada na Figura
3.1, onde o eixo das abscissas representado por s(m), caracteriza o comprimento
26
do sinal e o eixo das ordenadas representado por 0, ,z s caracteriza a amplitude
de campo normalizada.
Para fazer as simulações, alguns parâmetros foram considerados, onde é
possível visualizá-los na tabela III.I.
Parâmetros Valor
t 0,667 ns
x 0,2 m
z 0,2 m
s 0,2 m
750 m
Txh 30 m
Rxh 10 m
Largura ca-
mada
absorvente
250 m
Tabela III.I – Parâmetros da simulação.
Figura 3.1 – Forma de onda f ct .
3.2. Terra Plana
O primeiro ambiente de simulação é caracterizado por um relevo terra
plana. Para análise foi considerado solo do tipo médio, sendo que 15 r e
0 012, S m . O sinal emitido pela fonte é descrito pelas Equações (3.3) e (3.4).
27
O sinal recebido foi avaliado a uma distância de 1 km, considerando altura do
transmissor de 30 metros e altura do receptor de 10 metros. A Figura 3.2 mostra
a representação para o relevo em questão.
Figura 3.2 – Modelo terra plana para cálculo de campo.
Considerando os parâmetros de simulação da Tabela III.I, o resultado
obtido considera a nova formulação desenvolvida e compara com [16], onde sua
formulação é baseada na Equação (2.20). Para verificar a diferença obtida por
meio de alteração na formulação, para o caso referenciado, o mesmo considera o
ambiente de simulação com atmosfera homogênea (curva azul e curva preta) e,
neste trabalho, a formulação considera a atmosfera não-homogênea. Na Figura
3.3 é possível analisar a diferença obtida do sinal recebido para os três casos.
Figura 3.3 – Sinal recebido para modelo terra plana para atmosfera homogênea (azul), nova for-
mulação com atmosfera homogênea (preto) e atmosfera não-homogênea (vermelho).
28
Nota-se que para os casos que consideram atmosfera homogênea, os re-
sultados apresentaram maior amplitude em relação ao caso que considera atmos-
fera não-homogênea. Este fato já era esperado, visto que, em cenários reais, a não-
homogeneidade da atmosfera tem como característica causar atenuação de ondas
eletromagnéticas causada principalmente por absorção. Os valores utilizados no
comparativo foram extraídos utilizando o software de distribuição livre Web-
PlotDigitizer [33].
3.3. Relevo cunha
O segundo cenário avaliado trata-se de um relevo em forma de cunha. A
cunha está centralizada em d=800 metros, sendo sua altura máxima de 45 metros,
sendo que a cunha apresenta uma extensão total de 300 metros. A Figura 3.4
mostra o relevo descrito.
Figura 3.4 – Perfil de relevo tipo cunha.
Para este caso, foi analisado um cenário sem visada direta onde foi confi-
gurada a altura do transmissor em 30 metros e altura do receptor em 10 metros.
29
Sendo assim, o sinal recebido no ponto de recepção estabelecido é o sinal difratado
pelo obstáculo.
Para a simulação do relevo cunha, foram consideradas características elé-
tricas do solo, sendo que 15 r e 0 012, S m . Tais características definem o
solo com sendo do tipo solo médio. A Figura 3.5 mostra o sinal recebido na dis-
tância de 1 km.
Figura 3.5 – Sinal Recebido para o relevo cunha para solo médio.
Por ser um sinal difratado, o sinal recebido apresentou amplitude bem
abaixo em relação ao sinal enviado pela fonte o que já era esperado, pois além da
atenuação no ambiente de propagação, o perfil apresenta um grande obstáculo
representado um enlace sem visada direta.
Utilizando os mesmos parâmetros descritos na Tabela III.I, foi simulado
novamente o relevo do tipo cunha, porém, as características elétricas do solo foram
alteradas para 6r e 0 001, S m . Tais características são determinadas
para caracterizar o solo, como sendo do tipo seco. A Figura 3.6 mostra o sinal
recebido na distância de 1 km.
30
Mesmo com tal alteração, o sinal recebido, em relação ao primeiro caso
apresentou forma e amplitude próximas. A Figura 3.7 mostra a comparação entre
os sinais recebidos para os dois casos, onde é possível notar a influência causada
de acordo com a alteração das características do solo.
Figura 3.6 – Sinal Recebido para o relevo cunha para solo seco.
Figura 3.7 – Comparação para sinal recebido para dois tipos de solo.
O cenário considerando o solo “médio” apresentou um sinal recebido de
maior intensidade em comparação com o terreno do tipo “seco”, fator esse advindo
31
da interação do sinal propagante, com um tipo de material que apresenta uma
permissividade elétrica 2,5 vezes maior. As oscilações percebidas no sinal mostram
a ação de uma forte componente reflexiva do solo.
3.4. Ângulo de Propagação
Como forma de validar a formulação apresentada na Equação (2.22), si-
mulou-se considerando que, sinais recebidos próximos da fonte ou abaixo da linha
de visada apresentam algum problema de dispersão/convergência. Nesse caso,
para verificar tal fato, foram coletados os sinais recebidos para um perfil do tipo
cunha, descrito na Seção (3.3), para distâncias de 100, 300, 400, 700 e 1000 metros
afastados da fonte para observar a influência da variação dos ângulos de propa-
gação, conforme mostra a Figura 3.8. As características da Tabela III.I foram
mantidas e a fonte utilizada é modelada pelas Equações (3.3) – (3.4).
Figura 3.8 – Sinal recebido para distâncias de 100, 300, 400, 700 e 1000 metros.
Através da Figura 3.8 é possível observar a variação na amplitude do
campo à medida que a distância entre transmissor e receptor diminuem. Isto
32
acontece devido ao aumento suave do ângulo de propagação. Outro ponto obser-
vado está relacionado à amplitude em 700 metros ser maior. Foi verificado que
para este caso, o relevo é mais acentuado e, portanto, o enlace se caracterizado
como sendo quase em visada direta. Foi observado também que, quanto mais
próximo da fonte o sinal recebido é analisado, menor sua iteração com o solo e
como consequência há menor oscilações oriundas de reflexões e difrações.
3.5. Dinamarca
Este caso prático é baseado na campanha de medições realizadas na Di-
namarca. Dois ambientes denominados Jerslev e Mjels foram analisados sendo
que, tais perfis são considerados como irregulares, regiões rurais, árvores e algumas
construções. Ambos os perfis possuem aproximadamente 5,5 km de extensão e
foram obtidos através de mapas digitais com resolução de 50 metros [18],[19]. A
Figura 3.9 mostra os relevos descritos.
Tendo como base as condições de contorno mostradas nas Equações (3.1)
e (3.2), foi modelada uma fonte para as medições. O pulso é descrito abaixo por
6,75 13,5 6,75
0, , Re2 3
jct z
j T j T j T, (3.5)
onde
ln 3
2
c
Tf
, (3.6)
e cf representa a frequência central, neste trabalho adotada como 850cf MHz .
O pulso descrito na Equação (3.5) apresenta características de um pulso estreito
se enquadrando nas características UWB (Ultra Wide Band) [34]. A forma do
pulso é mostrada na Figura 3.10.
33
As simulações foram realizadas com transmissor radiando com polariza-
ção vertical, situado a 10,4 metros de altura do solo. A intensidade de campo foi
analisada por uma estação receptora com 2,4 metros de altura. Os parâmetros da
Tabela III.I foram mantidos. Outros parâmetros considerados em relação ao solo
foram 15 r e 0 012, S m , caracterizando solo médio. Para limitar o domínio
computacional superior foi admitido max 100metrosz e como função de camada
absorvente, foi utilizada a janela de Hanning, descrita na Equação (2.28).
(a) Perfil Jerslev.
(b) Perfil Mjels.
Figura 3.9 – Perfis dos terrenos verificados na Dinamarca.
34
As Figuras 3.11 e 3.12 exibem o valor de campo medido no ponto de
recepção para os relevos Jerslev e o perfil de campo, respectivamente. O perfil de
campo tem como característica exibir o valor de campo em todos os pontos do
ambiente de simulação. Para o ponto de recepção o valor de campo foi normali-
zado.
Figura 3.10 – Sinal emitido pela fonte.
Figura 3.11 –Sinal Recebido para o relevo Jerslev.
Nota-se que, o sinal recebido mostrado na Figura 3.10, apresenta uma
componente principal de sinal recebido e várias outras componentes reflexivas.
35
Isso acontece devido a irregularidade do relevo e também pelo fato de o enlace
não ser de visada direta.
Em seguida, para o relevo Mjels, as Figuras 3.13 e 3.14 mostram o sinal
recebido no ponto de recepção e o perfil de campo gerado no domínio do tempo
respectivamente.
Figura 3.12 –Perfil de campo para o relevo Jerslev.
Figura 3.13 – Sinal Recebido para o relevo Mjels.
36
Figura 3.14 –Perfil de campo para o relevo Mjels.
3.6. Tempo de processamento
Para avaliar o custo computacional utilizado na TDPE, foram analisados
o tempo de processamento e a memória utilizada para cada cenário simulado
(terra plana, cunha, Jerslev e Mjels).
Como já esperado, à medida que o cenário apresenta maior detalhamento
em relação ao relevo, maior foi a quantidade de memória utilizada. Todos os
cenários avaliados consideraram solo do tipo médio e as simulações feitas em Ma-
tlab considerando para cada simulação um total de 10010 pontos de integração.
A Tabela III.II detalha os dados obtidos.
Relevo Memória utilizada Matriz Tempo (s)
Terra plana 2,15 GB 5000 x 1000 463,37
Cunha 2,19 GB 5000 x 1000 443,48
Jerslev 3,55 GB 27500 x 1000 2306,53
Mjels 3,56 GB 27500 x 1000 2051,53
Tabela IIII.II – Custo computacional para cada tipo de relevo.
37
3.7. Camada Absorvente
Analisando os resultados obtidos para os tipos de relevo analisados neste
trabalho, foi constatado que em todos os casos, os sinais recebidos apresentaram
uma componente principal e uma componente espalhada, mostrando que a função
utilizada surtiu efeito esperado.
Com o objetivo de avaliar o desempenho da camada absorvente, foi simu-
lado novamente o relevo Mjels, com diferentes tipos de janelas para verificar qual
tipo função apresenta melhor nível de recepção.
Para este teste foram avaliadas as janelas descritas nas Equações (2.28)
– (2.31). Como resultado deste comparativo, o sinal recebido e perfis de campo
para os quatro diferentes tipos de janelas de absorção são mostrados nas Figuras
3.15 e 3.16 respectivamente.
Figura 3.15 – Sinal recebido para o relevo Mjels com diferentes janelas de absorção.
Em relação ao desempenho do sinal recebido no ponto de observação,
nota-se que para o caso em que foi utilizada a janela de Hanning-Poisson, o valor
de campo apresentou maior amplitude em relação às outras janelas. Para o caso
38
da janela de Hanning, o perfil de campo com escala de campo em dB foi mostrado
na Figura 3.14.
(a) Perfil de campo utilizando janela de Hamming.
(b) Perfil de campo utilizando janela de Kaiser.
Outro ponto observado em relação à essa janela é que após determinação
da componente principal de campo, esta janela apresentou um nível de sinal mais
estável, próximo de zero. Tal fato pode ser ocasionado pelo comportamento da
janela, apresentado na Figura 2.5 (curva lilás), onde é possível notar que há uma
39
queda abrupta no valor da função, sendo assim, efeitos ocasionados por reflexões
espúrias são atenuados mais rapidamente.
(c) Perfil de campo utilizando janela de Hanning-Poisson.
Figura 3.16 –Perfil de campo para o relevo Mjels com (a) janela de Hamming, (b) janela de Kai-
ser e (c) janela de Hanning-Poisson.
Para os outros tipos de camadas absorventes implementadas, as janelas
de Hanning e Kaiser apresentaram comportamento semelhantes, tanto para o si-
nal recebido quanto para os perfis de campo. A janela de Hamming teve uma
pequena diferença em relação ao sinal recebido, apresentando amplitude um pouco
maior em relação às janelas de Hanning e Kaiser. O comportamento semelhante
entre as três janelas já era esperado, visto que, conforme mostrado na Figura 2.5,
as funções têm valores próximos.
40
3.8. Conclusões parciais
Este capítulo teve como objetivo analisar os resultados obtidos através do
método TDPE, de acordo com a formulação proposta, tanto para os casos canô-
nicos, onde foi simulado o perfil terra plana e um perfil em formato de cunha,
quanto para dois casos de cenários realísticos da Dinamarca. Outro caso analisado
está baseado na comparação de resultados onde primeiro considerou-se o ambiente
de simulação caracterizado por atmosfera homogênea e em seguida considerando
atmosfera não-homogênea. Foi analisado também o comportamento do sinal re-
cebido ao alterar as características elétricas do solo. Por fim, para avaliar o de-
sempenho da camada absorvente, foi simulado para um cenário real, diferentes
tipos de janela.
41
Capítulo 4
Conclusões
4.1. Conclusões finais
Neste trabalho foi realizado um estudo do método de equações parabólicas
no domínio do tempo (TDPE) para análise de propagação. Para isso, foi utilizado
diferenças finitas a fim de possibilitar o cálculo de enlaces para grandes distâncias.
O método das diferenças finitas foi baseado no método de Crank-Nicolson, sendo
conhecido por ser um método implícito e incondicionalmente estável, resultando
em um sistema tridiagonal, onde cada elemento matricial foi calculado através do
algoritmo de Thomas.
A formulação apresentada leva em consideração a influência da variação
do índice de refração para que a modelagem do ambiente de simulação tenha
características mais próximas da realidade. Na dedução da formulação apresen-
tada, foi determinada a limitação da formulação, sendo caracterizada por ângulos
de propagação de até 15°. Esta formulação é conhecida por NAPE. Com o objetivo
de validar a formulação NAPE, foi avaliado a influência do ângulo de propagação,
onde constatou-se que a medida que o receptor se aproximava do transmissor,
havia desvio na frente de onda observada. Desta forma, esta formulação é mais
indicada para enlaces de grandes distâncias.
Como objetivo de truncar o domínio computacional foram utilizadas ca-
madas absorventes conhecidas como janelas de truncamento. Este tipo de função
tem como atrativo a facilidade de implementação. Foi avaliado o comportamento
de algumas funções e em seguida comparados os resultados para um cenário rea-
lista.
42
Como forma de avaliar o a formulação utilizada, foram simulados relevos
canônicos como terra plana e cunha e dois perfis reais. Estes cenários foram esco-
lhidos pois a partir deles é possível analisar sinais recebidos com diferentes carac-
terísticas, considerando tanto enlaces de visada direta, enlaces com obstáculos e
enlaces com grandes distâncias.
Embora este trabalho tenha como foco uma abordagem integral no domí-
nio do tempo, o método temporal apresenta vantagem pois a formulação desen-
volvida é única independente da frequência de interesse, sendo assim, é possível
avaliar várias frequências em apenas uma simulação, bem como analisar com si-
nais banda-larga.
Baseado em resultados preliminares do presente trabalho, foi obtido o
aceite do artigo intitulado: Comparação de Janelas de Amortecimento Aplicadas
à Soluções de Equações Parabólicas no Domínio do Tempo, no XXXVI Simpósio
Brasileiro de Telecomunicações e Processamento de Sinais (SBRT18).
4.2. Proposta de continuidade
Nesta seção são listadas algumas propostas de continuidade para o pre-
sente trabalho, onde podem ser abordadas algumas questões que não foram con-
sideradas nesta dissertação.
A primeira proposta é o desenvolvimento da formulação considerando
propagação para ângulos maiores. Tal formulação é conhecida por Wide Angle
Parabolic Equation, WAPE e é caracterizada por apresentar maior precisão para
problemas que envolvam uma maior faixa angular. Este método, por exemplo,
pode apresentar maior precisão para enlaces de curto alcance ou para análise de
sinal multipercurso. Para alcançar esta precisão deve-se considerar mais termos
da expansão do operador pseudo-diferencial Q.
43
Para cenários com grandes distâncias ou para que a avaliação de cada
cenário apresente resultados mais rápidos, torna-se viável a utilização de técnicas
de programação paralela, com a implementação de cálculo através da GPU (Gra-
phics Processing Unit), como por exemplo CUDA ou OpenACC. Outro modelo
de programação paralela que pode ser utilizado considera o compartilhamento de
memória, conhecida como OpenMP, onde a paralelização é feita através do código
sequencial.
Grande parcela de trabalhos são desenvolvidos no domínio da frequência,
logo, torna-se interessante avaliar o desempenho da formulação proposta neste
trabalho e comparar os resultados obtidos no domínio da frequência, como por
exemplo a SSPE (Split Step Parabolic Equation).
Avaliar o desempenho de outras funções para truncamento de domínio
superior podem ser utilizadas afim de reduzir com maior precisão reflexões espú-
rias.
Finalmente, como última proposta, a implementação de uma formulação
tridimensional com possível aplicação em ambientes outdoor e indoor conside-
rando planos de propagação na direção paraxial.
44
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