equações diferenciais aplicadas à dinâmica populacional
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Equações Diferenciais Aplicadas à Dinâmica Populacional
Maycon Luiz A. Magalhães, Neila M. Gualberto Leite IFNMG – Campus Januária – Licenciatura em Matemática
39480-000 – Januária/MG
E-mail: [email protected], [email protected].
Palavras-chave: Biomatemática, dinâmica populacional, modelo de Gompertz, modelo de Montroll.
Resumo: Este trabalho apresenta a aplicação de equações diferenciais à dinâmica populacional.
Apresentamos uma revisão de alguns dos principais modelos da literatura. Iniciamos destacando o modelo de Malthus que foi quem tentou, pela primeira vez, estimar o crescimento da população
mundial em 1798. Passamos pelo modelo de Verhurst (1837) que, baseado em Malthus, propõe
alteração na taxa de crescimento de modo que a população tendesse à estabilidade. Citamos também o modelo de Gompertz (1825) que possui taxa de crescimento variável. O último modelo
apresentado e o mais recentemente é o de Montroll (1971) que apresenta diferentes formas possíveis
de crescimento das taxas de variação populacional. Apresentamos um breve comparativo entre esses
modelos evidenciando a evolução que sofreram ao longo da história.
1. Introdução
As equações diferenciais constituem um ramo da matemática aplicada e está entre os
elementos matemáticos mais utilizados na modelagem. Mais especificamente, destacam-se os
modelos de crescimento de populações que utilizam equações diferenciais. A modelagem matemática da dinâmica de determinada população permite fazer inferências sobre a mesma e
planejar ações. Esses modelos vêm sendo aprimorados com o passar do tempo e descrevem cada vez
melhor a dinâmica populacional, principalmente quando aplicados recursos computacionais.
O objetivo deste trabalho é fazer uma revisão de alguns dos principais modelos de dinâmica populacional baseados em equações diferenciais, destacando a evolução dos mesmos. Iniciamos com
o modelo de Malthus, do século XVII e vamos até modelos mais atuais, como o de Montroll, de
1971. Este trabalho está baseado nos textos de Bassanezi [1],[2] e Zill [4].
2. Modelo Exponencial ou Modelo de Malthus
Thomas Robert Malthus, em 1798, foi quem tentou, pela primeira vez, estimar o crescimento da população mundial. Seu modelo assume que o crescimento de uma população é proporcional à
população em cada instante, ou seja, não considera fatores limitantes de crescimento e considera que
todos os indivíduos são idênticos, com o mesmo comportamento. Para Malthus, o crescimento populacional se daria por uma progressão geométrica enquanto os meios de sobrevivência
cresceriam em progressão aritmética [2].
Considerando como uma determinada população, a equação do Modelo de Malthus é pelo problema de valor inicial:
{
onde é a taxa de crescimento intrínseco da população. A solução analítica desta equação é:
portanto, o modelo de Malthus prevê que a população crescerá exponencialmente.
Apesar de um pouco equivocado e muito criticado em alguns conceitos, este modelo possui relevância devido à sua contribuição para a evolução dos modelos, haja vista que serviu de base para
muitos outros.
3. Modelo Logístico ou Modelo de Verhurst
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O primeiro modelo que atende à variação da taxa de crescimento foi formulado por Verhurst
em 1837. Este modelo supõe que uma população deverá crescer até um limite máximo sustentável
devido a inibições naturais em seu crescimento, isto é, ela tende a se estabilizar. O modelo de Verhurst é dado por:
= (
)
na qual é o nível de saturação da população, é a taxa intrínseca de crescimento. Esta equação
apresenta duas soluções de equilíbrio: (sem interesse) e
Sendo = (população inicial), obtemos =
, portanto:
O modelo de Verhurst é uma evolução do modelo de Malthus já que prevê variáveis que
Malthus não considerava. Enquanto Malthus considerava a taxa de crescimento intrínseco ( constante, Verhurst considerou esta taxa variável, descrescente de forma linear simples [4].
4. Modelo de Gompertz
Um modelo frequentemente utilizado na área das ciências biológicas é o modelo de
Gompertz (1825), que utiliza uma taxa de inibição da variável de estado proporcional ao logaritmo
desta variável. Isto significa que a taxa de crescimento é grande no início do processo, mudando rapidamente para um crescimento mais lento [2]. O modelo de Gompertz é dado pelo seguinte
problema de equação diferencial:
(
)
na qual é a taxa de crescimento relativo quando é pequeno, e é o valor limite finito de uma
população.
Fazendo-se a análise dos pontos de equilíbrio do modelo de Gompertz, obtém-se os mesmos do modelo de Verhulst, e também possuem o mesmo comportamento assintótico.
O ponto de inflexão pode ser obtido através da seguinte equação:
(
)
que resulta em:
.
Gompertz, no final do século XIX, comparou as tabelas de vida de vários países europeus,
podendo assim concluir que o aumento aritmético da idade é acompanhado pelo aumento exponencial da mortalidade. Enquanto Malthus se baseou na fertilidade, Gompertz por sua vez
tentou descrever um padrão universal para a mortalidade humana [4].
5. Modelo de Montroll
Montroll, em 1971, propôs um modelo geral para traduzir o crescimento assintótico de uma
variável, levando em conta que o posicionamento da variação máxima pode ser qualquer valor entre
(valor inicial de uma população) e (valor limite finito de uma população) [1].
Seja o valor limite de uma população e λ a taxa de crescimento quando é
“pequeno”. O modelo de Montroll é dado pela equação diferencial não linear:
* (
) + (*)
O valor do parâmetro é o indicador da posição do ponto de inflexão da curva. Se = 1, a
equação (*) é o modelo de Verhurst.
Para determinar o ponto de inflexão ( ), onde o crescimento é máximo, basta considerar
= 0 = λ
* (
)
(
)
+,
sabendo que
0 pois está entre 0 e Assim,
= (
)
Assim, dado , o valor de depende somente do parâmetro .
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Este modelo tem o como principal objetivo apresentar diferentes formas possíveis de
decrescimento das taxas de variação populacional.
O modelo de Montroll pode ser considerado como uma generalização do modelo de Verhurst, porém se difere no fato de que o índice de crescimento relativo da população não é linear.
Assim, o modelo de Montroll apresenta uma vantagem em relação ao de Verhurst, pois é possível
adaptá-lo a problemas de naturezas diversas através do cálculo do ponto de inflexão, modificando,
quando necessário, o valor de .
6. Conclusão
Este trabalho apresenta uma breve revisão de quatro modelos da literatura relacionados à
dinâmica populacional: Malthus, Verhurst, Gompertz e Montroll.
O modelo clássico de Malthus foi fortemente criticado devido às suas limitações e por prever que a população teria crescimento limitado. No entanto, foi essencial, pois foi precursor de vários
outros. Essencialmente, os demais modelos apresentam uma alteração na taxa de crescimento da
população. Verhurst sugere que a taxa de crescimento populacional deixe de ser constante,
incorporando na equação a queda do crescimento populacional que deve estar sujeita a um fator de inibição. O modelo de Gompertz apresenta a taxa de inibição da variável de estado proporcional ao
logarítmico desta variável, o que significa que a taxa de crescimento é grande no início do processo,
mudando rapidamente para um crescimento mais lento. Já o modelo de Montrol apresenta diferentes formas possíveis de crescimento das taxas de variação populacional.
Em todos os modelos, observamos a relevância das equações diferenciais para modelagem
matemática de dinâmica populacional. Através do estudo de modelos clássicos e relevantes da literatura, podemos propor alterações, inclusão de variáveis e, assim, adaptar ou até criar modelos
que façam previsões sobre o crescimento de determinada população.
Referências
[1] R.C. Bassanezi, JR.W.C. Ferreira, “Equações Diferenciais com Aplicações”, Harbra, São Paulo,
1988.
[2] R.C. Bassanezi, “Ensino-aprendizagem com modelagem matemática”, Contexto, São Paulo,
2009.
[3] F. Diacu, “Introdução a Equações Diferenciais: Teoria e Aplicações”, LTC, Rio de Janeiro, 2000.
[4] D. G. Zill, “Equações diferenciais, volume 1”, Pearson Makron Books, São Paulo, 2001.
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