Equacoes Parabolicas SemilinearesProf. AlexandreNolascodeCarvalho26dejunhode20012Sumario1 SemigruposeSeusGeradores 51.1 Denicoes e Resultados Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 O Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 O Teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Formulas Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Pseudo-Resolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 O Semigrupo Dual e o Teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Operadores Setoriais e Analiticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 PotenciasFracionarias 252.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Operadores do Tipo Positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Potencias de Potencias Fracionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Desigualdades de Interpolacao para Potencias Fracionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Potencias Fracionarias e Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 Potencias Imaginarias Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 TeoremasdePerturbacaodeGeradores 493.1 Geradores de Semigrupos Fortemente Contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Perturbacao de Operadores Setoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Teoremas de Representa cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Positividade 554.1 Espacos de Banach Ordenados e Positividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 A Equacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Alguns Operadores com Resolvente Positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 ProblemadeCauchynaohomogeneo 635.1 Existencia, Unicidade e Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Comparacao em Problemas nao Homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 OProblemadeCauchySemilinear 676.1 O Caso Hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 O Caso Parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 TeoremasEspectraiseDicotomias 797.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Decomposicao Espectral de Operadores Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Decomposicao Espectral de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8134 SUMARIO7.4 Teoremas Espectrais para Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.5 Decomposicao Espectral de Operadores Setoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 VizinhancadeUmPontodeEquilbrio 878.1 Estabilidade e Instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.2 A Propriedade do Ponto de Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919 OProblemaParabolicocomExpoentesCrticos 939.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.2 Resultados Abstratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Captulo1SemigruposeSeusGeradores1.1 Denic oeseResultadosBasicosRecordequese E0e F0s aoespacosdeBanachsobreumcorpoK(K=RouK=C) denotamosporL(E0, F0)oespacodosoperadoreslinearesecontnuosdeE0emF0comanormausual; isto e, paraT L(E0, F0),|T|L(E0,F0) = supeE0e,=0|Te|F0|e|E0.NocasoparticularE0=F0escrevemosL(E0)paradenotarL(E0, E0). SejaE0odualtopologicodeE0;isto e, E0=L(E0, K) com a topologia dada pela norma acima. Denotamos o valor dee E0eme E0por 'e, e` ou 'e, e`.Denicao1.1.1UmsemigrupodeoperadoreslinearesemE0eumafamlia T(t) :t 0 L(E0)talque tal que(i) T(0) = IE0,(ii) T(t +s) = T(t)T(s), para todot, s 0.Se adicionalmente(iii) |T(t) IE0|L(E0) 0 quandot 0+, dizemos que o semigrupo e uniformemente contnuo(iv) |T(t)e e|E0 0 quandot 0+, e E0, dizemos que o semigrupo e fortemente contnuo.Todo semigrupo fortemente contnuo possui uma limitacao exponencial que e dada no teorema a seguir.Teorema1.1.1Suponhaque T(t), t 0 L(E0)eumsemigrupofortementecontnuo. Entao, existeM 1 etais que|T(t)|L(E0) Me t, t 0.Para qualquer > 0 podemos escolher 1

log |T()|L(E0)e entao escolherM.Prova: Primeiramente note que supt[0,]|T(t)|L(E0)< para algum> 0 pois caso contrario existiriauma sequencia tn 0+tal que |T(tn)|L(E0) . Mas T(tn)en1 e limitada para cada e E0 portanto,do Princpio da Limitacao Uniforme, |T(tn)|L(E0)n1 e limitada contrariando a hipotese.56 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORESEscolha >0tal quesup|T(t)|L(E0), 0 t =M< eseja1

log|T()|L(E0)istoe|T()|L(E0) ee entao|T(n +t)|L(E0)= |T()nT(t)|L(E0) |T()|nL(E0)|T(t)|L(E0) Men Me]]e(n+t), 0 t ; n = 0, 1, 2 e a armativa segue.Denicao1.1.2Se T(t), t 0 L(E0) e um semigrupo fortemente contnuo de operadores lineares, seugeradorinnitesimal e o operador denido porA : D(A) E0 E0, ondeD(A) =

e E0 : limt0+T(t)e etexiste

, Ae =limt0+T(t)e et.O resultado a seguir coleta alguns fatos importantes sobre semigrupos fortemente contnuos sua prova esimples e e apresentada apenas para conveniencia do leitor.Teorema1.1.2Suponha que T(t), t 0 L(E0) e um semigrupo fortemente contnuo.1. Para qualquere E0,t T(t)e e contnuo parat 0.2. t |T(t)|L(E0)e semicontnua inferiormente e portanto mensuravel.3. SejaAogeradorinnitesimal deT(t); entao, Aedensamentedenidoefechado. Parae D(A),t T(t)e e continuamente diferenciavel eddtT(t)e = AT(t)e = T(t)Ae, t > 0.4. m1D(Am) e denso emE0.5. Para Re > edado no Teorema 1.1.1, esta no resolvente(A) deA e( A)1e =

0etT(t)edt, e E0Prova:(1) A continuidade det T(t)e e uma consequencia de Theorem 1.1.1 e de|T(t +h)e T(t)e|E0 = |(T(h) I)T(t)e|E0 0, quandoh 0+, t > 0, e E0,|T(t)e T(t h)e|E0 |(T(t h)|L(E0)|T(h)e e|E0 0, quandoh 0+, t > 0, e E0.(2) Mostramos que t 0 : |T(t)|L(E0)> b e aberto em [0, ) para cadab o que implica a armativa.Mas |T(t0)|L(E0)>bimplicaqueexistee E0com |e|E0=1tal que |T(t0)e|>bseguede(1)que|T(t)e|>bparatemumavizinhancadet0, logo |T(t)|L(E0)>bparatemumaviznhancadet0eoresultado segue.(3) Sejae E0e para > 0,e

=1

0T(t)edt; entaoe

e quando 0+e parah > 0h1(T(h)e

e

) =1h

+h

T(t)edt

h0T(t)edt 1

(T()e e),1.1. DEFINICOESERESULTADOSBASICOS 7quando h 0+. Logo e

D(A). Sera uma consequencia imediata de (5) que A e fechado pois (A)1L(E0). See D(A) e claro qued+dt T(t)e =limh0+1h T(t +h)e T(t)e = AT(t)e = T(t)Aee contnua e toda funcao com derivada a direita contnua e diferenciavel.(4)Seja:R RumafuncaoemC(R)e(t)=0emumavizinhancadet=0etambemparat sucientementegrande, sejae E0e f =

0(t)T(t)edt. Seguefacilmentede h1(T(h)f f) =h1

h((t h) (t))T(t)edt que f D(A) e que Af=

0t(t)T(t)edt. Como t satisfaz as mesmascondicoes que,Amf= (1)m

0(m)(t)T(t)edtparatodom 1ef m1D(Am). Paramostrarquetal conjuntodepontosedensoemE0, escolhaacimasatisfazendotambem

0(t)dt =1; entaose, fn=

0n(nt)T(t)edt =

0(s)T(s/n)eds,n = 1, 2, 3,e temos quefn m1D(Am) efn e quandon .(5)DenaR() L(E0) porR()e =

0etT(t)edte note que |R()|L(E0) MRe , se Re > e |T(t)|L(E0) Met. Sejae E0eh > 0h1(T(h) I)R()e = R()T(h)e eh= h1het+hT(t)e

0etT(t)e

= h1

h0e(ht)T(t)e +

0(eh1)etT(t)e e +R()e, quandoh 0+.(1.1)PortantoR()e D(A)e( A)R()e=e, e A esobrejetivo. Tambem, see D(A)entao, comoAR()e =R()Aepor(1.1)vemosque( A)R()e =e =R()( A)e, e D(A)e A etambemum-a-um, portanto uma bijecao deD(A) sobreE0com inversa limitadaR() e a prova esta completa.Teorema1.1.3Sejam T(t), t 0e S(t), t 0semigruposfortementecontnuoscomgeradoresin-nitesimaisA eBrepectivamente. SeA = BentaoT(t) = S(t),t 0.Prova: Sejae D(A)=D(B). DoTeorema1.1.2seguefacilmentequeafuncaos T(t s)S(s)eediferenciavel e queddsT(t s)S(s)e = AT(t s)S(s)e +T(t s)BS(s)e= T(t s)AS(s)e +T(t s)BS(s)e = 0.Portantos T(t s)S(s)e e constante e em particular seus valores ems = 0 es =t sao os mesmos, istoeT(t)e=S(t)e. Istovaleparatodoe D(A)ecomoD(A)edensoemE0eS(t), T(t)saolimitados,T(t)e = S(t)e para todoe E0.8 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORES1.2 OTeoremadeHille-YosidaTeorema1.2.1(Hille-Yosida)Suponha queA :D(A) E0 E0e um operador linear. Entao os fatosseguintes sao equivalentes(i) A e o gerador innitesimal de um semigrupo fortemente contnuo T(t), t 0 L(E0) tal que|T(t)|L(E0) et, t 0;(ii) A e um operador linear fechado, densamente denido cujo conjunto resolvente contem (, ) e|( A)1|L(E0) 1 , > .Prova:(i) (ii) e provado em (3), em particular|( A)1e|E0

0et|T(t)e|E0dt 1 |e|E0se > .NotequeT(t)et=T1(t) e umsemigrupocom |T1(t)|L(E0) 1(chamado semigrupodecontracoes)e o gerador deT1(t) eA logo e suciente tratar o caso = 0. Assuma que (ii) vale com = 0. Para > 0|( A)1|L(E0) 1, ( A)1= (I 1A)1= I +A( A)1entaoe D(A) implica|( A)1e e|E0 = |( A)1Ae|E0 1|Ae|E0 0quando e, comoA e densamente denido,( A)1e = (I 1A)1e e (1.2)para cadae E0. DenaA = A(I 1A)1, > 0 entaoA L(E0),|A|L(E0) = |A( A)1|L(E0) 2e see D(A),Ae Ae quando . A e a Aproxima caodeYosida do geradorA. ObtemosT(t)como o limite de etAquando . Primeiro note queA = 2( A)1IE0logo|etA|L(E0)= |etet2(A)1|L(E0) etet2(A)1L(E0) 1e para qualquer, > 0 (et > 0), desde queAA = AA,|etAe etAe|E0=

10dds(etsAet(1s)Ae)ds

E0

10t

etsAet(1s)A(Ae Ae)

E0ds t|Ae Ae|E0.1.2. OTEOREMADEHILLE-YOSIDA 9Portantoparae D(A), T(t)e limetAeexisteuniformementepara0 t t0,qualquert0> 0,t T(t)e e contnuo parat 0,T(t)e e emE0quandot 0+,T(t)(T(s)e) = T(t + s)e parat, s 0 e|T(t)e|E0 |e|E0. Podemos denir de forma unicaT(t) L(E0) para cadat 0.Se e E0, > 0 dados. Entao existem e1 D(A) e > 0 tais que, |e1e|E0< /3 e |T(t)e1e1|E0 0.Entao existe uma norma [[E0emE0tal que|e|E0 [e[E0 M|e|E0, e E0e[( A)1e[E0 1[e[E0, e E0, > 0.Teorema1.2.2(FormaGeraldoTeoremadeHille-Yosida)SejaA : D(A) E0 E0um operadorlinear. As seguintes armativas sao equivalente(i) A e o gerador innitesimal de um semigrupo fortemente contnuo T(t), t 0 L(E0) tal que|T(t)|L(E0) Met, t 0;(ii) A e fechado, densamente denido, o conjunto resolvente deA contem (, ) e|( A)n|L(E0) M( )n, > , n = 1, 2, .10 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORES1.3 OTeoremadeLumer-PhillipsDenicao1.3.1SejaE0umespacodeBanachsobreKcomnorma ||E0esejaE0=L(E0, K)oseudual topologicocomanormausual ||E0(|e|E0= supRe'e, e` : |e|E0 1). AaplicacaodualidadeJ : E0 2E0e uma funcao multvoca denida porJ(e) = e E0: Re'e, e` = |e|2E0,|e|E0= |e|E0.J(e) = , pelo Teorema de Hahn-Banach.Um operador linearA : D(A) E0 E0e dissipativo se para cadae D(A) existee J(e) tal queRe 'e, Ae` 0.Lema1.3.1O operador linearA e dissipativo se e somente se|( A)e|E0 |e|E0(1.3)para todoe D(A) e > 0.Prova:SejaA dissipativo, > 0 ee D(A). See J(e) e Re'Ae, e` 0 entao|e Ae|E0|e|E0 ['e Ae, e`[ Re'e Ae, e` |e|2E0e(1.3)segue. Reciprocamente, sejae D(A)eassumaque|e|E0 |e Ae|E0paratodo> 0. Sef J(e Ae) eg = f/|f|E0temos|e|E0 |e Ae|E0 = 'e Ae, g` = Re'e, g` Re'Ae, g` |e|E0 Re'Ae, g` (1.4)ComoabolaunitariadeE0ecompactanatopologiafracatemosqueexisteg E0, |g|E01, esequencian taisquegnwg. De(1.4)seguequeRe'Ae, g` 0eRe'e, g` |e|E0. MasRe'e, g` ['e, g`[ |e|E0eportanto 'e, g` = |e|E0. Tomandoe= |e|E0gtemos eJ(e) eRe'Ae, e` 0. Portanto, para todoe D(A) existee J(e) tal que Re'Ae, e` 0 eA e dissipativo.Teorema1.3.1(Lumer-Phillips)SuponhaqueA eumoperadorlineardensamentedenidoemumes-paco de BanachE0.(i)SeA eogeradorinnitesimal deumsemigrupofortementecontnuodecontrac oes,entaoA edissi-pativo (de fato, Re 'e, Ae` 0 para todoe J(e)) eR( A) = E0para algum > 0,(ii)SeAedissipativoeR(0 A) =E0paraalgum0>0, entaoAeogeradordeumsemigrupofortemente contnuo de contrac oes.Prova: (i) SeA gera T(t), t 0, |T(t)|L(E0) 1 entaoR( A) = E0 para todo > 0 pelo Teorema deHille-Yosida e para qualquere E0,e J(e),t > 0,['e, T(t)e`[ |e|E0|T(t)e|E0 |e|2E0entaoRe'e, T(t)e et` =1tRe'e, T(t)e` |e|2E0 0.Portanto see D(A), Re 'e, Ae` 0.1.3. OTEOREMADELUMER-PHILLIPS 11(ii) Se > 0 ee D(A), do Lemma 1.3.1 temos que|( A)e|E0 |e|E0.AgoraR(0 A)=E0, |(0 A)e|E00|e|E0parae D(A), logo0estanoconjuntoresolventedeAeA efechado. Seja= (A) R: >0. eumconjuntoabertoem(0, )jaque(A)eaberto, provaremosqueetambemfechadoem(0, )paraconcluirque=(0, ). Suponhaquenn=1 , n > 0, sen e sucientemente grande temos que [n [ /4 entao, paran grande,|( n)(nA)1|L(E0) [n[1n 1/3 eI + ( n)(nA)1e um isomorsmo deE0. Entao A = I + ( n)(nA)1(nA) (1.5)levaD(A) sobreE0e (A), como queramos.Agora todas as hipoteses do Teorema de Hille-Yosida (ii) estao vericadas e a prova esta completa.Aseguirrecordamosadenicaodeoperadoresadjuntos. SejaE0umespacodeBanachcomdual E0.SejaS : D(S) E0 E0um operador linear com domnio denso. O adjuntoS : D(S) E0 E0deSe o operador linear denido por: D(S) e o conjunto dose E0para os quais existef E0com'e, Se` = 'f, e` e D(S). (1.6)esee D(S)entaof=SeondefeoelementodeE0satisfazendo(1.6). NotequecomoD(S) edenso emE0existe no maximo umf E0para o qual (1.6) vale.SejaHum espaco de Hilbert com produto escalar ', `. IdenticamosHeHe denotamos ambos porH.Denicao1.3.2SejaHum espaco de Hilbert com produto interno ', `. Um operadorA : D(A) H HesimetricoseD(A) =HeA A; isto e 'Ae, f` = 'e, Af`paratodoe, f D(A). A eauto-adjuntoseA = A.Corolario1.3.1SejaA um operador linear fechado e densamente denido. Se ambosA eAsao dissipa-tivos, entaoA e o gerador innitesimal de um semigrupo fortemente contnuo de contracoes sobreE0.Prova: PeloTeoremadeLumer-PhilipsesucienteprovarqueR(I A)=E0. ComoAedissipativoefechadoR(I A) e um subespaco fechado deE0. SeR(I A) =E0entao existee E0, e = 0 tal que'e, e Ae` = 0 para todoe D(A). Isto implicae Ae = 0. ComoA e tambem dissipativo segue doLema 1.3.1 quee = 0 contradizendo a construcao dee.Em muitos exemplos a tecnica utilizada para vericar as estimativas espectrais necessarias para se garantirque um operadorA e o gerador de um semigrupo fortemente contnuo de operadores sao obtidas atraves doconhecimento da chamada imagemnumerica que e denida a seguir.SeA eumoperadorlinearemumespacodeBanachcomplexoE0asuaimagemnumericaW(A) eoconjuntoW(A) := 'e, Ae` : e D(A), |e|E0 = 1, e E0, |e|E0= 1, 'e, e` = 1. (1.7)No caso em queE0 e um espaco de HilbertW(A) = 'Ae, e` : e D(A), |e|E0 = 1.Teorema1.3.2Seja A : D(A) E0 E0 um operador fechado densamente denido. Seja W(A) a imagemnumerica deA e um subconjunto aberto e conexo em C`W(A). Se/ W(A) entao A e um-a-um etem imagem fechada e satisfaz|( A)e|L(E0) d(, W(A))|e|E0. (1.8)Adicionalmente, se(A) = entao(A) e|( A)1|L(E0) 1d(, W(A)). (1.9)onded(, W(A)) e a distancia de aW(A).12 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORESProva:Seja/ W(A). See D(A), |e|E0 = 1,e E0, |e|E0= 1 e 'e, e` = 1 entao0 < d(, W(A)) [ 'e, Ae`[ = ['e, e Ae`[ |e Ae|E0(1.10)e portanto A e um-a-um, tem imagem fechada e satisfaz (1.8). Se adicionalmente (A) entao (1.10)implica (1.9).Resta mostrar que se intersepta(A) entao(A) . Para este m considere o conjunto(A) .Esteconjuntoeobviamenteabertoem. Mastambemefechadojaquen (A) en implicaqueparansucientementegrande [ n[ 0A(h) e limitado o semigrupoet A(h)esta bem denido. AdicionalmenteA(h) eT(t) comutam,logo o mesmo ocorre com et A(h)eT(t). Ainda|et A(h)|L(E0) et/hk=0

th

k|T(hk)|L(E0)k! Meth(eh1).Portanto, para 0 < h 1 temos|et A(h)|L(E0) Mete.E facil ver que parae D(A), e(ts)A(h)T(s)e e diferenciavel ems e quedds

e(ts)A(h)T(s)e

= A(h)e(ts)A(h)T(s)e +e(ts)A(h)AT(s)e= e(ts)A(h)T(s)(Ae A(h)e).14 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORESConsequentemente, para 0 < h 1 ee D(A) temos|T(t)e et A(h)e|L(E0)=

t0dds

e(ts)A(h)T(s)e

ds

L(E0)

t0|e(ts)A(h)|L(E0)|T(s)|L(E0)ds |Ae A(h)e|E0 tM2et(e+1)|Ae A(h)e|E0.Fazendo h 0+obtemos (1.13) para e D(A). Como ambos |et A(h)|L(E0) e |T(t)|L(E0) sao uniformementelimitados em um intervalo nito de tempo e comoD(A) e denso emE0obtemos que (1.13) vale para todoe E0.Exemplo1.4.1SejaE0 = LUC(R) o espaco das func oes limitadas e unifomemente contnuas em R. Seja(T(t)f)(x) = f(x +t), x R, t 0.Entao T(t) :t 0 eumsemigrupofortementecontnuodecontrac oesemE0. Seugeradorinnitesimaltem domnioD(A) = f E0 : ft E0e sobreD(A),Af= ft. Para este semigrupo temos(A(h)f)(x) =f(x +h) f(x)h= (hf)(x),E facil vericar que(A(h)kf)(x) =1hkkm=0(1)km

km

f(x +mh) = (khf)(x).Usando o Teorema 1.4.1 obtemosf(x +t) =limh0+k=0tkk!(khf)(x).O limite acima existe uniformemente parax R et em intervalos limitados de R. A formula acima e umageneralizacao do Teorema de Taylor para funcoes que sao somente contnuas. Note que se ftem k derivadascontnuas entao limh0+(khf)(x) = f(k)(x).Teorema1.4.2(OSegundoLimiteFundamental)Seja T(t) :t 0umsemifrupofortementecon-tnuo emE0. SeA e o seu gerador innitesimal, entaoT(t)e =limn

I tnA

ne =limnnt

nt A

1

ne, e E0e os limites sao uniformes parat em intervalos limitados de R.Prova:Assuma que |T(t)|L(E0) Met. Vimos que paraRe > , ( A)1e analtica em e( A)1e =

0esT(s)e ds, e E0.1.4. FORMULASEXPONENCIAIS 15Derivandon vezes em, substituindos = vt e tomando = n/t encontramos

nt A

1

(n)e = (1)ntn+1

0(vev)nT(tv)edv.Mas

( A)1

(n)= (1)nn!( A)n1e portantont

nt A

1

n+1e =nn+1n!

0(vev)nT(tv)e dv.Notando quen + 1n!

0(vev)ndv = 1obtemosnt

nt A

1

n+1e T(t)e =nn+1n!

0(vev)n[T(tv)e T(t)e] dv. (1.14)Dado > 0 escolhemos 0 < a < 1 < b < tal quet [0, t0] implica|T(tv)e T(t)e|L(E0)< , a v b.EntaoquebramosaintegralemtresintegraisI1, I2, I3nosintervalos[0, a], [a, b]e[b, )respectivamente.Temos|I1|L(E0) nn+1n!(aea)n

a0|T(tv)e T(t)e|L(E0)dv,|I2|L(E0) nn+1n!

ba(vev)ndv< ,|I3|L(E0) = |nn+1n!

b(vev)n(T(tv)e T(t)e)dv|L(E0).Aqui usamosofatoquevev0enaodecrescentepara0 v 1enaocrescenteparav 1. Comoadicionalmente vev< e1para v = 1, |I1|L(E0) 0 uniformemente para t [0, t0] quando n . Escol-hendo n > t em I3, vemos que a integral na estimativa de I3, converge e que |I3|L(E0) 0 uniformementeparat [0, t0] quandon . Consequentementelimsupn

nt

nt A

1

n+1e T(t)e

L(E0) e como > 0 e arbitrario temoslimnnt

nt A

1

n+1e = T(t)e.Aindalimnnt

nt A

1e = e.e o resultado segue.16 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORES1.5 Pseudo-ResolventesSejaA um operdor fechado e densamente denido emE0. Se e estao em(A), entao temos( A)1( A)1= ( )( A)1( A)1.Motivado por isto denimosDenicao1.5.1Sejaumsubconjuntodoplanocomplexo. UmafamliaJ(), , deoperadoreslineares limitados emE0satisfazendoJ() J() = ( )J()J(), , (1.15)e chamado um pseudo-resolvente em .O objetivo nal desta secao e determinar condicoes sob as quais existe um operador fechado e densamentedenidoA tal queJ() e o resolvente deA.Lema1.5.1Seja um subconjunto de C. SeJ() e pseudo-resolvente em , entaoJ()J() = J()J().On ucleoN(J())eaimagemR(J())saoindependentesde . N(J()) eumsubespacofechadodeE0.Prova:E evidente de (1.15) que J() e J() comutam para , . Tambem reescrevendo (1.15) na formaJ() = J()[I + ( )J()]eclaroqueR(J()) R(J())eporsimetriatemosaigualdade. SemelhantementeN(J())=N(J()).N(J()) e claramente fechado.Teorema1.5.1Seja um subconjunto de C e sejaJ() pseudo-resolvente em . Entao, J() e o resol-vente de um operador linear fechado densamente denido se e somente seN(J()) = 0 eR(J()) e densoemE0.Prova: Claramente se J() e o resolvente de um operador fechado e densamente denido A, temos N(J()) =0 eR(J()) =D(A) e denso emE0. Assuma agora queN(J()) = 0 eR(J()) =D(A) e denso emE0. DeN(J()) = 0 segue queJ() e um-a-um. Seja0 e denaA = 0I J(0)1.O operadorA assim denido e claramente linear, fechado eD(A) =R(J(0)) e denso emX. Da denicaodeA e claro que(0I A)J(0) = J(0)(0I A) = I,e portantoJ(0) = (0I A)1. Se entao(I A)J() = (( 0)I + (0I A))J()= (( 0)I + (0I A))J(0)[I ( 0)J()]= I + ( 0)[J(0) J() ( 0)J(0)J()]= IesemelhantementeJ()(I A)=I. PortantoJ()=( A)1paratodo . EmparticularA eindependente de0e e unicamente determinado porJ().A seguir damos condicoes sucientes para que pseudo-resolventes sejam resolventes.1.6. OSEMIGRUPODUALEOTEOREMADESTONE 17Teorema1.5.2Seja C ilimitado e sejaJ() um pseudo-resolvente em . SeR(J()) e denso emE0e existe uma sequencian com [n[ e|nJ(n)|L(E0) M (1.16)para alguma constanteM, entaoJ() e o resolvente de um unico operador fechado e densamente denido.Prova:De (1.16) segue que |J(n)|L(E0) 0 quandon . Seja . De (1.15) deduzimos que|(nJ(n) I)J()|L(E0) 0, n .Portanto, see R(J()) temosnJ(n)e e, n . (1.17)Como R(J()) e denso em E0 e nJ(n) e uniformemente limitada, temos que (1.17) vale para todo e E0.See N(J())entaonJ(n)e=0ede(1.17)deduzimosquee=0. PortantoN(J())= 0e, doTeorema 1.5.1,J() e o resolvente de um operador fechado e densamente denidoA.Corolario1.5.1Seja C ilimitado e J() um pseudo-resolvente em . Se existe uma sequencia n tal que [n[ quandon elimnnJ(n)e = e, e E0(1.18)entaoJ() e o resolvente de um operador (unicamente denido) fechado e densamente denidoA.Prova: DoPrincpiodaLimitacaoUniformeede(1.18)sequeque(1.16)vale. DoLema1.5.1sabemosqueR(J()) e independente de e portanto (1.18) implica queR(J()) e denso emE0. Portanto, ascondicoes do Teorema 1.5.2 estao satisfeitas e o resultado segue.1.6 OSemigrupoDualeoTeoremadeStoneComecamos com alguns resultados basicos sobre operadores duais.Lema1.6.1SejaS L(E0); entao,S L(E0) e |S|L(E0) = |S|L(E0).Prova: Para todo e E0, 'e, Se` e um funcional linear contnuo e portanto determina um unico elementof E0para o qual 'f, e` = 'e, Se` e portantoD(S) = E0. Adicionalmente,|S|L(E0)= supeE01|Se|E0= supeE01 supeE01['Se, e`[= supe1 supeE01['e, Se`[ = supeE01|Se|E0= |S|L(E0).Lema1.6.2SejaA um operador linear densamente denido emE0. Se (A) entao (A) e( A)1= (( A)1).18 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORESProva: Dadenicaodeadjuntotemos(I A)=I A. Como(I A)1L(E0)temosque((I A)1) L(E0). Provaremosque(I A)1existeeeigual a((I A)1). Primeiramentemostramos queI A e injetor. Se para algume = 0, (I A)e = 0, entao 0 = '(I A)e, e` ='(I A)e, e` para todoe D(A). Mas como (A),R(I A) = E0e portantoe = 0 eI A einjetor. Se agorae E0,e D(A), entao'e, e` = 'e, (I A)(I A)1e` = '(IA)e, (I A)1e`e portanto((I A)1)(IA)e = e, e D(A).Por outro lado see E0ee D(A) entao'e, e` = 'e, (I A)1(I A)e` = '((I A)1)e, (I A)e`o que implica que(IA)((I A)1)e = e, e E0.Segue que (A) e que (IA)1= ((I A)1).Seja T(t) : t 0 um semigrupo fortemente contnuo em E0. Para t > 0 seja T(t) : t 0 o semigrupodual. O semigrupo dual nao precisa ser fortemente contnuo emE0.Denicao1.6.1SejaSumoperadorlinearemE0esejaF0umsubespacodeE0. OoperadorSdenidoporD(S) denido porD(S) = e D(S) F0 : Se F0 eSe = Se parae D(S) e chamado parte deSemF0.Teorema1.6.1Seja T(t): t 0umsemigrupofortementecontnuoemE0comgeradorinnitesimalAe T(t):t 0osemigrupodual. SeAeoadjuntodeAeE0eofechodeD(A)emE0,entaoarestricao T(t) : t 0 de T(t) : t 0 aE0e um semigrupo fortemente contnuo emE0 . O geradorinnitesimal Ade T(t) : t 0 e a parte deAemE0 .Prova: ComoA e o gerador innitesimal de T(t) :t 0,existem constanteseMtais que para todo > , (A) e|( A)n|L(E0) M( )n, n = 1, 2, .Segue que (A) e|(IA)n|L(E0) M( )n, n = 1, 2, .SejaJ() a restricao de (IA)1aE0 . Segue que|J()n|L(E

0) M( )n,J() J() = ( )J()J(), , > e por (1.2) temos quelimJ()e e, e E0.Segue do Corolario 1.5.1 que J() e o resolvente de um operador fechado e densamente denido A em E0 .Ainda, Aeogeradorinnitesimaldeumsemigrupofortementecontnuo T(t): t 0emE0 . Parae E0ee E0temos

e,

I tnA

ne =

ItnA

ne, e, n = 1, 2, 3 .1.6. OSEMIGRUPODUALEOTEOREMADESTONE 19Fazendon e usando o Teorema 1.4.2 obtemos'e, T(t)e` = 'T(t)e, e`.Segue que parae E0 ,T(t)e = T(t)eeT(t) e a restricao deT(t)aE0 .ParaconcluiraprovatemosquemostrarqueAeapartedeAemE0 . Sejae D(A)tal quee E0eAe E0 . Entao (IA)e E0e(IA)1(IA)e = e.Portantoe D(A) e aplicandoI Aem ambos os lados da igualdade acima temos (I A)e =(IA)ee portantoAe = Ae. Isto mostra queA e a parte deAemE0.O seguinte resultado identica alguns casos em que o semigrupo dual e fortemente contnuo.Lema1.6.3SejaE0umespacodeBanachreexivo. SeS: D(S) E0 E0efechadoedensamentedenido entaoD(S) e denso emE0.Prova:SeD(S) nao e denso emE0entao existe um elementoe0 E0tal quee0 = 0 e 'e, e0` = 0 paratodo e D(S). Como S e fechado seu graco e fechado e nao contem (0, e0). Do Teorema de Hahn-Banachexisteme1ee2emE0tais que 'e1, e` 'e2, Se` = 0 para todoe D(S) e 'e1, 0` 'e2, e0`= 0. Segue quee2 = 0 e que 'e2, e0` = 0 e que e2 D(S), Se2 = e1. Isto implica que 'e2, e0` = 0 o que e uma contradicao.PortantoD(S) e denso emE0.Corolario1.6.1Seja E0 um espaco de Banach reexivo e T(t) : t 0 um semigrupo fortemente contnuoemE0comgeradorinnitesimal A. Osemigrupodual T(t): t 0de T(t) : t 0eumsemigrupofortemente contnuo emE0cujo gerador innitesimal eA.Uma vez que a restricao de T(t) ao subespaco X e um semigrupo fortemente contnuo, estamos exata-mente na mesma posicao que comecamos. Em um espaco de BanachXe com um semigrupo fortementecontnuo T(t) : t 0 gerado pela parteAdeAemX.PodemosintroduziroespacoXeosemigrupodual T(t)queefortementecontnuoemX:=D(A).A dualidade entre os elementos deXeXpode ser usada para denir uma imerssaoj(note queX efraco- denso emX) deXemXcom'jx, x`X,X = 'x, x`X

,X.E claro queT(t)jx = j(T(t)x)e portanto j(X) X. Sempre que j(X) = X camaremos X de reexivo com respeito ao semigrupoT(t) : t 0.Seja H um espaco de Hilbert. Um operador limitado U e unitario se U = U1. Recorde que U e unitariose e somente seR(U) = HeUe uma isometria.Teorema1.6.2(Stone)Umoperador Aeogeradorinnitesimal deumgrupofortementecontnuodeoperadores unitarios em um espaco de HilbertHse e somente seiA e auto-adjunto.Prova:SeA e o gerador de um grupo fortemente contnuo de operadores unitarios U(t) : t R, entaoAe densamente denito e utilizando o Corolario 1.6.1 obtemos, parax D(A),Ax =limt0+U(t)x xt= lim U(t)x xt= Ax20 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORESo que implica queA = Ae portanto (iA) = iA eiA e auto-adjunto.SeporoutroladoiA eautoadjuntoentaoA edensamentedenidoeA = A. Portanto, paratodox D(A) temos'Ax, x` = 'x, Ax` = 'Ax, x`e portanto Re'Ax, x` = 0 para todox D(A), isto e,A e dissipativo. ComoA = A, Re'Ax, x` = 0 paratodo x D(A) = D(A) e tambem A e dissipativo. Logo A e A sao densamente denidos e fechados e comoA=A, doCorolario1.3.1, ambosAeA= Asaogeradoresinnitesimaisdesemigruposfortementecontnuos de contracoes emH. Se U+(t) : t 0 e U(t) : t 0 sao os semigrupos gerados porA eArespectivamente denimosU(t) =

U(t), t 0,U(t), t 0.EntaoU(t) e um grupo. De fato: ComoA e A sao geradores de semigrupos fortemente contnuosU+(t) eU(t) que comutam pelo Teorema 3.1.2. SeW(t) = U+(t)U(t) entao parax D(A) = D(A)W(t)x xt= U(t)U+(t)x xt+U(t)x xt Ax Ax = 0, quandot 0+.Portanto, parax D(A)temosqueW(t)x=x, t 0. ComoD(A)edensoemHeW(t)elimitadotemos queW(t) = IouU(t) = (U+(t))1. ComoU(t)1= U(t), |U(t)| 1, |U(t)| 1, segue queR(U(t)) = HeU(t) e uma isometria para todot e portantoU(t) e um grupo unitario de operadores sobreH, como queramos.1.7 TransformadaInversadeLaplaceVimos no Teorema 1.1.2, (5) que( A)1=

0etT(t)dt,seReegrande. IstosugerequeusandoatransformadainversadeLaplacepoderemosencontrar T(t),conhecidoA. No que se segue perseguiremos este objetivo.Lema1.7.1(a)

sin ttdt = (b)Sef: R C e tal quef(t)/(1 +[t[) e integravel em R e

11

f(t) f(0)t

dt < , entao

f(t)sin Nttdt f(0) quandoN +.Prova:(a) Note que se e a curva da gura abaixo no plano complexo, temos que1.7. TRANSFORMADAINVERSADELAPLACE 210 =

rReittdt +

Rreittdt +i

0eireid +i

0eiReid.Note que

0eiReid

0eRsin d 0,quandoR e o resultado segue quandor 0.(b)

11sinNttdt =

NNsin ttdt 1 quandoN e

f(t)sin Nttdt f(0)

11sin Nttdt =

]t]1f(t) f(0)tsin Nt dt +

]t]1f(t)tsin Nt dt,ambos os termos a direita tendem a zero quandoN pelo lema de Riemann-Lebesgue.Teorema1.7.1SuponhaqueA eogeradordeumsemigrupofortementecontnuo T(t), t 0 L(E0)satisfazendo |T(t)|L(E0) Mete assuma que> max0, . Para qualquere D(A2) et > 0T(t)e = limN12i

+iNiNet( A)1e d,ondeaintegral eaolongodosegmentoderetacomRe=. Olimiteconvergeuniformementepara t 1/, qualquer > 0.Prova:Como Re = > , ( A)1existe e e uniformemente limitada, de fato, comoe D(A2)( A)1e = 1e +2Ae +2( A)1A2eentao12i

+iNiNet( A)1e d =

12i

+iNiNetd

e +12i

+iNiNet2 [Ae + ( A)1A2e]de ambos os termos convergem uniformemente em t 1/ quando N , o primeiro por integracao porpartes e o segundo porque o integrando tem norma menor ou igual a const/[[2entao converge absolutamente.So resta mostrar que o limite eT(t)e.Agora para Re = ( A)1e =

0esT(s)e ds,entao12i

+iNiNet( A)1e d =

0

12i

+iNiNe(ts)dT(s)e ds=

0sin N(t s)(t s)e(ts)T(s)e ds =

tsin NeT(t +)e d.A funcaof() =

'e, T(t +)e`e, t0, < tsatisfaz as condicoes do lemma para qualquere E0et > 0 poisft(0) = 'e, T(t)(A)e`. Entao'e,12i

+iNiNet( A)1ed` f(0) = 'e, T(t) e`quandoN . Isto vale para todoe E0e a prova esta completa.22 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORES1.8 OperadoresSetoriaiseAnaliticidadeSuponha que o geradorA de um semigrupo fortemente contnuo de T(t) :t 0 e tal que = C :[ arg [ < (A) para algum (/2, ) e que|( A)1|L(E0) C[[, .Mostraremos que o semigrupo gerado porA e analtico em um setor contendo o eixo real positivo.Sejae D(A2),t > 0, ent ao para algum> 0T(t)e =12i

+iiet( A)1ed.O integrando e analtico para e portanto podemos deformar o contorno de integracao para , consistin-do de dois raios C : arg = , [[ > r,2< < , e do arco de crculo C : [[ = r, [ arg [ parar pequeno. Veja gura abaixoNote que, quando Im = N, kN Re (k = [ cot [ > 0),|et( A)1e|E0 etReC|e|E0

(Re)2+N2e as integrais correspondentes tendem a zero quandoN .PortantoT(t)e =12i

et( A)1e d,e esta expressao vale para todoe E0porque converge em norma. De fato, parat > 0, arg = |et( A)1|L(E0) Cet]]k1[[, k1 = [ cos [ > 0entaoT(t) =12i

et( A)1dcom convergencia na norma de L(E0) qualquer t > 0. A convergencia e uniforme para t, qualquer> 0,entaot T(t) L(E0)econtnuoparat >0(masclaramenteaconvergencianaoeuniformequandot 0, a menos queA seja limitado). Ainda mais, a integral converge uniformemente parat complexo em[ arg t[ 1 0, i = 0, 1), logot T(t) e analtico em um setor [ arg t[ 0.Prova:DenaT(t) pela integral acima, se = a +eatT(t) =12i

0et( (Aa))1de |( (Aa)1|L(E0) C/[[. Nao ha perda de generalidade em assumir quea = 0.Comoobservadoacima, t T(t) eanaltica. Nosprimeiroprovamos |T(t)|L(E0)et|AT(t)|L(E0)saolimitados parat > 0. Mudando variaveis para = t,T(t) =12i

0e(t A)1dt,e o contorno e ainda 0ja que o integrando e analtico. Logo|T(t)|L(E0) 12

0eReC[[/t[d[t= K< uniformemente parat > 0. Semelhantemente12i

0etA( A)1d =12i

0et[I +( A)1]d= 12i

0etd +t12i

0et (t A)1do primeiro termo e zero e o segundo e estimado da seguinte forma|t12i

0et (t A)1d|L(E0) 12t

0eReC[d[ = K1t1< .Para ver que isto eAT(t), note queA e um operador fechado, pois ( A)1 L(E0) para 0. Comoaintegral quedeneT(t)eumlimitedesomasdeRiemannefacil verqueAT(t)e=T(t)Aeparatodoe D(A).24 CAPITULO1. SEMIGRUPOSESEUSGERADORESPela analiticidade e convergencia uniforme para cadat > 0, temosddtT(t) =12i

0et( A)1d,que eAT(t) como mostrado acima. Sejae D(A),t > 0 eT(t)e =

12i

0etd

e +t2i

0et (t A)1Aed2logo|T(t)e e|E0 t2

0eReC|Ae|E0[d2[ = O(t)quandot 0+. Como |T(t)|L(E0) e limitado quandot 0+,T(t)e e quandot 0+para todoe E0.Finalmente, para0 s taaplicacaos T(t s)T(s)eecontnuaeediferenciavel (analtica)para0 < s < t, comdds(T(t s)T(s)e) = AT(t s)T(s)e +T(t s)AT(s)e = 0entao e constante eT(t s)T(s)e = T(t)e, para 0 s t, e E0.Esta e a propriedade de semigrupo e a prova de que T(t) e um semigrupo fortemente contnuo esta completa.Para completar a prova do teorema, devemos mostrar queA e seu gerador. MasT(t)e e =

t0T(s)Ae ds,quandot > 0,e D(A), entao1t(T(t)e e) Ae quandot 0+eA esta contido no gerador. A e de fatoo gerador pois 1 esta no resolvente deA e do gerador.Teorema1.8.2SejaA: D(A) E0 E0densamentedenidoetal que Aesetorial comresolventecompacto. Entao o semigrupo T(t) : t 0 gerado porA e compacto.Captulo2PotenciasFracionarias2.1 IntroducaoVamoscomecarestasecaomotivandoadenicaodepotenciasfracionariasdeoperadoresfechados. Emprimeiro lugar observe que se e uma curva fechada, reticavel e simples em C`(, 0] en(; a) denota ondice da curvaema C temos do Teorema dos Resduos quea=12i

adpara todo C ea C comn(; a) = 1. Aqui= elog e log e o ramo principal do logartimo.SeA L(E0) e tal que(A) C`(, 0] e e uma curva fechada, reticavel e simples em C`(, 0]tal quen(; a) = 1, a (A), denimos em analogia com a observacao acimaA=12i

( A)1d,para todo C.E facil ver, da expressao acima, queI= Ipara todo C.E claro queAL(E0). Mostremos queAA=A+(A, C e um grupo) e queAncoincidecom a denic ao usual (an-esima iterada deA). Para mostrar a propriedade de grupo escolhat uma curvafechada, reticavel e simples em C`(, 0] externa a, entaoAA=12i

( A)1d12i

( A)1d=

12i

2

( A)1( A)1d d=

12i

2

( A)1( A)1 dd=

12i

2

( A)1

1 dd+

12i

2

( A)1

1 dd=12i

+( A)1d = AAonde na ultima passagem utilizamos o Teorema dos Resduos para obter que12i

1d = e obser-vamos que esta no traco detque e externa ae portanto, do Teorema de Cauchy, 1d = 0.2526 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASSe por outro lado = n e um n umero inteiro positivo podemos tomar uma curva em C (nao e necessarioevitar o semi-eixo real negativo), ja quene uma funcao inteira, temos entao queAn :=12i

n( A)1d =12i

n1(I 1A)1de como para [[ > |A| temos que(I 1A)1=j=0jAj,segue do Teorema dos Resduos queAn = An. (2.1)Ou seja,Ae a iterada deA quando NNo que se segue buscamos expressoes equivalentes deAque facam sentido para uma classe mais amplade operadores. Se 00umelementou D(A) tal que |u f|E /|A1|L(E). Portanto, fazendov := Au,|A2v e|E = |A1u A1f|E |A1|L(E)|u f|E .Isto mostra queD(A2) D(A). PortantoD(A2) D(A) = E o que garante queD(A2) e denso emE. Porinducao vemos queD(Ak) e denso emEparak = 1, 2, 3,. Segue de (2.11) queD(Az) = E, Rez> 0. (2.12)Agora suponha que Rez> 0 e Rew > 0. Dadoe D(Az+w) D(Aw) D(Az),30 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASfacaf:=Az+we. Entaoe =A(z+w)f=AwAzfimplicaAwe =Azfo que,por sua vez, mostra quef= AzAwe; isto e,Az+we = AzAwe = AwAze, e D(Az+w).Se Rez> Rew ee D(Aw) entaoAzAwe = A(zw)AwAwe = A(zw)e = Awze.Adicionalmente, see D(Az) entao, gracas a identidade acima,AwAze = AwAwAzwe = Azwe.Isto prova que, dadosz, w C com Rez, Rew, Re(z +w) = 0,AzAwe = Az+we, e D(Au), (2.13)ondeu z, w, z +w com Reu = maxRez, Rew, Re(z +w).Considere a seguinte extensao de (2.8).Proposicao2.2.1Suponha quem = 0, 1, 2,. EntaoAz=sin zm!(1 z)(2 z)(mz)

0smz(s +A)m1ds (2.14)para 0 < Rez< m+ 1.Prova:Suponha quez satisfaz 0 < Rez< 1. Entao da integra cao por partes em (2.8) temos que,Az=sin z(1 z)(s1z(s +A)1

0+

0s1z(s +A)2ds

=sin z(1 z)

0s1z(s +A)2ds.Agora (2.14) segue por inducao para 0< Rez< 1. Gracas a (2.5) e facil vericar que a integral em (2.14)converge absolutamente para 0< Rez 0.(vii) Dadom = 0, 1, 2,, a aplicacaoz C : Rez< m L(D(Am), E), z Aze analtica.Prova:A primeira parte da armativa segue de resultados que precedem o enunciado do teorema.(i) Segue de (2.1) e de (2.10).(ii) Se Rez = 0, isto foi mostrado em (2.16) e segue da denicao deAzse Rez = 0.(iii) Se Rez, Rewe Re(z + w) sao todos distintos de zero, isto e uma consequencia de (2.13) e (2.11). De(ii) e (2.5) conclumos que(z Az) C1(z C : 1 < Rez< 1, L(D(A), E) L(D(A2), D(A))). (2.19)Portanto, suponha quez, w C : 1 < Re< 1. Escolha as sequencias (zj), (wj) emz C : 1 < Rez< 1`z C : Rez = 0 =: Z (2.20)tal quezj +wj Z,zj z ewj w. Entao, pelo que ja sabemos,AzjAwje = Azj+wje, e D(A2).Portanto, fazendoj , obtemos de (2.19) que (iii) e verdade se 1 < Rez, Rew < 1.Suponha que Rez = 0 e w C : [Rew[ 1. Fixe R com 0 < Rew < 1. EntaoAzAwe = AzAwAe = Az+(w)Ae = A(z+w)+e = Az+weparae D(A2m) comm = 2, 3,e Rew < m ja que 1 < Re(w ) < 0 e = 0.Finalmente, sejaRez 1, 1 ReweRe(z + w) = 0. Escrevemosz=r + scom 1< Rer< 0.Comoaspartesreaisder, wer + wsaonaonulasez, restempartesreaisnegativas,seguequeAz= ArAseAsAwe = As+we parae D(Aw). PortantoAzAwe = ArAs+we, e D(Aw) D(A2m).Logo podemos assumir que 1 < Rez< 0. Entao Re(z + w) = 0 implica 0 < Rew< 1, de forma queestamos de volta a situacao ja considerada. Consequentemente, (iii) foi completamente provado.(iv) Pelo Teorema 2.2.1 e (iii) e suciente provar quee D(Aw) eAwe D(Az) implicae D(Aw+z) seRez>0eRew>0. Sejaf:=Az(Awe). Entaoseguede(iii)quee=Aw(Azf)=A(w+z)f D(Aw+z).2.2. OPERADORESDOTIPOPOSITIVO 33(v) De (2.11) e de (iii) deduzimos que|Aze|E = |AzwAwe|E |Azw|L(E)|Awe|E, e D(Aw).Comoe |Aue|Ee uma norma equivalente a norma emD(Au) para Reu > 0, gracas a limitacao deAu, segue queD(Aw) D(Az) E.Dadoe D(Az) facaf:=Aze E. ComoD(Awz) e denso emE, dado> 0 podemos encontraru D(Awz) tal que |u f|E< . Portantov := Azu D(Aw) e |Az(v e)|E = |u f|E< .Isto mostra queD(Aw) e denso emD(Az) que, junto com (2.12) implica a armativa.(vi) A primeira armativa segue de (iv) e a segunda e trivial.(vii) Gracas ao Teorema 2.2.1 e (2.19), podemos assumir quem 2. Desde que (v) implicaL(D(A), E) L(D(Am), E),conclumos que(z Az) C1(z C; Rez< 1, L(D(Am), E)). (2.21)Se 0 < Rez< m entao (iii) implica queAze = AzmAme parae D(Am). Portanto o Teorema 2.2.1garante que(z Az) C1(z C; 0 < Rez< m, L(D(Am), E)).Isto juntamente com (2.21) prova o teorema.Note que se A e o gerador innitesimal de um semigrupo fortemente contnuo com decaimento expo-nencial em E entao A e do tipo positivo. Neste caso podemos obter outra formula de representa cao util paraAzcom Rez> 0.Teorema2.2.4SuponhaqueAeogeradordeumsemigrupofortementecontnuocomdecaimentoexpo-nencial. EntaoAz=1(z)

0tz1etAdt, Rez> 0.Prova:E uma consequencia facil de

0tz1etAdt

L(E) M

0tRez1etdte das propriedades conhecidas da funcao que a aplicacaoz C : Rez> 0 L(E), z 1(z)

0tz1etAdte analtica. Portanto, gracas ao Teorema 2.2.1 e suciente provar a igualdade para 0 < z< 1.Dadoz (0, 1),Az=sin z

0sz(s +A)1dspela Proposic ao 2.2.1. Por outro lado sabemos da teoria de semigrupos que(s +A)1=

0estetAdt, s > 0.34 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASPortanto pelo Teorema de FubiniAz=sin z

0sz

0estetAdt ds =sin z

0etA

0szetsds dt=sin z(1 z)

0tz1etAdt.Portanto a armativa segue da formula(z)(1 z) = / sin z.Agora assumimos que H e um espaco de Hilbert e A e um operador linear auto-adjunto denido positivoemH, isto e,A = A > 0 para algum > 0. Seja E; R a resolucao espectral deA. Entao, dadoz C, podemos denirAzporAz:=

0zdE, z C. (2.22)O teorema a seguir mostra que esta denicao coincide com a anterior.Teorema2.2.5SejaHum espaco de Hilbert aA um operador linear auto-adjunto denido positivo emH.EntaoA {(H)easpotenciasfracionariasdenidasem(2.22)atravesdaresolucaoespectral coincidemcom as potencias fracionarias do Teorema 2.2.3.Prova:Primeiramente note que(A) (, ] seA = A > 0. Adicionalmente,(s +)|e|2E '(s +A)e, e` |(s +A)e|E|e|E, e D(A),implica|(s +A)1|L(E) (s +)1 M(1 +s)1, s 0.PortantoA {(H).Seja o contorno consistindo dos dois raios +R+eipara algum (0, ) e (0, ) e orientadade forma que as partes imaginarias crescam ao longo de . Entao para z C com Rez< 0 e a formulaintegral de Cauchy implica12i

()z +d = z.Portanto, do Teorema de Fubini e o calculo espectral deA12i

()z( +A)1d =12i

()z

0( +)1dEd

012i

()z +d

dE =

0zdEem L(H), gracas ao fato que o suporte da resolucao espectral esta contido em [, ). Isto prova a armativaparaRez 0 e |( +A)1| M, 0 (see [12]).EclaroseA egeradordeumsemigrupofortementecontnuo T(t) : t 0talque |T(t)| Mparatodot 0entaoAedotipo(/2, M)(bastaobservarqueemqualquersetorcom 0e portanto[ + ()[1 11[[sempre que [arg [ < (+)[. Estes calculos tambem mostram que (+A)1e limitada uniformementeem qualquer setor fechado contido em . Em particular, para > 0, (2.25) nos da|( +A)1| sin

02+ 2cos +2Md =M.Isto completa a prova de queAe do tipo (, M).Agora esta claroque se0tal que (A )eogerador deumsemigrupofortemente contnuo e limitado de operadores de forma que C : Re > (A). Como = /2,atrajetoriaem(2.24)podeserescolhidadeformaqueRe > e [arg()[ /2). Escolha a trajetoria t em (2.23) tal que esta2.4. DESIGUALDADESDEINTERPOLAC AOPARAPOTENCIASFRACIONARIAS 37condicao esta satisfeita para todo em t. Entao, lembrando queR() = ( +A)1, temos queT(t) =

12i

2

et

( + ())1( +A)1dd=12i

et()( +A)1d=12i

et()

0eT()d d=12i

0T()

et()dd.Mostrando queT(t) e dado por (2.26).Observacao2.3.1O teorema anterior continua valido se eliminamos a hipotese 0 (A), (veja [12]).Fechamosestasecaomostrandoquepodemoscalcularpotenciasdepotencias, umresultadoqueseranecessarioposteriormente. ParaistoprovamosprimeiramentequeseA {(E)entaoA {(E)para0 < < 1. De fato, provamos o seguinte resultado:Segue do Teorema 2.3.1 e do Teorema 2.2.3 que as potencias fracionarias (A)zestao bem denidas paraz C e (0, 1). No teorema a seguir nos restringimos, por simplicidade, ao casoz R.Teorema2.3.2Suponha queA {(E) e que 0 < < 1. Entao (A)= Apara R.Prova: Gracas ao Teorema 2.3.1 podemos encontrar M 1 tal que A e Apertencem a {(E) com constanteM. Entao do Teorema 2.3.1( +A)1=12i

( +A)1 + ()d, M,onde e uma curva suave por partes indo de eiate eiem M`R+, para sucientemente pequenos.Portanto, por (2.18) e pela formula integral de Cauchy,(A)=1(2i)2

() + ()( +A)1dd=1(2i)2

( +A)1

() + ()dd=12i

()( +A)1d = Apara>0, ondeteumcontornocomasmesmaspropriedadesde`adireitade. Adicionalmente,(A)= [(A)]1= [A]1= Apara> 0. Isto prova o teorema.2.4 DesigualdadesdeInterpolacaoparaPotenciasFracionariasNestasecaomostramosque |Ae| K|Ae||e|1paratodo0 1, e D(A)elidamoscomperturbacoesBde operadores positivosA subordinados as potencias fracionariasAdeA.38 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASTeorema2.4.1Suponha queA {(E0) e 0 1, entao|( +A)1e|E0 K1|Ae|E0, > 0, e E0.AquiKe uma constante dependendo deMe.Prova:Sabemos que |s(s +A)1|L(E0) M, |A(s +A)1|L(E0) M + 1,s 0. Sejae D(A), entao( +A)1e = A1A( +A)1Ae=sin

0s1A( +A)1(s +A)1Aeds.Portanto|( +A)1e|E0sin M(M + 1)0s1ds 1+

s2ds

|Ae|E0 M(M + 1)sin

11+11 1

|Ae|E0e o resultado segue.Teorema2.4.21. Assuma queA {(E0) e quee D(A) para algum, 0 < 1. Entao, see

= (I +A)1e, > 0,temos que|e

e|E0 M|Ae|E0|Ae

|E0 M1|Ae|E0para todo > 0.2. Suponhaquee E0equeparaalgum,0 0,|Ae

|E0 B1, > 0.Entaoe D(A) para qualquerem 0 < < e|Ae|E0 M,Bpara uma constanteM,dependendo somente deA, e.Prova:1) Pelo Teorema 2.4.1|Ae

|E0= |A1(1 +A)1Ae|E0 M1|Ae|E0e portanto |e

e|E0 = |A(I +A)1e|E0 M|Ae|E0.2) Para qualquer > 0, > 0|A( +A)1e|E0 |A( +A)1(e e

)|E0 +|( +A)1Ae

|E0 (M + 1)B+M1B1.2.4. DESIGUALDADESDEINTERPOLAC AOPARAPOTENCIASFRACIONARIAS 39Logo, escolhendo = 1|A( +A)1e|E0 B(2M + 1)e claramente|A( +A)1e|E0 (M + 1)|e|E0 B(2M + 1).Logo|A( +A)1e|E0 B(2M + 1) min1, .Se 0 < < segue que

0|s1A(s +A)1e|E0ds < eJe =sin

0s1A(s +A)1edse tal que |Je|E0 M,B, masfR =sin

R0s1(s +A)1eds A1equandoR eAfR Je quandoR . ComoA e fechado segue queA1e D(A) o que signicae D(A), desde quee = A(AA1e), e |Ae|E0 = |Je|E0 M,B.Corolario2.4.1See D(A), > 0 e 0 < < entaoAe =sin

0s1A(s +A)1eds.Teorema2.4.3ExisteumaconstanteKdependendosomentedeA, tal que |Ae|E0 K|Ae|E0|e|1E0para 0 1,e D(A).Prova:O reultado e trivial para = 0 e para = 1. Como mostrado no Corolario 2.4.1 para 0 0. Seja = |Ae|E0/|e|E0. Entao|Ae|E0 (M + 1)sin 1 +11

|Ae|E0|e|1E0e a constante e uniformemente limitada para 0 < < 1.Corolario2.4.2SejaA {(E0)eB: D(B) E0 E0umoperadorfechadotal queD(B) D(A),para algum > 0. Entao existem constantesC, C1> 0 tais que|Be|E0 C|Ae|E0, e D(A)e|Be|E0 C1(|e|E0 +1|Ae|E0), > 0, e D(A).40 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASProva: Considere o operador fechado BA. Como D(B) D(A), BAesta denido em todo E0 e peloteorema do graco fechado segue ele BA L(E0). Isto e o Teorema 2.4.3 implicam o resultado desejado.Teorema2.4.4SuponhaqueAeBsaooperadoressetoriaisemEcomD(A)=D(B)eRe(A) >0,Re(B)> 0eparaalgum [0, 1),(A B)AL(E). Entao,paratodo 0, 1], ABeBAestao emL(E).Prova:Pelo Teorema 2.4.3 |A( + A)1| C[[1para 0 1, em C : [ arg[ , paraalguma constante positivaCe < /2. Ainda, para 0 < < 1,BA=sen

0( +B)1(AB)( +A)1d.Estimativas simples agora mostram queBAe limitado. Como[I +A( +A)1(B A)A]A( +B)1= A( +A)1segue que |A( + B)1| =O([[1) quando [[ . TrocandoA porBna identidade integral acimaobtemos queABe tambem limitado. Os casos = 0 e = 1 seguem imediatamente.Corolario2.4.3SeAeBsaocomonoTeorema2.4.4entaoD(A) =D(B),comnormasequivalentes0 1.2.5 PotenciasFracionariaseSemigruposAgora consideramos o caso em queA e setorial; isto e, eAt, t 0 e semigrupo analtico.Teorema2.5.1Assumaque Aesetorial. Logo eAt; t 0eumsemigrupoanaltico, suponhaque(A) (, 0]. Entao1. Set > 0, 0,R(eAt) D(A) e|AeAt|L(E0) Mt, 0 < t 1, Me contnua em [0, ).2. Se > 0, temos quetAeAte 0 quandot 0+para cadae E0.3. |(eAtI)A|L(E0) M1tse 0 < 1, 0 t 1.Prova:1) Set> 0, R(eAt) D(A) e, do Teorema 1.8.1, |AeAt|L(E0) Mt1, |eAt|L(E0) Mpara0 t 1. Logoparaqualquerinteirom, R(eAt) D(Am)poiseAt/mlevaE0emD(A)eD(Ak)emD(Ak+1), logo eAt= (eAt/m)mlevaE0emD(A) emD(A2) ememD(Am) e 0 1|AeAt|L(E0) K|AeAt|L(E0)|eAt|1L(E0) KMtlogo param = 0, 1, 2,, 0 1, 0 < t 1|Am+eAt|L(E0) |AeAt/(m+1)|L(E0)|AeAt/(m+1)|mL(E0) KMm+1(m+ 1)m+tm2.6. POTENCIASIMAGINARIASLIMITADAS 412) See D(Am) para algumm > 0, tAeAtet0+0 e |tAeAt|L(E0) Mpara 0 0 eM 1 tal queAit L(E) e |Ait|L(E) M, t .O teorema a seguir mostra que esta hipotese tem consequencias muito interessantesTeorema2.6.1SuponhaqueA {1L. Entao Az; Rez 0 eumsemigrupofortementecontnuosobreL(E). Adicionalmente, Ait; t ReumgrupofortementecontnuosobreEcomgeradorinnitesimali log A.Prova:Se [t[ [n, (n + 1)) para algumn N, segue que|As+itx| |As(Aisinal(t))nAisinal(t)(]t]n)| MmMe]t]|x| (2.27)para 0 s m ex D(A1), onde = 1log M 0. Portanto, da densidade deD(A2) emE|Az| M1RezMe]Imz], Rez 0.Disto e do Teorema 2.2.3 (v) e (vii),segue quez Zze um semigrupo fortemente contnuo em z C :Rez 0. Agora utilizando o Teorema 2.2.3 (iii) e a densidade de D(A2) em E, vemos que Az, Rez 0 eum semigrupo fortemente contnuo em E. Consequentemente, Ait; t R e um grupo fortemente contnuoemE.Noqueseseguemostraremosquei log(A)eogeradorinnitesimal deAit. Denotepor Bogeradorinnitesimal deste grupo e recorde queBx =limt0+Aitx xtse e somente sex D(B). ComoAs+i(t+)x As+itx= As+it(Aix x)(2.28)parax E,s 0 et, R com = 0, vemos queBAs+itx = As+itBx =ddtAs+itx (2.29)parx D(B),s 0 et R. Por outro lado, a analiticidade deAzpara Rez> 0 implicaddsAs+itx = i ddtAs+itx, x E, s > 0, t R.42 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASComoddsAs+itx =ddsAsAitx = log(A)AsAs+itxparax E,s > 0, et R, gracas a Im(As) D(log(A)), pelo Teorema 2.2.1 deduzimos de (2.28) e (2.29)que(i log(A))As+itx = BAs+itx = As+itBx, s > 0, t R,parax D(B). Portanto, sex D(B),(i log(A))Asx = BAsx = AsBx Bx, quandos 0+.Comoi log(A) e fechado eD(log(A)) Asx x quandos 0+temos quei log(A) B. Por outro lado,como o argumento usado em (refEpilaux1) implicaBAs+itx =ddtAs+itx, x E, s > 0, t R,segue de (2.29) que, parax D(log(A)),iBAsx = As(log(A))x log(A)x, s 0+.ComoBe fechado eD(B) Asx x vemos queiBx = log(A), x D(log(A));isto e, B i log(A).Isto prova o teorema.Corolario2.6.1Suponha queA {1L. Entao existe uma constanteM 1 e 0 tal que|Ait|L(E) Me]t], t R. (2.30)Prova:Segue da prova do teorema anterior fazendos = 0 em (2.27).Uma questao ainda nao considerada e: Como mostrar que um determinado operadorA esta em {1L?Esta e uma questao central na caracterizacao dos espacos X. Os teoremas a seguir, devido a Kato [13, 14],mostramqueemespacosdeHilbert, semprequeAegeradordeumsemigrupofortementecontnuocomdecaimento exponencial A tem potencias imaginarias limitadas. QuandoEnao e um espaco de Hilbert osresultados conhecidos sao muito pouco abrangentes.Lema2.6.1Assuma queA e do tipo (2, M) em um espaco de HilbertHe que 0 < < 1. Para todo > 0temos queI +A e tambem do tipo (2, M) de forma que (I +A)existe e|(I +A)| M. (2.31)Prova:Para ver que (I +A) e do tipo (2, M) note que|(s + (I +A))1| = |(s + 1 +A)1| = |((s + 1)1+A)1| Ms + 1 Ms. (2.32)Como (I +A)1e limitado (2.25) vale para = 0 se A e substituido por I +A. Como |(+I +A)1| M( + 1)1, segue que|(I +A)| sin

0M( + 1)1d = M.E uma conseq uencia direta da denicao queA+ e do tipo (2, M) sempre queA e do tipo (2, M).Seja H um espaco de Hilbert e A : D(A) H H um operador fechado, densamente denido. DenimosH =A+A2, / =AA2i2.6. POTENCIASIMAGINARIASLIMITADAS 43Teorema2.6.2SejaHumespacodeHilbert eA: D(A) H Humoperadorfechado, densamentedenido e maximal acretivo com 0 (A), entao, para 0 12D(A) = D(A) = D(H) = D(/) = D,He auto-adjunto e nao negativo, /e anti-simetrico e para todou D1. |Ku| tan2 |Hu|,2. (1 tan2)|Hu| |Au| (1 + tan2)|Hu|3. |Au| tan(1+2)4|Au|4. Re'Au, Au` cos |Au| |Au|5. Re'Au, Hu` (cos )12cos2|Au| |Hu|.O mesmo vale quando trocamosAporA.Prova: Primeiramente assuma que A e limitado e Re'Au, u` 'u, u`,> 0 e A1 L(H). Entao Aestadenido para todo n umero complexo porA=12i

C( A)1dondeCeumacurvafechada,reticavelesimplesevitandooeixorealnegativoeozero. SeguequeAeuma funcao inteira de e o mesmo vale para He para /. Da|Hu|2|/|2= Re'Au, Au` = Re'A+ u, u` (2.33)ondea ultimaigualdadeseguedofatoqueA=A eestaigualdade eobtidadaseguinteforma: Paratodou, v HeCsimetrica relativamente ao eixo real temos'u, Av` = 'u,12i

C( A)1dv`=

C'u,12i( A)1v`d =

C'12i (( A)1)u, v`d= '

C12i (( A)1)ud, v` = 'A u, v`(na ultima integral a mudan ca de para inverte a orientacao da curva) eA = A . Segue que|/| |H|, 12 Re 12, (2.34)isto e obvio para 0 Re 12poisAe acretivo se 0 1 enquanto para 12 Re 0 e sucientemostrar queA1e acretivo e isto segue deRe'A1u, u` = Re'A1u, AA1u` |A1u| |A|2|u| 0 (2.35)e segue de (2.33) que|Hu|2 Re'A2u, u` 2|u|2, 0 1, = Re44 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASe de (2.35) temos que|Hu|2 Re'A2u, u` (|A|2)2]]|u|2 12 0.Estasdesigualdadesmostramque Hteminversalimitada H1para [Re[ 12. Odomniode H1eHpara R pois H e auto-adjunto (auto-adjunto e coercivo e sobre). Como H e contnuo em segue queHtem domnioHpara todo com [Re[ 12. E com isto (2.34) e equivalente a|/H1| 1, [Re[ 12.Agora considere a funcaoT() =1tan2/H1.T() e uma funcao analtica em [Re[ 12pois /tem um zero em = 0. Como [ tan2 [ = 1 para nafronteira da faixa segue que |T()| 1 na fronteira da faixa e portanto na faixa inteira. Restringindo a0 12temos que (1) vale e mais|/H1| [ tan 2 [, [Re[ 12e|/u| [ tan 2 [ |Hu|, u H, [Re[ 12.Adesigualdade(2), 0 12, seguede(1)notandoqueA= H + i/e(3)seguede(2)notandoque(1 + tan2)/(1 tan2)=tan(1+2)4. Paraprovar(4)substitumos H=(A+ A)/2e /=(AA)/(2i) em (1) para obtertan 2 |(A+A)u| |(AA)u|.Elevando a expressao acima ao quadrado e simplicando obtemos0 (cos22sin22)(|Au|2+|Au|2) 2Re'Au, Au`e2Re'Au, Au` cos (|Au|2+|Au|2) 2 cos |Au||Au|o que prova (4). A prova de (5) e obtida substituindoi/ = AHem (1) o que nos da|Au Hu| tan 2 |Hu|que quando elevada ao quadrado nos da|Au|2'Au, Hu` 'Hu, Au` +|Hu|2 tan22 |Hu|2de onde segue que2Re'Au, Hu` (1 tan22)|Hu|2+|Au|2 2(1 tan22)12|Hu| |Au| 2(sin22cos22)12cos2|Hu| |Au|= 2(cos )12cos2|Hu| |Au|2.6. POTENCIASIMAGINARIASLIMITADAS 45e (5) segue.Em seguida assuma queA e ilimitado mas ainda tem inversa limitada. SejaJn = (I +n1A)1, An = AJn = n(I Jn), n = 1, 2, 3, .Entao |Jn| 1 para todon poisA e do tipo (/2, 1). Portanto osAnsao tambem limtados e de'Anu, u` = 'AJnu, (I +n1A)Jnu` = 'AJnu, Jnu` +n1|AJnu|de onde conlumos queAn e acretivo e|Anu| |u| 'Au, u` n1|Anu|oqueimplica |An| n. Adicionalmente A1n=A1+ n1I e A1n, n=1, 2, 3,euniformementelimitada. Portantoasdesigualdades(1)a(5)saovalidasparaAn, Hne /n. Aseguirmostraremosas mesmas desigualdades paraA tomando o limite quandon com as caracterizacoes necessarias dosdomnios.Para este m, primeiramente note queAn = AJn JnA, 0 1.Aqui Jn=(I + n1A)queexistepoisI + n1A emaximalacretivoearelacaoacimaseguedeJn=(A1An)= AAn = AnAque e uma simples conseq uencia do calculo operacional. Note ainda que|Jn| 1 e JnnI, 0 1.A desigualdade acima segue do Lema 2.6.1. Para vericar a igualdade acima note que(I +n1A)=sin

0 +I +n1A)1d.E comon( + 1)(n( + 1) +A)11 + 1en1 + 1ee|( + 1 +A)1| 1( + 1),segue do Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue que(I +n1A)e sin

01( + 1)de = e.Suponha agora queu D(A) entaoAnu = JnAu e portanto|Anu| |Au|, n 1AnunAu,mas para 0 12,|Anu| tan (1 + 2)4|An| tan (1 + 2)4|Au|pois (3) vale paraAn. Isto mostra que |Anu| e limitada e portanto toda subseq uencia possui subseq uenciafracamente convergente. Ainda, parav D(A)'Anu, v` = 'Anu, v` = 'u, Anv`n 'u, Av`46 CAPITULO2. POTENCIASFRACIONARIASeportantoAnuwfe 'f, v`'u, Av`,paratodov D(A). Istoimplicaqueu D(A) =D(A)ef=Au =Au. O mesmo argumento acima mostra queAnsAy. Em vista da relacao simetricaentre A e A ca provado que D(A) = D(A) = D e que Anu Au, Anu Au, para todo u D.Os operadores He /denidos anteriormente tem domnioDe Hnu Hu, /nu /u,paratodou D. Seguedasdesigualdades(1)a(5)paraAn, An, Hne /n, u D, tomandoolimitequandon , que as desigualdades (1) a (5) paraA,A, He /valem parau D.Observacao2.6.1O teorema acima e devido a Kato que em [13] prova uma versao mais geral do resultadoacima, sem a hipotese de 0 (A).Teorema2.6.3SejaAumoperadorlimitadoemaximal acretivoemumespacodeHilbertH. EntaoApode ser estendido a complexo de forma que seja analtico para Re > 0 e|A| sin tt(1 t)|A|e||24|A||e||2, = +i, t = []. (2.36)SeAnaotemautovalornuloApodeserestendidoaRe 0deformaqueAefortementecontnuoe(2.36) vale para Re 0. Em particularAie um semigrupo fortemente contnuo em com |Ai|[ e||2.Prova:As potenciasAdeA podem ser denidas para 0 < Re < 1 porA=sin

01A( +A)1d.Ja vimos queAe analtica para Re> 0 e queAA= A+para ecom parte real positiva. Segueque, para 0 < < 1|A| sin

A01d +|A|

A2d sin

|A|+ |A|1

=sin |A|(1 ) 4|A|onde usamos que |A(+A)1| min(1, 1|A|). Assuma por um instante que ReA > 0 de forma queAesta denido para todo complexo e mostremos que|Ait| e||2. (2.37)Disto (2.36) notando queA= A+i= A[]A

Ai.O caso geral segue substituindoA porA+ e fazendo 0.Para mostrar (2.37) observe queA= H +i/eA= Hi/, |/H1| [ tan 2[. Portanto|AA| 1 +[ tan 2[1 [ tan 2[que para = i nos da|Ai|2 |AiAi| e]](2.38)provando (2.37). Aqui usamos que'AiAiu, u` = 'Aiu, Aiu` = |Aiu|2para concluir a primeira igualdade em (2.38) etan i2=e2e+2e2+e22.6. POTENCIASIMAGINARIASLIMITADAS 47e1 +[ tan i2 [ =2e2e2+e+2, 1 [ tan i2 [ =2e2e2+e+2e1 +[ tan i2 [1 [ tan i2 [= e]].Mostremosque Aecontnuoparau H, + i C: 0 . Se > +[B[L(E0)entao[B( A)1[ [B[L(E0)/( ) < 1eI B( A)1e um isomorsmo emL(E0). Logo AB = [I B( A)1]( A) : D(A) E0e tambem um isomorsmo e[( AB)1[E0 1 11 [B[L(E0)/( )=1 ( +[B[L(E0)).Do Teorema de Hille-Yosida, A+B gera um semigrupo fortemente contnuo com [e(A+B)t[E0 e+]B])tparat 0. Retornando a norma original temos a estimativa desejada.Agora estaremos interessados nas relacoes entre o semigrupo eAt; t 0 e o semigrupo e(A+B) t; t 0.Para este m consideramos o operadorH(s) = eA(ts)e(A+B)s. Parae D(A) =D(A + B), s H(s)e ediferenciavel eHt(s)e = eA(ts)Be(A+B)se. IntegrandoHt(s)e de 0 atet obtemose(A+B)te = eAte +

t0eA(ts)Be(A+B)seds, e D(A).4950 CAPITULO3. TEOREMASDEPERTURBAC AODEGERADORESComoosoperadoresemambososladosdaexpressaoacimasaolimitadoselavaleparatodoe E0. Osemigrupo e(A+B)t; t 0 e portanto a solucao da equacao integral acima. Para tal equacao integral temos:Proposicao3.1.1Seja eAt; t 0umsemigrupofortementecontnuodeoperadoreslineareslimitadossatisfazendo |eAt|L(E0) MeteB L(E0). Entaoexisteuma unicafamlia V (t); t 0 L(E0)talquet V (t)e e contnua em [0, ) para todoe E0eV (t)e = eAte +

t0eA(ts)BV (s)eds, e E0. (3.1)Prova:Fa caV0(t) = eAte denaVn(t) indutivamente porVn+1(t)e =

t0eA(ts)BVn(s)eds, e E0, n 0.Desta denicao e obvio que t Vn(t)e e contnua para e E0, t 0, n 0. A seguir provamos por inducaoque,|V (t)|L(E0) MetMn|B|nL(E0)tnn!.De fato, isto vale paran = 0. Assuma que vale paran. Entao temos que|Vn+1(t)e|E0

t0Me(ts)|B|L(E0)Mn|B|nL(E0)snn!|e|E0ds= MetMn+1|B|n+1L(E0)tn+1(n + 1)!|e|E0e portanto a desigualdade vale para qualquern > 0. DenindoV (t) =n=0Vn(t),seguequeaserieconvergeuniformementeemintervaloslimitadosnatopologiauniformedeoperadores.Portantot V (t)e e contnua para cadae E0e adicionalmente (3.1) esta satisfeita. Isto conclui a provada existencia. Para provar a unicidade seja U(t); t 0 L(E0) tal quet U(t)e e contnua para todoe E0eU(t)e = eAte +

t0eA(ts)BU(s)eds, e E0. (3.2)Subtraindo as expressoes (3.1) e (3.2) e estimando as diferencas obtemos|V (t)e U(t)e|E0 =

t0Me(ts)|B|L(E0)|V (s)e U(s)e|E0ds, e E0.o que pela desigualdade de Gronwal implica que |V (t)e U(t)e|E0 = 0,t 0 e portantoV (t) = U(t).Segue imediatamente do teorema anterior quee(A+B)t=n=0Sn(t)3.1. GERADORESDESEMIGRUPOSFORTEMENTECONTINUOS 51ondeS0(t) = eAt,Sn+1(t)e =

t0eA(ts)BSn(s)eds, e E0,e a convergencia da serie e na topologia de operadores uniformemente parat em intervalos limitados de R.Para a diferenca entre eAte e(A+B)ttemos:Corolario3.1.1SejaA o gerador de um semigrupo fortemente contnuo satisfazendo |eAt|L(E0) Met.SejaB L(E0). Entao|e(A+B)teAt|L(E0) Met(eMBL(E0)t1).O teorema a seguir mostra que sob certas condicoes a soma, (A+B), de dois geradores de semigruposfortemente contnuos que comutam, A e B, resulta em um gerador de um semigrupo fortemente contnuoe(A+B)tque satisfaz e(A+B)t= eAteBt.Teorema3.1.2Assumaque Ae BsaogeradoresdesemigruposfortementecontnuosdeoperadoreseAt, t 0e eBt, t 0taisque,paraalgumM> 0, |eAt|L(E) Me |eBt|L(E) M. Assumatambem que A e B comutam, que o operador A+B e fechado, densamente denido com domnio D(A)D(B)e que (AB) para algum > 0. Entao AB gera um semigrupo fortemente contnuo de operadorestal que e(A+B)t= eAteBte que |e(A+B)t|L(E) M2.Prova: Por um momento vamos mudar a norma do espaco de Banach E de forma que A gera um semigrupofortemente contnuo de contra coes. Seja A = A(+A)1e B = B(+B)1. Entao |eAt| 1para todo > 0 e como eAte eAte e eBse eBse para todoe E,s, t 0, temos quelimeAtBse =limeAteBse = eAteBse.E claro que isto continua verdadeiro se mudamos a norma do espaco para a norma original. Ainda, por umargumento similar, temos quelimeBtAse =limeBseAse = eBseAte,mostrando que eAteBs= eBseAt.Emseguidavamos motrar que T(t) =eAteBteumsemigrupofortementecontnuocomgerador(A+B). Primeiro observe que a continuidade forte emt = 0 e a limitacao sao obvias e deT(t +s) = eA(t+s)eB(t+s)= eAteAseBteBs= eAteBteAseBs= T(t)T(s)temos queT(t) e um semigrupo. Resta mostrar que (A+B) e o gerador deT(t).See D(A) D(B) = D(A+B), entaoT(t)e e = lim(etAetBe e) = lim(eAteBte eBte +eBte e)= lim

t0eAseBt(Ae) + lim

t0eBs(Be)ds=

t0eAseBt(Ae)ds +

t0T(s)(Be)ds.Agora1t(T(t)e e) =

t0eAseBt(Ae)ds +

t0T(s)(Be)ds (A+B)e quando t 0+,52 CAPITULO3. TEOREMASDEPERTURBAC AODEGERADORESpara todo e D(A)D(B) = D(A+B). Portanto o gerador C de T(t) deve ser uma extensao de (A+B).Seja um n umero real no resolvente deA+Be no resolvente do gerador deT(t). EntaoE = ( + (A+B))D(A+B) = ( +C)D(C),eA+B = Ccompletanto a prova.Corolario3.1.2Assumaque Ae BsaogeradoresdesemigruposfortementecontnuosdeoperadoreseAt, t 0e eBt, t 0taisque,paraalgumM> 0, , R, |eAt|L(E) Mete |eBt|L(E) Met. AssumatambemqueAeBcomutam, queooperadorA + Befechado, densamentedenidocomdomnio D(A)D(B) e que (AB) para algum > 0. Entao AB gera um semigrupo fortementecontnuo de operadores tal que e(A+B)t= eAteBte que |e(A+B)t|L(E) M2e(+)t.Prova:Basta aplicar o Teorema 3.1.2 aos operadores (A+) e a (B +).3.2 PerturbacaodeOperadoresSetoriaisTeorema3.2.1SejaA :D(A) E0 E0tal que A esetorial. EntaoAgeraumsemigrupoanaltico.SejaB : D(B) E0 E0,D(B) D(A), um operador linear tal que|Be|E0 |Ae|E0 +K|e|E0, e D(A),para algum > 0 e alguma constanteK. Entao, existe> 0 tal que, se 0 , o operador (A + B) esetorial,D(A+B) = D(A), e e(A+B)t; t 0 e um semigrupo analtico.Prova: Sabemos que existem n umeros reaisa, , C, /2 0 grande o resultado segue do Teorema 3.2.1.3.3 TeoremasdeRepresentacaoNoquesesegueapresentamosteoremasquepermitamobterinformacoessobreosemigrupogeradopelasoma (A + B) de dois geradores, A e B,de semigrupos fortemente contnuos. Estes resultados seraode grande valia para transferir propriedades dos semigrupos gerados por A e B para o semigrupo geradopor (A + B). Estesresultadossaoconseq uenciadosresultadosdeTrotterandChernoem[21, 8] eaapresentacao abaixo segue [18].O resultado acima esta intimamente relacionado aos seguintes resultados:Proposicao3.3.1Assuma que A e Bsao geradores de semigrupos fortemente contnuos de operadoreslineares,D(A) D(B) e denso emEe|(eAteBt)n| Ment, n = 1, 2, . . . ,para algumM 1 e 0. Se para algum comRe > a imagem deI + A + Be densa emE, entaoo fecho de (A + B) e o gerador de um semigrupo fortemente contnuo de operadores lineares T(t); t 0satisfazendo |T(t)| Met,t 0. Adicionalmente,T(t)e = limn+

eA(tn)eB(tn)

ne, e E,uniformly in bounded subsets of R+.Proposicao3.3.2Se A, B, (A + B) geram semigrupos fortemente contnuos de operadores lineares,|e(A+B)t| Met,t 0, e|

(I +tA)1(I +tB)1

n| Ment, n = 1, 2, . . . ,entaoe(A+B)te = limn+(I +tnA)1(I +tnB)1

ne, e E.Para uma prova das proposicoes acima veja [18], '3.5.54 CAPITULO3. TEOREMASDEPERTURBAC AODEGERADORESCaptulo4PositividadeO objetivo deste captulo e tornar simples a vericacao de condicoes sucientes para que solucoes de prob-lemas lineares com dado inicial positivopermanecam positivas enquanto existirem. Estes resultados sao abase dos criterios abstratos de comparacao e positividade que serao desenvolvidos posteriormente e aplicados`a equacoes parabolicas semilineares e a equacoes diferenciais ordinarias.4.1 EspacosdeBanachOrdenadosePositividadeParaquemetodosdecomparacaopossamserdesenvolvidos, vamosintroduziraspropriedadesbasicasque uma ordem deve satisfazer em um Espaco de Banach.Denicao4.1.1Um espaco de Banachpre-ordenado e um par (X, ),ondeXe um espaco de Banache e uma relacao emXque satisfaz:i) x yimplicax +z y +z,x, y, z X.ii) x yey zimplicamx z.iii) x yimplicax y, parax, y X, e n umero real 0.iv) O cone positivoC = x X, x 0 e fechado emX.Se ainda,C C = 0,dizemos queXe um espaco de Banach ordenadoObservacao4.1.11. Observe quex y e equivalente ay x 0. Observe ainda quex 0 se e somente se 0 x e queo coneCe convexo. Note ainda que se < ex 0 entao 0 ( )x ex x.2. Todo subespaco fechado de um espaco de Banach ordenado e tambem um espaco de Banach ordenadocom a ordem induzida.3. Se(X, X) e(Y, Y ) saoespacos deBanachordenados, entaoX Y comaordemdenidapor(a, b) XY(x, y) se e somente sea Xx eb Yy, e um espaco de Banach ordenado.4. Para1 p , X=Lp(), comaordemf gseesomentesef(x) g(x)quasesempreeespaco de Banach pre-ordenado.5556 CAPITULO4. POSITIVIDADEDeniremos agora o que entendemos por transformacoes que preservam ordem.Denicao4.1.2Sejam (X, ) (Y, _) espacos de Banach pre-ordenados. Uma func aoT: D(T) X Yeditacrescenteseesomentesex y, x, y D(T), implicaT(x) _T(y)eechamadapositivaseesomente sex 0,x D(T), implicaT(x) _ 0.Observacao4.1.2Se na denicao acimaTe linear entao ambos conceitos coincidem.Lema4.1.1Seja(X, )umespacodeBanachpre-ordenadoef L1((t0, t1), X), tal quef(t) 0paraquase todot (t0, t1). Entao, t1t0f(s) ds 0.Prova: Comoaintegral eumoperadorlinearcontnuoentreL1((t0, t1), X)eXeoconeCefechado,esucienteprovaroresultadoparafemumsubconjuntodensodeL1((t0, t1), X). Sef C([t0, t1], X), et0 = a0< a1 0 e R tais que |T(t)|L(X) Met. Assuma que existe0> 0 tal que ( A)1e crescente para todo > 0. Entao,T(t) e crescente para todot 0.Reciprocamente, seX u0 T(t)u0 C([0, ), X)ecrescenteparatodot 0, entao( A)1ecrescente para todo > .Prova:Pelo Teorema 1.4.2 temos que:T(t)u0 =limnnt

nt A

1

nu0u0 Xe t 0 (4.1)58 CAPITULO4. POSITIVIDADETomandou0 0 queremos provar queT(t)u0 0,t 0. O casot = 0 e trivial, assumimos quet > 0. Porhipotese, parant> 0, temos que nt A

1u0 0. E assim, obtemos quent

nt A

1

nu0 0, n > t0.Portanto,obtemosumaseq uenciadeelementosemCqueconvergeparaT(t)u0Seguedofatoqueoconepositivo e fechado queT(t)u0 0.A recproca segue do fato que a integral e um operador positivo e de( A)1=

0T(t)etdt 0para todo > .SeguedoresultadoacimaedoTeorema2.3.1queseosemigrupogeradopor Aecrescenteentaoosemigrupo gerado por Atambem e crescente.Observacao4.2.11. ObservequeahipoteseacimasobreAeequivalenteaumresultadodepositividadeparaoproblemaelpticou Au = f: para todo > 0e para todof 0, a solucao satisfazu 0.Equivalentemente, temosoresultadodecomparacao: paratodo>0ef g, seu Au=fev Av = g, entaou v.2. Damesmaformaobservequeaconclus aodaproposicaoeequivalentea: parau0 0asolucaodaequac ao linear homogenea

ut = Auu(0) = u0 Xverica u(t) 0 para todo t 0.ou equivalentemente, se u0 v0, entao u(t) v(t) para todo t 0, ondeu e v sao soluc oes da equac aolinear homogenea com dados iniciaisu0ev0respectivamente.3. SeA verica as hipoteses acima, entao o mesmo acontece comA+, para todo R.Corolario4.2.1Suponhaque(X, )eumespacodeBanachpre-ordenado, esejaAogeradordeumC0-semigrupo T(t): t 0tal que |T(t)|L(X) Met. Assumaqueparatodo>0, ( A)1ecrescente.i) Sejau0 D(A) tal queAu0 0. Entao seu(t) = T(t)u0, temosAu(t) 0, ut(t) 0, u(t) u(s) u0para todo 0 s t. O mesmo vale, com as desigualdades invertidas, seAu0 0.ii) Sejau0 Xtal queu0 0esejam, n umerosreaistaisque>. Entao, seu(t)eu(t)denotamrespectivamenteassolucoesdeut=Au ueut=Au u, comdadoinicial u0, entao0 u(t) u(t) para todot.Prova:i) Sejau0 D(A) tal queAu0 0. DeddtT(t)u0 = T(t)Au0.4.2. AEQUAC AOLINEAR 59e da Proposicao 4.2.1 segue queAu(t) = AT(t)u0 = T(t)Au0 0ut(t) = T(t)Au0 0E para nalizar tal item, temos que para todo 0 s t,

tsut(t) 0 u(t) u(s).Analogamente, temos que: u(s) u0.ii) Sabemos que u(t) = etT(t)u0 e u(t) = etT(t)u0. Como < implica t t, o resultado segue.O resultado a seguir, garante que quando tratamos de semigrupos de operadores lineares positivos o conepositivo contem um subconjunto denso de funcoes suaves.Lema4.2.1Seja (X, ) um espaco de Banach pre-ordenado eA o gerador de umC0-semigrupo T(t) : t 0 tal queT(t) e positivo para todot 0. EntaoC := k1D(Ak) Ce denso emC.Prova:ComoT(t) e positivo para todot 0 segue que sex C, entaoT(t)x C.Seja : R R+uma funcao innitamente diferenciavel, com suporte contido compactamente em (0, ).Dadox Cef= 0(t)T(t)xdt. Temos quef D(A). De fato, dadoh> 0, fazendo uma mudanca devariaveis, obtemos:limh0+ h1[T(h)f f] = limh0+ h1

h[(t h) (t)]T(t)xdt

=

0t(t)T(t)xdt.Portanto, fD(A). Ecomo tsecomportacomoa, Af temas mesmas propriedades de f, logof D(A2). Indutivamente, obtemos quef D(An), n 1.Escolha tal que

0(t)dt = 1. e sejafn =

0n(nt)T(t)xds 0. Entaok1D(Ak) fn =

0(t)T(t/n)xds 0efn x quandon . Claramentefn Ce o resultado segue.Agora mostraremos que estes conceitos e resultados podem ser transferidos para as potencias fracionariasde operadores setoriais.Seja A um operador setorial e Xos espacos de potencia fracionarias associados a A. Se (X, ) e umespaco de Banach ordenado podemos denir emX, > 0, a ordem induzida porX; isto e, denotando porCo cone positivo deXdenimos o cone positivo deXporC = C X. Denotaremos por a ordeminduzida emXpela ordem deX.Efacil vericarque(X, )eumespacodeBanachordenado, defato: aspropriedadesi)eii)daDenicao 4.1.1 sao imediatas; a propriedade iii) segue do fato que sexn x emXentaoxn x emXedo fato queC e fechado.O resultado a seguir, resume as propriedades importantes das ordens em espacos de potencia fracionaria.Proposicao4.2.2Seja(X, )umespacodeBanachpre-ordenado, A: D(A)X Xumoperadorsetorial e T(t) :t 0 L(X)o semigrupo gerado porA. Assuma queT(t) e um operador positivo paracadat 0. Entao(X, ) eumespacodeBanachordenado,paratodo 0ese>, CX=C;isto e, se 0 emX, entao existen 0 emXtal quen emX.60 CAPITULO4. POSITIVIDADEAdicionalmente,se |T(t)|L(X) Mete ( A)1:XXe crescente para todo >, 0,econseq uentemente a transformacaoX u0 T(t)u0 C([0, ), X)e linear crescente.Prova:A unica armativa que precisa ser vericada eCX= C, > 0.AssumaquefCsejag(t) =eAtf. Entao, peloefeitoderegularizacao, g(t) X. DefCeT(t) = eAte crescente, segue queg(t) C. Portanto, g(t) C X=Ceg(t) femX, quandot 0. Conseq uentemente,CX= C.Observequeapropriedadeacimadosconespositivosmostraaconsistenciadasdenicoesf0,independentemente do espaco Xno qual festa. Portanto, de agora em diante, nao faremos distincao entreas ordens , 0.4.3 AlgunsOperadorescomResolventePositivoOs resultados das secoes precedentes sao dependentes da possibilidade de encontrarmos geradores de semi-grupos fortemente contnuos,A, cujo operador resolvente, ( A)1, seja um operador crescente para todo (, ). Nesta secao asseguramos que ha uma classe interessante de operadores com esta propriedade.Mostramos anteriormente que seA tem resolvente crescente entao (A)tambem tem.Lema4.3.1SejaHum espaco de Hilbert ef H. Suponha que existef Htal que |f| |f| e que'f, f` ['f, f`[.Entaof=f.Prova:Sabemos que |f| |f| e que|f|2= ['f, f`[ 'f, f` = ['f, f`[ |f||f|.Segue que |f| = |f| e0 'f f, f f` = 2|f|22'f, f` 0implica quef=f.Denicao4.3.1SejaHum espaco de Hilbert ordenado eCo seu cone positivo. Dizemos que um operadorauto-adjuntoA: D(A) H Hepositivo, se 'Au, u` 0paratodou D(A). Eainda, dizemosque(A+)1e crescente se (A+)1f Csempre quef C.Teorema4.3.1SejamH,A eCcomo acima. Assuma queHpossui um subconjunto densoDtal que:(A+)1D D;Para cadad Dpodemos denir [d[ D Ce esta relacao satisfaz: Um elementod Desta emCse e somente sed = [d[ e |d| = | [d[ |; '[d[, g` ['d, g`[, d D,g C.4.3. ALGUNSOPERADORESCOMRESOLVENTEPOSITIVO 61Considere as seguintes armativas:(i) Seu D(A12) entao [u[ D(A12) e'A12[u[, A12[u[` 'A12u, A12u`.(ii) (A+)1e crescente para todo > 0.Entao (i) implica (ii).Prova:EmD(A12) adotamos o produto interno'f, g`1 = 'A12f, A12g` +'f, g`onde > 0. Denotamos porH12o espaco de Hilbert (D(A12), ', `1).SeD g 0 ec = (A+)1g, (c D, pois (A+)1D D)'[c[, c`1= '[c[, (A+)1g`1 = 'A12[c[, A12(A+)1g` +'[c[, (A+)1g`= '[c[, g` ['c, g`[ = ['(A+)c, (A+)1g`[= ['c, (A+)1g`1[ = ['c, c`1[.Adicionalmente, pela propriedade (i)| [c[ |21= 'A12[c[, A12[c[` +| [c[ |2 'A12c, A12c` +|c|2= |c|21.Usando o Lema 4.3.1 comf= c ef= [c[ conclumos que seg D Centao[(A+)1g[ = (A+)1ge (A+)1g C. Da densidade deD CemCe da continuidade de (A+)1, segue que(A+)1g C g C.Portanto (A+)1e crescente.O resultado a seguir e uma conseq uencia simples do Teorema 2.3.1, formula (2.25).Corolario4.3.1Suponha que (X, ) e um espaco de Banach pre-ordenado, T(t) : t 0 um C0-semigrupoemXcomdecaimentoexponencial e Aoseugerador. Se Atemresolventepositivoentao Atemresolvente positivo.Os resultados a seguir sao conseq uencias imediatas do Theorem 3.1.2, Proposicao 3.3.1 e Proposicao 3.3.2.Esses resultados asseguram que, sob certas condicoes, a soma de operadores com resolvente crescente e umoperador com resolvente crescente.Corolario4.3.2Se A, B, (A + B)saogeradoresdesemigruposfortementecontnuosdeoperadoreslineares,A eBcomutam e tem resolvente crescente, entao (A+B) tem resolvente crescente.Corolario4.3.3Se ou as hipoteses da Proposicao 3.3.1 ou as hipoteses da Proposic ao 3.3.2 estao satisfeitas,entaoe(A+B)t 0, t 0ou, equivalentemente, ( +A+B)1e crescente para > .62 CAPITULO4. POSITIVIDADEO Corolario 4.3.3 fornece ferramentas para mostrar que o resolvente da soma de operadores crescentes eum operador com resolvente crescente, sem impor que os operadores comutem. Estes tem aplicacao simplesnocasoemqueosoperadoresenvolvidossaodissipativos. Paraoscasosemqueosoperadoresnaosaodissipativos pode ser mais conveniente utilizar o Theorem 3.1.2.A propriedade de ter resolvente crescente e preservada quando mudamos a norma do espaco para umanorma equivalente. Isto nos leva a concluir que pode ser util saber quando podemos mudar a norma do espacopara uma norma equivalente de forma que A e B tornem-se simultaneamente dissipativos. As condicoes quedevemos impor aos operadoresA eBque permitem essa mudan ca de norma sao semilhantes as condicoesimpostas na Proposicao 3.3.1 e na Proposicao 3.3.2.Osresultadosacimadevemcontribuirparamostrarqueumn umeroconsideravel deoperadorestemresolvente crescente.Captulo5ProblemadeCauchynaohomogeneo5.1 Existencia,UnicidadeeRegularidadeA seguir estudamos problemas de Cauchy (problemas de valor inicial) para equacoes lineares nao homogeneasda formadedt= Ae +f(t), t0< t < t1e(t0) = e0 E0(5.1)onde A e o gerador de um semigrupo fortemente contnuo eAt; t 0 L(E0) e f: [t0, t1) E0 e contnuapor partes e contnua a direita.Denicao5.1.1a) Umasolucaofortede(5.1), eumafuncaocontnuae: [t0, t1) E0tal que e(t0) =e0eparat0< t < t1,e(t) D(A),d+dt e(t) =limh0+e(t +h) e(t)hexiste, (5.1) vale comddte(t) substituido pord+dt e(t) et d+dt e(t) e contnua ondefe contnua. Notequeset f(t)eumafuncaocontnuaet e(t)eumasolucaofortede(5.1)entaot e(t)econtnuamente diferenciavel e (5.1) se verica para cadat (t0, t1).b) Umasolucaofracade(5.1)em[t0, t1) eumafuncaocontnuae : [t0, t1) E0tal quee(t0) e0epara todoe D(A),t 'e, e(t)` tem derivada a direita ed+dt'e, e(t)` = 'Ae, e(t)` +'e, f(t)`, t0< t < t1. (5.2)Notequeset 'e, f(t)`eumafuncaocontnuaet e(t)eumasolucaofracade(5.1)entaot 'e, e(t)` e contnuamente diferenciavel e (5.2) se verica comd+dtsubstituido porddt.Denicao5.1.2Um subconjuntoS E0e dito total se: e E0, 'e, e` = 0, e Simplicae = 0.OanuladorS E0de um subconjuntoS E0e o conjunto de todos os elementose E0tais que'e, e` = 0,e S. Sabemos que seS E0e um espaco vetorial entao (S) =S(veja [6]).Lema5.1.1SeA : D(A) E0 E0e fechado e densamente denido entaoD(A) e total.6364 CAPITULO5. PROBLEMADECAUCHYNAOHOMOGENEOProva: Seja e E0 tal que 'e, e` = 0 para todo e D(A). Queremos mostrar que e = 0. Como o gracodeA,G(A) = (e, Ae) : e D(A) e o anulador emE0 E0de = (Ae, e) : e D(A); isto e,G(A) = . Note queG(A) tambem anula (e, 0), segue que (e, 0) G(A) = e portantoe = 0.O teorema a seguir nos da formas de manuseio mais simples para as solucoes fracas e estabelece algumasrelacoes importantes entre solucoes fracas e fortes.Teorema5.1.11. See : [t0, t1) E0e uma solucao forte de (5.1) entao e tambem uma solucao fraca de (5.1).2. See : [t0, t1) E0e uma solucao fraca de (5.1), entaoe(t) = eA(tt0)e0 +

tt0eA(ts)f(s)ds, t0 t < t1. (5.3)Em particular, existe uma unica solucao fraca de (5.1).3. See : [t0, t1) E0e denido por (5.3), entaoe : [t0, t1) E0e uma solucao fraca de (5.1).4. See:[t0, t1) E0eumasolucaofracaeparaalgumt (t0, t1)oue(t) D(A)oud+dt e(t)existe,entao ambos sao verdadeiros e para este instanted+dt e(t) = Ae(t) +f(t).Prova:A armativa 1) e trivial. Provaremos 3) e a unicidade de solucoes fracas o que implicara 2).Prova de 3). Denae : [t0, t1) E0por (5.3) e sejae D(A). Para qualquere E0t 'e, eAte` ediferenciavel com derivada 'Ae, eAte` pois'e, eAte` 'e, e` =

t0'Ae, eAse`dsparae D(A)eporcontinuidadeparatodoe E0. Usandoistocalculamosd+dt'e, e(t)`evemosquee : [t0, t1) E0 e uma solucao fraca; de fato,'e,

t+ht0eA(t+hs)f(s)ds` 'e,

tt0eA(ts)f(s)ds`= 'e,

t+hteA(t+hs)f(s)ds` 'e, (eAhI)

tt0eA(ts)f(s)ds`= h['e, f(t)` +'Ae,

tt0eA(ts)f(s)ds`] +o(h)ondena ultimapassagemutilizamosqueAeogeradorinnitesimal dosemigrupofortementecontnuoT(t) = (T(t))

Y: t 0 emL(Y ),Y= D(A)E0(veja Teorema 1.6.1).Prova da unicidade em 2). Se existem duas solucoes de (5.1),a diferenca entre elasu : [t0, t1) E0euma funcao contnua comu(t0) = 0 ed+dt'e, u(t)` = 'Ae, u(t)`,t0 t < t1ee D(A).E convenientetrabalhar com uma funcaoC1, logo sejaU(t) =

tt0u(s)ds; entao'e, u(t)` =

tt0'Ae, u(s)`ds5.1. EXISTENCIA,UNICIDADEEREGULARIDADE 65e 'e,ddtU(t)` = 'Ae, U(t)`.Agoraobserveque(eAt)D(A) D(A)parat 0, jaque '(eAt)e, Ae`= 'Ae, eAte`parae D(A),e D(A). Logo, para qualquert (t0, t1)'e, eA(tt)ddtU(t)` = 'Ae, eA(tt)U(t)`eddt'e, eA(tt)U(t)` = 0 parat0 t t.ComoU(t0) = 0, 'e, U(t)` = 0 para todoe D(A), portantoU(t) = 0 eu(s) = 0 parat0 s t1.Prova de 4). See() e uma solucao fraca, dada por (5.3), entao parat0 t < t +h < t1e(t +h) e(t)h=1h

t+hteA(t+hs)f(s)ds + 1h(eAhI)e(t).O termo do meio converge para f(t+) = f(t) quando h 0+, logo se um dos outros termos converge, ambosdevem convergir.A seguir damos condicoes simples que asseguram a diferenciabilidade de uma solucao fraca.Teorema5.1.2AssumaqueAefsaocomoantesee:[t0, t1) E0eumasolucaofracade(5.1). See0 D(A) e ou1. f(t) D(A) comt Af(t) E0contnua a direita em [t0, t1) ou2.d+dt f(t) =f(t) existe e e contnua a direita em [t0, t1)entaod+dt e(t) existe,e(t) D(A) ee : [t0, t1) E0e uma solucao forte.Prova:Sejau(t) =

tt0eA(ts)f(s)ds, logoe(t) = eA(tt0)e0 + u(t); comoe0 D(A), t eA(tt0)e0eC1.Set0 t < t +h < t1,u(t +h) u(t)h=1h

t+hteA(t+hs)f(s)ds +

tt0eA(ts) eAhIhf(s)ds=1h

t0+ht0eA(t+hs)f(s)ds +

tt0eA(ts)f(s +h) f(s)hds(5.4)e usando as primeira e segunda expressoes nos casos (1) e (2) respectivamente, vemos qued+dt u(t) = f(t) +

tt0eA(ts)Af(s)ds, no caso (1),= eA(tt0)f(t0) +

tt0eA(ts) f(s)ds, no caso (2).Pelo Teorema 5.1.1 (4),u(t) D(A) e a prova esta completa.Corolario5.1.1Seja(X, )umespacodeBanachordenadoeAogeradordeumsemigrupofortementecontnuo T(t) : t 0. Assuma que existe0 R tal que para > 0, ( A)1e crescente.Sejau = u(t, u0, f) a soluc ao de

ut = Au +f(t)u(t0) = u0 Xcomf L1((t0, t1), X).Assumau0 u1andf0(t) f1(t) para quase todot (t0, t1), entaou(t, u0, f0) u(t, u1, f1) para todot (t0, t1). Em particular, seu0 0 ef(t) 0 para quase todot (t0, t1), entaou(t, u0, f) 0 para todot (t0, t1).66 CAPITULO5. PROBLEMADECAUCHYNAOHOMOGENEOProva:Observe que a solucao e dada pela formula da variacao das constantesui(t) = T(t t0)ui +

tt0T(t s)fi(s) dspara i = 0, 1, e ja sabemos que T(tt0) e crescente. Por outro lado, para todo t0< s < t < t1, T(ts)f0(s) T(t s)f1(s) e como a integral e crescente obtemos o resultado.5.2 ComparacaoemProblemasnaoHomogeneosOresultadoaseguirgarantequequandotratamosdesemigruposdeoperadoreslinearespositivosoconepositivo contem um subconjunto denso de funcoes suaves.Como nos Corolarios 4.2.1 e 5.1.1, obtemos resultados de comparacao e positividade para a equacao linearnao homogenea

ut = Au +f(t)u(0) = u0 X.Corolario5.2.1Seja(X, )umespacodeBanachordenadoe T(t): t 0 L(X)umsemigrupodeoperadores lineares positivos com geradorA.i) Sejau0 D(A) tal queAu0 0. Entao, seu(t) = T(t)u0temosAu(t) 0, ut(t) 0, u(t) u(s) u0para todo 0 s t. O mesmo e verdade, com as desigualdades invertidas, seAu0 0.ii) Seja u0 X tal que u0 0 e seja , R tais que > . Entao, se u(t) e u(t) denota respectivamenteassolucoesdeut=Au u = 0eut=Au u = 0,comdadoinicial u0,entao0 u(t) u(t)paratodot.iii) Se A e setorial, para qualquer 0, a transformacaoXL1((t0, t1), X) (u0, f) u C([t0, t1], X)e crescente.Captulo6OProblemadeCauchySemilinear6.1 OCasoHiperbolicoNesta secao consideramos o problema de valor inicialddte = Ae +f(t, e)e(t0) = e0 E0,(6.1)ondeA eogeradordeumsemigrupofortementecontnuo, feumafuncaocontnuaqueestadenidaemum subconjuntoUde R E0e toma valores emE0e (t0, e0) U.Denicao6.1.1a) Uma solucao forte de (6.1) em [t0, t1) e uma func ao contnua e : [t0, t1) E0 tal que e : (t0, t1) E0e continuamente diferenciavel,e(t0) = e0, (t, e(t)) U,e(t) D(A) e (6.1) vale,t0< t < t1.b) Umasolucaofracade(6.1)em[t0, t1)eumafuncaocontnuae:[t0, t1) E0tal quee(t0)=e0(t, e(t)) U, para todoe D(A),t 'e, e(t)` e dierenciavel eddt'e, e(t)` = 'Ae, e(t)` +'e, f(t, e(t))`, t0< t < t1. (6.2)Com isto temos o seguinte teoremaTeorema6.1.11. See : [t0, t1) E0e uma solucao forte de (6.1) entao e tambem uma solucao fraca de (6.1).2. Uma solucao fracae : [t0, t1) E0de (6.1) e tambem uma solucao forte se e somente se e continua-mente diferenciavel em (t0, t1) se e somente see(t) D(A) comt Ae(t) contnua em (t0, t1).3. See : [t0, t1) E0e uma solucao fraca de (6.1), entaoe(t) = eA(tt0)e0 +

tt0eA(ts)f(s, e(s))ds, t0 t < t1. (6.3)4. See : [t0, t1) E0e contnua com (t, e(t)) U,t0 t < t1e satisfaz (6.3), entaoe : [t0, t1) E0euma solucao fraca de (6.1).6768 CAPITULO6. OPROBLEMADECAUCHYSEMILINEARProva: AsarmativasdoteoremaseguemimediatamentedoTeorema5.1.1umavezquet f(t, e(t)):[t0, t1) E0 e uma funcao contnua.Teorema6.1.2Assumaque eAt; t 0 eumsemigrupofortementecontnuo, U RE0umabertoef:U E0contnuaelocalmenteLipschitzcontnuaemseusegundoargumento;isto e,dado(t0, e0) Uexiste> 0 eL tal que|f(t, e1) f(t, e2)|E0 L|e1e2|E0(6.4)quando [t t0[ e |ei e0|E0 , i=1, 2. Entao, dadoqualquer(t0, e0) Uexistet1>t0eumasolucaofracae : [t0, t1) E0de(6.1). Adicionalmente,qualquersolucaofraca e : [t0,t1) E0etal que e(t) = e(t) parat0 t < mint1,t1.Prova:Existe> 0 e constantesL, Mtais que set0 t t0 +, |eie0|E0 ,i = 1, 2, entao|f(t, e1) f(t, e2)|E0 L|e1e2|E0|f(t, e1)|E0 M.Escolhat1> t0tal que0 < t1t0 min

2MM0,12M0L, ,

onde |eA|L(E0) M0, 0 , |eAe0e0|E0 /2 quando 0 .SejaSo conjunto das funcoes contnuase : [t0, t1] E0tal que |e(t) e0|E0 parat0 t t1. See, e S, denad(e, e) = supt0tt1|e(t) e(t)|E0; entao (S, d) e um espaco metrico completo. Parae SdenaG(e) : [t0, t1] E0porG(e)(t) = eA(tt0)e0 +

tt0eA(ts)f(s, e(s))ds, t0 t t1.EntaoG(S) S,d(G(e), G( e)) 12d(e, e) parae, e Se, do princpio da contracao de Banach,G tem um unico ponto xo emS. Isto prova a armativa pelo Teorema 6.1.1 partes (3) e (4).A seguir obtemos resultados sobre extensoes de solucoes de (6.1) e a existencia de intervalos maximaisde denic ao para solucoes de (6.1). Estes resultados sao essenciais no estudo do comportamento assintoticodesolucoesde(6.1)permitindo,emmuitoscasos,obteraexistenciaglobaldesolucoesatravesdealgumaestimativa apriori.Teorema6.1.3AssumaqueA, Uef saocomonoTeorema6.1.2. Para(t0, e0) Uexisteuma unicasolucaofracamaximal e : [t0, max) E0de(6.1). Paraestasolucaosuponhaquemax< . Entaoouexistee1 E0tal que (max, e1) Uee(t) e1quandot maxoulimsuptmax|f(t, e(t))|E01 +|e(t)|E0= .SeU= RE0efleva subconjunto limitados de RE0em subconjuntos limitados deE0o segundo casoso ocorre se limsuptmax |e(t)|E0 = .Prova: Sejamax=supt1:existe uma solucao de 6.1 denida em [t0, t1). Paraqualquert [t0, max)denae(t) = o valor emt de uma solucao fraca e : [t0, t1) E0 de (6.1),t1> t . Toda solucao fraca da omesmo valor parae(t), pelo Teorema 6.1.2, ee : [t0, max) E0 e claramente maximal.Suponha que max< e o limitee1 = limtmaxe(t) exista. Se (max, e1) Uexiste uma solucao fraca e : [max, max+ ] E0para algum> 0 com e(max) = e1. Entao se e : [t0, max+ ] E0 e dada por e(t) =e(t), t0 t 0. Portanto |Ae0(t)|E0e limitado een(t) e(t) uniformemente em [t0, t2].Provaremosque |Aen(t)|E0euniformementelimitada, e(t) D(A)comAen(t)wAe(t)et Ae(t) econtnua.Primeiro note que (t, en(t)) : t0 t t2,n 0 esta em um subconjunto compacto deU. Logo|Af(t, en(t))|E0 C1(1 +|Aen(t)|E0)para alguma constanteC1independente den, t. Portanto|Aen+1(t)|E0 |eA(tt0)Ae(t0)|E0 +

tt0|eA(ts)C1(1 +|Aen(s)|E0)ds C2 +C3

tt0|Aen(s)|E0ds, t0 t t2.PodemosassumirqueC2 |Ae0(t)|E0parat0 t t2eentaose |Aen(s)|E0 C2eC3(st0)em[t0, t2],segueque |Aen+1(t)|E0 C2eC3(tt0)portantoAen(t)eAf(t, en(t))saouniformementelimitadas. NotequeogracodeAefechadoeportantofracamentefechadoeen(t) e(t); seumasubsequenciaetalqueAen(t)wy(t), entaoe(t) D(A), Ae(t) =y(t). Portanto, Aen(t)wAe(t). SemelhantementeAf(t, en(t))wAf(t, e(t)). Aindat Ae(t), Af(t, e(t))saofracamentecontnuas; porexemplo, dadoe E0e > 0, primeiro escolhae1 D(A) proximo aee entao['e, Ae(t) Ae(s)`[ ['ee1, Ae(t) Ae(s)`[ +['Ae1, e(t) e(s)`[ C|ee1|E0+|Ae1|E0|e(t) e(s)|E0< se [t s[ esucientementepequenodependendodee1, . NotequeD(A)edensoemE0, jaqueE0ereexivo (veja Lemma 1.6.3).Agora mostramos quet Ae(t) e contnua, ou especicamente,t u(t)

tt0eA(ts)Af(s, e(s))dse contnua. O integrando aqui e pelo menos fracamente contnuo, logo a integral faz (fraco) sentido . Primeiroobserve queu(t +h) u(t) = (eAhI)u(t) +

t+hteA(t+hs)Af(s, e(s))ds6.1. OCASOHIPERBOLICO 71e |Af(s, e(s))|E0e limitado,logo |u(t + h) u(t)|E0 0 quandoh 0+para cadat 0;isto e, u(t) econtnua a direita. Segue queAe(t) e contnua a direita, logos Af(s, e(s)) e tambem contnua a direita.Agora para cadat0< t t2u(t) u(t h) = t0+ht0eA(ts)Af(s, e(s))ds+

tht0eA(ths)[Af(s +h, e(s +h)) Af(s, e(s))]ds 0quandoh 0+. Logouetambemcontnuoaesquerda, Ae()econtnuaeeeumasolucaoforte. Oargumento aqui apela para o teorema da convergencia dominada.Teorema6.1.6Assumaque A, Ue f saocomonoTeorema6.1.2esuponhaque fn: UE0(n=1, 2, 3,)tambemsatisfazascondicoesdoTeorema6.1.2. Suponhaquee:[t0, t1) E0eumasolucaofraca de (6.1) e quefn(t, e) f(t, e) quandon uniformemente para (t, e) em uma vizinhanca de cadaponto(, e()), t0 0 tal que, paray, z na bola fechada de raior em torno dee(),|f(, y) f(, z)|E0 L|y z|E0e |fn(, y) f(, y)|E0n, t0 t, n0quandon . Tambem |eAt|L(E0)Mem0 t tt0.Escolhan0tal quen n0implicaM[|en(t0) e(t0)|E0 +n(tt0)]eML(tt0)< r.Entao |eA(tt0)(en(t0) e(t0))| < r e |en(t) e(t)|E0< r para t proximo a t0. De fato: digamos que n n0e |en(s) e(s)|E0 r parat0 s < t t; entao|en(t) e(t)|E0 |eA(tt0)(en(t0) e(t0))|E0+|

tt0eA(ts)(fn(s, en(s)) f(s, en(s)))ds|E0+|

tt0eA(ts)(f(s, en(s)) f(s, e(s)))ds|E0 M|en(t0) e(t0)|E0 +Mn(t t0)+

tt0ML|en(s) e(s)|E0ds.A desigualdade de Gronwall mostra que |en(t) e(t)|E0< r (sen n0) logo a desigualdade vale para todot0 t te|en(t) e(t)|E0 M[|en(t0) e(t0)|E0 +n(t t0)]eML(tt0) 0quandon .72 CAPITULO6. OPROBLEMADECAUCHYSEMILINEARCorolario6.1.1Assuma que A, U e f sao como no Teorema 6.1.2 e que f e tambem continuamente diferen-ciavel. Dado qualquer soluc ao fracae : [t0, t1) E0et0< t< t1, existem solucoes fortesen; [t0, t] E0,(n = 1, 2, 3,), tais que limn supt0tt |en(t) e(t)|E0 = 0.Prova:Sejafn=f, en(t0) D(A) com |en(t0) e(t0)|E0 0 quandon . Cada solucao fracaeneuma solucao forte pelo Teorema 6.1.4.6.2 OCasoParabolicoNesta secao consideramos problemas de Cauchy da formaddte = Ae +f(t, e),e(t0) = e0(6.6)ondeA : D(A) E0 E0 e um operador setorial positivo.Recordequeseooperador Aou(umatranslacaodeste)edetipoposivivopodemosdenirassuaspotencias fracionariasA, R. Denote porEo domnio deAdotado com a norma do graco.E claroque Ee um espaco de Banach e que a restricao de eAt; t 0 a Ee um semigrupo fortemente contnuoemE, visto queAeAte = eAtAe, t 0, e E.Com as informacoes que temos ate agora podemos obter teoremas de existencia e regularidade apropriadospara o caso parabolico. Alguns argumentos sao paralelos a aqueles dados para o caso hiperbolico e portantoseraoapenas indicados aqui. Noteque, como Aegerador deumsemigrupofortementecontnuo, osresultados obtidos para o caso hiperbolico tambem se aplicam a (6.6). O que faremos aqui e mostrar que,sob condicoes bastante razoaveis, toda solucao de (6.6) com dados iniciais em algumE, < 1 sao solucoesfortes. Tambemestaremos lidandocomumaclassemais ampladenaolinearidades f, permitindoquedependa deAe, por exemplo.Denicao6.2.1SejaE0 um espaco de Banach,A : D(A) E0 E0 um operador setorial e escolhaa 0(senecessario)talque(, 0] (A + a). Seja0 1eE=D((A + a))comanormadograco|| = |(A+a) |E0.SejaU REumabertoef: U E0contnua. Umasolucaode(6.6)em[t0, t1)eumafuncaocontnuae : [t0, t1) E0queediferenciavel em(t0, t1)etal que(t, e(t)) U, t0 t 0, taisquequando (1, e1) e (2, e1) estao emV|f(1, e1) f(2, e2)|E0 K([12[+|e1e2|E).See : [t0, t1] Ee contnua, (t, e(t)) U,t0 t t1, ee(t) = eA(tt0)e(t0) +

tt0eA(ts)f(s, e(s))ds, t0 t t1,entaoe(t) e uma solucao forte de (6.6).6.2. OCASOPARABOLICO 73Prova: Primeiramente mostraremos que e : (t0, t1] Ee Holder contnua. Como (t, e(t)) : t0 t t1 eum subconjunto compacto de U, existe B tal que supt0tt1|f(t, e(t)|E0 B. Entao para t0< t t+h t1,e(t +h) e(t) = (eAhI)[eA(tt0)e(t0) +

tt0eA(ts)f(s, e(s))ds]+

t+hteA(t+hs)f(s, e(s))dslogo, se 0 < <