Enunciados do Lote 1 em 2009/2010 Os grupos devem contactar os docentes que acompanharão os trabalhos. Iniciais: JF – Prof. João Folgado JVS – Prof. José Viriatos Santos LF – Prof. Leonel Fernandes MN – Prof. Miguel Neves Tema LF 2.1 INTERPOLAÇÃO INVERSA Considere a seguinte tabela com as propriedades de saturação do refrigerante ecológico R410A: t (ºC) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 ps(MPa) 0.1097 0.1762 0.2708 0.4007 0.5739 0.7990 1.0855 1.4436 1.8842 2.4193 Pretende-se determinar uma correlação com a forma (T/T0) = x = a0 + a1 y + a2 y2 + a3 y3, com y = ln (ps/p0) onde T (K) = t(ºC) + 273.15. Considere T0 = 345.28 K e p0 = 4.9261 MPa. a) Escreva um programa para obter o polinómio interpolador cúbico x=g(y) na forma de Newton. b) Ensaie várias escolhas para os nós y de modo a minimizar os erros absoluto e relativo na variável x para as temperaturas (t) no intervalo [-50,40] ºC. c) Investigue se seria preferível usar a variável y=(ps/p0) prescindindo do logaritmo natural. d) Determine o erro absoluto e o erro relativo mínimos obtidos na temperatura absoluta de saturação em cada caso. e) Compare os resultados com os de uma tabela mais fina, em particular, usando gráficos apropriados.

Tema LF 2.2 RIGIDEZ DE POLINÓMIOS E ERROS DE INTERPOLAÇÃO Considere a interpolação polinomial da função f(x) = 1/(1 + 25 x2) no intervalo [-1,1] usando a forma de Newton com a possibilidade de inserção incremental de pontos e um espaçamento arbitrário.

a) Considere a interpolação com nós equidistantes dado o grau do polinómio. Investigue se aumentando o grau n do polinómio o erro de interpolação tende para zero.

b) Experimente colocar os nós em progressão geométrica de razão constante especificada pelo utilizador mas respeitando a simetria em relação à origem. Investigue se aumentando o grau n do polinómio o erro de interpolação tende para zero.

c) Repita o cálculo usando os nós de interpolação de Chebyshev em vez das alternativas anteriores. Compare os erros encontrados.

d) Repita os procedimentos anteriores para o intervalo [0,1] apenas.

Faça gráficos (MATLAB) representativos da função, polinómios interpoladores e funções de erro para as diversas situações consideradas. Nota: para efectuar comparações é conveniente calcular erros locais, erros médios e erros máximos. Tema LF 2.3 SPLINE QUADRÁTICO, ERRO DE INTERPOLAÇÃO E INTEGRAÇÃO Considere a interpolação por um spline quadrático da função f(x) = 1/(1 + 25 x2) no intervalo [-1,1].

a) Investigue qual a condição de arranque m0 mais adequada para definir o spline.

b) Considere nós equidistantes. Investigue se, aumentando o número de nós do spline, o erro de interpolação tende para zero.

c) Experimente colocar os nós em progressão geométrica de razão constante especificada pelo utilizador mas respeitando a simetria em relação à origem.

Investigue se, aumentando o número de nós do spline, o erro de interpolação tende para zero.

d) Desenvolva uma função para calcular o integral no intervalo [-1,1] da função de Runge aproveitando o spline quadrático. Compare o resultado da integração com aquele spline com o resultado exacto. Nota: esta função deve ser capaz de calcular o integral com uma distribuição de pontos arbitrariamente espaçada.

Tema LF 2.4 SPLINE CÚBICO, ERRO DE INTERPOLAÇÃO E VISUALIZAÇÃO Considere a interpolação por um spline cúbico da função f(x) = 1/(1 + 25 x2) no intervalo [-1,1].

a) Investigue quais as equações de fecho mais adequadas para definir o spline. b) Considere nós equidistantes. Investigue se, aumentando o número de nós do

spline, o erro de interpolação tende para zero. c) Experimente colocar os nós em progressão geométrica de razão constante

especificada pelo utilizador mas respeitando a simetria em relação à origem. Investigue se, aumentando o número de nós do spline, o erro de interpolação tende para zero.

d) Repita o cálculo usando os nós de interpolação de Chebyshev em vez das alternativas anteriores. Compare os erros encontrados.

Faça gráficos (MATLAB) representativos da função, do spline e funções de erro para as diversas situações consideradas. Explore o spline cúbico do MATLAB (ver help spline). Nota: para efectuar comparações é conveniente calcular erros locais, erros médios e erros máximos. Tema LF 3.1 EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON NO CÁLCULO DE DERIVADAS Escreva um programa para o cálculo de primeiras derivadas por diferenças finitas centrais. Introduza uma estimativa do passo óptimo no cálculo destas derivadas.

Acrescente o processo de extrapolação de Richardson para melhorar os valores calculados das derivadas. Considere factores de redução de passo de 1/2, 1/4 e 1/8. Aplique o programa a alguns casos de teste para vários valores de x, nomeadamente para as funções:

a) f(x) = 1/(1 + 25 x2) b) f(x) = sin(1+x3) c) f(x) = ln (1 + x2) sinh x d) f(x) = ln [1 + exp(-sin x)]

Compare os resultados com e sem o processo de Richardson e calcule o erro efectivamente cometido. Sugestão: experimente o cálculo simbólico no MATLAB para obter derivadas. Tema LF 3.2 CÁLCULO DE DERIVADAS USANDO O PLANO COMPLEXO Escreva um programa para o cálculo de primeiras derivadas por diferenças finitas centrais. Introduza uma estimativa do passo óptimo no cálculo destas derivadas. Em alternativa, obtenha aproximações da primeira derivada calculando Imag[f(x + ih)/h]. Este método foi descrito por Squire & Trapp (1998) em SIAM Review e é particularmente apropriado para uma implementação em MATLAB. Aplique o programa a alguns casos de teste para vários valores de x, nomeadamente para as funções:

b) f(x) = 1/(1 + 25 x2) b) f(x) = sin(1+x3) c) f(x) = ln (1 + x2) sinh x d) f(x) = ln [1 + exp(-sin x)]

Compare os resultados com estes dois processos numéricos e calcule os erros absoluto e relativo efectivamente cometidos. Sugestão: experimente o cálculo simbólico no MATLAB para obter derivadas. Compare experimentalmente, traçando gráficos, a influência do passo h nos dois processos e tente estabelecer a existência ou não de um passo óptimo para o cálculo de derivadas em cada um dos dois processos.

Tema LF 34.1 INTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Escreva um programa para a resolução de EDO´s de primeira ordem empregando o método preditor-corrector de Heun. Neste método, o primeiro passo consiste na obtenção de uma previsão de Euler do tipo y0

i+1 = yi + h f(xi,yi). Este passo equivale a uma integração pela regra do rectângulo à esquerda. O segundo passo (corrector) consiste em obter um valor corrigido em que o integral é calculado pela regra do trapézio, ou seja, yi+1 = yi + h/2 [f(xi,yi)+ f(xi+h,y0

i+1)]. O método de Heun pode ser classificado como um método de Runge-Kutta de segunda ordem. Aplique o programa desenvolvido aos seguintes casos: a) y´ = x – y2, y(0) = 1, x e (0,1] b) y´ = 1/(x + y), y(0) = 1, x e (0,2] c) y´ = – 50xy2, y(0) = 1, x e (0,1] d) Descida de um páraquedas. Pretende-se determinar a velocidade ao longo do tempo e o tempo de chegada ao solo em função da altura, instante e tempo de abertura do pára-quedas. Controle o número total de funções f(x,y) calculadas. Obtenha a solução analítica nos casos em que isso é possível e use-a para calcular o erro absoluto e o erro relativo da solução numérica. Nos restantes casos, use estimativas de erro para o erro absoluto. Faça gráficos das soluções e dos erros encontrados. Experimente passos de diferente comprimento. Tema LF 34.2 INTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Escreva um programa para a resolução de EDO´s de primeira ordem empregando o método de Ralston. Neste método, o primeiro passo consiste na obtenção de uma previsão de Euler de ¾ do passo do tipo y0

i+3/4 = yi + 3h/4 f(xi,yi). Este passo equivale a uma integração pela regra do rectângulo à esquerda. O segundo passo (corrector) consiste em obter um valor corrigido em que o integral é calculado por uma média ponderada do tipo yi+1 = yi + h [1/3 f(xi,yi) + 2/3 f(xi+3/4h,y0

i+3/4)]. O método de Ralston pode ser classificado como um método de Runge-Kutta de segunda ordem. Aplique o programa desenvolvido aos seguintes casos: a) y´ = – 50xy2, y(0) = 1, x e (0,1] b) y´ = 1/x2 – y/x – y2, y(1) = -1, x e (1,2] c) y´ = y sin2 x, y(0) = 1, x e (0,3]

d) Descida de um páraquedista. Pretende-se determinar a velocidade ao longo do tempo e o tempo de chegada ao solo em função da altura, instante e tempo de abertura do pára-quedas. Controle o número total de funções f(x,y) calculadas. Obtenha a solução analítica nos casos em que isso é possível e use-a para calcular o erro absoluto e o erro relativo da solução numérica. Nos restantes casos, use estimativas de erro para o erro absoluto. Faça gráficos das soluções e dos erros encontrados. Experimente passos de diferente comprimento. Tema LF4.1 INTEGRAÇÃO PELA REGRA DO PONTO MÉDIO COMPOSTA CORRIGIDA Deduza os pesos de uma regra de integração para o intervalo [-1,1] do tipo

(-1)]f-(1)[f)0()( !!21

1

1

wfwdxxfI +≈= ∫−

.

Generalize a regra para um intervalo arbitrário [a,b]. Trata-se de uma regra de integração do ponto médio corrigida. Determine o grau de exactidão desta regra e uma estimativa para o erro absoluto cometido. Deduza uma expressão para uma fórmula de integração composta com espaçamento uniforme usando essa regra como base. Desenvolva um programa para o cálculo de integrais pela regra do ponto médio composta e pela regra do ponto médio composta corrigida. Verifique as derivadas nos extremos do intervalo de integração na regra corrigida com o auxílio da symbolic toolbox do MATLAB. Teste o programa com os seguintes integrais:

i) ∫− +

=1

12 1)(25x

1dxI

ii) ∫ +=

1

02 1)(25x

1dxI

iii) ∫ +=

−2

0

2

1)(x

sindx

xeI

x

Calcule os erros absoluto e relativo em todos os casos. Compare o erro absoluto obtido com uma estimativa apropriada. Construa gráficos dos erros em função do número de intervalos utilizado.

Tema LF4.2 ESTUDO COMPARATIVO DE INTEGRAÇÃO PELA REGRA DO TRAPÉZIO Desenvolva um programa para o cálculo de integrais pela regra do trapézio composta e pela regra do trapézio composta corrigida. Verifique as derivadas nos extremos do intervalo de integração na regra corrigida com o auxílio da symbolic toolbox do MATLAB. Teste o programa com os seguintes integrais:

i) ∫− +

=1

12 1)(25x

1dxI

ii) ∫ +=

1

02 1)(25x

1dxI

iii) ∫=π

0

cos xdxeI x

Calcule os erros absoluto e relativo em todos os casos. Compare o erro absoluto obtido com uma estimativa apropriada. Construa gráficos dos erros em função do número de intervalos utilizado.

Tema MN 1.1 NÃO-EQUIVALÊNCIA EM ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE de FUNÇÕES ALGEBRICAMENTE EQUIVALENTES Fundamente detalhadamente todas as observações e afirmações que obtiver nas seguintes questões, recorrendo-se da análise directa e da análise indirecta de erros em aritmética de ponto flutuante. I. Considere a função g(x) = (7-3)/(x-2-1/(x-7+10/(x-2-2/(x-3)))) no intervalo [0,5]. a) Que acontece quando calcula g(x) nos pontos x=1, x=2, x=3 e x=4. b) Mostre que a função f(x) = ((((7*x-101).*x+540).*x-1204).*x+958)./((((x-14).*x+72).*x-151).*x+112) é algebricamente equivalente à função g(x). c) Será que, para valores de x suficientemente elevados, f(x) é menos precisa do que g(x). Calcule f(x) e g(x) em 3*10^9 e em 3*10^76. Mudar do formato simples para o formato duplo, norma IEEE 754, altera os resultados? (Se necessário implemente uma aplicação simples em linguagem C ou Fortran). II. Considere a função p(x)=(x-1)^6 no intervalo [0.9,1.1]. a) Mostre que a função q(x) = x^6-6*x^5+15*x^4-20*x^3+15*x^2-6*x+1 é algebricamente equivalente à função p(x).

b) Justifique a diferença de valores entre p(x) e q(x) considerando 6 pontos igualmente espaçados nos intervalos de [1-δ,1+δ] com δ=10−k , onde k=2,3,4 e 5. Afinal quantos zeros tem p(x)? E quantos zeros tem ou aparenta ter q(x)? Tema MN 1.2 ANÁLISE DE ERROS EM ALGORITMOS DE “TABLE-LOOKUP” Fundamente todas as observações e afirmações que obtiver nas seguintes questões. Utilize algoritmos de table-lookup*1 para calcular valores de:

a) 2x no intervalo de -1 a 1 b) log(x) no intervalo de 1 a 2 c) sin(x) no intervalo de 0 a pi/4

Realize as análises de erro necessárias para discutir os aspectos de precisão. Compare a precisão e velocidade de cálculo relativamente ao processo tradicional de desenvolvimento em série. (*1 Pedir ao docente o artigo de PTP Tang, ficheiro: ____tang1991.pdf.) Tema MN 1.3 ESPECIFICAÇÕES DE UMA ARITMÉTICA DECIMAL (IEEE-854) Discuta de forma fundamentada as diferenças de especificações entre as normas IEEE- 754 e 854. Indique os respectivos sistemas de representação de números inteiros e reais (especifique os respectivos sistemas FP). Compare os limites de representação (underflow e overflow) entre ambas, bem como as unidades de arredondamento. Indique as representações reservadas e as situações correspondentes (excepções numéricas, etc.). Verifique a precisão dos arredondamentos envolvidos em operações aritméticas, raiz quadrada e conversão entre diferentes tipos de precisão (simples, dupla, etc.) e entre reais e inteiros. Baseando-se nos conhecimentos que adquiriu sobre as normas IEEE- 754 e 854, apresente uma breve discussão (fundamentada e justificada) sobre os casos de falha numérica do míssil Patriot (1991), do primeiro lançamento do Ariane V (1996) e da introdução do Euro e dos seus arredondamentos. (*2 Pedir ao docente o artigo de W. J. Cody et al., ficheiro: p37-cody.pdf e o documento “Some disasters caused by numerical errors”, ficheiro: _disasters.html.pdf )

Tema MN 1.4 ANÁLISE DA ARITMÉTICA EM FP DE DOIS PROGRAMAS COMERCIAIS: EXCEL e MATLAB. Apresente uma descrição e análise sobre as situações onde o Excel da Microsoft adere à norma IEEE 754 e outras onde não adere (ver *3). Analise as questões de precisão e de arredondamento envolvidas. Verifique a seguinte sequência de cálculo (ver tabela Values Excel 2000 Displays for Several Expressions em *4). e analise pormenorizadamente os aspectos relativos à implementação da IEEE-754. Será que o Excel faz um arredondamento “cosmético” para tentar aproximar a representação binária de uma representação decimal? Analise a situação descrita por Kahan no ponto §7: Some More Spikes, and MATLAB’s log2 do seu artigo (*4).

(*3 Floating-point arithmetic may give inaccurate results in Excel

http://support.microsoft.com/kb/78113 (ou http://support.microsoft.com/kb/78113/pt) , Pedir ao docente o artigo de *4

Prof. W. Kahan, How Futile are Mindless Assessments of Roundoff in Floating-

Point Computation ? WORK IN PROGRESS; COMMENTS ARE INVITED. Page 1/56,

ficheiro: Mindless.pdf)

Tema MN 34.5 MODELO NUMÉRICO DE UMA SUSPENSÃO AUTOMÓVEL Simule o movimento de uma suspensão de um automóvel (um modelo um grau de liberdade para ¼ de veículo) num determinado piso. Para isso, assuma que a roda mantém-se em permanente contacto com o piso e que a velocidade horizontal do veículo é constante.

( ) ( ) ( )( ) ( )12212222

2

011122122111

0

0

yykyycymF

yykyykyycymF

''''m

y

''''m

y

−−−−=⇒=

−−−−−=⇒=

∑∑

Relativamente à figura, considere a massa m2=425kg (ou seja, ¼ de 1700 kg) e uma massa não-suspensa (roda, mola e amortecedor) de m1=20 kg, uma rigidez do conjunto da roda de k1=4*105 N/m e a da mola de k2=6*104 N/m, e um coeficiente de amortecimento linear de c2=150 Ns/m no amortecedor. O veículo desloca-se com velocidade uniforme v=80 km/h, inicialmente ao longo de uma estrada de piso plano y0(t)=0 e inicia em t=0 um troço de piso sinusoidal de amplitude 0.01 m e 6 metros de comprimento em cada oscilação do piso (correspondendo a 23.271 radianos por segundo). 1) Decomponha o sistema de 2 equações diferenciais de 2ª ordem em 4 equações

de 1ª ordem. Implemente um algoritmo do método de Euler com diferenças finitas progressivas e regressivas de primeira ordem e passo constante para obter a resposta no tempo.

2) Simule as respostas y1 e y2 das massas m1 e m2 ao longo do tempo de 0 a 3 segundos.

3) Estude a influência do passo de tempo utilizado em 2) e justifique os resultados.

4) Verifique a sensibilidade das respostas à variação das características da suspensão nomeadamente a rigidez e o amortecimento.

Tema MN 34.6 MODELO NUMÉRICO DE UM PÊNDULO Implemente um algoritmo que simule o movimento de um pêndulo. Utilize o método de Euler com diferenças finitas progressivas e regressivas de primeira ordem e passo constante.

1) Defina um valor de massa m aplicada na extremidade do pêndulo e o comprimento L entre esta e o ponto fixo em torno do qual se dá a oscilação.

2) Simule a resposta para diferentes posições e velocidades iniciais da massa. 3) Estude a influência do passo de tempo utilizado em 2) e justifique os

resultados. 4) Verifique a sensibilidade das respostas à variação da massa m e do

comprimento L.

Tema JF 2.1 Escreva um programa para determinar o polinómio interpolador, considerando a possibilidade de nós equidistantes, de nós em progressão geométrica e de nós de Chebyshev. a) Aplique esse programa para interpolar as seguintes funções: i) f(x)=1/(1+25x2), Ω=[-1,1] ii) f(x)=exp(x/2)*sin(2x) , Ω=[0,π] iii) f(x)=x*exp(-5x) , Ω=[0,1] b) Determine o erro cometido na aproximação à função f e à sua derivada. c) Uma outra forma de avaliar a aproximação é através de indicadores de qualidade. Considere o indicador de qualidade obtido através do cálculo do integral (ao longo do domínio de interpolação) do quadrado da derivada do polinómio interpolador. Efectue o cálculo deste integral recorrendo ao método do trapézio composto. d) Mostre a evolução dos erros (e do indicador) com o aumento do número de nós. Tema JF 2.2 Desenvolva um programa para o cálculo de splines cúbicos com nós equidistantes. Aplique este programa a alguns casos de teste, nomeadamente à interpolação das seguintes funções: i) f(x) = sin(x), Ω=[0, 2π] ii) f(x) = exp(x/2)*cos(2x), Ω=[0,5π/4] iii) f(x) = sin(2x)+cos(x), Ω=[-π, π] a) Considere as opções de spline natural, spline completo (tome para y’0 e y’n valores apropriados às funções interpoladas) e se possível considere a opção de spline periódico. b) Determine o erro cometido na aproximação à função f e às suas derivadas f′ e f’’. c) Mostre a evolução do erro com o espaçamento dos nós. d) Estime a ordem de convergência e compare-a com o valor teórico.

Tema JF 3.1 EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON NO CÁLCULO DE DERIVADAS Escreva um programa para o cálculo de primeiras derivadas por diferenças finitas regressivas. Introduza uma estimativa do passo óptimo no cálculo destas derivadas. Acrescente o processo de extrapolação de Richardson para melhorar os valores calculados das derivadas. Aplique o programa a alguns casos de teste para vários valores de x, nomeadamente para as funções:

a) f(x) = 1/(1 + 25 x2) b) f(x) = sin(1+x3) c) f(x) = ln (1 + x2) sinh x d) f(x) = ln [1 + exp(-sin x)]

Compare os resultados com e sem o processo de Richardson e calcule o erro efectivamente cometido. Sugestão: experimente o cálculo simbólico no MATLAB para obter derivadas. Tema JF 3.2 Considere uma barra de comprimento L=1 m, sujeita a uma fonte de calor f(x) ao longo do seu comprimento. Se u(x) representar a temperatura da barra e K(x)=100 W/(m.°C) a condutividade térmica, a equação diferencial que permite determinar a distribuição da temperatura em regime estacionário é: d/dx(K(x)*du/dx)= –f(x), 0<x<L. Esta equação deve ser sujeita a condições fronteira apropriadas, considerando-se neste caso, os valores de temperatura impostos, u(0)=20°C, u(L)=50°C. Considere os seguintes casos de fontes de calor impostas: i) f(x)=50000 * x2 [W/m3] ii) f(x)=50000 * (1+cos(2π.x)) [W/m3] iii) f(x)=50000 [W/m3], para 0<x<L/2, f(x)=0, para L/2<x<L (fonte de calor constante em meia barra) a) Substitua as segundas derivadas da equação diferencial por diferenças finitas centrais numa malha uniforme de espaçamento h. Desse modo é possível obter um sistema de equações cuja solução fornecerá uma aproximação da distribuição da temperatura.

b) Apresente gráficos mostrando a solução exacta e a solução aproximada para vários valores do parâmetro h da malha. c) Avalie a evolução do erro com o parâmetro h. d) Estime a ordem de convergência da metodologia empregue. Tema JF 34.3 INTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Escreva um programa para a resolução de EDO´s de primeira ordem empregando o método do ponto médio também conhecido por Euler-Cauchy ou Euler modificado. Neste método, o primeiro passo consiste na obtenção de uma previsão de Euler de meio passo do tipo y0

i+1/2 = yi + h/2 f(xi,yi). Este passo equivale a uma integração pela regra do rectângulo à esquerda. O segundo passo (corrector) consiste em obter um valor corrigido em que o integral é calculado pela regra do ponto médio, ou seja, yi+1

= yi + h f(xi+h/2,y0i+1/2). O método de Euler-Cauchy pode ser classificado como um

método de Runge-Kutta de segunda ordem. Aplique o programa desenvolvido aos seguintes casos: a) y´ = – 50xy2, y(0) = 1, x e (0,1] b) y´ = (1 + x) y1/2, y(0) = 1, x e (0,1] c) y´ = 1 – y/x, y(2) = 2, x e (2,3] d) Descida de um páraquedas. Pretende-se determinar a velocidade ao longo do tempo e o tempo de chegada ao solo em função da altura, instante e tempo de abertura do pára-quedas. Controle o número total de funções f(x,y) calculadas. Obtenha a solução analítica nos casos em que isso é possível e use-a para calcular o erro absoluto e o erro relativo da solução numérica. Nos restantes casos, use estimativas de erro para o erro absoluto. Faça gráficos das soluções e dos erros encontrados. Experimente passos de diferente comprimento. Tema JF4.1 REGRA DO TRAPÉZIO COMPOSTA Considere os seguintes integrais:

i) ( )∫ −−=3

0

x dxe1I

ii) ( )∫π

+=2/

0

dxxsin48I

iii) ∫ +=

2

5.02

dx1)(x

xI

iv) ∫=2

1

V

V

pdVW , W é o trabalho, p a pressão e V é o volume num processo

termodinâmico descrito pela tabela seguinte: Volume(m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11 Pressão(kPa) 420 368 333 326 326 312 242 207 a) Escreva um programa para calcular integrais usando um número N pré-definido de intervalos de integração pela regra do trapézio composta. Experimente com 2, 4, 8 e 16 intervalos de integração, entre outros. b) Calcule os erros absoluto e relativo nos casos i-iii). Compare o erro absoluto obtido com uma estimativa apropriada. c) Generalize o método para usar intervalos de comprimento não-uniforme. Teste esta versão com os intervalos a aumentar ou diminuir em progressão geométrica nos casos i-iii). Experimente com diferentes valores para a razão da progressão geométrica. Nota: a zona onde a função varia mais rapidamente deve ser mais refinada. d) Calcule o integral do caso iv). e) Calcule o valor médio da função integranda nos intervalos: i) [0,3], ii) [0,π/2], iii) [0.5,2] e iv) [0.5,11], a pressão média no processo. Tema JF4.2 REGRA DE GAUSS-LEGENDRE COMPOSTA Considere os seguintes integrais:

i) ( )∫=3

0

x2 dxxeI

ii) ∫=1

0

x2 dx15I

iii) ∫

+=2

1

2

dxx

1xI

iv) ∫ +=

2

5.02

dx1)(x

xI

a) Escreva um programa para calcular integrais usando um número N pré-definido de intervalos de integração com uma regra composta de Gauss-Legendre de dois pontos, de três pontos ou de quatro pontos de Gauss. Experimente com 2, 4, 8 e 16 intervalos de integração, entre outros. b) Calcule os erros absoluto e relativo em todos os casos. Compare o erro absoluto obtido com uma estimativa apropriada (baseada na bissecção dos intervalos). c) Compare o aumento de precisão que se obtém quando se refina a malha com o aumento de precisão que se obtém quando se aumenta o número de pontos de Gauss. Faça gráficos do erro com o número de funções calculadas. d) Calcule o valor médio da função integranda nos intervalos: i) [0,3], ii) [0,1], iii) [1,2], iv) [0.5,2]. Interpolação polinomial Tema JVS2.1 DISTÂNCIA DE VISIBILIDADE Na colocação de sinais de trânsito em estradas devem ser observadas certas relações entre a velocidade do tráfego, v, e a distância de visibilidade de um possível obstáculo à circulação, para que se efectue uma paragem em segurança, DP. Estas relações encontram-se na tabela seguinte:

v (km/h) 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 DP (m) 40 60 80 100 120 150 180 220 250 320 390

Deseja-se saber quais as distâncias de visibilidade para velocidades não tabeladas, como por exemplo, v = 45 km/h. Para tal, desenvolva um programa para o cálculo de splines quadráticos com nós equidistantes e efectue um estudo da influência dos valores de m0. Compare os resultados obtidos com os de uma interpolação com um polinómio de grau 10.

Tema JVS2.2 LARGURA DE UM RIO USANDO SPLINES CÚBICOS A Figura JVS2.2 mostra o esboço do leito de um rio. A partir de uma linha recta, próxima a uma das margens, foram medidas as distâncias entre esta linha e as duas margens do rio. As medições foram realizadas de 20 em 20 m. Estas medições encontram-se na Tabela JVS2.2. Pretende-se determinar o valor aproximado da largura do rio em pontos que não se encontram tabelados. Para tal, desenvolva um programa para o cálculo de splines cúbicos com nós equidistantes e efectue um estudo da influência dos valores de '

0y e 'ny .

M a r g e m A M a r g e m By

x Figura JVS2.2

Tabela JVS2.2 x Margem B Margem A

0 50 112.5 20 86 154.5 40 146 195 60 73.5 171 80 50 95.5

100 67 124,5 120 80 132 140 96 143 160 110 167 180 150 180.5 200 170 190

Tema JVS2.3 INTERPOLAÇÃO INVERSA Considere a seguinte tabela com as propriedades de saturação da água: t (ºC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

ps(MPa) 0.10132

0.14324

0.19848

0.27002

0.36119

0.47572

0.61766

0.79147

1.0019

1.2542

Pretende-se determinar uma correlação com a forma (T/T0) = x = a0 + a1 y + a2 y

2 + a3 y3, com y = ln (ps/p0)

onde T (K) = t(ºC) + 273.15. Considere T0 = 647.096 K e p0 = 22.064 MPa. a) Escreva um programa para obter o polinómio interpolador cúbico x=g(y) na forma de Newton. b) Ensaie várias escolhas para os nós y de modo a minimizar os erros absoluto e relativo na variável x para as temperaturas (t) no intervalo [100, 190] ºC. c) Determine o erro absoluto e o erro relativo mínimos obtidos na temperatura absoluta de saturação em cada caso. d) Compare os resultados com os de uma tabela mais fina, em particular, usando gráficos.

Diferenciação numérica

Tema JVS3.1 ROTAÇÕES E CURVATURAS DE UMA VIGA A Tabela JVS3.1 apresenta as amplitudes adimensionalizadas do deslocamento em diferentes pontos i de uma viga encastrada referentes ao seu terceiro modo de vibração.

Tabela JVS3.1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi [m]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

y(xi) 0.0000 -0.0429 -0.1461 -0.2721 -0.3872 -0.4641 -0.4844 -0.4407 -0.3369 -0.1869 -0.0126

i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 xi [m]

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

y(xi) 0.1597 0.3035 0.3959 0.4211 0.3724 0.2529 0.0742 -0.1464 -0.3898 -0.6405

Recorrendo às fórmulas de diferenciação com três e cinco nós, determinar as rotações e as curvaturas nos pontos dados.

Tema JVS3.2 DERIVADAS DIRECCIONAIS Desenvolva um programa para cálculo de derivadas direccionais de uma função ),( yxfz = ou

),,( zyxFw = na direcção de um vector unitário u recorrendo a diferenças finitas centrais. a) Determine o vector que define a direcção para a qual as funções seguintes aumentam mais

rapidamente nos pontos especificados a1) )sin()2exp(),( yxyxfz == , )4/,0( π

a2) 22 24),,( yzxzxzyxFw ++== , )1,2,1( − b) Determine o vector que define a direcção para a qual as funções seguintes diminuem mais

rapidamente nos pontos especificados

b1) )tan(),( 22 yxyxfz +== , )6/,6/( ππ

b2) )exp(),,( yxzzyxFw == , )9,0,16( c) Uma partícula encontra-se no ponto (4, 2) de uma placa rectangular onde a temperatura

num dado ponto (x, y) é dada por 2225),( yxyxT ++=

Determine a direcção que a partícula deverá tomar de modo a arrefecer o mais rapidamente possível.

d) Estude experimentalmente, para os casos a1) e b2) o passo óptimo e compare-o com o valor teórico.

Tema JVS 3.3 EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON NO CÁLCULO DE DERIVADAS Escreva um programa para o cálculo de primeiras derivadas por diferenças finitas progressivas. Introduza uma estimativa do passo óptimo no cálculo destas derivadas. Acrescente o processo de extrapolação de Richardson para melhorar os valores calculados das derivadas. Considere factores de redução de passo de 1/2, 1/4 e 1/8. Aplique o programa a alguns casos de teste para vários valores de x, nomeadamente para as funções: i) f(x) = sin (1 + exp x) para x = 0.5 e x = 1.6 ii) f(x) = ln [1 + exp(cos x)] para x = 1.5 e x = -1 iii) f(x) = ln (1 + x) cosh x para x = -0.5 e x = 1.6 iv) f(x) = sin(k*x) para k=1, 10, 50, 100, 1000, 10000 Compare os resultados com e sem o processo de Richardson e calcule o erro efectivamente cometido. Sugestão: experimente o cálculo simbólico no MATLAB para obter derivadas.

Integração numérica Tema JVS4.1 ENERGIAS DE UMA VIGA Seja uma viga de comprimento L e de secção transversal cujo segundo momento de área é I, tendo o material um módulo de elasticidade longitudinal E e uma massa específica ρ. As energias de deformação elástica e cinética do modo de vibração natural l são proporcionais, respectivamente, às quantidades

dxdx

xydEIU

Ll

l

2

0 2

2 )(∫

=

[ ] dxxyTL

lll

2

0

2 )(2 ∫= ρω

onde ly denota a amplitude adimensionalizada do deslocamento no ponto x e 22 /)( dxxyd l as

curvaturas respectivas e lω é a frequência circular (rad/s).

Os valores dos deslocamentos e curvaturas do primeiro modo (l = 1) de uma viga simplesmente apoiada encontram-se na Tabela JVS3.1.

Tabela JVS4.1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ix [m] 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

)(1 ixy 0.0000 0.1564 0.3090 0.4540 0.5878 0.7071 0.8090 0.8910 0.9511 0.9877 1.0000

21

2 /)( dxxyd i 0.0000 4.6575 8.1458 9.7667 9.4966 7.8532 5.5727 3.3138 1.5116 0.3816 0.0000

i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ix [m] 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

)(1 ixy 0.9877 0.9511 0.8910 0.8090 0.7071 0.5878 0.4540 0.3090 0.1564 0.0000 2

12 /)( dxxyd i

0.3816 1.5116 3.3138 5.5727 7.8532 9.4966 9.7667 8.1458 4.6575 0.0000

a) Desenvolva um programa para cálculo dos integrais em lU e lT , usando a regra do ponto

médio composta e a regra do trapézio composta. b) Sabendo que L = 1 m, EI = 13671.875 Nm2, ρ = 7800 kg/m3 e a terceira frequência natural é f 3 = 367.7 Hz, calcule os valores de U1 e T1. Discuta os resultados. c) Compare os erros obtidos pelos dois processos com o erro esperado.

Tema JVS4.2 ÁREA DO LEITO DE UM RIO A Figura JVS4.2 mostra o esboço do leito de um rio. A partir de uma linha recta, próxima a uma das margens, foram medidas as distâncias entre esta linha e as duas margens do rio. As medições foram realizadas de 20 em 20 m. Estas medições encontram-se na Tabela JVS4.2. Pretende-se determinar o valor aproximado da área do rio no troço [0, 200] m. Para tal, desenvolva um programa para o cálculo de integrais tendo por base a regra de Simpson composta. M a r g e m A M a r g e m By

x Figura JVS4.2

Tabela JVS4.2 x Margem B Margem A

0 50 112.5 20 86 154.5 40 146 195 60 73.5 171 80 50 95.5

100 67 124,5 120 80 132 140 96 143 160 110 167 180 150 180.5 200 170 190

Tema JVS 34.4 INTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Escreva um programa para a resolução de EDO´s de primeira ordem empregando o método preditor-corrector de Heun sem auto-arranque (non-self-starting). Neste método, o primeiro passo consiste na obtenção de uma previsão de Euler do tipo y0

i+1 = yi-1 + 2h f(xi,yi). Este passo equivale a uma integração pela regra do ponto médio. O segundo passo (corrector) consiste em obter um valor corrigido em que o integral é calculado pela regra do trapézio, ou seja, yi+1 = yi + h/2 [f(xi,yi)+ f(xi+h,y0

i+1)]. Este método de Heun usa um passo previsor com a mesma (ordem de) precisão do passo corrector. Proponha e compare algumas formas alternativas de arranque do método. Aplique o programa desenvolvido aos seguintes casos: a) y´ = – 50xy2, y(0) = 1, x e (0,1] b) y´ = x– y2, y(0) = 1, x e (0,1] c) u´ = -0.2 (u -20) u(0) = 90, determine t tal que u(t) = 40. Controle o número total de funções f(x,y) calculadas. Obtenha a solução analítica nos casos em que isso é possível e use-a para calcular o erro absoluto e o erro relativo da solução numérica. Nos restantes casos, use estimativas de erro para o erro absoluto. Faça gráficos das soluções e dos erros encontrados. Experimente passos de diferente comprimento.

Tema JVS4.3 COMPRIMENTO, ÁREAS E VOLUMES O comprimento de uma curva descrita pela função )(xfy = , no intervalo [a, b], é dado por

( )∫ +=b

adxxfI

2' )(1

Por sua vez, a área da superfície obtida pela revolução da referida curva, definida no intervalo [a, b], em torno do eixo x, é dada por

( )∫ +=b

adxxfxfI

2' )(1)(2π

Por último, o volume obtido pela revolução dessa mesma curva em torno do mesmo eixo e intervalo é dado por

∫=b

adxxfI )(2π

a) Prove que o perímetro de um semi-círculo e as áreas e volumes de um hemisfério

de raio 1 podem ser calculados tomando 21)( xxfy −== ,

e 1,1 =−= ba nos integrais acima. b) Desenvolva um programa para cálculo de comprimentos de curvas, áreas e

volumes, usando a regra de Simpson composta. Determine b1) o perímetro de um semi-círculo de raio 1 e b2) a área e o volume de um hemisfério de raio 1. Estude a influência do número de subintervalos nos resultados