engenharia - estatística - lista

7/16/2019 Engenharia - Estatística - Lista

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Estatıstica Descritiva

1. Um atacadista recebe de varios fornecedores uma certa peca para revenda. A peca e produzida com

material de qualidade diferente e, portanto, tem custo diferenciado.

Tabela 1: Distribuicao de frequencia para o custo.Custo (R$) Frequencia1, 20 1, 50 71, 50 1, 80 211, 80 2, 10 432, 10 2, 40 122, 40 2, 70 152, 70 3, 00 4

Total 102

(a) Determine o custo medio, mediano e o mais frequente.

(b) Qual a porcentagem de pecas com custo menor que R$1, 72?

(c) Calcule o desvio padrao e o coeficiente de variacao.

2. O departamento de financas de uma empresa fez um levantamento dos salarios dos funcionarios,

obtendo os resultados da tabela a seguir.

Tabela 2: Distribuicao de frequencia para o numero de salarios.Faixa de Salarios Frequencia Acumulada

0 2 52 4 304 6 706 8 90

8 10 92

(a) Qual a porcentagem de dados que estao dentro do intervalo x± 2s?

(b) Construa o Box Plot.

3. Um artigo retirado da revista Technometrics apresenta os dados a seguir sobre a taxa de octano de

8 misturas de gasolina.

Tabela 3: Taxa de Octano (%) de 8 amostras.87, 7 87, 5 88, 6 96, 5 98, 8 88, 7 89, 8 94, 2

(a) Determine a taxa media e o desvio padrao.

(b) Determine a taxa mediana de octano.

1



4. Um amostra de chapas produzidas por uma maquina forneceu as seguintes espessuras.

Tabela 4: Espessuras de chapas em milımetros.6, 34 6, 38 6, 20 6, 40 6, 42 6, 30 6, 28 6, 36 6, 38 6, 36

Calcule a media, a mediana, a variancia, o desvio padrao e o coeficiente de variacao.

5. Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que deveriam conter 16, 5Kg. A

pesagem de 40 sacas revelou os resultados representados na tabela.

Tabela 5: Distribuicao de frequencia para variavel peso.Peso (Kg) Frequencia

14, 55 15, 05 115, 05 15, 55 315, 55 16, 05 816, 05 16, 55 9

16, 55 17, 05 1017, 05 17, 55 617, 55 18, 05 3

Qual a porcentagem de sacas que estao abaixo do valor especificado (16, 5Kg)?

6. Um pesquisador dispoe das seguintes informacoes, a respeito dos valores de uma amostra:

- A media de todos os valores e igual a 50, 34;

- A soma dos quadrados dos valores e igual a 150000;

- A amostra e constituıda de 52 valores distintos.

Determine o desvio padrao dessa amostra.

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7. A tabela a seguir apresenta a distribuicao de frequencia da renda de certa amostra.

Tabela 6: Distribuicao de frequencia para variavel renda.Frequencia

Renda (s.m.) Homens Mulheres0, 0 0, 5 4 70, 5 1, 0 18 32

1, 0 1, 5 76 981, 5 2, 0 191 3252, 0 2, 5 382 4122, 5 3, 0 534 4803, 0 3, 5 486 4093, 5 4, 0 331 3104, 0 4, 5 162 1514, 5 5, 0 135 115

(a) Qual a renda mediana e a mais frequente para os homens? E para as mulheres?

(b) Qual a porcentagem de homens que ganham mais de 1, 8 salarios mınimos?

(c) Qual a porcentagem de mulheres que ganham mais de 2, 8 salarios mınimos?

8. A seguir e apresentado o saldo de 48 contas de clientes do CC Novo S.A no ultimo dia util do ano

de 2011.

Tabela 7: Distribuicao de frequencia para variavel saldo dos clientes.Saldo (R$) Frequencia100 300 2300 500 6500 700 5700 900 8

900 1100 141100 1300 13

Total 48

(a) Qual o saldo medio, mediano e o mais frequente para os clientes do CC Novo S.A?(b) Qual o desvio padrao e o coeficiente de variacao para o saldo dos clientes?

(c) Qual a porcentagem de clientes com saldo no intervalo x± s?

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9. As taxas de juros recebidas por 10 acoes estao dispostas a seguir.

Tabela 8: Taxas de Juros (%).Acao 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Taxa (%) 2, 59 2, 64 2, 60 2, 62 2, 57 2, 55 2, 61 2, 50 2, 63 2, 64

Obtenha a taxa media de juros, a taxa mediana, o desvio padrao e o coeficiente de variacao.

Gabarito

Estatıstica Descritiva

01. a) x = R$2, 01; M d = R$1, 96; M o = R$1, 92 b) 21, 96% c) s = R$0, 37; cv = 18, 41%

02. a) 94, 91%

b) P 25 = 3, 44 ; P 50 = 4, 8 ; P 75 = 5, 95 ; min = 0 ; max = 10− ; Li = −0, 33 ; Ls = 9, 72

03. a) x = 91, 48% ; s = 4, 39% b) M d = 89, 25%

04. x = 6, 342mm ; M d = 6, 36mm ; s2

= 0, 0043mm2

; s = 0, 0656mm ; cv = 1, 03%05. 50, 25%

06. s = 18, 90

07. a) M dH = 2, 96; M oH = 2, 88; M dM = 2, 81; M oM

= 2, 74 b) 90, 83% c) 50, 32%

08. a) x = R$870, 83; M d = R$942, 86; M o = R$1.071, 43

b) s = R$301, 74 ; cv = 34, 65% c) 62, 47%

09. x = 2, 595%; M d = 2, 605%; s = 0, 0445%; cv = 1, 71%

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Probabilidade

Noc˜ oes B´ asicas

1. Uma escola do ensino medio do interior de Sao Paulo tem 40% de estudantes do sexo masculino.

Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que, entre as meninas, essa porcentagem e de 50%.

Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja:

(a) Do sexo masculino e nunca tenha visto o mar?

(b) Do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar?

2. Em um grupo de 176 jovens, 16 praticam futebol, natacao e voleibol; 24 praticam futebol e natacao;

30 praticam futebol e voleibol; 22 praticam natacao e voleibol; 6 praticam apenas futebol; 9 praticam

apenas natacao e 5 apenas voleibol. Os demais praticam outros esportes. Qual a probabilidade de

escolher, ao acaso, um jovem desse grupo que pratique futebol?

3. Numa certa regiao, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera e de 10%. Ummeteorologista da TV acerta suas previsoes em 80% dos dias em que chove e em 90% dos dias em

que nao chove. Se houve acerto na previsao feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de chuva?

4. Tres candidatos disputam as eleicoes para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita

tem 30% da preferencia eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a

probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educacao e Saude e de 0, 40;0, 60 e 0, 90 para os

candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.

(a) Qual e a probabilidade de nao ser dada prioridade a essas areas no proximo governo?

(b) Se a area teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a elei cao?

5. A probabilidade de um indivıduo da Classe A comprar um carro e de 3/4, da B e de 1/5 e de C e

de 1/20. As probabilidades de os indivıduos comprarem um carro da marca X sao 1/10, 3/5 e 3/10,

dado que sejam de A, B e C , respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca X . Qual a

probabilidade de que o indivıduo que o comprou seja da classe B?

6. A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora e historicamenteestimada em 6%. A producao da montadora vem de tres fabricas distintas, da matriz A e das filiais

B e C , nas seguintes proporcoes: 60%, 30% e 10%, respectivamente. Sabe-se que a proporcao de

defeitos na matriz A e o dobro da filial B e, da filial B e o quadruplo da filial C . Determinar a

porcentagem de defeito de cada fabrica.

7. Uma companhia que fura pocos artesianos trabalha numa regiao escolhendo aleatoriamente o ponto

de furo. Nao encontrando agua nessa tentativa, sorteia outro local e, caso tambem nao tenha sucesso,

faz uma terceira e ultima tentativa. Admita probabilidade 0, 7 de encontrar agua em qualquer ponto

dessa regiao. Calcule a probabilidade de:

(a) Encontrar agua na segunda tentativa.

(b) Encontrar agua em ate duas tentativas.

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Vari´ avel Aleat´ oria Discreta

1. Uma pessoa vende colhedeiras de milho. Visita semanalmente uma, duas ou tres propriedades rurais

com probabilidades 0, 2; 0, 5 e 0, 3, respectivamente. De cada contato pode conseguir a venda de

1 colhedeira por R$120.000, 00 com probabilidade 0, 3, ou nenhuma venda com probabilidade 0, 7.

Determine a funcao de probabilidade da variavel valor das vendas semanais.

2. Na verificacao rotineira de maquinas, observam-se as partes eletrica, mecanica e estrutural. A pro-

babilidade de aparecer uma falha em qualquer uma das partes e 0, 1, independente das demais. O

tempo de conserto e de 10, 20 ou 50 minutos para falha eletrica, mecanica ou estrutural, respectiva-

mente. Se a falha eletrica aparece junto com a falha mecanica, teremos um acrescimo de 20 minutos

devido a complicacoes no conserto.

(a) Para uma maquina escolhida ao acaso, qual a probabilidade do tempo de conserto durar menos

de 25 minutos?

(b) Determine o tempo de conserto medio e o respectivo desvio padrao.

3. Uma firma exploradora de petroleo acha que 5% dos pocos que perfura acusam deposito de gas

natural. Se ela perfurar 6 pocos, determine a probabilidade de ao menos um dar resultado positivo.

4. A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma unica flecha e de 0, 20. Lanca 8 flechas

no alvo. Qual a probabilidade de:

(a) Exatamente 4 acertarem o alvo?

(b) Pelo menos 3 acertarem o alvo?

5. Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas R$15. O filho vai pedir para comer

pipoca com probabilidade 0, 7 e, alem disso, pode pedir bala com probabilidade 0, 9. Esses pedidos

sao atendidos pelo pai com probabilidade 0, 5, independentemente um do outro. Considere que a

pipoca custa R$3 e a bala R$2.

(a) Estude o comportamento da variavel custo com a ida ao cinema.

(b) Determine o custo medio e o respectivo desvio padrao.

6. A experiencia mostra que determinado aluno A tem probabilidade 0, 9 de resolver e acertar um

exercıcio novo que lhe e proposto. Doze novos exercıcios sao apresentados ao aluno A para serem

resolvidos.

(a) Qual a probabilidade de acertar no maximo 9 exercıcios.

(b) Qual a probabilidade de errar no mınimo 2 exercıcios.

6



7. Uma industria de tintas recebe pedidos de seus vendedores atraves de fax, telefone e Internet. O

numero de pedidos que chegam por qualquer meio (no horario comercial) e uma variavel aleatoria

discreta com distribuicao Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.

(a) Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora.

(b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?

(c) Nenhum pedido em um dia de trabalho e um evento muito raro?

8. Um livreiro descuidado mistura 4 exemplares defeituosos junto com outros 16 perfeitos de um certo

livro didatico. Considere que 4 livros foram retirados.

(a) Calcule a probabilidade de se retirar 3 livros defeituosos.

(b) Calcule a probabilidade de se retirar 4 livros perfeitos.

9. Em um estudo sobre o crescimento de jacares, uma pequena lagoa contem 4 exemplares de especie

A e 5 da especie B. A evolucao de peso e tamanho dos 9 jacares da lagoa e acompanhada pelos pes-

quisadores atraves de capturas periodicas. Determine a probabilidade de, em tres jacares capturados

de uma vez, pelo menos dois ser da especie A.

10. No estudo do desempenho de uma central de computacao, o acesso a Unidade Central de Processa-

mento (CPU) e assumido ser Poisson com 4 requisicoes por segundo. Essas requisicoes podem ser de

varias naturezas tais como imprimir um arquivo, efetuar um certo calculo ou enviar uma mensagem

pela Internet, entre outras.

(a) Escolhendo-se ao acaso um intervalo de 1 segundo, qual e a probabilidade de haver mais de 2

acessos a CPU?

(b) Cosiderando agora o intervalo de 10 segundos, tambem escolhido ao acaso, qual e a probabilidade

de haver 50 acessos?

Vari´ avel Aleat´ oria Contınua

1. A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem e descrita por uma variavel aleatoria Normal

de media 60.000km e desvio padrao de 8.300km.

(a) Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000km, qual a proporcao de pneus que

deverao ser trocados pela garantia?

(b) O que aconteceria com a proporcao do item (a), se a garantia fosse para os primeiros 45.000km?

(c) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sobgarantia no maximo 2% dos pneus?

(d) Se voce comprar 5 pneus Rodabem , qual sera a probabilidade de que voce utilizara a garantia

(45.000km) para trocar pelo menos dois destes pneus?

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2. O tempo de vida (em horas) de um transistor e uma variavel aleatoria T com funcao densidade de

probabilidade dada por:

f (t) =

500× e−500t, t > 0

0, t ≤ 0.

Determine a probabilidade de que seu tempo de vida seja maior do que a media.

3. Uma industria quımica recicla papeis para serem vendidos no comercio local. A classificacao dospapeis e feita de acordo com seu peso, da seguinte forma: 10% dos menos pesados como ”leves” e os

35% dos mais pesados como ”pesado”. Determine os limites de peso de cada classificacao, sabendo

que o peso destes papeis segue uma distribuicao Normal com media igual a 5Kg e desvio padrao

igual a 2, 1Kg.

4. Um teste de aptidao feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma serie de

operacoes seja realizada em uma rapida sucessao. Suponha que o tempo necessario para completar

o teste seja distribuıdo de acordo com uma Normal de media 90 minutos e desvio padrao de 20

minutos.

(a) Qual a probabilidade de um candidato, selecionado aleatoriamente, completar o teste em menos

de 80 minutos.

(b) Se os 5% melhores candidatos serao alocados para aeronaves maiores, quao rapido deve ser o

candidato para que obtenha essa posicao?

5. Estudos meteorologicos indicam que a precipitacao pluviometrica mensal, em perıodos de seca numa

certa regiao, pode ser considerada como seguindo a distribuicao Normal de media 30mm e variancia16mm2.

(a) Admitindo esse modelo correto para os proximos 50 meses, em quantos deles esperarıamos uma

precipitacao pluviometrica superior a 34mm?

(b) Qual seria o valor da precipitacao pluviometrica de modo que exista apenas 10% de probabili-

dade de haver uma precipitacao inferior a esse valor?

6. O tempo, em minutos, de utilizacao de um caixa eletronico por clientes de um certo banco, foi

modelado por uma variavel T ∼ Exp (3). Determine:

(a) P (T < 1) .

(b) Um numero a tal que P (T ≤ a) = 0, 40.

7. Os prazos de substituicao de aparelhos de T V tem distribuicao Normal com media de 8, 2 anos e

desvio padrao de 1, 1 anos.

(a) Determine a probabilidade de um aparelho de T V selecionado aleatoriamente acusar um tempode substituicao inferior a 7, 0 anos.

(b) Os 20% inferiores tempos sao trocados pela garantia. Quanto deve ser a durabilidade (anos) do

aparelho para ele ser trocado pela garantia.

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8. Para ingressar na marinha dos EUA, uma mulher deve ter altura entre 1, 58m e 1, 73m. Sabe-se que

a altura das mulheres tem distribuicao Normal com media de 1, 63m e desvio padrao de 0, 25m.

(a) Qual e a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, satisfazer a exigencia para ingressar

na marinha dos EUA.

(b) Se mudarem as condicoes de admissao, de forma a excluir o 1% das mais baixas e os 2% das

mais altas, determine as alturas aceitaveis.

9. Os homens gastam em media 11, 4 minutos no chuveiro. Suponha que esses tempos tenham distri-

buicao Normal com desvio padrao de 1, 8 minutos. Escolhido um homem aleatoriamente, determine

a probabilidade de ele gastar ao menos 10, 0 minutos no chuveiro.

10. Os salarios dos diretores das empresas de Sao Paulo distribuem-se normalmente com media de

R$8.000, 00 e desvio padrao de R$500, 00. Qual a porcentagem de diretores que recebem entre

R$8.920, 00 e R$9.380, 00?

Gabarito

Noc˜ oes de Probabilidade

01. a) 0, 08 b) 0, 68 02. 0, 25 03. 0, 0898 04. a) 0, 34 b) 0, 1818

05. 0, 5714 06. 7, 87%; 3, 93% e 0, 98% 07. a) 0, 21 b) 0, 91

Vari´ avel Aleat´ oria Discreta

01.X 0 120.000 240.000 360.000

p(xi) 0, 4879 0, 4023 0, 1017 0, 0081

02. a) P (X < 25) = 0, 891 b) E (X ) = 8, 2 minutos; DP (X ) = 16, 87 minutos 03. 0, 264904. a) 0, 0459 b) 0, 2031

05. a)X 15 17 18 20

p(xi) 0, 3575 0, 2925 0, 1925 0, 1575b) E (X ) = R$16, 95; DP (X ) = R$1, 74

06. a) 0, 1109 b) 0, 3410 07. a) 0, 8754 b) 0, 0177 c) e−40 0

08. a) 0, 0132 b) 0, 3756 09. 0, 4047 10. a) 0, 7619 b) 0, 0177

Vari´ avel Aleat´ oria Contınua

01. a) 0, 0735 b) 0, 0115 c) 42.985km d) 0, 1332

02. 0, 3679 03. ”leve ”< 2, 312kg e ”pesado”> 5, 819kg

04. a) 0, 3085 b) 57, 2 minutos 05. a) 8 meses b) 24, 88mm

06. a) 0, 9502 b) 0, 1703 minutos

07. a) 0, 1379 b) 7, 276 anos 08. a) 0, 2347 b) acima de 1, 05m e abaixo de 2, 14m

09. 0, 7823 10. 0, 03

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Inferencia Estatıstica

Distribuic˜ ao Amostral

1. O peso de esferas para rolamentos tem distribuicao Normal com media de 31, 5g e desvio-padrao

de 4, 5g. Qual a probabilidade de uma amostra aleatoria de 50 itens ter peso medio entre 29, 5g e

31, 0g?

2. A duracao do tonner de uma maquina de fotocopias tem distribuicao Normal com media 15 e desvio

padrao 2 (em milhares de copias). Para uma amostra de 12 fotocopias a duracao do tonner sera

observada e pergunta-se a probabilidade de, em media, durar menos de 16 mil copias?

Intervalos de Confianca e Testes de Hip´ oteses

1. A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuicao Normal com media 164cm e desvio padrao

de 5, 82cm. Deseja-se saber se as condicoes sociais desfavoraveis vigentes na parte pobre desta cidade

causam um retardamento no crescimento dessa populacao. Para isso, levantou-se uma amostra de

144 adultos dessa parte da cidade, obtendo media de 162cm.

(a) Pode esse resultado indicar que os adultos residentes na area sao em media mais baixos que os

demais habitantes da cidade, ao nıvel de 5% de significancia?

(b) Construa um intervalo, com 95% de confianca, para a verdadeira altura media dos adultos.

2. O tempo de permanencia de engenheiros recem formados no 10 emprego, em anos, foi estudado

considerando um modelo Normal. Por analogia com outras categorias profissionais, deseja-se testar

se a media e 2 anos contra a alternativa de ser mais de 2 anos. Para uma amostra de 15 engenheiros,a media obtida foi de 2, 7 anos e o desvio padrao de 1, 4 anos.

(a) Ao nıvel de 1% de significancia, qual a conclusao do teste?

(b) Construa um intervalo com 99% de confianca para o verdadeiro tempo medio de permanencia.

3. Em uma linha de producao de certa peca mecanica, retirou-se uma amostra de 300 itens, constatando-

se que 12 pecas eram defeituosas. Construa um intervalo com 90% de confianca para a verdadeira

proporcao de pecas defeituosas.

4. Antes de uma eleicao, um determinado partido esta interessado em estimar a proporcao p de eleitores

favoraveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60% dos eleitores eram

favoraveis ao candidato.

(a) Utilizando a informacao da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com

80% de confianca, o erro cometido na estimacao seja no maximo 5%.

(b) Se na amostra final, com tamanho obtido em (a), observou-se que 51% dos eleitores eram

favoraveis ao candidato, construa um intervalo de confianca parap

, com confianca de 95%.

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5. A resistencia a ruptura em cabos de aco e considerada uma variavel Normal com media e variancia

dependendo de outros fatores. Uma amostra de 12 cabos produzidos por uma empresa sao levados a

teste para indicar se eles podem ser usados na construcao de uma ponte. Cada cabo para ser usado

precisa ter carga media de ruptura de no mınimo 2530Kg.

Tabela 9: Resistencia dos cabos de aco (Kg)

2518 2492 2450 2535 2547 2486 2455 2499 2522 2505 2469 2533

(a) Indique a conclusao que se pode tirar ao nıvel de 1% de significancia.

(b) Construa um intervalo com 90% de confianca para a verdadeira resistencia media dos cabos.

6. A porcentagem anual media da receita municipal empregada em saneamento basico em pequenos

municıpios de um estado tem sido 8% (admita que esse ındice se comporte segundo o modelo Normal).

O governo pretende melhorar esse ındice e, para isso, ofereceu alguns incentivos. Para verificar a

eficacia dessa atitude, sorteou 10 cidades e observou as porcentagens investidas no ultimo ano. Os

resultados foram (em porcentagens) 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 11 e 12.

(a) Faca um teste, ao nıvel de 2% de significancia, e verifique se houve melhoria?

(b) Construa um intervalo, com 98% de confianca, para a verdadeira porcentagem anual media.

7. Testes exaustivos realizados pela industria Cookbem indicam que 10% dos seus fornos apresentam

a 1a falha antes de 900 horas de uso. Um novo metodo de producao esta sendo implantado e os

engenheiros garantem que a proporcao acima indicada deve diminuir. Com vistas a verificar essa

afirmacao, escolheu-se aleatoriamente 100 aparelhos para realizar testes acelerados e os resultados

indicaram que 8 deles tiveram sua 1a falha antes de 900 horas de uso. Verifique se os engenheiros

tem razao, considerando um nıvel de significancia α = 6%.

8. Nos ultimos anos a proporcao de alunos reprovados em Estatıstica tem sido ao redor de 28%. Um

professor acredita que para esse ano letivo essa proporcao deve diminuir e selecionou uma amostra

de 420 alunos, escolhidos aleatoriamente, e constatou que 315 estudantes foram aprovados. Faca um

teste, ao nıvel de 5% de significancia, e verifique se o professor tem razao.

9. Suponha que o recolhimento mensal de ICMS de uma empresa tenha distribuicao Normal, com um

desvio padrao de R$342, 00. O dono da empresa garante que o recolhimento mensal medio de ICMS

e de R$1.050, 00. Para verificar se a afirmacao do dono e verıdica, colheu-se uma amostra de 10

meses obtendo-se um recolhimento medio de R$943, 55 de ICMS .

(a) Teste, ao nıvel de 10% de significancia, se o dono da empresa tem ou nao razao.

(b) Construa um intervalo com 90% de confianca para o verdadeiro recolhimento medio.

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10. Uma amostra aleatoria de 40 contas nao comerciais na filial de um banco, acusou saldo medio diario

de R$14.000, 00 com desvio padrao de R$3.000, 00. Estime atraves de um intervalo com 95% de

confianca, o saldo medio de todas as contas nao comerciais daquele banco. Considere que o saldo

diario tenha distribuicao Normal.

11. Considere que a durabilidade (em horas) de uma peca de um equipamento tenha distribuicao Normal.

Uma amostra 100 pecas foram testadas fornecendo uma media de 500 horas e desvio padrao de 18

horas. O fabricante desta peca alega que a durabilidade dela e de no mınimo 510 horas.

(a) Indique a conclusao que se pode tirar ao nıvel de 2% de significancia.

(b) Construa um intervalo com 90% de confianca para a verdadeira durabilidade media das pecas.

12. Deseja-se realizar uma pesquisa em certa universidade para estimar a proporcao de alunos que sofrem

de algum tipo de depressao. Decidimos colher uma amostra de tamanho 600. Qual o erro maximo

que cometemos com confianca de 99%?

Comparac˜ ao de duas medias

1. A sequencia de operacoes executadas por um operario para realizar uma certa tarefa esta sendo

estudada. Para tanto 12 operarios foram sorteados e mediu-se o tempo necessario, em minutos,

para que cada um realizasse a tarefa, com os dois tipos de sequencias. Suponha que o tempo siga

distribuicao Normal.

Tabela 10: Tempo (min) necessario para realizacao da tarefa.

Operario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Atual 24 25 28 27 24 28 26 28 29 24 26 28Nova 21 23 27 22 23 26 25 22 23 22 26 27

(a) Faca um teste e verifique se existe diferenca no tempo medio para a realizacao da tarefa nos

dois tipos de sequencia? Use α = 1%.

(b) Construa um intervalo com 99% de confianca para a verdadeira diferenca media.

2. Deseja-se comparar a durabilidade de amortecedores fabricados pelas empresas A e B. A medida ob-servada e o ındice de resistencia de cada peca testada em laboratorio, que e assumido ter distribuicao

Normal, com variancias iguais.

Tabela 11: Indice de resistencia dos amortecedores.Empresa A 115 123 134 120 121 122 130 131Empresa B 125 126 120 130 128 127

Teste, ao nıvel de 10% de significancia, se a durabilidade media dos amortecedores e a mesma.

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3. Dois tipos de componentes eletricos sao testados quanto a sua vida media. Considere que a durabi-

lidade desses componentes eletricos siga distribuicao Normal, com mesma variancia.

Tabela 12: Comparacao dos componentes eletricos.Tipo I Tipo II

Tamanho da amostra (n) 46 64Media (X ) 1070h 1041h

Variancia Amostral (S 2) 21, 00h2 23, 20h2

(a) Ha evidencias de que a vida media dos dois tipos de componentes eletricos sejam diferentes ao

nıvel de 5%?


4. Uma rede de magazines esta interessada em saber se o valor medio das compras e maior em suas lojas

do centro da cidade do que no shopping. Uma amostra colhida em cada loja forneceu os resultados

apresentados na tabela a seguir.

Tabela 13: Comparacao das vendas nas duas lojas.Loja do Centro Loja do Shopping

Tamanho da Amostra (n) 100 120Media (X ) R$453, 00 R$447, 50

Considere que o desvio padrao populacional e igual a R$45, 00 em ambos os casos, e que o valor das

compras segue o modelo Normal.

(a) Faca o teste conveniente considerando um nıvel de significancia de 1%.


5. Um experimento com cobaias consistia em comparar o desempenho de uma tarefa para dois metodos

de aprendizagem. Cada cobaia teve seu desempenho medido, atribuindo-se uma nota de 0 a 10. Os

idealizadores do Metodo 2 alegam que seu metodo e mais eficiente e, portanto, deve produzir maior

nota. Foi estabelecido que o modelo Normal e adequado para as variaveis envolvidas.

Tabela 14: Notas das cobaias nos dois metodos de aprendizagem.Cobaia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Metodo 1 8 3 7 4 6 2 7 3 9 5Metodo 2 8 4 8 3 7 3 8 3 8 6

Faca o teste conveniente, considerando um nıvel de significancia de 5%.

6. Examinaram-se duas classes de um mesmo curso. Na primeira, com 40 alunos, a nota media foi de7, 4 com desvio padrao de 0, 8. Na segunda, com 50 alunos, a media foi de 7, 8 com desvio padrao

de 0, 7. Ha uma diferenca significativa entre os aproveitamentos das 2 classes ao nıvel de 5% de

significancia? Considere que as notas sigam o modelo Normal, com mesma variancia.

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7. Para se avaliar o nıvel de tensao ocasionada por exames escolares, doze alunos foram escolhidos e

sua pulsacao medida antes e depois do exame. Considere que a diferenca entre as pulsacoes, antes e

apos o exame escolar, siga distribuicao Normal.

Tabela 15: Pulsacao dos alunos antes e depois do exame.Estudante

Instante da medicao 1 2 3 4 5 6 7 8 9Antes 87 78 85 93 76 80 82 77 91

Depois 83 84 79 88 75 81 74 71 78

Faca um teste, com nıvel de significancia de 1%, para verificar se existe maior tensao (isto e, maior

pulsacao) antes da realizacao dos exames.

8. Para se aferir o consumo de combustıvel, entre duas marcas de automoveis com mesmas caracterısti-

cas, escolheu-se 8 carros de cada marca e anotou-se o consumo apos 100 quilometros percorridos em

uma estrada. Considere que o consumo siga distribuicao normal, com variancias iguais.

Tabela 16: Consumo de combustıvel para as marcas X e Y.Marca Consumo (km/l)

X 9, 5 9, 4 9, 6 9, 1 9, 3 9, 9 9, 8 10, 1Y 9, 0 9, 3 8, 6 8, 1 8, 3 8, 9 8, 8 7, 9

(a) Verifique se o consumo medio das duas marcas e o mesmo. Use α = 10%.


9. O custo de manutencao de treminhoes movidos a gasolina e a diesel sao apresentados na tabela a

seguir. Os veıculos considerados trafegam sob mesmas condicoes em uma mesma area. Considere que

o custo de manutencao para os treminhoes movidos a gasolina e a diesel siga distribuicao Normal,

com variancias diferentes.

Tabela 17: Custo (R$) com manutencao dos treminhoes.Combustıvel Custo

Gasolina 9, 70 5, 78 5, 78 5, 05 7, 61Diesel 8, 88 8, 23 8, 33 9, 01 9, 33 7, 89 9, 50

Teste a igualdade de medias dos dois grupos, considerando α = 5%.

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Correlacao e Regressao Linear Simples

1. Considere o tempo medio de estudo por dia e o numero de acertos em certa prova de concurso.

Tabela 18: Tempo de estudo e numero de acertos.Tempo de estudo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Numero de acertos 6 7 8 9 9 10 9 11 12 11 12 13

(a) Determine o coeficiente de correlacao.

(b) Ajuste a reta de regressao pelo metodo de mınimos quadrados e avalie a qualidade do ajuste

atraves do coeficiente de determinacao.

2. Esta sendo estudado o efeito de teor de ferro (X ) na capacidade de carga (Y ) de vigas de concreto.

Tabela 19: Teor de ferro (%) e capacidade de carga (Ton/m

2

) .Teor de ferro (%) 5 6 6 7 7 8 8 8Carga (Ton/m2) 2 2 3 2 4 4 4 5

(a) Determine o coeficiente de correlacao.

(b) Ajuste a reta de regressao pelo metodo de mınimos quadrados e avalie a qualidade do ajuste

atraves do coeficiente de determinacao.

3. O custo mensal de manutencao de determinado tipo de automovel esta sendo analisado em funcao

da idade do veıculo. Nove automoveis fabricados em diferentes anos tiveram o custo averiguado.

Tabela 20: Custo mensal com manutencao dos veıculos.Idade (anos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9Custo (R$) 8 13 18 20 24 26 29 32 37

Estime o custo mensal de manutencao em um veıculo com 10 anos de uso.

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Gabarito

Distribuic˜ ao Amostral

01. 0, 214 02. 0, 9582

Intervalos de Confianca e Testes de Hip´ oteses

01. a) z cal = −4, 12 < z tab = −1, 64 ∴ Rejeitar H 0

b) IC (µ; 0, 95) = [161, 05; 162, 95] cm02. a) tcal = 1, 94 < ttab = 2, 624 ∴ Nao Rejeitar H 0 b) IC (µ; 0, 99) = [1, 62;3, 78] anos

03. IC ( p; 0, 90) = [0, 0214; 0, 0586]

04. a) n = 157, 29 158 b) IC ( p; 0, 95) = [0, 432; 0, 588]

05. a) tcal = −3, 17 < ttab = −2, 718 ∴ Rejeitar H 0 b) IC (µ; 0, 90) = [2484, 46; 2517, 38] Kg

06. a) tcal = 3, 41 > ttab = 2, 398 ∴ Rejeitar H 0 b) IC (µ; 0, 98) = [8, 45; 12, 75]%

07. z cal = −0, 67 > z tab = −1, 55 ∴ Nao Rejeitar H 0

08. z cal = −1, 37 > z tab = −1, 64 ∴ Nao Rejeitar H 0

09. a) z cal = −0, 98 > z tab = −1, 64 ∴ Nao Rejeitar H 0 b) IC (µ; 0, 90) = [766, 18; 1120, 92]

10. IC (µ; 0, 95) = [13.041, 83; 14.958, 17]

11. a) tcal = −5, 56 < ttab = −2, 076 ∴ Rejeitar H 0 b) IC (µ; 0, 90) = [497, 02; 502, 98]

12. 5, 27%

Comparac˜ ao de duas medias

01. a) tcal = 4, 19 > ttab = 3, 106 ∴ Rejeitar H 0 b) IC (µd; 0, 99) = [0, 65;4, 35]

02. tcal = 0, 51 < ttab = 1, 782 ∴ Nao Rejeitar H 0

03. a) tcal = 31, 78 > ttab = 1, 98 ∴ Rejeitar H 0 b) IC (µd; 0, 95) = [27, 19; 30, 81]

04. a) z cal = 0, 9027 < z tab = 2, 33 ∴ Nao Rejeitar H 0 b) IC (µd

; 0, 99) = [−10, 22;21, 22]


06. tcal = 2, 52 > ttab = 2, 00 ∴ Rejeitar H 0


08. a) tcal = 4, 73 > ttab = 1, 761 ∴ Rejeitar H 0 b) IC (µd; 0, 90) = [0, 61;1, 34]

09. tcal = −2, 24 > ttab = −2, 57 ∴ Nao Rejeitar H 0

Correlac˜ ao e Regress˜ ao Linear Simples

01. a) r = 0, 9614 b) y = 6, 0455 + 0, 5699x; R2 = 0, 9244

02. a) r = 0, 7896 b) y = −2, 3662 + 0, 8169x; R2 = 0, 6234

03. R$39, 75

engenharia - estatística - lista

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