mini curso # 4: estatística para bioquímica e biotecnologia · alimentos algumas áreas de...

Mini Curso # 4:

Estatística para Bioquímica e

Biotecnologia

Ministrado por:

Dr. Marcelo Caldeira Viegas

[email protected]

mailto:[email protected]

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A competitividade e o alto custo tornam,

a cada momento, mais difícil pensar em

desenvolvimento de produtos e processos

sem agregar uma metodologia científica de

trabalho.

Estatística para Bioquímica e Biotecnologia

ALIMENTOS

Algumas

áreas de

aplicações

QUíMICA

PETROQUíMICA

FARMACÉUTICA

BIOTECNOLOGIA ...... ENGENHARIA


Limitações da Estatística:

1o) Toda a informação está contida nos dados. A conclusão, no

máximo, terá a qualidade dos dados que a geraram. Se os

dados forem iniciados ou coletados inadequadamente,

qualquer conclusão que deles advenham está

comprometida.

“A estatística não serve para corrigir erros grosseiros ou técnica

defeituosa”

2o) A Estatística apenas auxilia o pesquisador, mas não dispensa

o espírito científico crítico e cético, nem o conhecimento

profundo do processo em estudo.


Teste de Hipóteses


Teste de Hipóteses

Regra de decisão estatística que permite,

com base em informações contidas nos

dados amostrais, concluir sobre

parâmetros da população (Estatística

Inferencial).

.


Hipótese Estatística

É uma suposição sobre algum parâmetro

da população, que será posta à prova

através do teste de hipóteses.

Consideram-se, sempre, duas hipóteses:

H0 e H1, denominadas, respectivamente,

hipótese nula e hipótese alternativa.


Hipótese Nula (H0)

H0 é a hipótese que está sendo colocada à

prova (exemplo: o pH médio da população

alvo é igual a 5,0).


Hipótese Alternativa (H1)

H1 é a hipótese que será aceita, se for

rejeitada no teste. Exemplos:

H1: O pH médio da população alvo é diferente de 5,0 Teste bilateral

H1: μ5,0

H1 : O pH médio da população alvo é menor que 5,0 Teste unilateral à

esquerda

H1: μ<5,0

H1 : O pH médio da população alvo é maior que 5,0 Teste unilateral à

direita

H1: μ>5,0

Teste de Hipóteses

Escolha do Tipo de Distribuição Amostral

Distribuição Normal ou t-Student ?

- Distribuição Normal (Teste Z)

Se n>30

Se n<30 e o desvio padrão populacional () for conhecido

- Distribuição t-Student (Teste t)

Se n<30 e o desvio padrão populacional () for desconhecido


Teste de Hipóteses - Valores

Críticos(Tabelados):

Distribuição Normal (Teste Z)

Se o nível de confiança for de 90%, Zcrit=±1,65



Distribuição t-Student (Teste t)

O valor de tcrit depende do tamanho da amostra (n). Anexo 1


Testes de Hipóteses

Mecanismo dos erros

Como o teste de hipóteses é baseado em amostras

aleatórias, há sempre algum risco de erro.

É importante lembrar que uma outra amostra

retirada poderia fornecer valores diferentes daquela

utilizada na realização do teste.


Erro do tipo I ou de primeira espécie: rejeitar H0, quando

H0 é verdadeira.

A probabilidade de cometermos um erro do tipo I,

também conhecida como nível de significância do teste, é

denotada por α e escolhida a priori pelo pesquisador.

Em geral, o nível de significância α = 0,05 (5%) é muito

bem aceito pela comunidade científica.

α = P (erro tipo I) = P (rejeitar H0, quando H0 é

verdadeira).


O nível de confiança, 1 - α, varia de acordo com o

interesse e a exigência do pesquisador, devendo ser

fixado a priori.

Um valor bem aceito universalmente é 1 - α = 0,95

ou, em termos de porcentagens, (1 - α)% = 95% e

será aqui adotado.

Teste de Hipóteses


Erro do tipo II ou de segunda espécie: não rejeitar H0,

quando H0 é falsa.

A probabilidade de cometermos um erro do tipo II é

denotada por β.

β = P (erro tipo II) = P (não rejeitar H0, quando H0 é

falsa).


Realidade na

População

Resultado do Teste Estatístico

Aceita H0

Rejeita-se H0

H0 é verdadeira

Resultado correto:

não há erro

Erro do Tipo I

H0 é falsa

Erro do Tipo II

Resultado correto:

não há erro

Mecanismo dos erros num teste estatístico


Testes de hipóteses

Regra dos 4 passos

a. Enunciar claramente as hipóteses H0: μ = μ0 e H1: μ μ0;

b. Fixar o nível de significância α e determinar as regiões críticas

do teste: de aceitação (RA) e de rejeição (RR) de H0, definidas

pelo valor tabelado de t(n-1; α/2). Em geral α = 0,05 (5%);

c. Calcular o valor da estatística do teste

d. Decisão Estatística: Comparar o valor calculado (item c) com o

valor que delimita as regiões críticas (item b). Dependendo do

resultado a hipótese nula (H0) será aceita ou rejeitada.

n

s

xtCalc

0

Regiões Críticas

São as regiões de aceitação de H0, que denotaremos RA H0, e de

rejeição de H0, que denotaremos RR H0.

Teste bilateral: Se -t(n-1; α/2) < tCalc < t(n-1; α/2) , aceita H0, ou

equivalentemente, através do p-valor, rejeita-se H0 se p-valor α.

Figura 01: Esboço de um teste bilateral, para a média de uma população

normal, H1: μ μ0

Figura 02: Esboço de um teste unilateral para a média de uma população

normal, H1 : μ > μ0. p-valor > .

Regiões Críticas

Teste Unilateral a Direita: Aceita H0, quando tCalc <

tTab ou, equivalentemente, quando p – valor > α =

0,05 (95% de confiança).

tCalc tTab

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 6 0

R A Ho : 1 - alfa = 0,95

R R Ho : alfa = 0,05

p - valor > 0,05

tTab tCalc

0

2

4

-6 -4 -2 0 2 4 6 0

R A Ho : 1 - alfa = 0,95 R R Ho : alfa = 0,05

p - valor < 0,05

Figura 03: Esboço de um teste unilateral a direita para a média de uma

população normal, H1 : μ > μ0. P-valor<

Regiões Críticas

Teste Unilateral a Direita: Rejeita-se H0,

quando tCalc tTab ou, equivalentemente, quando

p – valor α = 0,05 (95% de confiança).

Planejamento Experimental

Design of Experiments (DOE)

e

Otimização de Processos Livro Texto:

“Planejamento de Experimentos e Otimização de Processos”

autores: M. Isabel Rodrigues e Antonio Francisco Iemma,

Campinas, 2ª. edição, 2009

Os Planejamentos Experimentais Fatoriais se

baseiam na Estatística, mas a atividade estatística

mais importante não é a análise dos dados , e sim o

planejamento dos experimentos em que esses

dados devem ser obtidos.


NOÇÕES SOBRE EXPERIMENTOS FATORIAIS

ESTATÍSTICA

BOM SENSO

PROCESSO


Para se atingir os objetivos desejados utilizando-se esta

ferramenta estatística e necessário uma interação entre:

“Em diversas situações, é imediato estabelecer

conclusões a partir de um experimento bem planejado,

empregando apenas técnicas de análise bastante

elementares. Por outro lado, mesmo a análise

estatística mais sofisticada não pode salvar um

experimento que tenha sido mal planejado”.

(Box, Hunter & Hunter)


Porque aprender Planejamento de Experimentos?

Desenvolvimento de um novo produto e/ou processo

Melhorar o produto que já está no mercado

Conhecer o efeito das variáveis do processo

Melhorar metodologias analíticas

Redução de custos

Otimização do processo


“O sucesso de um planejamento de experimentos

dependerá em grande parte da forma com que este é

estruturado e como será realizado. Entender

claramente quais são os objetivos de realizar um

experimento é necessário antes de qualquer ação

para executá-lo.”

Montgomery (2009)


Vantagens do Planejamento Experimental:

Reduz o número de experimentos, com melhor qualidade de

informação nos resultados;

É possível detectar o erro experimental e avaliá-lo;

A análise multivariável permite verificar e quantificar efeitos

sinérgicos e antagônicos entre as variáveis estudadas;

É possível otimizar mais de uma resposta ao mesmo tempo;


Roteiro para elaboração de um planejamento de experimentos:

a) Análise do processo;

b) Escolha dos fatores (variáveis independentes) e dos níveis que

serão avaliados;

c) Seleção das variáveis resposta;

d) Escolha do planejamento experimental mais adequado;

e) Realização dos ensaios conforme indicado pelo delineamento

experimental (item d);

f) Análise dos dados (Modelo Obtido , ANOVA, Superfície de

Respostas e Curvas de Contorno);

g) Conclusões e Recomendações;


Variáveis Independentes:

Fatores a serem estudados ou avaliados num processo (que

podem ser controladas)

Ex.: Formulação, temperatura, pH, agitação, aeração, tempo

de residência, vazão de alimentação, pressão, etc...

Variáveis Dependentes:

Respostas desejadas (determinadas experimentalmente)

Ex.: Rendimento, produtividade, índice de expansão,

atributos sensoriais, fator de pureza, atividade

enzimática, etc...


R1,2,...j = f (F1, F2, ..... Fk)

Estabelecer uma função matemática que correlacione as

variáveis estudadas em função da(s) resposta(s)

determinada(s).


Fatores

Níveis K=2 K=3 K=6 K

2 22=4 23=8 26=64 2k

3 32=9 33=27 36=729 3k

..... ..... ..... ..... .....

N N2 N3 N6 NK

Como pode ser visto pela Tabela 01, o nº. de ensaios cresce

exponencialmente, praticamente inviabilizando a utilização de

delineamentos completos para 6 ou mais fatores com dois níveis e para 4

ou mais fatores com 3 níveis.

Tabela 01: Nº. de ensaios experimentais de alguns delineamentos

fatoriais completos



Comparação entre o planejamento

fatorial versus estudo de um fator

por vez.

Estudo de caso em bioprocessos


AVALIAÇÃO DO EFEITO DO pH e

TEMPERATURA NA ATIVIDADE DE

UMA ENZIMA

Estudo de Caso:

Augusto, A C.S.; Costa, F.A.A. e Rodrigues, M.I.

Laboratório de Engenharia de Bioprocessos

FEA – UNICAMP, 2002

a) Estudo de uma variável por vez (10 ensaios):

Ensaios a 40oC a

diferentes valores de pH

Ensaios a pH 4,0 e diferentes

valores de temperatura

pH

Atividade

(U/mL)

Temperatura

(oC)

Atividade

(U/mL)

3,0

251

30

158

4,0

274

40

292

5,0

236

50

393

6,0

149

60

456

7,0

53

70

215


pH

Ati

vid

ad

e (

U/m

L)

50

100

150

200

250

300

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5

Temperatura ( o

C)

Ati

vid

ad

e (

U/m

L)

100

200

300

400

500

25 35 45 55 65 75

Atividade enzimática em

função

(a) pH (temperatura de 40o C)

(b) da temperatura (pH igual a 4,0)

b) Estudo Fatorial (25 ensaios):

T=30oC

T=40oC

T=50oC

T=60oC

T=70oC

pH

Ativ.

(U/mL)

pH

Ativ.

(U/mL)

pH

Ativ.

(U/mL)

pH

Ativ.

(U/mL)

pH

Ativ.

(U/mL)

3

162

3

277

3

295

3

61

3

34

4

158

4

287

4

384

4

504

4

409

5

122

5

267

5

346

5

425

5

361

6

68

6

159

6

218

6

253

6

30

7

25

7

51

7

53

7

26

7

3


30

40

50

60

70

pH

Ati

vid

ad

e (

U/m

L)

0

100

200

300

400

500

600

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5

Comportamento da atividade enzimática em diferentes pH e

temperaturas (o C)


Delineamento Experimental

Fatorial 2K (dois níveis)


Experimentos com Delineamento Fatorial 2K

Os delineamentos com esquema fatorial 2K, ocorrem

quando temos K fatores, todos com dois níveis (-1 e +1).

Delineamentos deste tipo são muito utilizados em

laboratórios e locais onde as fontes externas de variação

são, geralmente muito bem controladas.

Eles apresentam uma vantagem incontestável: fornecem o

maior número possível de graus de liberdade para o

resíduo (erro).


a.1) Delineamento Fatorial 2K com repetições (replicatas genuínas) :

Suponha um experimento para estudar a atividade enzimática em função do pH

(fator A) e da temperatura (fator B), ambos avaliados em dois níveis que

denominaremos apenas de baixo (-1) e alto (+1), realizados em triplicata (três

repetições), conforme descrito na Tabela 02.

Tabela 02: Atividades Enzimáticas (U/mL), segundo o pH e a temperatura

Ensaios

Fatores

Tratamentos

Repetições

Totais

Ativ.

Enzim.

(Média) pH (A) Temp. (B) 1 2 3

1 3 (-1) 30 (-1) 1 218 212 170 600 200

2 7 (+1) 30 (-1) a 67 73 76 216 72

3 3 (-1) 70 (+1) b 402 399 411 1212 404

4 7 (+1) 70 (+1) ab 222 258 270 750 250


Uma descrição esquemática dos resultados desse experimento pode ser

visualizado na Figura 04.

Figura 04: Representação Esquemática dos Resultados Obtidos


a.1.1) Delineamento Fatorial 2K com repetições (Cálculo dos Efeitos

Principais dos Fatores e da Interação sobre as Respostas) -

O efeito principal de um fator ”A” pode ser entendido como a variação

causada na resposta, quando percorremos todos os níveis de ”A”,

independente dos demais fatores.

No exemplo em questão podemos estimar o efeito principal do pH como a

diferença entre as atividades enzimáticas médias no nível alto e o nível

baixo do pH. Considerando a Figura 04, podemos obter:

2

)1(

2

babayyApH pHpH

Figura

00,14100,30200,161 pHpH

Figura yyApH

A passagem do pH do

nível (-1) para (+1), levou

uma diminuição de

141,00 U/mL na média da

atividade enzimática.




De modo análogo, para o efeito principal da temperatura (fator B):

2

)1(

2ˆ.

aabbyyBTemp TT

Figura

A passagem da Temp.

do nível (-1) para (+1),

levou uma acréscimo de

190,00 U/mL na média

da atividade enzimática.

00,19100,13600,327ˆ. TT

Figura yyBTemp




Neste modelo simples, temos apenas uma interação de primeira ordem,

isto é, uma interação entre os níveis de dois fatores. A estimativa do efeito

da interação pode ser obtida através da Figura 04 como a diferença entre

as médias determinadas pelas diagonais principal e secundária.

2

1

22

1 abbabaabABpH x Temp. Figura

132

25040472200ˆ

BApH x Temp. Figura

Efeito de Interação

entre os fatores pH e

Temperatura.


a.1.2) Ajuste do Modelo

O modelo linear em relação aos parâmetros estudados é

dado pela equação:

jjjjijr xxxxy 211222110 .

Onde: x1 e x2 são as variáveis independentes.


a.1.2) Ajuste do Modelo

Os parâmetros 0, 1, 2 e 12 do modelo de regressão, que serão

estimados através do método dos mínimos quadrados.

Para fins práticos, a estimativas de 0 é a média geral das respostas:

50,231

4

1363273021610

y

As estimativas dos demais parâmetros são iguais às metades das

estimativas dos efeitos correspondentes:

50,62

13

2

50,952

191

2

50,702

00,141

2

12

2

1

BA

B

A

Assim, o modelo ajustado é:

.*50,65,9550,7050,231 TemppHTemppHyijr


a.1.3) Análise de Variância (Contrastes e Soma dos Quadrados)

As somas dos quadrados podem ser obtidas elevando-se ao quadrado a

estimativa do contraste e, dividindo-se o resultado pelo produto entre a

soma de quadrados dos coeficientes do contraste e o número de

repetições (Tabela 03).

Contrastes Totais Valor dos

Contrastes

Soma dos

Quadrados do

Coeficiente

216+750-600-1212 -846 4

1212+750-600-216 1146 4

750+600-216-1212 -78 4

aabbB )1(

baabBA )1(

babaA )1(

Tabela 03: Atividades Enzimáticas (U/mL), Contrastes Totais

(Considerando Repetições)


a.1.4) Análise de Variância (ANOVA)

Assim, com base na Tabela 03, calcula-se diretamente:

00507

34

78

4

0010944334

1146

4

005964334

846

4

22

22

22

,*r

BAmp.)SQ(pH x TeSQ(AB)

,*r

BSQ(Temp)SQ(B)

,*r

ASQ(pH)SQ(A)

A Soma Quadrática (SQ) Total Corrigida e a SQ Resíduo são calculadas

conforme segue:

00,2736Re

00,172329)50,231(*1200,815436 222

ABSQBSQASQSQTsSQ

ynySQT

c

ijr

ijrc


a.1.4) Delineamento Fatorial 2K com repetições (Análise de Variância -

ANOVA)

A Tabela 04 apresenta a análise de variância (ANOVA) calculados anteriormente.

Fonte de

Variação

Soma dos

Quadrados

(SQ)

Graus de

Liberdade

Média dos

Quadrados

(MQ)

Fcal Hipóteses

pH (A) 59643,00 1 59643,00 174,39 H0: 1=0

(rejeitada)

Temp. (B) 109443,00 1 109443,00 320,01 H0: 2=0

(rejeitada)

pH x Temp.

(AB)

507,00 1 507,00 1,48 H0: 12=0

(aceita)

Resíduo 2736,00 (n-p) 8 342,00 R2=98,41%

n: nº. total de ensaios; p: nº. de

parâmetros do modelo Total 172329,00 (n-1) 11 -

Ftab(1,8 ; 95%)= 5,32 Tabela 04: ANOVA - Atividades Enzimáticas (U/mL)

%,otalVariação T

elo Modeloxplicada pVariação E*%R 4198

172329

507109443596431001002


Anexo 2

a.1.4) Análise de Variância (Interpretação)

Observa-se pela Tabela 04 que o efeito de interação pH x

temperatura não foi significativo (Ftab < Fcal) e que os efeitos

principais de pH e da temperatura foram altamente

significativos. Em outras palavras, se aceita a hipótese H0:

12=0 (aceita).

Se, e apenas se, o efeito de interação não for significativo

poderemos interpretar isoladamente cada efeito principal.


a.1.5) Delineamento Fatorial 2K com repetições (Estimativas das

Variâncias e Erro Padrão – Efeitos)

A estimativa das variâncias para as variáveis codificadas é dada pela

equação abaixo:

00,1143

342Re)ˆ(

r

sQMyyVarAVar pHpH

Assim, uma estimativa do erro padrão da estimativa do fator A (pH), é

dado por:

68,1000,114ˆ Aep


a.1.5) Delineamento Fatorial 2K com repetições (Estimativas das

Variâncias e Erro Padrão – Efeitos)

De modo análogo podem ser obtidas as estimativas dos erros padrões

das estimativas de B (temperatura) e de AB (interação), conforme valores

apresentados na Tabela 05.

Para a constante (média), temos:

34,550,28

50,2812

00,342Re)(

yep

n

sQMyVar


a.1.6) Delineamento Fatorial 2K com repetições (t calculado e

Intervalo de Confiança – Efeitos)

Os valores de tcalc são obtidos pela equação abaixo:

eptcalc

Então, para a média, o pH, a temperatura e a interação temos,

respectivamente:

-1,22

10,68

13,00-

BAep

BA t; 17,89

10,68

191,00

Bep

Bt

-13,2110,68

141,00-

Aep

A t43,36;

5,34

231,50

yep

yt

calccalc

calccalc


a.1.6) Delineamento Fatorial 2K com repetições (t calculado e

Intervalo de Confiança – Efeitos)

Para a estimativa do intervalo de confiança, aplica-se a equação abaixo:

6724001368103120013

672400191681031200191

672400141681031200141

33125023134531250231

95

95

95

95

95895

,,,.,,pHxTemp.IC

,,,.,,Temp.IC

,,,.,,pHIC

,,,.,,yIC

θeptθθIC

%

%

%

%

%;%


Anexo 1 ttab(8 g.l. ; 95%)= 2,31

a.1.6) t calculado e Intervalo de Confiança – Estimativa dos Efeitos

A Tabela 05 apresenta o erro padrão, tcalc e os limites de confiança dos

efeitos de cada fator calculados anteriormente.

Fatores Efeitos Erro

Padrão

tcalc Limite

Inferior

(95%)

Limite

Superior

(95%)

Média 231,50 5,34 43,36 219,19 243,81

pH -141,00 10,68 -13,21 -165,62 -116,38

Temperatura 191,00 10,68 17,89 166,38 215,62

pH x Temp. -13,00 10,68 -1,22 -37,62 11,62

Tabela 05: Erro padrão e limites de confiança dos Efeitos

ttab(8 g.l. ; 95%)= 2,31


Pelos dados da tabela 05 pode-se notar que o único valor de tcalc que

pertence à região de aceitação de H0 é aquele relativo à interação. Tais

resultados podem ser descritos no Diagrama de Pareto.

Os valores absolutos de tcalc, também denominados efeitos

padronizados, fornecem as alturas das barras que por sua vez são

dispostas de modo decrescente.

O valor de ttab (2,31) completa o diagrama fornecendo o valor a partir do

qual os efeitos são significativos, como pode ser visto na Figura 04.


a.1.7) Delineamento Fatorial 2K com repetições - Diagrama de Pareto

a.1.7) Delineamento Fatorial 2K com repetições - Diagrama de Pareto

Figura 04: Diagrama de Pareto


Pareto Chart of Standardized Effects; Variable: Atividade Enzimática (U/mL)

2**(2-0) design; MS Pure Error=342,

DV: Atividade Enzimática (U/mL)

-1,21756

-13,2059

17,88879

p=,05

Standardized Effect Estimate (Absolute Value)

1by2

(1)pH

(2)Temp. (ºC)

-1,21756

a.1.8) Delineamento Fatorial 2K com repetições (Valores preditos pelo

modelo)

Figura 05: Valores Preditos versus Observados


Observed vs. Predicted Values



0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Observed Values

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Pre

dic

ted

Va

lue

s

a.1.9) Delineamento Fatorial 2K com repetições -

Superfície de Respostas e Curvas de Contorno

A descrição gráfica do modelo ajustado anteriormente é

conhecida como superfície de repostas (Figura 06), bem

como a projeção de seus cortes sobre o plano dos fatores

gerando as curvas de contorno (Figura 07), é muito útil na

interpretação dos resultados e na otimização do processo em

questão.


a.1.9) Delineamento Fatorial 2K com repetições - Superfície de

Respostas e Curvas de Contorno

Figura 06: Superfície de Resposta

Experimentos Fatoriais

Fitted Surface; Variable: Atividade Enzimática (U/mL)



> 400

< 340

< 240

< 140

< 40

2,53,0

3,54,0

4,55,0

5,56,0

6,57,0

7,5

pH

2530

3540

4550

5560

6570

75

Temp. (ºC)

0

100

200

300

400

500

Ativid

ad

e E

nzim

átic

a (U

/mL)

z=128;375-27;125*x+5;5875*y-;1625*x*y+0;

Figura 07: Curvas de Contorno

Experimentos Fatoriais


Respostas e Curvas de Contorno Fitted Surface; Variable: Atividade Enzimática (U/mL)



> 400

< 390

< 340

< 290

< 240

< 190

< 140

< 90

< 40

2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5

pH

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

Te

mp

. (º

C)

z=128;375-27;125*x+5;5875*y-;1625*x*y+0;


Respostas e Curvas de Contorno

Pelas Figuras 06 e 07 observa-se que nos intervalos estudados, as

maiores atividades enzimáticas ocorreram para níveis baixos de pH e

altos níveis de temperatura.

Condições Otimizadas:

pH: 2,5 ~4,5

Temp.: 50 ~ 75ºC


a.2) Delineamento Fatorial 2K sem repetições:

Para apresentar os conceitos que serão expostos neste item, estaremos

supondo que no exemplo anterior o pesquisador tenha feito o experimento

apenas uma única vez, ou registrado apenas as médias das observações.

Neste contexto temos apenas quatro respostas conforme apresentado na

Tabela 06.

Tabela 06: Atividades Enzimáticas (U/mL), segundo o pH e a temperatura

Ensaios

Fatores

Tratamentos Ativ. Enzimática

Média (Totais) pH (A) Temp. (B)

1 3 (-1) 30 (-1) 1 200

2 7 (+1) 30 (-1) a 72

3 3 (-1) 70 (+1) b 404

4 7 (+1) 70 (+1) ab 250


a.2.1) Delineamento Fatorial 2K sem repetições (Efeitos e Coeficientes):

É fácil verificar, utilizando os conceitos empregados no item a.1, que as

estimativas dos efeitos e os coeficientes do modelo são idênticas àquelas já

obtidas considerando as repetições (triplicata), como pode ser visto na Tabela 07.

Tabela 07: Atividades Enzimáticas (U/mL), Efeitos e Coeficientes (Sem

Repetições)

Fatores Efeitos Coeficientes do Modelo

Média (Constante) 231,50 231,50

pH -141,00 -70,50

Temperatura 191,00 95,50

pH x Temp. -13,00 -6,50


a.2.2) Delineamento Fatorial 2K sem repetições (Contrastes e Soma

dos Quadrados):

O valor dos contrastes e a soma dos quadrados são apresentados na

Tabela 08.

Contrastes Totais Valor dos

Contrastes

Soma dos

Quadrados do

Coeficiente

72+250-200-404 -282 4

404+250-200-72 382 4

250+200-72-404 -26 4

aabbB )1(

baabBA )1(

babaA )1(

Tabela 08: Atividades Enzimáticas (U/mL), Contrastes Totais (sem

repetições)


a.2.3) Delineamento Fatorial 2K sem repetições (ANOVA):

Assim, com base na Tabela 08, calcula-se diretamente:

169

14

26

4

3648114

382

4

1988114

282

4

22

22

22

*r

BAmp.)SQ(pH x TeSQ(AB)

*r

BSQ(Temp)SQ(B)

*r

ASQ(pH)SQ(A)


conforme segue:

zeroABSQBSQASQSQTsSQ

ynySQT

c

ijr

ijrc

Re

56531)50,231(*4270900 222



A Tabela 09 apresenta a análise de variância (ANOVA), sem considerar as

repetições.

Fonte de

Variação

Soma dos

Quadrados

(SQ)

Graus de

Liberdade

Média dos

Quadrados

(MQ)

Fcal Hipóteses

pH (A) 19881,00 1 19881,00 - -

Temp. (B) 36481,00 1 36481,00 - -

Ph x Temp.

(AB)

169,00 1 169,00 - -

Resíduo 0 (n-p) 0 0 R2=100,00%

n: nº. total de ensaios; p: nº.

de parâmetros do modelo Total 56531,00 (n-1) 3 -

Tabela 09: Tabela ANOVA - Atividades Enzimáticas (U/mL) sem repetições

%otalVariação T

elo Modeloxplicada pVariação E*%R 00,100

56531

16936481198811001002



A partir dos dados da Tabela 09 podemos observar que não temos graus

de liberdades para o resíduo, indicando é impossível efetuar qualquer

inferência sobre as repostas, evidenciando que apenas a estatística

descritiva é permitido em tal situação. Em outras palavras, se não há

resíduo então não há erro padrão e, portanto, não é possível construir

estimativas por intervalos, testes de hipótese (t e F) ou obter previsões.

Assim sendo, mesmo que possamos apresentar o modelo com os

coeficientes da Tabela 07 e construir as superfícies de respostas e as

curvas de contorno, mas não há qualquer valor científico nisso, além da

descrição da amostra.


a.2.4) Delineamento Fatorial 2K sem repetições (Diagrama de Pareto)

Figura 08: Diagrama de Pareto


Pareto Chart of Effects; Variable: Atividade Enzimática (U/mL)

2**(2-0) design


-13,

-141,

191,

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Effect Estimate (Absolute Value)

1by2

(1)pH

(2)Temp. (ºC)

a.3) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central:

Para tornar possível o uso, ao menos aproximada, da inferência

estatística, é usual serem feitos alguns ensaios no ponto central do

espaço experimental. Com tal procedimento estaremos viabilizando o

cálculo dos resíduos, e consequentemente do erro padrão e das

estimativas por intervalo, viabilizando assim os testes de hipóteses (t e F).

Suponhamos que no exemplo anterior sejam feitos três ensaios no ponto

central, conforme indicado na Tabela 10.


a.3) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central:

Ensaios

Fatores

Tratamentos

Atividade

Enzimática

(U/mL) pH (A) Temp. (B)

1 3 (-1) 30 (-1) 1 200

2 7 (+1) 30 (-1) a 72

3 3 (-1) 70 (+1) b 404

4 7 (+1) 70 (+1) ab 250

5 (C) 5 (0) 50 (0) - 150

6 (C) 5 (0) 50 (0) - 140

7 (C) 5 (0) 50 (0) - 160

Média 196,57

Tabela 10: DOE - Adição de Ensaios no Ponto Central


a.3.1) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (Ajuste

do Modelo):

Observa-se que agora, torna-se possível estimar algum resíduo, embora

de modo rudimentar, pois temos apenas 3 repetições adicionais.

Para estimar os resíduos são mantidos os coeficientes de regressão

obtido anteriormente no item a.1.2, exceto a constante, que é calculada

com a nova média geral das atividades enzimáticas (resposta).

O modelo é dado pela equação abaixo:

.*5,65,9550,7057,196 TemppHTemppHAtividade


a.3.2) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central

(ANOVA):


conforme visto anteriormente:

711158600169003648100198817168117Re

Re

7168117571967338596222

,,,,,sSQ

ABSQBSQASQSQTsSQ

,,*ynySQT

c

ijr

ijrc


a.3.2) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (ANOVA

- SS Residual):

Fonte de

Variação

Soma dos

Quadrados

(SQ)

Graus de

Liberdade

Média dos

Quadrados

(MQ)

Fcal Hipóteses

pH (A) 19881,00 1 19881,00 5,14 H0: 1=0

(aceita)

Temp. (B) 36481,00 1 36481,00 9,45 H0: 2=0

(aceita)

pH x Temp.

(AB)

169,00 1 169,00 0,04 H0: 12=0

(aceita)

Resíduo 11586,71 (n-p) 3 3862,24 R2=82,99%

n: nº. total de ensaios; p: nº. de

parâmetros do modelo Total 68117,71 (n-1) 6 -

Ftab(1,3 ; 95%)= 10,13 Tabela 11: ANOVA - Atividades Enzimáticas (U/mL) Ponto Central

%otalVariação T

elo Modeloxplicada pVariação E*%R 99,82

71,68117

16936481198811001002


Anexo 2

a.3.3) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (Erros):

Os erros padrões, para a constante e para os demais efeitos são

calculados de modo análogo aos já obtidos anteriormente.

Para a constante, temos:

49,237

24,3862Re)(

n

sQMyep

Para os demais efeitos, temos:

15,621

24,3862Re)()()(

r

sQMABepBepAep


a.3.3) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (Erros):

A Tabela 12 apresenta o erro padrão, tcalc e os limites de confiança dos

efeitos de cada fator calculados anteriormente.

Fatores Efeitos Erro Padrão tcalc

Média 196,57 23,49 8,37*

pH -141,00 62,15 -2,27

Temperatura 191,00 62,15 3,07

pH x Temp. -13,00 62,15 -0,21

Tabela 12: Erro padrão dos Efeitos (delineamento com ponto central)

ttab(3 g.l. ; 95%)= 3,18

* Significativo ao nível de 95%


Anexo 1

a.3.4) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (Gráfico

de Pareto):

Figura 09: Gráfico de Pareto (SS Residual)



2**(2-0) design; MS Residual=3862,238


-,209182

-2,26882

3,073363

p=,05


1by2

(1)pH

(2)Temp. (ºC)

-2,26882

3,073363

a.3.2) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (ANOVA

– Erro Puro):

Tabela 13: ANOVA - Atividades Enzimáticas (U/mL) - Ponto Central


Anexo 2 F0,95; 1; 2 = 18,51

Fonte de

Variação

Soma dos

Quadrados

(SQ)

Graus de

Liberdade

Média dos

Quadrados

(MQ)

Fcal

pH (A) 19881,00 1 19881,00 198,81

Temp. (B) 36481,00 1 36481,00 364,81

pH x Temp. (AB) 169,00 1 169,00 1,69

Falta de Ajuste 11386,71 (m-p) 1 11386,71 113,87

Erro Puro 200,00 (n-m) 2 100,00 R2=82,99%

Total 68117,71 (n-1) 6

nº. total de ensaios (n=7); nº. de parâmetros do modelo (p=4); nº de níveis distintos (m=5)

a.3.4) Delineamento Fatorial 2K com adição de ponto central (Gráfico

de Pareto):

Figura 10: Gráfico de Pareto (Erro Puro)





-1,3

-14,1

19,1

p=,05


1by2

(1)pH

(2)Temp. (ºC)

-1,3

DELINEAMENTO

COMPOSTO CENTRAL

ROTACIONAL

Central Composite Design


Planejamento Composto Central (Central Composite Design):

Um Delineamento Composto Central que tem pontos axiais definidos é

denominado de Delineamento Composto Central Rotacional (DCCR).

O Planejamento composto central (Central Composite Design) deve ser

utilizado quando se quiser verificar a curvatura de um plano; ou seja;

quando se quiser verificar a existência de termos quadráticos no modelo

de regressão.

De modo geral este tipo de planejamento consiste de uma parte referente

ao planejamento fatorial com 2K ensaios fatorias + 2K ensaios em pontos

axiais ou estrelas (ns) + um número arbitrário de repetições no ponto

central (nc).Onde: K – nº. de fatores


Planejamento Composto Central (Central Composite Design)

A rotabilidade () depende do nº. de pontos na porção fatorial do

planejamento, e é dado pela equação abaixo:

41

2K

Tabela 14: Valor de em função do nº. de fatores

Nº. da Fatores (k) Porção Fatorial

2 22 22/4 = 1,414

3 23 23/4 = 1,682

4 24 24/4 = 2,00

5 25 25/4 = 2,378


Planejamento Composto Central (Central Composite Design):

A Figura 10 apresenta os pontos do planejamento composto central para

o caso de 2 fatores (variáveis independentes).

Figura 11: Pontos experimentais para o planejamento composto central



Planejamento Composto Central Rotacional

ESTUDO DE CASO 1 (Atividade Enzimática)

Ensaios pH Temperatura (ºC) Atividade

Enzimática (U/mL)

1 -1,00 (3,6) -1,00 (36) 272

2 -1,00 (3,6) 1,00 (64) 457

3 1,00 (6,4) -1,00 (36) 83

4 1,00 (6,4) 1,00 (64) 16

5 -1,41 (3,0) 0,00 (50) 360

6 1,41 (7,0) 0,00 (50) 83

7 0,00 (5,0) -1,41 (30) 132

8 0,00 (5,0) 1,41 (70) 328

9 (C) 0,00 (5,0) 0,00 (50) 396

10 (C) 0,00 (5,0) 0,00 (50) 412

11 (C) 0,00 (5,0) 0,00 (50) 393

12 (C) 0,00 (5,0) 0,00 (50) 371


Planejamento Composto Central Rotacional:

Ajuste do Modelo

O modelo quadrático que correlaciona os

parâmetros estudados é dado pela equação:

TpHTTpHpHAtividade *6319,8640,4944,9072,127393 22

F0,95; 5; 6 = 4,4 e F0,95; 3; 3 = 9,28


Planejamento Composto Central Rotacional:

ANOVA

Fonte de

Variação

Soma dos

Quadrados

(SQ)

Graus de

Liberdade

Média dos

Quadrados

(MQ)

Fcal

Regressão 249153,5 (p-1) 5 49830,70 25,29

Resíduo 11820,8 (n-p) 6 1970,13

Falta de Ajuste 10966,8 (m-p) 3 36655,60 129,06

Erro Puro 854 (n-m) 3 284,67 R2=95,47%

Total 260974,3 (n-1) 11

Tabela 15: Tabela ANOVA - Atividades Enzimáticas (U/mL) DCCR

nº. total de ensaios (n=12); nº. de parâmetros do modelo (p=6); nº de níveis distintos (m=9)

Anexo 2


Figura 12: Gráfico de Pareto (Central Composite Design)



2 factors, 1 Blocks, 12 Runs; MS Residual=1970,132


-2,83872

3,147812

-4,91232

-5,15455

-8,13854

p=,05


1Lby2L

(2)Temperatura (ºC)(L)

Temperatura (ºC)(Q)

pH(Q)

(1)pH(L)

-2,83872

3,147812

-4,91232

-5,15455


Figura 13: Valores Preditos versus Observados


Observed vs. Predicted Values



-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

Observed Values

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Pre

dic

ted

Va

lue

s


Figura 14: Superfície de Resposta (Central Composite Design)





> 400

< 300

< 100

< -100

< -300

< -500

2,53,0

3,54,0

4,55,0

5,56,0

6,57,0

7,5

pH

2530354045505560657075

Temperatura (ºC)

-600-400-200

0

200

400

600

Ativ

idade E

nzim

átic

a (U

/mL)

Figura 15: Curvas de Contorno (Central Composite Design)






> 400

< 300

< 100

< -100

< -300

< -500

2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5

pH

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

Te

mp

era

tura

(ºC

)

REFERÊNCIAS:

BARROS NETO, B.; SCARMINIO, I. S.; BRUNS, R.

E. Planejamento e Otimização de Experimentos.

Campinas: Editora da UNICAMP, 1995.

MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle

Estatístico da Qualidade, 4º edição, Rio de

Janeiro: Editora LTC, 2009.

Rodrigues , M. Isabel e Iemma, A. Francisco.

Planejamento de Experimentos e Otimização de

Processos, Campinas: Editora Casa do Pão, 2ª.

edição, 2009.

ANEXO 1 (Tabela t Student)

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http://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=0QZIgdqNsEryQM&tbnid=3R2EWwSYmdrFBM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://renatoaulasparticulares.com.br/Interv_conf.htm&ei=IagSUumbHKan2AXdloHwCQ&psig=AFQjCNGrvBDa6rKHKw5DngE6nGeN-oNsNw&ust=1377040801556561

ANEXO 2 (Tabela F de Fisher - 95% confiança)

Slide 49

Slide 74

Slide 86

Slide 78

mini curso # 4: estatística para bioquímica e biotecnologia · alimentos algumas áreas de...

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