eng309 – fenômenos de transporte iii

ENG309 – Fenômenos de Transporte III

Prof. Dr. Marcelo José Pirani

Departamento de Engenharia Mecânica

UFBA – Universidade Federal da Bahia

CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE

Introdução

Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionário, ou seja, dependente do tempo.

Objetivo

● Desenvolver procedimentos para determinar a dependência da distribuição de temperaturas no interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo transiente;

● Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança.

CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE

5.1. Método da Capacitância Global

convsai qE

acuE

Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente

Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente.

Rcond pequena

Rconv grande

acu ent sai gE E E E

sdT

Vc hA T Tdt

s

Vc d

hA dt

i

t

s 0

Vc ddt

hA

T T

Aplicando a equação da Energia

Fazendo

Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais et 0 iT(0) T

i iT Tonde

(5.1)

(5.2)

(5.4)

(5.3)


s i

Vcln t

hA

Efetuando as integrações

ou

(5.6)

(5.5)


shAt

Vc

i i

T Te

T T

i

s

Vct ln

hA

t t ts s

Vc 1Vc R C

hA hA

Interpretando como uma constante de

tempo térmica:sVc / hA

(5.7)


onde tR

tC- Resistência a transferência de calor por convecção

- Capacitância térmica global do sólido

A distribuição de temperatura fica:


s

1t

Vc

hA

i i

T Te

T T

t t

1t

R C

i i

T Te

T T

t

1t

i i

T Te

T T

Qualquer aumento em Rt ou Ct

causará uma resposta mais lenta

do sólido a mudanças em seu

ambiente térmico.

Esse comportamento é análogo ao decaimento da voltagem que ocorre quando uma capacitor é descarregado através de um resistor em um circuito elétrico RC

t t

s0 0

Q qdt hA dt Para determinar o total de energia transferida Q

Substituindo da equação (5.6)


integrando

shAt tVc

s io

Q hA e dt

shA

tVc

iQ Vc 1 e

Obs.:

tt atat

0 0

ee dt

a

ou

ou ainda


s

1t

VchA

iQ Vc 1 e

t t

tR C

iQ Vc 1 e

finalmente

t

t

iQ Vc 1 e

(5.8a)


Q está relacionada com a variação de energia interna do sólido

acuQ E (5.8b)

t

1t

acu iE Vc 1 e

Seja considerada a figura a seguir

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

Para regime estacionário

s1 s2 s2kA

T T hA T TL

Rearranjando

s1 s2 cond

s2 conv

L / kAT T R hLBi

T T 1/ hA R k

hLBi

k

onde

É o Número de Biot

(5.9)

Para a utilização do Método da Capacitância Global, deve-se ter:


chLBi 0,1

k (5.10)

Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido

Bi

onde

cL Escala de comprimento correspondente a máxima diferença espacial de temperatura


Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido

Bi


onde

Por conveniência define-se:

cs

VL

A

V

sA

Volume do sólido

Área superficial do sólido


Escrevendo o expoente da equação em função de Lc

Retomando a equação (5.6)

shAt

Vc

i i

T Te

T T

s

c

hA t ht

Vc cL

Multiplicando o numerador e o denominador por Lck

s c c2 2

c c c

hA t hL hLht k t t

Vc cL k c kL L


shA tBi Fo

Vc

Então Bi Fo

i i

T Te

T T

s c2c

hA t hL t

Vc k L

Definindo e lembrando que resulta: 2c

tFo

L

chL

Bik

(5.13)

Exemplo 5.1

Uma placa de alumínio [k=160W/(moC), =2790 kg/m3, cp=0,88kJ/(kg oC) ] com L=3cm de espessura e uma temperatura uniforme T0=225 oC é repentinamente imersa em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante Too =25 oC. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m2 oC). Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50oC.

Exemplo 5.1

Verificação do número de Biot

A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor que 0,1

cV L.A L

L 1,5 cmA 2.A 2

sh.L 320.0,015Bi 0,03

k 160

s

c

hhAtt

cLVc

i i

T Te e

T T

Utilizando a equação (5.6)

Exemplo 5.1

substituindo os valores

t 239 s 4min

i

s

Vct ln

hA

2790.880.0,015 225 25t ln

320 50 25

c icLt ln

h

Exercícios

Exercício 5.5 do Incropera

Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento lento até 400K em um ambiente com ar a T∞=325K e h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam k=40W/mK, =7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento.

Exercícios

Exercício 5.7 do Incropera

O coeficiente de transferência de calor para o ar escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela observação do comportamento dinâmico da temperatura de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera que possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oC antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a temperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfície externa da esfera indica 55oC após 69s da inserção da esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de calor.

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global

Seja considerada a figura a seguir

acu

sVizinhançavizT


Aplicando o balanço de energia, tem-se:

s s,a g conv rad s(c,r)dT

q A E q q A Vcdt

4 4s s,a g viz s(c,r)

dTq A E h T T T T A Vc

dt

(5.14)

(5.15)

asA ,


Uma solução exata pode ser encontrada, admitindo-se a ausência de fluxo térmico, de geração de energia e de convecção na equação (5.15), ou seja:

4 4s,r viz

dTVc A T T

dt

Separando as variáveis e aplicando a integral

i

t Ts,r

4 4vizo T

A dTdt

Vc (T T )

(5.16)

(5.17)


Efetuando a integral, resulta:

1 1viz viz i i3

viz viz i viz vizs,r viz

T T T TVc T Tt ln ln 2 tg tg

T T T T T T4 A T

Obs.: 14 4 3 3

dx 1 x a 1 xln tg

x a ax a 4a 2a

(5.18)

Repetindo a equação

i

t Ts,r

4 4vizo T

A dTdt

Vc (T T )


Para a situação onde Tviz=0 (radiação para o espaço infinito) , da equação (5.17)

i

t Ts,r

4 4vizo T

A dTdt

Vc (T T )

i

t Ts,r

4o T

A dTdt

Vc T

3 3s,r i

Vc 1 1t

3 A T T

Resolvendo, tem-se:

(5.19)


Outra situação onde se pode encontrar uma solução exata ocorre se, na equação (5.15), for desprezada a radiação e se h for independente do tempo. Nessa situação:

Onde: , e

da b 0

dt

schAa

Vc s s,a g(q A E )

bVc

(5.20)

4 4s s,a g viz s(c,r)

dTq A E h T T T T A Vc

dt

(5.15)

T T


Eliminando a não homogeneidade pela introdução da transformação:

da b 0

dt

b

a

da 0

dt

Torna-se:

Separando as variáveis e integrando de 0 até t ( até )i

at

ie

(5.21)

(5.22)

(5.23)


Substituindo as definições de e ,

at

i

T T (b / a)e

T T (b / a)

Donde

at at

i i

T T b / ae 1 e

T T T T

(5.24)

(5.25)

5.4. Efeitos Espaciais

Quando os gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis a aplicação do Método da Capacitância Global é inadequada e outras alternativas de abordagem devem ser utilizadas.

Em problemas de condução transiente de calor uma alternativa é a solução da equação do calor desenvolvida no Capítulo 2.

No caso de coordenadas retangulares a equação de calor tem a forma:

pT T T T

k k k q cx x y y z z t

(2.17)


2

2

T 1 T

tx

iT(x,0) T

x 0

T0

x

x L

Tk h[T(L,t) T ]

x

Considerando uma parede plana, sistema unidimensional, sem geração interna e k constante, a equação de calor toma a forma:

(5.26)

Para resolver a equação (5.26) é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno:

(5.27)

(5.28)

(5.29)


As temperaturas na parede dependem de uma série de parâmetros físicos, como segue:

iT T(x, t,T ,T ,L,k, ,h)

Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar o tratamento do problema a adimensionalização das equações pode ser utilizada, como segue:


i i

T T*

T T

xx*

L

2

tt* Fo

L

Temperaturas adimensional

Coordenada espacial adimensional

Tempo adimensional


2

2

* *

Fox*

*(x*,0) 1

x* 1

*Bi *(1, t*)

x*

A equação da condução de calor juntamente com as condições de contorno na forma adimensional tomam a forma

x* 0

*0

x*

Condições iniciais e de contorno.

(5.34)

(5.35)

(5.36)

(5.37)


A dependência funcional fica:

(5.38)* f (x*,Fo,Bi)

iT T(x, t,T ,T ,L,k, ,h)

Comparando com a equação (5.30)

Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função universal de ex*,Fo Bi

5.5. A Parede Plana com Convecção

Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperatura inicial uniforme submetido subitamente a condições convectivas.


5.5.1. Solução exata

A solução da equação (5.34) com as condições iniciais e de contorno dadas pelas equações de (3.35), (5.36) e (5.37) é dada por:

2n Fo

n n

n 1

* C e cos( x*)

Onde:

nn

n n

4senC

2 sen(2 )

n ntg Bi

2

tFo

L

(5.39a)

(5.39b)

(5.39c)


5.5.2. Solução aproximada

21 Fo

1 1* C e cos( x*)

*o 1* cos( x*)

21 Fo*

o 1C e

ou

onde

(5.40a)

Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série

11

1 1

4senC

2 sen(2 )

1 1tg Bi

(5.40b)


5.5.3. Transferência total de energia

ent sai acuE E E

Q [E(t) E(0)]

iQ c[T(x, t) T ]dV

fazendo: entE 0

acuE E(t) E(0)

segue

ou

saiE Q



iQ c[T(x, t) T ]dV Adimensionalisando com a grandeza

o iQ cV(T T )

resulta

Utilizando * dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:

i

o i

Q [T(x, t) T ] dV 1(1 *) dV

Q T T V V

*1o

o 1

Q sen1

Q

5.6. Sistemas Radiais com Convecção

Para um cilindro ou uma esfera com raio ro (Figura 5.6b) inicialmente a uma temperatura uniforme, resultados semelhantes aos obtidos para parede plana podem ser obtidos.

Figura 5.6b: Cilindro infinito ou esfera.


5.6.1. Soluções Exatas

1n

noFo

n *)r(JeC*2n

)(J)(J

)(J2C

n21n

2o

n1

nn

Bi)(J

)(J

n0

n1n

2or

tFo

k

rhBi o

J1 e Jo são funções de Bessel

Cilindro Infinito (válido para L/ro10)

(5.47a)

(5.47b)

(5.47c)


5.6.1. Soluções Exatas

1n

nn

Fon *)r(sen

*r

1eC*

2n

)2(sen2

)cos()(sen4C

nn

nnnn

Bi)(gcot1 nn

2or

tFo

k

rhBi o

Esfera

(5.48a)

(5.48b)

(5.48c)


5.6.1. Soluções Aproximadas

*)r(JeC* 1oFo

1

21

Cilindro Infinito (Válida para Fo 0,2)

*)r(J* 1o*o

Fo1

*o

21eC

(5.49a)

(5.49b)

(5.49c)

2or

tFo


5.6.1. Soluções Aproximadas

*)r(sen*r

1eC* 1

1

Fo1

21

Esfera (Válida para Fo 0,2)

*)r(sen*r

1* 1

1

*o

Fo1

*o

21eC

(5.50a)

(5. 50b)

(5. 50c)

2or

tFo


5.6.1. Soluções Aproximadas Coeficientes 1 e C1 para parede plana, cilindro e esfera


)(J2

1Q

Q11

1

*o

o

)cos()(sen3

1Q

Q1113

1

*o

o

Cilindro Infinito

Esfera

(5.51)

(5.52)

EXERCÍCIOS

Exercício 5.37 - Incropera

Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com 100mm de espessura (=7830kg/m3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200oC e deve ser aquecida a uma temperatura máxima de 550oC. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde produtos de combustão a T∞=800oC mantém um coeficiente de transferência de calor de h=250W/m2K em ambas as superfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno?

EXERCÍCIOS

Exercício – Prova de 2008.1Considerar o processo de preparação de ovos cozidos. Um ovo comum pode ser aproximado por uma esfera com 55mm de diâmetro e propriedades iguais as da água (=999kg/m3, c=4184J/kgK, k=0,598W/mK). Inicialmente, os ovos apresentam temperatura uniforme, igual a 6oC, quando são colocados em água fervente, a 100oC. O coeficiente de transferência de calor da água em ebulição é estimado em 1400W/m2oC e os ovos podem ser considerados cozidos depois de permanecer um minuto com temperatura mínima de 75oC. Contudo, o aquecimento acima de 80oC leva a um endurecimento indesejado do produto.

a) Admitindo que seja válido, aplicar o método da capacitância global para determinar o tempo mínimo de cozimento dos ovos e se os mesmos terão endurecido demais até o final do processo;

b) Levando em conta os efeitos espaciais, determinar o tempo mínimo de cozimento;

c) Admitindo que o resultado do item anterior seja 20 minutos (pode não ser), determinar qual a espessura da camada que fica endurecida demais no processo;

d) Discutir, tendo como base as resistências de condução e de convecção da superfície, qual a validade das soluções obtidas nos itens anteriores.

5.7. Sólido Semi-Infinito

Idealização de um sólido finito de grande espessura

Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.


Governado pela Equação (5.26)

2

2

T 1 T

tx

iT(x,0) T

(5.26)

(5.27)

iT(x ,0) T (5.53)


Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito para as três condições na superfície


Caso 1: Temperatura na superfície constante sTt,0T

s

i s

T x,t T xerf

T T 2 t

(5.57)

s is

k T Tq

t

(5.58)

Função erro de Gauss tabelada no apêndice Bx

erf2 t


Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante

Caso 3: Convecção na superfície

s oq q

x 0

Tk h T T 0,t

x

2x

4 to oi

2q t / q x xT x,t T e erfc

k k 2 t

2

2h x h t

k ki

i

T x,t T h tx xerfc e erfc

T T k2 t 2 t

(5.59)

(5.60)

Função erro complementar de Gauss erfc 1 erf

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