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8/3/2019 Eng Re Nag Ens

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Engrenagens

Texto de apoio à Unidade Curricular:

Órgãos de Máquinas

da Licenciatura em Engenharia Mecânica - ISEP

Departamento de Engenharia Mecânica

Outubro de 2010



2/68 Engrenagens Órgãos de Máquinas

2010 AJC – v05

ENGRENAGENS

1 Introdução

As engrenagens são quase tão antigas quanto qualquer máquina produzida peloHomem. Rodas dentadas, como as apresentadas na Figura 1.1, foram usadas em templos noaccionamento de portas e mecanismos de elevação de água na China e Índia 2600 a.C. Estasengrenagens eram fabricadas em madeira com os dentes em forma de cavilhas cilíndricas,usando gorduras animais para as lubrificar. Os gregos foram os primeiros a usar dentesmetálicos (400 a.C.).

Com e após a Revolução Industrial assistiu-se à utilização extensiva das rodas dentadasimpondo uma grande exigência e o rápido desenvolvimento deste componente mecânico.

Figura 1.1. Rodas dentadas primitivas.

Uma engrenagem, isto é, um par de rodas dentadas, tem por objectivo a transmissão debinário e de movimento de rotação de um veio (veio mandante ou motor / roda mandante oumotora) para outro veio (veio mandado / roda mandada). A principal característica nestemecanismo é de transmitir movimento de rotação com uma relação constante entre a entradae a saída.



Órgãos de Máquinas Engrenagens 3/68

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2 Classificação das EngrenagensConforme a posição relativa dos dois veios (mandante e mandado) as engrenagens dividem-se

em:- Engrenagens de eixos paralelos- Engrenagens de eixos concorrentes- Engrenagens de eixos não complanares

Mediante a forma dos dentes das engrenagens é, ainda, acrescentada à classificação anteriora forma dos dentes, como por exemplo:

- de dentado recto- de dentado helicoidal

2.1 Engrenagens de eixos paralelos

2.1.1 Dentado rectoEngrenagem com o maior campo de aplicação e também a de mais fácilobtenção.

2.1.2 Cremalheira de dentado rectoEste elemento é equivalente a uma roda dentada recta com um raioinfinito.

2.1.3 Dentado recto interiorEngrenagens cilíndricas mas com os dentes maquinados no interior dacurvatura e são normalmente usadas em sistemas de engrenagensplanetárias.




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2.1.4 Dentado helicoidalEngrenagens cilíndricas com dentes helicoidais. Podem transmitir maiscarga e são mais silenciosas do que as de dentado recto. O principalaspecto negativo é a força axial transmitida ao veio.

2.1.5 Cremalheira de dentado helicoidalPode ser vista como uma parte de uma roda dentada de dentadohelicoidal mas com um raio infinito.

2.1.6 Dentado helicoidal duplaEsta é uma roda dentada com dentes helicoidais com ambas as direcçõesesquerda e direita. Isto permite colmatar o aspecto negativo das rodasdentadas helicoidais usadas isoladamente, equilibrando a força axial.

2.2 Engrenagens de eixos concorrentes

2.2.1 Engrenagem cónica de dentes direitosNestas rodas dentadas os dentes têm elementos cónicos com a mesmadirecção da geratriz do cone primitivo. As engrenagens cónicas de dentes

direitos são as mais simples e mais usadas na família das engrenagenscónicas.

2.2.2 Engrenagem cónica espiralÉ constituída por rodas cónicas de dentes com um ângulo de hélicedos dentes espirais. São rodas mais complexas de obter masapresentam maior capacidade de carga e menor ruído.




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2.3 Engrenagens de eixos não complanares

2.3.1 Parafuso sem-fim roda dentadaO engrenamento é concretizado entre o parafuso sem-fim e uma roda dentadahelicoidal. Esta roda dentada helicoidal difere das normais por “aconchegar”o parafuso sem-fim e só permite a entrada de movimento pelo parafuso sem--fim. A grande vantagem desta engrenagem é oferecer uma grande relação detransmissão num único patamar de engrenamento. A grande desvantagem é o baixorendimento, dadas as grandes forças de atrito desenvolvidas na transmissão de movimento.Isto requer uma boa selecção de materiais e lubrificantes adaptados a estas condições.

2.3.2 Engrenagem cruzada helicoidalÉ constituída por duas rodas dentadas helicoidais com ângulos de héliceopostos, montadas em eixos cruzados. Os eixos podem formar umângulo qualquer. Neste tipo de engrenagem, o contacto entre os dentesé pontual traduzindo-se numa grande limitação na capacidade de carga.

2.4 Perfis de dentado de uma engrenagem

As engrenagens sofreram ao longo dos séculos uma grande evolução. Passou-se de umaconcepção rudimentar, em que as transmissões de binário e velocidade não eram constantes ecom graves deficiências em termos de fiabilidade e durabilidade, para uma concepção onde ocontacto entre superfícies conjugadas permite satisfazer os requisitos de uma transmissãocontínua e permanente, de elevada durabilidade e grande fiabilidade.

Os perfis do dentado que podem ser encontrados em diferentes tipos de aplicação são o perfilem ciclóide (Figura 2.1) e o perfil em arco circular (ou Wildhaber ou Novikov) (Figura 2.2). Osprimeiros são utilizados em relógios e moinhos de fabrico de papel e açúcar, e os segundosem caixas de velocidades para muito baixas rotações. No entanto, o perfil de dentado maiscomum é o perfil em evolvente de círculo (Figura 2.3). Este perfil apresenta vantagens na suautilização, como sejam, não é sensível à variação do entre eixo mantendo a relação detransmissão, o ângulo de pressão mantém-se constante durante o engrenamento resultandoem condições de funcionamento suaves, e as ferramentas para a sua talhagem são maissimples tornando o seu fabrico mais barato.




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Figura 2.1. Perfil em ciclóide.

Figura 2.2. Perfil em arco circular.

Curvaepicicloide

Curvahipocicloide

Circuloprimitivo




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2.4.1 Propriedades de uma evolvente de círculoA Figura 2.3-a mostra como se pode gerar a superfície de um dente em forma de evolvente decírculo. Sobre um cilindroAé enrolado um fiodef (Figura 2.3-a). Considerando no pontob aextremidade de uma caneta, se o fio for enrolado e desenrolado em torno do cilindro, oponto b irá traçar uma curvaac, designada por evolvente.

-a- -b-Figura 2.3. Geração de uma curva em evolvente e a função involuta.

Como pode ser constatado o raio de curvatura da linha em evolvente varia continuamentedesde zero, no ponto a, até, neste caso, um valor máximo no pontoc. No pontob o raio decurvatura é igual ao comprimentoeb. Assim, a linhad é sempre perpendicular, no ponto deintercepção, à evolvente e ao mesmo tempo é tangente ao cilindroA. O círculo sobre o qual aevolvente é gerada é designado por círculo base.Pelas características descritas da evolvente e pela observação da Figura 2.3-b, o comprimentodo arco ac é igual ao comprimento da linhabc. Pode então ser definida a tangente de αααα pelarelação:

Oc

r

Oc

bc c==α tan Eq. 1

que relacionadas com o raio de base (br ) se simplifica obtendo-se

θ θ

α =×

=b

b

r r

tan Eq. 2

Círculo base - A




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e onde cr ( θ ×= bc r r ) representa o raio de curvatura da evolvente emb. Como o ânguloθ é

a soma α α +inv , resulta na definição da involuta de um ângulo (base para o cálculo dequantidades geométricas das rodas dentadas):

α α α −= taninv Eq. 3

2.5 Fundamentos de uma engrenagem

Considerando duas rodas com centros emO1 e O2 (Figura 2.4), é necessário examinar se operfil em evolvente satisfaz os requisitos de transmissão de movimento uniforme. A lei de

engrenamento pode ser sintetizada: “Em cada ponto de contacto, entre os dentes de umaengrenagem, existe uma normal comum que deve passar num ponto fixoI na linha de centrosda engrenagem (pontoI – ver Figura 2.4)”.

Um fio com uma extremidade enrolada no círculo base da roda 1 e a outra extremidadeenrolada no círculo base da roda 2 está a ser desenrolado no sentido horário da roda 1 eenrolado no sentido anti horário na roda 2, mantendo-se tenso entre os pontosT1 e T2. Se foradmitido o pontoMcomo a extremidade de uma caneta, este ponto irá descrever as linhasem evolventecd na roda 1 e ef na roda 2. O pontoMrepresenta o ponto de contacto entre asduas linhas em evolvente, enquanto o comprimentoT1T2 representa a linha de geração. Oponto de contacto move-se ao longo da linha de geração e a linha de geração não mudadirecção, mantendo-se sempre tangente aos círculos de base das duas rodas. Uma vez que alinha de geração é sempre normal às evolventes no ponto de contacto, os requisitos para atransmissão de movimento uniforme são satisfeitos.

A linha de tangencia entre os círculos de base,T1T2, ou linha de geração tem na literaturaespecializada várias outras designações: linha de pressão, linha de acção e linha deengrenamento. Esta linha representa a direcção da força total de contacto entre os dentesdas duas rodas dentadas da engrenagem. O ânguloαααα é chamado de ângulo de pressão e temcomo valor mais comum 20º.




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Figura 2.4. Curvas em envolvente conjugadas.

Quando duas rodas dentadas estão engrenadas os seus círculos primitivos rolam sem deslizarentre si. Se designarmos os raios primitivos porr1 e r2 e as velocidades angulares porω1 e ω2,respectivamente, então as velocidades no primitivo são:

2211 .. ω ω r r v == Eq. 4

podendo ser definida a relação de velocidades angulares por

1

2

2

1

r r

=ω ω Eq. 5

Supondo que se pretende reduzir uma velocidade de rotação de 1800rpm para 1200rpm, istoé, uma relação de transmissão de 3:2. Sendo assim, é necessário que os diâmetros primitivos

entre as duas rodas tenham a mesma relação. A partir dos diâmetros primitivos é possívelobter as diferentes dimensões das rodas dentadas.

Na Figura 2.5, a roda 1 motora roda em sentido anti-horário e nestas condições, o ponto deinício de contacto entre as duas rodas terá lugar quando o flanco da roda 1 contacta com oponto da face do dente da roda 2 (ver Figura 2.5). Esse ponto está representado pelo pontoT1. Traçando uma linha desse ponto ao centro O1 define-se o chamado ângulo deaproximação, entre essa direcção e a direcção que une os centros das duas rodas,O1 e O2.

Círculo de BaseCírculo Primitivo

T1

O1

O2

Roda 1

T2

c

deM

f

Círculode Base

Roda 2

I

α




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Os sucessivos pontos de contacto vão-se posicionando ao longo da linha de pressão até aoúltimo ponto em contacto, ponto T2 (ver Figura 2.5). Este ponto corresponde ao contactoentre o flanco da roda 2 e o ponto da face do dente da roda 1. Traçando a direcção radialdesse ponto ao centro T2, define-se o ângulo de afastamento entre essa direcção e a direcçãoque une os centrosO1 e O2.

Figura 2.5. Ângulo de aproximação e ângulo de afastamento.

Círculo primitivoCírculo de baseCírculo de dedendumPinhão

(Motora)

ngulo deaproximação

ngulo deafastamentongulo de

aproximação

ngulo deafastamento

Roda(Movida)

Linha de pressão

Círculo de addendum

Círculo de addendumCírculo primitivo

Círculo de baseCírculo de dedendum

T1 T2 I




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3 Engrenagens de Eixos Paralelos

3.1 Nomenclatura

A Figura 3.1 representa um sector de uma roda dentada de dentes rectos com a indicação dasseguintes características:

- círculo de base – representa o círculo de geração das superfícies em evolvente dosdentes (diâmetro de base “db”; raio de base “rb”).

- círculo primitivo – representa um círculo teórico (diâmetro primitivo “d”; raioprimitivo “r”); os círculos primitivos numa engrenagem são tangentes.

- passo no primitivo “p” (ou passo circular no primitivo) - é o comprimento do arcomedido sobre o círculo primitivo entre um ponto num dente e outro ponto, na mesmaposição, no dente adjacente. Assim, o passo no primitivo é a soma da espessura do dentemais o espaço entre dentes.

- o módulo “m” – é a razão entre o diâmetro primitivo “d” e o número de dentes daroda dentada “Z”:

( )mm Z d

m = Eq. 6

logo a relação entre o passo e o módulo

π .m p = Eq. 7

Na Tabela 3.1 são apresentados os valores normais do módulo das rodas dentadas, devendo asua escolha ser feita iniciando pelas séries mais baixas (S1, S2 e S3).

- círculo de addendum – define o topo superior do dentado (diâmetro de addendum“da”; raio de addendum “ra”); a distância radial entre o círculo primitivo e o círculo deaddendum define aaltura da cabeça do dente “ha”, sendo o seu valor normal.

mha ×= 0,1 Eq. 8




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- círculo de dedendum – define o topo inferior do dentado (diâmetro de dedendum“df”; raio de dedendum “rf”); a distância radial entre o círculo primitivo e o círculo dededendum define aaltura do pé do dente “hf”, sendo o seu valor normal

mh f ×=25,1

Eq. 9

A distância radial entre o círculo de dedendum e o círculo de addendum define aaltura dodente “h”.Os diâmetros de addendum e de dedendum podem assim ser obtidos por:

aa hd d ×+= 2 Eq. 10

f f hd d ×−= 2 Eq. 11

Num dentado normal e sobre o círculo primitivo a espessura do dente é igual ao espaço entredentes. Logo a espessura do dente é obtida por:

2

.

2

π m ps == Eq. 12

Figura 3.1. Os principais parâmetros geométricos e designações numa roda dentada.




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S1 S2 S3 S1 S2 S30,1 3,5

0,15 3,750,2 4,0

0,25 4,5

0,3 5,00,35 5,50,4 6,0

0,45 6,50,5 7

0,55 80,6 9

0,65 100,7 110,75 12

0,8 140,9 16

1,0 181,25 201,5 22

1,75 252,0 28

2,25 322,5 36

2,75 403,0 45

3,25 50

Tabela 3.1. Valores normais do módulo (mm). A escolha é feita iniciando pela série mais

baixa.




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Resumo:

Figura 3.2. Os principais parâmetros numa engrenagem.

Designação Símbolo FórmulaMódulo mÂngulo de Pressão α

Número de Dentes Z1, Z2 Distância entreeixos

a ( )2

21 m Z Z +

Diâmetro Primitivo d m Z .

Diâmetro de Base db ( )α cos.d Addendum ha m.00,1

Dedendum hf m.25,1

Diâmetro Exterior da md .0,2+

Diâmetro da Raiz df md .5,2−

Tabela 3.2. Cálculo de engrenagens rectas de dentado normal (dimensões em “mm”).




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3.1.1 Engrenamento entre uma roda dentada e uma cremalheiraNos casos em que se fala do engrenamento de uma cremalheira com uma roda dentada, acremalheira é vista como um roda dentada com um diâmetro primitivo infinito. Sendo assim,a cremalheira teria um número infinito de dentes e o seu círculo de base dista de umaquantidade infinita do ponto de tangencia no primitivo. Logo as faces dos dentes emevolvente da cremalheira têm um raio infinito, correspondendo a faces planas que fazem umângulo com a linha de engrenamento igual ao ângulo de pressãoαααα (Figura 3.3). Na figuraverifica-se que as faces equivalentes dos dentes da cremalheira são paralelas e a distânciaentre elas é o passo base e que se relaciona com o passo no primitivo pela equação:

( )α cos. p pb = Eq. 13

Figura 3.3. Engrenamento roda dentada / cremalheira de dentado recto.

α

Passo de base

Passo circular

p




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3.1.2 Engrenamento interiorNa Figura 3.4 está representado o engrenamento entre um pinhão e uma roda de dentadointerior ou anel dentado interior. De salientar que as duas rodas dentadas têm o seu centrodo mesmo lado relativamente ao ponto de tangencia no primitivo. Por isso, a posição doscírculos de addendum e de dedendum estão trocadas. O círculo de addendum da rodadentada interior está do lado de dentro do círculo primitivo e o círculo base também colocadodo lado interior do círculo primitivo.Uma outra observação interessante reside no facto dos diâmetros primitivos defuncionamento não precisam de ser os mesmos usados na definição das respectivas rodasdentadas. No entanto, isso não acontece com a engrenagem representada na Figura 3.4.

Se a distância entre eixos for aumentada, são criados dois novos círculos primitivos defuncionamento com maiores dimensões, isto porque estes têm de ser tangentes. Por isso, éque os círculos primitivos só têm a sua existência quando o par de rodas é colocado emengrenamento.Com a modificação da distância entre eixos não ocorre a alteração dos círculos de base,porque foram estes círculos que definiram os perfis dos dentes. Por isso mesmo é que oscírculos de base são o elemento de definição da roda dentada. Com o aumento da distânciaentre eixos obtém-se o aumento do ângulo de pressão e diminui o comprimento da linha de

acção, mas os pares de dentes engrenados continuam a ser conjugados, contribuindo paragarantir uma transmissão de movimento contínua e sem alteração da relação de velocidadesde rotação.

Figura 3.4. Engrenamento interior de dentado recto.

Círculo dededendum

Círculo primitivo

Círculo de base

Círculos deaddendum

Linha de pressão

Círculo primitivo

Círculode base




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Resumo:

Figura 3.5. Os principais parâmetros numa engrenagem interior.

Designação Símbolo FórmulaMódulo m

Ângulo de Pressão αNúmero de Dentes Z1, Z2 Distância entreeixos

a ( )2

21 m Z Z −

Diâmetro Primitivo d m Z .

Diâmetro de Base db ( )α cos.d

Addendum ha m.00,1

Dedendum hf m.25,1 Altura total h m.25,2

Diâmetro Exteriorda1

da2

md .0,21 +

md .0,22 −

Diâmetro da Raizdf1

df2

hd a .5,21 −

hd a .5,22 +

Tabela 3.3. Cálculo de engrenagens rectas de dentado interior (dimensões em “mm”).




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3.2 Correcção de dentado

Uma roda dentada diz-se com dentado normal se durante a sua obtenção, entenda-semaquinagem ou talhagem, a linha de referência da cremalheira de corte (sobre essa linha aespessura dos dentes é igual a espaço entre os dentes, logo igual a m×π ) coincide com alinha primitiva da roda (ver Figura 3.6). Num outro caso diz-se que a roda é corrigida. Acorrecção poderá ser positiva (linha de referência deslocada para o exterior da linha primitivada roda) ou negativa (linha de referência deslocada para o interior da linha primitiva daroda).

Figura 3.6. Dimensões do dentado normal.

Na execução da correcção de uma roda dentada, a cremalheira de corte é afastada(correcção positiva, Figura 3.7) ou aproximada (correcção negativa, Figura 3.8) de umaquantidade pré determinada. Como resultado, a linha de referência deixa de coincidir com alinha primitiva de corte, modificando a espessura dos dentes e o espaço entre os dentes nalinha primitiva de corte:

se

mh

mh

f

a

=

×≠≠

25,1 Eq. 14

No entanto, o dentado continua com a mesma proporção, isto é:

msemhh f a

×=+×=+

π 25,2 Eq. 15

A espessura do dente e o espaço entre dentes no primitivo:2

mes

×== π

Altura de addendum: mha =

Altura de dedendum: mh f ×= 25,1

Altura do dente: mh ×= 25,2




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Figura 3.7. Correcção positiva de dentado.

Figura 3.8. Correcção negativa de dentado.

Figura 3.9. Correcção positiva de dentado com determinação da espessura dos dentes nalinha primitiva de corte.

Linha de referência

Linha primitiva de corte

m X m +

m X m −×25,1

s

α

m x×=




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Para uma dada correcção positiva m X imposta a uma roda dentada (ver Figura 3.9), a

espessura dos dentes no círculo primitivo é agora calculada pela equação:

α π tan2

2

××+×= m X m

s Eq. 16

em que

m x X m ×= Eq. 17

onde x representa o desvio ou correcção relativa.

3.2.1 Correcção de dentado sem variação de entre-eixoNa análise seguinte é admitido que o engrenamento se faz sem folga, isto é, que as duasfamílias de perfis estão simultaneamente em contacto e que temos duas linhas deengrenamento dispostas simetricamente em relação à tangente comum aos dois primitivos.Considerando em primeiro lugar que não há variação do entre eixo. O engrenamento

apresentado na Figura 3.10 dá-se sem folga ( 1221 ; eses == ), então:

mssmes ×=+⇒×=+ π π 2111 Eq. 18

Como

××+=×××+×= α π α π tan22

tan22

111 xmm xms Eq. 19

e

××+=×××+×

= α π

α π

tan22

tan22

222 xmm xm

s Eq. 20

logo

021 =+ x x Eq. 21

Figura 3.10. Correcção de dentado sem variação do entre-eixo.




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3.2.2 Correcção de dentado com variação de entre-eixoAdmitindo agora que as duas rodas dentadas, o pinhão e a roda, são corrigidos das

quantidades relativas1

x e2

x . Nos primitivos de corte teremos as correspondentes

quantidades de espessura dos dentes e espaço entre dentes definidas por:

××+= α π

tan22

11 xms ;

××−= α π

tan22

11 xme Eq. 22

e

××+= α π

tan22

22 xms ;

××−= α π

tan22

22 xme Eq. 23

Assim, se 21 es > , ou 021 >− es , é necessário afastar as duas rodas dentadas para que oengrenamento seja possível, ou por outras palavras, aumentar o entre eixo. Nestas condições,o entre eixo de funcionamento, 'a , sendo superior ao entre eixo de corte, a , corresponde a

( ) 0tan20 212121 >××+×=−⇔>− α m x xeses Eq. 24

ou

( ) 021 >+ x x Eq. 25

Em conclusão, se a soma algébrica das correcções relativas é positiva, o entre eixo defuncionamento 'a é superior ao entre eixo de corte a . Da mesma forma se demonstra que

para a situação de ( ) 021 <+ x x o entre eixo de funcionamento 'a é inferior ao entre eixo de

corte a .

Nestas condições, com( ) 021 >+ x x ou ( ) 021 <+ x x é necessário conhecer o entre eixo de

funcionamento. Através da expressão de cálculo da espessura do dente medida num círculode qualquer raio, obtém-se as espessuras 1's e 2's sobre os círculos de funcionamento:

( )−+= '2''1

111 α α invinv

r s

r s Eq. 26

( )−+= '2''2

222 α α invinv

r

sr s Eq. 27




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Para as condições de um engrenamento correcto

'cos

cos'''' 21 α

α π π ××=×==+ mm pss Eq. 28

substituindo nesta última equação os valores de 1's , 2's , 1s e 2s

( ) ( ) ( )[ ]'cos

cos'tan2

'cos

cos2121 α

α π α α α π α α ××=−×+++××+×× minvinv Z Z x xm Eq. 29

e simplificando resulta em( )( )21

21tan2' Z Z x x

invinv++

××+= α α α Eq. 30

O entre eixo de funcionamento pode ser então calculado recorrendo à expressão:

'cos

cos'

α α ×= aa Eq. 31

No entanto alguns cuidados são necessários para garantir determinadas condições de

engrenamento, em especial neste caso a folga normalizada no fundo dos dentes, mc ×= 25,0 .

Assim, é essencial reduzir a altura dos dentes de uma quantidadeK para permitir a folganormalizada,

'1 aamK −=× Eq. 32

com

( ) m x xaa ×++= 211 Eq. 33

Substituindo a Eq. 31 e a Eq. 33 na Eq. 32 e simplificando obtém-se:

( )v B BamK −×=× Eq. 34

com( )

( )21

212

Z Z x x

B+

+×= Eq. 35

e

−= 1

'cos

cos

α

α v B Eq. 36




AJC – v05 2010

Ou seja, a correcção a afectar a altura de addendum vem:

( )v B B Z Z

K −×+

=2

21 Eq. 37

sendo os diâmetros agora obtidos por

( )K x Z md a .2.22 111 −++×= Eq. 38

e

( )K x Z md a .2.22 222 −++×= Eq. 39

3.2.3 InterferênciaDa Figura 3.11, verifica-se que o comprimento máximo na linha de contacto é limitado aocomprimento (T-T’). Qualquer círculo de addendum de uma roda que se estende para além datangente definida pelos pontos (T-T'), é não só inútil, como também interfere com a raiz dodente com que vai engrenar.

Figura 3.11. Comprimento máximo na linha de engrenamento.




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A partir da geometria do comprimento máximo de contacto (T-T’, Figura 3.11), é evidenteque a interferência se verifica em primeiro lugar pelo contacto do topo dos dentes da roda(maior número de dentes) sobre os flancos dos dentes do pinhão (menor número de dentes).Como a altura de addendum tem um valor normalizado (ha = m), a condição de interferênciatorna-se mais severa quanto maior for o número de dentes da roda. O limite é atingidoquando o número de dentes tende para infinito, ou de uma outra forma, quando a roda setransforma numa cremalheira.Nestas condições, durante o corte de rodas com buril cremalheira são atingidas condições deinterferência. Porém o buril engrena e corta simultaneamente e desafoga a região em quedevia verificar-se a interferência de funcionamento. Como resultado, o perfil de dente ficacomposto por um arco de evolvente e outro de trocoide (ver Figura 3.12). O pinhão obtido

nestas condições não terá qualquer interferência de funcionamento quando engrenado comuma roda, qualquer que seja o seu número de dentes. No entanto tem como principaldesvantagem a diminuição de sua resistência devida à perda de suporte na raiz dos dentes.

Figura 3.12. Geração de uma roda dentada normalizada (Z = 10 e αααα = 20º).

A condição para que não ocorra o corte excessivo na raiz dos dentes é dada pela expressão(ver Figura 3.12):

altura máxima de addendum α 2sin2

. Z mha ≤ Eq. 40

buril cremalheira




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permitindo determinar o número mínimo de dentes para o qual existe a possibilidade deocorrência de interferência

α 2sin

2≥c Z Eq. 41

Para o caso mais comum, com um ângulo de pressão igual a 20º, o número mínimo de dentespara que não ocorra interferência é de 17 dentes.

3.2.4 EscorregamentoNuma engrenagem, o movimento relativo entre os perfis dos dentes durante o engrenamento

não é de rolamento puro. Há um escorregamento relativo entre os pontos em contacto. NaFigura 3.13 o pontoM representa o ponto de contacto entre os dentes em cada instantedurante o engrenamento. Definindo a velocidade do pontoMpertencente ao pinhão:

M Ov M 111 ×= ω Eq. 42

e pertencente à roda

M Ov M 222 ×= ω Eq. 43

Figura 3.13. Velocidades relativas durante o engrenamento.

1ω

M O11 ×ω

1O

2O

2ω

1T

2T M O 22 ×ω M

2r v

1r v

I

2θ

1θ

2br

1br




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Projectando as duas velocidades na direcção da linha de engrenamento, a que corresponde àvelocidade de avanço do pontoMsobre esta recta e que são iguais,

2211

222111 coscosbb r r

M O M O×=×⇔

⇔××=××ω ω

θ ω θ ω Eq. 44

e projectando na direcção perpendicular à linha de engrenamento (ou na direcção datangente comum das duas superfícies em evoluta), a que corresponde à velocidade derolamento das duas superfícies,

M T M Ovr 111111 sin ×=××= ω θ ω Eq. 45

M T M Ovr 222222 sin ×=××= ω θ ω Eq. 46

A velocidade de escorregamento dos pontosM1 e M2 (na posiçãoM) é definida porvg:

M T M T vvv r r g 221121 ×−×=−= ω ω Eq. 47

e o escorregamento específico em cada roda dentada obtido pela relação, para o pinhão

M T

M T M T v

vvg

r

r r s

11

2211

1

211

××−×

=−

=ω

ω ω Eq. 48

e para a roda

M T

M T M T

v

vv

g r

r r

s22

2211

2

21

2 ×

×−×

=

−

= ω

ω ω

Eq. 49

Constata-se que o desgaste das superfícies dos dentes das rodas dentadas é tanto maiorquanto maior o escorregamento específico e é mais pronunciado no pinhão, tornando-se maisacentuado com o aumento da relação Z2/Z1. Os pontos críticos do escorregamento específicosão os pontos de início e fim do engrenamento (ver Figura 3.14).




AJC – v05 2010

Figura 3.14. Variação dos escorregamentos específicos do início (ponto A) ao fim doengrenamento (ponto B).

3.2.5 Motivações para a correcção de dentado

Os principais motivos que levam à correcção de dentado são:

1- a interferência entre os perfis durante o engrenamento ou na própria geração dodentado;

2- o desgaste excessivo no pinhão relativamente aos dentes da roda, sendo necessáriofazer o equilíbrio dos escorregamentos específicos;

3- quando é imposto um determinado entre eixo diferente do entre eixo de talhagem.

Para a correcção de dentado no 1º motivo (interferência) já foi determinado qual o númeromínimo de dentes (Eq. 41) para a evitar a interferência. Pretendendo-se obter uma roda

dentada nas condições de c Z Z < sem interferência de corte, bastará impor uma correcção

tal que:

( )c

c

Z Z Z x −= Eq. 50

1ω

1O

2O

2ω

1T

2T

I

A

B +1

+1

1sg

2sg




2010 AJC – v05

Para a correcção de dentado no 2º motivo (equilibragem dos escorregamentos específicos nospontos extremos de contacto) recorre-se ao ábaco da Figura 3.15, admitindo um ângulo depressão de 20º:

a) ( ) 6021 >+ Z Z - correcção sem variação do entre eixo - 12 x x −=

A partir do número de dentes do pinhão, 1 Z , e da razão de transmissão 12 / Z Z i = , retira-se

do ábaco as correcções simétricas.

b) ( ) 6021 <+ Z Z - correcção com aumento do entre eixo - aa >'

A partir do número de dentes do pinhão, 1 Z , retira-se do ábaco e da curva AB a correcção 1 x ,

e da curva correspondente à razão de transmissão, 12 / Z Z i = , retira-se a correcção 2 x .

Para a correcção de dentado no 3º motivo (entre eixo imposto): por vezes é necessário

engrenar um pinhão 1 Z e uma roda 2 Z com um determinado entre eixo que não corresponde

à soma dos primitivos de corte:

m Z Z

a ×

+

≠ 2'12

Eq. 51

Nestes casos, aplica-se uma correcção de dentado recorrendo às expressões:

α α cos'cos' ×=× aa Eq. 52

e

( )( )21

21tan2' Z Z x xinvinv

++××+= α α α Eq. 53

Para determinar 1 x e 2 x separadamente:

( )12

212

12

122

Z Z Z

x x Z Z Z Z

x+

×+++−

×= λ Eq. 54

com 75,05,0 << λ para as engrenagens redutoras e 0=λ para as engrenagens

multiplicadoras.




AJC – v05 2010

Figura 3.15. Correcções de dentado para equilibragem dos escorregamentos específicos(G. Henriot, “Traité théorique et pratique dês engrenages – Tome 1”, Paris1968).




2010 AJC – v05

3.3 Engrenagens paralelas de dentado helicoidal

As rodas de dentado helicoidal são também usadas para transmitir movimento entre eixosparalelos. O ângulo de hélice na engrenagem é o mesmo para as duas rodas, mas uma rodatem de ter uma hélice direita e a outra roda tem uma hélice esquerda. A forma do dente éuma evolvente helicoidal e é gerada como representado na Figura 3.16. Um pedaço de papel,com a forma de um paralelogramo, enrolado em torno de um cilindro com a sua aresta aformar uma hélice. Ao ser desenrolado cada ponto na aresta do papel irá gerar umaevolvente. A superfície obtida pelas evolventes geradas por cada ponto na aresta forma achamada evolvente helicoidal.

Figura 3.16. Geração de um superfície em evolvente helicoidal.

Numa engrenagem de dentes rectos o contacto inicial entre dois dentes corresponde a uma

linha que se estende ao longo da largura dos dentes e esta linha é paralela aos eixos desuporte da engrenagem. No caso de uma engrenagem de dentes helicoidais o contacto entreos dentes inicia-se num ponto que se vai estendendo ao longo de uma linha conforme oengrenamento vai avançando. Esta linha é agora na diagonal ao longo das faces dos dentes. Éeste engrenamento gradual entre os dentes, isto é, a transmissão gradual de força de umdente para outro, que torna as engrenagens helicoidais com melhor capacidade paratransmitir cargas elevadas a velocidades mais elevadas.

Evolvente

Aresta do paralelogramo

ngulo dehélice

Cilindro base




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O inconveniente nas engrenagens de dentado helicoidal é a aplicação de forças axiais, paraalém das forças radiais, sobre os veios e, consequentemente, sobre os correspondentesapoios. Para as situações em que essas forças são muito elevadas pode ser desejável amontagem de rodas dentadas helicoidais duplas. Uma roda helicoidal dupla é equivalente aduas rodas helicoidais, uma direita e outra esquerda. Durante o engrenamento sãodesenvolvidas forças axiais contrárias resultando numa força axial nula sobre o veio.Quando são montadas duas ou mais rodas dentadas helicoidais num veio, essas devem serseleccionadas, direitas e esquerdas, de forma a produzirem, em conjunto, o menor esforçoaxial.

3.3.1 Fundamentos do dentado helicoidalNo plano de rotação o dente de uma roda helicoidal é em evolvente e todas as relações quelidam com as rodas de dentado recto também se aplicam às helicoidais. No entanto, ainclinação axial dos dentes introduz o ângulo de hélice. Uma vez que o ângulo de hélice variadesde a base da raiz do dente até ao raio exterior, o ângulo de héliceβ é definido como oângulo entre a tangente ao dente helicoidal na intercepção do cilindro primitivo e do perfildo dente e um elemento do cilindro primitivo.

Figura 3.17. Ângulo de hélice numa roda helicoidal.

A direcção dos dentes, definida pelo ânguloβ, é designada por direita ou esquerda, sendoesta definida pela regra da mão direita.Para as rodas dentadas helicoidais existem dois passos que se relacionam – um no plano derotação e outro no plano normal ao dente -, podendo ainda ser definido um passo axial (verFigura 3.18). Os dois passos circulares são definidos e relacionados por:

β cos.t n p p = - passo circular normal Eq. 55

Cilindro primitivoTangente ao dente helicoidal

ngulo dehélice

Eixo da roda




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Figura 3.18. Passos numa roda helicoidal.

O passo circular normal é menor do que o passo aparente t p , no plano de rotação.

Consistente com isto, o módulo normal é menor do que o módulo aparente.O passo axial é definido como a distância entre dois pontos correspondentes em dois dentesadjacentes medida paralelamente ao eixo das rodas (ver Figura 3.18). O passo axial relaciona-se com os passos circulares normal e aparente pelas expressões:

β β

sincot. n

t x

p p p == - passo axial Eq. 56

O passo circular normal, medido na perpendicular aos dentes, n p , quando dividido porπ

obtém-se o módulo normal, nm :

π n

n

pm = Eq. 57

Os perfis dos dentes de uma roda dentada helicoidal com a aplicação do módulo normal,nm ,

e ângulo de pressão normal, nα , pertence ao sistema normal.

3.3.2 Ângulo de pressão no dentado helicoidalPara uma roda dentada helicoidal existe um ângulo de pressão normal,α n, assim como oângulo de pressão no plano de rotação,α t. A Figura 3.19 apresenta a relação entre estesângulos e a qual é expressa pela equação:

β α

α cos

tantan n

t = Eq. 58




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Figura 3.19. Definição dos dois ângulos de pressão.

3.3.3 As proporções do dentado helicoidalAs dimensões do dentado helicoidal seguem os mesmos valores normais das rodas de dentadorecto. Addendum, dedendum e a altura total são os mesmos independentemente se medidosno plano de rotação ou no plano normal. Os valores normais do ângulo de pressão e do passosão normalmente definidos no plano normal, mas podem, no entanto ser definidos no planode rotação.

3.3.4 NomenclaturaOs parâmetros fundamentais na definição de uma engrenagem helicoidal são:

Ângulo de hélice – Ambas as rodas dentadas para poderem engrenar devem ter o mesmoângulo de hélice, no entanto esse ângulo tem direcções opostas para as duas rodas, isto é,uma roda helicoidal é direita e a outra é esquerda.

Diâmetro primitivo – O valor deste diâmetro é obtido da mesma forma como para as rodas dedentado recto. Se o módulo normal estiver envolvido este é função do ângulo de hélice.

β cos

.. n

t

m Z m Z d == Eq. 59

Distância entre centros – utilizando a equação Eq. 59, a distância entre centros de umaengrenagem helicoidal é obtida por:

( ) β cos.2

.21 nm Z Z a

+= Eq. 60

Plano Normal: PABPlano de Rotação: PTW

t




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De salientar que para os parâmetros normais no plano normal, a distância entre centros nãocorresponde a um valor normal quando comparado com as engrenagens rectas. Além disso, amanipulação do ângulo de hélice (β) permite o ajustamento da distância entre centros numagama alargada de valores.

Resumo:

Designação Símbolo FórmulaMódulo normal mn Ângulo de Pressão normal α n

Ângulo de hélice β

Número de Dentes e direcçãoda hélice

Z1 (E)Z2 (D)

Ângulo de Pressão aparente α t

−

β α

cos

tantan 1 n

Distância entre eixos a nm Z Z

.cos.2

21

+ β

Diâmetro Primitivo d β cos

. nm Z

Diâmetro de Base db t d α cos.

Addendum ha nm.00,1

Dedendum hf nm.25,1

Altura total h nm.25,2

Diâmetro Exterior da ahd .0,2+

Diâmetro da Raiz df f a hd .0,2−

Tabela 3.4. Cálculo de engrenagens helicoidais de dentado normal no sistema normal(dimensões em “mm” – “E” = esquerda e “D” = direita).




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4 Engrenagens de eixos concorrentes

4.1 Engrenagens cónicas dentes rectos

Para a transmissão de movimento entre dois eixos concorrentes é necessário aplicar rodasdentadas cónicas. Embora as engrenagens cónicas são normalmente concebidas para atransmissão de movimento entre veios a 90º, estas podem ser produzidas para situações quecobrem uma grande gama de ângulos entre os eixos.A terminologia nestas engrenagens está representada na Figura 4.1. O círculo primitivo nasengrenagens cónicas é definido no topo maior dos dentes, sendo o diâmetro e o passodefinidos nesse mesmo círculo e calculados da mesma forma como para as engrenagens

paralelas de dentes rectos. Os designados ângulos primitivos de cada roda dentada sãodefinidos pelos cones primitivos cujos vértices se encontram no ponto de intercepção doseixos.

Figura 4.1. Principais parâmetros numa engrenagem cónica.

A Figura 4.1 mostra ainda que a forma dos dentes, quando desenhados na parte de trás docone, é idêntica à dos dentes de uma roda dentada recta com um raio igual ao raio primitivo

imaginário, 'r . O número de dentes da roda imaginária é dado por:

Comprimentodo cone

δδδδ2222 Ângulo

primitivo

Diâmetroprimitivo

Conecomplementar

Raio primitivo

imaginário

δδδδ1111

nguloprimitivo

b




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pr

Z '.2

'π

= Eq. 61

Os dentes das engrenagens cónicas são proporcionais de acordo com as normas de proporçõesdas engrenagens paralelas de dentes rectos. No entanto, o ângulo de pressão de todas asnormas para a concepção de rodas cónicas está limitado aos 20º.A relação de transmissão “i” é obtida por diferentes parâmetros:

2

1

2

1

2

1

sin

sin

δ δ

===d d

Z Z

i Eq. 62

onde δ representa o ângulo do primitivo de cada roda.

4.1.1 Cálculos em engrenagens cónicas de dentado recto

Admitindo 1 Z e 2 Z os números de dentes do pinhão e da roda numa engrenagem cónica, com

um ânguloΣ entre os eixos e os ângulos dos primitivos1δ e 2δ , então:

Σ+

Σ=

cos

sintan

1

21

Z Z

δ Eq. 63

Σ+

Σ=

cos

sintan

2

12

Z Z

δ Eq. 64

Como já referido, na maioria dos casos o ângulo entre os veios é de º90=Σ (ver Figura 4.2),simplificando as equações anteriores para:

= −

2

11

1tan

Z

Z δ

Eq. 65

= −

1

212 tan

Z Z

δ Eq. 66

A Figura 4.3 representa o engrenamento, dimensões e ângulos numa engrenagem cónica. Oengrenamento entre rodas cónicas deve ser considerado aos pares, isto é, os ângulos dos

cones primitivos 1δ e 2δ são restringidos pela relação Z1/Z2. Numa vista perpendicular à linha

do cone primitivo, o engrenamento das rodas cónicas é similar ao engrenamento de rodasparalelas de dentado recto.




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Figura 4.2. Ângulo entre os veios com rodas cónicas, Σ .

Figura 4.3. O engrenamento de rodas cónicas. Dimensões e ângulos.




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Designação Símbolo FórmulaÂngulo dos veios

ΣMódulo mÂngulo de Pressão α

Número de Dentes Z1, Z2 Diâmetro Primitivo d m Z .

Ângulo do cone primitivoδ1

δ2

Σ+

Σ−

cos

sintan

1

2

1

Z

Z

1δ −Σ

Altura do cone Re 2

2

sin.2 δ d

Largura da face b Deve ser menor que3

e Rou 10m

Addendum ha m.00,1

Dedendum hf m.25,1

Ângulo de Dedendum θf

−

e

f

Rh1tan

Ângulo de Addendum θa

−

e

a R

h1tan

Ângulo do cone addendum δa aθ δ +

Ângulo do cone de dedendum δf f θ δ −

Diâmetro addendum da δ cos2 ahd +

Diâmetro interior di a

aa

bd

θ δ

cos

sin2−

Tabela 4.1. Cálculo de engrenagens cónicas de dentes rectos (dimensões em “mm”).




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5 Razão de ConduçãoA partir dos pontosa (início de engrenamento) eb (fim de engrenamento) sobre a linha de

engrenamento (ver Figura 5.1), já definidos anteriormente, é possível definir os pontosAe B.Assim, traçando os perfis de evolvente sobre os pontosa e b e fazendo a sua intercepção como círculo primitivo, obtém-se os pontosA e B. Como mostrado, os arcosAI e I B podem serdesignados por arco de aproximação e por arco de afastamento, respectivamente. A somadestes dois comprimentos designa-se por arco de acção (q).

IB AI q += Eq. 67

Figura 5.1. Avaliação da razão de condução.

Considerando o caso em que o arcoq é exactamente igual ao passo da engrenagemp, istocorresponde a que um par de dentes inicia o seu engrenamento (pontoa) e o par de dentes

seguinte termina o seu engrenamento (pontob).Considerando outro caso em que o arco de acção é maior do que o passo, mas não muitomaior, por exemplo pq .2,1= . Neste caso ter-se-á um par de dentes em início de

engrenamento (pontoa) enquanto o par de dentes seguinte ainda se encontra engrenado, istoé, ainda não chegou ao pontob. Embora por um pequeno período de tempo, estarão doispares de dentes engrenados, um na proximidade dea e outro junto a b. Conforme o avançodo engrenamento, o par de dentes junto de b vai cessar o engrenamento enquanto o parjunto de a irá manter o engrenamento como o único par até se repetir novamente o processo.

Arco deaproximação

Círculo primitivo

Movimento


Arco deafastamento

Linha de pressão

α


I




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Deste modo é definida a razão de condução como sendo:

( )α ε α cos. p

L pq ab== Eq. 68

indicando o número médio de pares de dentes em contacto.

Em geral as engrenagens não devem ser concebidas para uma razão de condução inferiores a1,2. As incorrecções na montagem podem conduzir a uma diminuição desta razão decondução, traduzindo-se na maior possibilidade de ocorrências de choque entre os dentes dasrodas que conduzirá a maiores ruídos de funcionamento e ao aparecimento precoce deavarias.Na consideração dos diferentes tipos de engrenagens, a razão de condução é composta por

duas componentes:- razão de condução radial (no plano de rotação, perpendicular aos eixos),α ε

- razão de condução de sobreposição axial, β ε

A razão de condução total é a soma das duas componentes:

β α γ ε ε ε += Eq. 69

No entanto a razão de condução de sobreposição axial só existe em engrenagens com denteshelicoidais ou em espiral.

5.1 Razão de condução radial de engrenagens paralelas de dentes

rectos e helicoidais, α ε

Em situações com razão de condução inadequadas, existem três formas de aumentar essa

razão de condução:- Diminuir o ângulo de pressão, contribuindo para o aumento do comprimento de acçãosobre a linha de engrenamento;

- Aumentar o número de dentes impondo o aumento do diâmetro primitivoconduzindo, também, a um aumento do comprimento de acção sobre a linha deengrenamento;

- Aumentar a altura de trabalho do dente a partir do aumento do addendum que levaao aumento do raio exterior.

Na Tabela 5.1 são apresentadas as equações que permitem determinar a razão de conduçãoradial para engrenagens de eixos paralelos.




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Tipo de Engrenagem Fórmula de cálculo de α ε

Dentadorecto

Roda 1Roda 2

α π

α

cos..

sin.2222

2

2

2

2

2

1

2

1

m

ad d d d

w xbaba −

−

+

−

Eq. 70

Dentadorecto

Roda 1Cremalheira 2

α π

α α

cos..

sin2sin

.

22112

2

1

2

1

m

d m xhd d aba −−

+

−

Eq. 71

Dentadorecto

Roda exterior 1Roda interior 2

α π

α

cos..

sin.2222

2

2

2

2

2

1

2

1

m

ad d d d

w xbaba +

−

−

−

Eq. 72

Dentadohelicoidal

Roda 1Roda 2

t t

wt xbaba

m

ad d d d

α π

α

cos..

sin.2222

22

22

21

21 −

−

+

−

Eq. 73

Tabela 5.1. Equações para o cálculo da razão de condução radial para engrenagens de

eixos paralelos, α ε ( 'α α =w - ângulo de pressão de funcionamento).

Figura 5.2. Razão de condução radial para engrenagens de eixos paralelos, α ε ( 'α α =w ).

Comprimento decontacto




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5.2 Razão de condução radial de engrenagens cónicas de dentes

rectos, α ε

A razão de condução de uma engrenagem cónica de dentes rectos pode ser obtida tendo emconsideração a sua equivalente engrenagem de dentes rectos, quando observada do coneprimitivo de trás de cada roda cónica (ver Figura 4.3). Com esta aproximação, é como setratasse de um engrenamento entre rodas dentadas rectas.A Tabela 5.2 fornece as equações necessárias ao cálculo da razão de condução radial paraengrenagens cónicas de dentes rectos.

Símbolo EquaçãoRaio primitivoimaginário v R

δ cos.2

d Eq. 74

Raio de base daroda equivalente vb R α cos.v R Eq. 75

Raio de addendumda roda equivalente va R av h R + Eq. 76

Razão de condução α ε ( )

α π

α

cos..

sin212

22

22

12

1

m

R R R R R R vvvbvavbva +−−+− Eq. 77

Tabela 5.2. Equações para o cálculo da razão de condução radial para engrenagens

cónicas de dentes rectos, α ε .

5.3 Razão de condução de sobreposição axial, β ε

Nas engrenagens de dentes helicoidais também ocorre uma sobreposição dos dentes nadirecção axial. Esta sobreposição aumenta a razão de condução. Por isso, para as mesmasproporções do dentado entre engrenagens rectas e helicoidais no plano de rotação, ashelicoidais apresentam um incremento significativo da razão de condução. A amplitude dasobreposição axial é directamente proporcional à largura das rodas dentadas (ver Figura 5.3).A razão de condução de sobreposição axial é calculada por:

nm

b

.

sin.

π

β ε β = Eq. 78




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Figura 5.3. Razão de condução axial.

6 Análise de ForçasDurante a análise de forças envolvidas na transmissão de binário entre dois veios ou maisveios, através de engrenagens, será adoptada a nomenclatura seguinte: rodas dentadas serãodefinidas por números (2, 3, 4 ..., onde 1 fica reservado para a estrutura da máquina) e osveios serão designados por letras minúsculas (a, b, c, ...). Assim será fácil de indicar a forçada roda 2 e sobre a roda 3, por F23, ou a força da roda 2 sobre o veio b, por F2b. Nesta

nomenclatura pode ainda ser usado o expoente para a indicação da respectiva direcção daforça: x, y e z, para indicar a direcção sobre um dos eixos cartesianos, ou t, r e a, paraindicar na direcção tangencial, radial e axial, respectivamente.

6.1 Engrenagens paralelas de dentado recto

A Figura 6.1-a representa uma engrenagem, constituída por um pinhão 2, montado num veio

a, que engrena numa roda 3, montada num veio b. O pinhão 2 tem uma velocidade de rotaçãon2, colocando a roda 3 a rodar com uma velocidade n3. Sabendo que as forças de contactoentre os dentes da engrenagem actuam ao longo da linha de acção, o do diagrama de corpolivre de cada roda dentada é construído como representado na Figura 6.1-b. Para além dasforças de contacto entre os dentes, surgem os esforços dos veios sobre as rodas: forças (F) emomentos torsores (T).




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n2 2

3

n3

a

b

- a - - b -

Figura 6.1. Engrenagem paralela de dentado recto: forças e binários.

Para efeitos de cálculo as forças envolvidas podem ser decompostas nas direcções tangenciale radial (ver Figura 6.2). Como se pode constatar, a força tangencial é a componente útil natransmissão de binário e a componente radial sem um fim útil. Admitindo o equilíbrio da rodadentada 2 é possível estabelecer a relação entre o binário e a força tangencial transmitida:

t a F d T 32

22

2×= Eq. 79

Admitindo que o veio a está aplicar uma potência P (Watt, W), isto significa que a forçatangencial entre a roda 2 e 3 é dada por:

( ) N nP

d T

d F a

t

22

2

2

32

22×=×= Eq. 80

onde d2 (m) e n2 (rad/s) representam o diâmetro primitivo e a velocidade de rotação da roda2, respectivamente. Conhecida a força tangencial, a força radial é calculada pela equação:

α tan3232 ×= t r F F Eq. 81

Figura 6.2. D.C.L. do pinhão (projecções radial e tangencial).

α

3

b

23F

3bF

3bT

α

2 a

32F

2aF

2aT

α

2

a

32F

2aF

2aT n2 t F 32

r F 32

t aF 2

r

aF 2




AJC – v05 2010

6.2 Engrenagens paralelas de dentado helicoidal

Na Figura 6.3 é feita uma representação tridimensional das forças que actuam num dente deuma roda de dentado helicoidal. O ponto de aplicação das forças é no primitivo no centro daface do dente. Da análise geométrica da figura, as três componentes da força total F (normal)aplicada ao dente são:

( )nr F F α sin= Eq. 82

( ) ( ) β α coscos nt F F = Eq. 83

( ) ( ) β α sincos na F F = Eq. 84

Normalmente a força conhecida é a força tangencial Ft, sendo as restantes a seremdeterminadas. Então, as equações anteriores podem ser reescritas:

( )t t r F F α tan= Eq. 85

( ) β tant a F F = Eq. 86

( ) ( ) β α coscosn

t F F = Eq. 87

Figura 6.3. Componente da força transmitida numa roda dentada helicoidal.

CírculoPrimitivo

t




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6.3 Engrenagens cónicas

Na determinação das cargas suportadas pelos veios e apoios destes quando a funcionar comrodas cónicas, é usual ser considerada a força tangencial ou força transmitida resultante setodas as forças estivessem concentradas no ponto médio do dente. Na realidade a resultanteencontra-se entre esse ponto médio e a parte mais larga do dente, no entanto o errocometido é pequeno. A força tangencial transmitida é dada por:

med

t

r T

F = Eq. 88

onde T representa o binário e med r é o raio primitivo no ponto médio do dente para a roda

dentada considerada, podendo ser calculado por:

−=

emed R

br r

.21 Eq. 89

Na Figura 6.4 está representada uma roda dentada cónica com a aplicação da forçatransmitida no ponto médio do dente, como referido anteriormente. A força resultante F temtrês componentes: a força tangencial Ft, a força radial Fr, e a força axial Fa. As relaçõestrigonométricas de interesse são:

( ) ( )δ α costant r F F = Eq. 90( ) ( )δ α sintant a F F = Eq. 91

Figura 6.4. Componentes da força transmitida numa roda dentada cónica.

δ




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7 Dimensionamento das rodas dentadas à Flexão e Pressãosuperficial

A análise apresentada é baseada nas especificações da JGMA (Japanese Gear ManufacturerAssociation). No entanto, as equações de definição dos critérios a seguir apresentados émuito idêntica às sugeridas por outras normas (DIN, AFNOR, etc.).As gamas de aplicabilidade das equações de resistência à flexão e à pressão superficial são:

Módulo: m 1,5 a 25mmDiâmetro primitivo: d 25 a 3200mmVelocidade tangencial: v menos de 25m/sVelocidade de rotação: n menos de 3600rpm

7.1 Formulas de conversão: potência, binário e força

A resistência à flexão e à pressão superficial são função da potência e das forças a seremtransmitidas pelas engrenagens. Assim, tendo em atenção às unidades usadas, as equações

que relacionam essas quantidades são:( )kgf

d T

nd p

vP

F ww

t

.2000

.

.1095,1.102 6

=×

== Eq. 92

( )kW nd F vF

P wt t ...

95,1

10

102

. 6−

== Eq. 93

( )mkgf n

Pd F T wt .

.974

2000

.== Eq. 94

com v a velocidade no circulo primitivo (m/s) ( 19100

.nd v

w

= ), wd o diâmetro primitivo de

funcionamento (mm) (em dentado normal d d w = ) e n a velocidade de rotação (rpm).




2010 AJC – v05

7.2 Resistência à flexão de engrenagens paralelas de dentes rectos e

helicoidais

Para a verificação da resistência dos dentes de uma roda dentada à flexão é necessário que aforça tangencial aplicada no círculo primitivo de funcionamento seja inferior à forçatangencial limite, isto é:

limt t F F ≤ Eq. 95

A força tangencial limite é definida pela maior tensão provocada pela flexão que ocorre naraiz do dente ou na base do dedendum. Assim, pode ser escrito:

limF F σ σ ≤ Eq. 96

A determinação da tensão na raiz do dente é baseada na análise de Lewis tratando o dentecomo uma viga encastrada submetida à força de contacto que ocorre entre os dentes numaengrenagem (ver Figura 7.1).

A equação que permite a obtenção de limt F é:

( )kgf SK K

K Y Y Y

bmF

F OV

L

F

nF t

1

...

.limlim

=

β ε

σ Eq. 97

ou em termos de tensão

( )2 / ..... mmkgf S

K K K

bmY Y Y F F

L

OV

n

F t F

= β ε σ Eq. 98

Figura 7.1. Solicitação de um dente (equivalente a uma viga encastrada).

Ft

Fn

Fr




AJC – v05 2010

7.2.1 Determinação dos factores para a equação de resistência à flexão

Para engrenagens com rodas dentadas com larguras diferentes, considerar a mais largawb e a

outra de largura sb . Se:nsw mbb ≤− , nas equações Eq. 97 e Eq. 98 os valores de wb e sb são aplicados directamente;

nsw mbb >− , nas equações Eq. 97 e Eq. 98 para a roda mais larga fazer ns mbb += e para a

mais estreita fazer sbb = .

7.2.2 Factor de forma, F Y Este factor é obtido pela Figura 7.2 em função do número de dentes equivalente ou númerode dentes virtual:

β 3cos

Z Z v = Eq. 99

7.2.3 Factor distribuição de carga, ε Y

Este factor é obtido pelo inverso da razão de condução radial:

α ε ε

1=Y Eq. 100

7.2.4 Factor do ângulo de hélice, β Y O factor do ângulo de hélice é obtido pela equação:

Se º300 ≤≤ β , então120

1β

β −=Y

Se º30> β , então 75,0= β Y Eq. 101




2010 AJC – v05

Figura 7.2. Factor de forma F Y .




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7.2.5 Factor de vida, LK

O factor de vida é obtido pela Tabela 7.1. O número de ciclos significa o número deengrenamentos realizados pelos dentes durante a sua vida útil de funcionamento. Na Tabela7.1:

(1) – Usar esta coluna para rodas dentadas em ferro fundido;(2) – Para rodas dentadas endurecidas por indução, utilizar a dureza interior do dente.

Tabela 7.1. Factor de vida, LK .

7.2.6 Factor de carga dinâmica, vK

O factor de carga dinâmica é obtido pela Tabela 7.2, sendo função da qualidade da rodadentada e da velocidade linear no círculo primitivo. Para os casos em que é conhecida aqualidade definida por outras normas, a Tabela 7.2 dá a indicação da relação entre os grausde qualidade das engrenagens definidas pelas normas mais comuns.

Tabela 7.2. Factor de carga dinâmica, vK .




2010 AJC – v05

InternacionalISO

AlemãDIN

JaponesaJIS

U.S.A.AGMA

4 4 0 135 5 1 126 6 2 117 7 3 108 8 4 99 9 5 8

Tabela 7.3. Relação entre os graus de qualidade das rodas dentadas para algumas normas.

7.2.7 Factor de sobrecarga, OK

O factor de sobrecarga é considerado como sendo o quociente entre a força tangencial

actuante e a força tangencial nominal. Na Tabela 7.4 são fornecidos alguns valores de OK de

orientação.

Tabela 7.4. Factor de sobrecarga, OK .

7.2.8 Factor de segurança,F

S

O factor de segurança normalmente usado é de pelo menos 1,2.

7.2.9 A tensão de flexão admitida na raiz do dente, limF σ

A tensão admissível do material na raiz do dente é função do material e do(s) tratamento(s)

térmico(s). Para a determinação de limF σ é necessário consultar as tabelas dos fabricantes

para a correcta avaliação da força tangencial limite possível de aplicar aos dentes de umaroda dentada.




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7.3 Resistência à pressão superficial de engrenagens paralelas de

dentes rectos e helicoidais

Como referido anteriormente para a resistência à flexão, também para a resistência à pressãosuperficial a força tangencial não deve ultrapassar um determinado limite. Neste caso, a

força tangencial não pode impor tensões de Hertz superiores à permitida pelo material, lim H σ

. Isto é:

lim H H σ σ ≤ Eq. 102

A força tangencial limite, limt F , em kgf, no círculo primitivo é calculada por:

( ) ( )kgf SK K K Z Z Z Z

Z Z Z Z K

uu

bd F H OV H M H

W V R L HL H H t 2

2

12

limlim

1

..

1

...

....

1... β β ε

σ

±= Eq. 103

onde u é a razão do número de dentes na engrenagem (1

2

Z

Z u = ).

A tensão de Hertz na superfície H σ (kgf/mm2) provocada pela força tangencial t F é obtida

por:

( )2

1

/ .......

...1

.mmkgf SK K K

Z Z Z Z K

Z Z Z Z

uu

bd

F H OV H

W V R L HL

M H

H

t H β

β ε σ ±

= Eq. 104

O sinal “+” na Eq. 103 e na Eq. 104 aplica-se aos engrenamentos exteriores e o sinal “-“ aosengrenamentos interiores. Nos casos de engrenamentos com cremalheiras a quantidade

( )1 / ±uu é igual a 1.

7.3.1 Largura dos dentes efectiva, H b , (mm)A largura do dentado numa engrenagem é assumida ser a largura efectiva para o cálculo daresistência à pressão superficial. Para as rodas dentadas que apresentam modificações queinterferem na largura dos dentes, deve, por isso, ser considerada a largura efectiva dodentado.




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7.3.2 Factor de zona, H Z

O factor de zona é definido pela equação:

wt

b

t wt t

wt b H Z

α β

α α α α β

tancos2

cos1

sincoscoscos2

2== Eq. 105

onde

( )t b α β β cos.tantan 1−= Eq. 106

7.3.3 Factor material, M Z

O factor material depende das características elásticas dos materiais de cada roda dentada naengrenagem, sendo obtido por:

−+

−=

2

22

1

21 11

1

E E

Z M υ υ

π

Eq. 107

com υ e E os coeficiente de Poisson e o módulo de Young, respectivamente, dos materiaisenvolvidos. Na Tabela 7.5 são apresentadas algumas das possíveis combinações de materiaisnuma engrenagem.

Tabela 7.5. Factor material, M Z .




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7.3.4 Factor da razão de condução, ε Z

O factor relativo à razão de condução é de 0,1=ε Z para as engrenagens paralelas de

dentado recto. Para o dentado helicoidal é calculado pelas equações:

α

β β ε ε

ε ε +−= 1 Z para 1≤ β ε Eq. 108

α ε ε

1= Z para 1> β ε Eq. 109

7.3.5 Factor do ângulo de hélice, β Z

O valor deste parâmetro é considerado, normalmente, igual a 1,0, não havendo outrainformação.

7.3.6 Factor de vida, HLK O factor de vida reflecte o número de ciclos de tensão. Geralmente, é considerado igual a1,0, quando o número de ciclos é desconhecido. Para as situações em que o número de ciclosé abaixo de 10 milhões, o factor de vida pode ser retirado da Tabela 7.6.

Ciclos de carga Factor de vidamenos do que 105 1,5aprox. 105 1,3aprox. 106 1,15acima de 107 1,0

Tabela 7.6. Factor de vida, HLK .




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7.3.7 Factor do lubrificante, L Z

Este factor é definido a partir da viscosidade cinemática do lubrificante aplicado àtemperatura de 50ºC. O factor do lubrificante pode ser obtido pelo gráfico apresentado naFigura 7.3.

Figura 7.3. Factor do lubrificante, L Z (Normalized gear – incluem rodas dentadas comtempera na massa).

7.3.8 Factor da rugosidade superficial, R Z

Este factor é obtido em função de uma rugosidade média das superfícies dos dentes daengrenagem. A rugosidade média é calculada pela equação:

32max1maxmax

100

2 a

R R R m

+= (µm) Eq. 110

onde 1max R e 2max R representam o valor das rugosidades das superfícies emµm, e a a

distância entre eixos em mm. Com o valor da rugosidade média é então definido o factor darugosidade pelo gráfico da Figura 7.4.

Figura 7.4. Factor da rugosidade superficial, R Z .




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7.3.9 Factor da velocidade de escorregamento, v Z

Este factor é obtido pelo gráfico da Figura 7.5, a partir do conhecimento da velocidade no

primitivo.

Figura 7.5. Factor da velocidade de escorregamento, v Z .

7.3.10 Factor da razão de dureza, w Z

Este factor é só é aplicado à roda dentada que está engrenada com um pinhão que foirecozido na massa. O factor da razão de dureza é obtido por:

1700

1302,1 2 −

−=HB

Z w Eq. 111

onde 2 HB é a dureza Brinell da roda na gama 470130 2 ≤≤ HB . Para os casos com a dureza

da roda fora desta gama é considerado 0,1=w Z .

7.3.11 Factor da distribuição de carga na face do dente, β H K

Para a obtenção deste factor são consideradas duas situações:

a) a distribuição de carga na largura do dentado não é a mais correcta ou desconhecida,

então o factor β H K é obtido pela Tabela 7.7

b) a distribuição de carga na largura do dentado é mais uniforme (veios paralelos e os apoiospróximos das rodas dentadas), neste caso o factor pode ser considerado numa gama:

2,1...0,1= β H K Eq. 112




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Tabela 7.7. Factor de distribuição de carga na face do dente, β H K .

7.3.12 Factor de carga dinâmica, vK

Como já referido para a análise de resistência à flexão, o factor de carga dinâmica é obtidopela Tabela 7.2, sendo função da qualidade da roda dentada e da velocidade linear no círculoprimitivo.

7.3.13 Factor de sobrecarga, OK O factor de sobrecarga é considerado como sendo o quociente entre a força tangencial

actuante e a força tangencial nominal. Na Tabela 7.4 são fornecidos alguns valores de OK de

orientação.

7.3.14 Factor de segurança de “pitting”, H S

O factor de segurança de “pitting” faz intervir muitos factores ambientais e é de difícilobtenção com rigor. Normalmente o valor usado é de pelo menos 1,15.

7.3.15 A tensão de Hertz admissível, lim H σ

Para a definição da tensão máxima de Hertz admissível do material é necessário consultar astabelas dos fabricantes para a correcta avaliação da força tangencial limite possível de

aplicar aos dentes de uma roda dentada.




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8 Fabrico das Rodas DentadasO fabrico das rodas dentadas pode ser dividido em quatro categorias: Conformação Plástica,

Fundição/Injecção, Sinterização e Maquinagem. A maquinagem é ainda subdividida em duascategorias: por ferramentas de forma e por geração do dentado.A qualidade das rodas dentadas obtidas pelos diferentes processos é, normalmente, jásuficiente para a maior parte das aplicações. No entanto existe um processo de maquinagem,a maquinagem de acabamento, que só se justifica para aplicações de alta precisão e muitopouco ruído, pois este processo acarreta maiores custos de execução. As rodas dentadas porconformação têm qualidade inferior às obtidas por maquinagem, com valores de qualidadeDIN inferiores a 11 (norma DIN mais baixo o índice melhor qualidade) ou AGMA superior a 5

(norma AGMA maior o índice melhor qualidade).Os processos são a seguir apresentados de uma forma sucinta.

8.1 Rodas dentadas por conformação plástica

A principal característica destes processos de fabrico é que todos os dentes da roda dentadasão obtidos ao mesmo tempo a partir de um molde ou matriz com a forma do dentado. Aqualidade dos dentes é função da qualidade do molde ou da matriz, sendo normalmenteinferior à qualidade do dentado obtido a partir da maquinagem grosseira ou de acabamento.Este processo de fabrico só se justifica para grandes quantidades dado o preço elevado dasferramentas.

8.1.1 ExtrusãoProcesso usado para produzir os dentes em eixos longos que são previamente cortados emaquinados nos tamanhos desejados. Os materiais mais utilizados são os não ferrosos como osalumínios e ligas de cobre.

8.1.2 Estiramento a frioOs dentes são produzidos quando o material em barra é repuxado através de uma matriz.Obtém-se uma roda dentada muito larga sendo posteriormente cortada, com a largura

necessária, e maquinados o furo e a ranhura para a chaveta.




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8.1.3 EstampagemAs patelas de material são estampadas numa matriz, produzindo rodas dentadas de baixoacabamento superficial e de baixa qualidade. Processo de baixo custo e para grandesquantidades.

8.2 Fundição / Injecção

Assim como para os processos de conformação plástica, a fundição / injecção têm comoprincipal característica o fabrico a obtenção simultânea de todos os dentes da roda dentada,

a partir de um molde com a forma do dentado. A qualidade dos dentes é função da qualidadedo molde, sendo também normalmente inferior à qualidade do dentado obtido a partir damaquinagem grosseira ou de acabamento.

8.2.1 FundiçãoA fundição das rodas dentadas é realizada em moldes de areia (mais barata) ou em matrizesfundidas de vários materiais (custos mais elevados – para produções maiores), sendo a sua

vantagem o baixo custo. A qualidade do dentado é baixa e não é, normalmente, realizadaqualquer operação de acabamento após a fundição. São usadas em brinquedos, pequenoselectrodomésticos e betoneiras onde as folgas e ruídos não impedem o suficiente desempenhonessas aplicações.

8.2.2 Fundição por cera perdidaAs rodas dentadas obtidas são de qualidade razoável (função do padrão usado) e podem ser

realizadas em grande variedade de materiais. O molde é feito de material refractário parasuportar materiais a alta temperatura.

8.2.3 Molde de injecçãoProcesso usado no fabrico de rodas dentadas não metálicas. São realizadas rodas dentadas depequena dimensão e de baixa qualidade, sendo o custo de produção muito baixo.




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8.3 Sinterização

Metais em pó são prensados em moldes metálicos aquecidos (sinterização) com a forma dasrodas dentadas que se pretende obter. A qualidade das rodas dentadas é também função dopadrão usado. Podem ser adicionados pós de outros materiais para melhorar as propriedadesdo material base.

8.4 Maquinagem

A maior parte das rodas dentadas metálicas são feitas a partir da maquinagem do material

fundido, forjado ou de discos laminados a quente.

8.4.1 Maquinagem com ferramentas de formaAs ferramentas de forma têm a forma do espaço entre os dentes. Os dentes são obtidosatravés do movimento axial da ferramenta e a uma profundidade adequada produzindo operfil dos dentes (ver Figura 8.1). Após o corte de um espaço entre dentes a ferramenta édeslocada para a roda tomar a nova posição para o corte de um novo espaço entre dentes. O

processo é repetido até à obtenção de todos os dentes da roda.Este processo é relativamente simples com a possibilidade da geração de diferentes perfis,sendo no entanto uma operação lenta e exigir máquinas ferramentas adequadas.Consequentemente, é um processo indicado para baixas produções.

Figura 8.1. Maquinagem de rodas dentadas com ferramentas de forma.




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8.4.2 Maquinagem por geração do dentadoNo processo de maquinagem por geração do dentado as ferramentas utilizadas são: o pinhãode corte, a cremalheira de corte ou a fresa de corte em espiral – fresa mãe (em inglês: hob).O pinhão de corte está montado num eixo paralelo ao da roda dentada a maquinar, rodandolentamente, estando ambas como uma engrenagem em funcionamento. O movimento derotação é acompanhado pelo movimento axial, recíproco, do pinhão de corte. O corte dematerial pode desenvolver-se tanto na descida como na subida. Este processo pode ser usadona produção quer de pequenas quer de grandes quantidades (ver Figura 8.2).A cremalheira de corte é um segmento de uma cremalheira que tem um movimento paraleloalternativo ao eixo da roda dentada a talhar e simultaneamente avança em torno da roda a

talhar de modo a gerar a superfície do dente. Como não é prático ter mais de 6 a 12 dentesna cremalheira de corte, esta ferramenta tem que ser reposicionada em determinadosintervalos, enquanto a roda dentada a maquinar é mantida fixa. Este reposicionamento podeintroduzir erros na geometria dos dentes, tornando este método menos preciso.A fresa de corte em espiral (fresa mãe) é basicamente um parafuso em que a espiral éinterrompida por ranhuras para formar superfícies de corte. A ferramenta roda em torno doseu eixo que está na perpendicular ao eixo da roda a ser maquinada que por sua vez tambémroda gerando o dentado (ver Figura 8.3). Este processo de maquinagem produz um excelente

acabamento superficial e é um dos mais amplamente usados na obtenção de rodas dentadas.

Figura 8.2. Maquinagem de rodas dentadas por geração do dentado – pinhão de corte.




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Figura 8.3. Maquinagem de rodas dentadas por geração do dentado – fresa mãe.




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8.4.3 Maquinagem de acabamentoEsta operação de maquinagem aplica-se a todos os processos descritos anteriormente quandosão exigidas elevadas qualidades dimensional e superficial das rodas dentadas. Os processosde acabamento são designados por: polimento, rectificação, “brunimento” e lapidação epolimento.A operação de polimento de uma roda dentada usa ferramentas precisas de polimento pararemover pequenas quantidades de material corrigindo os erros de perfil e melhorando oacabamento superficial.Na rectificação são usadas mós de forma permitindo remover pequenas quantidades de

material. Este processo é normalmente aplicado a rodas dentadas que já foram submetidas atratamentos térmicos de endurecimento superficial, corrigindo pequenos erros produzidosdurante esses mesmos tratamentos.No “brunimento” a roda dentada a ser maquinada é engrenada contra outra especialmentetratada. As forças de contacto impostas sobre as superfícies dos dentes são elevadas podendocausar deformações plásticas na roda dentada a ser tratada, contribuindo para omelhoramento da qualidade superficial e também para o endurecimento da própriasuperfície. Este processo também introduz tensões residuais de compressão junto da

superfície dos dentes que se traduzirá no melhor comportamento à fadiga superficial.A lapidação e polimento é realizado com uma roda dentada, normalmente em plástico,impregnada de abrasivos muito finos. O engrenamento entre esta roda dentada e a roda a sermaquinada produz o acabamento superficial necessário e de uma forma rápida.




AJC – v05 2010

9 Bibliografia

- “Traité théorique et pratique dês engrenages”, Georges Henriot, Editora Dunod, 1979, ISBN:2-04-015607-0.

- “Projecto de máquinas”, Robert L. Norton, 2ª Edição, Bookman, 2004, ISBN: 85-636-0273-9.

- “Engrenagens – Cálculo . Controlo Geométrico . Talhagem”, José Manuel Ferreira Jorge,Edições CETOP, Colecção Mecânica Geral, 1983.

- “Mechanical Engineering Design”, Joseph E. Shigley, Charles R. Mischke e Richard G.Budynas, 7ª Edição, Mc Graw Hill, International Edition, 2003, ISBN: 007-123270-2.

- “Fundamentals of Machine Design”, Bernard J. Hamrock, Steven R. Schmid e Bo O.Jacobson. 2ª Edição, Mc Graw Hill, International Edition, 2005, ISBN: 0-07-111368-1.

- “Elements of metric gear technology”, Stock Drive Products / Sterling Instrument staff.

- “Projecto de Órgãos de Máquinas”, C.M. Branco, et al., Fundação Caloustre Gulbenkian,Lisboa, 2005.




2010 AJC – v05

10 Índice

1

Introdução .............................................................................................. 2

2 Classificação das Engrenagens ....................................................................... 3

2.1 Engrenagens de eixos paralelos ................................................................ 3

2.1.1 Dentado recto ............................................................................... 3

2.1.2 Cremalheira de dentado recto............................................................ 3

2.1.3 Dentado recto interior ..................................................................... 3

2.1.4 Dentado helicoidal ......................................................................... 4

2.1.5 Cremalheira de dentado helicoidal ...................................................... 4

2.1.6 Dentado helicoidal dupla .................................................................. 4 2.2 Engrenagens de eixos concorrentes ........................................................... 4

2.2.1 Engrenagem cónica de dentes direitos .................................................. 4

2.2.2 Engrenagem cónica espiral ................................................................ 4

2.3 Engrenagens de eixos não complanares ...................................................... 5

2.3.1 Parafuso sem-fim roda dentada .......................................................... 5

2.3.2 Engrenagem cruzada helicoidal .......................................................... 5

2.4 Perfis de dentado de uma engrenagem ....................................................... 5

2.4.1 Propriedades de uma evolvente de círculo ............................................. 7

2.5 Fundamentos de uma engrenagem ............................................................ 8

3 Engrenagens de Eixos Paralelos .................................................................... 11

3.1 Nomenclatura ................................................................................... 11

3.1.1 Engrenamento entre uma roda dentada e uma cremalheira ........................ 15

3.1.2 Engrenamento interior .................................................................... 16

3.2 Correcção de dentado .......................................................................... 18

3.2.1 Correcção de dentado sem variação de entre-eixo ................................... 20

3.2.2 Correcção de dentado com variação de entre-eixo .................................. 21

3.2.3 Interferência ............................................................................... 23

3.2.4 Escorregamento ............................................................................ 25

3.2.5 Motivações para a correcção de dentado .............................................. 27

3.3 Engrenagens paralelas de dentado helicoidal .............................................. 30

3.3.1 Fundamentos do dentado helicoidal .................................................... 31

3.3.2 Ângulo de pressão no dentado helicoidal .............................................. 32

3.3.3

As proporções do dentado helicoidal ................................................... 33

3.3.4 Nomenclatura .............................................................................. 33




AJC – v05 2010

4 Engrenagens de eixos concorrentes ............................................................... 35

4.1 Engrenagens cónicas dentes rectos .......................................................... 35

4.1.1 Cálculos em engrenagens cónicas de dentado recto ................................. 36

5 Razão de Condução .................................................................................. 39

5.1 Razão de condução radial de engrenagens paralelas de dentes rectos e helicoidais,

α ε 40

5.2 Razão de condução radial de engrenagens cónicas de dentes rectos, α ε .............. 42

5.3 Razão de condução de sobreposição axial, β ε ............................................. 42

6 Análise de Forças ..................................................................................... 43

6.1 Engrenagens paralelas de dentado recto .................................................... 43

6.2

Engrenagens paralelas de dentado helicoidal .............................................. 45

6.3 Engrenagens cónicas ............................................................................ 46

7 Dimensionamento das rodas dentadas à Flexão e Pressão superficial ........................ 47

7.1 Formulas de conversão: potência, binário e força ......................................... 47

7.2 Resistência à flexão de engrenagens paralelas de dentes rectos e helicoidais ........ 48

7.2.1 Determinação dos factores para a equação de resistência à flexão ............... 49

7.2.2 Factor de forma, F Y ...................................................................... 49

7.2.3 Factor distribuição de carga, ε Y ........................................................ 49

7.2.4 Factor do ângulo de hélice, β Y ......................................................... 49

7.2.5 Factor de vida, LK ....................................................................... 51

7.2.6 Factor de carga dinâmica, vK .......................................................... 51

7.2.7 Factor de sobrecarga, OK ............................................................... 52

7.2.8 Factor de segurança, F S ................................................................. 52

7.2.9 A tensão de flexão admitida na raiz do dente, limF σ ................................ 52

7.3 Resistência à pressão superficial de engrenagens paralelas de dentes rectos ehelicoidais ................................................................................................ 53

7.3.1 Largura dos dentes efectiva, H b , (mm) ............................................... 53

7.3.2 Factor de zona, H Z ...................................................................... 54

7.3.3 Factor material, M Z ..................................................................... 54

7.3.4 Factor da razão de condução, ε Z ...................................................... 55

7.3.5

Factor do ângulo de hélice, β Z ........................................................ 55

7.3.6 Factor de vida, HLK ...................................................................... 55




7.3.7 Factor do lubrificante, L Z ............................................................... 56

7.3.8 Factor da rugosidade superficial, R Z .................................................. 56

7.3.9 Factor da velocidade de escorregamento, v Z ........................................ 57

7.3.10 Factor da razão de dureza, w Z ......................................................... 57

7.3.11 Factor da distribuição de carga na face do dente, β H K ............................ 57

7.3.12 Factor de carga dinâmica, vK .......................................................... 58

7.3.13 Factor de sobrecarga, OK ............................................................... 58

7.3.14 Factor de segurança de “pitting”, H S ................................................. 58

7.3.15 A tensão de Hertz admissível, lim H σ ................................................... 58

8 Fabrico das Rodas Dentadas ........................................................................ 59

8.1 Rodas dentadas por conformação plástica .................................................. 59

8.1.1 Extrusão ..................................................................................... 59

8.1.2 Estiramento a frio ......................................................................... 59

8.1.3 Estampagem ................................................................................ 60

8.2 Fundição / Injecção ............................................................................ 60

8.2.1 Fundição .................................................................................... 60

8.2.2 Fundição por cera perdida ............................................................... 60

8.2.3 Molde de injecção ......................................................................... 60

8.3 Sinterização ...................................................................................... 61

8.4 Maquinagem ..................................................................................... 61

8.4.1 Maquinagem com ferramentas de forma ............................................... 61

8.4.2 Maquinagem por geração do dentado .................................................. 62

8.4.3 Maquinagem de acabamento ............................................................. 64

9 Bibliografia ............................................................................................ 65

10

Índice ................................................................................................ 66

eng re nag ens

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