eng 115 - pontes_edição2_r00

8/10/2019 Eng 115 - Pontes_edio2_r00

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2011.1

Prof.

Daniel

de

Souza

Machado

NOTASDEAULA

ENG 115 Pontes

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAESCOLA POLITCNICA

DEPARTAMENTO DE CONSTRUO E ESTRUTURAS

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UniversidadeFederaldaBahiaENG115PontesProf.DanieldeSouzaMachado,MSc

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SUMRIO

PREFCIO...................................................................................................................................................... 4

1INTRODUO

.............................................................................................................................................

5

1.1.1Elementosconstituintesdaspontes...................................................................................................... 6

1.1.2Tiposdepontes..................................................................................................................................... 7

1.1.3Seestransversais............................................................................................................................. 10

2CARREGAMENTOS.................................................................................................................................... 13

2.1CARREGAMENTOSESOLICITAESNASPONTES..................................................................................................... 132.1.1Solicitaesprovocadaspelopesoprpriodaestrutura.................................................................... 13

2.1.2Solicitaesprovocadaspelascargasteis......................................................................................... 13

2.1.3Solicitaesproduzidaspeloselementosnaturais.............................................................................. 13

2.1.4Esforosproduzidospordeformaesinternas.................................................................................. 14

2.2CARGASPERMANENTES..................................................................................................................................... 162.2.1

Peso

prprio

dos

elementos

estruturais

..............................................................................................

16

2.2.2Pavimentao..................................................................................................................................... 16

2.2.3Lastrodetrilhos.................................................................................................................................. 16

2.3CARGASMVEIS.............................................................................................................................................. 172.3.1Rodoviria........................................................................................................................................... 17

2.3.2Ferroviria........................................................................................................................................... 20

2.3.3Aeroviria............................................................................................................................................ 22

2.3.4Cargasrodoviriasnousuais............................................................................................................ 23

2.3.5Consideraodeimpactodevidoscargasmveis............................................................................ 24

2.4FORASHORIZONTAISEMPONTES...................................................................................................................... 252.4.1CarregamentoLongitudinal................................................................................................................ 25

2.4.1.1FrenagemeAcelerao................................................................................................................................. 25

2.4.1.2Empuxo

de

Terra

...........................................................................................................................................

26

2.4.1.3Temperatura.................................................................................................................................................. 282.4.1.4Determinaodarigidezdosapoios............................................................................................................. 292.4.1.5Retrao........................................................................................................................................................ 322.4.1.6Protenso...................................................................................................................................................... 32

2.4.2Carregamentotransversal.................................................................................................................. 32

2.4.2.1ForaCentrfuga............................................................................................................................................ 322.4.2.2Empuxodegua............................................................................................................................................ 342.4.2.3PressodoVento.......................................................................................................................................... 34

3PILARES.................................................................................................................................................... 36

3.1EFEITOSDEPRIMEIRAORDEM............................................................................................................................. 363.2EFEITOSDESEGUNDAORDEM............................................................................................................................. 37

3.3DISPENSADAANLISEDESEGUNDAORDEM..........................................................................................................

38

3.4MTODODOPILARPADROCOMCURVATURAAPROXIMADA................................................................................... 39

4LINHASDEINFLUNCIA............................................................................................................................. 40

4.1VIGASISOSTTICAS........................................................................................................................................... 414.1.1LIdereaes....................................................................................................................................... 41

4.1.2LIdeesforoscortantes...................................................................................................................... 42

4.1.3LIdemomentosfletores...................................................................................................................... 43

4.2VIGASCONTNUAS............................................................................................................................................ 444.3REGRADOSTRAPZIOS(COMPOSTA).................................................................................................................... 45

5VIGAS....................................................................................................................................................... 46

5.1FLEXO..........................................................................................................................................................

46

5.1.1Estadolimiteltimo............................................................................................................................ 46

5.1.2Determinaodareadeaolongitudinal......................................................................................... 46

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UniversidadeFederaldaBahiaENG115Pontes

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5.1.3Larguracolaborante........................................................................................................................... 48

5.1.4Fadiga................................................................................................................................................. 49

5.1.4.1Histriadafalhaporfadiga........................................................................................................................... 495.1.4.2Mecanismosdafadiga................................................................................................................................... 54

5.1.5VerificaosegundoaNBR6118(EstadoLimitedeFadiga)............................................................... 54

5.1.5.1Verificao

da

fadiga

no

concreto

.................................................................................................................

55

5.1.5.2Verificaodafadiganaarmadura................................................................................................................ 57

5.1.6Verificaodafissurao.................................................................................................................... 58

5.1.6.1Estadolimitedeaberturadefissuras(ELSW)............................................................................................... 60

5.2ESFOROCORTANTE......................................................................................................................................... 645.2.1ModelodeclculoI............................................................................................................................. 64

6LAJES........................................................................................................................................................ 66

6.1SUPERFCIESDEINFLUNCIA............................................................................................................................... 676.2TABELASDERSCH........................................................................................................................................... 696.3COMPATIBILIZAODEMOMENTOSFLETORES........................................................................................................ 73

7PONTESCAIXO....................................................................................................................................... 74

7.1TOROEMSEESCAIXO............................................................................................................................... 757.1.1Tubosdeparedesfinascomseotransversalfechada..................................................................... 76

7.1.2Hiptesesdecarregamento................................................................................................................ 79

7.2DIMENSIONAMENTOSEGUNDOANBR6118(2003)............................................................................................. 817.2.1Determinaodaseoresistentedocaixo(seocheia)................................................................ 81

7.2.2Determinaodaseoresistentedocaixo(seovazada)............................................................. 81

7.2.3Verificaodacompressodiagonaldoconcreto.............................................................................. 82

7.2.4Clculodasarmadurasdetoro....................................................................................................... 83

7.2.5Toroeflexo.................................................................................................................................... 83

7.2.6Toroeforacortante....................................................................................................................... 84

BIBLIOGRAFIARECOMENDADA................................................................................................................... 85

ANEXOA

LINHAS

DE

INFLUNCIA

DE

MOMENTOS

FLETORES

PARA

RELAO

DE

VOS

1:1,2:1

(INRCIA

CONSTANTE)............................................................................................................................................... 87

ANEXOBLINHASDEINFLUNCIAESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,2:1(INRCIACONSTANTE)............................................................................................................................................... 92

ANEXOCLINHASDEINFLUNCIADEMOMENTOSFLETORESPARARELAODEVOS1:1,25:1(INRCIACONSTANTE)............................................................................................................................................... 96

ANEXODLINHASDEINFLUNCIADEESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,25:1(INRCIACONSTANTE)............................................................................................................................................... 99

ANEXOEDIAGRAMASDEMOMENTOFLETORESEESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,2:1(INRCIACONSTANTE)CARGASPERMANENTES...................................................................................... 103

CARGADISTRIBUDA............................................................................................................................................. 103CARGASCONCENTRADAS....................................................................................................................................... 104

ANEXOFDIAGRAMASDEMOMENTOFLETORESEESFOROSCORTANTESPARARELAODEVOS1:1,25:1(INRCIACONSTANTE) CARGASPERMANENTES....................................................................................... 106

CARGADISTRIBUDA............................................................................................................................................. 106CARGASCONCENTRADAS....................................................................................................................................... 107

ANEXOGTABELASDERSCH................................................................................................................. 109

ANEXOHTABELASDEZELLERERPARAVIGASCONTNUAS(1:1,2:1E1:1,25:1)......................................... 113

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PREFCIO

Este material apresenta conceitos bsicos necessrios para a iniciao do aluno ouprofissional no projeto de pontes. Baseia-se em bibliografias mais utilizadas para otema Pontes e principalmente em recomendaes das normas brasileiras da ABNT(Associao Brasileira de Normas Tcnicas) e normas internacionais. O material trazapenas a teoria, sendo os exerccios relativos a cada captulo resolvidos em sala deaula na disciplina de ENG 115 Pontes da Universidade Federal da Bahia ministradapelo Professor Daniel Machado. O Professor da disciplina tem mestrado e doutorando na rea de Aerodinmica de Pontes Estaiadas pela Universidade Federaldo Rio Grande do Sul. Trabalha atualmente no projeto estrutural de Obras de ArtesEspeciais.

O presente material encontra-se ainda em reviso ltima reviso:05/01/11)

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1INTRODUO

Pontes so classificadas como Obras de Arte Especiais destinadas a transposio deobstculos sejam eles rios ou vias. Quando a Ponte transpe uma via ou obstculosno constituintes de gua chamado de Viaduto. Em alguns casos como mostra aFigura 1.1, a estrutura pode ser constituda de dois trechos: estrutura principal(ponte) e viadutos de acesso.

Figura 1.1 - Estrutura principal e viadutos de acesso (Pfeil, 1987).

Chamam-se ainda de pontilhes as pontes de pequenos vos. Acima de 5 metros,alguns profissionais j a chamam de pontes. Tanto as pontes quanto os pontilhes sesubordinam aos mesmos procedimentos de projeto.

As pontes podem ser classificadas de acordo com o material estrutural, sendo deconcreto armado ou protendido, metlicas ou mistas. Quanto finalidade podem serrodovirias, ferrovirias ou aerovirias. Quando destinadas ao trfego de pedestres chamada de passarelas.

Quanto ao sistema estrutural podem ser isostticas ou hiperestticas.

Conforme o desenvolvimento dos eixos das pontes pode ser de eixo retilneo oucurvo. possvel ainda classific-las como retas ou esconsas. Nas primeiras, ocruzamento do curso de gua ou vale, pela ponte ser normal aos mesmos e, nosegundo caso, em ngulos diferentes de 90o.

Bueiros diferente das pontes e pontilhes, so obras construdas sob o terraplenode vias, transversalmente ao eixo da estrada e so destinados a passagem de guaspluviais. Os bueiros podem ter sees variveis conforme necessidade da passagem.Tambm projetado usando os procedimentos utilizados em pontes com algumasalteraes dependendo da camada de solo sobre o bueiro.

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Figura 1.2 - Bueiros: (a) de manilhas e (b) feito com quadros rgidos deconcreto armado.

1.1.1Elementos constituintes das pontes

As pontes podem ser divididas em trs partes: superestrutura, mesoestrutura einfraestrutura.

A infraestrutura constituda das fundaes. Pela infraestrutura que so transmitidasas cargas ao terreno. Fazem parte da infraestrutura, os blocos, estacas, sapatas,tubules, etc. assim como qualquer pea de ligao destes elementos.

A mesoestrutura constituda pelos pilares e aparelhos de apoio alm dosencontros. Os pilares transmitem as cargas da superestrutura s fundaes.Transferem esforo infraestrutura como vento, frenagem/ acelerao, corrente degua, etc.

A superestrutura composta pelas lajes e vigas, o elemento de suporte imediatodo estrado, que constitui a parte til da obra.

Os encontros ainda podem ser considerados por alguns engenheiros comomesoestrutura e por outros como infraestrutura. Alm de receber cargas dasuperestrutura resistem ao empuxo dos aterros de acesso e evitam a transmissopara os demais elementos da ponte. A Figura 1.3 mostra uma ponte construdautilizando a soluo de encontros.

Os encontros podem ser dispensados em algumas pontes, nestes casos, o estradoapresenta extremos em balano e, geralmente, os pilares extremos ficam sujeitos aempuxo dos aterros de acesso (Figura 1.4) (Pfeil, 1987).

(a) (b)

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Figura 1.6 - Ponte em viga reta de alma cheia (Pfeil, 1987).

Figura 1.7 - Ponte em viga reta de trelia (Pfeil, 1987).

Figura 1.8 - Ponte em quadro rgido (Pfeil, 1987).

Figura 1.9 Ponte em abbada (arco inferior) (Pfeil, 1987).

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Figura 1.10 - Ponte em arco superior (Pfeil, 1987).

Figura 1.11 - Ponte pnsil (Pfeil, 1987).

Figura 1.12 - Pontes levadias (a) So Petersburgo e (b) Porto Alegre.

Figura 1.13 - Pontes para carregamento aerovirio: Aeroporto de Funchal, na ilha de Madeira-Portugal.

(a) (b)

http://blogs.ua.pt http://3.bp.blogspot.com

http://img171.imageshack.us.comhttp://img171.imageshack.us.com

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Figura 1.14 - (a) Ponte-tnel, liga Dinamarca e Sucia e (b) Ponte-canal na Alemanha sobre o Rio

Elba, prxima a Magdeburgo.

Figura 1.15 - Pontes rolantes para elevao e transporte de cargas: (a) tipo ponte; (b) tipo prtico.

1.1.3Sees transversais

A seo transversal de pontes deve ser fixada conforme gabarito que indicamdimenses horizontais e verticais necessrias para a passagem do automvel ouembarcao sobre/sob a ponte. A largura da seo transversal depender, portantoda largura e quantidade de faixas de rolamento projetada para o trfego,acostamentos e passeios. Para mais detalhes sobre o tema pode-se recorrer aoManual de projeto de obras-de-arte especiais do DNER (1996).

A Figura 1.16 a Figura 1.21 apresentam alguns tipos de sees transversais usuais:

(a) (b)http://3.bp.blogspot.comhttp://www.sinaldetransito.com.br.com

(a) (b)

http://www.mollyn.com.br http://images04.olx.com.br

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Figura 1.16 - Ponte em vigas retas.

Figura 1.17 - Ponte em vigas pr moldadas.

Figura 1.18 - Ponte caixo simples.

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Figura 1.19 - Ponte caixo duplo.

Figura 1.20 - Ponte caixo triplo.

Figura 1.21 - Ponte treliada (seo de uma ponte pnsil).

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2CARREGAMENTOS

2.1CARREGAMENTOS E SOLICITAES NAS PONTES

Para o dimensionamento das pontes em concreto armado e protendido, devem serconsiderados os carregamentos e efeitos diversos que determinam os esforossolicitantes em seus elementos. As solicitaes podem ser agrupadas emdeterminados grupos tais como:

2.1.1

Solicitaes provocadas pelo peso prprio da estrutura

As estruturas das pontes, como quaisquer outras, tm que suportar, alm das cargasexternas, o seu peso prprio. A importncia relativa do peso prprio, no total desolicitaes, depende do material empregado e do vo livre da ponte.

2.1.2Solicitaes provocadas pelas cargas teis

As pontes ou viadutos so feitos coma finalidade de permitir aos veculos atransposio de obstculos (rios, vales, estradas etc.).

Os pesos dos veculos so denominados cargas teis. O movimento dos veculos eas irregularidades das pistas produzem acrscimos nos pesos atuantes; essesacrscimos so denominados efeitos de impacto vertical.

Os veculos fazem atuar nas pontes esforos horizontais longitudinais, devidos frenagem e acelerao. Nas obras em curva, o deslocamento dos veculos produzesforos horizontais transversais, devidos fora centrfuga.

Nas pontes ferrovirias, as folgas entre os trilhos e as abas laterais das rodasproduzem um esforo horizontal transversal denominado impacto lateral.

2.1.3Solicitaes produzidas pelos elementos naturais

Os elementos naturais em contato com a ponte (ar, gua, terra) exercem pressessobre a estrutura, originando solicitaes que devem ser levadas em conta nodimensionamento da obra.

Em pontes com pilares de grande altura (por exemplo, 50m a 100m), as solicitaesprovocadas pelo vento tm grande importncia no dimensionamento dos pilares.

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Em pontes com pilares em rios sujeitos a grandes enchentes, a presso da gua gerasolicitaes considerveis nos pilares, freqentemente agravadas pelo impacto detroncos de rvore trazidos por enxurradas.

Os empuxos de terra so produzidos pelos aterros de acesso obra, dando origema esforos horizontais absorvidos pelos encontros ou pilares da ponte. Osdeslocamentos das fundaes, provocados por deformao do terreno, podemproduzir solicitaes nas obras com estrutura estaticamente indeterminada.

2.1.4Esforos produzidos por deformaes internas

As deformaes internas dos materiais estruturais, produzidos por variaes de

temperatura, retrao ou fluncia do concreto, originam solicitaes parasitrias porvezes importantes, cuja considerao exigida na anlise de estabilidade das obras.

Na moderna conceituao de segurana das estruturas, procura-se definir osparmetros em jogo por critrios estatsticos. No foi possvel, entretanto, at omomento, aplicar os conceitos estatsticos s solicitaes atuantes, pelacomplexidade das mesmas e pela falta de medidas experimentais em grande nmero.

As solicitaes so, ento, fixadas arbitrariamente nas normas, com fundamento emvalores tericos e experimentais. As normas brasileiras fornecem os valores dassolicitaes a adotar no projeto, bem como as cargas mveis de clculo tanto para

pontes rodovirias quanto para ferrovirias. Alm das cargas gerais de clculo,vlidas para todos os elementos da estrutura, as normas fixam ainda cargas especiaispara certos elementos da estrutura, como por exemplo:

a) Carga horizontal sobre guarda-corpos;

b) Carga horizontal sobre guarda-rodas ou barreiras de proteo;

c) Carga horizontal sobre pilares de viadutos, sujeitos a choques

acidentais de veculos.

De acordo com a NBR8681/2003 - AES E SEGURANA NAS ESTRUTURAS,aes so as causas que provocam o aparecimento de esforos ou deformaes nasestruturas. Estas podem ser classificadas em:

a) Aes permanentes: diretas e indiretas;

b) Aes variveis: normais e especiais;

c) Aes excepcionais.

Considerando a norma NBR7187/2003 - PROJETO E EXECUO DE PONTES DECONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, as aes nas pontes podem ser agrupadas daseguinte forma:

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d)Aes permanentes: Aes cujas intensidades podem ser consideradas

como constantes ao longo da vida til da construo. Tambm so

consideradas permanentes as que crescem no tempo, tendendo a um

valor limite constante. As aes permanentes compreendem, entre

outras:

As cargas provenientes do peso prprio dos elementos estruturais;

As cargas provenientes do peso da pavimentao, dos trilhos, dos

dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos

guarda-rodas, dos guarda-corpos e de dispositivos de sinalizao;

Os empuxos de terra e de lquidos;

As foras de protenso;

As deformaes impostas, isto , provocadas por fluncia e

retrao do concreto, por variaes de temperatura e por

deslocamentos de apoios.

b) Aes variveis: Aes de carter transitrio que compreendem, entre

outras:

As cargas mveis;

As cargas de construo;

As cargas de vento;

O empuxo de terra provocado por cargas mveis;

A presso da gua em movimento;

O efeito dinmico do movimento das guas;

As variaes de temperatura.

d)Aes excepcionais: So aquelas cuja ocorrncia se d em

circunstncias anormais. Compreendem os choques de objetos mveis,

as exploses, os fenmenos naturais pouco freqentes, como ventos

ou enchentes catastrficos e sismos, entre outros:

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Choques de objetos mveis;

Outras aes excepcionais.

2.2CARGAS PERMANENTES

Aes estas consideradas como constantes ao longo da vida til da obra.Constituem-se cargas permanentes em pontes: peso prprio dos elementosestruturais, da pavimentao, dos trilhos, dos dormentes, dos lastros, dosrevestimentos, das barreiras, dos guarda-corpos, empuxos de terra e de lquidos,foras de protenso, deformaes impostas (fluncia e retrao), variaes detemperatura e deslocamentos de apoio (NBR 7187, 1987).

2.2.1Peso prprio dos elementos estruturais

O peso especfico a ser tomado para a determinao do peso dos elementosestruturais de no mnimo 24kN/m para o concreto simples e de 25kN/m para oconcreto armado ou protendido.

2.2.2Pavimentao

Para pavimentao o peso especfico mnimo deve ser adotado 24kN/m, prevendo-se uma carga adicional de 2kN/m para atender a um eventual recapeamento. Oproprietrio da obra pode dispensar esta carga de 2kN/m no caso de obras degrandes vos.

2.2.3Lastro de trilhos

Para lastros de ferrovias deve ser considerado um peso especfico aparente de18kN/m. Deve supor que o lastro atinja o nvel superior dos dormentes e preenchacompletamente o espao limitado pelos guarda-lastros, at o seu bordo superior,mesmo se na seo transversal do projeto no for indicado desta forma. Na ausnciade indicaes precisas, a carga referente aos dormentes, trilhos e acessrios deveser considerada, no mnimo, igual a 8kN/m por via. Para valores detalhados pode-sefazer referncia a Tabela 2.1.

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Tabela 2.1 Massas especficas (Pfeil, 1980).

Materiais Massa especfica [kN/m]

Ao estrutural de trilhos 78,5

Dormentes de madeira 12,5

Dormentes de concreto 24,0

Lastro de pedra 17,0

2.3CARGAS MVEIS

A norma que orienta o projetista na determinao de cargas mveis para pontes epassarelas de pedestres a NBR 7188/1984 CARGA MVEL EM PONTERODOVIRIA E PASSARELA DE PEDESTRES.

Carga mvel o sistema de cargas que representa valores caractersticos decarregamentos provenientes do trfego e que a estrutura est sujeita em servio

NBR 7188 (1984). Refere-se tambm carga mvel de uma ponte como TREM-TIPO.

2.3.1Rodoviria

As cargas podem ser classificadas em classes:

a) Classe 45: Representada por um veculo tipo de 450kN de peso

total;

b) Classe 30: Representada por um veculo tipo de 300kN de peso

total;

c) Classe 12: Representada por um veculo tipo de 120kN de peso

total;

A determinao da utilizao do trem tipo fica a critrio dos rgos de jurisdiosobre as mesmas.

A rea ocupada pelo veculo suposta ocupar uma rea retangular de dimenses ( 3 x6 )m. A Figura 2.1 e a Tabela 2.2 apresentam as dimenses dos Trens-Tipo e

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Figura 2.2 - Elevao e planta dos Trens-Tipo, dimenses em [m], NBR 7188(1984).

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O veculo deve ser orientado sempre na direo do trfego e posicionado de formaque provoque a maior solicitao na seo de estudo.

Os passeios devem ser carregados em toda sua rea pela carga p.

A carga distribuda de intensidade p deve ser aplicada em toda a pista de rolamento,nesta includas as faixas de trfego, acostamentos. Desconta-se apenas a posioonde se localiza o veculo (NBR 7188, 1984).

Mais a frente ser visto que permitido avanar com as cargas distribudas demultido sobre o Trem-Tipo desde que se faa uma deduo desta carga sobre ascargas do Trem-Tipo. Esta simplificao torna mais fcil os clculos de solicitaesatravs de linhas de influncia de vigas contnuas.

Os guarda-rodas devem ser verificados para uma carga aplicada em seu extremo de p

= 60kN sem a considerao de coeficientes de impacto.

Para mais informaes sobre carregamentos em pontes sugere-se ler a NBR7188/1984.

2.3.2Ferroviria

Para obras rodovirias as condies de projeto so fixadas pela norma NBR

7189/1985 CARGAS MVEIS PARA PROJETO ESTRUTURAL DE OBRASFERROVIRIAS.

Da mesma forma que para obras rodovirias, nas obras ferrovirias temos os trens-tipo brasileiros (TB) classificados como segue:

a) TB-360: para ferrovias sujeitas a transporte de minrio de ferro ou

outros carregamentos equivalentes;

b) TB-270: para ferrovias sujeitas a transporte de carga geral;

c) TB-240: para ser adotado somente na verificao de estabilidade e

projeto de reforo de obras existentes;

d) TB-170: para vias sujeitas exclusivamente ao transporte de passageiros

em regies metropolitanas ou suburbanas.

A Figura 2.3 e a Figura 2.4 mostram um esquema de TB para

carregamentos mveis para obras ferrovirias e a Tabela 2.4 apresenta

estes valores.

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Tabela 2.5 Carregamentos da NBR 7188 (1984).

n

3 0,734 0,6651 0,59

Para obras existentes a NBR 7189 (1985) sugere que sejam adotadas as seguintescondies de carregamentos:

a) na verificao da estabilidade de obras existentes, quando justificada, a

entidade responsvel pela via pode optar pela utilizao de seu trem-

padro operacional como base para determinao das solicitaes na

estrutura;

b) no projeto de reforo de obras existentes, ainda que oriundo de

verificao da estabilidade efetuada conforme deve ser considerado no

mnimo um dos trens-tipo definido anteriormente;

c) no caso de obra situada em ramal, ptio ou terminal privados, o trem-

tipo a ser adotado no projeto estrutural pode ser diferente dos

especificados nesta Norma, a critrio de seus proprietrios, mas nunca

inferior ao trem-tipo da via de acesso correspondente;

d) no caso de obra situada dentro de rea de processo industrial, o trem-

tipo a ser adotado deve ser especificado pelos proprietrios das

indstrias.

2.3.3Aeroviria

Viadutos usados para passagem de aeronaves devem ser dimensionados para cargaspesadas modernas. Um Boeing 747 (Jumbo), por exemplo, tem as seguintescaractersticas apresentadas na Tabela 2.6:

1Nunca tomar n maior que 5.

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Tabela 2.6 Caractersticas de um trem tipo de Boeing 747 (Pfeil, 1980).

Peso total 3235kN

Comprimento 70,5mLargura 59,7m

Carga por trem de aterrissagem 755kNCarga por pneu 189kN

A Figura 2.5 mostra um trem-tipo de Boeing 747 (a) e uma aeronave sobre umaprovvel pista de pouso sobre ponte. Neste caso deve-se fazer avaliao especialuma vez que temos cargas adicionais de impacto.

Figura 2.5 - (a) Trem-tipo aerovirio para um Boeing 747 (Pfeil, 1980) e (b)Boeing em pouso sobre uma pista sobre ponte.

2.3.4Cargas rodovirias no usuais

Cargas no usuais como o prprio nome j diz so cargas excepcionais que podem ouno ser consideradas em projeto. Carretas extraordinrias e de grandescomprimentos s vezes so necessrias para se transportar transformadorespesados ou outro tipo de carregamento pesado (Figura 2.6). A Figura 2.6 tambmapresenta um caminho especial fora de estrada utilizado em obras de minerao eterraplanagem. A passagem de veculo deste porte sobre pontes s deve ser feitaaps a anlise das solicitaes na estrutura.

(b)(a)

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24

Figura 2.6 - Cargas excepcionais: (a) reboque especial e (b) caminho forade estrada.

2.3.5Considerao de impacto devido s cargas mveis

O efeito dinmico devido s cargas mveis pode ser gerado por diversos fatores:imperfeies da pista ou trilho, vibrao causada pelo prprio automotor,deslocamento das cargas, inclinao varivel da locomotiva, etc.

A anlise dinmica para estes casos citados torna-se complexa e deve ser analisadalevando-se em conta a teoria da dinmica das estruturas. A NBR 7187 (2003)permite, portanto que sejam feitas simplificaes para considerar um efeito dinmicona estrutura atravs de coeficientes de ponderao das cargas mveis:

a) Para os elementos de pontes rodovirias:

1007,04,1 L (2.1)

b) Para os elementos de pontes ferrovirias:

2,125,2601600001,0 LL (2.2)

Para pontes suspensas ou outras pontes flexveis sugere-se fazer uma anlisedinmica mais apurada nvel de vibraes causadas pela ao dinmica de veculos,vento entre outras.

Pra obras ferrovirias devem ainda ser considerados os choques laterais causadospor irregularidades nos trilhos e rodas ou inclinao lateral da locomotiva. Para este

http://www.locamaq.com http://lh4.ggpht.com(b)(a)

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25

caso a NBR 7187 (2003) sugere a aplicao de uma fora horizontal mvel de valor20% da carga do eixo mais pesado. Em pontes em curva em planta, no se devesomar o efeito do choque com a fora centrfuga causada pela curva. Em pontes commais de uma linha considera-se apenas a ao do choque em ma delas.

2.4FORAS HORIZONTAIS EM PONTES.

Dentre todas as solicitaes e carregamentos que as pontes sofrem, os queprovocam esforos horizontais nas mesmas so:

Longitudinais:

a)

frenagem ou acelerao da carga mvel sobre o tabuleiro;b) empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas;

c) componente longitudinal do vento incidindo na superestrutura;

d)variao de temperatura;

e) retrao;

f) protenso.

Transversais:

a) vento incidindo na superestrutura;

b) fora centrfuga (pontes em curva horizontal);

c) componente Horizontal de empuxo de terra nas cortinas.

2.4.1

Carregamento Longitudinal

2.4.1.1Frenagem e Acelerao

As foras de frenagem ou acelerao sobre as pontes devem ser tomados com umafrao das cargas mveis, consideradas sem impacto (NBR 7187, 2003). Parapontes rodovirias, devem ser aplicadas no topo da superfcie de rolamento e igualou maior que os seguintes valores:

a) 5% das cargas de multido no tabuleiro (excluindo passeios):

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AmkNFA /505,0 (2.3)

Onde A a rea do tabuleiro onde est disposto o carregamento de multido.

b) 30% do peso do veculo:

TTFA 3,0 (2.4)

2.4.1.2

Empuxo de Terra

O empuxo de terra deve ser determinado conforme princpios da mecnica dos solos.Algumas simplificaes para determinao do carregamento em pontes podem serfeitas de acordo com o que ser explicado a seguir.

Supes-se que o solo no tenha coeso e que no haja atrito entre o terreno e aestrutura, desde que as solicitaes assim determinadas estejam a favor dasegurana. O Peso especfico do solo mido deve ser considerado 18kN/m e ongulo de atrito interno, no mximo igual a 30o. Quando a superestrutura funcionecomo arrimo dos aterros de acesso, a ao do empuxo de terra proveniente dessesaterros deve ser levada em conta apenas em uma das extremidades do tabuleiro. Emcaso de tabuleiros de pontes esconsos ou em curva deve ser feita tambm a anliseem ambos os acessos. Para pilares implantados em taludes de aterros, deve seradotada, para o clculo do empuxo de terra, uma largura fictcia igual a trs vezes alargura do pilar, devendo este valor no ser maior que a largura da plataforma doaterro (NBR 7187, 1987).

A presso do solo sobre o elemento estrutural se tivssemos uma coluna de umlquido seria determinado pela frmula:

hP (2.5)

Onde:

a massa especfica da gua;

h a distncia da superfcie dgua at a profundidade onde se deseja determinar apresso hidrosttica.

Para se levar em conta, no caso de solo, o atrito entre partculas, a rugosidade domuro e a inclinao do terreno em relao a horizontal, introduz-se um coeficiente k:

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khPsolo (2.6)

Onde:

k designado coeficiente de empuxo ou de Coulomb.

Para o caso de cortinas sujeitas ao empuxo de terra como mostra a Figura 2.7, ocoeficiente de Coulomb se torna:

2

452 o

a tgk (2.7)

Conforme a NBR 7187 (2003) o peso especfico do solo mido deve serconsiderado 18kN/m e o ngulo de atrito interno, no mximo igual a 30o, neste casoa Equao (2.7) se torna:

3,02

30452

oo

a tgk (2.8)

A Presso do solo, portanto (Equao (2.6)), torna-se

hhPsolo 63,018 (2.9)

Calcula-se a presso ao nvel do topo da cortina e ao nvel inferior. Nota-se na Figura2.7 que 1soloP deve ser determinado considerando uma altura equivalente de solo de50cm que representa uma sobrecarga devido a cargas mveis em aproximao daponte.

O Empuxo devido o solo determinado pela rea do diagrama de presses incidentena cortina.

221

cortinasolosoloh

hPPE

(2.10)

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Figura 2.7 - Esquema de distribuio de presses sobre uma cortina e aresultante Eh.

2.4.1.3Temperatura

Para o clculo da dilatao linear devido a temperatura utiliza-se um coeficiente dedilatao trmica de 10-5 e uma variao de temperatura de 15 C (NBR 7187,2003).

dT (2.11)

Onde:

a deformao linear (alongamento ou encurtamento);

T a variao de temperatura que ocorre no local da obra;

d a distncia do centro elstico da pea linear ao ponto em que se deseja calcularo deslocamento.

O deslocamento das vigas causar esforos nos pilares que sero quantificadosconforme a rigidez de cada um deles.

Figura 2.8 Distribuio de esforos longitudinais aplicados a estrutura.

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29

2.4.1.4Determinao da rigidez dos apoios

A determinao da distribuio dos esforos em cada um dos pilares da pontedepender da rigidez de cada um deles.

Quando o sistema estrutural formado por vigas contnuas, a superestrutura sofreum deslocamento horizontal e o topo dos pilares sofre o mesmo deslocamento porestarem ligados superestrutura.

O esforo aplicado ao topo de cada pilar igual ao produto do deslocamento pelarigidez do pilar (K). Se todos os pilares sofrem o mesmo deslocamento, o esforotransmitido a cada pilar proporcional sua rigidez. O esforo Fi, num pilar genrico, dado por:

FK

KF ii

(2.12)

Onde:

F o carregamento total a ser distribudo conforme rigidez de cada pilar;

iK a rigidez de cada do apoio em que se deseja determinar a parcela de foraatuante;

K o somatrio das rigidezes dos apoios.

Quando cada linha de apoio possuir mais de um pilar, o esforo horizontal transmitidopela superestrutura, que dividido pelos pilares proporcionalmente sua rigidez,deve tambm ser dividido pelo nmero de pilares que constituem cada apoio. Comomostra a Figura 2.8.

A rigidez (K) desse mesmo pilar o esforo que produz um deslocamento unitrio notopo como mostra a Figura 2.9. A rigidez e a flexibilidade de uma estrutura so

relacionadas entre si por K = 1/ , conhecida a flexibilidade de uma estrutura, suarigidez obtida pelo inverso da flexibilidade.

Quando a transmisso dos esforos da superestrutura para os pilares feita atravsde aparelhos de apoio de borracha (neoprene), a rigidez dos pilares sofre umamodificao devido contribuio da flexibilidade do neoprene no deslocamento totaldo topo do pilar. Seja um pilar engastado na base e livre no topo no qual existe umaparelho de apoio, e sejam L e nh as alturas do pilar e do aparelho de apoio,respectivamente conforme Figura 2.10.

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Figura 2.9 Conceito de flexibilidade e rigidez de uma pilar.

Figura 2.10 Deformao de uma pilar com apoio de neoprene.

Se ao topo da placa de neoprene for aplicada uma fora horizontal unitria (F = 1),esta provocar na placa um deslocamento horizontal n . Como o aparelho de apoioest ligado ao pilar, a fora horizontal tambm solicita o topo do pilar, deslocando-ode p . Desse modo, o conjunto aparelho de apoio + pilar ( pnK ) sofre um

deslocamento horizontal total de n + p , e a rigidez desse conjunto, definida

como o inverso da flexibilidade, vale:

nppnpnK

11

(2.13)

Aps algumas dedues chegamos a uma equao direta para determinao da

rigidez do conjunto pnK :

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31

np

nppn KK

KKK

(2.14)

Para um pilar engastado-livre:

3

L

EIKp

(2.15)

A rigidez do neoprene ser dada aps algumas dedues por:

n

nn h

GAK (2.16)

Onde:

G o mdulo de elasticidade transversal da borracha (neoprene) que vale em torno

de 1MPa;

nA a rea da seo transversal do neoprene.

Quando o pilar bi-engastado, o procedimento anlogo, podendo a rigidez sercalculada como o inverso da flexibilidade (processo dos esforos) ou obtida

diretamente de tabelas. Para o caso particular de pilar bi-engastado de inrcia

constante sua rigidez vale:

12

L

EIKp

(2.17)

A Figura 2.11 mostra a rigidez de um pilar bi-engastado.

Figura 2.11 Deformao em um pilar bi-engastado.

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Sob a ao dos esforos horizontais provocados pela presso do vento e da gua,cada conjunto de pilares, geralmente constituindo um prtico transversal por apoio,

comporta-se como engastado na fundao e elasticamente apoiado nasuperestrutura, provocando, portanto, reaes em seus topos.

2.4.1.5Retrao

Para o clculo da dilatao linear devido a retrao utiliza-se um coeficiente dedilatao trmica de 10-5 e uma equivalncia a uma variao de temperatura de 25C.

2.4.1.6Protenso

Para o clculo da dilatao linear devido a protenso utiliza-se um coeficiente dedilatao trmica de 10-5 e uma equivalncia a uma variao de temperatura de 70C.

2.4.2Carregamento transversal

2.4.2.1Fora Centrfuga

Aplicada a pontes rodovirias em curva, a fora centrfuga tem direo perpendicularao eixo da pista e atua na superfcie de rolamento. Determina-se como sendo umafrao C do peso do veculo j incluso o efeito dinmico das cargas mveis.

25,0;300 Cmr (2.18)

RCmr

75;300

(2.19)

Sendo R o raio de curvatura horizontal da ponte.

Para pontes ferrovirias, a fora centrfuga deve ser aplicada a uma altura de 1,60metros acima da superfcie definida pelo topo dos trilhos (Figura 2.12).

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Figura 2.12 Fora centrfuga em ferrovias.

O fator C definido como segue:

Para linhas de bitola larga (1,6m no Brasil):

15,0;1200 CmR (2.20)

RCmR

180;1200

(2.21)

Para linhas de bitola estreita (1,0m no Brasil):

10,0;750 CmR (2.22)

RCmR

75;750

(2.23)

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2.4.2.2Empuxo de gua

Devem-se ter informaes sobre nveis mximo e mnimo dos cursos dgua para sedeterminar o carregamento hidrodinmico em pilares. Em caso de muros de arrimodeve-se prever sistema de drenagem para evitar a atuao de presseshidrostticas.

A presso da corrente de gua sobre pilares e elementos das fundaes pode serdeterminada atravs da expresso (NBR 7187, 2003):

2]/[ vkmkNP (2.24)

Onde:P a presso esttica equivalente em [kN/m];

v a velocidade da gua em [m/s];

k um coeficiente adimensional, cujo valor varia conforme forma da seo transversaldo elemento incidente e ngulo de incidncia da corrente dgua. A Figura 2.13apresenta os coeficientes k para trs formas de seo transversal diferentes.

Figura 2.13 - Valores de coeficientes k obtidos experimentalmente (NBR

7187, 2003).

Para formas diferentes das apresentadas na Figura 2.13 devem ser realizadosensaios experimentais para determinao do coeficiente k.

2.4.2.3Presso do Vento

A presso do vento deve ser determinada utilizando a NBR 6123 Foras devidasao vento em edificaes de 1988. Pfeil (1980) sugere para pequenas pontes uma

simplificao:

a) Para ponte descarregada considerar uma presso de 1,5kN/m;

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b) Para ponte carregada considerar uma presso de 1,0kN/m;

So consideradas as superfcies de incidncia do vento como mostra a Figura 2.14 Figura 2.17:

Figura 2.14 Presso do vento sobre pontes rodovirias carregadas.

Figura 2.15 Presso do vento sobre pontes rodovirias descarregadas.

Figura 2.16 Presso do vento sobre pontes ferrovirias carregadas.

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Figura 2.17 Presso do vento sobre pontes ferrovirias descarregadas.

3

PILARES

Apresenta-se aqui um procedimento da NBR 6118/2003 para considerao dosefeitos de segunda ordem e dimensionamento de pilares circulares para pontes.

Os passos seguintes consistiro na verificao das dimenses dos pilares quanto capacidade resistente do concreto de forma que satisfaam as solicitaes dasuperestrutura transferida ao pilar. Devero ser ainda determinadas as reas de aolongitudinais e transversais do pilar. O detalhamento dever ainda atender asnecessidades construtivas.

Como visto em aula anterior os pilares esto solicitados a esforos verticais ehorizontais. Os esforos sero resumidos em esforo normal e momento fletor nabase do pilar para dimensionamento do mesmo a flexo composta obliqua. Far-se-necessria a utilizao de bacos de dimensionamento de pilar circular devido complexidade da soluo manual.

Faremos ao final do captulo um exemplo de dimensionamento de pilar de concretoarmado circular levando-se em conta a combinao ltima de cargas (Estado Limite

ltimo).

3.1EFEITOS DE PRIMEIRA ORDEM

A Figura 3.1 apresenta diversas formas de representar excentricidades de carga empilares devido ao efeito de primeira ordem.

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Figura 3.1 Diferentes formas de representar excentricidades de carga em pilares.

A NBR 6118 (2003) considera a formulao a seguir para levar em considerao osefeitos de imperfeies locais (construtivas) atravs de uma excentricidade acidental:

hea 03,0015,0 (3.1)

h a altura total da seo na direo a serem considerados os esforos.

3.2EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM

O clculo dos esforos finais no pilar leva em considerao agora a estruturadeformada.

Figura 3.2 Efeito de segunda ordem em um pilar.

e1

e2

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3.3DISPENSA DA ANLISE DE SEGUNDA ORDEM

Para elementos isolados estes efeitos de segunda ordem podem ser dispensados

quando o ndice de esbeltez for menor que o limite estabelecido 1. Os pilares devemter ndice de esbeltez menor ou igual a 200 ( 200). Apenas no caso de postescom fora normal menor que 0,10 fcd. Ac, o ndice de esbeltez pode ser maior que200.

Para o calculo do ndice de esbeltez, temos:

i

le ;

A

Ii

(3.2)

Onde: le o comprimento equivalente de flambagem do pilar que depender dascondies de contorno deste; i o raio de giro da seo transversal do pilar; I e Aso a inrcia e a rea da seo, respectivamente. A Figura 3.3 mostra algumascondies de contorno e a Tabela 3.1 apresenta os comprimentos de flambagem aserem considerados.

Figura 3.3 Comprimento de flambagem de barras para diferentes condies de contorno(www.mspc.eng.br).

Tabela 3.1 Comprimento de flambagem para barras com diferentescondies de contorno.

Tipo (a) (b) (c) (d) (e) (f)

Le(terico) 0,5L 0,7L 1,0L 1,0L 2,0L 2,0L

Le(prtico) 0,65L 0,8L 1,2L 1,0L 2,1L 2,0L

Fonte:(www.mspc.eng.br).

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O ndice de esbeltez limite dado pela equao:

bh

e

1

1

5,1225 ; 9035 1

(3.3)

Para pilares em balano, temos:

base

meio

M

Mb 2,08,0 ; 85,00,1 b

(3.4)

3.4MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA

Empregado apenas no clculo de pilares com ndice de esbeltez menor ou igual a 90,seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. O Momento

total mximo, portanto deve ser calculado pela expresso a seguir:

2,1, eNMM dAdbtotd (3.5)

r

lee

1

10

2

2 (3.6)

hhr005,0

5,0

005,01

(3.7)

Onde:

e2 o esforo de segunda ordem e 1/r o raio de curvatura. A fora normalreduzida, , o momento reduzido, , e a taxa , so dados respectivamente por:

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40

cdAcf

Nd

(3.8)

hAcf

M

cd

d (3.9)

cd

yd

f

f

Ac

As

(3.10)

A rea de ao ser distribuda no permetro da seo do pilar considerandocobrimentos, espessura de estribos e metade do dimetro da barra utilizado nodetalhamento.

yd

cd

f

AcfAs

(3.11)

4LINHAS DE INFLUNCIA

Denomina-se linha de influncia de uma solicitao ou esforo Sm num ponto m, umalinha cujas ordenadas fornecem os valores de Sm para diversas posies de umacarga unitria (Figura 4.1). A figura mostra uma viga contnua contendo dois vos. Aslinhas de influncia mostram para a seo m as ordenadas que representam osesforos na seo para vrias posies de uma carga unitria.

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unitria sobre a viga. Na Figura 4.2a vemos que para uma carga concentrada Qaplicada no apoio A, a reao em A vale Q (ordenada da LIRA igual a 1 no ponto A);para a carga aplicada em B, a reao em A nula (ordenada da LIRAnula no ponto B).Para a carga Q aplicada a uma distncia x do apoio A, a reao em A vale Q(L-x)/L.

Verificamos que a linha de influncia uma reta. Como a reta definida por doispontos, podemos traar a linha de influncia de RA na Figura 4.2b. A linha deinfluncia de reao RB anloga de RA, representada na Figura 4.2c. (Pfeil,1987).

Figura 4.2 Linhas de influncia de reao de apoio de uma viga simples AB: (a) esquema da viga,com uma carga Q na posio genrica; (b) LI de reao RA; (c) LI de reao RB(Pfeil, 1987).

4.1.2LI de esforos cortantes

Na Figura 4.3 podemos ver a evoluo dos esforos cortantes numa seo (m), paradiversas posies de uma carga Q, ao longo da viga. Na Figura 4.3a, admitimos afora Q aplicada num ponto genrico esquerda da seo m, obtendo o diagrama daseo (Figura 4.3b). Na Figura 4.3c, a carga Q foi suposta aplicada numa seocorrente, direita da seo (m), obtendo-se o diagrama da Figura 4.3c. AsExpresses de Vm nos diagramas das Figura 4.3b e Figura 4.3d mostram que oesforo cortante em (m) cairia linearmente com a posio da carga. Por transposiodas ordenadas dos diagramas das Figura 4.3b e Figura 4.3d, obtemos a linha deinfluncia desenhada na Figura 4.3e (Pfeil, 1987).

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Figura 4.3 Linha de influncia de esforo cortante numa seo (m) de uma viga simplesmenteapoiada: (a) esquema de uma viga mostrando a seo (m) e a carga concentrada Q numa posio

genrica, esquerda da seo m (xa); (d)

diagrama dos esforos cortantes V para a posio da carga indicada em (c); (e) linha de influncia doesforo cortante na seo (m); (f) conveno de sinal para o esforo cortante (g) esforos cortantes

esquerda e direita do ponto de aplicao da carga Q (Pfeil, 1987).

4.1.3LI de momentos fletores

Na Figura 4.4 estudamos a variao do momento fletor em uma seo (m) da viga AB.Para uma carga Q, situada num ponto corrente esquerda de m (x

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Figura 4.4 Linha de influncia do momento fletor numa seo (m): (a) esquema da viga AB,mostrando a seo (m) e a carga Q numa posio genrica; (b) diagrama de momento fletor para aposio da carga indicada em (a); (c) linha de influncia do momento fletor; (d) conveno de sinal

para momentos (momento positivo produz trao na fibra inferior) (Pfeil, 1987).

Para sistemas mais complexos, o emprego do processo acima, apresentainconvenientes prticos, sendo necessrio traar um grande nmero de diagramaspara obter as linhas de influncia.

4.2VIGAS CONTNUAS

Para a determinao de linhas de influncia para estruturas hiperesttica como, porexemplo, as vigas contnuas que so utilizadas em pontes em viga reta utilizaremostabelas alems desenvolvidas com o objetivo de agilizar a determinao desolicitaes pelo projetista. Em sala de aula utilizaremos tambm programascomputacionais para determinao de LI para diversos tipos de vigas contnuas. No

anexo so encontradas as tabelas com ordenadas das linhas de influncia para 30sees igualmente espaadas para vigas contnuas com relao de vos (1:1,2:1) e(1:1,25:1), para momentos, cortantes e reaes. Encontram-se tambm estas linhasde influncia plotadas com ajuda do programa computacional Ftool 2.12 (ProgramaGrfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas). No Ftool 2.12ainda pode-se traar linhas de influncia para relaes quaisquer de vos de vigas depontes.

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4.3REGRA DOS TRAPZIOS (COMPOSTA)

A regra dos trapzios ser utilizada aqui com o objetivo de calcular reas sob as

curvas de linhas de influncia onde incidem cargas distribudas conforme j visto emseo anterior. No entanto anteriormente o clculo das reas das linhas de influnciaera mais simples devido terem carter linear e serem facilmente calculadas a partir deaproximaes a figuras conhecidas como tringulos e trapzios. A seguir deduzidade forma simples a regra do trapzio composta para a funo qualquer que serutilizada para calcular reas de linhas de influncia para vigas contnuas que por suavez possuem formas curvas.

Figura 4.5 - Funo curva aproximada por trapzios de altura h e bases y.

Para simplificar, consideramos que o tamanho desses subintervalos constante = h.(sendo h a distncia entre as sees de anlise da ponte) e yn so as ordenadasobtidas nas linhas de influncias. Calculando as reas independentes de cada trapzioe somando-as posteriormente, temos:

222222

22110 hyyhyyhyyA n

nyyyyhA 210 222

(4.2)

A frmula dos trapzios utilizada para calcular reas sobre as curvas de linhas deinfluncia de pontes ser dada, portanto pela equao:

nRIASINTERMEDILI yyyh

A 22 0 (4.3)

Onde:

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h a distncia entre as sees de clculo da linha de influncia;

0y a ordenada da seo inicial em que incide uma carga distribuda;

RIASINTERMEDIy so as ordenadas das sees intermedirias em que incide uma cargadistribuda;

ny a ordenada da ltima seo em que incide uma carga distribuda.

5VIGAS

5.1FLEXO

5.1.1Estado limite ltimo

A combinao sugerida pela NBR 8681 (2003) :

n

jqjkjkqq

m

igikgid FFFF

201

1

(5.1)

a) Para peso prprio de pontes em geral: q= 1,35;

b) Protenso: q= 1,2;

c)

Veculo: q= 1,5;d) Temperatura: q= 1,2; 1= 0,6;

e) Vento: q= 1,4; 1= 0,6;

5.1.2Determinao da rea de ao longitudinal

A seguir sero relembradas de forma expedita as formulaes necessrias para sedeterminar a rea de ao para vigas retas de pontes.

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48

MdzRM ccRd (5.5)

Combinando as equaes (5.2) e (5.5), temos:

ydybfMd compcd 5,085,0 ;

compcdybf

Mdydy

85,05,0 ;

085,05,02

compcdybfMdydy ;

(5.6)

Resolvendo a equao de segundo grau e expressando em termos de x (posio dalinha neutra), temos que:

compcdbf

Mdddx

85,0

225,1 2

(5.7)

A condio para garantir aviso na ruptura que 0,259d < x < 0,628d.

Para se determinar a rea de ao da seo basta combinar as equaes (5.3) a(5.5), temos:

xdfM

Asyd

d

4,0

(5.8)

5.1.3Largura colaborante

Para o caso de pontes apoiadas em vigas podemos no dimensionamento levar emconsiderao uma viga T, para isto deve-se definir qual a largura colaborante da mesaque efetivamente contribui para absorver os esforos de compresso. De acordocom a NBR 6118, a largura colaborante bf ser dada pela largura da viga bw

acrescida de no mximo 10% da distncia a entre pontos de momento fletor nulo,para cada lado da viga em que houver laje colaborante (Figura 5.2).

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a) viga simplesmente apoiada ............................................a = 1,00 L

b) tramo com momento em uma s extremidade ....................a = 0,75 L

c)

tramo com momentos nas duas extremidades.....................a = 0,60 L

d) tramo em balano.........................................................a = 2,00 L

O calculo de a ainda pode ser feito de forma mais precisa se determinando nodiagrama o comprimento exato entre momentos nulos.

Figura 5.2 Largura colaborante.

5.1.4Fadiga

5.1.4.1Histria da falha por fadiga

O fenmeno da fadiga foi observado pela primeira vez por volta de 1800, quando oseixos de um vago ferrovirio comearam a falhar aps um pequeno perodo emservio. Apesar de serem feitos de ao dctil, os mesmos exibiam caractersticas defraturas frgeis e repentinas. Rankine publicou um artigo em 1843, As Causas daRuptura Inesperada de Munhes de Eixos Ferrovirios, no qual dizia que o materialhavia cristalizado e se tornado frgil devido s tenses flutuantes. Os eixos haviamsido projetados com toda a percia e engenharia disponvel na poca, as quais sebaseavam em experincias decorrentes de estudos com estruturas carregadasestaticamente. Cargas dinmicas eram, portanto, um fenmeno novo, resultantes daintroduo das mquinas movidas a vapor. Esses eixos estavam fixos s rodas egiravam em conjunto com as mesmas. Desse modo, a tenso de flexo em qualquerponto da superfcie do eixo variava ciclicamente entre valores positivos e negativos,como mostra a Figura 5.3a (Abraho, 2008). Pode se ainda se encontrar

carregamentos do tipo alternado (Figura 5.3b) ou aleatrio (Figura 5.3c).

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50

Figura 5.3 Tenses variantes: (a) alternada, (b) flutuante e (c) aleatria.

O engenheiro alemo, August Whler (1819-1914), realizou a primeira investigaocientfica (durante um perodo de 12 anos) sobre o que estava sendo chamado defalha por fadiga, testando, em laboratrio, eixos at a falha sob carregamentoalternado. Ele publicou suas descobertas em 1870, as quais identificavam o nmerode ciclos de tenso variando no tempo como os causadores do colapso e adescoberta da existncia de uma tenso limite de resistncia fadiga para aos, isto, um nvel de tenso que toleraria milhes ciclos de uma tenso alternada. Odiagrama S-N ou Curva de Whler, mostrado na Figura 5.4, tornou-se a forma-padro

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para caracterizar o comportamento dos materiais submetidos a solicitaesalternadas e ainda utilizado atualmente, apesar de outras medidas sobre aresistncia dos materiais, sob cargas dinmicas, estarem disponveis.

Figura 5.4 Diagrama Stress-Number of cycles ou Curvas de Whler.

A tenso que um material pode suportar ciclicamente muito menor que a suportvelem condies estticas. A fim de aumentar o nmero de ciclos de tenso possveisnuma certo material, necessrio reduzir-se a tenso nos seus componentes. Cadametal ter um Limite de Fadiga correspondente a uma variao de tenso abaixo daqual suporta um nmero de ciclos infinito, sem romper.

O termo fadiga foi aplicado pela primeira vez por Poncelet em 1839. O mecanismode falha ainda no compreendida e a aparncia de uma fratura frgil na superfcie de

um material dctil geraram especulaes de que o material, de alguma maneira,apresentou cansao e fragilizou-se devido s oscilaes da carga aplicada. Whler,mais tarde, constatou que cada metade dos eixos quebrados quando submetido aensaios de trao continuava com a mesma resistncia. De qualquer maneira, o termofalha por fadiga permaneceu e ainda usado para descrever qualquer as falhasprovenientes de cargas variantes no tempo. A Figura 5.1 resume o desenvolvimentohistrico da fadiga.

Tabela 5.1 Histrico do desenvolvimento da fadiga.

Data Pesquisador Pesquisa

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1829 Albert (Alemanha) Falha devido a carregamentos cclicos foi documentada

1839 Poncelet (Frana) Introduo do termo fadiga

1849 IEM (Frana) Rebatida a teoria da cristalizao por fadiga em metais

1864 Fairbain Primeiros experimentos de carregamentos cclicos

1871 WhlerInvestigao do comportamento em fadiga de eixosferrovirios, ensaios de flexo rotativa, curvas S-N,

conceito de limite de fadiga

1886 BauschingerObservaes da mudana do limite elstico devido a

carregamentos cclicos, curvas de histerese em tenso-deformao.

1903 Ewing e HumfreyEstudo microscpico desaprova a teoria da cristalizao;toma lugar a deformao em fadiga por escorregamento,

similar deformao monotnica.

1910 Bairstow Conceitos de amolecimento e endurecimento cclicos.

1929 HaighDiferena no comportamento cclico devido a entalhes,conceitos de anlise de deformaes em entalhes e

tenses prprias.

1955 Coffin e Manson(trabalhando independentemente)-ciclagem trmica,

fadiga de baixo ciclo, consideraes sobre deformaoplstica.

1963 Paris e ErdogranTaxa de crescimento de trinca por fadiga descrita

usando o fator de intensidade de tenso.

Os aos especiais (barras de ao nervuradas de alta resistncia) comearam a ser

usadas no Brasil, em pontes de concreto armado, a partir de aproximadamente1960.

A seguir apresenta-se uma relao de normas brasileiras relacionadas a fadiga e comotratavam o assunto em cada poca (Schffer, 2002).

a) NB-2/1950: nesta norma de pontes s era admitido o uso de barras

de ao lisas (sem nervuras), das categorias 37-CA e 50-CA que

correspondem s atuais categorias CA-25 e CA-32. Nestes aos, com

as tenses com as tenses de servio usuais, no se manifesta ofenmeno da fadiga. Aos especiais no eram admitidos em pontes.

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b) NB-1/1950 (reviso de 1960): nesta norma passou a ser admitido o

uso de aos estruturais das categorias CA-T40 e CA-T50 (atuais

CA40-B e CA-50B) em obras de concreto armado comuns (edifcios).

Esta, no entanto, no uma norma de pontes.

c) NB2-1950 (reviso de 1961): esta norma passou a admitir o uso de

aos especiais das categorias CA-T40 e CA-T50 em pontes. Era

omissa em relao fadiga.

d)EB-3/1965: esta especificao, no anexo II, modifica dispositivos da

NB-1 e da NB-2 e estabelece um limite para a variao da tenso em

aos especiais (categorias CA-40, CA-50 e CA-60), de 220MPa (item

16, letra a), na armadura reta de vigas fletidas. Como na poca era

usual multiplicar previamente as cargas mveis por 1,2, a variao de

tenso realmente admitida pela EB-3/1965 era de 220/1,2 igual a

aproximadamente 180MPa.

e) EB-3/1967: o anexo da EB-3/1967 repete o disposto no anexo II da

EB-3/1965, em relao fadiga da armadura de flexo.

f) NBR 6118/1978 (Antiga NB-1): refere-se fadiga apenas no item

3.1.1.7 onde dispem: havendo possibilidade de fadiga dever esta

ser considerada no clculo das peas.

g)NBR 7187/1987 (Antiga NB-2): na ausncia de resultados de ensaios

esta norma fixa, no item 8.1.3.1, a resistncia caracterstica

fadiga, skf , para barras de alta aderncia (aos especiais), em

150MPa. O item 10.11.1.2 limita a mxima variao da tenso no ao

ao valor de skf dividido por um coeficiente de segurana fadiga igual

a 1,5, isto , ao valor de 150/1,5 = 100MPa. Este resultado est

muito abaixo dos valores usuais (aproximadamente 180MPa) o que

sugere a existncia de um engano da norma nesta questo da fadiga.

h) NBR 6118/2003: ser exemplifica em item posterior neste trabalho.

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5.1.4.2Mecanismos da fadiga

De forma bem resumida, existem trs estgios na falha por fadiga:

a)

incio da trinca (pequena durao caso o material apresente

concentrador de tenso);

b) propagao da trinca (maior tempo de vida da pea);

c) ruptura repentina devido ao crescimento instvel da trinca (instantneo,

sem aviso prvio).

A Figura 5.5 apresenta fases e aspecto macroscpico da superfcie de fratura por

fadiga. Geralmente a ruptura indicada por uma srie de anis em torno da fissurainicial.

Figura 5.5 Fases e aspecto macroscpico da superfcie de fratura por fadiga: (a) esquema da srie deanis em torno da fissura inicial e (b) fotografia semelhante.

5.1.5Verificao segundo a NBR 6118 (Estado Limite de Fadiga)

A NBR 6118 (2003) sugere que a verificao para o estado limite de fadiga sejafeita pela Combinao Freqente das Aes.

As aes de fadiga de mdia e baixa intensidade e nmero de repeties at2.000.000 de ciclos so consideradas na NR 6118.

(a) (b)

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m

jqjkjkq

m

igikserd FFFF

2211

1,

(5.9)

Para pontes rodovirias a verificao da fadiga os coeficientes da combinao soapresentados como sendo:

a) 1 = 0,5 para verificao das vigas;

b) 1 = 0,7 para verificao das transversinas;

c)

1 = 0,8 para verificao do tabuleiro.

Para pontes ferrovirias:

d) 1 = 1,0.

A carga kqF1 considerada na NBR como carga varivel principal que o caso das

cargas mveis.

5.1.5.1

Verificao da fadiga no concreto

Nenhuma exigncia de verificao do concreto fadiga era feita pelas normasbrasileiras anteriores ao NBR 6118/2003. Esta nova norma, no entanto, exige talverificao (Schffer, 2002).

O Manual do Concreto da ACI (1991) apresenta as principais caractersticas doconcreto, fadiga:

a) A resistncia fadiga o concreto como uma frao da resistncia

esttica que pode ser suportada repetitivamente para um dado nmero

de ciclos. A resistncia fadiga influenciada pela amplitude da

variao das tenses e pela excentricidade da carga (gradiente de

tenses) entre outras causas (ACI 215R, 1991 item 2.1.1).

b) A resistncia fadiga do concreto diminui com o aumento do nmero de

ciclos (assim como no ao). O concreto no apresenta um limite de

resistncia fadiga at 10 milhes de ciclos. Isto significa que noexiste um limite a tenso abaixo da qual o concreto suporta um nmero

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infinito de ciclos sem se romper. A resistncia do concreto fadiga

diminui com o aumento da amplitude de variao das tenses,

podendo-se considerar uma relao linear (diagrama de Goodman) (ACI

215R, 1991, item 2.1.2).

c) Gradientes de tenses influenciam a resistncia fadiga do concreto.

Para simular a zona comprimida de vigas, corpos de prova foram

submetidos a ensaios de durao com foras de compresso

excnctricas foi de 15 a 18% mais alta que a resistncia fadiga

obtida para tenses uniformemente distribudas (ACI 125R, 1991,

item 2.1.6) Quando a resistncia do concreto fadiga comparadano com a resistncia esttica compresso excntrica, com a mesma

excentricidade do ensaio de durao, verifica-se que a resistncia

fadiga do concreto praticamente no varia. Portanto, as resistncias

do concreto esttica e fadiga so afetadas pela excentricidade na

mesma proporo (Boletim de Informao n 188, 1988, item 3.14,

p.123).

Essa verificao para o concreto em compresso satisfeita se:

fadcdcc f ,max, (5.10)

Onde:

cdfadcd ff 45,0, (5.11)

2

15,05,1

1

c

c

c

(5.12)

c um fator que considera o gradiente de tenses de compresso no concreto;

1c o menor valor, em mdulo, da tenso de compresso a uma distncia nomaior que 300 mm da face sob a combinao relevante de cargas;

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1c o maior valor, em mdulo, da tenso de compresso a uma distncia no maior

que 300 mm da face sob a combinao de carga usada para clculo de 1c .

Figura 5.6 Definio das tenses para clculo de fadiga no concreto (NBR 6118, 2003).

5.1.5.2Verificao da fadiga na armadura

Essa verificao satisfeita se a mxima variao de tenso calculada, S s, para acombinao freqente de cargas satisfaz:

fadsdS f , (5.13)

Os valores de min,,fadsdf podem ser tomados para 2x106ciclos como:

a) Barras longitudinais com = 10mm a 16mm: 190MPa;

b) Barras longitudinais com = 20mm: 185MPa;

c)

Barras longitudinais com = 25mm: 175MPa;d)Barras longitudinais com = 32mm: 165MPa;

e) Estribos: 85MPa.

Para se determinar as tenses na armadura da viga deve-se levar em considerao ateoria usada na resistncia dos materiais para vigas compostas. Para este caso deve-se aplicar o Mtodo da Seo Transformada. Em resumo, se for aplicado ummomento fletor numa viga composta, permanecendo a lei de Hook, a deformao vaivariar linearmente na seo, portanto, se tivermos valores de E diferentes, a tenso

ser maior para materiais com E maiores (mais rgido, ex.: ao) e menor para materiaiscom E menores (menos rgido, ex.: concreto). A forma mais simplificada de determinara posio da linha neutra transforma a viga de forma que se torne de um nico

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material. Como temos materiais com elasticidades diferentes podemos alterar a reade um dos materiais de forma que a deformao permanea a mesma.

Com a viga agora homognea pode-se determinar por formas convencionais a posio

da linha neutra e aplicar a frmula da flexo para se determinar as tenses naarmadura e no concreto como segue:

yI

M

(5.14)

y a distncia da linha neutra da seo homogeneizada ao ponto onde se desejacalcula a tenso.

Aps algumas dedues chega-se ao fator que relacionam os mdulos de

elasticidades dos materiais chamado aqui dec

s

E

E , onde sE o mdulo de

elasticidade do ao e cE o mdulo de elasticidade do concreto.

A anlise deve ser feita no Estdio II, desprezando a resistncia do concreto atrao e considerando um coeficiente de equivalncia =10.

Exemplificando, se uma viga de concreto armado for homogeneizada de forma que omaterial empregado aps a transformao for apenas o concreto, a rea ondecontinha o ao deve ser aumentada de alfa ou de 10 vezes para compensar o mdulode elasticidade baixo do concreto.

5.1.6Verificao da fissurao

Transcreve-se a seguir o texto retirado do artigo (Silva et al., 2005).

Pode-se dizer que a fissurao em elementos estruturais de concreto armado

inevitvel, devido grande variabilidade e baixa resistncia do concreto trao;para impedir este fenmeno, seria necessrio adotar sees transversais dedimenses exageradas, o que se torna economicamente invivel. Entretanto, asfissuras no devem se apresentar com aberturas muito grandes. Quando excessiva, afissurao pode comprometer significativamente a esttica, a funcionalidade ou adurabilidade de uma pea de concreto armado. Alm disso, deve-se ter em conta odesconforto psicolgico que fissuras com aberturas exageradas pode gerar aosusurios. Embora no seja a nica causa, ou condio necessria, quando daocorrncia de fissuras com aberturas exageradas, pode-se dizer que h grande riscode haver uma degradao rpida do concreto superficial e da armadura. Vale salientar

que outros fatores, tais como porosidade do concreto, cobrimento insuficiente daarmadura, presena de produtos qumicos, agentes agressivos etc., contribuem oupodem ser determinantes na durabilidade da estrutura. Examinados esses fatores,

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visando obter bom desempenho relacionado proteo das armaduras quanto corroso e aceitabilidade sensorial dos usurios, necessrio que o projetista deestruturas busque controlar a abertura das fissuras, evitando que a pea sofrafissurao excessiva, devida flexo, detalhando adequadamente a armadura na seo

transversal e, se for o caso, aumentando-a. Nesse caso, trata-se de uma verificaode estado limite de servio, ou seja, interessa saber a fissurao que ocorrer napea quando esta estiver em servio (utilizao) e no prxima a atingir o colapso.Convm lembrar que a fissurao, ainda, influenciada pela retrao e pelacompacidade do concreto. Desse modo, importante o controle da fabricao doconcreto com relao utilizao do menor fator gua/cimento possvel, comotambm o controle das operaes de lanamento e adensamento do concreto e dasua cura. Portanto, diversas so as circunstncias que podem acarretar a formaode fissuras em peas de concreto. Pode-se distinguir as fissuras produzidas porsolicitaes devidas ao carregamento, que so causadas por aes diretas de

trao, flexo ou cisalhamento e que ocorrem nas regies tracionadas, e as fissurasno produzidas por carregamento, que so causadas por deformaes impostas, taiscomo retrao, variao de temperatura e recalques diferenciais. Conformemencionado, so dois os estados-limites referentes fissurao que devem seranalisados para o caso de peas de concreto fletidas: estado limite de formao defissuras (ELS-F), e estado limite de abertura das fissuras (ELS-W), onde:

a) Estado limite de formao de fissuras (ELS-F): estado em que se inicia a

formao de fissuras;

b) Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W): estado em que asfissuras se apresentam com aberturas caractersticas (wk ) iguais aos

mximos especificados;

No estdio I a tenso de trao no concreto no ultrapassa sua resistnciacaracterstica trao ( fctk ), e no h fissuras de flexo visveis. No estdio II, este caracterizado pela presena de fissuras nas zonas de trao e, portanto, oconcreto situado nessas regies desprezado

A separao entre estes dois estdios (I e II) de comportamento definida pelomomento de fissurao (Mr), o qual define-se como sendo o momento fletor capaz deprovocar a primeira fissura na pea.

Se o momento fletor atuante numa dada seo da pea for menor do que o momentode fissurao, isto significa que esta seo no est fissurada e, portanto, encontra-se no estdio I, caso contrrio, se o momento fletor atuante for maior do que o defissurao, a seo encontra-se fissurada e, portanto, no estdio II.

Conforme a NBR 6118/2003 o momento em que aparece a primeira fissura na pea dado pela seguinte equao aproximada:

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y

IfM cctr

(5.15)

Onde:

= 1,2 para sees T ou duplo T;

= 1,5 para sees retangulares.

Onde:

o fator que correlaciona aproximadamente a resistncia trao na flexo com aresistncia trao direta;

y a distncia do centro de gravidade da seo fibra mais tracionada;

cI o momentos de inrcia da seo bruta de concreto;

ctf a resistncia trao direta do concreto, dada pela equao:

3/221,0 ckct ff (5.16)

Para determinao do carregamento para o ELS-F ou ELS-W deve utilizar aCombinao Freqente (CF) j transcrita na Equao (5.9).

5.1.6.1Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W)

O estado limite de formao das fissuras caracterizado pela situao em que asfissuras se apresentam com aberturas caractersticas (wk) iguais aos mximos

especificados. Na tabela 1 indicam-se estes limites, dados pela NBR 6118:2003 emfuno das classes de agressividade ambiental.

Os limites apresentados na Tabela 5.2 so critrios de projeto para garantia daproteo da armadura do concreto contra a corroso. Fissuras reais podemeventualmente ultrapassa os limites indicados na tabela.

Tabela 5.2 Abertura mxima das fissuras caractersticas (wk), paraelementos de concreto armado em funo da classe de agressividade

ambiental.

Classe de agressividade Abertura mxima de Combinao a utilizar

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ambiental fissuras caractersticas

I wk< 0,4mm Freqente

II wk< 0,3mm Freqente

III wk< 0,3mm Freqente

Iv wk< 0,2mm Freqente

Para cada elemento ou grupo de elemenos das armaduras passiva e ativa aderente,que controla a fissurao do elemento estrutura, deve ser considerada uma rea crA do concreto de envolvimento, constituda por um retngulo cujos lados no distammais de 7,5 do eixo da barra da armadura (Figura 5.7).

Figura 5.7 Concreto de envolvimento da armadura (NBR 6118, 2003).

O valor caracterstico da abertura de fissuras, kw , determinado para cada parte daregio de envolvimento, o menor entre os obtidos pelas expresses que seguem:

ctm

s

s

sk

fE

w

3

5,12 1

(5.17)

45

4

5,12 1 rs

sk E

w

(5.18)

Onde:

s , , sE , r so definidos para cada rea de envolvimento em exame;

crA a rea da regio de envolvimento protegida pela barra ;

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sE o mdulo de elasticidade do ao da barra considerada, de dimetro ;

o dimetro da barra que protege a regio de envolvimento considerada;

r a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que no esteja dentro de bainha)em relao rea da regio de envolvimento (Acr);

s a tenso de trao no centro de gravidade da armadura considerada, calculadano estdio II.

Nos elementos estruturais com protenso, s o acrscimo de tenso, no centrode gravidade da armadura, entre o estado limite de descompresso e ocarregamento considerado. Deve ser calculado no estdio II, considerando toda aarmadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas.

O clculo no estdio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza aresistncia trao do concreto) pode ser feito considerando a relao entre osmdulos de elasticidade do ao e do concreto igual a 15.

1 o coeficiente de conformao superficial da armadura considerada, considerado2,25 para barras com nervuras.

Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m (caso geralmente aplicado para vigasde pontes), pode-se considerar atendida a condio de abertura de fissuras em toda

a pele tracionada, se a abertura de fissuras calculada na regio das barras maistracionadas for verificada e se existir uma armadura lateral (armadura de pele) quedeve ser 0,10% Ac, alma em cada face da alma da viga composta por barras de altaaderncia (nervuradas) com espaamento no maior que 20 cm.

Para dispensar a avaliao precisa da grandeza de abertura de fissuras a NBR 6118(2003) a NBR limita as tenses conforme Tabela 5.32de forma que limite a aberturamxima de fissuras a 0,3mm. A fissurao depender, portanto da tenso aplicada,dimetro utilizado e espaamento entre as barras.

A anlise deve ser feita no Estdio II, desprezando a resistncia do concreto a

trao e considerando um coeficiente de equivalncia =15.

Tabela 5.3 Valores mximos de dimetro e espaamento, com barras dealta aderncia.

Tenso na

barra

Valores mximos

Concreto sem armaduras ativas Concreto com armaduras ativas

S

MPa max

mm Smaxcm max

mm Smaxcm

2Tabela corrigida Segundo Emenda ABNT 6118:2003/Emd.1:2007. No prefcio da Emenda, a ABNT esclareceque essa emenda, em conjunto com a ABNT NBR 6118:2003, equivale ABNT NBR 6118:2007.

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63

160 32 30 25 20200 25 25 16 15240 20 20 12,5 10280 16 15 8 5320 12,5 10 6 -360 10 5 - -400 8 - - -

Para uma anlise mais precisa das tenses nas armaduras pode-se lanar mo de umaanalise mais apurada do momento de inrcia fissurado analisando as fissuras em todaa viga como segue. Para tal caso deve-se aplicar nas formulaes de tenso omomento de inrcia efetivo ou equivalente ao invs ao invs da aplicao direta domomento de inrcia da seo para o Estdio II. Este tipo de anlise conduz aestimativas mais realistas da fissurao.

Em vigas submetidas flexo ocorre variao do valor do momento fletor entresees adjacentes ao longo do vo, originando tambm variao na altura da linhaneutra e, conseqentemente, na profundidade das fissuras.

Antes da publicao da nova verso da NBR 6118 era usual a aplicao do momentode inrcia no Estdio II puro, que no considera esta variao do momento fletor,baseando seu clculo na seo mais crtica, desprezando a menor solicitao sobreas demais sees. H tambm uma parcela no considerada, que se refere contribuio da resistncia trao das sees de concreto ainda ntegro entrefissuras.

O objetivo da utilizao do momento de inrcia efetivo ( eI ), conforme calculado pelaFrmula de Branson, incluir estas parcelas e conduzir a estimativas mais precisas docomportamento dos deslocamentos e fissuras conseqentes do carregamento. AFigura 5.8 apresenta o comportamento descrito anteriormente.

Figura 5.8 Viga apresentando dimenses das fissuras e posio da linha neutra variando com aintensidade dos momentos fletores numa viga biapoiada (http://www.lmc.ep.usp.br).

Para a verificao, portanto no ELS a NBR 6118/2003 recomenda a aplicao domomento de inrcia efetivo ( eI ), calculado pela expresso que segue, conhecidacomo Frmula de Branson:

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64

cIImx

rc

mx

re IIM

MI

M

MI

33

1 (5.19)

Onde:

rM o momento de fissurao transcrito anteriormente na Equao (5.15);

maxM o momento fletor mximo atuante no vo, dependente das condies de apoioe dos carregamentos;

cI o momento de inrcia da seo bruta de concreto;

III o momento de inrcia da seo no estdio II;

O valor da inrcia equivalente proporcionar valores mais precisos de tenses nasarmaduras e conseqentemente valores de abertura de fissuras mais precisos.

Obs.: Mr deve ser reduzido metade quando a armadura de trao composta porbarras lisas, ou seja, CA-25.

5.2

ESFORO CORTANTE

Conforme a NR 6118 (2003) sero apresentadas formulaes para dimensionamentode vigas ao esforo cortante.

5.2.1Modelo de clculo I

O modelo I admite diagonais de compresso inclinadas de = 45 em relao ao

eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementarVc tenha valor constante, independente de VSd.

a) Verificao da compresso da diagonal do concreto:

dbfV wcdVRd 22 27,0 (5.20)

Onde:

8/10/2019 Eng 115 - Pontes_ed

eng 115 - pontes_edição2_r00

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