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UTFPR

Engenharia Elétrica

Probabilidade e Estatística

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Ementa da disciplina

Conceitos e Definições;

Distribuição de Frequências;

Medidas de Tendência Central ou de Posição;

Medidas de Dispersão ou de Variabilidade;

Medidas de Assimetria e Curtose;

Teoria Elementar da Probabilidade;

Distribuições Discretas de Probabilidade;

Distribuições Contínuas de Probabilidade;

Teoria da Estimação;

Teoria da Decisão Estatística;

Teste Qui-Quadrado;

Controle Estatístico de Processo (CEP);

Análise de Variância (ANOVA);

Análise de Correlação e de Regressão.

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Referências Bibliográficas

Básicas:

MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6.ed. São Paulo: Edusp, 2005.

MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983.

MONTGOMERY, D. C. e RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para engenheiros. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

Complementares:

COSTA NETO, Pedro L. O. Estatística. 2.ed. São Paulo: Blücher, 2002.

DEVORE J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: Pioneira Thomson, 2006.

LARSON, R. et al. Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson Education, 2004.

LEVINE, David. M. et al. Estatística: teoria e aplicações usando MICROSOFT EXCEL em português. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

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Introdução

A estatística é uma ciência exata do conhecimentohumano que surgiu da necessidade de manipulaçãode dados coletados (coleta, organização, análise einterpretação), afim de extrair informações deinteresse dos mesmos para testar uma hipótese.

Origem na Roma Antiga: levantamentos quebuscavam o registro de todos os indivíduos de algumacamada social, bem como inventário de suaspropriedades, com a finalidade de se determinar comoe quem deveria ser taxado e/ou convocado ao serviçomilitar.

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Definição

População: São casos, dados, objetos ou grupos depessoas que apresentam característica comum observável.Corresponde ao sistema ou ao todo que se quer descrever.Seu tamanho, em geral, é expresso pela letra N(maiúscula).

Amostra: É um subgrupo ou parte representativa de umapopulação e deve representar qualitativa equantitativamente o todo de que foi extraída, em geral, éexpresso pela letra n (minúscula).

Censo: É um conjunto de dados estatísticos que informadiferentes características de uma população, em relação auma ou mais variáveis descritoras.

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Definição

O censo ou recenseamento demográfico é uma pesquisarealizada pelo IBGE a cada dez anos. Através dele, reunimosinformações sobre toda a população brasileira.

Esse estudo é realizado, normalmente, de dez em dez anos,na maioria dos países.

Início: 1872->1890->1900->1920->1940->1950->1960->1970->1980->1991->2000->2010.

IBGE: Criado em 1936

Contagem da população: O censo seguinte foi previsto para

2015, ao custo de R$ 1 bilhão. Entretanto, em razão decontenção orçamentária, foi adiado para 2016 e, depois,adiado novamente, por tempo indeterminado.

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Conceitos

Amostragem: estudo das relações existentes entre a amostra e a população de onde se foi extraída.

Objetivo: estimar parâmetros da população;

Parâmetros: valor desconhecido associado a uma característica da população, média, variância.

Estimador: função que estima o valor de um parâmetro

baseando-se nas observações de uma amostra;

n

i

ixn

x1

1

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Conceitos

Tipos de amostragem:

Amostragem simples: é aquela retirada de uma

população de tal forma que cada possível amostra de um dado tamanho tem chance igual de ser selecionada. (homogênea)

Slide_Amostragem.xlsx

Amostragem estratificada: são populações heterogêneas, mas podemos distinguir nela subpopulações mais ou menos homogêneas.

Amostragem sistemática: é aquela onde a população

está naturalmente ordenada.

Antes da análise é necessário definir a(s) característica(s) de interesse que deverão ser verificadas.

Variáveis qualitativas: resulta de uma classificação por tipo ou atributos, qualidade ou característica.

Nominal;

Não tem ordenação no atributo.

Ordinal.

Com ordenação no atributo

Variáveis quantitativas: Aquelas que dão sentido de contagem, medida ou mensuração.

Discreta;

Conjunto finito e infinito numerável de valores.

Contínua.

Conjunto infinito de valores.

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Variáveis Qualitativas

Nominal:

Exemplos:

1. População: Peças produzidas por uma máquina. Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa).

2. População: Moradores de Curitiba. Variável: cor dos cabelos (loiro, preto, ruivo acobreado, loiro platinado, chocolate, loiro dourado, vermelho, castanho escuro, preto perolado).

3. População: Candidatos a um exame de vestibular. Variável: sexo (feminino, masculino).

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Variáveis Qualitativas

Ordinal:

Exemplos:

1. População: Candidatos em concurso. Variável: grau de instrução (fundamental, médio ou superior).

2. População: Clientes de uma loja de sapatos. Variável: classe social (baixa, média ou alta).

3. População: População brasileira. Variável: questionário sobre a economia do país (péssima, má, regular, boa ou excelente).

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Variáveis Quantitativas

Discreta:

Exemplos:

1. População: Casais residentes em uma cidade. Variável: número de filhos.

2. População: Peças produzidas por uma certa máquina. Variável: número de peças produzidas por hora.

3. População: Aparelhos produzidos em uma linha de produção. Variável: número de defeitos por unidade.

Slide_Amostragem.xlsx

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Variáveis Quantitativas

Contínua:

Exemplos:

1. População: Peças produzidas por uma certa máquina. Variável: Dimensão do diâmetro externo.

2. População: funcionários de uma empresa. Variável: Salários.

3. População: Pregos produzidos por uma máquina. Variável: Comprimento.

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Resumo da classificação das variáveis

Distribuição de frequências (Tabelas)

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Tabelas de valores para dados qualitativo nominal

Tabela 1: Variação dos Produtos Agrícolas na Região Sul.

Fonte: O autor (2017).


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Tabelas de valores para dados qualitativo ordinal

Tabela 2: Nível de Ensino da Faculdade “X”, na cidade de

Curitiba, em 2001.



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Tabelas de valores para dados quantitativo discreto

Tabela 3: População do Brasil, em 2017.

Tabela 4: População da França, em 2017.Fonte: O autor (2017).



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Tabelas de valores para dados quantitativo contínuo

Tabela 5: Salários dos Funcionários da Empresa “Z” na

cidade de Curitiba, em 2001.


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Tabela

É uma apresentação de dados numéricos de modo resumido e é utilizada principalmente para a apresentação de comparações.

A tabela compõe-se de:

Corpo: É o espaço que contém as informações sobre o estudo

propriamente dito;

Cabeçalho: É a parte superior da tabela, que especifica o conteúdo das

colunas;

Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;

Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;

Casa ou célula: espaço destinado a um só número;

Título: É a indicação que precede a tabela e contém a identificação de três fatores do estudo: a época a qual se refere, o local onde o mesmo ocorreu e o estudo que é descrito;

Fonte: É a indicação da responsabilidade pelas informações sobre o estudo, contidas no corpo da tabela.

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Séries estatísticas

ANOS TONELADAS

1997 85498

1998 32548

1999 42358

Produção de Borracha Natural na cidade “Y”.

Fonte: IBGE 2001.

CABEÇALHO

TÍTULO

COLUNA INDICADORA

CORPO

COLUNA INDICADORA

LINHAS

CASA OU CÉLULA

RODAPÉ

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Distribuição de Frequência

Tabela de Distribuição de frequência: são tabelas que relacionam cada medida possível em uma observação à frequência com que ocorreu nos dados.

Dados Brutos: são os dados coletados, que ainda não foram numericamente organizados.

Rol: é a organização dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente de grandeza.

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Elementos de uma distribuição de frequência:

1. Classe de frequência: são intervalos de variação da variável.

2. Limites de classe: são os valores extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe (Li) e o maior número, o limite superior da classe (Ls).

3. Amplitude amostral: é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra e indicada por A :

A = xmáx – xmin

4. Amplitude total da distribuição (AT): é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo).

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5. Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por c.

c = Ls – Li

6. Ponto Médio de uma classe (PM): é o ponto médio que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

PM = (Li + Ls)/2

7. Frequência simples ou absoluta de uma classe: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.

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Tabela de Distribuição de Frequência

Primeiro Roteiro (utilizado por Scott, 1979).

1. Determinar o nº de classes (k): em geral, até 100 dados usa-se tomar o inteiro mais próximo da raiz do nº de dados (n). Para mais que 100 observações, usa-se o inteiro mais próximo de 5.log(n).

2. Determinar a amplitude de cada classe (c): toma-se a amplitude total dos dados (representada por AT), e divide-se tal valor pelo nº de classes menos 1.

c = AT / (k - 1)

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Tabela de Distribuição de Frequência

3. Determinar o limite inferior da primeira classe Li1 e os demais limites de classe:

Li1= menor valor da amostra – (c / 2)

Ls1= Li2= Li1 + c

4. Determinar a frequência de dados observados em cada classe (por meio da contagem simples dos dados que caem entre os limites da classe) e construir a tabela.

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Exemplo

49 48 55 49 46 52 49 49 57 48

47 50 53 52 54 45 52 50 46 49

46 55 52 50 61 50 53 51 50 50

60 43 46 47 49 52 45 45 51 51

50 50 48 46 53 47 45 40 61 47

54 39 46 44 53 49 50 50 50 47

44 51 52 48 51 46 50 47 60 45

48 51 52 50 57 48 50 46 54 52

47 52 47 51 53 49 45 49 54 51

56 56 55 51 53 51 51 50 51 50

Quadro 5 – Dados referentes ao salário semanal, em dólares, de 100 trabalhadores.

Fonte: Hoel, 1986.

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Resolução do exemplo utilizando o roteiro de Scott

1º Passo:

K=10

2º Passo:

A = 61 – 39 = 22

3º Passo:

c = 22 / (10 - 1) 2,44

4º Passo:

Li1 = 39 – (2,44 / 2) = 37,78

Ls1 = Li2 = 37,78 + 2,44 = 40,22

Ls2 = Li3 = 40,22 + 2,44 = 42,66

5° Passo:

Construção da tabela de distribuição de frequência

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Distribuição de frequência dos salários semanais de 100 trabalhadores

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Tabela de distribuição de frequência

20 Roteiro (utilizado pelo Excel).

1. Determina-se o nº de classes (k): Não há uma regra exata para determinar o número de classes, apenas orientações práticas para o analista.

maior.ou menor inteiro valor o para resultado o doArredondan

2

.)log(322,31

n

nk

nk

k

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2. Determina-se o cálculo da amplitude amostral (A):

A=maior valor da amostra subtraído do seu menor valor

3. Determina-se o cálculo da amplitude de classe (c):

c = AT / k

4. Encontra-se os limites da tabela:

Li1 = menor valor da amostra

Ls1= Li1+c = Li2

6

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5. Determina-se a frequência de dados observados em cada classe (por meio da contagem simples dos dados que caem até o limites da classe) e constrói a tabela.

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Distribuição de frequência dos salários semanais de 100 trabalhadores

49 48 55 49 46 52 49 49 57 48

47 50 53 52 54 45 52 50 46 49

46 55 52 50 61 50 53 51 50 50

60 43 46 47 49 52 45 45 51 51

50 50 48 46 53 47 45 40 61 47

54 39 46 44 53 49 50 50 50 47

44 51 52 48 51 46 50 47 60 45

48 51 52 50 57 48 50 46 54 52

47 52 47 51 53 49 45 49 54 51

56 56 55 51 53 51 51 50 51 50

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Exercícios

Dado as tabelas abaixo, construa:

A tabela de distribuição de frequência utilizando as funções do Excel.

A tabela de distribuição de frequência utilizando a ferramenta análise de dados do Excel.

37 41 36 40 40

39 42 40 40 45

44 41 39 42 40

46 43 41 35 40

40 14 41 40 40

40 39 38 38 41

48 35 30 36 33

53 41 39 38 47

Quadro 2 - Estatura de 40 Alunos da Escola A (cm)

Quadro 1 - Grau Alcoólico (°GL) em Aguardente de Cana, UFLA, 1999

166 160 161 150 162 160 165 167 164 160

162 161 168 163 156 173 160 155 164 168

155 152 163 160 155 155 169 151 170 164

154 161 156 172 153 157 156 158 158 161

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Dado o quadro abaixo, construa a distribuição de frequência.

58 62 80 57 8 126 136 96 144 19

90 86 38 94 82 75 148 114 131 28

66 95 121 158 64 105 118 73 83 91

50 92 60 52 89 58 10 90 94 74

9 75 72 157 125 76 88 78 84 36

Consumo Mensal de Energia Elétrica, por 50 Usuários Particulares - KWH

Exercícios

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Tipos de frequências

Frequência Simples ou Absoluta (f) são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe.

Frequência Percentual: é cada um dos valores representado pela sua porcentagem em relação ao total.

Frequência Acumulada: é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe.

Frequência Percentual Acumulada: é o total das frequências percentuais de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

Tipos de gráficos

Dados quantitativos

Dispersão unidimensional e multidimensional;

Histograma;

Linha;

Polígono de frequência;

Dados qualitativos

Barras;

Setores (Pizza).

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Tipos de gráficos

Gráfico de barras;

Para variáveis qualitativa e quantitativa;

Todo gráfico de barras parte de uma tabela de

frequência;

Podem ser usados com a frequência absoluta ou com a frequência relativa (%).

Exemplo: Slide 16.

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Séries estatísticas

Quando realizamos um levantamento estatístico, o que obtemos como resultado é chamado de série estatística.O modo de condensação ou apresentação

das informações pode ser na forma de tabelas ou de gráficos que facilitam a visualização do fenômeno, permitem a comparação com outros elementos ou,

ainda, fazer previsões.

Diferenças de Séries Estatísticas:

A época: (fator temporal ou cronológico) a que se refere o fenômeno observado;

O local: (fator geográfico) onde o fenômeno acontece;

O fenômeno: (fator específico) que é descrito.

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Tipos de Séries

ANOS HABITANTES

1960 70.070

1970 93.139

1980 118.562

1990 155.822

Fonte: IBGE

Série histórica, cronológica, temporal ou marcha:

quando os resultados das observação do fenômeno são

registrados ao longo do tempo.

População do Brasil

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Tipos de Séries

Regiões Área (%)

Norte 45,25

Nordeste 18,28

Sudeste 10,85

Sul 6,76

Centro - Oeste 18,86

Série geográfica, espacial, territorial ou de

localização: o local varia, permanecendo fixos o tempo

e o fenômeno.

Fonte: IBGE, 2001.

Área Terrestre – Brasil

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Tipos de Séries

Processos Quantidade

Oxigênio Básico 30.698

Forno Elétrico 10.567

EOF 1.245

Fonte: IBS.

Série específica ou categórica: quando o fenômeno é

observado segundo algumas categorias, permanecendo

fixos o tempo e o local.

Produção Brasileira de Aço Bruto, em 1999.

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Tipos de Séries

Distribuição de Frequências: neste tipo de série estatística o tempo, o local e o fenômeno permanecem fixos. O fenômeno considerado é uma variável quantitativa (discreta ou contínua) e seus valores observados são descritos considerando o número de vezes que ocorreram na série (frequência).

Classe Frequência

0 |— 1 12

1 |— 2 10

2 |— 3 8

3 |— 4 4

4 |— 5 1

Fonte: IBS

Dados referentes ao número de filhos por casais no Departamento de Matemática na

cidade de Curitiba no ano de 2010.

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Gráficos estatísticos

Os principais tipos de gráficos são:

1. Diagramas: são figuras geométricas dispostas em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas.

2. Cartogramas: gráficos representadas em cartas geográficas, largamente difundidas em geografia e história.

3. Pictogramas: gráficos que tem por objetivo despertar a atenção do público em geral.

Veja nos próximos slides alguns exemplos de gráficos:

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Cartograma

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Pictograma

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Medidas de Tendência central

VALOR ESPERADO (MÉDIA - ): é a mais utilizada.

MÉDIA ARITMÉTICA: soma de todos os valores

dividida pelo número de valores.

_

x

n

x

x

n

i

i 1

47

28

7

3466432

x 4,32,3,4,6,6,

:abaixo valoresdos média a Determine :Ex

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n

i

i

n

i

ii

f

xf

x

1

1

• Média ponderada: se dá pela frequência de ocorrência de

cada ponto médio de classe.

5,324

)1*7(...)5*3()4*2()3*1(

x


Prof: Amaral 48

n

i

i

n

i

ii

f

Pm*f

x

1

1

2,721

)3*11()6*9()5*7()4*5()3*3(

x


• Média ponderada: se dá pela frequência de ocorrência de

cada ponto médio de classe.

9

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Valor central (Mediana - Md ): é a mais utilizada quando os dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Se n é impar, a mediana é o valor de posição central (1+n)/2;

Md=x(1+n)/2

Se n é par, a mediana é a média entre os dois valores centrais:

Md=(xn/2+xn/2+1)/2


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Mediana - Exemplos

É o valor situado de tal forma que separa em dois

subconjuntos de mesmo número de elementos.

Ex1: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9

Rol crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18

Md = 10

Ex2: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21

Md = (10+12)/2 = 11

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Tabela de dados agrupados

Encontre a mediana da tabela de distribuição abaixo:

Como temos 34 valores, nossa mediana será a média

entre os termo que ocupam o 17° e o 18º lugar, ou seja,

posição 2.

Mediana - Exemplos

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Expressão para o cálculo:

série. da valoresde totalNúmeron

mediana; a contém que classe da Amplitudec

mediana; a contém que classe da Frequência

mediana; a contém que classe aanterior acumulada FrequênciaF

mediana; a contém que classe dainferior LimiteLi

.2

Md

Md

AA

Md

f

cf

Fn

LiMd Md

Md

AA

Md


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Tabela de dados agrupados

Encontre a mediana da tabela de distribuição.

13F 11,F

4,c 158,Li 20,P

AA

5,16011

4*)1320(581Md

Mediana - Exemplos

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Moda: é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

Ex1: 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15

A moda é 10.

Ex2: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9

A moda é 4, 7.


10

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Moda igual a 3.


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Expressão para o cálculo: Fórmula de Czuber

MoMo cdd

dLiMo .

21

1

modal. classe da amplitudec

posterior; a e moda a

contém que classe da frequência a entre Diferençad

anterior; a e moda a

contém que classe da frequência a entre Diferençad

modal; classe dainferior LimiteLi

Mo

2

1

Mo


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3811d

2,911d 4,c 8,15Li

2

1

159,632

4*2158Mo


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Média Geométrica: São empregadas em observações

positivas referentes a crescimentos exponenciais (como

taxas de avanço de doenças, número de habitantes de

regiões em colonização, crescimento de produtividade e

lucro em alguns negócios, etc...). A média geométrica é a

raiz n-ésima do produto das n observações.

Ex: O conjunto de dados {2,6,15,59} tem média

geométrica igual á:

15,1059.15.6.24 G


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Média Harmônica: Para fenômenos que dependem

fortemente do menor dos dados, calculadas pelo inverso

da média dos inversos. Um exemplo é o cálculo do

tamanho efetivo de populações naturais submetidas a

processos de devastação ecológica (gargalos

populacionais).

Ex: O número de elefantes de uma região ao longo de quatro

gerações foi de {2000, 20, 250,1500}, a média harmônica desta

amostra é:51,72

1500

1

250

1

20

1

2000

1.

4

1

1

H


Prof: Amaral 60

Encontre a média, moda e a mediana das classes abaixo:

Fonte: Pesquisa “y”

Exercício

11

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Exercício

Os dados abaixo representam o diâmetro das

tubulações para cabos. Com esses dados monte a

distribuição de frequência e calcule a média, moda e a

mediana.

10,938 10,948 11,872 11,912 11,936 11,998 12,264 12,320 12,432 12,452 12,900 12,934 12,980 13,184 13,250 13,28213,875 13,936 13,952 13,997 18,308 18,408

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Separatrizes

Tipos:

Mediana: divide a série em duas partes iguais;

Quartil: divide a série em quatro partes iguais;

Decil: divide a série em dez partes iguais;

Percentil ou Centil: divide a série em cem partes iguais.

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f

c*)F(PLiS AA

classe. de amplitude c

a;selecionad classe da Frequência

anterior; acumulada FrequênciaF

;separatriz da posição P

inferior; limiteLi

AA

f

Separatrizes

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Exemplos:

Calcule:

a) Os pesos de 30% menores;

b) Os pesos 25% maiores;

c) Os pesos que separam os 20%

pesos medianos.

Separatrizes

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a) Os 30% menores pesos estão no início, então

retiramos os dados: P=30% de 40 (total) = 12;

Li=154; FAA=4; c=4 e F=9.

157,569

4*4)(12154S

b) Os 25% maiores estão no final, então são 75% da

série: P=75% de 40=30, Li=162, FAA=24,c=4 e F=8.

1658

4*4)2(30162S

Separatrizes

Prof: Amaral 66

c) Nesse caso temos dois valores os 20% medianos;

esses 20% ficam no meio da série, então: 20% é

40% de 40=16;

d) Adicionando mais 20% temos 60%

Separatrizes

12

Prof: Amaral 67

Exercício:

Calcule:

a) O valor que separa 25% dos

salários menores;

b) O valor acima do qual estão 20%

dos salários maiores;

c) Os valores que separam 30% dos

salários medianos.

Separatrizes

Prof: Amaral 68

Medidas de Posição

1. Amplitude Amostral: é a mais simples e precária medida

de variabilidade. Representa a diferença entre o maior e o

menor valor coletado na amostra.

A=máximo-mínimo

Exemplo

Para a amostra dos salários semanais em dólares dos 100

trabalhadores a amplitude amostral é:

A = 61 - 39 = $ 22

Prof: Amaral 69

Medidas de posição

2. Desvio Médio: é construído tomando a média dos

desvios em relação à média geral dos dados.

Exemplo

1. Considere a amostra {2,3,5,7,8}: Encontre o seu desvio

médio:

A média é 5 e seus desvios são: {-3,-2,0,2,3}. Os módulos dos

desvios são {3,2,0,2,3} e seu desvio médio igual a 2.

Prof: Amaral 70

1-

.

1-

1

2

21

2

2

n

fxPm

sn

xx

s

n

i

i

n

i

i

3. Variância: mede a dispersão do conjunto dos dados de

uma amostra em relação à sua respectiva média.

AGRUPADOS dados para AGRUPADOS NÃO dados para


Variância populacional

Variância amostral

Prof: Amaral 71

4. Desvio-padrão: Um aspecto desconcertante da variância

é que devido ao seu método de cálculo o resultado é

expresso em unidades ao quadrado. Assim, o desvio-

padrão é a raiz quadrada da variância.

s 2s


Prof: Amaral 72

Coeficiente de variação

É a relação entre o desvio padrão e a média da distribuição. Utilizada

quando o objetivo é comparar a variabilidade de diferentes distribuições,

com diferentes valores para sua esperança.

μ

σCV%

ERRO PADRÃO DA MÉDIA

Essa medida é importante por indicar precisão que se atingiu no cálculo

da média com amostras de tamanhos diferentes.

n

ss

n

σσ xx

13

Prof: Amaral 73

Ou seja, embora as amostras A e C tenham a mesma variabilidade, o erro no

cálculo da média por amostras em C é o dobro do cometido em A.

3

2:C

3

1:B

3

1:A

YYYSSS

Como exemplo, sejam as seguintes amostras: A={1,2,3}, B={3,4,5} e

C{2,4,6}. O CV destas amostras são:

A=CV%=50% B=CV%=25% C=CV%=50%

Ou seja, embora A e B tenham a mesma variabilidade absoluta, em relação

às suas médias A é muito mais variável que B. Embora C tenha a maior

variabilidade absoluta dentre as três, em relação à suas médias, é tão

variável quanto A.

Já para o erro padrão da média, encontramos os seguintes resultados:

Exemplo

Prof: Amaral 74

Medidas de Assimetria

É o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição.

Distribuição simétrica:

Quando a média = mediana = moda

Distribuição assimétrica à esquerda:

Quando a média < mediana < moda

Distribuição assimétrica à direita:

Quando a média > mediana > moda

Prof: Amaral 75

Coeficiente de Assimetria de Pearson:

É dado pela expressão:

padrão. desvio :

moda; :

amostral; média :

Pearson; de Assimetria de eCoeficient

:Onde

s

Mo

x

As

s

MoxAs

Medidas de Assimetria

Prof: Amaral 76

Medidas de curtose

É o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal.

Leptocúrtica:

Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais fechada que a normal.

Platicúrtica:

Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais aberta que a normal.

Mesocúrtica:

É a curva normal, adotada como base referencial.

Prof: Amaral 77

Coeficiente de curtose de Keley:

É dado pela expressão abaixo:

decil. Nono:

decil; Primeiro:

quartil; Terceiro:

quartil; Primeiro:

Keley; de eCoeficient :

:Onde

2

9

1

3

1

19

13

D

D

Q

Q

C

DD

QQC

chata. mais ca,platicúrti

afilada; mais ca,leptocúrti

a;mesocúrtic

2630

2630

2630

,C

,C

,C

:Se

Medidas de curtose

ementa da disciplina utfpr conceitos e definições ...webdrive.guilst.com/data/eng comp utfpr/28...

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