elza gouveia durÃo maria margarida baldaque€¦ · nova ediÇÃo: es e o novo programa de 2013....

NOVA EDIÇÃO:

De acordo com as Metas Curriculares

e o Novo Programa de 2013.

ELZA GOUVEIA DURÃOMARIA MARGARIDA BALDAQUE

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

ÍndiceCapítulo 1 NÚMEROS NATURAIS

Saber fazer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Ficha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Capítulo 2 POTÊNCIAS DEEXPOENTE NATURAL

Saber fazer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Saber fazer 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ficha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ficha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ficha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ficha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Capítulo 3 SEQUÊNCIASE REGULARIDADES.PROPORCIONALIDADEDIRETA

Saber fazer 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ficha 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ficha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Ficha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Problemas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Capítulo 4 FIGURASGEOMÉTRICASPLANAS. PERÍMETROE ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

Saber fazer 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Saber fazer 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Ficha 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ficha 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Ficha 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Ficha 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ficha 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Problemas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Capítulo 5 SÓLIDOSGEOMÉTRICOS

Saber fazer 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ficha 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ficha 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Ficha 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Ficha 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Problemas 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Capítulo 6 VOLUMES

Saber fazer 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Saber fazer 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Ficha 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Ficha 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ficha 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ficha 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Problemas 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Capítulo 7 NÚMEROS RACIONAIS

Saber fazer 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Saber fazer 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Ficha 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ficha 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Ficha 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Problemas 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Capítulo 8 ISOMETRIASDO PLANO

Saber fazer 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Ficha 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Ficha 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Ficha 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Problemas 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Capítulo 9 REPRESENTAÇÃOE TRATAMENTODE DADOS

Saber fazer 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Ficha 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Ficha 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A estudar tambémpodes fazer amigos

e divertires-te!

3NÚMEROS NATURAIS M

ATe

mát

ica

6 –

Cad

ern

o d

e A

poi

o ao

Alu

no

–

T

EX

TO

Nom

e

N.o

Tu

rma

faze

r1

sabe

r Como saber se um número é primo?

Um número natural maior do que 1 é primo se tem apenas dois divisores: o 1 e o próprio

número.

Por outro lado, um número natural maior do que 1 é composto se têm três ou mais divisores.

Para saber se um número é primo ou composto, dividimos esse número pelos números

primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, … até obter:

• resto zero – dizendo, neste caso, Exemplo:que o número é composto

107 não é divisível por 2, 3 e 5, e:

ou

• quociente menor ou igual ao divisor –

dizendo que o número é primo.

logo, 107 é número primo.

Como se decompõe um número composto em fatores primos?

«Todo o número natural composto pode ser decomposto num produto de fatores primos,

sendo essa decomposição única.» – Teorema fundamental da aritmética.

Para decompor um número composto num produto de fatores primos podes recorrer a

um dos seguintes processos:

Exemplo:

107 7

37 15

2

107 11

08 9e

Divisões sucessivas

Dividir o número dado por um divisor primo.

Proceder de igual modo com o quociente

obtido até encontrar o quociente 1.

Em árvore

Escrever o número como produto de outros dois.

Continuar a escrever cada número como

produto de outros dois até encontrar apenas

números primos.

75 3

0 25 5

0 5 5

0 1

75

3 × 25

3 × 5 × 5

quocientes fatores primos

75 3

25 5

5 5

1

75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 52

1. Decompõe em fatores primos: 200, 242, 147 e 315 .

2. Será 149 um número primo? Explica.

Pratica

9 < 11

4 NÚMEROS NATURAIS

faze

r1

sabe

r C o n t .

Como calcular o máximo divisor comum de dois números?

Determinar o m.d.c. (96, 120) :

Como calcular o mínimo múltiplo comum de dois números?

Determinar o m.m.c. (10, 16) :

3. Calcula o m.d.c. e o m.m.c. dos seguintes pares de números, utilizando a decomposição

em fatores primos e calculando os divisores e os primeiros múltiplos naturais.

3.1 3.2 3.3

Calculando os divisores

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 –

divisores de 96

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40,

60, 120 – divisores de 120

24 é o maior divisor comum a 96 e 120.

Pelo algoritmo de Euclides

24 é o m.d.c (96, 120)

Decomposição em fatores primos

120 = 23 × 3 × 5 96 = 25 × 3

Escolhem-se os fatores primos comuns com

o menor expoente e efetua-se o seu produto.

m.d.c. (96, 120) = 23 × 3 = 24

120 2

60 2

30 2

15 3

5 5

1

96 2

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

1

10 2

5 5

1

16 2

8 2

4 2

2 2

1

48 e 80 72 e 100 270 e 36

120 96

24 1

96 24

00 4

Calculando os múltiplos naturais

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 … múltiplos de 10

16, 32, 48, 64, 80 … múltiplos de 16

80 é o menor número natural que é múlti-

plo de 10 e 16.

Decomposição em fatores primos

10 = 2 × 5 16 = 24

Escolhem-se os fatores primos comuns e

não comuns com o maior expoente e efe-

tua-se o seu produto.

m.m.c. (10, 16) = 24 × 5 = 80

Pratica

Recorda: o produto de dois númerosnaturais é igual ao produto do seumáximo divisor comum pelo seu mínimomúltiplo comum.

Números primos e compostos.M.d.c. e m.m.c. de dois números

5NÚMEROS NATURAIS

fich

a 1

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 10

a 2

1

1. Quais dos números seguintes são primos? Justifica com os cálculos necessários.

1.1 59 1.2 127 1.3 231 1.4 1207

2. Decompõe os seguintes números em fatores primos.

2.1 56 2.2 108 2.3 250 2.4 4004

3. Utilizando a decomposição em fatores primos, determina todos os divisores de:

3.1 500 3.2 118 3.3 75

4. Utilizando a decomposição em fatores primos, simplifica as frações:

4.1 4.2 4.3

5. Pela decomposição em fatores primos, determina:

5.1 m.d.c. (72, 300) 5.3 m.d.c. (210, 408)

5.2 m.d.c. (306, 410) 5.4 m.d.c. (96, 112)

6. Pela decomposição em fatores primos, determina:

6.1 m.m.c. (60, 86)

6.2 m.m.c. (24, 360)

6.3 m.m.c. (96, 112)

6.4 m.m.c. (84, 240)

6.5 A soma de com usando o m.m.c. (60, 86) .

144��576

1024��768

512��384

1�60

3�86

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

1fi

cha

6 NÚMEROS NATURAISfi

cha

1 1fi

cha

C o n t .

7. Observa os seguintes números e a respetiva decomposição em fatores primos.

A = 22 × 32 B = 33 × 52 × 7 C = 34 × 52 × 72

7.1 Determina o m.d.c. (A, B) e o m.d.c. (B, C) .

7.2 Determina o m.m.c. (A, C) e o m.m.c. (B, C) .

8. Escreve dois números tais que o seu m.d.c. seja 140.

9. A Teresa tem dois rolos de fita para fazer laços, um com 154 cm e o outro com 374 cm.

Pretende dividi-los em partes iguais, sendo o comprimento de cada parte o maior possível.

Qual deve ser o comprimento de cada parte e em quantas partes fica dividido cada rolo de fita?

10.Dois aviões partem juntos do Funchal no mesmo dia.

Determina quantos dias depois partem novamente juntos e quantas viagens faz cada um,

sabendo que o primeiro avião sai de oito em oito dias e o segundo de 12 em 12 dias.

11. O chão de uma sala retangular tem 450 cm por 350 cm e vai ser pavimentada com mosaicos

quadrados.

Qual é o maior lado que pode ter cada mosaico, sabendo que só podem ser usados mosaicos

inteiros?

12. O produto de dois números naturais é 5070. O m.d.c. desses números é 13.

Qual é o m.m.c. desses números?

7POTÊNCIAS DE

EXPOENTE NATURALM

ATe

mát

ica

6 –

Cad

ern

o d

e A

poi

o ao

Alu

no

–

T

EX

TO

Nom

e

N.o

Tu

rma

faze

r2

sabe

r Como calcular uma potência de base racional e expoente natural?

Calcular 73 ; 104 ; � �2

; 0,13 .

• 73 = 7 × 7 × 7 = 343 • 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

• � �2

= × = • 0,13 = 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001

Calcular a quarta potência de um meio:

� �4

= × × × =

Representar 36 como potência de base 6: 36 = 62

Como calcular uma soma ou uma diferença de potências?

Calculam-se primeiro as potências.

• 24 + 72 = 2 × 2 × 2 × 2 + 7 × 7 = • 23 – � �2

= 8 – = – =

= 16 + 49 =

= 65

• 103 – 35 = 10 × 10 × 10 – 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = • 0,12 + � �2

= 0,01 + = + =

= 1000 – 243 =

= 757

1. Calcula:

1.1 52 1.3 105 1.5

1.2 25 1.4 1100 1.6 2,12

2. Calcula:

2.1 o cubo de 1 2.3 o quadrado de

2.2 o triplo de 1 2.4 o dobro de

3. Liga cada expressão ao seu valor.

2�3

2�3

2�3

4�9

1�2

1�2

1�2

1�2

1�16

2�3

1�9

72�9

1�9

71�9

2�5

4�25

1� �100

4�25

1�2

Não confundas:O dobro de 6 é 2 × 6 = 12

O quadrado de 6 é 62 = 6 × 6 = 36

(× 4)

52 – � �21

�2

82 + 130

– 43�2

33�2

18,5

24,75

130��

2

Pratica

33

�2

3�2

3�2

1�3

Atenção:

� �2

= ; 2

= ; = , logo � �2

� � 2�3

4�9

2�3

4�3

2�32

2�9

2�3

2�32

22

�3

= 17� �100

Atenção:O triplo de 4 é 3 × 4 = 12

O cubo de 4 é 43 = 4 × 4 × 4 = 64

8

faze

r2

sabe

r C o n t .

Pratica

O produto de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e comexpoente igual à soma dos expoentes.

am × an = am + n , com m e n números naturais e a número racional

O quociente de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base ecom expoente igual à diferença dos expoentes.

am : an = am – n , com m e n números naturais, tais que m > n , e a número racional (a ≠ 0)

63 × 64 64 × 62 63 × 6 × 65 67 × 62 × 6

66 67 68 69 610

� �10

× � �7�2

7�2 � �

2× � �

34�2

4�2

25 3,511

= 1,53�2

Nota: = 0,251�4

Como multiplicar potências com a mesma base?

Escrever 124 × 123 na forma de uma única potência:

124 × 123 = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 124 + 3 = 127

4 vezes 3 vezes

Exemplos: � �3

× � �2

= � �3 + 2

= � �5

0,17 × 0,12 = 0,17 + 2 = 0,19

Como dividir potências com a mesma base?

Escrever 135 : 132 na forma de uma única potência:

135 : 132 = = 135 – 2 = 133

Exemplo: 1,543 : � �40

= � �43 – 40

= � �3

Nota:

4. Liga as representações do mesmo número.

5. Completa:

5.1 87 : 82 = _______ ___

5.4 0,110 : 0,17 = _______ ___

5.2 1112 : 1110 = _______ ___

5.5 2,513 : 2,57 = _______ ___

5.3 209 : 203 = _______ ___

5.6 � �9

: 0,25 = _______ ___

13 × 13 × 13 × 13 × 13��13 × 13

5�3

5�3

5�3

5�3

3�2

3�2

3�2

1�4

POTÊNCIAS DEEXPOENTE NATURAL

9

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r3

sabe

r Como multiplicar potências com o mesmo expoente?

Escrever 24 × 34 na forma de uma única potência:

24 × 34 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3) == (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) == (2 × 3)4 = 64

Logo: 24 × 34 = (2 × 3)4 = 64

Exemplos: � �2

× � �2

= � × �2

= � �2

� �7

× 47 = � × 4�7

= 17

Como dividir potências com o mesmo expoente?

Escrever 122 : 62 na forma de uma única potência:

122 : 62 = = × = � �2

= 22

Logo: 122 : 62 = (12 : 6)2 = 22

Exemplos: � �7

: 27 = � : 2�7

= � × �7

= � �7

3,24 : 24 = (3,2 : 2)4 = 1,64

1. Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, corrigindo as falsas.

1.1 45 × 25 = 85 1.8 0,24 × 0,14 = 0,024

1.2 24 × 34 = 68 1.9 34 : � �4

= 14

1.3 53 × 5 = 253 1.10 0,913 : 0,113 = 913

1.4 9 × 92 = 92 1.11 2,32 × 2,3 = 2,32

1.5 64 : 62 = 62 1.12 4,110 : 4,19 = 4,1

1.6 = 14 1.13 � �10

: 0,63 = 0,67

1.7 123 : 63 = 23 1.14 0,513 : � �11

= 0,52

12 × 12�6 × 6

7�3

3�2

7�3

7�2

3�2

1�4

1�4

3�2

3�2

3�2

1�2

3�4

1�3

12�6

12�6

12�6

Pratica

O produto de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmoexpoente e com base igual ao produto das bases.

am × bm = (a × b)m , com a e b números racionais e m número natural

O quociente de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmoexpoente e com base igual ao quociente das bases.

am : bm = (a : b)m , com a e b números racionais (b ≠ 0) e m número natural

1�2

3�5

107

�103


10

faze

r3

sabe

r C o n t .

Como calcular uma potência em que a base também é uma potência?

Trata-se de calcular uma potência de potência. Por exemplo:

(52)3

= 52 × 52 × 52 = 52 + 2 + 2 = 53 × 2 = 56

Exemplo: (1,24)2

= 1,24 × 2 = 1,28

Como calcular o valor de uma expressão que envolve + , – , × , : e ( ) ?

4 × � �3

– 0,52 : (2 + 22 – 4) + 1100 =

= 4 × – 0,25 : (2 + 4 – 4) + 1 =

= 4 × – 0,25 : 2 + 1 =1�8

Para elevar uma potência a um novo expoente mantém-se a base e o expoente é igualao produto dos expoentes:

(an)m = an × m , com a número racional e m e n números naturais

1�8

1�2

• Calcularam-se as potências.

• Calcularam-se as expressões dentro de

parênteses.

• A multiplicação e a divisão têm prioridade

sobre a adição e a subtração.

• Entre duas operações com a mesma prio-

ridade, efetua-se primeiro a que aparece em

primeiro lugar.

Como passar de linguagem natural para linguagem simbólica?

• Triplo do quadrado de sete meios 3 × � �2

• Quadrado do triplo de sete (3 × 7)2

• Diferença entre o quadrado de três e o quadrado de dois 32 – 22

• Quadrado da diferença entre três e uma décima (3 – 0,1)2

2. Aplica a potência de potência a (0,12)3

e a �� 4

�2

.

3. Descobre os erros nas expressões seguintes e corrige-os.

3.1 3 × (5 + 1) = 3 × 5 + 1 = 16

3.2 17 – 2 × 5 = 15 × 5 = 75

3.3 12 : 6 : 2 = 12 : 3 = 4

3.4 Quadrado da soma de sete com dois: 72 + 22 = 53

4. Calcula o valor das expressões.

4.1 9 × � �2

– 52 : (2 + 32 : 3) + (0,12)2

4.2 5 × � �2

: 0,4 + �� 2

�2

7�2

1�2

5�3

2�5

1�2

Pratica

Atenção: (23)2 � 232

ou seja 26 � 29

potênciade potência

potência em que oexpoente é uma potência

= – + 1 = + 1 =3�8

11�8

4�8

1�8


Potências de base racional e expoente natural11

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 3

4 e

35

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

2fi

cha

1. Qual das amigas tem os cálculos corretos?

Justifica a tua resposta.

2. Representa como potência de base 10:

2.1 dez mil; 2.3 dez milhões;

2.2 uma centena de milhar; 2.4 cem milhares de milhões.

3. Completa:

3.1 ________ = � �2

3.3 100 = ________ ___

3.5 0,01 = ________ ___

3.2 = �___�___

3.4 = �___�___

3.6 = �___�___

4. Qual é menor: 57 ou 75 ?

5. Qual é a menor potência de 4 que é maior do que 104 ?

6. Escreve em linguagem simbólica e calcula:

6.1 o dobro de duas décimas;

6.2 o quadrado de um meio;

6.3 o triplo de dois terços;

6.4 o cubo de dois terços;

6.5 a quarta potência de dois quintos;

6.6 o quádruplo de dois quintos;

6.7 a quinta potência de três meios;

6.8 o quíntuplo de três meios.

2�5

1�8

8�27

9�4

72 = 1433 = 9

25 = 10

72 = 4933 = 2725 = 32

MariaTeresa


122

fich

a C o n t .

7. Observa a representação de três cubos.

Representa por uma potência com base e expoente:

7.1 a medida da área da base do cubo A;

7.2 a medida do volume do cubo A;

7.3 a medida da área lateral do cubo B;

7.4 a medida do volume do cubo C;

7.5 a medida da área total do cubo C.

8. Calcula:

8.1 22 – 0,12

8.2 � �2

+ 2

8.3 (5 – 2)3 + 0,52

8.4 199 + 82 – 1200

8.5 + � �2

+ 04

9. Descobre o número misterioso.

9.1 23 + 1 = ?2

9.2 72 + 25 = 3?

9.3 29 – 73 = ?2

9.4 32 + 42 = ?2

9.5 ?3 + 62 = 102

2�3

2�3

2�32

1�3

Aresta = 1,2 cm

A

B

C

Comprimento totaldas arestas = 48 cm

Área de umaface = 36 cm2


Multiplicação e divisãode potências com a mesma base

13

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 3

6 e

37

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

3fi

cha

1. Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, corrigindo as falsas.

1.1 72 × 74 = 76

1.2 106 = 103 × 102

1.3 � �3

× × = � �5

1.4 � �4

: � �2

= 12

1.5 102 = 1015 : 1013

1.6 418 : 48 : 49 = 4

1.7 0,63 + 0,62 = 0,65

1.8 63 – 6 = 62

2. Completa com uma potência ou um expoente, de forma a obteres afirmações verdadeiras.

2.1 43 × __________

= 45 2.9 � �13

: � �___

= 1,5

2.2 7 ___

× 74 = 710 2.10 0,56 × � �___

= � �8

2.3 57 : __________

= 52 2.11 � �___

: � �13

=

2.4 = __________

2.12 1,28 × � �___

= � �10

2.5 11 ___

× 114 : 113 = 113 2.13 � �7

: � �___

=

2.6 __________

= 2516 : 2514

2.7 157 : __________

× 152 = 156

2.8 512 : 5 ___

= 53

3. Escreve na forma de uma única potência.

3.1 34 × 32 × 3 3.5 0,17 × 0,12 × 0,1

3.2 63 × 6 : 62 3.6 2,43 × 2,4 : 2,42

3.3 94 × 93 : 95 3.7 � �4

× � �3

: 1,55

3.4 114 × 112 : 113 3.8 � �53

× � �50

: � �100

4. Escreve sob a forma de uma única potência de base 10 e calcula:

4.1

4.2

104 × 103 × 102

��108

1015

��103 × 109 × 10

5�2

5�2

5�2

5�2

3�2

�

7�3

7�3

�1�2

6�5

6�5

7�3

7�3

7�3

212

�210

4�3

�16�9

3�2

3�2

7�8

7�8

7�8


3�9

5.7 3 × 2

5.8 5 : � �2

5.9 0,13 ×

5.10 × 0,4

3�2

1�2

3�22

143

fich

a C o n t .

5. Observa os seguintes exemplos:

• 3 × 23 = 3 × 2 × 2 × 2 = 24

• 24 : 23 = 24 : (2 × 2 × 2) = 3

Calcula:

5.1 5 × 23

5.2 3 × 42

5.3 160 : 24

5.4 54 : 32

5.5 102 × 23

5.6 23 × 9

6. Escreve 295 e � �10

:

6.1 como um produto de potências com a mesma base;

6.2 como um quociente de potências com a mesma base.

7. Completa com os símbolos > , < ou = .

7.1 712 : 710 _______ 49

7.2 54 × 53 : 56 _______ 5

7.3 1217 : 1216 × 12 _______ 24

7.4 3310 : 339 × 334 _______ 11

7.5 1017 : 1015 × 104 _______ 107

7.6 _______ 182

8. Representa a tua idade por uma expressão numérica que inclua produtos e quocientes de

potências com a mesma base.

9. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras.

9.1 63 + 2 = ______

× ______

9.3 0,25 – 2 = ______

: ______

9.2 109 – 5 = ______

: ______

9.4 0,253 + 2 = �___�___

× �___�___

1817 × 1815

��18

2�3

7.7 1,515 : � �12

_______

7.8 0,754 : 0,752 _______ � �2

7.9 � �5

: 0,24 × 5 _______ 0,5

7.10 0,112 × 1012 _______ 1

3�2

27�8

4�3

1�5

Calculam-se primeiro

as potências.


15

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 3

8 a

41

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

4fi

cha

1. Escreve na forma de uma única potência:

1.1 43 × 23

1.2 102 × 32

1.3 74 × 24

1.4 63 × 43

1.5 45 : 25

1.6 207 : 57

1.7 493 : 73

1.8 1012 : 212 × 212

2. Completa com uma potência ou um expoente, de forma a obteres afirmações verdadeiras.

2.1 83 × ______

= 163

2.2 204 = 24 × 10 ___

2.3 1812 = 312 × ______

2.4 613 = 1213 : ______

2.5 254 : 54 = ______

2.6 903 : 93 = ______

3. Indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifica a tua resposta.

3.1 23 × 53 representa um número com cinco algarismos.

3.2 65 : 25 representa o mesmo que 32 × 33 .

3.3 O produto do quadrado de dois pelo quadrado de três é o quadrado de seis.

3.4 0,117 : 0,115 é maior do que uma centésima.

3.5 53 × 18 × 23 é o mesmo que dezoito milhões.

3.6 = 3,22a + b sendo a > b .3,22a�� 3,22b

1.9 0,42 × 0,12

1.10 � �2

× 52

1.11 � �3

× � �3

1.12 � �5

: 45

1.13 7,53 : 0,53

1�5

2�3

3�2

8�3

2.7 0,54 × ______

= 24

2.8 1,45 = 1,43 × 1,4 ___

2.9 � �7

= 87 × �___�___

2.10 � �9

× �___�___

= 1

8�6

5�4

Multiplicação e divisãode potências com o mesmo expoente


164

fich

a C o n t .

4. Transforma cada expressão numa única potência.

4.1 42 × 43 : 25 4.4 410 : 210 × 24

4.2 44 : 41 × 23 4.5 93 × 23 : 93

4.3 156 : 56 : 33 4.6 113 × 23 : (2 × 22)

5. Escreve 249 e � �11

:

5.1 como um produto de potências com o mesmo expoente;

5.2 como um quociente de potências com o mesmo expoente.

6. Lê o seguinte texto.

Quem é o mais novo? Justifica a tua resposta.

7. Escreve na forma de uma única potência com base e expoente.

7.1 (0,12)3

7.4 0,123

7.2 �� 2

�2

7.5 232

7.3 (0,25)2

7.6 0,252

8. Escreve uma potência de potência que represente .

2�3

16�81

2�3

Eu tenho 217 : 215 × 22

anos.Eu tenho,

em anos, o dobro do cubo de dois.

Diogo João Pedro

Eu tenho45 × 35 : 124

anos.


17

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 4

2 e

43

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

5fi

cha

1. Calcula:

1.1 22 + 317 : 315

1.2 23 × 22 – 423 : 422

1.3 52 + 202 : 42

1.4 64 : 34 – 152 : 52

1.5 (2 + 617 : 616) + 213 : 211

1.6 326 : 166 – 213 : 212 × 2

2. Que propriedades da multiplicação se aplicaram nas igualdades seguintes?

2.1 105 × 19 × 103 = 19 × 108 _______________________________________________________________

2.2 2 × 37 + 5 × 37 = (2 + 5) × 37 _______________________________________________________________

2.3 33 × 64 × 32 × 6 = 35 × 65 _______________________________________________________________

3. Coloca, por ordem decrescente, os números representados em cada cartão.

A cada número faz corresponder a respetiva letra. Se as colocares corretamente, obterás o

nome de um português célebre. Quem foi e por que motivo se celebrizou?

4. Sabe-se que num milímetro cúbico de sangue há cerca de cinco milhões de glóbulos vermelhos.

Quantos glóbulos vermelhos há em 2 litros de sangue? Apresenta a resposta como potência de

base 10.

5. Calcula o valor da expressão.

2 × + � �8

: � – 1�5

+ 2 × 0,121�23

1�2

3�2

E2 23 : 22

A23 22 - 2

S23 : 22 : 2

C2 + 23 22

M22 23 : 2

O(22 + 23) : 2+ + + +

1.7 32 + 0,511 : � �10

1.8 � + 2�20

: � �20

1.9 � – 1�20

: �2 – �15

: � �2

1.10 � – 1�14

× � �14

+ 2 × 0,12

1.11 : � × �2

+ 0,3 × 22

1�2

1�2

5�3

7�4

5�4

3�4

5�3

3�2

3�16

1�3

3�4

Prioridade das operações.Regras operatórias


185

fich

a C o n t .

6. Para calcular a medida da área do roseiral, que vês representado, três amigos escreveram:

Nuno: 35 × 15 – 152 Rui: 35 – 152 Jorge: (35 – 15) × 15

Quem se enganou? Explica os cálculos efetuados

pelos outros dois amigos.

7. Verdadeiro ou falso?

7.1 24 = 2 × 4 7.2 0,22 = 0,2 × 2 7.3 154 : 54 = 38

7.4 O produto de quatro pelo quadrado da soma de um meio com um quarto é o quadrado de

quinze décimas.

8. A figura ao lado é formada por um triângulo e por um quadrado.

Para esta figura, o que representa a expressão 82 + 82 : 2 ?

Calcula-a.

9. Qual é o valor de a ?

9.1 63 × a3 = 423 9.3 (22)a = 224

9.2 154 : a4 = 34 9.4 (514 : 52)a : (514 × 53) = 57

10. Observa as figuras A e B. Os cubos são congruentes.

Escreve uma expressão numérica onde uses potências

e que represente:

10.1 a medida do volume do paralelepípedo A;

10.2 a medida do volume do cubo B.

11. Observa os cálculos:

5 + 5 + = 11 5 – = 3

Em cada expressão, o número 5 entra quatro vezes. Usando quatro vezes o número 5, escreve

três expressões com resultados diferentes.

5�5

5 + 5� �

5

15 m

15 m

35 m

RoseiralHorta

8 m

16 m

45 cm

B

A

45 cm


19SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.

PROPORCIONALIDADE DIRETA

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r4

sabe

r Como determinar termos, ordens e lei de formação de uma sequência?

Exemplo: 9, 18, 27, 36, 45, … → é a sequência dos múltiplos naturais de 9:

• 9 é o primeiro termo desta sequência ou termo de ordem 1 e 36 é o quarto termo outermo de ordem 4.

• 9 × n ou 9n é a lei de formação ou termo geral desta sequência, sendo n númeronatural.

Como descobrir termos de uma sequência?

Exemplo:Admitindo que a regularidade se mantém,deves observar e descobrir essa regularidade:

neste caso, cada termo tem mais dois qua-

drados do que o termo anterior.

Assim:

A sequência numérica correspondente é

1, 3, 5, 7, 9, …

Como determinar termos de uma sequência conhecida a sua lei de formação?

Exemplo: Determinar os dois primeiros termos da sequência cuja lei de formação é + 2n2 .

Como formular em linguagem natural a lei de formação compatível com umasequência parcialmente conhecida?

Exemplo: 4, 7, 10, 13, 16, …

• O 1.o termo é 4 e cada termo é a soma do termo anterior com 3.

• Simbolicamente, a expressão geradora desta sequência é 3n + 1 .

1. Observa cada uma das seguintes sequências. Descobre uma regularidade e determina

os três termos seguintes.

1.1 … 1.2 , , …

1�3

1�3

1�6

1�9

1.o termo 2.o termo 3.o termo• • •

5.o termo4.o termo

Pratica

2. O primeiro termo de uma sequência é e cada termo seguinte é metade do ante-

rior. Escreve os quatro primeiros termos da sequência.

3. Escreve os três primeiros termos da sequência cuja lei de formação é:

3.1 3 + 5n2 3.2 + 2n21�7

Para n = 1 , vem + 2 × 12 = + 2 = Para n = 2 , vem + 2 × 22 = + 8 = 1�3

1�3

7�3

1�3

1�3

25��3

2�3

20SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.PROPORCIONALIDADE DIRETA

faze

r4

sabe

r C o n t .

O que é uma razão? E uma proporção?

Exemplo:

A razão entre o número de círculos e o número de triângulos é �2

3� .

A razão é um quociente �2

3� («três para dois») ou 3 : 2 ;

3 é o antecedente e 2 é o consequente.

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

Exemplo: =

• 3 e 8 são os 1.o e 4.o termos da proporção: são os extremos.

• 2 e 12 são os 2.o e 3.o termos da proporção: são os meios.

Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Como averiguar se duas grandezas são diretamente proporcionais?

Duas grandezas são diretamente proporcionais se é constante o quociente entre os

valores correspon dentes das duas grandezas, tomadas na mesma ordem.

Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade.

Exemplo:

É a constante de proporcio na li da de e representao preço de uma lata de sumo.

O preço é assim diretamente proporcional ao número de latas de sumo. Também o número

de latas de sumo é diretamente proporcional ao preço. As duas constantes de propor-

cionalidade são inversas uma da outra.

Qual o significado de «A escala de um mapa é 1 : 5000 »?

Significa que, por exemplo, 1 cm no mapa corresponde a 5000 cm na realidade.

O que é uma percentagem?

É uma razão em que o consequente é 100. Exemplo: = 5%

4. Escreve a razão entre a parte colorida e a parte branca da figura ao lado.

5. Escreve proporções cujos termos sejam 2, 3, 8 e 12.

6. Serão diretamente proporcionais

as duas grandezas da tabela?

Justifica a tua resposta.

3�2

12�8

5��100

Pratica

Número de latas de sumo 1 3 5

Preço (euros) 0,80 2,40 4,00× 0,8

Em = ,

3 × 8 = 2 × 12

3�2

12�8

Tempo de estacionamento (horas) 1 2 3 4

Preço (euros) 0,90 1,80 2,50 3,00

= 0,8 = 0,8 = 0,82,4�

3

4�5

0,8�

1

× 3× 5

× 3

× 5

Sequências e regularidades21

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.PROPORCIONALIDADE DIRETA

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 5

8 a

61

1. Mantendo-se a regularidade em cada uma das sequências abaixo, descobre os dois termos

seguintes.

1.1 100, 94, 88, … 1.3 , , , …

1.2 53; 58,5; 64, … 1.4 1, 4, 9, 16, …

2. Escreve em linguagem natural a lei de formação de cada uma das sequências do exercício

anterior.

3. Qual das seguintes é a expressão geradora da sequência 7, 9, 11, 13, …, admitindo que a

regularidade se mantém?

A. 6n + 1 B. n + 6 C. 2n + 5 D. 4n + 3

4. Descobre a expressão geradora de cada uma das sequências e o respetivo décimo termo.

4.1 6, 11, 16, 21, … 4.2 2, 5, 8, 11, 14, …

5. Dada a sequência 1, 8, 27, 64, … :

5.1 Averigua se 120 pode ser termo desta sequência. Justifica.

5.2 Qual é a ordem do termo 343 na sequência?

6. A Ana construiu as figuras seguintes utilizando fósforos.

6.1 Supondo que há uma regularidade que se mantém, desenha a figura seguinte da sequência.

6.2 Completa a tabela.

6.3 Escreve a expressão geradora desta

sequência.

6.4 Algum termo da sequência pode ter

81 fósforos? Justifica.

1�2

1�4

1�8

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

6fi

cha

Número dehexágonos 1 2 3 6

Perímetro 6 10 18

226

fich

a C o n t .

7. Admitindo que a regularidade se mantém, descobre a expressão geradora de cada sequência

7.1 , , , , , … 7.2 3, , 1, , , …

8. Escreve o quarto e o décimo termo das sequências, cujas expressões geradoras são:

8.1 8.2 8.3 + 4n2

9. O João desenhou as figuras seguintes.

9.1 Supondo que há uma regularidade que se mantém, desenha, no quadriculado acima, a figura 6.

9.2 Prevê o número de triângulos e o número de quadrados necessários para desenhar a figura 10.

9.3 Escreve uma regra que te permita obter o número total de triângulos e quadrados necessá -

rios para desenhar uma figura qualquer desta sequência.

10. Numa sequência, o primeiro termo é �3

1� e cada termo seguinte é metade do anterior.

Escreve os cinco primeiros termos dessa sequência.

11. Supondo que há uma regularidade que se mantém, escreve os três termos seguintes da

sequência que se apresenta.

22 – 1 ; 32 – 2 ; 42 – 3 ; ________________ ; ________________ ; ________________

12. Qual das expressões:

A. n + 6 B. 6 × n + 1 C. 4 × n + 3

te permite determinar um termo qualquer da sequência 7, 11, 15, 19, 23, 27, …?

Qual é o vigésimo termo desta sequência?

1�2

2�3

3�4

4�5

5�6

3�2

3�4

3�5

2�n

2n��n + 1

1�2

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3


Razão. Proporção. Propriedade fundamental das proporções23

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 6

2 a

67

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

7fi

cha

1. Num recreio de uma escola, estão 11 professores e 440 alunos. Escreve a razão, na forma sim-

plificada, entre o número de professores e o número de alunos.

2. Para fazer um fato de carnaval, o Samuel usou 1,5 m de tecido vermelho e 3 m de tecido

amarelo. Escreve, na forma simplificada, a razão entre o comprimento do tecido amarelo e o

comprimento do tecido vermelho.

3. Observa a proporção: =

3.1 Indica os meios e os extremos.

3.2 Faz a sua leitura.

4. Descobre dois números naturais cuja soma seja 24 e cuja razão seja 1 para 2.

5. Escreve proporções com os números:

5.1 3; 4; 6 e 4,5 5.2 ; 0,9; 10 e 27

6. Descobre o termo que falta em cada proporção.

6.1 = 6.2 = 6.3 =

7. Escreve em linguagem simbólica:

«Quinze décimas está para cinco, assim como três está para dez.»

8. Uma receita de batido de morango leva 80 gramas de morango por cada 0,5 litros de leite.

O Maciel gastou 240 gramas de morangos e 2 litros de leite.

Será que usou os morangos e o leite na proporção indicada na receita? Justifica a tua resposta.

1�3

1�7

2�?

2�3

?�24

4�?

10�2,5

1�3

2�6


247

fich

a C o n t .

9. Sabe-se que, em cada cinco adultos, dois têm tensão arterial alta.

Mantendo-se a mesma proporção, quantos adultos com tensão alta se espera que existam

num grupo constituído por 25 adultos?

10. Num grupo constituído por 120 pessoas, seis ainda são fumadoras.

Qual é a percentagem de fumadores nesse grupo?

11. Pretende-se construir uma horta, retangular, em que a razão entre o comprimento e a largura

seja 7 : 4 .

11.1 Se a horta tem 8 metros de largura, qual é o seu comprimento?

11.2 Determina a área da horta.

12. Num infantário, quatro em cada cinco crianças não têm olhos azuis.

Qual é a percentagem de crianças que não tem olhos azuis?

13. Qual é o melhor preço, em cada caso? Justifica a tua resposta.

_______________________________________________________ _______________________________________________________

_______________________________________________________ _______________________________________________________

30 bombons2,60 €

60 bombons5,15 € 3 kg

3,30 €

5 kg5,25 €


Proporcionalidade direta. Escalas e percentagens25

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 6

8 a

71

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

8fi

cha

1. Observa.

1.1 Haverá proporcionalidade direta entre o preço e o número de croissants?Em caso afirmativo, qual é a constante de proporcionalidade e o que representa?

1.2 Haverá proporcionalidade direta entre o preço de cada embalagem de lápis e o número de

lápis? Justifica a tua resposta.

2. Observa as tabelas ao lado.

2.1 Completa-as.

2.2 Será o perímetro do triângulo equilátero diretamente

proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.

2.3 Será o perímetro do quadrado diretamente propor-

cional ao lado? Justifica a tua resposta.

2.4 Será a área do quadrado diretamente proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.


3.1 A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade.

3.2 O ordenado de um farmacêutico é diretamente proporcional ao número de medicamentos

que vende.

3.3 Um jardineiro é pago a 8 € à hora. O seu ordenado é diretamente proporcional ao número de

horas que trabalha.

Lado (cm) 0,5 3,5 2,25 5

Perímetro (cm)

Lado (cm) 0,3 3 1,5

Perímetro (cm)

Área (cm2)

Triângulos equiláteros

Quadrados

3 lápis1,95 €

2 croissants: 1,60 €3 croissants: 2,40 €5 croissants: 4,00 €6 croissants: 4,80 €

4 lápis2,60 €

6 lápis3,50 €


268

fich

a C o n t .

4. Na tabela, a distância percorrida por um automóvel, em

quiló metros, é diretamente proporcional ao tempo, em

minutos.

4.1 Calcula a distância percorrida em 1,5 horas.

4.2 Quantos minutos demora o automóvel a percorrer 200 km, mantendo a mesma velocidade?

E a percorrer 187,5 km?

5. No talho Avenida, o preço é diretamente proporcional à massa

de carne.

5.1 Calcula o preço de 2,5 kg de lombo de porco.

5.2 Que massa tem um frango que custou 3,60 €?

6. Quatro cedros iguais custaram 36 €.

6.1 Sabendo que o preço e o número de cedros são

grandezas diretamente proporcionais, quanto custam

nove cedros iguais?

6.2 Com 180 €, quantos cedros posso comprar?

7. Observa o anúncio.

7.1 Quanto tenho de dar de entrada para comprar

o automóvel?

7.2 E quanto tenho de pagar mensalmente?

8. Uma avenida com 3 km de comprimento é representada por 6 cm num desenho feito à escala.

Qual é a escala do desenho?

Tempo (min.) 24 80 90

Distância (km) 30 100 200

32 800 €

0,8 kg6,80 €

1,1 kg2,64 €

Cedros

25% de entradae o restante em 12 prestaçõesmensais iguais.


Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

O custo, em euros, de uma fita de seda é diretamente proporcional ao seu comprimento, em metros.

1.1 Se paguei 2,34 € por 1,30 m de fita, quanto vou pagar por 2,5 m da mesma fita?

1.2 Quanto vou gastar, em euros, para debruar com esta fita uma toalha retangular de 2 m de com-primento por 1,5 m de largura?

Uma confeitaria fabrica queques de cenoura e queques de amêndoa na razão de 2 para 3.

2.1 Numa fornada de 300 queques, quantos são de cenoura?

2.2 E de amêndoa?

Num supermercado, a quantidade de açúcar que se pode comprar com uma certa quantia emdinheiro é-lhe diretamente proporcional.

3.1 Completa a tabela ao lado.

3.2 Qual é a constante de proporcionalidadee o seu significado?

Em 2010, comercializaram-se 223 491 automóveis ligeiros,em Portugal, e o gráfico ao lado refere-se às marcas (A, B,C, D e E) mais vendidas em 2009 e 2010, no país.

4.1 Qual é a marca mais vendida nos dois anos considerados?

4.2 Qual é o aumento, em percentagem, da marca D?

O Tomás vai a Londres e a Manuela chegou dos Estados Unidos daAmérica. No dia 04/01/2011, ambos se deslocaram a um banco: oTomás para trocar 1000 euros em libras e a Manuela para trocar267,5 dólares em euros.

5.1 Quantas libras vai receber o Tomás?

5.2 E quantos euros recebe a Manuela?

1

2

4

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

1pr

oble

mas

Adaptado de Público, 04/01/2011

Viaturas vendidas 2009

Os cincos maiores vendedores

18 657

26 197

13 72718 828

11 47618 048

10 04117 257

13 189E

D

C

B

A

15 387

2010

Divisas

Euro/Dólar 1,3375

Euro/Libra 0,8633

Em 04/01/2011

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 7

2 e

73

27

3

Açúcar 4 kg 8000 g 4 hg

Preço 4,40 €

5


281

prob

lem

asC o n t .

Observa a planta da casa da Sónia, desenhada à escala de 1 : 200 .

6.1 Qual é a área ocupada pela casa?

6.2 Quais são o comprimento e a largura reais da sala?

6.3 A casa custava 154 000 €, mas teve um descon -to e ficou por 123 200 €.Qual foi o desconto, em percentagem?

O Francisco recebia 1650 € de ordenado. Em 2011, ano da crise económica em Portugal, viu o seuordenado diminuído em 4%.Qual passou a ser o ordenado do Francisco?

A miniatura representada ao lado tem 23,5 cm decomprimento, enquanto, na realidade, este auto móveltem 4,23 m de comprimento.A que escala está construída a miniatura?

O João é sócio de um clube de ténis, onde paga 8 € de mensalidade. Por cada partida que jogaacresce o valor de 2 €.

9.1 Completa a seguinte tabela, referente ao que o João pagou nos meses de outubro, novembro edezembro, de acordo com o número de partidas que jogou.

9.2 Trata-se de uma situação de proporcionalidade direta? Justifica a tua resposta.

6

7

8

9

Outubro Novembro Dezembro

N.o de partidas 7 4 0

Pagamento (euros)

Sala

Entrada

Cozinha

Quarto

Casade

Banho


29FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.

PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

Como reconhecer um ângulo ao centro numa circunferência? E um setor circular?

Ângulo ao centro tem o vérticeno centro da circunferência.

Setor circular é a interseção deum círculo com um ângulo aocentro.

Como reconhecer um polígono inscrito numa circunferência?

Num polígono inscrito numa circunferência, todos os seus vértices são pontos da circun-ferência.

O que é o apótema de um polígono regular?

É o segmento da perpendicular baixada do centro do polígono

para um lado.

Num polígono regular, os apótemas são todos iguais.

Qual é a posição relativa de uma reta e de uma circunferência?

Como reconhecer um polígono circunscrito a umacircunferência?

Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência

quando todos os seus lados são tangentes à circunferência.

Num polígono regular circunscrito a uma circunferência, o

apótema é igual ao raio.

1. Desenha uma circunferência de raio 2,5 cm e constrói um ângulo ao centro de ampli-

tude 45o.

2. Que nome dás à região colorida da figura ao lado?

2.1 Qual é a posição relativa da reta a e da circunferência?

Qual é a posição relativa da reta b e da circunferência?

3. Desenha uma circunferência de raio à tua escolha e traça dois polígonos de quatro

lados: um inscrito na circunferência e o outro circunscrito a esta.

Pratica

O

Ângulo ao centrocôncavo

O

Ângulo ao centroconvexo

O setorcircular

Or

A reta r é secanteà circunferência.

apótema

apótema

O

r

raio

A reta r é tangenteà circunferência.

O raio é perpendicularà reta r no ponto de tangência T .

T Or

A reta r é exteriorà circunferência.

O

b

a

faze

r5

sabe

r

30FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

faze

r5

sabe

r C o n t .

Como calcular o perímetro do círculo por aproximação de perímetros depolígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência?

O perímetro do polígono regular inscrito é um valor aproximado por defeito

do perímetro do círculo, enquanto o perímetro do polígono regular circuns-

crito é uma aproximação por excesso do perímetro desse círculo.

Como calcular o perímetro de um círculo ou o comprimento de uma circunfe-rência usando uma fórmula?

Calcula o comprimento de uma circunferência com 2,5 m de raio.

A fórmula para calcular a medida do perímetro do círculo é P� = 2 × π × r ou P� = π × d

Valor exato: P� = 2 × π × 2,5

O valor exato do perímetro é 5 × π m.

Valor aproximado: usando 3,1416 como valor aproximado de π , vem: P� ≈ 2 × 3,1416 × 2,5

O perímetro do círculo é, aproximadamente, 15,708 m.

Como calcular o diâmetro de um círculo conhecido o seu perímetro?

É preciso desenhar um círculo com 12,5664 cm de perímetro.

Que diâmetro deve ter esse círculo? (usa π ≈ 3,1416 )

diâmetro = perímetro do círculo : π

d = 12,5664 : 3,1416 d = 4 O círculo deve ter 4 cm de diâmetro.

4. Considerando π ≈ 3,1416 , calcula o valor exato e o valor aproximado do com-

primento de uma circunferência com:

4.1 2,4 dm de diâmetro; 4.2 2,4 dm de raio.

5. Desenha, no teu caderno, um círculo com 5,024 cm de perímetro (usa π ≈ 3,14 ).

6. Um polígono regular com 200 lados está inscrito numa circunferência e tem de lado

2,5 mm. Determina um valor aproximado por defeito do comprimento da circun-

ferência onde esse polígono está inscrito.

2,5 m

Pratica

31FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.

PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r6

sabe

r Como calcular a área de um polígono regular?

Vamos calcular a área do pentágono regular da figura ao lado.

Unindo o centro do polígono com cada vértice, o polígono fica

decomposto em cinco triângulos isósceles congruentes

(tantos triângulos quanto o número de lados do polígono).

Qualquer um dos triângulos tem por base l , lado do

pentágono, e por altura o apótema ap .

Então:

Apentágono = 5 × A� = 5 ×

De um modo geral, podemos afirmar:

A medida da área de um polígono regular é igual ao produto do semiperímetro pela

medida do comprimento do apótema.

A = × ap

Exemplo:

Um pentágono regular tem 85 cm de lado e 58,48 cm de apótema. Calcula a sua área.

A = × ap = × 58,48 = 12 427 A área é 12 427 cm2.

1. O hexágono regular da figura está inscrito numa circunferên-

cia de centro O e raio 3 cm.

1.1 Decompõe o hexágono em seis triângulos geometrica-

mente iguais e com um vértice comum.

1.2 Mostra que os seis triângulos são equiláteros. Determina

por dois processos a área do hexágono.

2. Determina a área de um octógono regular com 1,2 cm de lado e apótema aproxima-

damente 1,45 cm.

l × ap��2

P�2

5 × 85��2

P�2

Pratica

l

ap

P – medida do perímetro do polígono regular

ap – medida do comprimento do apótema

Mas 5 × l é a medida do perímetro, P , do pentágono, logo: Apentágono = P × ap��2

2,598 cm

3 cm

O

32

faze

r6

sabe

r C o n t .

Pratica

Como calcular a área de um círculo?

Quando o número de lados do polígono inscrito na circunferência for muito grande, então a

medida do perímetro do polígono tende a igualar a medida do perímetro do círculo e o

apótema do perímetro, ap , tende a ser igual ao raio r do círculo.

Então, como a área do polígono regular inscrito é:

A = × ap

se se substituir P pelo P� = 2 × π × r e ap por r , obtém-se a área do círculo:

A� = × r = π × r2

Concluímos, assim, que a medida da área do círculo é igual ao produto de π pelo qua-

drado da medida do seu raio.

Exemplo:

Calcular a área do círculo da figura.

Valor exato: A� = π × r2 A = π × 1,5 × 1,5 , isto é, 2,25 × π cm2

Valor aproximado: tomando 3,1416 para valor aproximado de π :

A� ≈ 3,1416 × r2 ≈ 3,1416 × 1,52

A área é, aproximadamente, 7,0686 cm2.

3. Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo. Apresenta os

resultados em cm2 e usa 3,1416 para valor aproximado de π .

3.1 r = 6,5 cm

3.2 d = 0,3 dam

4. Calcula a área e o perímetro de cada figura (usa π ≈ 3,1 ).

P�2

2 × π × r��2

raio

1,5 cm

A

B

C

0,5 cm

r – medida do raioπ (pi) = 3,141592…

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS

33

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 9

2 a

95

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

9fi

cha

1. Observa a figura ao lado. Usando letras da figura, assinala:

1.1 Um polígono inscrito na circunferência de centro O .

1.2 Um polígono circunscrito à circunferência de centro O .

1.3 Um ângulo ao centro convexo.

1.4 Um apótema do polígono inscrito na circunferência e um apótema

do polígono circunscrito à circunferência.

2. Que nome tem a região colorida da figura do exercício 1?


• Num polígono regular, os apótemas são todos iguais.

• Num polígono regular circunscrito a uma circunferência, o apótema do polígono é maior do

que o raio.

• O lado do hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio.

• A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

4. Observa a figura ao lado.

4.1 Qual a posição das retas a , b e c relativamente à

circunferência?

4.2 Usa a régua e indica a distância do ponto O a cada uma

das retas a , b e c .

5. Na figura, [AC] e [BD] são diâmetros da circunferência de cen-

tro O .

5.1 Determina, justificando, as amplitudes dos ângulos ao centro

desconhecidos.

Os triângulos [OAD] e [BOC] são iguais? Porquê?

5.2 Supõe que o triângulo [OBC] tem 27 cm de perímetro, sendo as medidas dos lados três

números naturais consecutivos.

Qual seria o comprimento de cada lado do triângulo?

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

D E C

A

F G

B

OH

O

ab

c

OA

D

B

C

60° 37' ?

?

?

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOSÂngulo ao centro. Setor circular.

Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência

349

fich

a C o n t .

6. Desenha uma circunferência de centro O e de raio 3 cm.

6.1 Por um ponto A , cuja distância ao centro O é 5 cm, traça uma tangente à circunferência e

designa o ponto de tangência por T . Classifica o triângulo [TAO] quanto aos ângulos

e quanto aos lados.

6.2 Se TA—–

= 4 cm , determina a área do triângulo [TAO] .

7. Desenha um quadrado de área 9 cm2 circunscrito a uma circunferência e explica como proce-

deste.

8. Observa a figura ao lado, onde estão inscritos na circunferência de cen-

tro O dois polígonos regulares. Sabendo que o lado do hexágono regular

inscrito na circunferência é igual ao raio, mostra que a área do hexágono

é o dobro da área do triângulo.

9. Na figura ao lado está representado um heptágono regular inscrito na

circunferência de centro O . O ponto I é o pé da perpendicular tirada

de O para [AB] e o ponto J é o pé da perpendicular tirada de Opara [EF] .

9.1 Justifica que OA—–

= OB—–

= OC—–

= OD—–

= OE—–

.

9.2 Justifica que os triângulos [OAB] e [OEF] são iguais.

9.3 Justifica que os apótemas de um polígono regular são todos iguais.

9.4 Se a área do triângulo [OEF] for 4,65 cm2 e OJ—–

= 3,1 cm , qual é o perímetro do heptá-

gono regular?

D

E C

A

F B

O

EF

D

B

A C

O

G

I

J


Perímetro do círculo35

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 9

6 a

99

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

10fi

cha

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

1. Observa o quadro seguinte, onde se registaram os diâmetros e perímetros dos círculos A, B e C,

não geometricamente iguais.

Calcula o quociente entre a medida do perímetro de cada círculo e a medida do diâmetro. O que

observas?

2. Determina o valor exato e o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com 14 cm

de raio (usa π ≈ 3,1416 ).

2.1 Se o diâmetro da circunferência anterior passar a um quarto, o que acontece ao perímetro do

novo círculo? Justifica.

3. Determina o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é

formada por dois semicírculos congruentes com 2 cm de diâmetro

(usa π ≈ 3,14 ).

4. Determina o valor aproximado do perímetro da figura ao lado,

que é formada por um quadrado e um semicírculo de centro C(usa π ≈ 3,14 ).

5. Calcula o perímetro em centímetros (usa π ≈ 3,1416 ):

5.1 de um círculo com 10 cm de diâmetro.

5.2 de um círculo com 10 cm de raio.

5.3 de um círculo com 3 cm de raio.1�2

C

D

C

1,5 cm


Círculo Diâmetro (cm) Perímetrodo círculo (cm)

A 5 15,708

B 7 21,9912

C 10 31,416

3610

fich

a C o n t .

6. Calcula o valor exato e o valor aproximado dos perímetros dos círculos representados

Usa π ≈ 3,1416 e apresenta os resultados arredondados às décimas.

6.1 6.2

7. Quantos metros de rede são necessários, aproximadamente, para vedar cada um dos canteiros

representados? Um dos canteiros é um semicírculo e o outro é um quarto de círculo. Usa

3,1416 como valor aproximado de π e apresenta o resultado arredondado às décimas.

8. O João empurrou um aro circular com 40 cm de diâme-

tro e contou 100 voltas completas. Quantos metros per-

correu (usa 3,14 como valor aproximado de π )?

9. O quintal da Rosa tem a forma de um quadrado com um lago circular

inscrito, como a figura ao lado representa.

9.1 O diâmetro do lago é 1 dam. Qual é o perímetro do quintal da Rosa?

9.2 Que distância percorre a Rosa se der três voltas completas ao lago

(usa 3,1 como valor aproximado de π )?

10. Calcula o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é

formada por cinco semicírculos (usa π ≈ 3,1 ).

11. Um polígono regular está circunscrito a uma circunferência e tem 3,2 cm

de apótema. Determina um valor arredondado às centésimas do períme-

tro do círculo (usa π ≈ 3,1416 ).

1,4 m5

12

m

20 m20 m 10 m

A B

20 m 10 m

BB

Lago

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm


Do perímetro do círculo ao diâmetro37

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

11fi

cha

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 10

0 e

101

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

1. Desenha, no teu caderno, uma circunferência com 8,16816 cm de perímetro (usa π ≈ 3,1416 ).

Explica como resolveste o problema.

2. Sabendo que o perímetro de um círculo é 37,68 cm, calcula (usa π ≈ 3,14 ):

2.1 o diâmetro; 2.2 o raio.

3. Usa 3,1 para valor aproximado de π e calcula o raio de um círculo cujo perímetro é:

3.1 37,2 mm 3.2 31 cm 3.3 217 m

4. Um automóvel deu três voltas completas a uma rotunda circular, percorrendo 226,08 m.

Calcula o diâmetro da rotunda (usa π ≈ 3,14 ).

5. A figura ao lado representa a quarta parte de um círculo.

Calcula a soma do comprimento do segmento de reta [OA] com o

comprimento do segmento de reta [OC] (usa π ≈ 3,14 ).

6. Uma mangueira com 47,10 m está enrolada à volta de um cilindro, dando 10 voltas completas.

Calcula o diâmetro do cilindro (usa π ≈ 3,14 ).

29,83 cm

A

O C


3811

fich

a C o n t .

7. Um canteiro está dividido em duas partes. Uma parte é

um semicírculo de centro C e tem flores. A outra parte

é um retângulo e está relvada.

Se quisesses vedar com uma rede a parte relvada, de

quantos metros de rede precisarias (usa π ≈ 3,14 )?

8. O arco AB mede um terço do comprimento da

circunferência de centro C .

Calcula o raio da circunferência e o perímetro da figura

(usa π ≈ 3,14 ).

9. Pretende-se fabricar uma caixa que leve à justa três latas

cilíndricas iguais às que vês na figura.

O perímetro da base de cada lata é 18,84 cm e a altura é 8 cm.

Quais são as dimensões da caixa (usa π ≈ 3,14 )?

10. Com 60,288 cm de arame fizeram-se seis circunferências

iguais, que vês representadas na figura ao lado.

Qual é o perímetro do triângulo (usa π ≈ 3,14 )?

11. O João desenhou um octógono regular com 7,85 cm de lado, inscrito numa circunferência.

11.1 Calcula o perímetro do octógono.

11.2 Toma o perímetro do octógono como valor aproximado do perímetro do círculo e determina

um valor aproximado do raio (usa π ≈ 3,14 ).

CB

6,28 cm

120o

A

10,99 m

3,5 m

110,99 1

C


Área de polígonos regulares39

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 10

2 e

103

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

12fi

cha

1. Calcula a área dos seguintes polígonos regulares com 30 cm de lado:

1.1 Pentágono, em que o apótema é aproximadamente 20,7 cm. Apresenta o resultado arredon-

dado às unidades.

1.2 Hexágono, em que o apótema é aproximadamente 26 cm.

1.3 Decágono (polígono com 10 lados), em que o apótema é aproximadamente 46,2 cm.

2. Determina a área da parte colorida do octógono regular, sabendo que

tem 16 cm de perímetro e aproximadamente 2,4 cm de apótema.

3. Um quadrado está circunscrito a uma circunferência. O perímetro do quadrado é 68 cm.

Determina a área do círculo (usa π ≈ 3,1416 ).

4. Um polígono está circunscrito a uma circunferência com 38 cm de raio. Calcula a área do

polígono, sabendo que o seu perímetro é 84 dm.

5. Um polígono tem de área 624 cm2 e está circunscrito a uma circunferência com 4 cm de raio.

Calcula o perímetro do polígono e o comprimento da circunferência (usa π ≈ 3,1416 ).


4012

fich

a C o n t .

6. Calcula a área da parte colorida da figura, sabendo que é

formada por um quadrado, com 17,5 m de apótema, e por um

hexágono regular, com 16 m de lado e 13,9 m, aproximada-

mente, de apótema.

7. Um polígono regular com 240 cm de perímetro está circunscrito a uma circunferência cujo

diâmetro é 32 cm. Qual é a área do polígono?

8. Calcula a área de um pentágono regular, cujo perímetro é igual ao de um retângulo com 43 dm

de comprimento e 3354 dm2 de área. Sabe-se ainda que o pentágono tem 33,3 dm de apótema.

9. O hexágono regular representado está dividido em dois quadriláteros

congruentes. Um dos quadriláteros tem 120 cm de perímetro e OH—–

é

aproximadamente 21 cm. Determina a área do hexágono.

10. Observa o pentágono regular inscrito na circunferência de centro O .

10.1 Mostra que o triângulo [OBC] é isósceles.

10.2 Calcula a amplitude dos ângulos desconhecidos.

10.3 Se a área do triângulo [OBC] é 15 m2, qual é a área

do pentágono?

11. Num cartão quadrado com 142,4 cm de perímetro desenhou-se uma circunferência com o

maior raio possível. Qual é a área de cartão não ocupada pelo círculo? Apresenta o resultado

arredondado às unidades (usa π ≈ 3,1416 ).

O

H

D

A B

C

O

E

F

72°?

???


Área do círculo41

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 10

4 e

105

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

13fi

cha

1. Observa as figuras desenhadas em quadriculado de 1 cm de lado.

Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo (usa π ≈ 3,1416 ).

2. Uma circunferência tem 6 cm de diâmetro.

2.1 Determina o seu raio.

2.2 Sabendo que o lado do hexágono regular inscrito na circunferência é igual ao raio, determina

a área desse hexágono, cujo apótema é 4,128 cm.

2.3 Calcula o valor exato e o valor aproximado da área do círculo (usa π ≈ 3,14 ).

3. Determina a área de cada uma das figuras coloridas (usa π ≈ 3,14 ).

4. Uma praça circular tem de perímetro 62,8 m.

Calcula a área ocupada pela praça (usa π ≈ 3,14 ).

1 cm

2,5 cm

semicírculo10 cm

12,4 cm

12,4 cm


A B C

4213

fich

a C o n t .

5. O comprimento da linha verde representada é 12,56 m.

Calcula a área da figura colorida, formada por semicírculos congruentes (usa π ≈ 3,14 ).

6. Calcula a área do coração, formado por um quadrado com 8 cm

de perímetro e por dois semicírculos geometricamente iguais

(usa π ≈ 3,14 ).

7. A avó Francisca fez um sorvete de morango numa forma circular

de 10 cm de raio. Dividiu-o em quatro partes, como vês na figura,

e deu uma parte a cada neto.

Sabendo que o Luís comeu o mesmo que a Filipa, quem comeu

mais, o Luís ou a Maria? Explica.

8. C é um círculo de raio 5 cm e D é um círculo de raio 10 cm.

Que relação existe entre a medida da área de D e a medida da área de C?

A

B

C

D

José

Maria

FilipaLuís


43

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

2pr

oble

mas O perímetro do canteiro retangular que vês representado é 20 metros.

Qual é o perímetro do canteiro das rosas, sabendo que o canteiro dos cravos é um semicírculo decentro C e que o canteiro dos cravos em conjunto com o canteiro das rosas forma o quarto docírculo de centro O (usa π ≈ 3,1 )?

A figura representa o tampo de uma mesa com abas, formada por dois semicírculos iguais e umquarto de círculo. Calcula o perímetro da mesa (usa π ≈ 3,1 ).

De uma folha quadrada com 21 cm de lado cortou-se um quarto de círculo, como vês na figura.Calcula o perímetro da parte colorida da folha (usa π ≈ 3,1 ).

Um polígono regular está circunscrito a uma circunferência. O polígono tem 9000 cm2 de área e500 cm de perímetro. Calcula o raio da circunferência.

1

2

3

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 10

6 e

107

4 m

C

O

Cravos

RosasTúlipas

1,2 m

18 cm

4


442

prob

lem

asC o n t .

5

6

7

8

O tampo de uma mesa é formado por um quadrado e por um semicírculo de vidro.Se o metro quadrado foi 18,50 €, quanto custou o vidro (usa π ≈ 3,1 )?

Calcula o valor aproximado das áreas das figuras (usa π ≈ 3,14 ).

6.1 6.2 6.3

Uma chapa metálica é formada por um triângulo e por um semicírculo.Calcula a área da chapa (usa π ≈ 3,14 ). Apresenta o resultado arredon-dado às décimas.

Determina a área da parte colorida da figura, sabendo que o diâmetro docírculo é 4 cm (usa π ≈ 3,14 ).Que percentagem da área do círculo está colorida?

Um polígono circunscrito a uma circunferência de raio 18 cm tem de área 234 cm2. Calcula o perímetro do polígono.

1,30 m

C

3 cm3 cm

CC2 cm

2 cm

6 cm

C

10 m

12 m

C

9


45SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r7

sabe

r

Pratica

Como descrever e identificar um sólido geométrico?

• É poliedro (convexo), porque é limitado apenas por superfícies

planas.

• Tem sete faces: seis faces laterais triangulares e uma base que é

um hexágono.

• Tem sete vértices e 12 arestas.

• É uma pirâmide hexagonal.

• É não poliedro, porque é limitado por superfícies planas e curvas.

• Tem duas bases congruentes, que são círculos.

• Tem superfície lateral curva.

• É um cilindro de revolução.

Quais das figuras planas seguintes são polígonos?

Um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. Cada um dos

segmentos de reta que constitui essa linha chama-se lado do polígono, assim como o

respetivo comprimento.

As figuras B, C, E e F são polígonos.

1. Descreve o modelo do sólido representado ao lado.

Verifica a igualdade de Euler.

2. Desenha um poligono com seis lados. Que nome tem?

3. Qual é o nome de um poliedro com 21 arestas e nove faces?

A B C D E F

46

faze

r7

sabe

r C o n t .

Pratica

Como distinguir prismas e pirâmides?

Prismas – Têm duas bases congruentes, situadas em dois planos paralelos, e três ou mais

faces laterais, que são paralelogramos.

O número de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base.

Quando o prisma é reto, as faces laterais são retângulos. Caso as bases sejam

polígonos regulares, o prisma diz-se regular.

Pirâmides – Têm uma base e três ou mais faces laterais, que são triângulos, tendo todos

estes triângulos um vértice comum.

O número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base.

Uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular e as ares-

tas laterais são iguais.

Como descobrir o nome de um poliedro (prisma ou pirâmide) conhecendo alguns dos seus elementos?

Qual é o nome do poliedro que tem 14 arestas e oito vértices?

14 arestas – não é múltiplo de 3, logo não é prisma; mas é múltiplo de 2, logo é pirâmide.

8 vértices – se é pirâmide, tem sete vértices na base. É uma pirâmide heptagonal.

Como completar esta planificação da superfície de um paralelepípedo retângulo?

Sabes que as faces opostas do

paralelepípedo retângulo são

retângulos congruentes. Na

planificação dada faltam duas fa-

ces, uma congruente com a face

colorida e a outra congruente

com uma das faces brancas.

Imagina o sólido construído.

Uma das planificações possíveis

encontra-se representada na se-

gunda figura.

4. Um prisma pode ter 14 arestas? E uma pirâmide? Quantas arestas tem um prisma

hexagonal? E uma pirâmide hexagonal?

5. No teu caderno, desenha uma planificação da superfície de um paralelepípedo

retângulo, com 4 cm, por 3 cm, por 2 cm, e uma planificação da superfície de um

cilindro, com 3 cm de altura e 3 cm de diâmetro da base.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Poliedros e não poliedros47SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 12

2 a

125

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

14fi

cha

1. Liga corretamente cada objeto ao modelo de sólido respetivo.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

2. Dos sólidos representados, assinala os que são poliedros e justifica as tuas opções.

3. Completa, e diz se é pirâmide ou prisma.

Número de:

Faces: _______________

Arestas: ____________

Vértices: ____________

_______________________

Número de:

Faces: _______________

Arestas: ____________

Vértices: ____________

_______________________

Número de:

Faces: _______________

Arestas: ____________

Vértices: ____________

_______________________

Número de:

Faces: _______________

Arestas: ____________

Vértices: ____________

_______________________

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

A B C D

4814

fich

a C o n t .

• círculos

• curva

• congruentes

• não poliedros

• esfera

• círculo

• prisma

4. Completa o texto com as palavras da lista ao lado.

4.1 Um cilindro reto tem duas bases que são ________________.

4.2 As bases do cilindro reto são ________________.

4.3 A superfície lateral de um cilindro reto é ________________.

4.4 Um cone tem uma só base, que é um ________________.

4.5 O cubo é um ________________.

4.6 O cone, o cilindro e a ________________ são ________________.

5. Desenha:

5.1 um cone; 5.2 um cilindro reto.

6. De entre as seguintes expressões:

escolhe o máximo de nomes para caracterizar cada um dos modelos de sólidos geométricos

seguintes.

6.1 6.2 6.3

7. Observa os seguintes modelos de sólidos geométricos.

7.1 Qual dos sólidos é o intruso? Justifica.

7.2 Para cada um dos poliedros, verifica a igualdade F + V = A + 2 .

• sólido geométrico

• poliedro

• esfera

• pirâmide

• prisma

• não poliedro

• cilindro

• cone

• quadrado

• paralelepípedo

retângulo

• círculo

A B C D

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________


Polígonos. Classificação de prismas e pirâmides49

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 12

6 e

127

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

15fi

cha

1. Classifica os polígonos seguintes quanto ao número de lados e indica os que são regulares.

2. Completa a frase e dá um exemplo.

«Um polígono diz-se regular quando tem _________________________________________________ ;

por exemplo, ______________________________ .»

3. Completa o quadro com as letras das figuras.

4. Desenha, no papel ponteado ao lado, um

triângulo não regular, um quadrilátero

regular e um quadrilátero não regular.

5. Quem é quem?

5.1 É o polígono das bases de uma pirâmide com 14 arestas. Quem é? _______________________

5.2 É o polígono das faces de um sólido com seis faces iguais. Quem é? _______________________

5.3 É o polígono das bases de um prisma com 24 arestas. Quem é? __________________________

5.4 É o polígono das faces laterais de todas as pirâmides. Quem é? __________________________

________________________ ________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________ ________________________

A

B

C

D

H

EF G

I

Não é poligono

Triângulo

Quadrilátero

Pentágono

Hexágono

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •


5015

fich

a C o n t .

6. Observa os sólidos geométricos representados a seguir.

6.1 Que polígonos são as faces laterais dos poliedros…? A __________________ B __________________

6.2 Que polígonos são as bases dos poliedros…?

6.3 Escreve os nomes de cada um dos sólidos acima representados.

6.4 Qual dos sólidos acima é poliedro não convexo? _____________________________________________________

7. Descreve cada um dos sólidos representados.

7.1 7.2

8. Responde às seguintes questões.

8.1 Num prisma, que relação existe entre o número total de arestas e o número de lados do

polígono da base? E numa pirâmide?

8.2 Uma pirâmide pode ter nove arestas? E um prisma? Justifica.

8.3 Um prisma pode ter 11 vértices? E uma pirâmide? Justifica.

8.4 Imagina um prisma em que o polígono da base tem 120 vértices. Qual é o número de ares-

tas laterais e totais do prisma?

9. Qual é o nome do poliedro (prisma ou pirâmide) que tem:

9.1 oito faces laterais triangulares?

9.2 18 arestas e seis faces laterais?

A B C D E F

C __________________________________ D __________________________________ E __________________________________

A __________________________________

D __________________________________

B __________________________________

E __________________________________

C __________________________________

F __________________________________


Planificação e construção de modelos de sólidos51

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 12

8 a

131

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

16fi

cha

1. Observa o sólido geométrico ao lado.

1.1 Dá todos os nomes possíveis ao sólido representado.

1.2 Quais das figuras seguintes são planificações da superfície do sólido geométrico

representado? Assinala com �.

2. Dá todos os nomes possíveis a cada um dos sólidos geométricos representados e assinala com �as figuras que não são planificações da superfície desses mesmos sólidos.

2.1

Nomes:

________________________________________

________________________________________

________________________________________

2.2

Nomes:

________________________________________

________________________________________

________________________________________

3. Planifica, no teu caderno, um cilindro com 4 cm de altura e 2 cm de diâmetro da base.

A B C

A B C

1 cm

1 cm

1 cm

A

C


B

D

5216

fich

a C o n t .

4. Na figura está representada a planificação da superfície lateral

de um poliedro.

4.1 Que nome dás ao polígono da base deste poliedro?

4.2 E ao poliedro?

5. Observa o sólido geométrico ao lado.

5.1 Descreve o sólido representado e identifica-o.

5.2 Para construir o modelo de sólido geométrico representado acima, que planificação escolhes?

Explica por que razão as outras planificações não servem.

6. Observa as figuras A e B.

6.1 Completa ou corrige cada uma das figuras, de modo a obteres planificações da superfície de

prismas. Copia as planificações obtidas para uma cartolina, constrói-as e identifica cada um

dos modelos de prismas.

A ______________________________________ B ______________________________________

A B


A B C

Perspetiva e vistas de um sólido53

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 13

2 e

133

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

17fi

cha

1. Completa as figuras de modo a obteres, em perspetiva, um cubo e um paralelepípedo retângulo.

2. Considera um cubo com 1 cm de aresta.

2.1 Desenha uma planificação da superfície desse cubo.

2.2 O que podes dizer acerca das vistas de topo, frontal e lateral de um cubo?

3. Observa o sólido representado, construído com cubos congruentes, e as suas vistas A e B.

3.1 Qual das vistas é a frontal? E a de topo?

3.2 Desenha no quadriculado, em (C), a vista lateral direita.

3.3 Qual é o menor número de cubos congruentes que é preciso juntar ao sólido desenhado para

obter um cubo?

Frontal

Topo

A B C

Lateral direita


5417

fich

a C o n t .

4. Usa cubos de 1 cm de aresta e constrói o sólido geométrico cujas vistas são as seguintes:

5. Desenha as vistas frontal, de topo e lateral do seguinte sólido geométrico representado. Depois,usa cubos congruentes e constrói o modelo de sólido.

6. Para cobrir exatamente as arestas de um cubo, sem sobreposição, a Helena utilizou 180 cmde fita-cola. Qual é o comprimento da aresta desse cubo?

7. Completa a planificação do paralelepípedo retângulo e calcula o comprimento de fitanecessária para cobrir todas as arestas sem sobreposição.

8. Escreve um pequeno texto com o título: «Os sólidos geométricos no meu dia a dia.»

Frontal Topo Lateraldireita

Frontal

Topo

Lateral direita

Base

0,5 cm


55

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

prob

lem

as 3

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

Responde às seguintes questões.

1.1 Qual é o prisma que tem um número de faces igual ao número de vértices de uma pirâmide qua-drangular?

1.2 Quantas arestas laterais e totais tem uma piâmide em que o polígono da base tem 110 lados?

Descobre o sólido que está na pasta do José, através das seguintes pistas:• é poliedro;• o número de vértices é ímpar;• o número de faces é ímpar e menor do que 7;• o número de arestas é par e menor do que 10.

O Tomé está a planear construir um aquário de vidro, que terá as dimensões e a forma de umparalelepípedo retângulo, sem tampa, como sugere a figura seguinte.

3.1 Se 1 m2 da placa de vidro custar 5 €, quanto custará o vidro para o aquário?

3.2 Se as arestas forem reforçadas com fita metálica que custe 2 € por metro, quanto custará a fita?

3.3 Quanto vai gastar o Tomé no aquário?

Enfeitou-se um prisma hexagonal com estrelas autocolantes, que se vendem em páginas de12 estrelas. Em cada base colou-se um número de estrelas igual ao m.d.c. (2, 6) e em cada facelateral um número de estrelas igual ao m.m.c. (2, 6) .Quantas páginas de estrelas autocolantes foi preciso comprar?

15 cm18 cm

25 cm

1

2

3

4

Man

ual

(vol

um

e 1)

Pág

s. 13

4 e

135


56 SÓLIDOS GEOMÉTRICOSpr

oble

mas

3

Observa a figura ao lado.

5.1 Qual é o menor número de cubos congruentes,como os da figura, que é necessário juntar à cons-trução para obter um paralelepípedo retângulo?

5.2 Desenha, no teu caderno, a vista frontal do sólidogeométrico representado.

Escreve uma expressão que permita determinar o número de faces de uma pirâmide com umnúmero n de lados no polígono da base.

Colou-se em cada face de um cubo um autocolante quadrado na posiçãoque vês na figura ao lado. Sabe-se que o perímetro da face do cubo excede operímetro do respetivo autocolante em 20 cm.De acordo com a figura, determina x .

Observa a pirâmide quadrangular regular da figura ao lado.

8.1 Sabe-se que o perímetro da base desta pirâmide é 30 cm e que a alturade uma face lateral é 10 cm.Calcula a área total da pirâmide.

8.2 Verdadeiro ou falso? Justifica.«A área da base desta pirâmide é 38% da sua área lateral.»

Frontal

5

6

C o n t .

7

x

xx

x

xx

xx

8

57

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r8

sabe

r

Pratica

A B C

D

A B C

Como reconhecer sólidos equivalentes?

Observa os modelos de sólidos feitos com cubos congruentes.

Cada um dos modelos de sólidos A e B foram construídos com oito cubos congruentes,ocupando igual porção de espaço – são sólidos equivalentes.Dois sólidos equivalentes têm o mesmo volume.O modelo de sólido C, construído com seis cubos congruentes, não é equivalente a A nem a B.

Como determinar a medida do volume de um sólido, conhecida a unidade devolume?

Tomando para unidade de volume, a medida do volume de D é 8.

Tomando para unidade de volume, a medida do volume de D é 2.

A medida do volume depende da unidade escolhida.

1. Os seguintes modelos de sólidos foram construídos com cubos congruentes. Observa-os.

1.1 Existem sólidos equivalentes? Justifica a tua resposta.

1.2 Qual é a medida do volume de B e de C, tomando A como unidade de volume?

VOLUMES

58

faze

r8

sabe

r C o n t .

Quais são as unidades de medida de volume do Sistema Internacional (SI)?Como se relacionam?

Unidades de medida de volume

Converter: 15 m3 em dm3 15 000 dm3

7,2 cm3 em m3 0,000 007 2 m3

Para medir volumes de líquidos usam-se unidades de medida de capacidade.

Unidades de medida de capacidade

Converter: 12 hl em litros 1200 l0,4 ml em dal 0,000 04 dal

Como calcular o volume de um cubo?

Vcubo = a × a × a ou Vcubo = a3 a – medida da aresta

A medida de volume da figura ao lado é:

V = 0,8 × 0,8 × 0,8V = 0,64 × 0,8V = 0,512

O volume deste cubo é 0,512 m3.

2. Converte:

2.1 1 m3 em mm3 _______________ 2.4 4 dl em cl __________________

2.2 5 dm3 em m3 _______________ 2.5 32,5 l em m3 _______________

2.3 0,6 l em dm3 ________________

3. Quantos litros de sumo leva a lata representada ao lado?

4. Calcula o volume de um cubo com 0,5 dm de aresta.

Pratica

m3km3 hm3 dam3 dm3 cm3 mm3

quilómetrocúbico

hectómetrocúbico

decâmetrocúbico

metrocúbico

decímetrocúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

lkl hl dal dl cl ml

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

1 dm3 = 1 litro

33 cl

0,8 m0,8 m

0,8 m

VOLUMES

59

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r9

sabe

r Como calcular o volume de um paralelepípedo retângulo?

Vparalelepípedo = c × l × h

Área da base

A medida de volume da figura ao lado é:

V = 2,5 × 2 × 3V = 15

O volume deste paralelepípedo é 15 cm3.

Como calcular o volume de um prisma reto?

Vprisma = Abase × h

A medida do volume do prisma triangularA é:

V = × 7

V = 42

O volume é 42 cm3.

1. Calcula os volumes dos seguintes prismas retos.

1.1 1.2 1.3

2. Calcula os volumes dos seguintes prismas regulares.

2.1 2.2

3. O perímetro da base de um prisma quadrangular é 20 cm e a altura é da arestada base. Determina o volume do prisma.

4 × 3��2

3�2

Pratica

2,5 cm2 cm

3 cm

4 cm 3 cm

7 cmA

3 m5 m4 cm

11 cm3 m7 m

3 cm

10 m3 m

c – medida do comprimentol – medida da largurah – medida da altura

h – medida da alturaAbase – medida da área da base

A medida do volume do prisma hexagonalregular B é:

V = × 1,7 × 8

V = 81,6

O volume é 81,6 cm3.

6 × 2��2

B

2 cm

8 cm

1,7 cm

10 cm

8 cm2,4 cm

lado do pentágono = 4 cmapótema da base = 2,75 cm

altura = 7,5 cm

VOLUMES

O cubo e o paralelepípedoretângulo são prismas.

60

faze

r9

sabe

r C o n t .

Como descobrir a altura de um paralelepípedo conhecidos o comprimento,a largura e o volume?

V = c × l × h

12 = 1 × 3 × h12 = 3 × hh = 12 : 3h = 4

A altura é 4 cm.

Como construir uma planificação da superfície de um cilindro reto?

O comprimento do retângulo é igual aoperímetro do círculo da base do cilindro.

A largura do retângulo é igual à altura docilindro.

Como calcular o volume de um cilindro reto?

V = π × r 2 × h r – medida do raio da base

Área da base

A medida de volume do cilindro representado ao lado é:

V = π × 0,52 × 3V = π × 0,25 × 3V = 0,75 × π Valor exato

Considerando π � 3,1416 , vem V � 0,75 × 3,1416 . O volume deste cilindro é aproxima-damente 2,36 m3.

4. Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com 12 cm2 de área da base e com84 cm3 de volume. Que altura tem a caixa?

5. Qual será o volume de uma lata como a que vês representada? Faz uma planificação desta lata cilíndrica (usa π � 3,1416 ).

Pratica

2 dm

2 dm

Divisão como operaçãoinversa da multiplicação.

3 cm1 cm

Altura = ?Volume = 12 cm3

0,5 cm

1 cm 1 cm � d � 3,1 1+ +

1 m

3 m

VOLUMES

61

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 8

a 13

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

18fi

cha

Sólidos equivalentes. Volume.Medição de volumes. Unidades de medida de volume

1. Observa os seguintes modelos de sólidos representados, constituídos por cubos congruentes.

1.1 Tomando como unidade de volume , completa:

• a medida do volume de A é _______________________

• a medida do volume de B é _______________________

• a medida do volume de C é _______________________

• a medida do volume de D é _______________________

1.2 Escolhe uma unidade de volume, de forma que:

• a medida do volume de B seja 2 _________________

• a medida do volume de D seja 4 __________________

1.3 Alguns dos modelos de sólidos A, B, C e D são equivalentes? Justifica a tua resposta.

2. Completa:

2.1 3 dm3 = ___________________ cm3 = ___________________ mm3

2.2 0,7 cm3 = 0,0007 ___________________ = 700 ___________________

2.3 0,9 l = 90 ___________________ = 900 ___________________

2.4 0,6 m3 = ___________________ dm3 = ___________________ l

2.5 3 kl = ___________________ l = ___________________ dl

3. Quantos copos iguais, com a capacidade de 25 cl, se podem encher com 2,5 l de groselha?

A B C D

VOLUMES

6218

fich

a C o n t .

4. Arquimedes verificou que, quando entrava na banheira para tomar banho, a água subia e,quando saía da banheira, a água descia. Por isso, gritou «Eureka!» O que terá descobertoArquimedes?Como podes determinar o volume de alguns sólidos?

5. Observa atentamente as figuras 1 e 2 ao lado.Qual será, em cm3, o volume de cada um dos berlindes, sabendo que são iguais?

6. Os modelos de sólidos abaixo representados são formados por cubos congruentes. Cada umdesses cubos tem 1 cm3 de volume.

6.1 Qual é o volume dos sólidos A, B e C?

6.2 Desenha a vista de cima de cada um dos sólidos.

7. Uma torneira avariada perde 1,2 dl de água em cada meia hora.Quantos litros de água perde ao fim de 18 horas?

8. Um depósito de água tem a forma de um cubo com 3 m de aresta. Quando cheio, pode levar 30 000 litros de água?

A B C

60 ml

120 ml

60 ml

120 ml

Fig. 1 Fig. 2

VOLUMES

63

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 14

e 15

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

19fi

cha

Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo

8 cm 16 cm8 cm 8 cm

4 cm8 cm

A caixa que leva mais cartão é

a do Paulo.

1. Observa as caixas em cartão, construídas por três amigos.

1.1 Determina o volume de cada caixa.

1.2 Comenta a afirmação do André, tendo em conta que cada caixa completa inclui a respetivatampa.

2. Serão equivalentes os sólidos representados? Justifica a tua resposta.

3. Observa a figura ao lado. Qual será a altura do contentor docamião se o seu volume é 12 m3?

15 cm0,5 dm

12 cm

20 cm

10 cm

8 cm8 cm

8 cm

André

Manuel

Paulo

20 cm

3 m2 m

VOLUMES

6419

fich

a C o n t .

4. Lê o seguinte diálogo entre o António e a Fernanda.

Comenta a afirmação da Fernanda.

5. Um cubo tem 3 cm de aresta. Indica as dimensões possíveis de um paralelepípedo retângulocujo volume seja igual ao do cubo.

6. Abriu-se um pacote de sumo de fruta e encheu-se comple-tamente um copo. A altura do sumo no pacote baixou 4 cm.

6.1 Qual é a capacidade do copo?

6.2 O pacote de sumo custava 1,80 €, mas agora tem 20% de desconto. Qual é o seu preço atual?

7. Quanto deverá ter de aresta um cubo que é equivalente a um paralelepípedo retângulo com 0,5 dm por 16 dm por 1 dm?

8. Uma empresa de limpeza compra detergente em pó em caixas, comovês na figura ao lado.

8.1 Qual é a altura da caixa, se o seu volume é 8640 cm3?

8.2 Com o pó da caixa enchem-se caixas cúbicas com 12 cm de aresta.Quantas caixas se enchem?

A minha caixacúbica tem 20 cm

de aresta.

10 cm

16 cm

6 cm

9,5 cm

28,8 cm

A minha caixatambém é cúbica e tem 10 cm de

aresta, logotem metade dovolume da tua.

VOLUMES

Volume do prisma reto65

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 16

e 17

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

20fi

cha

1. O prisma quadrangular regular representado ao lado está divididoem dois prismas triangulares.Determina, por dois processos, o volume de cada prisma triangular:

• tendo em conta a decomposição em prismas triangulares;

• utilizando uma fórmula.

2. Determina o volume de um prisma hexagonal regular, em que a aresta tem 8 dm, o apótema dabase tem aproximadamente 6,9 dm e uma das arestas laterais mede 11 dm.

3. Um prisma triangular regular é equivalente a um cubo de aresta 12 cm. Determina a área dabase do prisma, sabendo que a altura é 48 cm.

4. Um prisma hexagonal regular está decomposto em prismas triangulares iguais. A aresta dabase do prisma hexagonal é 2 dm, o apótema da base é 1,73 dm e a altura é 5 dm.Calcula o volume de cada prisma triangular.

5. Calcula o volume de um prisma reto com 22 cm dealtura e cuja base é o paralelogramo representado nafigura ao lado.

10 cm

4,5 cm4,5 cm

3,5 cm

3 cm 3,25 cm

VOLUMES

6620

fich

a C o n t .

6. Determina o volume e a área lateral de um prisma triangular regular, sabendo que:

• o perímetro da base é 31,14 cm;

• a altura da base é 9 cm;

• a altura do prisma é da altura da base.

7. Completa a seguinte tabela, que se refere a prismas retos equivalentes, com 360 cm3 de volume.

8. Uma jarra tem a forma de um prisma pentagonal regular e 1,5 l de capacidade. A área da

base é 75 cm2. Deitou-se água na jarra até da sua altura.

Que quantidade de água ficou na jarra, em litros?

9. Observa o prisma triangular reto ao lado.

9.1 Verdadeiro ou falso? Justifica as afirmações falsas.

• O prisma tem por altura AB—–

.

• O volume é igual a AB—–

× CA—–

× CD—–

.

• O prisma tem seis vértices e nove arestas.

9.2 Supõe que o prisma tem 120 cm3 de volume e é equivalente a um prisma quadrangularregular com 4 cm de aresta da base.Determina a altura do prisma quadrangular.

5�3

3�4

Área da base(cm2)

36 28,8

Altura do prisma(cm)

12 2,5

C

D

F

A B

E

VOLUMES

Volume do cilindro reto67

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 18

e 19

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

21fi

cha

1. A lata representada ao lado leva, quando cheia, meio litro de diluente. Concordas com esta afirmação? Justifica a tua resposta (usa π � 3,1416 ).

2. Calcula a razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A (usa π � 3,1 ).

3. Fez-se sumo de laranja e encheu-se um recipiente cilíndricocom 20 cm de diâmetro e 30 cm de altura.Quantas canecas, iguais à que vês representada na figura aolado, se podem encher de sumo (usa π � 3,1 )?

4. Um depósito para combustível tem uma capacidade de 1130 l e uma altura de 1 m.Qual é a área da base do depósito?

5. Um reservatório de água cilíndrico tem 4 m de diâmetro e 1,35 m de profundidade.Deitou-se 10 m3 de água no depósito que estava vazio. Que altura atingiu a água (usa π � 3,1416 )?

4 cm

12 cm

6 cm

10 cm

4 cm2 cm

8 cm 4 cm

B

A

VOLUMES

6821

fich

a C o n t .

6. Um cilindro reto tem 4 cm de raio e 6 cm de altura.Para este cilindro, calcula (usa π � 3,1 ):

6.1 a área da base;

6.2 o perímetro da base;

6.3 a área lateral;

6.4 a área total;

6.5 o volume.

7. Observa a planificação de uma lata de metal.

7.1 Calcula o volume da lata (usa π � 3,14 ).

7.2 Calcula a área lateral da lata (usa π � 3,14 ).

2 cm

2,4 cm

VOLUMES

69

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 2

0 e

21

prob

lem

as 4

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

Um aquário, com a forma de paralelepípedo retângulo,tem 60 cm de comprimento e 40 cm de largura, e con-tém água até 10 cm da sua altura. Retirou-se 6 l de águado aquário.A que altura ficou a água no aquário?

Um poço cilíndrico tem 4 m de diâmetro e 2,40 m de profundidade.

2.1 Qual é a capacidade, em litros, do poço quando cheio de água (usa π � 3,1 )?

2.2 Com o poço vazio, despejou-se 24,8 m3 de água para o seu interior.Que altura atingiu a água no poço (usa π � 3,1 )?

O retângulo ao lado é a planificação da superfície lateral deum cilindro reto. Com este retângulo podem construir-se doiscilindros com a mesma área lateral, mas com volumesdiferentes. Observa-os:

3.1 Indica, para cada cilindro, o raio da base e a altura (usa π � 3,14 ).

3.2 Calcula o volume de cada cilindro.

Observa a figura ao lado, formada por cubos congruentes,cuja aresta de cada um tem 2 cm.

4.1 Qual é o volume do sólido representado?

4.2 Qual é o número mínimo de cubos congruentes que énecessário acrescentar a esta construção para obter umparalelepípedo retângulo?Qual é o volume desse paralelepípedo?

1

2

3

4

6,28 cm

3,14 cm

6,28 cm

3,14 cm

Perímetroda base = 6,28 cm

A

BPerímetroda base = 3,14 cm

60 cm

10 cm 40 cm

VOLUMES

70pr

oble

mas

4 Observa uma planificação de um cilindro reto.

5.1 Qual é o perímetro de cada um dos círculos dasbases do cilindro?

5.2 Calcula o raio da base deste cilindro (usa π � 3,1 ).

5.3 Calcula o volume deste cilindro (usa π � 3,1 ).

Um depósito cilíndrico com 40 cm de diâmetro e 48 cm de altura temágua até 14 cm de altura. Colocou-se uma pedra dentro da água e a

altura da água passou a ser da altura do depósito.

Determina o volume da pedra (usa π ≈ 3,1416 ).

Num paralelepípedo retângulo de madeira fez--se, ao centro, um furo cilíndrico com a mesma al-tura do paralelepípedo e obteve-se a peça que vêsrepresentada ao lado.Calcula o volume de madeira da peça (usa π � 3,14 ).

Observa a figura ao lado, onde está representado um cilindro reto com umprisma triangular regular no seu interior. Sabe-se que a área lateral do pris-ma é 135 cm2, a aresta da base do prisma tem 3 cm e o diâmetro da basedo cilindro é 3,46 cm.Determina o volume do cilindro aproximado às unidades (usa π ≈ 3,1416 ).

2�3

5

7

5 cm

3,1 cm

60 mm

12 cm

45 mm

18 cm

6

48 cm

40 cm

8

VOLUMES

C o n t .

71NÚMEROS RACIONAIS

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r10

sabe

r Quais são os números inteiros?

Os números racionais podem ser representados na reta numérica:

• A abcissa do ponto T é –3 :

T � –3

O que é o módulo ou valor absoluto da abcissa de um ponto?

É a medida da distância desse ponto à origem.

Exemplos: |+3| = 3 , |–2| = 2 , |0| = 0 , �– � = e |–0,1| = 0,1

Qual é o número simétrico de –2? E de 1,2?

O simétrico de –2 é +2. O simétrico de 1,2 é –1,2.

Dois números simétricos têm sinais contrários e o mesmo valor absoluto.

1. Observa a reta numérica.

1.1 Completa com as abcissas dos pontos:

Q � __________ M � __________ S � __________N � __________ P � __________ T � __________

1.2 Qual é o valor absoluto das abcissas dos pontos N , M , P , Q , S e T ?

1.3 Qual é o simétrico de +8? E de – ? E de –0,5?

1�2

5�4

5�4

Pratica

+3 +5 +6

Origem

Números negativos Números positivos

+2 +4+10-1-2

R ST P

-3-4-6 -5 12

-

10

PMN ST Q

Um número que sepode representar poruma fração é umnúmero racional.O conjunto formadopelos númerosracionais positivos,números racionaisnegativos e o zerochama-se conjuntodos númerosracionais, erepresenta-se por IQ .

Por exemplo, os números

–3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3 sãonúmeros inteiros.

O que é umnúmero

racional?

O conjunto formado pelos números inteiros positivos, números inteiros negativos e o zero chama-se conjunto dos números inteiros ounúmeros inteiros relativos, edesigna-se por ZZ .

«| |» lê-se «modulo ouvalor absoluto».

O simétrico de zero é zero.

• A abcissa do ponto P é +3 :P � +3

• A abcissa do ponto R é –2 :R � –2

• A abcissa do ponto S é – :1�2

1�2

S � – 1�2

7�3

72 NÚMEROS RACIONAIS

faze

r10

sabe

r C o n t .

Como comparar e ordenar números racionais?

Assim, – < –1 < 0 < < 2 < 3 < 4,5 .

O que são segmentos orientados?

Quando a um segmento de reta se atribui um sentido, obtém-se um segmento de retaorientado.

Como adicionar números racionais usando a reta numérica?

• (+2) + (–1) é 1Assinalam-se os pontos de abcissas A � +2 eB � –1 . Traça-se [O, B] . Com origem em A ,desenha-se o segmento com o mesmo com-primento e orientação de [O, B] e obtém-se oponto S , cuja abcissa é (+2) + (–1) , isto é, 1.

• (–3) + (+2) é –1

• – + (–1) é –

2. Quais são os números inteiros maiores do que – e menores do que 2,5?

3. Coloca por ordem crescente: �– � ; –4 ; 1,2 ; –2 ; – ;

4. Utiliza segmentos orientados para calcular:

• +3 + (–2) • +1 + (–5) • – + (–1)

5. Identifica a adição que cada figura traduz e indica a soma.5.1 5.2

5�2

3�4

1�3

4�3

7�2

3�2

1�2

7�4

1�2

3 52 410-1-2-3-4-5

Ordem crescente

52

- 34

4,5

Uma reta numérica facilita a com-paração e ordenação de númerosracionais.Um número é tanto maior quantomais à direita se encontrar na reta.

BA

2 30 1

CD

2 3 4 510

[A, B] é um segmento de retaorientado positivamente.

[C, D] é um segmento de reta orientadonegativamente.

40-2-4

SB

A

Pratica

20-7 -5 -2

2-2-4 0

SB

A

10-2 B

A13

-43

-

S

10-352

-

73

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r11

sabe

r Como calcular a soma de dois números racionais?

• (+9) + (+4) = +13

A soma de dois números de sinais con-trários é um número cujo sinal é o da parcelade maior valor absoluto e cujo valor absoluto éa diferença dos valores absolutos das parcelas.

Exemplos:

• (–9) + (+3) = –6

• (+12) + (–5) = +7

• (–2,1) + (+1,7) = –(2,1 – 1,7) = –0,4

Observa mais exemplos:

• – + �– � = – � + � = – = –4

• – + �+ � = – � – � = – � – �= – porque >

• – + �+ � = + � – � = + � – � = + porque >

1. Calcula:

1.1 1,2 + �+ � 1.3 �– � + (+1,8) 1.5 – + �+9�

2. Escreve em linguagem simbólica matemática e calcula:

2.1 a soma de duas décimas com o simétrico de três quintos;

2.2 a soma de vinte e uma décimas com menos um quarto.

3. Descobre os sinais que estão em falta.

• (+18) + (…24) = –6 • (…2,8) + (…2,2) = –0,6

4. Indica dois números cuja soma seja –0,8 .

7�2

1�2

7�2

1�2

8�2

7�8

1�4

7�8

1�4

7�8

2�8

5�8

1�3

13�6

13�6

2�6

11�6

7�8

1�4

13�6

1�3

1�2

4�5

18�2

13�6

1�3

A soma de dois números positivos é umnúmero positivo cujo valor absoluto é asoma dos valores absolutos das parcelas.

Exemplo:

A soma de dois números negativos é um númeronegativo cujo valor absoluto é a soma dos valoresabsolutos das parcelas.

Exemplos:

• (–6) + (–2) = –8

• – + (–2) = �– �+ �– �= – � + �= –1�2

1�2

4�2

1�2

4�2

5�2

Pratica

1.2 –3 + (–5,1) 1.4 (–1) + �–1 � 1.6 – + �+ �1�5

13�9

1�18

A soma de dois números simétricos é zero.

Exemplos:

• (+5) + (–5) = 0

• (–1,5) + (+1,5) = 0

NÚMEROS RACIONAIS

74

faze

r11

sabe

r C o n t .

Como subtrair números racionais usando a reta numérica?

Exemplo: 4 – (–1)

Assinalam-se na reta A � 4 e B � –1e traça-se o segmento orientado [B, A] .Com origem em O , traça-se o segmentocom o mesmo comprimento e orientação de[B, A] . A abcissa da extremidade D dessesegmento orientado é 4 – (–1) , isto é, 5.

Exemplo: –3 – �+ � = –3,5

Nota: a diferença entre dois números racionais equivale à soma do aditivo com o simétrico dosubtrativo: a – b = a + (–b) .

4 – (–1) = 4 + (+1) = 5 e –3 – �+ � = –3 + �– � = –3,5

Observa mais exemplos:

• 12 – (+7) = 12 + (–7) = 5

• – – �– � = – + �+ � = – + �+ � = –� – � = – pois >

Como calcular a distância entre os pontos de abcissas A � – 4 e B � –6 ?

A medida da distância entre os pontos de abcissas–4 e –6 é igual ao módulo da respetiva diferença:

⎜–4 –(–6)⎢= ⎜–6 – (–4)⎜ = 2

5. Constrói, na reta numérica, os pontos que representam as seguintes diferenças:

5.1 –4 –(–2) 5.2 – – �+ �

6. Calcula:

6.1 –8 – (–5) 6.3 – – �+ � 6.5 – �– �

7. Sendo A �– , B �+ e C �–0,5 , determina a distância de A a B e de A a C .

8. Escreve em linguagem simbólica e calcula a diferença entre onze terços e o simétricode nove meios.

1�2

9�5

1�10

9�5

1�10

18�10

1�10

18�10

1�10

17�10

18�10

1�10

3�4

7�4

2�5

3�4

3�2

7�5

1�2

1�2

1�3

3�2

4 5310-1 2

D

AB

3210-1-2-4 -3

D

12

-3,5

-1 0-2-4-5-6 -3

B A

Pratica

10 10

6.2 +26 – (+21) 6.4 – – �+ � 6.6 – – �+ �3�4

3�8

7�5

2�3

NÚMEROS RACIONAIS

75

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 3

6 a

41

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

22fi

cha

Representação na reta numérica.Valor absoluto e simétrico de um número. Comparação e ordenação

1. Representa por um número racional cada uma das seguintes situações.

1.1 Um prejuízo de 2000 €.

1.2 Um lucro de 5000 €.

1.3 Uma temperatura de 5,5 oC abaixo de zero.

2. Dos números racionais abaixo representados, indica os números inteiros.

–2,75 ; – ; 1,3 ; ; ; –3 ; 0 ; ; 7 ; –33 ; –19 ; – ; 0,02

3. Observa a seguinte reta numérica.

3.1 Assinala, na reta numérica, as abcissas dos seguintes pontos.

A � –3 B � 0 C � – D � – E � 1 F � –1,5

3.2 Completa a seguinte tabela.

4. Coloca por ordem crescente:

4.1 –1 ; –100 ; – 4.2 2 ; – ; –0,5 4.3 1 ; – ; –1,5

5. Qual é a temperatura mais baixa?

5.1 –17 oC ou –20 oC 5.2 –9 oC ou –8 oC 5.3 –3 oC ou 2 oC

6. Adivinhas!

6.1 É número inteiro. 6.2 São dois números 6.3 É um número inteiroO seu simétrico é 9. inteiros que distam maior do que –11 e

20 da origem. menor do que –9. É ___________________ São __________________ É _____________________

7. Quais são os números racionais cujo valor absoluto é 1 ? E ?

8�8

24�4

5�4

4�2

6�2

1�3

4�3

2�3

1�2

5�2

1�3

1�6

1�2

2�5

Ponto A B C D E F

Abcissa

Distância à origem

+10 1

NÚMEROS RACIONAIS

7622

fich

a C o n t .

8. Indica o simétrico de:

–6 ____________ – ____________ + ____________ 0 ____________ 9,5 ____________


9.1 – �39

� representa o número inteiro –3. 9.4 –100 > –2 9.7 –5 ∉ ZZ

9.2 Zero não é número positivo. 9.5 |7| = |–7| = –7 9.8 –5 ∈ IQ

9.3 �32

� representa um número inteiro. 9.6 O simétrico de zero é zero. 9.9 – ∉ ZZ

10. O coelho só pode deslocar-se nas linhasindicadas e sempre para um númeromaior.Que trajeto tem de seguir para chegar àcenoura? Assinala a sequência de nú-meros que corresponde a esse trajeto.

11. Completa com os sinais > , < ou = , de modo a obteres afirmações verdadeiras.

11.1 –16 _______ –13 11.4 –38 _______ – 11.7 –7 _______ –8,5

11.3 |–12| _______ |12| 11.6 –1,8 _______ +1,8 11.9 –3 _______ –

12. Coloca os pontos O � 0 , P � –1 , Q � 6,5 e R � –2,5 na seguinte a reta numérica.

13. Qual é o número inteiro cujo simétrico está entre 8,5 e 9,5?

14.

3�7

17��5

7�7

65�5

1�2

1�8

25�8

Pensei num númerointeiro maior do que –15 e menor do que –11, cujo

simétrico é número primo.Descobre em que

número pensei.

-12

-4,5

-8 -

192

-

305

- 12

-5

1004

-

13

-1 75

6-2

Início

11.2 0 _______ |+4| 11.5 –19 _______ –9 11.8 2,25 _______ 11�2

1�4

15. Escreve dois números racionais maiores

do que –1,57 e menores do que – .

16. Escreve um número racional maior do

que – e menor do que – .

3�2

2�3

5�12

NÚMEROS RACIONAIS

Adição de números racionais77

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 4

2 a

45

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

23fi

cha


1.1 (+3) + (–7) 1.3 (–5) + (+8)

1.2 (–2) + (–6) 1.4 (+6) + (–5)

2. Calcula:

2.1 (+30) + (+20) 2.5 (+8) + (–8) 2.9 (–24) + (–4)

2.2 (–30) + (–20) 2.6 (+11) + (–15) 2.10 (–30) + (+40)

2.3 (–30) + (+20) 2.7 (–5) + 0 2.11 (–19) + (+19)

2.4 (+30) + (–20) 2.8 0 + (–18) 2.12 (–43) + (–3)

3. A temperatura em…

3.1 … Paris era –6 oC. Aumentou 12 oC. Agora é ____________________________

3.2 … Oslo era –8 oC. Desceu 7 oC. Agora é __________________________________

3.3 … Moscovo era –18 oC. Desceu 9 oC. Agora é ____________________________

4. Escreve dois números inteiros cuja soma seja:

4.1 –11 4.2 7 4.3 Zero

5. Perderam-se os sinais! Descobre-os e completa as seguintes expressões.

5.1 (–6) + ( 1) = –7 5.2 ( 5) + (–2) = 3 5.3 ( 5) + ( 5) = 0

6. Qual é o número inteiro que adicionado com –12 dá –30?


7.1 a soma de menos nove com o simétrico de dezoito;

7.2 o simétrico da soma de 12 com o simétrico de menos um.

2 4 6 80-2-4-6-8

2 4 6 80-2-4-6-8

2 4 6 80-2-4-6-8

2 4 6 80-2-4-6-8

NÚMEROS RACIONAIS

7823

fich

a C o n t .


8.1 – + �+ � 8.2 – + �– �

9. Identifica a adição que cada figura traduz e indica a sua soma.

9.1 9.2

10. Calcula:

10.1 – + �– � 10.4 +0,15 + (–0,2) 10.7 – + �– �

10.2 + + �– � 10.5 – + (–0,4) 10.8 –3 + (+0,1)

10.3 – + �+ � 10.6 –3 + 2 10.9 – + �– �

11. Calcula e indica se o resultado pertence a ZZ .

11.1 – + (–6) 11.2 – + (+1,8) 11.3 –2,8 + (+5,8)


12.1 a soma de três décimas com o simétrico de dois terços;

12.2 o módulo da soma de doze décimas com menos um meio.


13.1 – + �– � > –1 13.3 1,5 + �–1 � = 0

13.2 + �–1 � < 13.4 –2,5 + �– � ∉ ZZ

2�3

3�4

5�2

11�12

7�3

5�6

1�5

2�5

2�7

1�14

5�4

1�2

7�10

4�2

4�5

3�4

1�2

1�4

7�3

1�6

5�5

1�3

1�2

1�4

5�8

1�2

1�2

1 20-1 1-1 0

1 2

S

30-1-2

S

1 2 3 4-1-2-3 0

NÚMEROS RACIONAIS

Subtração de números racionais79

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 4

6 a

49

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

24fi

cha


1.1 –2 – (–4) 1.2 –1 – (+1)

2. Identifica a subtração que cada figura traduz e indica a diferença.

2.1 2.2

3. Calcula, sabendo que a diferença entre dois números racionais equivale à soma do aditivo como simétrico do subtrativo.

3.1 (+12) – (+20) 3.5 (–7) – (–11) 3.9 (–18) – (+8)

3.2 (+15) – (–13) 3.6 (–18) – (+17) 3.10 (+29) – (–14)

3.3 (–8) – (+1) 3.7 (–27) – (–27) 3.11 (+100) – (–100)

3.4 (–13) – (–6) 3.8 (–13) – (+9) 3.12 5 – (+16)

4. Num determinado dia, as temperaturas médias em quatro cidades foram:

–6 oC –3 oC –5 oC –2 oC

Calcula a diferença entre a temperatura média mais alta e a temperatura média mais baixa.


5.1 a diferença entre sete e o simétrico de menos três;

5.2 o valor absoluto da diferença entre menos nove e menos treze.

1 2 3 40-1-2-3 1 2 3-1-2 0

21 3 540-2 -1-3-4

D

21 3 540-2 -1-3-4

D

NÚMEROS RACIONAIS

8024

fich

a C o n t .


6.1 –1 – �+ � 6.2 2 – �– �

7. Calcula, depois de observares o exercício resolvido.

– – �+ � = – + �– � = – � + � = –

7.1 –4 – �+ � 7.4 –1 – (+3) 7.7 – �+ �7.2 – �– � 7.5 –2,8 – �+ � 7.8 – – �+ �7.3 2,5 – (+1,5) 7.6 – – �– � 7.9 –3 – �– �

8. Recorrendo à reta numérica, calcula a distância entre os pontos A � – e B � –2 .


9.1 ⎜5 – 3⎢ = ⎜3 + (–5)⎢ 9.3 –5 – �– � < – + (–1)

9.2 –⎢2 – �+ �⎢ > ⎜–2⎢ 9.4 –1 – (+1000) > –

10. A diferença entre duas temperaturas é 22 oC. Se uma das temperaturas é 14,5 oC, qual pode sera outra? Justifica a tua resposta.

11. Um submarino está a 64 metros de profundidade (–64) e um tubarão está 15 metros acimadele. Se o submarino subir 12 metros e o tubarão 10 metros, a que profundidade se encontracada um deles? Qual é agora a distância entre eles?

12. Usando a noção de distância entre dois pontos, explica o significado de ⎜5 – (–3)⎢ .

13. Completa a tabela.

1�3

5�9

1�3

5�9

3�9

5�9

8�9

1�2

2�3

1�4

5�4

1�2

9�4

1�4

1�6

1�4

1�7

1�2

1�5

3�2

1�3

1�2

1�7

5�7

200��

2

4�3

5�2

1 2 30-1-2-3 1 2 3 4-1-2-3-4 0

+ +7 –8–3 –1

+5–6

–10 0

NÚMEROS RACIONAIS

81

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

prob

lem

as 5

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

Um sábio nasceu no ano 287 a.C. e morreu com 58 anos.Em que ano morreu?

Numa reta numérica, a abcissa do ponto A é – .

Quais são as abcissas dos pontos cuja distância ao ponto A é 2?

Descobre o sinal em falta nas igualdades seguintes.

3.1 1,2 + � � =

3.2 � � + �– � = –0,25

3.3 1 – � � =

3.4 – �– � = –0,25

Observa as sequências seguintes. Admitindo que há uma regularidade que se mantém, determina,em cada uma, o termo seguinte.

4.1 5 , 1 , –3 , –7 , –11 , …

4.2 –2,5 ; –3 ; –3,5 ; –4 ; –4,5 ; …

Escreve dois números racionais compreendidos entre –8 e –8,1 .

Coloca por ordem decrescente:

–2,93 ; –29,3 ; –0,293 ; 2,93 ; –2,39

1�2

1�5

3�3

1�4

1�2

1�2

3�4

1�2

4�8

4�2

1

2

5

6

3

4

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 5

0 e

51

NÚMEROS RACIONAIS

82pr

oble

mas

5 Na reta numérica marca os pontos A , B , C e D , cujas abcissas são respetivamente:

– ; – ; 1 ;

O número de operários numa fábrica é do número de operárias.

Se o total de trabalhadores é 75, quantos são os operários e as operárias?

Numa caixa estão berlindes vermelhos, amarelos e azuis: 20% dos berlindes são vermelhos, 40%são amarelos e o número de berlindes azuis é 80.Quantos berlindes há na caixa?

Escreve em linguagem simbólica e calcula:

10.1 a diferença entre cento e vinte e cinco centésimas e o simétrico de três quartos;

10.2 o simétrico da soma de menos um sétimo com menos um terço;

10.3 três quartos da soma de uma centésima com vinte e três centésimas.

Verdadeiro ou falso?

• – ∈ ZZ • 0 ∉ IN • – ∉ ZZ • IN ⊂ ZZ

O João pratica natação num clube. O clube oferece as seguintes condições:

A: pagar 30 € por ano e 1,5 € por cada entrada.B: pagar 3,5 € por cada entrada.

Se, num ano, o João vai à piscina pelo menos duas vezes por mês, qual é a opção que deve escolher?Mostra como chegaste à tua resposta.

2�3

1�6

1�2

4�3

2�3

3�5

12�3

7

9

11

8

10

C o n t .

12

NÚMEROS RACIONAIS

83ISOMETRIAS DO PLANO

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r12

sabe

r

Pratica

Como saber se dois triângulos são iguais?

Têm de obedecer a um dos três critérios seguintes:

• Os três lados de um serem respetivamente iguaisaos três lados do outro – LLL.

• Terem, de um para o outro, dois lados iguais e oângulo por eles formado também igual – LAL.

• Terem, de um para o outro, um lado igual e os doisângulos adjacentes a esse lado iguais – ALA.

Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.

Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

Como reconhecer e caracterizar uma reflexão central, uma reflexão axial e umarotação?

A reflexão central, a reflexão axial e a rotação são isometrias. Conservam os comprimentos econservam as amplitudes dos ângulos.

1. Observa o triângulo [ABC] e constrói as imagens A’ , B’ e C’dos pontos A , B e C , respetivamente, pela reflexão central decentro B .Justifica que os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são iguais.

2. Observa o triângulo [MNP] e o eixo r . Constrói as imagens M’ ,N’ e P’ dos pontos M , N e P , respetivamente, pela reflexãoaxial de eixo r . Mostra que os triângulos [MNP] e [M’N’P’] sãoiguais.

Reflexão central de cen-tro O é uma transforma-ção geométrica que a cadaponto M do plano associao ponto M’ , imagem de M ,tal que:

• os pontos M , O e M’ per-tencem à mesma reta;

• o ponto O é o ponto médiodo segmento de reta[MM’] , isto é, MO

—–– = M’O

—–– .

Reflexão axial de eixo r éuma transformação geomé-trica em que cada ponto e asua imagem estão àmesma distância da reta,ou eixo de reflexão r , e osegmento de reta que une oponto à sua imagem é per-pendicular a r .

Rotação de centro O eamplitude de rotação α éuma transformação geomé-trica que a cada ponto Pfaz corresponder a suaimagem, o ponto P’ , talque: OP

—– = OP’

—– e P’ÔP = α .

P

P '

O

R

R '

+

-

α

r

N

M

P

C

B

A

M

M ' O O'==

r

A C

A' C'

B

B'

84

faze

r12

sabe

r C o n t .

Como construir a imagem de um ponto por rotação?

Para obteres a imagem do ponto A pela rotação de centro O ,sentido positivo e amplitude 45o , tens de:

• unir o ponto O com o ponto A ;

• colocar o transferidor com centro em O e o zero alinhadocom o ponto A , e marcar o ângulo de 45o;

• com o compasso com centro em O e raio OA—–

, desenhar oarco AA’ .

Como construir a mediatriz de um segmento de reta?

Mediatriz de um segmento de reta num dado plano é a reta per-pendicular a esse segmento no ponto médio.Os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantesdos extremos desse segmento de reta.

Como construir a bissetriz de um ângulo?

Com o compasso com centro no ponto O , traça-se o arco AB ; comcentro em A e em B , e com a mesma abertura do compasso,traçam-se dois arcos que se cruzam em P . Traça-se O• P , que é abissetriz do ângulo BOA .

Quando é que uma reta r é eixo de simetria de uma figura plana?

Quando as imagens dos pontos da figura pela reflexão de eixo r formam a mesma figura.

Que tipos de simetria podemos observar na figura?

O quadrado tem simetria de reflexão, ou axial: admite quatro eixosde simetria. O quadrado tem simetria de rotação, ou rotacional, deordem 4 (90o, 180o, 270o e 360o), isto é, coincide com ele próprio qua-tro vezes durante uma volta completa.

3. Constrói a imagem A’ do ponto A pela rotação de centroO , sentido negativo e amplitude 60o.

4. Constrói a mediatriz do segmento de reta [BC] .

5. Constrói o ângulo AÔD = 80o e traça a bissetriz desseângulo.

Pratica

O

A

A'

45˚

+

A’ é a imagem de A pelarotação de centro O ,sentido positivo e am-plitude 45o.

A

B

M

med

iatr

iz

OP

A

B

O

O

A

B

C

ISOMETRIAS DO PLANO

85ISOMETRIAS DO PLANO

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s.66

a79

1. Observa o triângulo [MNP] representado na figura seguinte.

1.1 Constrói os transformados M’ , N’ e P’ dos pontos M , N e P , respetivamente, pelareflexão central de centro P .

1.2 Justifica que o triângulo [M’N’P’] obtido em 1.1 é congruente com o triângulo [MNP] .

1.3 Mostra que a reflexão central de centro em P conserva a distância entre os pontos M e N .

2. Na figura estão representados o triângulo [ABC] e a reta r .

2.1 Constrói os transformados A’ , B’ e C’ dos vértices A , B e C do triângulo, respetivamente,pela reflexão axial de eixo r .

2.2 Prova que os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são congruentes.

3. O polígono [A’B’C’D’E’] é imagem do polígono [ABCDE] poruma reflexão central. Descobre o centro dessa reflexão cen-tral.

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

25fi

cha

M P

N

B

A

r

C

E'

A'B '

C '

A

E

B

CD

D '

Isometrias

8625

fich

a C o n t .

4. A figura ao lado é formada pelo triângulo [ABC] e pelosemicírculo de diâmetro [AB] .

4.1 Constrói a imagem da figura pela reflexão central de centro O .

4.2 Sendo AB—–

= 2 cm , BC—–

= 1,5 cm e AC—–

= 2,5 cm , determinaa área e o perímetro da figura (usa π ≈ 3,1416 ).

4.3 Qual é a área e o perímetro da imagem da figura queobtiveste em 4.1? Justifica a tua resposta.

5. Desenha a imagem de cada figura por reflexão axial.

6. Constrói o triângulo [ABC] , tal que AB—–

= 2 cm , BC—–

= 3,5 cm e ABC = 120o .Determina o ponto médio de um dos lados e designa-o por M . Constrói o transformado de cadaum dos vértices do triângulo pela reflexão central de centro M e designa a imagem de B por D .Prova que o quadrilátero [ABCD] é um paralelogramo.

7. Comenta a afirmação, justificando: «A figura B é transformada dafigura A por uma reflexão central de centro O .»

8. Constrói a imagem do triângulo [MNP] pela reflexão axial de eixo r .

A O

B C

r

s

t

A

O

B

M P

N

r

de eixo r de eixo s de eixo t

ISOMETRIAS DO PLANO

87

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 6

6 a

79

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

26fi

cha

1. Constrói um triângulo equilátero de perímetro 7,5 cm. Designa-o por [RST] . Constrói asimagens R’ , S’ e T’ dos pontos R , S e T , respetivamente, pela rotação de centro O (pontoexterior ao triângulo), sentido positivo e amplitude 80o.Justifica que o triângulo [R’S’T’] é equilátero.

2. Na figura seguinte está representado o quadrilátero [ABCD] e o ponto B’ , imagem do ponto Bpor uma rotação de centro A . Constrói as imagens dos restantes vértices do quadrilátero poressa rotação.

3. Na figura seguinte estão representados:

• o segmento de reta [CD] ;

• o ponto M , ponto médio do segmento de reta [CD] ;

• a reta r , perpendicular a [CD] no ponto médio M .

3.1 Que nomes dás à reta r relativamente a [CD] ?

3.2 Assinala um ponto P na reta r não pertencente a [CD] e traça os segmentos de reta[PC] e [PD] .Justifica que os triângulos [PCM] e [PMD] são iguais.

AD

B C

B'

r

C

DM

IsometriasISOMETRIAS DO PLANO

8826

fich

a C o n t .

4. Na figura ao lado, os pontos A’ , B’ e C’ são imagens dospontos A , B e C por uma reflexão axial de eixo r . Traça nafigura o eixo de reflexão r .

5. Desenha um ângulo de amplitude 120o e traça a respetiva bissetriz.

6. Constrói um retângulo com 12 cm de perímetro e 2 cm de largura. Traça os respetivos eixosde simetria do retângulo. Calcula a área do retângulo.

7. Completa a figura ao lado de modo que a linha a azul seja eixo de sime-tria da figura.

8. Qual é a imagem do triângulo B por uma rotação de centro O ? Qual é oângulo e o sentido da rotação?

9. Desenha uma figura que tenha um centro de simetria, mas que não tenha eixo de simetria.Justifica.

10. Se o triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] por umareflexão axial, traça o eixo de reflexão.

A'

B'

C'

A

B

C

O

A

B

C

C

ABB'

A'C'

ISOMETRIAS DO PLANO

89

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 8

0a

85

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

27fi

cha

1. Averigua se os polígonos seguintes admitem simetria de reflexão e simetria de rotação.Em caso afirmativo, desenha o(s) eixo(s) de simetria e identifica a ordem de rotação.

2. Observa as seguintes figuras.

Descreve as simetrias que cada uma das figuras admite.

3. Completa a figura ao lado de modo que a linha a tracejado seja eixo de simetria da figura.

A figura que obtiveste admite simetria de rotação?Se sim, de que ordem?

Retângulo

Triângulo equilátero QuadriláteroQuadrado

ParalelogramoTriângulo isóscelesPentágono regular Octógono regular

C DA B

Simetria de reflexão. Simetria de rotação. Construção de frisos. Construção de rosáceas

ISOMETRIAS DO PLANO

9027

fich

a C o n t .

4. Descreve as simetrias que observas em cada rosácea.

5. Observa os seguintes frisos (bandas decoradas com um motivo que se repete infinitamente).

5.1 Que tipo de transformações geométricas observas em cada friso?

5.2 Constrói um friso, partindo de um motivo a teu gosto, e completa a seguinte rosácea demodo a admitir simetria de rotação de grau 6.

6. Observa as figuras e completa.

6.1 A figura que não tem simetria de reflexão é a figura número ____________ .

6.2 A figura que tem simetria de reflexão e de rotação é a figura número ____________ .

6.3 A figura que não tem simetria de rotação é a figura número ____________ .

BA

A B

1 23

ISOMETRIAS DO PLANO

91

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Constrói a imagem do triângulo [ABC] pela reflexão axial de eixo Ox . Indica as coordenadas dosvértices do triângulo [A’B’C’] .

Na figura seguinte estão representados um quadrilátero e a sua imagem por uma reflexão axial.Traça o eixo de reflexão ( A’ é a imagem do ponto A ).

Qual é a ordem da simetria de rotação da seguinte figura?

Desenha uma circunferência de centro C com 2 cm de diâmetro. Assinala sobre essa circunferênciaum ponto P e constrói a imagem da circunferência que traçaste na reflexão central de centro P. Qual é a área de cada uma dessas duas figuras? Justifica (usa π ≈ 3,1416 ).

1

2

3

4

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

6pr

oble

mas

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 8

6 e

87

A

B

C0 2 4 x

y

2

4

A

A'

ISOMETRIAS DO PLANO

926

prob

lem

asC o n t .

Completa a figura de modo que admita simetria rotacional de ordem 4.

Completa a figura de modo que admita simetriarotacional de ordem 2.

O triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] por uma rotação. Determina o centro darotação.

Descreve as simetrias que observas em cada uma das figuras.

8.1 8.2

Observa a figura ao lado. Qual é o triângulo que é imagem dotriângulo 2 por rotação de centro O e ângulo de amplitude 270o

no sentido dos ponteiros do relógio? A figura admite simetria dereflexão? E de rotação? Calcula a área da figura.

5

6

7

8

A

C

A'

C'

B

B'

9

O

1

2

3

4

0,5 cm

ISOMETRIAS DO PLANO

93

Nom

e

N.o

Tu

rma

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

faze

r13

sabe

r

REPRESENTAÇÃOE TRATAMENTO DE DADOS

Como distinguir dados quantitativos de dados qualitativos?

Exemplos:

Como interpretar um gráfico circular?

Exemplo: despesa mensal de uma família que recebe 1575 € por mês.O círculo corresponde a 100%, logo as «Outras despesas», empercentagem, correspondem a:

100% – (32% + 30% + 10% + 5%) = 23%

Sendo assim, «Outras despesas», em euros, é:

23% × 1575 = 362,25

A maior despesa é com a «Renda da casa» que é, em euros:

32% × 1575 = 504

1. Classifica os dados: «cor dos olhos»; «tempo que demoras a chegar à escola»;«número de chamadas telefónicas feitas num dia, na tua escola»; «duração de umachamada telefónica», «tempo de espera num consultório médico», «qualidade doatendimento na loja do cidadão».

2. Observa o gráfico circular que se refere ao desporto favoritode 400 estudantes.

2.1 Qual é o desporto mais popular?

2.2 Que percentagem de alunos prefere basquetebol?

2.3 Quantos alunos preferem natação?

Alimentação30%

Rendade casa

32%

Outrasdespesas ...

Educação5%

Saúde10%

Despesas mensais

Voleibol30%

Basquetebol?

Futebol35%

Natação20%

Desporto favorito

Pratica

O número de alunos das turmas da minha escola é um dadoquantitativo.

Porque se pode contar etoma valoresisolados: 25;

30; 28…

Porque se pode medir e pode

tomar todos os valores num certo

intervalo: 36,7o;37,5o…

Porque não sepode medirnem contar.

A temperatura do meu corpo é um dado quantitativo.

A qualidade das refeições, naminha escola, às vezes é boa,outras é má e outras razoável – é um dado qualitativo.

94REPRESENTAÇÃOE TRATAMENTO DE DADOS

faze

r13

sabe

r C o n t .

Como construir um gráfico circular?

Representamos, num círculo, a distribuição das frequênciasrelativas usando setores circulares. Para obter a amplitude, em graus, do ângulo de cada setor, multi-plica-se a frequência relativa por 360o.

Exemplo: numa turma com 20 alunos registou-se, no final de umasemana, o número de horas que cada aluno passou na Internet.

Utilizando um transferidor, marcaram-se os ângulos, de modoa obter-se o gráfico circular representado ao lado.

Como determinar a moda, a média aritmética, os extremos e a amplitude de umconjunto de dados?

Tendo em conta o exemplo anterior:

Moda: 4 – dado que ocorre com mais frequência.

Média aritmética: = 3,8

3. A tabela refere-se ao número de irmãos de 200 alunos.

Constrói o gráfico circular e determina a moda, a média arit -mética, os extremos e a amplitude deste conjunto de dados.

2 × 2 + 3 × 5 + 4 × 8 + 5 × 5��20

Número de horas

Frequência absoluta

Frequência relativa (%)

Amplitude do ângulo do setor

2 2 2 : 20 = 0,1 10% 0,1 × 360o = 36o

3 5 5 : 20 = 0,25 25% 0,25 × 360o = 90o

4 8 8 : 20 = 0,4 40% 0,4 × 360o = 144o

5 5 5 : 20 = 0,25 25% 0,25 × 360o = 90o

Total 20 1 ou 100% 360o

Número de irmãos 0 1 2 3 4

Frequência absoluta 40 80 54 20 6

Setorcircular

3 horas25%

144°

36°

5 horas25%4 horas

40%

2 horas10%

Número de horas na Internet

Extremos: valor mínimo e valormáximo do conjunto de dadosnuméricos: 2 e 5, respetivamente.Amplitude: diferença entre o valormáximo e o valor mínimo: 5 – 2 = 3

Pratica

95REPRESENTAÇÃO

E TRATAMENTO DE DADOS

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 10

2 a

105

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

28fi

cha

1. O computador está presente em grande parte das casas dos 600 alunos de uma escola. Para a realização de um estudo estatístico, escolheram-se 80 alunos dessa escola e inquiriram--se sobre o uso do computador.

1.1 Indica, para este conjunto de dados, a população e a amostra.

1.2 Formula duas questões que possam ser incluídas nesse estudo.

1.3 Qual é a unidade estatística?

2. Formula quatro questões para as quais obtenhasresposta no gráfico ao lado.

3. Classifica os seguintes dados em quantitativos e qualitativos.

3.1 Número de cartas numa caixa do correio.

3.2 Estado civil de um indivíduo.

3.3 Número de passageiros no autocarro da escola.

3.4 Tamanho de sapato.

3.5 Altura das pessoas presentes num cinema.

3.6 Profissão de um indivíduo.

4. Dá dois exemplos de dados qualitativos.

5. Observa a roda dos alimentos e o gráfico circular que o INE (Instituto Nacional de Estatística)divulgou sobre os hábitos alimentares dos portugueses.

Compara os dados fornecidos pelos dois gráficos circulares e faz um registo escrito de modo atirar conclusões sobre a dieta portuguesa.

30%

13%14%

20%

16%

1%6%

Balança alimentarportuguesa

28%

23%20%

18%

5%

2%4%

Rodados alimentos

Cereais e tubérculos

Hortícolas

Frutos

Laticínios

Carne, ovos e pescado

Leguminosas

Óleos e gorduras

2

4

6

8

Fre

qu

ênci

a ab

solu

ta

08

Idades dos alunos de uma turma

9 10 11Idade em anos

Font

e: P

úblic

o, 0

1/12

/10

10

Formulação de questões. Natureza dos dados. Gráficos circulares

9628

fich

a C o n t .

6. Observa o gráfico circular ao lado, que mostra a distribuição dos vários nutrientes num pacote de cereais.

6.1 Que fração dos nutrientes corresponde às gorduras?E às fibras?

6.2 Qual é a percentagem de cada um dos nutrientes?

6.3 Quantos gramas destes nutrientes há em 50 g destes cereais?

7. Observa o gráfico ao lado.

7.1 Quais os alimentos que devem serconsumidos em menor quantidade porum desportista?

7.2 Em que percentagem os laticíniosdevem entrar na dieta?

7.3 Comenta a seguinte afirmação:«A alimentação de um desportista deveser pobre em pão, massa, arroz e carne.»

8. Perguntou-se a idade a 36 alunosde uma escola. Observa ao lado osresultados da recolha de dados.

8.1 Organiza os dados numa tabelade frequências absolutas e rela-tivas.

8.2 Constrói um gráfico de barras e um gráfico circular desta distribuição de dados.

8.3 Calcula a média, a moda e a mediana desta distribuição.

Fibra36°

108°

108°

Gorduras

Hidratosde

carbono

Proteínas

Nutrientes num pacotede cereais

8%

9%

?

13%

13%5%

35%

5%

Dieta ideal deum desportista

Vegetais, batata e fruta

Doces e marmeladas

Leite e queijos

Carnes e enchidos

Ovos

Peixe

Pão, massa e arroz

Álcool

11 12 13 12 11 13 12 12 11 12 12 13

12 13 11 13 13 12 14 12 14 12 14 12

12 13 13 12 13 12 11 14 12 14 11 14


Extremos e amplitude. Média e moda97

Nom

e

N.o

Tu

rma

A

vali

ação

Pro

f.

E

nc.

Ed

uc.

Man

ual

(vol

um

e 2

)

Pág

s. 10

6 e

107

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TE

XT

O

29fi

cha

1. O número de veículos estacionados num parque de estacionamento de uma autoestrada é dis-tribuído da seguinte maneira:

• Motorizadas – 40 • Camiões – 50 • Autocarros – 30 • Automóveis – 80

Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas e num gráfico circular.

2. A distribuição por zonas das 16 equipas do Campeonato de Futebol de 2010/2011 é a seguinte:

• Ilhas – Marítimo; Nacional

• Sul – Portimonense; Olhanense; V. Setúbal

• Grande Lisboa – Benfica; Sporting

• Centro – Académica; Beira-Mar; União de Leiria; Naval

• Grande Porto – F.C. Porto; P. Ferreira; Rio Ave

• Norte – Sp. Braga; V. Guimarães

Com esta informação, faz os cálculos necessários e completa o gráfico ao lado.

3. A média de três números é 15,2. Qual é a soma dos números?

4. A média de sete números é 8. Retirou-se um número e a média dos seis números restantes é 9.Que número se retirou? Explica o teu raciocínio.

5. A professora registou no quadro o conjunto de dados representado ao lado.

O Rodrigo afirmou: «Os extremos são 29 e 23.»A Maria disse: «Então, a amplitude é 6.»O João acrescentou: «A média é igual à moda.»Comenta as afirmações dos três alunos, justificando.

6. O Zé comprou cerejas nas frutarias A, B e C: na A, 1 kg por 2,70 €; na B, 2 kg por 5 €; e na C,5 kg por 7,50 € .Calcula o preço médio, em euros, do quilograma de cerejas, tendo em conta o número total dequilogramas de cerejas.

SULPortimonense

OlhanenseV. Setúbal

3

67,5°

Distribuição por zonas das equipasdo campeonato de 2010/2011

2923212923


9829

fich

a C o n t .

7. Na turma 5.o A, todos os alunos estudam música.A tabela ao lado mostra o número de horas que cada alunodedica diariamente à música.

7.1 Completa o gráfico de barra dupla, a partir databela.

7.2 Representa, num gráfico circular, a informaçãorelativa ao número de horas dedicadas à música,por dia, pelas raparigas da turma.

7.3 Com os dados da tabela, indica a moda e a médiaaritmética do número de horas dedicadas àmúsica pelos rapazes da turma.

8. O gráfico circular representado ao lado apresenta os resulta dosde 24 equipas de hóquei em patins, num fim de semana. Cadaequipa jogou uma única vez.

8.1 Quantas equipas ganharam?

8.2 Quantas equipas empataram?

8.3 Por que razão a amplitude do ângulo do setor das vitórias é amesma da do ângulo do setor das derrotas?

9. Observa a tabela seguinte, que mostra a altura de uma planta ao longo de oito semanas àmedida que foi regada.

O Zé inseriu os dados no computador e está hesitante entre o gráfico que deve traçar: gráficode linhas ou gráfico circular.Qual parece ser, nesta situação, o gráfico mais vantajoso? Porquê?

Número de horas

Rapazes Raparigas

2 3 23 5 84 1 6

2

4

6

8

Nú

mer

o d

e al

un

os

02 horas

RapazesRaparigas

Horas dedicadas à música por dia

Números de horas

Empates

Vitórias

Derrotas

Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8

Altura (cm) 2 3 6 7 10 11 13 15


99SOLUÇÕES

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TEXTO

Soluções

NÚMEROS NATURAIS

Saber fazer 1 Págs. 3 e 41. 200 = 23 × 52 ; 242 = 112 × 2 ;

147 = 3 × 72 ; 315 = 32 × 5 × 7

2. É primo, porque não é divisível por 2,

3, 5, 7, 11 e como 11 < 13 ,

então posso afirmar que 149 é primo.

3.1 m.d.c. (48, 80) = 16 ; m.m.c. (48, 80) = 2403.2 m.d.c. (72, 100) = 4 m.m.c. (72, 100) = 18003.3m.d.c. (36, 270) = 18 ; m.m.c. (36, 270) = 540

Ficha 1 Págs. 5 e 61.1 É primo, porque não é divisível por 2,

3, 5, 7, 11 e 5 < 11

1.2 É primo, porque 127 não é divisível

por 2, 3, 5, 7, 11 e 9 < 13

1.3 Não é primo, porque é divisível por 3,7 e 11.

1.4 Não é primo, porque é divisível por 17.

2.1 56 = 23 × 7 2.3 250 = 2 × 53

2.2 108 = 22 × 33 2.4 4004 = 22 × 7 × 11 × 13

3.1 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 5003.2 1, 2, 59, 118 3.3 1, 3, 5, 15, 25, 75

4.1 , 4.2 , 4.3

5.1 12 5.2 2 5.3 6 5.4 16

6.1 2580 6.2 360 6.3 672

6.4 1680 6.5

7.1 9 e 4725 7.2 396 900; 33 075

8. Por exemplo: 22 × 52 × 7 e 23 × 5 × 72 .

9. 22 cm; 7 e 17

10. 24 dias depois; 3 viagens e 2 viagens.

11. 50 cm 12. 390


Saber fazer 2 Págs. 7 e 8

1.1 25 1.2 32 1.3 100 000

1.4 1 1.5 1.6 4,41

3. 52 – � �2

= 24,75 3

– 3

= 18,5

4.

63 × 64 = 67

64 × 62 = 66

63 × 6 × 65 = 69

67 × 62 × 6 = 610

� �2

× � �3

= 25

5.1 85 5.3 206 5.5 2,56

5.2 112 5.4 0,13 5.6 0,258


3.1 3 × (5 + 1) = 3 × 5 + 3 × 1 = 183.2 17 – 10 = 7 3.3 2 : 2 = 1 3.4 (7 + 2)2 = 81

4.1 20,0001 4.2

Ficha 2 Págs. 11 e 121. A Maria, porque 72 = 7 × 7 ,

33 = 3 × 3 × 3 e 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

2.1 104 2.2 105 2.3 107 2.4 1011

3.1 3.3 102 3.5 0,12

4. 75 5. 47

6.1 2 × 0,2 = 0,4

6.2 � �2

=

6.4 � �3

=

7.1 1,22 7.2 1,23 7.3 43 7.4 63 7.5 63

8.1 3,99 8.2 8.3 27,25 8.4 64 8.5

9.1 3 9.2 4 9.3 13 9.4 5 9.5 4

Ficha 3 Págs. 13 e 14

1.1 V 1.2 F; 105 1.3 V 1.4 F; � �2

1.5 V 1.6 V 1.7 F; 0,576. 1.8 F; 210.

4.1 101 = 10 4.2 102 = 100

8. Por exemplo, 12 = 23 × 21 – 43 : 42

9.1 63 × 62 9.3 0,25 – 2 = 0,25 : 0,22

9.2 109 : 105 9.4 0,253 + 2 = � �3

× � �2


4.1 25 4.2 83 4.3 33 4.4 214 4.5 23 4.6 113

5.1 Por exemplo: 29 × 129 ; 211 × � �11

5.2 Por exemplo: 489 : 29 ; 211 : 311

6. É o Diogo, porque 12 < 16 .

7.1 0,16 7.3 0,210 7.5 29

7.2 7.4 0,18 7.6 0,225


2.1 Comutativa e associativa; 19 × (105 × 103)

2.2 Distributiva em relação à adição.2.3 Comutativa e associativa;

(33 × 32) × (64 × 6)

3. CAMÕES; maior poeta português, queescreveu Os Lusíadas.

4. 1013 5.

6. Rui;Nuno → calculou a medida da áreatotal e subtraiu a medida da área dahorta.Jorge → determinou a medida docomprimento do roseiral e achou amedida da área do roseiral.

7.1 F7.2 F7.3 F7.4 V

8. A medida da área total da figura; 96.

9.1 7 9.2 5 9.3 12 9.4 2

10.1 4 × 453

10.2 (45 × 4)3 ou 453 × 43

11. Por exemplo: 5 × 5 + 5 : 5 = 265 + 5 + 5 – 5 = 105 : 5 + 5 : 5 = 2

SEQUÊNCIASE REGULARIDADES.PROPORCIONALIDADEDIRETA


1.1

3.1 8, 23, 48 3.2 ; ;

4. Há 3 partes coloridas para 5 brancas,

logo �35

� ou 3 : 5 .

5. Por exemplo: �23

� = �182� ; =

6. Não, porque ��0,

190� = �

1,280� mas

diferente de �2,35� .


1.1 82, 76 1.3 ,

1.2 69,5; 75 1.4 25, 36

2. O primeiro termo é 100 e cada um dostermos seguintes é a diferença entreo termo anterior e 6. O primeiro termo é 53 e cada um dostermos seguintes é a soma do termoanterior com 5,5. O primeiro termo é e cada um dos

termos seguintes é metade do termoanterior.É a sequência dos quadrados dosnúmeros naturais.

3. C

4.1 5n + 1 ; 51 4.2 3n – 1 ; 29

5.1 Não; 120 não é cubo de nenhumnúmero natural.

5.2 Ordem 7.

6.1

6.2

6.3 4n + 26.4 Não, porque 81 não é a soma de um

múltiplo de 4 com 2.

7.1 7.2

8.1 ; 8.2 ; 8.3 64,5 ; 400,5

capítulo 1

4��3

128��95

1��4

133��2580

capítulo 2

27��2

3��2

4��2

1��2

4��2

4��2

1.1 V1.2 F; 64.1.3 F; 54.1.4 F; 93.1.5 V

1.6 F; 104.1.7 V1.8 V1.9 F; 94.1.10 V

1.11 F; 2,33.1.12 V1.13 V1.14 V

33��16

4��25

1��4

1��2

8��27

2��3

1��3

16��9

7��3

7.1 =7.2 =

7.3 >7.4 >

7.5 <7.6 >

7.7 =7.8 <

7.9 >7.10 =

1��4

1��4

1��3

79��200

capítulo 3

127��7

57��7

15��7

8��2

12��3

1�32

1�16

3 4 5 6

14 18 22 26

3��nn��n + 1

149 13019 11

6

59 1104 5

127 1310 9

� �10

× = 3,5117��2

7��2

3.2 � �3

3.4 � �3

3.6 � �21��

22��3

3��2

6.3 3 × = 22��3

6.5 � �4

= 2��5

16��625

6.6 4 × = 2��5

8��5

6.7 � �5

= 3��2

243��32

6.8 5 × = 3��2

15��2

2.9 � �12 3��

2

� �52��

3

� �71��

6

� �94��

5

� �42��

3

� �203��

2

� �33��

4

2.1 1 2.2 3 2.3 2.4 39��4

82 + 130 = 130��2

2. 0,16 ; � �81��

2

1.1 83

1.2 302

1.3 144

1.4 243

1.5 25

1.6 47

1.7 73

1.8 1012

1.9 0,042

1.10 12

1.11 13

1.12

1.13 153

2.1 23

2.2 42.3 612

2.4 213

2.5 54

2.6 103

2.7 44

2.8 2

2.9

2.10

3.1 F; 10003.2 V; 35

3.3 V; 36 = 62

3.4 F; é igual3.5 F; 18 0003.6 F; 3,22a – b

8. �� 2

�2

2��3

1.1 131.2 281.3 50

1.4 71.5 121.6 60

1.7 9,5

1.8

1.9

1.10 1,021.11 4,2

2. ; ; ; 2��3

1��3

1��6

1��12

6.2 Por exemplo: 297 × 292 ; � �18

: � �82��

32��3

1.2 ; ; 1��12

1��15

1��18

2.1 42

2.2 62.3 55

2.4 22

2.5 22.6 252

2.7 153

2.8 9

2.11 142.12 2

2.13 � �54��

32.10 � �

21��2

3.1 37

3.2 623.3 92

3.4 1133.5 0,110

3.6 2,423.7 1,52

3.8 � �37��

8

5.1 405.2 485.3 10

5.4 65.5 8005.6 72

5.7 3 5.9 0,00055.10 0,3

6.1 Por exemplo:

293 × 292 ; � �4

× � �62��

32��3

2��42��10

8��520��11

5.820��9

1��2

9.2 Não; �272� ≠ �

146�

100 SOLUÇÕES

9.1

9.2 10 triângulos e 20 quadrados9.3 3 × n , sendo n a ordem do termo

10. �31� , �

61� , �

112� , �

214� , �

418�

11. 52 – 4 , 62 – 5 , 72 – 6 12. C; 83


1. �4

14

10

� = �410� 2. �

12

�

3. Meios: 3 e 2 Extremos: 1 e 6Um está para três, assim como doisestá para seis.

4. 8 e 16

5.1 Por exemplo: �4,

35� = �

64

�

�31�

5.2 Por exemplo: = �2170�

6.1 14 6.2 16 6.3 1

7. �1,55� = �

130�

8. Não, para 240 g de morangos deviausar 1,5 l de leite.

9. 10 10. 5%

11.1 14 m 11.2 112 m2

12. 80% 13. Bombons: 2,6 €; Cenouras: 5,25€


1.1 Sim; 0,80 €, que representa o preçode cada croissant.

1.2 Não; ��1,

395

� ≠ �3,65�

2.1 Triângulos equiláterosPerímetro (cm): 1,5; 10,5; 6,75; 15QuadradosPerímetro (cm): 1,2; 12; 6Área (cm2): 0,09; 9; 2,25

2.2 Sim, = = = = 3

2.4 Não, ≠

3.1 F 3.2 F 3.3 V

4.1 112,5 km4.2 160 min ou 2 h e 40 min

150 min ou 2 h e 30 min

5.1 21,25 € 5.2 1,5 kg

6.1 81 € 6.2 20 cedros

7.1 8200 € 7.2 2050 €

8. Escala 1 : 50 000

Problemas 1 Págs. 27 e 28

1.1 4,50 € 1.2 12,60 €

2.1 120 2.2 180

3.1

3.2 A constante é 1,10 € e representa opreço de 1 kg de açúcar.

4.1 A marca A. 4.2 �72%

5.1 863,3 libras5.2 200 €

6.1 140 m2

6.2 10 m de comprimento por 6 m delargura.

6.3 20%

7. 1584 €

8. �118�

9.1 Outubro: 22 €; Novembro: 16 €Dezembro: 8 €

FIGURAS GEOMÉTRICASPLANAS. PERÍMETROE ÁREA DE POLÍGONOSE CÍRCULOS


1.

2. Setor circular.2.1 a – secante; b – tangente

3.

4.1 P = 2,4 × π dm ; ≈7,53984 dm4.2 P = 4,8 × π dm ; ≈15,07968 dm

5. Deves desenhar um círculo com raio0,8 cm.

6. 500 mm


1.1

1.2 A = 6 × A� = 23, 382 cm2

ou A = × ap= 23,382 cm2

2. 6,96 c2

3.1 A = 42,25π cm2 ; ≈132,7326 cm2

3.2 A = 22 500π cm2 ; ≈70 686 cm2

4. A → 0,775 cm2 ; 3,1 cmB → 2,25 cm2 ; 8 cmC → 1,8875 cm2 ; 5,55 cm


1.1 [FEG] 1.2 [ABCD]1.3 Por exemplo, ângulo FOG .1.4 [OH] ; [OE]

2. Setor circular. 3. V; F; V; V

4.1 a – exterior; b – tangente; c – secante4.2 2 cm; 1,5 cm; 0,9 cm

5.1 119o 23’; 60o 37’; 119o 23’Sim, pelo critério LAL.

5.2 8 cm; 9 cm; 10 cm

6.1 Triângulo retângulo e escaleno.6.2 6 cm2

7. A circunferência tem centro no cen-tro do quadrado e raio 1,5 cm.

8. [AOC ] é igual a [ABC ] por LLL.Ahexágono = 6 × A[ABC ] ; A[AEC ] = 3 × A[ABC ]

9.1 Porque são raios da circunferência.9.2 Por LLL.9.3 Porque são alturas relativas a bases

iguais em triângulos iguais.9.4 21 cm


1.1 3,1416 → todos os quocientes sãoconstantes e são valores aproxima-dos de π . O perímetro do círculo édiretamente proporcional ao diâmetro.

2. 28π cm ; 87,9648 cm

2.1 O novo círculo terá do perímetro do

círculo anterior porque P e d são

diretamente proporcionais.

3. 8,28 cm 4. 10,71 cm

5.1 31,416 cm 5.2 62,832 cm 5.3 21,9912 cm

6.1 1,4 × π m ; 4,4 m 6.2 11 × π m ; 34,6 m

7. ≈51,4 m ; ≈35,7 m 8. ≈125,6 m

9.1 4 dam 9.2 93 m

10. 24,8 cm 11. 20,11 cm


1. d = 8,16816 : 3,1416 = 2,6 cm ; r = 1,3 cm

2.1 12 cm 2.2 6 cm

3.1 6 mm 3.2 5 cm 3.3 35 m

4. 24 m 5. 38 cm 6. 1,5 m

7. 21 m 8. 3 cm; 12,28 cm

9. c = 18 cm ; l = 6 cm ; a = 8 cm

10. 19,2 cm 11.1 62,8 cm 11.2 10 cm


1.1 ≈1553 cm2 1.3 ≈6930 cm2

1.2 ≈2340 cm2

2. 7,2 cm2 3. 226,9806 cm2 4. 15 960 cm2

5. 312 cm ; 25,1328 cm 6. 557,8 cm2

7. 1920 cm2 8. 4029,3 dm2 9. 1512 cm2

10.1 OB—––

= OC—––

= raio10.2 CBO = OCB = 54o ;

BAE = 108o ; EAF = 72o

10.3 75 m2

11. 272 cm2


1. Valor exato: π cm2; 4 × π cm2.Valor aproximado: 3,1416 cm2;12,5664 cm2.

2.1 r = 3 cm 2.2 ≈37,152 cm2

2.3 9 × π cm2; ≈28,26 cm2

3. A: ≈ 9,8125 cm2

B: ≈78,5 cm2; C: ≈ 120,7016 cm2

4. 314 m2 5. 6,28 m2 6. 7,14 cm2

7. Comeram igual;314 – (78,5 + 78,5) = 157; 157 : 2 = 78,5

8. A medida da área do círculo D é oquádruplo da medida da área docírculo C.


1. ≈ 24,6 m

2. ≈ 5,58 m

3. ≈ 75,9 cm

4. 36 cm

5. 43,31 €

6.1 28,26 cm2 6.2 6,28 cm2 6.3 54 cm2

7. 99,3 m2 8. 2,28 cm2; ≈ 18%

9. 26 cm


Saber fazer 7 Págs. 45 e 461. É poliedro, tem 2 bases congruentesque são triângulos e 3 faces laterais quesão paralelogramos. Tem 6 vértices, 9arestas e 5 faces. É prisma triangular.F + V = A + 2 5 + 6 = 9 + 2

2. Hexágono.

3. Prisma heptagonal.

4. Não. Sim; 18 arestas; 12 arestas.

5. Por exemplo:


1.1 Lente 1.5 Bola1.2 Dado 1.6 Pisa-papéis1.3 Gelado 1.7 Chocolate1.4 Caixa

2. O cubo; o paralelepípedo; pirâmidequadrangular; prisma triangular; sãotodos sólidos geométricos limitadossó por superfícies planas.

3. A – prisma. 6; 12; 8. B – pirâmide. 4; 6; 4. C – prisma. 7; 15; 10.D – cubo. 6; 12; 8.

4.1 círculos 4.4 círculo4.2 congruentes 4.5 prisma4.3 curva 4.6 esfera;

não poliedros

capítulo 4

45°2,5 cm

4 kg 8 kg 0,4 kg

4,40 € 8,80 € 0,44 €

�0,9

1,5�0,5

10,5�

3,56,75�2,25

15�5

0,09�0,3

9�3

polígonoinscrito

polígonocircunscrito

2,59

8 cm

3 cm

P�2

1��4

capítulo 5

2 cm

3 cm

4 cm

3 cm� × 3 cm

1,5 cm2.3 Sim, = = = 41,2

�0,3

12�3

6�

1,5

1�2

101SOLUÇÕES

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TEXTO

5.

6.1 sólido geométrico; não poliedro; cilindro

6.2 sólido geométrico; não poliedro; cone6.3 sólido geométrico; não poliedro;

esfera

7.1 B. São todos prismas, exceto o B queé uma pirâmide.

7.2 6 + 8 = 12 + 2; 7 + 7 = 12 + 2; 6 + 8 = 12 + 2;7 + 10 = 15 + 2

Ficha 15 Págs. 49 e 501. Heptágono (regular); octógono;

eneágono; decágono. Triângulo(regular); quadrilátero; pentágono;hexágono (regular).

2. todos os lados congruentes e todosos ângulos congruentes; o quadrado.

3.

4.

5.1 Heptágono 5.2 Quadrado5.3 Octógono 5.4 Triângulo

6.1 A – Quadrilátero B – Triângulos6.2 C – Hexágono D – Triângulo

E – Octógono6.3 A – Paralelepípedo retângulo

B – Pirâmide triangularC – Pirâmide hexagonalD – Prisma triangularE – Pirâmide octogonal

6.4 F

7.1 É poliedro. Tem 5 faces, 6 vérticese 9 arestas. As faces laterais sãoparalelogramos e as bases sãotriângulos. É prisma triangular.

7.2 É poliedro; Tem 5 faces, 5 vérticese 8 arestas. As faces laterais sãotriângulos e a base é um quadrado.É pirâmide quadrangular.

8.1 O número total de arestas é o triplodo número de lados do polígono dabase; numa pirâmide é o dobro.

8.2 Não, porque numa pirâmide onúmero de arestas é par.Sim, porque 9 é triplo de 3.

8.3 Não, porque num prisma o númerode vértices é número par.Pode. Neste caso é uma pirâmideem que o polígono da base tem 10 vértices (decágono).

8.4 120; 360

9.1 Pirâmide octogonal. 9.2 Prisma hexagonal.


1.1 Sólido geométrico; poliedro; prisma;cubo. 1.2 B; D

2.1 Poliedro; prisma; paralelepípedoretângulo. A; C. 2.2 Não poliedro;cilindro de revolução. A; B.

3.

4.1 Pentágono. 4.2 Pirâmide pentagonal.

5.1 É poliedro; Tem 4 faces, 4 vértices e 6 arestas. As faces laterais e a basesão triângulos. É pirâmide triangular.

5.2 B; A não serve porque as faceslaterais não se unem no vértice dapirâmide. C não serve porqueapresenta apenas 3 faces: a base eduas faces laterais.

6.1

A – Prisma quadrangularB – Prisma triangular


1.

2.1

2.2 São todas quadrados congruentes.

3.1 B; A.

3.2

3.3 55. 4.

5.

6. 15 cm.

7. Por exemplo:

Problemas 3 Págs. 55 e 561.1 Prisma triangular.1.2 110 arestas laterais; 220 arestas totais

2. Pirâmide quadrangular.

3.1 0,87 € 3.2 4,64 € 3.3 5,51 €

4. 4 páginas e vão sobrar 8 estrelas.

5.1 9 5.2

6. n + 1

7. x = 2,5 cm

8.1 206,25 cm2

8.2 V, porque 0,38 × 150 = 56,25

VOLUMES

Saber fazer 8 Págs. 57 e 581.1 Não, porque não foram construídos com

igual número de cubos congruentes.1.2 B: 2,5; C: 4,5

2.1 1 000 000 000 mm3 2.2 0,005 m3

2.3 0,6 dm3 2.4 40 cl 2.5 0,0325 m3

3. 0,33 l 4. 0,125 dm3

Saber fazer 9 Págs. 59 e 601.1 132 cm3 1.2 350 m3 1.3 27 m3

2.1 96 cm3 2.2 206,25 cm3

3. 187,5 cm3

4. 7 cm

5. �6,2832 dm3

Ficha 18 Págs. 61 e 621.1 A: 16; B: 4; C: 3; D: 121.2 Por exemplo:

;

1.3 Não, porque não há sólidosformados pelo mesmo número decubos congruentes, isto é, não têm omesmo volume.

2.1 3 dm3 = 3000 cm3 = 3 000 000 mm3

2.2 0,7 cm3 = 0,0007 dm3 = 700 mm3

2.3 0,9 l = 90 cl = 900 ml2.4 0,6 m3 = 600 dm3 = 600 l2.5 3 kl = 3000 l = 30 000 dl

3. 10 copos.

4. Arquimedes descobriu que o volumede água deslocada era igual aovolume do corpo mergulhado.Posso determinar o volume de, porexemplo, um pequeno objeto, mergulhando-o num recipientegraduado com água e medindo ovolume de água deslocada pelo objeto.

5. 12 cm3

6.1 A: 7 cm3; B: 6 cm3; C: 11 cm3

6.2

7. 4,32 l 8. Não, só leva 27 000 litros.

Ficha 19 Págs. 63 e 641.1 512 cm3; 2400 cm3; 1500 cm3

1.2 Não, é a do André, que tem 1120 cm2

de cartão, enquanto a do Paulo tem384 cm2 e a do Manuel tem 950 cm2.

2. São, ambos têm o mesmo volume,que é 512 cm3.

3. 2 m

4. Falsa, porque a caixa do António tem8000 cm3 de volume, enquanto a daFernanda tem 1000 cm3 (oito vezesmenos).

Não é poligono D, ETriângulo B, IQuadrilátero A, H, GPentágono CHexágono F

4 cm

� ×

2 cm

1 cm

A

B

A B

C

Frontal Topo

Lateral direita

Base

capítulo 6

1 dm

2 dm+� 2

1 dm

2 cm

A B

2 cm

3 cm 2 cm

C

2 cm

4 cm

102 SOLUÇÕES

5. Por exemplo: 1 cm, 1 cm e 27 cm.

6.1 228 ml 6.2 1,44 €

7. 2 dm

8.1 30 cm 8.2 5 caixas.

Ficha 20 Págs. 65 e 661. 202,5 : 2 = 101,25 cm3

ou × 10 = 101,25 cm3

2. 1821,6 dm3

3. 36 cm2

4. 8,65 cm3

5. 214,5 cm3

6. 700,65 cm3 ; 467,1 cm2

7.

8. 1,125 l

9.1 •Falsa; a altura é CD——.

• Falsa; é ×CD——

• Verdadeira.

9.2 7,5 cm

Ficha 21 Págs. 67 e 681. Não, leva aproximadamente 0,6 l de

diluente.

2. �81�

3. Posso encher 33 canecas e ainda sobra.

4. 113 dm2 5. �80 cm

6.1 �49,6 cm2 6.2 �24,8 cm6.3 �148,8 cm2 6.4 �248 cm2

6.5 �297,6 cm3

7.1 9,0432 cm3 7.2 15,072 cm2

Problemas 4 Págs. 69 e 701. 7,5 cm

2.1 29 760 l 2.2 2 m

3.1 A: r = 1 cm e h = 3,14 cmB: r = 0,5 cm e h = 6,28 cm

3.2 VA = 9,8596 cm3 VB = 4,9298 cm3

4.1 96 cm3 4.2 8 cubos; 160 cm3

5.1 3,1 cm 5.2 0,5 cm 5.3 3,875 cm3

6. 22619,52 cm3

7. 844,83 cm3

8. 141 cm3

NÚMEROS RACIONAIS


1.1 Q → –2 ; M → 2 ; S → ;

N → –1 ; P → 5 ; T → –2,5

1.2 Q → 2 ; M → 2 ; S → ; N → 1 ;P → 5 ; T → 2,5

1.3 –8; ; 0,5

2. –3; –2; –1; 0; 1; 2

4. +3 + (–2) = 1

(+1) + (–5) = –4

– + (–1) = –


1.1 1,7 1.4 –

1.2 –8,1 1.5 0

1.3 1 1.6 –

3. –; –; +

4. Por exemplo: –0,2 + (–0,6)

5.1 –4 – (–2) = –2

5.2

6.1 –3 6.2 5 6.3 –

6.4 – 6.5 6.6 –

Ficha 22 Págs. 75 e 761.1 –2000 €1.2 +5000 €1.3 –5,5 oC

2. – ; ; –3 ; 0 ; ; 7 ; –33 ; –19 ; –

3.1

3.2

5.1 –20 oC 5.2 –9 oC 5.3 –3 oC

6.1 –9 6.2 –20 e 20 6.3 –10

7. –1 e + 1 ; e –

9.1 V 9.4 F 9.7 F9.2 V 9.5 F 9.8 V9.3 F 9.6 V 9.9 F

10.

11.1 < 11.4 < 11.7 >11.2 < 11.5 < 11.8 >11.3 = 11.6 < 11.9 =

12.

13. –9

14. –13

15. –1,51 e –1,54, por exemplo.

16. – , por exemplo.

Ficha 23 Págs. 77 e 781.1 +3 + (–7) = –4

1.2 –2 + (–6) = –8

1.3 –5 + (+8) = +3

1.4 +6 + (–5) = 1

2.1 +50 2.4 +10 2.7 –5 2.10 102.2 –50 2.5 0 2.8 –18 2.11 02.3 –10 2.6 –4 2.9 –28 2.12 –46

3.1 +6 oC 3.2 –15 oC 3.3 –27 oC

4. Por exemplo:4.1 –4 + (–7) 4.2 +10 + (–3) 4.3 –5 + (+5)

5.1 –1 5.2 +5 5.3 –5 + (+5)

6. –18

7.1 –9 + (–18) = –27 7.2 –(12 + 1) = –13

8.1

8.2

9.1 3 + �– � =

9.2 – + �+ � = = 2

10.1 10.4 –0,05 10.7

10.2 10.5 –0,8 10.8 –3,1

10.3 10.6 –0,5 10.9 –1,95

11.1 –8 ∈ ZZ 11.2 1 ∈ ZZ 11.3 3 ∈ ZZ

12.1

12.2

13.1 F 13.2 F 13.3 V 13.4 F

Ficha 24 Págs. 79 e 801.1 –2 – (–4) = 2

1.2 –1 – (+1) = –2

2.1 3 – (–2) = 5 2.2 –3 – (+1) = –4

3.1 –8 3.4 –7 3.7 0 3.10 433.2 28 3.5 4 3.8 –22 3.11 2003.3 –9 3.6 –35 3.9 –26 3.12 –11

4. 4 oC

5.1 7 – (+3) = 4 5.2 |–9 – (–13)| = 4

6.1

6.2

7.1 7.4 7.7

7.2 7.5 –3,3 7.8

7.3 1 7.6 7.9

8.

4,5 × 4,5��2

30 36 144 28,8

12 10 2,5 12,5

AB—–× CA—–��

2

capítulo 7

3��4

3��4

7��3

1 3-2 0

S

1-4-5 0

S

1��2

1-1 0

S

12-3

2-

11��5

25��18

3��2

0-2-4 1

D

0-1 1

D

32

13

-116

-

8��8

4��2

6��2

24��4

0 1-1-2

A C BDF E

1��2

1��2

2��5

2��5

2 4 60-2

R P O Q

1��2

10-1-4

SB A

10-1-8

SB A

1 30-1

SA B

10-1

SB A

10-1

S

16

A

B

10-1

S

78

AB

-

210

DAB

10-2

D

A B

10

DA B

73

-

10

DAB

92

7��4

-1-2 0

AB

13

-

2.1 0,2 + �– � = – = – 0,43��5

4��10

2.2 2,1 + �– � = 1,851��4

0,3 + �– � = – 11��30

2��3

�1,2 + �– �� = 0,71��2

5.1 –5 + (–2) = –7 5.2 –3 + = –1��2

5��2

– – �+ � = –1��3

3��2

11��6

5��2

9��8

23��20

31��15

7. AB–—

= ; AC–—

= 129��10

8. – �– � = 11��3

9��2

49��6

8. 6 ; + ; – ; 0 ; –9,53��7

17��5

A B C D E F

–3 0 –1,5

3 0 1,51��3

12��3

12��3

–4��3

4��3

–1��3

4.1 –100 < –1 < – 1��2

4.2 – < –0,5 < 25��2

4.3 –1,5 < – < 1 1��6

1��3

– ; – ; –4,5 ; –1 ; �– �19��2

30��5

1��3

7��5

– 19��12

– 3��14

2 – �– � = 9��2

5��2

– 9��2

– 29��7

– 5��4

5��12

– 35��12

– 49��20

Distância = 5��3

–1 – �+ � = – 7��3

4��3

3. –4 < –2 < – < 1,2 < ⎢– ⎢ < 1��2

3��2

7��4

– + �+ � = – + �+ � = 1��3

2��6

1��2

3��6

1��6

– + �– � = –1��4

7��8

5��8

5��4

7��4

5��3

11��3

6��3

– 13��4

3��2

103SOLUÇÕES

MA

Tem

átic

a 6

– C

ader

no

de

Ap

oio

ao A

lun

o –

TEXTO

9.1 V 9.2 F 9.3 V 9.4 F

10. –7,5 oC ou 36,5 oC.

11. Submarino: –52 (52 metros de profundidade); tubarão: –39 (39 metros de profundidade).d = 13 m

12. Distância entre os pontos deabcissas +5 e –3.

13.


1. 229 a.C.

2. – e

3.1 – 3.2 + 3.3 – 3.4 –

4.1 –154.2 –5

5. Por exemplo, –8,02 e –8,03.

6. 2,93 > –0,293 > –2,39 > –2,93 > –29,3

7.

8. Operários: 30; operárias: 45.

9. 200 berlindes.

10.1

10.2 – �– + �– ��=

10.3

11. F; V; F; V

12. A, porque: 30 + 1,5 × 24 < 3,5 × 24

ISOMETRIAS DO PLANO

Saber fazer 12 Págs. 83 e 841. LAL

2. LLL

3.

4.

5.

Ficha 25 Págs. 85 e 861.1

1.2 LAL1.3 Porque em triângulos iguais, a ângulos

iguais opõem-se lados iguais.

2.1

2.2 LAL

3.

4.1

4.2 A = 3,0708 cm2 ; P = 7,1416 cm

4.3 A = 3,0708 cm2 ; P = 7,1416 cmPorque se trata de uma isometria.

5.

6.

É paralelogramo porque os lados opostos são paralelos e iguais.

7. Falso, porque a figura B não é congruente com a figura A e areflexão central é uma isometria.

8.


1.

[R’S’T’] é triângulo equilátero porqueé imagem do triângulo [RST] poruma rotação; logo, é uma isometria.

2.

3.1 Mediatriz do segmento de reta [CD] .3.2 Pelo critério LLL.

4. O eixo r é a mediatriz de [BB’] .

5.

6. A = 4 × 2 = 8 cm2

7.

8. É o triângulo C. Rotação de 90o nosentido negativo.

9.

Tem centro de simetria C.

10. Eixo de reflexão é a mediatriz de [AA’ ] .


1.

2. A: simetria de rotação de ordem 4.B: simetria de rotação de ordem 3.C: simetria de rotação de ordem 4 esimetria de reflexão com quatro eixosde simetria.D: simetria de rotação de ordem 2.

3.

A figura admite simetria de rotaçãode ordem 2.

4. A: simetria de reflexão com três eixosde simetria; simetria de rotação deordem 3.B: simetria de reflexão com seis eixos de simetria; simetria de rotaçãode ordem 6.

5.1 A: reflexão de eixo vertical e translação.B: rotação de ângulo de amplitude180o e translação.

5.2 Por exemplo:

6.1 2 6.2 3 6.3 1

Problemas 6 Págs. 91 e 921.

A’ (1, 2) ;B’ (4, 3) ; C’ (5, 1)

+ +2 +7 +10 –8

–3 –1 +4 +7 –11

–5 –3 +2 +5 –13

+2 +4 +9 +12 –6

–10 –8 –3 0 –18

5��2

3��2

1 20-1

A B DC

10��21

1��7

1��3

capítulo 8

C

B =

A

C'

A'

B'=

r

N N '

M M '

P P '

O

A

A'

60°

BC

M

80°O

A

D

M

N

P =P'= M '

N '

Br

A=A'=

B'

C=C'=

A'

E '

B '

C '

A

E

B

CD

D '

A O

B C

A’

B’C’

r

s

t

M

C A'== D

B A C'==

M P

N

r

N '

M'

P'

O

R S

R'

2,5 cm2,5 cm

2,5 cm

T

T 'S'

D

B C

B'A =A'=

C'

D'

r

C

DM

P

A'

B'

C'

A

B

C

r

120°

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm

C

A

B

C

A'B '

C '

0 2 4 x

y

2

4

1,25 – �– � = 23��4

× (0,01 + 0,23) = 0,183��4

Simetriade rotaçãode ordem 2






104 SOLUÇÕES

2. Deves unir o ponto A com o ponto A’e traçar a mediatriz de [AA’ ] , que é oeixo de reflexão.

3. Ordem 4.

4.

A ≈ 3,1416 cm2 . Como a reflexão cen-tral é uma isometria, os dois círculostêm áreas iguais.

5.

6.

7. Deves traçar duas mediatrizes: porexemplo, a mediatriz de [AA’ ] e de[CC’ ] ; o ponto de encontro dessas duasmediatrizes é o centro da rotação.

8.1 Simetria rotacional de ordem 2.Simetria de reflexão: dois eixos desimetria.

8.2 Simetria rotacional de ordem 4.Simetria de reflexão: quatro eixos desimetria.

9. É o triângulo 1; não; sim; A = 3 cm2

REPRESENTAÇÃO ETRATAMENTO DE DADOS


1. «cor dos olhos» - qualitativo; «tempoque demoras a chegar à escola» –quantitativo; «número de chamadastelefónicas feitas num dia, na tuaescola» – quantitativo; «duração deuma chamada telefónica» – quanti-tativo; «tempo de espera num con-sultório médico» – quantitativo;«qualidade do atendimento na loja docidadão» – qualitativo.

2.1 Futebol. 2.2 15% 2.3 80 alunos.

3.

Moda: 1 irmão Média: �1,4 irmãos

Extremos: 0 e 4 Amplitude: 4 – 0 = 4


1.1 População: 600 alunos da escola;amostra: 80 alunos da escola deentre os 600.

1.2 Por exemplo:

A. Quanto tempo por dia usas ocomputador?

� menos de 1 hora

� entre 1 a 2 horas

� mais de 2 horas

B. Usas o computador de preferênciapara:

� jogar?

� pesquisar?

� comunicar com os amigos?

� realizar trabalhos?

1.3 Cada aluno.

2. Por exemplo: «Quantos alunos tem aturma?»; «Qual a moda das idades?»;«Quantos alunos têm 10 ou maisanos?»; «Qual a média das idades dosalunos da turma?»

3.1 Quantitativo.3.2 Qualitativo.3.3 Quantitativo.3.4 Quantitativo.3.5 Quantitativo.3.6 Qualitativo.

4. Por exemplo: «nacionalidade»e «grupo sanguíneo».

5. Os portugueses consomem gordurasem excesso e consomem frutas,hortícolas e leguminosas a menos.O grupo da carne, ovos e pescado está11 pontos percentuais (16% – 5%)acima do recomendado na roda dosalimentos. Em contrapartida, oconsumo de hortícolas, que deveriaser de 23%, é apenas de 13%.Também nas leguminosas há umdéfice de 3 pontos percentuais(4% – 1%), bem como no consumo de

frutos, que deveria ser de 20% e é de14%. Concluindo, a dieta portuguesatem de melhorar!

6.1 �110� ; �

130�

6.2 Gorduras: 10%; Fibras: 30%;Proteínas: 30%; Hidratos de carbono: 30%

6.3 5 g de gorduras; 15 g de fibras; 15 gde proteínas; 15 g de hidratos decarbono.

7.1 Peixe e álcool.7.2 12%7.3 É falsa porque um desportista deve

ter uma alimentação rica em pão,massas, arroz e carne.

8.1

Total: 36

8.2

8.3 Média: ≈12,4 anosModa: 12 anos Mediana: 12 anos

Ficha 29 Págs. 97 e 981.

2. Ilhas: �126� = 0,125 = 12,5% ;

Sul: �136� = 0,1875 = 18,75% ;

Grande Lisboa: �126� = 0,125 = 12,5% ;

Centro: �41� = 0,25 = 25% ;

Grande Porto: �136� = 0,1875 = 18,75% ;

Norte: �126� = 0,125 = 12,5%

3. É 15,2 × 3 = 45,6

4. Retirou-se o 2 porque:

= 8

soma dos 7 números = 7 × 8 = 56

= 9

soma dos seis números = 9 × 6 = 54 e 56 – 54 = 2

5. As três afirmações são falsas porque:• os extremos são 21 (valor mínimo) e

29 (valor máximo)• a amplitude é 29 – 21 = 8• a moda é 23

• a média é = 25

Logo, a média não é igual à moda.

6. 1,90 €

7.1

7.2

7.3 Moda: 3 horas; Média: �2,8 horas

8.1 9 equipas.8.2 6 equipas.8.3 Porque para cada equipa vencedora

há uma derrotada.

9. O gráfico de linhas porque evidenciamelhor a evolução do crescimento daplanta ao longo das oito semanas.

P

C'

C

capítulo 9

1 irmão40%

2 irmãos27%

4 irmãos3%

144°

11°

97°

72°

36°3 irmãos

10%

0 irmãos20%

Número de irmãos

IdadeFrequência

absolutaFrequência

relativa

11 6 17%

12 15 41%

13 9 25%

14 6 17%

15

12

9

6

3

Fre

qu

ênci

a abso

luta

011 12 13 14

Idade dos alunos

Idade

Idades dos alunos

41%25%

17%14 anos

13 anos

11 anos

12 anos

17%

Automóveis40%

Autocarros15%

144°

54°

72°

90°Camiões25%

Motorizadas 20%

Veículos num parquede estacionamento

SULPortimonense

OlhanenseV. Setúbal

3

ILHASMarítimoNacional

2

G. LISBOABenfia

Sporting2

CENTROAcadémicaBeira-MarU. Leiria

Naval4

NORTES. Braga

V. Guimarães2

G. PORTOF.C. PortoP. Ferreira

Rio Ave3

Distribuição por zonas das equipas do campeonato

de 2010/2011

soma dos sete números��

7

soma dos seis números��

6

29 + 23 + 21 + 29 + 23��

5

2

4

6

8

Nú

mer

o d

e al

un

os

02 horas 3 horas 4 horas

RapazesRaparigas

Horas dedicadas por dia à música

Números de horas

2 horas12,5%

4 horas37,5%

3 horas50%

Horas dedicadas à músicapor dia pelas raparigas

VeículosFrequência

absolutaFrequência

relativa

Motorizadas 40 20%

Camiões 50 25%

Autocarros 30 15%

Automóveis 80 40%

Total: 200 100%

www.leya.com www.texto.pt

ISBN 978-972-47-4877-1

p

elza gouveia durÃo maria margarida baldaque€¦ · nova ediÇÃo: es e o novo programa de 2013....

Documents