elipse

5/11/2018 Elipse - slidepdf.com

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Trabalho realizado por:

Inês Guimarães santoalha ribeiro carneiro

Vítor Manuel Martins Pereira

Escola Secundária Martins Sarmento

Guimarães

Elipse

Matemática



2 Elipse

Matemática

Índice

ÍNDICE.................................................................................................................................................................................... 2

A ELIPSE: ................................................................................................................................................................................ 3

PRINCIPAIS REFERÊNCIAS HISTÓRICAS......................................................................................................................................... 3

A ELIPSE NO DIA-A-DIA............................................................................................................................................................ 4 DEFINIÇÃO ............................................................................................................................................................................ 4

DA EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA PARA A EQUAÇÃO DA ELIPSE ......................................................... .............................................. 5

AS VARIÁVEIS A E B ................................................................................................................................................................. 7

EXEMPLO DE UM EXERCÍCIO RESOLVIDO ...................................................................................................................................... 7

CURIOSIDADES ....................................................................................................................................................................... 8

Excentricidade ........................................................... ................................................................. ................................... 8

Johannes Kepler ......................................................................................... .............................................................. ..... 8

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................................ 9

WEBGRAFIA ........................................................................................................................................................................... 9



3 Elipse

Matemática

A Elipse:

Principais Referências Históricas

Uma elipse pode ser obtida a partir da intersecção de uma superfície cónica por um plano.

Se o plano tiver outras inclinações obtemos outras secções cónicas.

O estudo das cónicas foi iniciado por Euclides (300 a.C.) e posteriormente desenvolvido por Apolónio (260-190 a.C.).

O trabalho destes matemáticos era puramente geométrico, como tal, as expressões algébricassurgiram apenas no século XVII.

As cónicas têm tido um papel muito importante ao longo da história da Matemática.

Kepler (1571-1630) descobriu que as órbitas dos planetas eram elípticas.

Halley (1659-1712) usou as cónicas para prever que certo cometa (que recebeu o seu nome)aparece de 75 em 75 anos.

A última vez que foi possível observar, da Terra, o cometa Halley foi em 1986.Conforme a constatação de Halley, este cometa poderá ser observado novamente, a

partir da Terra, em 2043.

Elipse

Parábola

Hipérbole



4 Elipse

Matemática

A Elipse no dia-a-diaPodemos encontrar várias formas da elipse em estudos no nosso quotidiano, tais como na

trajectória dos planetas, nas projecções de circunferências e em diversas formas industriais.

A elipse é também utilizada na jardinagem, onde se recorre a um método tradicional, quandose pretende, por exemplo, construir um canteiro de flores.

Observemos como um jardineiro desenha uma elipse:

O jardineiro ata as pontas de um fio a duas estacas. A distância entre as duas estacas émenor que o comprimento do fio.

Mantendo o fio esticado, vai rodando e com a ajuda de outra estaca desenha uma elipse nochão.

Aos dois pontos fixos chama-se focos (F1 e F2).

Note que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é sempre igual ao

comprimento do fio.

DefiniçãoUma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é

constante e maior do que a distância entre eles.

Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distânciafocal.

Na elipse consideram-se os seguintes elementos: o centro, o eixo maior, o eixo menor,

os focos e os vértices.

O comprimento do eixo maior representa-se por 2a, o comprimento do eixo menor por 2b ea distância focal por 2c.

As rectas-suporte do eixo maior e do eixo menor são eixos de simetria da elipse.

a – semi-eixo maior da elipseb – semi-eixo menor da elipse

c – semi-distância focal



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Matemática

Da equação da circunferência para a equação da elipseUma elipse pode ser imaginada como uma circunferência que foi “alongada” ou “achatada”.

Será que a partir da equação de uma circunferência é possível obter a equação de uma elipse?

Considere-se a circunferência de centro C (0,0) e raio 4.

A equação desta circunferência é x2 + y2 = 42

Ou, dividindo ambos os membros por 42,

Uma equação de uma elipse surge, normalmente, com a forma:

Na circunferência tem-se a=b=raio. Na elipse tem-se a>b ou a<b.

Através de um alongamento da circunferência de equação x2 + y2 = 42, obtém-se uma elipse

em que o semi-eixo menor é igual ao raio da circunferência:

Cada ponto A (x,y) da circunferência é transformado no ponto:

Substituindo, na equação da circunferência, x por

e y por Y, obtém-se:

Assim:

A’ (X,Y) da elipse, sendo:

- Elipse de centro na origem

- Semi-eixo maior: a=8- Semi-eixo menor: b=4

- Equação:



6 Elipse

Matemática

Se em vez de um alongamento se tivesse procedido a um achatamento da circunferência deequação x2 + y2 = 42, a elipse obtida teria o semi-eixo maior igual ao raio da circunferência.

Cada ponto de A (x,y) da circunferência é transformado no ponto

Substituindo, na equação da circunferência, x por 2X e y por Y, obtém-se:

Assim sendo, a equação

define uma elipse de centro na origem, sendo o:

- semi-eixo menor: a=2;- semi-eixo maior: b=4.

Generalizando: Considere-se uma elipse de centro na origem e vértices (a,0); (-a,0); (0,b); (0,-b).

A equação da elipse é

No caso da elipse do lado esquerdo, a>b e na do lado direito, a<b. Repare-se, também, queos focos se situam sempre sob o eixo maior.

A’ (X,Y) da elipse, sendo:



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Matemática

As variáveis a e bEstas variáveis têm a função de determinar o comprimento de cada eixo, isto é vai

influenciar se a elipse vai sair mais “esticada”, mais “arredondada”, sobre o eixo dos xx ou dosyy.

Quando a aumenta o valor do eixo sobre os xx também aumenta isto é, faz uma elipse mais “esticada” no eixo dos xx e vice-versa

Quando b aumenta o valor do eixo sobre os yy aumenta, faz uma elipse mais “esticada nosyy e vice-versa

Se a for maior que b (a>b), então a elipse vai sair com o eixo maior nos xx

Se a for menor que b (a<b), então a elipse vai sair com o eixo maior sobre os yy.

Exemplo de um exercício resolvido1.1 Escrever uma equação para cada uma das seguintes elipses:

1.2 Representar graficamente as elipses definidas por:

a) x2

+ 4y2

= 4;b) 16x2 + 9y2 = 144

Resolução:

1.1

1.2

(figura ao lado)

(figura ao lado)



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Matemática

Curiosidades

Excentricidade

A elipse possui um valor numérico que, ignorando a posição espacial da forma, nos dá umarazão (excentricidade) que permite apenas através de um número determinar a sua forma. Essa

razão é dada por e = c / a ou e = c / b.

Johannes Kepler

Astrónomo alemão, nasceu perto de Weil, em Württemberg em1571 e morreu em Regenburg em 1630. Descobriu que a Terra eos planetas andam em volta do Sol em órbitas elípticas. Keplertransformou a antiga descrição geométrica dos astros emastronomia dinâmica.

Realizou um estudo sistemático de Marte e enunciou as trêsleis que têm o seu nome, e que são relativas ao movimento dosplanetas em torno do Sol, preparando caminho para oestabelecimento do princípio de atracção universal de IsaacNewton:

1- As órbitas planetárias são elipses das quais o Sol ocupa um dos focos (1609);2- As áreas percorridas por raios vectores que vão do centro do Sol ao centro do planeta

são proporcionais aos tempos empregues no percurso (1609);3- Os quadrados dos tempos das revoluções planetárias são proporcionais aos cubos dos

grandes eixos das órbitas (1619).



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Matemática

Bibliografia NEVES, Maria Augusta; GUERREIRO Luís; LEITE António; NEVES Armando, Matemática A - 10º Ano,

1ªEdição, 2ª Reimpressão, Porto Editora, 2007.

Webgrafia

http://zenite.nu

http://pt.wikipedia.org/wiki/Elipse

http://pt.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbole

http://mscabral.sites.uol.com.br/mauro/praticas/escada.htm

http://www.geocities.com/colegio_libertador/universo/ic-112.jpg

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/elipse.htm

http://www.rumoaoita.com/materiais/materiais_caio/artigoconicascap1.pdf

http://tiagogala.no.sapo.pt/trabalhos/10-MAT-elipse.pdf

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