UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

FACULDADE DE ENGENHARIA AGRÍCOLA

ELETROTÉCNICA GERAL

Unidade 08

egcn

A base de tudo

a

b

hipotenusa

opostocatetosen

  

a

c

hipotenusa

adjascentecateto  cos

ab

c

hipotenusa

catetos

Tri (três) + gonos (lados) + metro (medida)

Então Trigonometria = medida de triângulos

As relações trigonométricas de um triângulo retângulo são bem conhecidas:

Medida da altura de um prédio a partir da projeção de sua sombra

c

b

adjascentecateto

opostocateto

  

  tan

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Construindo os gráficos de funções trigonométricas

Ângulo seno cosseno

Graus Radianos

0 0 0,00 1

30 /6 0,50 0,87

60 /3 0,87 0,50

90 /2 1,00 0,00

120 /3 0,87 -0,50

.... .... .... ....

360 0,00 1

As formas de onda são iguais, apenas estão posicionadas

diferentemente em relação ao eixo das ordenadas!

Esta forma de onda é chamada sinusóide

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luz polarizada

biorritmo

Por quê as funções sinusoidais são importantes?

[...] a Natureza, de um modo geral, parece ter um caráter senoidal; o movimento de um pêndulo, uma bola pulando, a vibração de uma corda de violão, a atmosfera política em qualquer país, as ondulações na superfície de uma caneca de leite com chocolate, todos apresentam um razoável caráter senoidal.

William H. Hayt e Jack E. Kemmerlyin Análise de Circuitos em Engenharia

Ed. McGraw-Hill do Brasil

oscilação de uma mola

Mais exemplos:

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Séries de Fourier

Uma função que se repete fo

vezes por segundo pode serrepresentada pela soma de umnúmero infinito de funçõessenoidais (harmônicas) comfrequências que sejam múltiplosinteiros de fo.

Por quê as funções sinusoidais são importantes em

Eletrotécnica?

1. As funções comumente usadas em circuitos elétricos podem ser “geradas “ a partir de funções sinusoidais.

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Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Por quê as funções sinusoidais são importantes em

Eletrotécnica?

2. A deriva e a integral de funções sinusoidais também são funções sinusoidais.

  cos  1

  

 cos  

kxk

dxkxsen

kxkkxsendx

d

    1

 cos 

  cos 

kxsenk

dxkx

kxsenkkxdx

d

egcn

Por quê as funções sinusoidais são importantes em

Eletrotécnica?

3. Os geradores de energia elétrica(1) produzem tensões com forma de onda senoidal (CA)

(1) Existem geradores de CC, porém este não têm a mesma importância comercial dos alternadores

Pólos

Espira

Anéis coletores

Escovas

Uma fonte externa fornece energia mecânica para fazer a espirar girar

com velocidade angular

A tensão gerada nos terminais das escovas é do tipo senoidal (C.A.)

O Gerador Elementar

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Variáveis de uma função sinusoidal

• Período (T): tempo que a função leva para completar um ciclo segundos (s)

• Freqüência (f): número de ciclos completados na unidade de tempo Hertz (Hz)

T

1f

• Valor de pico ou amplitude (A): máximo valor atingido durante um ciclo

• Velocidade angular ( ): ângulo descrito na unidade de tempo radianos/segundo (rad/s)

f2T

2

A

A

T

egcn

Geração de funções sinusoidais (1)

egcn

O vetor “parte” com ângulo igual a 0o

Obtém-se as funções seno e cosseno“puras”

Geração de funções sinusoidais (2)

egcn

O vetor “parte” do ângulo igual a

Obtém-se as funções seno e cosseno“defasadas”

Expressando matematicamente as sinusóides

Expressão geral:) (  tsenAf

ângulo de fase (em graus decimais)

O ângulo de fase expressa de quantos graus a função está defasada da função básica (a função seno “pura”)

> 0 a forma de onda é deslocada para a esquerda

< 0 a forma de onda é deslocada para a direita

função seno “pura” função seno “pura”

= 0 a forma de onda coincide com a função seno “pura”

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)60 (  otsenAf

Exemplos

)30 (  otsenAf

egcn

trad 0 /6 /3 /2 /2

o 0 30 60 90 180 270 360

f1 0,00 5,00 7,07 10,0 0,00 -10,0 0,00

f2 0,00 5,00 7,07 10,0 0,00 -10,0 0,00

Gráficos em função do ângulo ( t)

f1 e f2

Exemplo: Funções f1 = 10 sen 5 t e f2 = 10 sen 10 t

A vantagem neste tipo de gráfico é que se as funções ficam “padronizadas”, independentemente de suas frequências.

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Gráficos em função do tempo

Exemplo: Funções f1 = 10 sen 5 t e f2 = 10 sen 10 t

t (s) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

f1 0,00 7,07 10,0 7,07 0,00 -7,07 -10,0 -7,07 0,00

f2 0,00 10,0 0,00 -10,0 0,00 10,0 0,00 -10,0 0,00

A vantagem neste tipo de gráfico é que se pode determinar o períodoe a frequência das funções.

f1

f2

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Defasagem entre funções

A defasagem entre duas funções sinusoidais é dada por um ângulo ( ), expresso em graus decimais (o)

f(t) está 60º adiantada em relação a g(t) g(t) está 60º atrasada em relação a f(t)OU

= 60o

Duas funções sinusoidais só podem ser comparadas em fase se tiverem mesma freqüência.

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Para estabelecer a defasagem não é preciso ter-se um ciclo completo da forma de onda.

Exemplo:

= 45o

g(t) está 45º adiantada em relação a f(t) f(t) está 45º atrasada em relação a g(t)OU

Defasagem entre funções

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