eletromagnetismo - parte 2 - capítulo 10 - guias de onda

17/12/13 Eletromagnetismo - Parte 2 - Capítulo 10 - Guias de Onda

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Eletromagnetismo - Parte IICapítulo 10

Guias de Onda

Eduardo Fontana, PhDProfessor Titular

Departamento de Eletrônica e SistemasUniversidade Federal de Pernambuco

1a. Edição - Versão 1.0 - 07/04/2013Versão atual - 1.3 - 01/08/2013

Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

Recife, 2011/2013Índice

Capítulo 10 – Guias de Onda

10.1 Introdução

10.2 Modos eletromagnéticos em guias de onda

10.2.1 Natureza da solução em guias metálicos ou dielétricos10.2.2 Método formal de obtenção de modos em guias de onda

10.2.3 Classificação dos modos

A. Modo TEM

B. Modos TE

C. Modos TM

10.2.4 Fluxo de potência e freqüência de corte

10.3 Guia de onda retangular

10.3.1 Solução para os modos TE

A. Solução geral para HzB. Condições de contorno

C. Parâmetros característicos dos modos TEmn

D. Campos do modo TEmn

10.3.2 Ortogonalidade dos modos

10.3.3 Distribuição de potência entre modos TE

10.3.4 Solução para os modos TM

10.3.5 Atenuação devida à condutividade finita das paredes do guia

A. Formulação para o caso de pequenas perdas

B. Constante de atenuação para modos TE



C. Constante de atenuação para modos TM10.4 Características dos modos em um guia de onda retangular

10.4.1 Densidade de potência

10.4.2 Modos como superposição de ondas planas

A. Modos TE

B. Modos TM

10.4.3 Modo fundamental no guia de onda retangular

10.4.4 Dispersão de guia de onda, velocidade de fase e velocidade de grupo

Problemas


Capítulo 10 – Guias de Onda

10.1 Introdução

Guias de onda são estruturas guiantes, longitudinais, utilizadas para o transporte de informaçãoe energia. Em aplicações que exigem transporte de alta potência, são utilizadas estruturas

metálicas como o guia de onda retangular e o guia de onda circular, mostrados na Fig.10.1a. Emaplicações de mais baixa potência ou que exijam estruturas mais compactas como em

processadores ou em aplicações de satélite, são utilizadas linhas de fita ou microfitas, comomostrado na Fig.10.1b. Na região espectral de freqüências ópticas, são utlizados guias de ondaou fibras ópticas, totalmente dielétricos, feitos de vidro, como ilustrado na Fig.10.1c.

Estruturas que tenham um único condutor, como na Fig. 10.1a ou totalmente dielétricas comona Fig.10.1c não suportam modos TEM. Além disso, se a estrutura, mesmo tendo mais de um

condutor, for composta de mais de um dielétrico, não pode suportar o modo TEM. Esse é ocaso, na Fig.10.1b, da microfita que tem dois dielétricos (um deles é o meio externo, que pode ser

o ar) e da linha de fita se esta for fabricada com dois dielétricos acima e abaixo do condutorcentral.

O formalismo de obtenção de campos nas estruturas que não suportam modos TEM édesenvolvido neste capítulo. Esse formalismo que pode ser aplicado para qualquer estrutura de

seção transversal uniforme é então utilizado para a análise de guias de onda de seção transversalretangular.

Guia de onda retangular Guia de onda circular(a)



Linha de fita Microfita

(b)

Guia de onda dielétrico planar Fibra óptica

(c)Fig.10.1 – Guias de onda: a) metálico retangular e circular; b) linha de fita e microfita; c) dielétricos: guiaplanar e fibra óptica.


10.2 Modos eletromagnéticos em guias de onda

10.2.1 Natureza da solução em guias metálicos ou dielétricos

Considere uma estrutura guiante limitada por uma superfície condutora, conforme ilustrado

na Fig.10.2a. Esse tipo de estrutura não suporta modos guiados[1] TEM uma vez que de acordo

com (9.9), o campo transversal elétrico teria de ser derivado de uma função potencial, i.e.,

, (9.9)

com

.

(9.10)

Uma vez que a superfície é equipotencial em cada plano z = z0, a condição de contorno para

seria

,

em que K0 é uma tensão constante para cada plano z = z0. A solução de (9.10) nesse caso é

,



o que é assegurado pelo teorema da unicidade. De (9.9), essa solução leva a , que é asolução trivial.


Estruturas totalmente dielétricas como mostrado na Fig.10.2b, ou que tenham mais de um

condutor, mas que tenham mais de um dielétrico, como é o caso da microfita da Fig. 10.1b,também não suportam modos TEM guiados. Também seria o caso da linha de fita da Fig.10.1a,

se esta for constituída de dielétricos distintos em torno do condutor central. O que impede a

propagação de modos TEM guiados em estruturas de mais de um dielétrico é o fato de ser

impossível obter uma solução para os campos nos meios distintos que tenha uma constante depropagação linearmente relacionada com a freqüência (desprezando a dispersão do meio)

conforme previsto por (9.18). Como mostrado ainda neste capítulo, se houver uma relação não

linear entre constante de propagação e freqüência, isso implica que os campos se propagam comum ângulo de desvio em relação ao eixo longitudinal.

O guiamento em estruturas totalmente dielétricas do tipo mostrado na Fig.10.2b pode também

ser interpretado como aquele resultante de ondas que se propagam sofrendo reflexão interna totalna interface dielétrico-dielétrico da estrutura. Para que isso ocorra, é necessário que a condição

seja satisfeita.

A seguir o método formal de solução de modos em um guia de ondas é desenvolvido.

(a) (b)Fig.10.2 – a) Guia de onda metálico. b) Guia de onda dielétrico.

10.2.2 Método formal de obtenção de modos em guias de onda

Considere um guia de onda com seção transversal uniforme. O guia pode ser do tipo

metálico ou dielétrico. Se o guia for constituído de mais de um meio material, estes são

considerados lineares, homogêneos e isotrópicos e sem perdas. Nesse caso, soluções gerais têmde ser obtidas em cada região e as condições em cada interface têm de ser utilizadas para

determinação final dos campos.

Seguindo o procedimento adotado no Capítulo 9, os campos de um guia de ondas são

expressos nas formas

, (10.1)

, (10.2)



em que a dependência explícita com as coordenadas transversais é omitida, para simplificar a

notação. Em (10.1) e (10.2), é a constante de propagação, que depende tanto dos parâmetrosmateriais do meio de preenchimento do guia, quanto dos parâmetros geométricos da estrutura.


Conforme demonstrado a seguir, é possível expressar todos os campos transversais como

função dos campos longitudinais. Estes, por sua vez podem ser determinados resolvendo a

equação de Helmholtz escalar. Para obter essas expressões, seja a decomposição (9.3) para o

operador ,

. (9.3)

Inserindo (10.1), (10.2) e (9.3) em (7.213) vem

,

que fornece apos algumas manipulações

, (10.3)

. (10.4)

De forma semelhante, inserindo (10.2) e (9.3) em (7.216) fornece

, (10.5)

. (10.6)

Utilizando as condições para a divergência dos campos E e H, tem-se de (7.214) e (7.215),

respectivamente

, (10.7)

. (10.8)

Finalmente, tem-se também a Eq. de Helmholtz (7.217), reproduzida abaixo



, (10.9)

com

, (10.10)

em que ng é o índice de refração do meio de preenchimento do guia. A equação (10.9) com o

emprego da decomposição (9.3) fornece, após algumas manipulações

, (10.11)

, (10.12)

com , em que

(10.13)


é definido como o número de onda de corte. Assim, tanto os campos transversais comolongitudinais satisfazem uma equação de Helmholtz, em que o número de onda é substituído pelo

número de onda do corte. Como demonstrado a seguir, é mais conveniente resolver a equação

diferencial para os campos longitudinais, e utilizá-los para obtenção dos campos transversais de

forma direta. Para isso, considere a operação sobre (10.3), o que fornece

,

e com base na identidade (1.44),

.

Inserindo (10.7) e (10.11), com F à E nessa expressão e rearranjando termos fornece

(10.14)

Procedimento semelhante pode ser aplicado tendo como ponto de partida (10.5), com o emprego

de (1.44), (10.8) e (10.11) com F à H, resultando em

(10.15)

As expressões (10.14) e (10.15) mostram que resolvendo as equações diferenciais para



os campos longitudinais, na forma (10.12), que é uma equação escalar bidimensional, permite a

determinação dos campos transversais por diferenciação direta. Em resumo, a determinação dos

modos eletromagnéticos em um guia de ondas pode ser realizada de acordo com o seguinte

procedimento:

Passo 1: Obtenção dos campos longitudinais de (10.12):

, (10.16)

, (10.17)com

. (10.13)

Passo 2: Obtenção das componentes transversais de (10.14) e (10.15):


(10.14)

(10.15)

O número de onda de corte tem uma característica importante. As equações (10.16) e

(10.17) são resolvidas sujeitas às condições de contorno na seção transversal do guia de ondas.

Como conseqüência, o número de onda de corte, que é o autovalor de ambas as equações

diferenciais, é aquele que permite que as soluções gerais de (10.16) e (10.17) se ajustem às

condições de contorno para os campos. Ou seja, o parâmetro depende apenas das

propriedades geométricas e materiais da estrutura. Só irá depender da freqüência por meio da

dispersão material dos meios envolvidos. Caso a dispersão material seja desprezada, o número de

onda fica dependente apenas dos parâmetros geométricos.

10.2.3 Classificação dos modos

A configuração geométrica da estrutura guiante determina modos com características bem

específicas. Note que a formulação desenvolvida na seção anterior inclui também a obtenção do

modo TEM, estudado no Capítulo 9. O termo modo dá à configuração de campo uma

característica bem específica, o que se traduz em um campo com uma dependência em freqüência

da constante de propagação bem definida.

A. Modo TEM

O modo TEM é aquele em que . Como discutido no Capítulo 9, esse modo

tem constante de propagação e essa condição em (10.13) fornece . As

expressões (10.14) e (10.15) nesse caso ficam indeterminadas e tem de se analisar as equaçõesoriginais para os campos, algo que foi feito no Capítulo 9. Como discutido anteriormente, esse

tipo de modo pode existir em linhas de transmissão de dois ou mais condutores, desde que não



haja mais de um dielétrico compondo a estrutura. Uma característica importante do modo TEM é

que este pode se propagar em uma linha de transmissão, independentemente da freqüência, ouseja, não há limite inferior de freqüências para propagação do modo TEM em uma linha de

transmissão. B. Modos TE

Modos TE (transverso-elétricos) são aqueles em que , com . Obtida a

solução para de (10.17), (10.15) fornece

. (10.18)

O campo pode ser obtido de (10.14) ou utilizando (10.18) em (10.6), o que fornece

.

Usando (10.13) na expressão anterior, fornece, apos algumas manipulações

(10.19)

com

(10.20)

sendo definida como a impedância de onda do modo TE. Note que fazendo a operação

em ambos os membros de (10.19) fornece

. (10.21)

que representa a relação canônica entre os campos elétrico e magnético de uma onda plana.

Multiplicando numerador e denominador do segundo membro de (10.20) pelo fator , a

impedância do modo TE pode ser posta na forma

, (10.22)

em que Z é a impedância de onda do meio de propagação, dada por (7.226). De (10.13) e da

expressão (10.22) conclui-se que para o caso de um modo não evanescente no guia de onda, i.e.,

para real, a impedância de onda do modo TE é sempre maior ou igual à impedância deonda do meio de propagação.



Para obtenção da solução correspondente à propagação no sentido , faz-se a reversão

de sinal . A equação diferencial (10.17) tem como solução . Admitindo que o mesmo

sinal seja mantido para uma reversão de sinal de , (10.18) –(10.20) mostram que

,

.

Ou seja, as soluções para os campos E e H do modo TE para os dois sentidos de propagaçãopodem ser escritas nas formas

(10.23)

(10.24)

com , e correspondendo à solução obtida para propagação no sentido .

C. Modos TM

Modos TM (transverso-magnéticos) são aqueles em que , com . Obtida a

solução para de (10.16), (10.14) fornece

. (10.25)

O campo pode ser obtido de (10.15) com e expressando o segundo membro

de (10.25) como função do campo elétrico transversal, o que fornece

,


que com algumas manipulações algébricas pode ser posta na forma

, (10.26)

com

, (10.27)

que representa a impedância de onda do modo TM. De (10.13) e da expressão (10.29)



conclui-se que para o caso de um modo não evanescente no guia de onda, i.e., para real, a

impedância de onda do modo TM é sempre menor ou igual à impedância de onda do meio

de propagação.

Comparando (10.22) com (10.27) tem-se a propriedade

. (10.28)

Para obter a solução para propagação no sentido , pode-se arbitrar que a componente

z do campo elétrico mude de sinal perante uma reversão de sinal da constante de propagação, de

forma que a componente transversal se mantenha inalterada. Ou seja, arbitrando

,

das expressões (10.17) – (10.29) obtém-se

,

,


e portanto as soluções para os campos E e H do modo TM para os dois sentidos de propagação

podem ser escritas nas formas

, (10.29)

, (10.30)

com , e correspondendo à solução obtida para propagação no sentido .

Em guias planares e fibras ópticas, modos TE e TM coexistem e dão origem a modoshíbridos em que ambas as componentes longitudinais dos campos podem coexistir. O tratamento

desses modos não é tratado neste texto, pois está além dos objetivos.

10.2.4 Fluxo de potência e freqüência de corte

A potência média que flui ao longo da direção de propagação pode ser obtida do fluxo do

vetor de Poynting através de qualquer seção transversal, i.e.,

. (10.31)



Considere por exemplo que a propagação do modo se dê no sentido +z. Uma vez que naoperação produto vetorial, a componente longitudinal para modos TE ou TM não contribui com

um vetor resultante na direção z, (10.31) pode ser posta na forma

,

ou equivalentemente

. (10.32)

Utilizando (10.21) ou (10.26), (10.32) pode ser posta na forma

. (10.33)


A potência ativa que flui ao longo da direção de propagação, obtida de (10.33), é dadapor

. (10.34)

Admitindo que o meio que preenche o guia de ondas seja sem perdas, e considerando

real, as impedâncias de onda dos modos TE ou TM são reais, como pode ser inferido de (10.22)e (10.27), e (10.34) reduz-se a

. (10.35)

A potência que flui através do guia é puramente ativa no regime sem perdas, na condição

em que é puramente real.

Há situações, no entanto, que são exploradas ainda neste capítulo, em que a constante de



propagação torna-se um número imaginário puro, mesmo que o meio de preenchimento seja sem

perdas. Considere (10.13), re-escrita na forma

. (10.36)

Definindo o número de onda de corte pela relação

, (10.37)

em que

(10.38)

é a freqüência angular de corte, que também define a freqüência de corte fc. Note que (10.37),

com auxílio de (10.38), pode ainda ser posta na forma

(10.39)


De (10.39) e com emprego da relação entre número de onda e freqüência em um meio deíndice de refração real , obtida de (7.128), i.e.,

, (10.40)

a expressão (10.36) fornece

. (10.41)

Para real, pode-se também definir o comprimento de onda no guia por

, (10.42)

e (10.41) pode ser escrita na forma

, (10.43)

em que é o comprimento de onda no vácuo.



As expressões (10.41) ou (10.43) permitem interpretar melhor o significado da condiçãode corte. Como mostra (10.39), o número de onda de corte, e por conseqüência a freqüência decorte definida em (10.38), não depende da freqüência para meios sem dispersão, uma vez que n,

nesse caso, independe da frequência. Com isso, (10.41) indica que a constante de propagação é

real na condição , i.e. para freqüências superiores à freqüência de corte. Para a

constante torna-se puramente imaginária. Nessa condição, os campos se tornamexponencialmente decrescentes, i.e, evanescentes, no sentido esperado de propagação ao longo

do guia. Nessa condição, a impedância do modo dada por (10.22) ou (10.27) torna-se tambémpuramente imaginária. Nesse regime, portanto,

. (10.44)


Inserindo (10.44) em (10.34), obtém-se, na condição ,

. (10.45)

Utilizando a forma (10.44) em (10.22) e em (10.27), tem-se, para ,

, (10.46)

. (10.47)

Utilizando (10.46) ou (10.47) em (10.45) fornece , e portanto, para não há

fluxo de potência ativa ao longo da direção longitudinal do guia. Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

Exemplo 10.1: Modo TE em um guia de placas paralelas sem preenchimento.

Considere o guia de onda de placas paralelas mostrado na Fig.10.3. Foi mostrado no

Capítulo 9 que essa estrutura suporta o modo TEM. Ela também suporta modos TE e TM ehíbridos. Considere que a região entre placas seja o vácuo, i.e., n = 1. Nessas condições o

número de onda é . Admitindo por simplicidade, que os campos não variem com x,

i.e., na condição , a solução para o modo TE por exemplo, pode ser obtida resolvendo

(10.17) para ou, equivalentemente, com , i.e.,

(10.48)

A solução geral de (10.48) pode ser escrita na forma



. (10.49)

Inserindo (10.49) em (10.18) fornece

. (10.50)

Fig.10.3 – Guia de placas paralelas do Exemplo 10.1.

As características dos modos TE podem ser determinadas aplicando a condição de contorno

(6.64) nas paredes condutoras em y=0 e y=b. Uma vez que entre as paredes, , (6.64) e

no interior de cada parede condutora , tem-se

(10.51)

Utilizando (10.50) na condição (10.51), fornece

, (10.52)

, (10.53)

A expressão (10.53) mostra que apenas valores discretos do número de onda de corte

são obtidos. A solução m = 0 corresponderia a solução trivial para (10.50). Obtido o número deonda de corte, obtêm-se os seguintes representativos do modo TE:

Constante de propagação

. (10.54)

Freqüência de corte

. (10.55)




Impedância de onda

. (10.56)

Solução para os campos

Utilizando (10.52) e (10.53) em (10.50), fornece

. (10.57)

Utilizando (10.56) e (10.57) em (10.19) fornece

,

ou equivalentemente,

. (10.58)

É conveniente expressar a solução tendo a amplitude do campo elétrico como parâmetro.

Definindo

, (10.59)

a solução final para os campos, obtida de (10.50), (10.57) e (10.58) pode ser posta na forma

, (10.60)

(10.61)


Potência no m-ésimo modo



Para determinar a potência eletromagnética que flui ao longo do guia, para uma largura w

ao longo da direção x, (10.35) fornece

. (10.62)

Inserindo (10.60) nessa expressão, após integração obtém-se

. (10.63)

Alternativamente, (10.63) pode ser expressa explicitamente em função da freqüência, dosparâmetros geométricos e da ordem do modo, inserindo (10.56), com o auxílio de (10.55), em

(10.63), o que fornece

, (10.64)

em que e são a impedância de onda e comprimento de onda no espaço livre,respectivamente.

Decomposição em ondas planas

É ilustrativo observar que o modo guiado pela estrutura de duas placas paralelas, pode serobtido da superposição de ondas planas. Para isso, seja a definição do vetor de onda

. (10.65)

O vetor campo elétrico pode ser escrito na forma vetor campo elétrico, dado por (10.60),pode ser escrito como

.

Essa expressão, após algumas manipulações algébricas, pode ser posta na forma

, (10.66)

com , representando o vetor posição, dado por (10.65) e



. (10.67)


Como o campo elétrico pode ser decomposto como a superposição de duas ondas

planas se propagando ao longo das direções dos vetores , a unicidade da relação canônicaentre os campos elétrico e magnético de uma onda plana, permite antecipar que o campo

magnético será a superposição dos respectivos campos magnéticos dessas ondas planas, i.e.,

, (10.68)

com cada componente obtida diretamente de (7.148), i.e.,

. (10.69)

Em (10.69), o termo entre parêntesis representa o vetor unitário no sentido do vetor de onda, uma

vez que , como pode ser mostrado de (10.65) com o auxílio de (10.13).

As expressões (10.66) e (10.68) mostram que os campos se propagam no guia na forma

de ondas planas que parecem sofrer reflexões sucessivas nas placas inferior e superior do guia. Aexistência de um índice discreto na componente y do vetor de onda, indica no entanto, que

apenas ângulos discretos de incidência relativamente à direção normal a cada placa sãopermitidos. Com base na Fig.10.4, que ilustra essa superposição de ondas planas, a magnitude doângulo de desvio de cada vetor de onda em relação ao eixo z pode ser obtida da relação.

Fig.10.4 – Representação do modo TEn como superposição de duas ondas planas.

, (10.70)


De (10.53) e (10.54), (10.70) pode ser re-escrita na forma



,

ou equivalentemente, com base em (10.55) e na relação ,

. (10.71)

A expressão (10.71) mostra que:

· Cada modo TEm, quando excitado, é a superposição de ondas planas que se propagam

com ângulos bem definidos em relação à direção longitudinal.

· Na condição de corte, , e isso corresponde a duas ondas planas se

propagando para cima e para baixo com ângulo de em relação à direção longitudinal.

· À medida que o comprimento de onda diminui, a direção de propagação de um dado modose aproxima da direção longitudinal.

A velocidade de fase de um dado modo, pode ser obtida da relação

. (10.72)

Com base em (10.41) obtém-se

(10.73)


A expressão (10.73) mostra que:

· A velocidade de fase do modo guiado é sempre maior ou igual à velocidade da luz.

· A velocidade tende à velocidade da luz para freqüências muito altas, i.e., .

· A velocidade de fase tende a um valor infinito, quando a freqüência do modo guiado se

aproxima da freqüência de corte, i.e.,

10.3 Guia de onda retangular

Propriedades mais tangíveis de modos em guias de onda podem ser obtidas paraconfigurações de interesse prático. Nesta seção o guia de onda retangular, ilustrado na Fig.10.5, é



analisado[2]. Esse tipo de estrutura, é corriqueiramente utilizado em estações de TV, no

transporte de microondas de alta potência desde o gerador à antena, em aceleradores lineares,também no transporte de altas potências de microondas até a região de interação do campo

eletromagnético com o feixe de elétrons, entre outras aplicações. Na análise a seguir, admite-seque a seção transversal do guia de ondas é retangular e que a estrutura é infinitamente longa nadireção z.

10.3.1 Solução para os modos TE A. Solução geral para Hz

Para o modo TE, a função potencial para os campos transversais é a componente

longitudinal do campo magnético que deve satisfazer a (10.17), i.e.,

. (10.74) Modos com distribuições transversais bem definidos podem ser obtidos admitindo,

seguindo procedimento semelhante àquele adotado no Capítulo 3, que a função Hz seja separável

na forma

. (10.75) Inserindo (10.75) em (10.74) e rearranjando, obtém-se

. (10.75)

Novamente temos uma soma de funções de variáveis independente que é sempreconstante independentemente dos valores dessas variáveis, i.e., (10.75) é da forma

, (10.76)

com

(10.77)

e

. (10.78)

A combinação do primeiro membro de (10.76) só pode ser de fato constante se (10.77)



e (10.78) o forem. A escolha

, (10.79)

, (10.80)

satisfaz (10.76) na condição

Fig.10.5 – Ilustração de um guia de ondas retangular.

com

. (10.81)

É importante observar que as constantes de separação kx e ky ainda precisam ser determinadas, o

que permite obter o número de onda de corte kc.

Com as definições (10.77) e (10.78), (10.79) e (10.80) fornecem, respectivamente, asequações diferenciais


, (10.82)

. (10.83)

As soluções gerais de (10.82) e (10.83) podem ser postas, respectivamente, nas formas

, (10.84)

, (10.85)



em que A, B, e são constantes a serem determinadas. Inserindo (10.84) e (10.85) em(10.75), esta assume a forma

, (10.86)

com (10.87)

B. Condições de contorno

Para determinação das várias constantes que compõem (10.86), aplica-se a condição de

contorno para o campo magnético ou para o campo elétrico, uma vez que estes sãointerdependentes. Uma vez que o campo magnético tangencial em um condutor perfeito é nãonulo, e está associado à densidade de corrente superficial nesse condutor, que não é conhecida, a

condição de contorno nas paredes condutoras para a componente Hz não dá informação com os

elementos conhecidos no problema até este estágio da análise. Por outro lado, na superfície deum condutor perfeito, a condição de contorno para a componente normal do vetor densidade de

fluxo magnético é

, (10.88)

e da relação constitutiva no interior do guia, , (10.88) equivale à condição

. (10.89)

A expressão (10.89) independe de qualquer quantidade desconhecida no problema e

pode ser utilizada para obtenção das constantes que aparecem em (10.86). A componente Hn é

obtida da componente transversal do campo magnético, dada por (10.18), i.e.,

,


e de (10.86) essa expressão fornece

, (10.90)com

, (10.91)

. (10.92)



A condição de contorno (10.89) aplicada em cada superfície condutora do guia gera ascondições

, (10.93)

. (10.94) As condições de contorno (10.93) fornecem as equações

, (10.95)

. (10.96) Para anular (10.95) independentemente do valor de y deve-se impor

, (10.97),

Note que independentemente do valor de , (10.96) assume a forma

. (10.98)

Ou seja, basta escolher de (10.97) a solução , e de (10.98),

(10.99)

Utilizando desenvolvimento semelhante, é fácil mostrar que (10.94) fica satisfeita para

,

. (10.100)


Com esse resultado, (10.86) reduz-se a

. (10.101) De (10.99) e (10.100), o numero de onda de corte, obtido de (10.81) fica na forma



. (10.102) Os modos TE são indexados pelos parâmetros m e n e recebem a denominação demodos TEmn. Antes de se deduzir as expressões para as outras componentes de campo, alguns

parâmetros dos modos TEmn serão deduzidos.

C. Parâmetros característicos dos modos TEmn

Freqüência de corte A freqüência de corte do modo TEmn é aquela abaixo da qual o modo não se propaga ao

longo do guia. A condição de corte pode ser obtida, como já discutido anteriormente, no limiar a

partir do qual a constante de propagação é real. Essa condição é obtida de (10.41), em que

torna-se real para . A freqüência de corte é obtida de (10.39) com auxílio de(10.102) o que fornece

, (10.103)

com

. (10.104) Por exemplo, para b < a, a menor freqüência de corte é aquela associada ao modo TE10

e dada por

(10.105)

O modo TE10 é analisado com maior detalhe na Seção 10.4.

Constante de propagação A constante de propagação é obtida diretamente de (10.13) com o emprego de (10.102)o que fornece

.

Essa expressão, com o emprego de (10.39) pode ser posta na forma

(10.106)



É importante notar que a constante de propagação, é uma função não linear da freqüênciae depende das dimensões transversais do guia de onda. A dependência não linear com afreqüência permite antecipar a existência de um efeito dispersivo de guia de onda, alem dopossível efeito dispersivo inerente ao meio de preenchimento. Essa questão será explorada commais detalhe na Seção 10.4.

Comprimento de onda no guia De (10.106) e com base na relação entre número de onda e comprimento de onda no

espaço livre, , o comprimento de onda no guia, , é simplesmente

. (10.107) Impedância de onda

A impedância de onda, pode ser calculada de (10.22) com o emprego de (10.106),

resultando em

. (10.108)


É importante notar que a impedância do modo é dependente da freqüência e dasdimensões transversais do guia de onda. Abaixo da freqüência de corte, a impedância do modotorna-se puramente imaginária, como se pode inferir de (10.108). D. Campos do modo TEmn

Antes de prosseguir, é interessante introduzir uma notação compacta para as funçõestrigonométricas que constituem as soluções para os campos. Essas funções têm propriedadesimportantes de diferenciação e ortogonalidade, que são exploradas na determinação das váriascomponentes de campo e na obtenção da distribuição de potência entre modos guiados. Dessa

forma definem-se as funções

, (10.109)

, (10.110)

, (10.111)



, (10.112) que têm propriedades de diferenciação com respeito às coordenadas x, y, que podem ser

sintetizadas com o emprego do operador , nas formas

, (10.113)

, (10.114)

, (10.115)

. (10.116)

Com essas definições, o campo magnético longitudinal dado por (10.101) pode ser re-escrito na forma

, (10.119)

em que foi introduzido o subscrito mn na amplitude do campo longitudinal. Como na expressão

(10.119) a dependência explicita com os argumentos x e y será omitida a partir deste ponto, parasimplificar a notação. O campo magnético transversal, obtido de (10.18) é calculado diretamente com oemprego de (10.116), e é dado por

. (10.120)

O campo elétrico transversal é obtido de (10.19). Fazendo a operação produto vetorial,obtém-se

(10.121)

É conveniente expressar as amplitudes de campo, em termos de uma amplitude de campoelétrico, definida por

(10.122)



Utilizando a definição (10.122) em (10.121) e (10.120) fornece

, (10.123)

, (10.124)

e a componente longitudinal do campo magnético se torna

(10.125) Assim, os campos elétrico e magnético para o modo TE, com a inclusão da dependência

em z, são dados por

, (10.126)

. (10.127)

10.3.2 Ortogonalidade dos modos É importante observar que os modos de propagação no guia de onda retangular são

ortogonais, no contexto de espaço de funções. Para examinar essa questão em mais detalhe,

sejam f e g, funções escalares no domínio , . O produto escalar entre essasfunções nesse domínio é definido pela relação

, (10.128)

A expressão (10.128) dá uma indicação de quão próxima é a variação espacial de f em relação ade g, e vice-versa. Se o resultado da operação for nulo, diz-se que as funções são ortogonais,quanto à distribuição espacial no domínio.

De forma análoga, sejam e dois vetores definidos no mesmo domínio. Umaindicação de semelhança de distribuições espaciais e do grau de alinhamento médio entre essesvetores no domínio pode ser obtida pelo cálculo da quantidade

. (10.129)



O uso do complexo conjugado em (10.128) e (10.129) é feito em consonância com a

obtenção de medias temporais, conforme discutido na Seção 7.3. De forma semelhante, o grau

médio de ortogonalidade entre os campos vetoriais e no domínio sob consideração pode serdeterminado pela operação

(10.130)

É fácil mostrar que as funções (10.100)-(10.112) satisfazem à propriedade deortogonalidade

(10.130) com

. (10.131)

Obviamente, (10.130) se aplica para todas as funções (10.100)-(10.112) desde quesejam não nulas e permitidas nas soluções para os modos — estão assim excluídas as funções

nulas , e a função que não fornece um modo de propagação no guia de onda. Afunção delta de kronecker entre parêntesis no segundo membro de (10.130) é unitária se oproduto mn for nulo, com a restrição de apenas um dos índices ser nulo, conforme imposto por

(10.131). De acordo com as expressões (10.100)-(10.112) apenas as funções , , e

se enquadram nesse caso. A condição de ortogonalidade (10.130) aplicada a essas funções

fornece o valor (ab)/2 como resultado. Em todos os outros casos, o valor obtido de (10.130) é(ab)/4.

Exemplo 10.2 – Determinar .

Utilizando (10.129) vem

.

De (10.126) tem-se

Utilizando (10.130) e na hipótese da constante de propagação ser real, obtém-se



,

mediante à restrição (10.131). Em vista de (10.102), essa última expressão reduz-se a

. (10.132)

É importante observar que a expressão (10.132) é nula se os modos forem distintos. É

nesse contexto que se pode afirmar que os modos são ortogonais, o que implica que um modonão pode ser obtido como combinação linear dos outros.10.3.3 Distribuição de potência entre modos TE Suponha que um conjunto de modos TE se propague no guia de onda retangular. Uma

questão importante é de que forma a potência que flui no guia se distribui entre os vários modos.Para generalizar essa questão, suponha que o conjunto de modos inclua todos os modospossíveis. Se esse é o caso, o campo elétrico transversal total é dado por Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

. (10.133)

A soma em (10.133) é uma soma dupla restrita à condição (10.131). É importante observar que a

parcela de cada modo no campo total está contida nas amplitudes dos vários modos. Ocampo magnético da onda guiada tem componente transversal que pode também ser decompostana forma

(10.134)

A componente z do vetor de Poynting é obtida de (7.84),

, (10.135)

e a potência que flui ao longo do guia através do plano transversal de coordenada z é pode serobtida de

. (10.136)



Inserindo (10.133) e (10.134) em (10.136), fornece

. (10.137)

Para o cálculo de (10.137) utiliza-se as expressões (10.126) e (10.127), o que fornece

.

Tendo em vista as propriedades de ortogonalidade (10.130), esta última expressão pode ser

posta na forma

.


Utilizando (10.102) nesta expressão e inserindo o resultado em (10.137) permite expressar apotência complexa que flui através do plano z = constante na forma

, (10.138)com

(10.139)

A expressão (10.138) demonstra que a potência de entrada é transportada como a somadas potências transportadas pelos modos individuais. Note que cada contribuição pode ser realou complexa, dependendo de o modo estar ou não com freqüência acima de sua freqüência de

corte. De (10.139), o modo TEmn, com , tem-se que e são ambos reais e

(10.139) reduz-se a

, (10.140)

e a parcela da potência total contida no modo é puramente ativa, e independente da coordenada



z. Por outro lado, se , tem-se que e são imaginários puros e de (10.139)

, (10.141)com

, (10.142)e

. (10.143)

e a potência, puramente reativa, decai exponencialemente com a coordenada z. Nesse caso, omodo não contribui com qualquer parcela de potência ativa através do guia e fica armazenando

energia reativa em uma região longitudinal, cuja extensão depende do valor do parâmetro .


10.3.4 Solução para os modos TM

Para modos TM, a função potencial para o problema é a componente longitudinal docampo elétrico, que deve satisfazer à equação (10.16), reproduzida abaixo

. (10.16) Seguindo procedimento semelhante ao adotado na seção anterior, a solução geral de (10.16)pode ser posta na forma

. (10.144) A condição de contorno de valor nulo para a componente tangencial do campo elétrico em cadaparede condutora pode ser utilizada para a própria componente Ez, o que fornece

. (10.145)

As equações (10.145) são satisfeitas com as escolhas

(10.146)

(10.147)

(10.148)



Assim, a solução para Ez é dada por

(10.149)


com uumn definido em (10.109). As expressões gerais para número de onda de corte, freqüência

de corte, constante de propagação, comprimento de onda no guia são as mesmas obtidas para os

modos TE. No entanto, o modo TM de mais baixa ordem é aquele em que . Umainspeção de (10.138) indica que qualquer dos índices nulo gera a solução trivial. Portanto omodo de mais baixa ordem TM11 tem freqüência de corte

. (10.150)

A impedância de onda do modo TMmn, obtida de (10.28), com auxílio de (10.108) é

simplesmente

(10.151) Para obtenção dos campos transversais, obtém-se primeiramente o campo elétrico de(10.25), com o emprego de (10.113), o que fornece

, (10.152)com

. (10.153)

O campo magnético é obtido de (10.154) com o emprego de (10.26), resultando em

. (10.154)


Em resumo, as expressões finais para os campos do modo TM com a definição (10.153)são

(10.155)



(10.156)

A potência eletromagnética do modo, pode ser obtida diretamente da expressão(10.139), observando que no caso do modo TM, nenhum dos índices pode ser nulo, o que

fornece

(10.157)

Como antes, se , (10.157) reduz-se a

. (10.158)

10.3.5 Atenuação devida à condutividade finita das paredes do guia

A. Formulação para o caso de pequenas perdas

Para determinação da atenuação devida às perdas inerentes à condutividade finita dasparedes condutoras do guia, utiliza-se o formalismo desenvolvido no Capítulo 9. Para isso, seja

[3] o campo tangencial em cada parede. Devido à condutividade finita das paredescondutoras, há um pequeno campo elétrico tangencial em cada parede dado por (9.103),

, (9.103)

em que é o vetor unitário dirigido para o interior da parede metálica e Zmetal é a impedância do

metal definida no Capítulo 8 e dada por

(8.158)

com

, (8.159)

representando a resistência de folha do condutor.



O vetor de Poynting na parede metálica é portanto

,


e de (9.103) essa expressão pode ser posta, após algumas manipulações algébricas, na forma

. (10.159)

Com essa expressão básica é possível calcular a potência dissipada em um elemento de

área , conforme ilustrado na Fig.10.6. A potência dissipada em um comprimento édada por

,

ou equivalentemente, com o emprego de (8.158) e (10.159),

. (10.160)

Em (10.160) a integral de linha é realizada ao longo do caminho C retangular e ortogonalà direção z, conforme ilustrado na Fig.10.7.

Para o cálculo de (10.160), o campo magnético tangencial utilizado na integração é aqueleobtido para o guia ideal sem perdas. Para o guia retangular, independentemente do tipo de modomn, o campo magnético tangencial nas paredes localizadas em x = 0 e y = 0 é

(10.161)

(10.162)

Pela simetria da estrutura, as perdas nas paredes x = 0 e x =a são iguais, o mesmoprincípio sendo obedecido para as perdas nas paredes localizadas em y = 0 e y = b. Com essaconsideração, utilizando (10.161) e (10.162) em (10.160), fornece, para o modo mn de

propagação,



, (10.163)com

(10.164)e

. (10.165)

Fig.10.6 – Geometria para o cálculo da potencia dissipada nos condutores de um guia de ondas retangular.

Fig.10.7 – Detalhamento do cálculo da potência dissipada em um comprimento diferencial longitudinal doguia.

Uma vez calculada (10.163), no regime de pequenas perdas, a constante de atenuaçãopara o modo mn pode ser obtida, com base na expressão para a potência eletromagnética



transportada pelo modo, calculada no caso sem perdas, e admitindo que essa potência decaia ao

longo do guia com constante de atenuação , i.e,

, (10.166)

em que é a potência transportada pelo modo em z =0. A expressão (10.166) é solução daequação diferencial Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

ou equivalentemente,

. (10.167)

De acordo com a discussão anterior, a taxa de variação no segundo membro de (10.167)deve corresponder ao negativo da potência dissipada por unidade de comprimento obtida de(10.163), ou seja,

, (10.168) e portanto

. (10.169)

Essa expressão permite obter a constante de atenuação no modo, com base em (10.163)e na expressão para a potência transportada pelo modo Pmn no caso sem perdas. A seguir as

constantes de atenuação para modos TE e TM são obtidas. B. Constante de atenuação para modos TE

Admitindo que o modo TEmn seja excitado acima da freqüência de corte, para o cálculo

de (10.163) , tem-se

, (10.170)

. (10.171)



Definindo as operações de integração unidimensional de funções de duas variáveis nas formas

, (10.172)

, (10.173)

é fácil mostrar que as funções uv, vu e vv definidas em (10.109) – (10.112) satisfazem àsrelações de ortogonalidade

, (10.174)

, (10.175)

, (10.176)

. (10.177)

Usando essa notação em (10.170) e (10.171) e inserindo o resultado (10.163), fornece

. (10.178)

Com base em (10.174)– (10.177), (10.178) assume a forma

.



Rearranjando os termos desta última expressão, tem-se

. (10.179)

Finalmente, utilizando (10.140) e (10.179) em (10.167) fornece

, (10.180)

em que os índices m e n são restritos à condição (10.131) para os modos TEmn, i.e.,


Exemplo 10.3 – Obtenha a dependência com a freqüência da constante de atenuação

para o modo TEm0 em um guia sem preenchimento, i.e., tendo .

Fazendo n = 0 tem-se e de (10.180),

.

Dado que , e utilizando as relações (10.13), (10.108), (8.157) e (8.159),tem-se

,

,

,

e portanto



.

Utilizando a relação obtém-se finalmente

C. Constante de atenuação para modos TM

Para o caso de modos TM, tem-se Hz = 0 e as funções f e g em (10.164) e (10.165)

ficam reduzidas as formas

,

.

Com base em (10.156) tem-se

, (10.181)

. (10.182)

Inserindo (10.181) e (10.182) em (10.163) e utilizando as definições (10.172) e (10.173) tem-se

,

e com base nas relações de ortogonalidade (10.174) e (10.175) obtém-se



, (10.183)

em que deve-se observar que para modos TM, . Utilizando (10.158) e (10.183) em(10.169) fornece o resultado para a atenuação do modo TM, i.e.,

. (10.184)

Exemplo 10.4: Considere que em um guia de ondas dois modos mn e sejam excitados. Se

a potência ativa de entrada é , qual é a constante de atenuação associada à potenciaativa total P. Admita válido o regime de pequenas perdas.

Este exemplo pode ser resolvido de duas maneiras. Pode-se por exemplo determinar ocampo magnético total em cada parede condutora e utilizar (10.160) para determinar a queda depotência em um comprimento diferencial e a partir daí relacionar o resultado com a potênciade entrada, levando em conta que a potência ativa transportada pelo guia, no regime de pequenas

perdas, é a soma das potências transportadas pelos modos. Uma segunda forma, mais simples, éutilizar essa condição o que implica, em um ponto de coordenada z,

,

o que permite escrever

.

Tendo em vista a expressão (10.167), o segundo membro dessa expressão pode ser posto naforma

Definindo a constante de atenuação da potência total pela relação

,


as duas últimas relações fornecem



A última expressão mostra que a constante de atenuação para dois modos coexistentes é a médiaponderada das constantes de atenuação, tendo como peso as frações de potência distribuídas

entre os dois modos.

10.4 Características dos modos em um guia de onda retangular

10.4.1 Densidade de potência Para se ter uma idéia de como se distribui a potência na seção transversal do guia deonda, basta determinar a densidade de potência associada a um dado modo. Para esse cálculo,

utilizam-se as expressões (10.126) e (10.127) para os campos transversais do modo TE e asexpressões (10.155) e (10.156) para os modos TM, e a expressão (10.135) para a componentez do vetor de Poynting, que representa a densidade de potência ativa, no caso de um guia sem

perdas. Denotando e as densidades de potência para os modos TE e TM,respectivamente, os resultados obtidos são: Modos TE

(10.185)

Modos TM

(10.186)

com as funções uv e vu, definidas em (10.110) e (10.111).

A Fig.10.8 mostra a distribuição da densidade de potência na seção transversal do guiapara alguns modos de baixa ordem. Regiões escuras correspondem a regiões de baixa densidadede potência, e aquelas mais claras, a regiões de mais alta densidade de potência. Se o campoeletromagnético guiado ocorresse por exemplo na faixa espectral visível, imagens próximas dessas

da Fig. 10.8 seriam de fato observadas a olho nu. Modos TEm0 não exibem variação de

densidade de potência com a coordenada vertical, como indicam as figuras.Correspondentemente nos modos TE0n não há variação da densidade de potência com a

coordenada horizontal. Os modos TM por outro lado, não tendo possibilidade de um índices sernulo, sempre exibem variação de densidade de potência ao longo das direções horizontal evertical.



TE10 TE01

TE20 TE02

TE11 TM11

TE21 TM21

TE22 TM22

Fig.10.8 – Densidade de potência para alguns modos no guia retangular.




10.4.2 Modos como superposição de ondas planas

A. Modos TE

Os modos em um guia de onda retangular podem ser decompostos como superposiçãode ondas planas, com propriedades de propagação bem definidas ao longo do guia. Considere

por exemplo a situação para modos TE. Para simplificar a notação, os subscritos mn serãoomitidos das expressões para os campos. O objetivo é expressar os campos já calculados deforma a satisfazer às condições de contorno, como superposição de campos expressos na formacanônica de uma onda plana. Para isso, de (10.125) com a inclusão da dependência em z docampo, incorporando o número imaginário j na amplitude E, e utilizando (10.22), tem-se

, (10.187)

em que Z representa a impedância de onda no meio, com

, (10.188)

, (10.189)

, (10.190)

representando o número de onda de corte do modo mn e

, (10.191) a constante de propagação, conforme (10.13).

Com base na relação

,

a expressão (10.187) pode ser escrita na forma

(10.192)

com

, (10.193)



em que

(10.194)

representa a componente do vetor de onda no plano xy, com

representando o vetor posição. Note que

(10.195)

O campo magnético transversal obtido de (10.20),


,

que fornece

,

ou equivalentemente

, (10.196)

em que

, (10.197)

é o vetor unitário no sentido do vetor de onda transversal .

O vetor campo elétrico , que para o modo TE está contido no plano transversal, e pode

pode ser calculado diretamente com o emprego da propriedade



ser obtido com o emprego de (10.21),

.


Inserindo (10.196) nessa expressão, fornece

. (10.198)

Definindo

, (10.199)

a expressão (10.198) pode ser posta na forma

. (10.200)

É importante observar de (10.199) que

,

em que foi utilizada a propriedade cíclica do produto misto dada por (1.39). Essa expressãomostra que o vetor campo elétrico é ortogonal ao vetor de onda que aparece em (10.200).

Portanto. (10.200) é a superposição de quatro termos, cada um correspondendo à forma

canônica do campo elétrico de uma onda plana.

Resta obter o vetor campo magnético como superposição de quatro componentes, cadauma também expressa na forma canônica de uma plana. Para isso, utiliza-se o princípio da

superposição e (7.225) para cada termo da soma em (10.200), o que fornece

, (10.201)

em que

, (10.202)



é o vetor unitário que define a direção e sentido do vetor de onda de cada componente da somaem (10.201).

Em resumo, cada modo guiado TE no guia retangular é a superposição da quatro ondasplanas cujos campos e parâmetros são:

. (10.200)

, (10.201)

, (10.199)

, (10.202)

, (10.193)

, (10.194)

com a restrição

, (10.188)

, (10.189)

com m e n inteiros satisfazendo a .


De acordo com essas expressões, o modo guiado pode ser visualizado como asuperposição de ondas planas que refletem em cada parede condutora. As componentes do

vetor de onda assumem apenas valores discretos para que as condições de contorno sejam

satisfeitas. Uma dada componente de onda plana se propaga com ângulo de desvio em relação aoeixo z, que pode ser obtido da relação

, (10.203)

ou equivalentemente, com base em (10.188), (10.289) e (10.194)



. (10.204)

A Fig.10.10 mostra a disposição dos vetores de onda e projetados no plano xy. A

magnitude do ângulo entre cada vetor de onda e o eixo x é obtida de

. (10.205)

Para cada vetor de onda, está também representada a orientação do vetor campo

elétrico, conforme previsto por (10.199). Note que o vetor campo magnético, ortogonal ao vetorcampo elétrico, não é ortogonal à componente do vetor de onda no plano xy. Uma propriedade

importante dos modos guiados é que o perímetro de um raio fictício refletindo nas paredes, comazimute dado por (10.205) sempre forma um losango de perímetro constante. Na Fig.10.10, essa

propriedade está ilustrada para o caso m = n =1.

Fig.10.10 – Projeções dos vetores de onda representativos dos modos TE em um guia retangular.

B. Modos TM

Para modos TM, a solução (10.149) para o campo longitudinal pode ser escrita na forma

, (10.206)


com o vetor de onda no expoente de (10.206) dado por (10.193). O campo elétrico transversal

é obtido de (10.25), ou seja



,

e seguindo o mesmo cálculo desenvolvido na seção anterior essa expressão assume a forma

. (10.207)

Alternativamente, essa expressão pode ser posta na forma

. (10.208)

Utilizando (10.206) e (10.208) permite expressar o vetor campo elétrico do modo guiado na

forma

, (10.209)

com

. (10.210)

Nota-se, de (10.210), que o vetor campo elétrico, não é ortogonal à componente do vetor de

onda no plano xy. O vetor campo magnético, por outro lado, que está no plano xy é ortogonal a

essa componente do vetor de onda, e pode ser obtido de (10.26), i.e.,

.

Inserindo (10.208) nessa expressão fornece

. (10.211)

Para uma melhor interpretação de (20.211), com base em (10.202) e (10.210), pode-se



mostrar que

. (10.212)

Inserindo (10.212) em (10.211) fornece

, (10.213)

que, com base em (10.27), reduz-se à forma

. (10.214)

Essa expressão é idêntica à expressão (10.201) que representa a superposição de quatro termos,de igual peso, cada um na forma canônica de uma onda plana.

A Fig.10.11 mostra a disposição dos vetores de onda e campo magnético no plano xy,para o caso do modo TM11. Note que no caso presente, o vetor campo magnético total tem

componente normal nula em cada parede. O sentido da componente z do campo elétrico total

também está ilustrada na figura, e também tem componente nula em cada parede, conformeprevisto por (10.206).

Fig.10.11– Projeções dos vetores representativos dos modos TM em um guia retangular.

10.4.3 Modo fundamental no guia de onda retangular

Guias de onda são tipicamente construídos com . Nesse caso, assumindo que oguia de onda não tenha preenchimento, de (10.103) as freqüências de corte são dadas por



. (10.215)

De (10.215), o modo de mais baixa ordem é obtido com m = 1 e n =0. Este é o modofundamental TE10, com freqüência de corte dada por

. (10.216)

A próxima freqüência de corte é aquela dos modos TE20 e TE01, ambas iguais a

. (10.217)

A próxima freqüência de corte é aquela dos modos TE11 e TM11, dada por

, (10.218)

e assim sucessivamente.

Dessas expressões para as várias freqüências de corre, a operação monomodo para oguia retangular com a=2b ocorre na faixa de uma oitava de freqüências,

. (10.219)

A faixa de comprimentos de onda no vácuo, para operação monomodo, obtida de (10.219) é

. (10.220)

Nas várias aplicações de guias de ondas é importante que a faixa de freqüências deoperação seja aquela em que apenas o modo fundamental se propaga. Isso porquê, um único

modo tem uma distribuição transversal de campo bem definida, permitindo assim que todos osdispositivos em guias de onda possam ser fabricados com geometrias bem definidas. Por

exemplo, examinando com mais detalhe o campo elétrico transversal do modo fundamental,

obtido de (10.121) com m = 1, n = 0,

(10.221)

tem-se um valor máximo em x = a/2 . Além disso, o vetor campo elétrico transversal é paralelo ao



eixo y. Assim, a excitação mais eficiente de um guia de onda operando no modo TE10 seria feita

com uma sonda que penetra no guia, posicionada em x = a/2, e dirigida ao longo do eixo y. Oadaptador coaxial para guia de ondas, mostrado na Fig.10.12 é fabricado com esse

posicionamento de sonda. Pelo princípio da reciprocidade, a detecção do campo transmitido

pelo guia em um ponto remoto também seria feita com uma sonda com posicionamentosemelhante. Além desse exemplo simples, inúmeros dispositivos têm de ser projetados

conhecendo-se especificamente a configuração do modo de propagação ao longo do guia, e aoperação monomodo permite simplificar a geometria dos dispositivos.

Fig.10.12 Adaptador cabo coaxial/guia de onda, mostrando o posicionamento da sonda para acoplamentocom o modo fundamental.


A Tabela 10.1 lista as características principais dos campos e parâmetros associados ao

modo fundamental TE10, calculados com base na formulação desenvolvida neste capítulo.

Tabela 10.1 –Parâmetros do modo fundamental TE10 para o guia de ondas com a = 2b.

Grandeza Expressão

Freqüência de corte

Faixa de operação monomodo

Número de onda de corte

Impedância de onda

Constante de propagação

Comprimento de onda no guia

Campo elétrico

Campo magnético



Densidade de potência ( f > f10 )

Potência ativa

Constante de atenuação de amplitude

A Fig.10.13 mostra a dependência com a freqüência da constante de atenuação para o

modo TE10, na faixa de operação monomodo. Como pode ser aí observado, a atenuação diminui

à medida que a freqüência aumenta. Esse seria o comportamento esperado analisando-se a

propagação do modo guiado como superposição de ondas planas. À medida que a freqüênciadiminui, amenta o número de reflexões de ondas planas nas paredes condutoras, uma vez que o

ângulo obtido de (10.203) tenda a para freqüências próximas à freqüência de corte.

Operação em uma faixa de freqüências longe de freqüência de corte é indicado no uso de guias deonda em situações em que perdas por condução tenham de ser minimizadas.

Fig.10.13 – Dependência com a freqüência normalizada da constante de atenuação para o modo TE10.

10.4.4 Dispersão de guia de onda, velocidade de fase e velocidade de grupo

A propagação eletromagnética em guias de onda, diferentemente da situação observada



em linhas de transmissão, que admitem modos de propagação TEM, tem uma característicainteressante que é a presença de um efeito de dispersão associado à geometria da estrutura. O

fato de os campos guiados terem de se ajustar às condições de contorno nas paredes metálicas,ou, no caso de guias dielétricos, nas interfaces entre dielétricos distintos, faz surgir esse efeito

dispersivo. Essencialmente, a imposição de restrições nas interfaces ou paredes metálicas faz com

que a velocidade de fase passe a depender da freqüência. O grau de dependência é função dageometria da estrutura. Esse tipo de dispersão é denominado de dispersão de guia de onda. O

tipo de dispersão presente em meios materiais, por outro lado é denominado de dispersãomaterial.


Independentemente do tipo de perfil transversal da estrutura, o que é obtido ao seconsiderar a presença de um dos modos de propagação é uma relação entre constante de

propagação, número de onda de corte e número de onda no meio de preenchimento. Essa

relação é dada por (10.13), re-escrita na forma

. (10.222)

Em (10.222), o número de onda de corte, como demonstrado por exemplo para o guia de ondaretangular, depende apenas dos parâmetros geométricos transversais da estrutura guiante.

Assumindo, por exemplo, que o guia não tenha preenchimento, tem-se

,

e utilizando a definição de freqüência angular de corte (10.38), (10.222) pode ser posta na forma

(10.223)

A expressão (10.223) que expressa a dependência da freqüência com a constante de

propagação é essencialmente a relação de dispersão de guia de onda da estrutura. Se a

estrutura fosse uma linha de transmissão, cujo modo de propagação TEM tem freqüência de cortenula, então (10.223) seria da forma

(10.224)que é uma relação linear. Isso implica que independentemente da freqüência, a velocidade de fase

é simplesmente

. (10.225)

O fato de guias de onda suportarem modos com freqüência de corte não nula torna arelação de dispersão de cada modo não linear, conforme previsto por (10.223). Isso em essência

torna a velocidade de fase dependente da freqüência. De acordo com a discussão do Capítulo 7,uma dependência em freqüência da velocidade de fase, tem como conseqüência distorção ou

dispersão de qualquer sinal enviado pela estrutura.



A Fig.10.14 mostra o diagrama de dispersão de um dado modo propagante em um guia

de onda, que é a representação gráfica de (10.223). Note que (10.223) exibe as seguintes

propriedades, ilustradas na Fig.10.14:

· .

· , ou seja a assíntota à curva de dispersão é a relação de dispersão linearno vácuo.

A velocidade de fase é dada por

, (10.226)

e com o uso de (10.223) essa relação pode ser posta como função da constante de propagaçãona forma

. (10.227)


Alternativamente, a constante de propagação pode ser expressa em função da freqüência em

(10.223), o que fornece

. (10.228)

A velocidade de grupo, por outro lado, definida em (7.264), i.e.,

, (10.229)

calculada com o emprego de (10.223) é dada por

. (10.230)

Em função da freqüência, utiliza-se (10.222), o que fornece



(10.231)

Vale observar que (10.228) e (10.231) fornecem a relação

, (10.232)


ou seja, a velocidade da luz no meio (vácuo no caso) é média geometria entre as velocidades de

fase e de grupo.

A Fig.10.14 ilustra graficamente a diferença entre velocidade de fase e de grupo. A

declividade da linha reta, que representa o diagrama de dispersão de ondas eletromagnéticas novácuo, fornece a velocidade da luz. A velocidade de fase no guia de ondas é a declividade do

segmento de reta mostrado na figura, que é maior do que a velocidade da luz. A declividade do

segmento de reta tangente à curva é a velocidade de grupo, que é menor do que a velocidade daluz.

Conforme discutido no Capítulo 7, a velocidade de grupo representa a velocidade dotransporte de informação e por isso, é inferior à velocidade da luz no meio. Por outro lado a

velocidade de fase, representa a velocidade que um observador teria de se mover para registrar amesma fase da onda propagante. Uma vez que o modo guiado pode ser representado como

superposição de ondas planas, cada uma se propagando com a velocidade da luz no meio e com

um certo ângulo de desvio em relação ao eixo longitudinal, a velocidade de fase no guia seriaaquela em que um observador deveria se mover ao longo do eixo z para registrar a mesma fase da

frente de onda, Conforme ilustrado na Fig.10.15, o plano de fase constante de uma dada ondaplana, requer que o observador tenha de se deslocar ao longo de um comprimento no mesmo

intervalo de tempo que um outro observador fictício deveria se deslocar de uma distância

ao longo do sentido do vetor de onda, este ortogonal ao plano de fase constante. Por isso avelocidade de fase no guia é sempre maior do que a velocidade da luz no meio.



Fig.10.14 – Diagrama de dispersão em um guia de ondas.

Fig.10.15 Ilustração do processo de determinação da velocidade de fase no guia de ondas.

Problemas

10.1 Faça todas as passagens que levam a (10.18) e (10.19).

10.2 Faça as passagens que levam a (10.21), (10.23) e (10.24), (10.31) e (10.33).

10.3 Admita que um guia de ondas do tipo metálico, sem preenchimento, esteja operando no

regime monomodo. Independentemente do formato de sua seção transversal, para uma

freqüência de operação uma oitava acima de sua freqüência de corte do modo, determine:

a) O comprimento de onda do modo guiado em relação ao valor do vácuo.

b) A impedância de onda em ohms, admitindo que o modo guiado seja um modo TE.

c) A impedância de onda em ohms, admitindo que o modo guiado seja um modo TM.

10.4 Seguindo um procedimento semelhante àquele utilizado no Exemplo 10.1, obtenha a solução

para modos TM em uma linha de transmissão de placas paralelas e determine os parâmetrosrepresentativos dos modos no guia, incluindo, número de onda de corte, freqüência de corte,

impedância do modo e potência.

10.5 Para os modos TE e TM do guia de placas paralelas, obtidos no Exemplo 10.1 e naQuestão 10.4, deduza as expressões para a constante de atenuação do guia.

10.6 Determine a relação de dispersão para o guia de placas paralelas para os modos TEn e

TMn.

10.7 Com base no que foi obtido na Questão 10.6 determine as expressões para as velocidadesde fase e de grupo.

10.8 Admita que um pulso eletromagnético seja injetado em um guia de ondas de placas paralelas

em z = 0. Admita que esse pulso seja conduzido ao longo do guia na forma do modo fundamental



TE1. Se o guia tem um comprimento L, qual o tempo de propagação do pulso no guia? Admita

que o pulso tenha um espectro de freqüências estreito em relação à freqüência da portadora f.

10.9 Estabeleça as relações de ortogonalidade entre campos elétricos transversais paramodos TEM, TE e TM em um guia de placas paralelas do tipo tratado no Exemplo 10.1. Ou seja,

determine expressões para

em que m =0 corresponde ao modo TEM.

10.10 Qual o ângulo de desvio em relação ao eixo z de cada onda plana representativa do modo

TE1 se propagando em um guia de placas paralelas para ?

10.11 Determine a expressão geral da constante de atenuação para o modo TEmn ou

TMmn, de um guia retangular devido às perdas materiais. Admita para isso que o guia de onda é

preenchido com um material de índice de refração complexo

10.12 Para o modo ou , determine a expressão geral para o ângulo de desvio do vetorde onda de uma das ondas planas representativas do modo guiado, em relação ao eixo z.

10.13 Considere um guia retangular, sem preenchimento, tendo paredes de cobre com

. Admita que a permeabilidade do cobre seja igual à do vácuo e utilize o valor dacondutividade dc tabulada na literatura. Determine:

a) A freqüência de corte.

b) A constante de atenuação para .

c) A velocidade de fase para

d) A velocidade de grupo para .

e) O comprimento de onda no guia para

f) O ângulo de desvio de uma das ondas planas representativas do modo guiado em relação ao

eixo longitudinal

10.14 Para o modo TE10 determine a densidade de corrente superficial nas quatro paredes

internas.

10.15 Para o modo TE10 determine, em z =0:

a) A corrente elétrica que atravessa um segmento de largura a paralelo ao eixo x de cada parede

horizontal. Indique o sentido da corrente em cada caso.



b) A corrente elétrica que atravessa um segmento de altura b paralelo ao eixo y de cada paredevertical. Indique o sentido da corrente em cada caso.

10.16 Projete um guia de ondas retangular com a=2b para operação monomodo em:

a) Uma faixa de freqüências de 6 a 12 GHz.

b) Uma faixa de freqüências de 100 a 200 GHz

10.17 Faça uma pesquisa e obtenha especificações (dimensões, material utilizado, etc.) de guiasde onda metálicos retangulares disponíveis comercialmente.

a) Há fabricantes no Brasil? Quais?b) Quais os mais importantes fabricantes no Exterior e respectivos países de origem?

b) Para um guia de onda comercial operando na banda X de microondas, qual é a constante de

atenuação especificada pelo fabricante em ?c) Utilize a formulação desenvolvida no texto para calcular a constante de atenuação para esse

guia e compare com o resultado especificado pelo fabricante.

10.18 Admita que um guia de onda de largura a e altura b seja “iluminado” com uma onda plana,conforme ilustrado na figura. Admita que o meio exterior seja o vácuo. A potência total na entrada

do guia é dada por

.

Admita que o vetor campo elétrico no guia de ondas seja dado por

,

ou equivalentemente

.

Utilize as propriedades de ortogonalidade dos modos para determinar:

a) As amplitudes dos modos e na entrada do guia

b) Os vetores e na entrada do guia

c) A transmitância da estrutura admitindo que apenas o modo fundamental se propague, i.e., a

potência guiada pelo modo fundamental relativamente ao valor P0.



[1] Por modo guiado, entende-se aquele em que os campos eletromagnéticos estejam confinados a uma região

de dimensão finita, em torno do eixo longitudinal central da estrutura.

[2] Vários tipos de guias de onda e dispositivos de guias de onda podem ser visualizados em

http://goo.gl/dwSm7

[3] O subscrito m utilizado nos Capítulos 8 e 9 está substituído pela palavra metal no presente capítulo, em

vista da utilização do parâmetro m como índice de modo de propagação no presente capítulo

eletromagnetismo - parte 2 - capítulo 10 - guias de onda

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