eletromagnetismo - aula 23

ELETROMAGNETISMO II

UNESP Naasson Pereira de Alcantara Jr. Claudio Vara de Aquino

210

A equao de onda deduzida no captulo anterior para meios sem perdas ( = 0). Vamos agora encontrar a equao da onda em um meio que apresenta condutividade no nula. Considerando para o caso geral o campo magntico H

polarizado na direo z e o campo eltrico E

polarizado em y, as

equaes de Maxwell em rotacional so escritas como:

tE

Ex

H yy

z

(23.1)

e

tH

xE zy

(23.2)

Que tambm podem ser escritas na forma fasorial como:

yz EjxH

(23.3)

zy Hj

xE

(23.4)

Derivando (23.4) em relao a x:

xHj

xE z

2y

2

(23.5)

E substituindo (23.3) em (23.5):

y2

y2

Ejjx

E

(23.6)

Inversamente, se derivarmos (23.3) em relao a x, e substituirmos (23.4) no resultado disso, teremos:

z2

z2

HjjxH

(23.7)

A equao (23.6) a equao da onda em Ey, e (23.7) a equao da onda em Hz, para meios que apresentam condutividade diferente de zero, ou seja, com perdas. As equaes (23.6) e (23.7) podem ser escritas como:

y

22y

2

ExE

(23.8)

23 ONDAS ELETROMAGNTICAS EM MEIOS CONDUTORES

ELETROMAGNETISMO II


211

e

z

22z

2

HxH

(23.9)

Onde:

jj2 (23.10)

chamada de constante de propagao, cujas partes real e imaginria so positivas do tipo:

j

Onde:

112

2

(23.12)

112

2

(23.13)

chamada de constante de atenuao, sua unidade m-1, mas costumeiramente expresso como Np/m, onde Np (Nepper) um adimensional do tipo radiano. chamada de constante de deslocamento de fase, com unidade rad/m. Deve-se notar que quando = 0 (dieltrico perfeito), temos = 0 e = /v. Para bons condutores tem-se

1

(23.14)

e:

22

(23.15)

22

(23.16)

Vamos propor como soluo para a equao (23.8) a seguinte expresso:

y

tjx0 aeeEE

(23.17)

Prova:

tjx0 eeEx

E

(23.18)

ELETROMAGNETISMO II


212

EeeExE 2tjx

02

2

2

(23.19)

Pela equao (23.4) e considerando a parte negativa ou progressiva na equao (23.18) vem:

tjx0z eeEHj

(23.20)

onde

tjx0z eeEj

H

(23.21)

ou ainda

tjx0z eeHH

(23.22)

Pela igualdade

00 Ej

H

(23.23)

ou

00H

jjjE

(23.24)

00 HjjE

(23.25)

Desta forma, a impedncia intrnseca do meio, em ohms, definida como sendo a relao complexa:

0

0

HE

(23.26)

Esta impedncia intrnseca tambm pode ser escrita na forma polar onde:

(23.27)

Neste caso:

4 21

(23.28)

e:

2tg

(23.29)

ELETROMAGNETISMO II


213

Exemplo 23.1 No espao livre:

y3 a)xt(sen10)t,z(E

Obtenha )t,z(H

e , se a frequncia 95.5 MHz.

Soluo O vetor E

est polarizado na direo y, e a

onda est se propagando na direo positiva de z. Portanto o resultado do produto vetorial

HE

deve estar na direo positiva de z. Para que isso ocorra, H

deve ter a orientao x.

xxaHH

4 2xy

1HE

Como, no espao livre, = 0,

)(1200

0

02tg

120E

H yx

x

3

a)zt(sen12010H

j

112

2

0112

112

2

112

1276 1085.8104105.952

m/rad2

0.2j

Exemplo 23.2 Uma onda eletromagntica propaga-se com frequncia de 10 GHz em um meio com r = 2, = 1 S/m, r = 1. Sabendo-se que a onda propaga-se na direo de xa e que o vetor intensidade de campo eltrico aponta na direo ya em t = 0. Determine as constantes , , , , e as expresses para E

e H

. Assuma E0 = 1 V/m. Soluo

112

2

ELETROMAGNETISMO II


214

11085.821028.6

112

1085.821041028.62

1210

12710

m/Np123

112

2

11085.821028.6

112

1085.821041028.62

1210

12710

m/rad71,320

mm2071,320

22

4 21

74,229

1085.821028,611

85.82104

4

2

1210

127

2tg

1210 1085.821028,612tg

o98.20

A onda se propaga na direo negativa de x. O vetor E est na direo negativa de y. Portanto o vetor H deve apontar na direo positiva de z.

y)xt(jx

0 aeeEE

m/Vaee0.1E y

)x71,320t1028.6(jx123 10

z)xt(jx

0 aeeHH

0

0

HE

00

EH

z)xt(jx0 aeeEH

m/Aee0044,0H )349.0x71,320t1028.6(jx123

10

x

y

z

E

H EH

ELETROMAGNETISMO II


215

EXERCCIOS 1)-Determine em 500 kHz para um meio com r = 12 e = 0, e frequncia de 1 MHz. Sob que

velocidade ocorrer a propagao de uma onda eletromagntica nesse meio? 2)- Uma onda eletromagntica propaga-se no espao livre com comprimento de onda de 0,50 m.

Quando a mesma onda penetra em um dieltrico perfeito, seu comprimento de onda varia para 1 m. Supondo que r = 1, calcule r e a velocidade da onda no dieltrico.

3)- Uma onda eletromagntica propaga-se no espao livre, com constante de defasagem de 0,524

rad/m. Entrando em um dieltrico perfeito, essa mesma onda passa a ter uma constante de defasagem de1,81 rad/m. Supondo que r = 1, ache r e a velocidade de propagao.

4)- Num meio quase condutor, r = 1000, r = 18,5 e =5.1 S/m. Calcule , , e a velocidade U para

uma frequncia de 109 Hz. Calcule . )t,z(H

sabendo-se que:

xz a)ztcos(e50)t,z(E

5)- Calcule a constante de defasagem no cobre ( = 5,7107 S/m), para a frequncia de 500 MHz.

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