ADVERTENCIA ) 11I1()n's e a Editora acreditam que todas as informaC;6es aqui 'li'I"'."IIt;l(ias esUio corretas e podem ser utilizadas para qualquer fim (, 1'11

( 1111

( ) jl:l~;~;Cl j'i lIal e somarmos as expressoes referentes aos agrupamentos. A , \ plt " ,' ,;!Cl j'illalllIinimizada sera: S = AB + C.

( 't 1I11l) outro exemplo, vamos minimizar circuito que executa a tabela I, t)

~ A () 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

0 0

1 0 1

J 1 0

1 1 1

Tabela 3.9

'$,'1'"'"".". 'm'" >

II

n

v:nA7777b77A77nol B

D

Ii

A ,v/uy/C,'yI/'Y///j B-

A A

B ri J)is D

(a) Regiao onde A = 1. (b) Regiao onde A = 1 (A = 0). C C

BB

A I>SSS~SSS~SSXS-jSl B

A -i--t--t---+-----il B

A A

B B o D o

(c) Regiao onde B = 1. (d) Regiao onde B = 1 (B =0). C

ISSSstSSSSI B

C

ISSSstSSSSI

Do

B

A A

A A

B

ri

IB

B

o

Neste tipo de diagrama, tembem temos uma reglao para cada casu d l l tabela da verdade, como podemos verificar no diagrama completo, visto fi ll figura 3.32.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0

0 0

0 1

1 0 OcJ

0 0 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

0 0 Po

a j,

Casoo 0000 ABCD Caso4

o 100 liBCO

1 1

0 0

0 0

0 1 J

Caso 12 1 1 0 0 ABCO

1 1 1 1

0 0 1 1

1 1 0 0

0 1 0 1

A Caso 8 1 0 1 000 ABeD

is

1 1 1 0 1 1 1 1

OJ c

Caso I o 0 0 I ABeD

CasoS o 1 0 1 ABeD Caso 13 1 101 ABeD

Caso9

1 0 0 1

ABeD

J J C

Caso2Caso3 o 0 1 1 o 0 1 0

ABCD T!ABCD Caso 7 Caso6

011 1 o 1 1 0 ABCD ABCD (l Caso IS Caso 14 1 111 1 1 1 0 ABCD ABCO

--=-

Caso II Caso 10 101 1 1 0 1 0 AriCD ABCD

D is

Tabela 3.10 Figura 3.32

Vamos analisar a coloca~ao de uma das possibilidades, vito que as 0111 Ill "

(e) Regiao onde C = 1. (f) Regiao onde C = 1 (C = 0); C

ISSSstSSSSI

D

B B

A A I B ISSSSi ISSSSI B

A A

B B o D

(g) Rcgifio onde D = 1. (h) Regiao onde D = 1 (D =0). h,l)1I1"II 3.31

II (, I- "''''''11 /," ,/, ' /'/"/"'"/'1/ /J'!:I/fl/

S;IO analogas.

Tomemos, como exemplo, 0 caso 8:

1\ BCD 1000--i>

1\ = I, B =0 (B = 1), C =0 (C = 1) e D =0 (D = 1)

l)a illll;rsec~ao dessas regi6es, obtemos a regiao ABC 1), qu t: " :\ 11'1"11'1111' ;1\) caso k:

1/,.', '/"" .1.' /1" . /, , \/ 11111,/ /, ,, ,1''' '/'

II

t! c.

n

fi. B

A

~ n r5 D r5

Figura 3,33

Para esclarecermos melhor a coloca

--

h) r-;:xl..: llJplos de Quadras:

C i C C' 'e B ,_ _1...1 \.,1_l1 _J)I J~

' A =QuadraSOI}1'1i\ I I

L)"adra B is :) I B B\ 1)- -_-:/

II(l II !D D

1\ Quadra SD

(a) Figura 336

c) Exemplos de Oitavas: -,

, c \ 1\

\ A I1 I

I Quadra 0 =>

I C c " ~,1

-

1 1 -- ---

1 ~~ --~ B

A

A --

--

B

...-1 1-/ /

D

I 1

D

-1' ~~ " is \

I B1 II \ 1 ,/A / I1/ BI ~

D 15\,../D Il _

Oitava B (a) (b)

Figura 337

Convem observar que, neste mapa, as oitavas representam as pr6prias 1I"',iocs A, A, B, B, C, C, D e D e que 0 agrupamento maximo (mapa 11I1;dllll:nte preenchido com 1) constitui-se em uma hexa, ou seja, agrupamento ,',,"I I() rcgi6es valendo 1.

!\p()S essa ressalva, vamos minimizar a expressao do nosso exemplo, 1II II ' l:I l llIl'nte, agrupamos as oitavas, em seguida as quadras, a seguir os pares e, 1'11 1 HIIIIIIO, os tcrmos isolados, se existirem, Express6es dos agrupamentos:

I ! U / / , '/ 11 , '11/,' \ ,/.' r1" /1 ,111/.,1 I I/gll,tI

\.L - A

- -" r;1 ,B B I I

D D' D 'D

(b)

c/ I

/1 S I

II 1

0A

0

~--( 1 I A I\ 1 '-

is quadra--'/

Figura 338

Somando as

3.12.

c C ~par /--~7""- -1~11\I 1

-_.... BI '-4 I I I 1 1 I

II , I ~- ....\ 1 II 1 I I

I I I

t 1 J Il-_....

_'>.:/

0

1

oitava

o 1 1 o 1 1 o o o 1 1 o 1 1 o o o 1 1. o

oitava: D 0

quadra: ACB 0

par: ABC 0 B

is

express6es, teremos a expressao final minimizada: S = D + AC + ABC.

Como outro exemplo, vamos minimizar 0 circuito que executa a tabcla

1 1 1 o o 1/ o " o o o 1

o o o 1 1

1 1. 1 o o o o 1 1.

/,,1""'11 .1. 1

\/,1: ' /"" ,I, ' /1. "./, , ,\'/111/"'/', Ii ~' / " 01, 1 '1/. 111/, ,, I d.I'I. ~ ! :' \ 12]

' I'I .lJlsp"lldo a tabela da verdade para 0 diagrama, temos: c

A 0 1

1 1

0 0 A

0 0

i5

Figura 3.39

c

1

1

1

0

D

0

1

0

1

i5

B

B

B

No diagrama, temos: 2 quadras, 1 par e 1 termo isolado. r-qUadraAD

c c

_ 0 (1"- -1~ 0 -B

A I I

,--- 1"-- -,.:,4- --, _ quadraAB11 \~ 11), 11

'--- -.!'....M-"~ --'

I I I

o 0 l!) 0 A~--+---+---~--~-

000 (DB D D.. D

'---- termo isolado ABC ist parB C D

Figura 3.40

A expressao minimizada de S sera a soma de todos esses agrupamentos :

S=ABCD+BCD+AB+AD

.t9.4 Exercicios Resolvidos I - Simplifique as express6es obtidas das tabelas a seguir, utilizando os

diagramas de Veitch-Karnaugh.

) 1'1"/11/'11("\ ./" 1 ~,/",, (lIl It '11 1);.1: 111/ 1

a)

a a a a a 1 a 1 a a 1 1 1 a a 1 a 1 1 1 a 1 1 1

Tabela 3.13

Transpondo para

1 1 0 1 a 1 a 1

0 diagrama de 3 variaveis e reconhecenclo n:l agrupamentos, temos: ..

B B

A 1 1 1 . 0

A 0 1 1 0

C C C

parAS => B B

(---il' -1'1 o I\1\ '---rf- j 1

A 1 _1)0 \1 0

'--

C C C

~ Quadra C

\,0Figura 3.41 ,.,

A expressao minimizada sera: S = C + A B

b) A ';; -B .1:: C"""

.,.... "";,!ffi.>~.....- ',' , 0 : ,,"e

0 a a 0 a 1 0 1 a () J 1 :1 0 a '( 0 1

0 .I '( J

'/'1/ht'"I 3. '"

_

,~~~;fr a a a 1 1 a 1 ()

1/,1; 1'1111/ tI,. 11 ,,, 1/, ' , \ III ,/ ' /,!I, ,11., 1, / ,/. - 1'", /III.. I P,':" "',

----

i, : 1I1~;p()lld() para 0 diagrama e agrupando, temos: n B

1\ U 0 1 0

1\ J 0 0 1

C C C

/:igura 3.42

:.S=AC+ABC

(:)

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1

'/illw/(/ .U5

B B 0

A n ()

C 0

1(

( '1I111candn os termos diretamente no diagrama, temos:

B

A 0

AI 0 0 "C C

regiaoABC1i'!lI~lQi\BC regiao ABC;

regiaoABC

Figura 3.48

Tcmos, neste diagrama, 2 pares:

BB -I' ,'i'\1 '1"-- ~parAC0A ,--1 1--'

o 00A III

_/

"Cc:: C 1t parBC

Figura 3.49

A expressao rninirnizada sera: S = A C + BC

b) S = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Transportando diretamente a expressiio para 0 diagrama, temos: regiaoABCD regiaoABCD

regiaoABCD

regiaoABCD

regiaoABCD regiaoABCD

regiao ABeD

regiaoABCD regiaoABCD

Fig/INI 3 .50

12X 1:1,.1111'111,1\" til" 1:1"u bl/ i"1I 1);1';1111".

CC// B11 01

0A 1 n v B

--A 11 00

11 01 B 0D t\.'\. 0

Agrupando os termos no diagrama, temos: quadra SO ~

CI CI

I I B(I' 0IJ

'-_ .... 1 I \1 .... -

1 II 1 I ~ 00 0I I B -"1

-_-D ~parABDA hi 00 1--1--- .... I I ....(101\ '....!) 1I B

1 100 n 0 quadra C 0

Figura 3.51

A expressao simplificada sera: S = A B D + CD + B D

c) S = ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD + ABCD + ABCD.f. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

Passando a expressao para 0 diagrama, temos:

C

ABCD

C ABCD

B1 0 1 0A ABCDABCD

0 1 10 B ABCDABCD ABCD ABCD

1 1 11 A ABCD ABCD

B 1 1

0

0 0

D 0

Figllra 3.52

\/.11"/"" rll' /1",,/, I ~ I/II" "I" "~/I/ tli ( './/. IIIJ ,", I" I~'f- ! ' ._\ I ! -,

,....-

l'it'lll:IlIdil (I,.., agrupamcntos, temos:

I It 'IIII() Isolado: ABC D

I qlladras: AB, CD, BC e AC

A

A

c '1'1'_.I 0 0 0

,- --,,L 1

,..-

0 0

C

fi',i 1 0 I....-!

-t,11I I ~-r--~

1 I

.J.L __1)

B

B

B D D D

Figura 3.53

E import ante ressaltar que uma oitava agrupada representa maior simplifica~ao que uma quadra, e uma quadra agrupada maior simplifica~ao que urn par, e este, maior simplifica~ao que urn termo isolado. Assim sendo, deve-se preferir agrupar em oitavas, e se nao for possivel, em quadras e tambem se nao for possivel, em pares, mesmo que alguns casos ja tenham sido considerados em outros agrupamentos, lembrando sempre, que devemos ter 0 menor numero de agrupamentos possivel.

A expressao final minimizada sera:

S=ABCD+AB+CD+BC+AC

3.9.5 Diagrama para 5 Varhiveis o diagrama de Veitch-Kamaugh para simplificar express5es com 5

variaveis de entrada e visto na figura 3.54. AlAi5 D i5 D

'C 'C

B13 c c

BB

C e I E E E E E

f

d) Regiao onde D 1 :

AlAi'5

c i3 1

B 1

E E

c 1;091

---

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 J 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ] 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 1

JIlhdil 3. 17

u. I 1.1//,11/, ' .. ,I,' /''/''{I "1/1, II 11/.':1/11/

1 0 ()

II 0

() 0 1

() 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Transpondo para 0 diagrama, temos:

parABDE parABDE

A

B par AU 0

/{1' III C0I I I II 4-T

-l"i'11'1 (I1 quadra /\I \( .'-- ~JllB Y 00 0 C

EE/E

I"r,,' parABCD

Figura 3.62

Resumindo OS agrupamentos obtidos, temos:

CDE 2 quadras: ABC{

ABDE

ABCD

5 pares: 1A B D E

Di:i 00 0 0 C

ABDE

ACDE

A expressao minimizada sera:

S CDE+ABC+A~DTI+AR +ABDTI+A~DE+ACDTI

\ 1.1:?/IJ If fl,' JL,~ '/1 II" til ~ 1/(' ('('F~'IIl/fJ\' J 1'I;Jj ,'" L\S

I

28

I. I).S.I Bxercicio Resolvido Numerando os casos das 32 possibilidades das 5 variavcis '/8

I \(. I I. /II< /II, "1,11"/11,01 /lll:tI,t/

E

3.63

Colocando os casos no diagram a, temos: AlA Di'5

0 C0 B

11110Bfftt .. 1 0 e 000 0 0

B 1 0 C B~ I 0 I 0 ole1

E E E E

Figura 3.64

Os agrupamentos obten

elemento de eletronica digital1elemento de eletronica digital2elemento de eletronica digital3elemento de eletronica digital4elemento de eletronica digital5elemento de eletronica digital7elemento de eletronica digital8elemento de eletronica digital9elemento de eletronica digital10elemento de eletronica digital11elemento de eletronica digital12elemento de eletronica digital13elemento de eletronica digital14elemento de eletronica digital16elemento de eletronica digital15elemento de eletronica digital17elemento de eletronica digital18elemento de eletronica digital19elemento de eletronica digital20elemento de eletronica digital21elemento de eletronica digital22elemento de eletronica digital23elemento de eletronica digital24elemento de eletronica digital25elemento de eletronica digital26