Universidade Federal do Rio de Janeiro

EEE 335 Eletromagnetismo II

Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

0 2 4 6 8 10

!0.2

0

0.2

0.4

0.6J0

J1J2 J3

Sobre as notações

❖ Vetores em negrito nos slides!

❖ Sistema SI!

❖ Coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas !

❖ Operador nabla para simplificar notação de rotacional divergente e gradiente

Operador Nabla r❖ Não é um vetor mas pode ser tratado como tal

r = x

@

@x

+ y

@

@y

+ z

@

@z

em coordenadas cartesianas

rf = x

@f

@x

+ y

@f

@y

+ z

@f

@z

gradiente

r · F =@F

x

@x

+@F

y

@y

+@F

z

@z

divergente

r⇥ F = det

2

4x y z

@

@x

@

@y

@

@z

F

x

F

y

F

z

3

5 rotacional

Operador Nabla r❖ Equação de Laplace de um escalar

r2f =

@

2f

@x

2+

@

2f

@y

2+

@

2f

@z

2

❖ Equação de Laplace de um vetor

r2F = x

@

2F

x

@x

2+ y

@

2F

y

@y

2+ z

@

2F

z

@z

2

em outros sistemas de !coordenadas pode ficar

bem estranho

r⇥ (r⇥ F) = r(r · F)�r2F

❖ rotacional de um rotacional (importante para ondas)

Equações de Maxwell❖ Juntam Eletricidade e

Magnetismo!❖ Permitiram o desenvolvimento

de motores, geradores elétricos e da transmissão de energia!

❖ Generaliza Leis de Faraday e Gauss!

❖ Inclui as correntes de deslocamento!

❖ tem validade limitada a dimensões acima de 0,1 mm

Equações de Maxwell❖ Juntam Eletricidade e

Magnetismo!❖ Permitiram o desenvolvimento

de motores e geradores elétricos!

❖ Generaliza a Lei de Faraday e de Gauss!

❖ Inclue as correntes de deslocamento!

❖ tem validade limitada, acima de 0,1 mm

Equações de Maxwell❖ Juntam Eletricidade e

Magnetismo!❖ Permitiram o desenvolvimento

de motores e geradores elétricos!

❖ Generaliza a Lei de Faraday e de Gauss!

❖ Inclue as correntes de deslocamento!

❖ tem validade limitada, acima de 0,1 mm

Formulações das Eq. Maxwell❖ Equações diferenciais envolvendo rotacional, divergente,

gradiente!

❖ melhor para meios semi-infinitos!

❖ usa transformada de Fourier ou Laplace para a solução !

❖ Envolvendo integrais de superfície, linha e volume!

❖ melhor quando as dimensões do problema são conhecidas

Formulações das Eq. Maxwell❖ Tensão induzida por um campo magnético variante no

tempo

Formulações das Equações de Maxwell❖ Tensão induzida por um campo magnético variante no

tempo

Tensão

Na eletrostática a tensão resultante é nula

Formulações das Eq. Maxwell❖ Tensão induzida por um campo magnético variante no

tempo!

❖ Aplicando o teorema de Stokes

Formulações das Equações de Maxwell

❖ Aplicando o teorema de Stokes

=

B = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µHB = µH

Lei de Faraday para Sistemas Móveis❖ Gerador elementar

v =

I

`

E · n d` = � @

@t

ZZ

S

B · dSLei de Faraday para Sistemas Móveis

❖ Gerador Elementar

N S

Corrente de Deslocamento❖ Contribuição de Maxwell para determinar o

comportamento concreto de elementos de circuitos em corrente alternada

Corrente de Deslocamento❖ Contribuição de Maxwell para determinar o

comportamento das correntes alternadas

ANTES DEPOIS

r⇥H = J+@D

@t

❖ Da equação de continuidade da carga

❖ Tem comportamento similar às correntes de condução

Corrente de Deslocamento❖ Contribuição de Maxwell para determinar o

comportamento das correntes alternadas

ANTES DEPOIS

r⇥H = J+@D

@t

❖ Da equação de continuidade da carga

❖ Tem comportamento similar às correntes de condução

Equações de Maxwell ❖ Formulação Diferencial

r·D = ⇢ r·B = 0

r⇥E = �@B

@tr⇥H = J+

@D

@tCorrente de Condução

Corrente de Convecção

Jc = �E

Jcv = ⇢ v⇢Corrente de Deslocamento

D = "E

Equações de Maxwell no Domínio da Frequência❖ Todas as variações temporais passam a ser representadas a

partir de exponenciais complexas�!E (x, y, z, t) ! E (x, y, z,!)

d

dt! j!

Z! 1

j!

E(t) = < [(Er + jEi) exp(j!t)] = Er cos!t�Ei sin!t

Equações de Maxwell Domínio da Frequência

❖ Equações diferenciais viram equações algébricas

r·E =⇢

"r·H = 0

r⇥E = �j!µH r⇥H = Jf + (� + j!")E

❖ Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo magnético

� 1

j!µr⇥ (r⇥E) = (� + j!✏)E

�r (r ·E) +r2E = j!µ (� + j!✏)E

0 ⌘2

Equações de Maxwell Domínio da Frequência

❖ Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo elétrico

r⇥r⇥H = �j!µ (� + j!✏)H r ·H = 0

r2H = ⌘2H

Equações de Maxwell Formulação IntegralI

S

D · dS =

ZZZ

V

⇢ dV

ZZ

S

B · dS = 0

I

`

E · n d` = �j!µ

ZZ

S

H · dS

I

`

H · n d` =

ZZ

S

J · dS+ j!"

ZZ

S

E · dS

Prefere-se a formulação diferencial no domínio da frequência!A gente não gosta tanto assim da matemática!!

Domínio da Frequência & Fasores❖ Transformadas de Fourier & Laplace!

❖ Frequência real ou frequência complexa!!