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Unificacao das generalizacoes do teorema de

Banach-Stone para os espacos C0(K,X)

Fabiano Carlos Cidral

Tese apresentada

ao

Instituto de Matematica e Estatıstica

da

Universidade de Sao Paulo

para

obtencao do tıtulo

de

Doutor em Ciencias

Programa: Matematica

Orientador: Prof. Dr. Eloi Medina Galego

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxılio financeiro da CAPES.

Junho de 2014

Unificacao das generalizacoes do teorema de

Banach-Stone para os espacos C0(K,X)

Agradecimentos

Agradeco a Deus todas as oportunidades concedidas e as pessoas especiais que colocou no

meu caminho. Como dizia Jorge Amado, “A vida me deu muito mais do que eu pedi e muito

mais do que eu mereci”.

Aos meus pais, Antonio Carlos Cidral e Rose maria Back cidral, e ao meu irmao, Felipe

Carlos Cidral, que sempre me incentivaram em cada etapa da minha vida.

A minha namorada, Cristiane Warmling dos Santos, agradeco por todo amor, carinho,

paciencia e compreensao durante todo esse perıodo de muito estudo. Agradeco tambem, de

maneira muito especial, a famılia da Cristiane por todo carinho e apoio nessa trajetoria difıcil.

Ao meu orientador, Professor Eloi Medina Galego, por acreditar em mim e por todos

os conhecimentos adquiridos durante essa caminhada. Agradeco tambem, a sua paciencia em

sanar todas a minhas duvidas e a sua generosidade enorme.

Ao Professor da UFSC, Ivan Pontual Costa e Silva, pela amizade e confianca que muito

me ajudaram a prosseguir nesta caminhada nada facil. Os seus ensinamentos e conselhos

foram fundamentais em todas as etapas de minha formacao academica.

A Professora, Daniela Mariz Silva Vieira, pelo excelente curso de Espacos de Banach

ministrado no segundo semestre de 2012 e pela oportunidade de poder apresentar um seminario

sobre o Teorema de Banach-Stone para os demais alunos.

A todos os meus amigos, em especial Joao Carlos Bez Batti, Lucas Ramiro Talarico,

Andre Vanderlinde, Maurıcio Zahn, Michael Rincon, Estefhan Dazzi Wandekokem, Thiago de

Brum e Joao Goncalves pela convivencia, lealdade e compreensao.

A Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior pelo apoio financeiro.

“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltara ao seu tamanho original.”

Albert Einstein

Resumo

Dado um espaco localmente compacto Hausdorff K e um espaco de Banach X, C0(K,X)

representa o espaco de Banach das funcoes contınuas em K com valores em X que se anulam

no infinito com a norma do supremo. No presente trabalho, unificaremos e melhoraremos

varias generalizacoes do teorema classico de Banach-Stone para os espacos C0(K,X) devidas

a Cambern, Amir, Behrends e Jarosz. No caso em que X = lp com 2 ≤ p < ∞, nossos

resultados sao maximais.

Abstract

Let C0(K,X) denote the Banach space of all X-valued continuous functions defined on the

locally compact Hausdorff space K which vanish at infinity, provided with the supremum

norm. In the present work, we unify and strengthen several generalizations of the classical

Banach-Stone theorem for C0(K,X) spaces due to Cambern, Amir, Behrends and Jarosz. In

the case where X = lp such that 2 ≤ p <∞, our results are optimal.

Conteudo

Introducao xiii

1 Preliminares 1

1.1 Nocoes de topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Conceitos e resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Generalizacoes do teorema de Banach-Stone . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Medidas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Propriedades do parametro λ(X) 25

2.1 Propriedades auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Propriedade fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 O bidual dos espacos C0(K,X) 31

3.1 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Representacao do bidual de C0(K,X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Demonstracao do resultado principal para os espacos C0(K,X) 35

4.1 Observacoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Consequencias do resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Sobre outra generalizacao do teorema de Banach-Stone obtida por Jarosz 49

5.1 O teorema de Jarosz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Problemas em aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Introducao

Neste trabalho K indica o conjunto dos numeros reais R ou o conjunto dos numeros

complexos C. Dado um espaco localmente compacto Hausdorff K e um espaco de Banach

X, C0(K,X) representa o espaco de Banach das funcoes contınuas em K com valores em

X que se anulam no infinito com a norma do supremo. No caso em que K e compacto, o

espaco C0(K,X) sera denotado por C(K,X). Em particular, se X = K, esses espacos serao

identificados, respectivamente, por C0(K) e C(K). Alem disso, se existe um isomorfismo T

de X em Y com ‖T−1‖ ‖T‖ < λ para algum 1 < λ < +∞, a notacao sera X<λ∼ Y . A bola

unitaria de X e a esfera unitaria de X serao identificadas por BX e SX respectivamente.

O Teorema Classico de Banach-Stone afirma que a topologia de um espaco compacto

Hausdorff K e determinada pela estrutura metrica linear do espaco C(K). Mais precisamente,

se K e L sao espacos compactos Hausdorff e existe uma isometria linear T de C(K) sobre

C(L) entao K e L sao homeomorfos (notacao, K ≈ L). Esse resultado foi obtido para os

espacos de funcoes com valores reais por Banach em 1933 para espacos compatos metricos [4]

e estendido por Stone em 1937 para espacos compactos Hausdorff arbitrarios [40]. Em 1947,

Arens e Kelly provaram o resultado para os espacos de funcoes com valores complexos [3].

Alem disso, o resultado ainda e verdadeiro para os espacos C0(K) e C0(L) essencialmente com

a mesma prova [5].

Amir [2] e Cambern [9, 10] generalizaram independentemente o teorema de Banach-Stone

provando que

C0(K)<2∼ C0(L) =⇒ K ≈ L. (1)

Note que (1) e maximal no sentido que 2 e o maior numero possıvel nesse contexto [11, 19].

Em 1974, Cambern [10] comecou a estudar se generalizacoes do teorema de Banach-Stone

para espacos de funcoes com valores vetoriais eram possıveis. Sendo assim, ele obteve a

xiv

primeira versao vetorial de (1) provando que se X e um espaco de Hilbert de dimensao finita

entao

C0(K,X)<√2∼ C0(L,X) =⇒ K ≈ L. (2)

Obviamente (1) nao e um corolario de (2). Onze anos depois, Cambern conseguiu a primeira

extensao vetorial de (1) para espacos compactos Hausdorff K e L. De fato, ele provou em [14,

p. 244] que para todo espaco de Banach uniformemente convexo X,

C(K,X)<α∼ C(L,X) com α =

1

1− δX(1)=⇒ K ≈ L. (3)

Como δR(1) = 1/2, segue que (3) generaliza (1) para espacos compactos Hausdorff K e L.

Em 1988, Beherends e Cambern [7] concentraram suas atencoes em isomorfismos com

pequenas distorcoes entre espacos C0(K,X). Dessa forma, eles melhoraram o teorema de

Cambern (3) mostrando que os espacos uniformente convexos tem a propriedade isomorfica

de Banach-Stone ( IBSP) [6]. Mais precisamente, eles demonstraram em [7, p. 24] que se

λB−C(X∗) > 1 entao

C0(K,X)<α∼ C0(L,X) com α =

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)=⇒ K ≈ L. (4)

De fato, uma vez que ||T ||||T−1|| = 1 + δ < α e λB−C(X∗) > 1 entao δ satisfaz a condicao

0 < δ <λB−C(X∗)− 1

1 + 10λB−C(X∗). (5)

Logo, pelo Teorema 3.4 de [7], os espacos uniformente convexos tem a propriedade IBSP pois

0 <1 + δ

1− 10δ< λB−C(X∗). (6)

Uma observacao interessante e que a condicao λB−C(X∗) > 1 coincide no caso real com o fato

que X e um espaco uniformemente nao quadrado. Portanto, espacos uniformente convexos X

tem a propriedade λB−C(X∗) > 1 [7, p. 16].

Um ano depois, Jarosz [31] investigava ε-isometrias sobrejetivas entre espacos de Banach

de funcoes contınuas com valores vetoriais.

Como consequencia, ele obteve uma nova prova para o teorema de Behrends e Cambern

(4) mas com uma constante α diferente. Jarosz definiu o parametro

µ(X) := sup{min{‖x1 + λx2‖ : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}

e mostrou em [31, p. 313] que se µ(X∗) < 2 entao

C0(K,X)<α∼ C0(L,X) com α =

4

2 + µ(X∗)=⇒ K ≈ L. (7)

Um fato importante e que a condicao µ(X∗) < 2 e equivalente a condicao λB−C(X∗) > 1, veja

Observacao 2.2. O ponto de partida do nosso trabalho e a seguinte inequacao envolvendo as

constantes α do teorema de Behrends e Cambern (4) e do teorema de Jarosz (7):

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)<

4

2 + µ(X∗), (8)

para todo espaco de Banach real X, veja Proposicao 2.3.

Dessa forma, tendo em vista (4), (7) e (8) e natural perguntar se e possıvel melhorar ainda

mais a constante do teorema de Jarosz (7) pelo menos no caso real. Com o objetivo de oferecer

uma resposta afirmativa para o problema acima (Teorema 1 e Observacao 2.5), precisamos

considerar um novo parametro introduzido por Jarosz em [31].

Dado um espaco de Banach X, Jarosz associou ao espaco X o parametro

λ(X) := inf{max{‖x1 + λx2‖ : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}.

A condicao λ(X) > 1 e equivalente a condicao µ(X∗) < 2, veja Observacao 2.2. Assim,

podemos enunciar o principal resultado desse trabalho em termos da constante de Banach-

Stone BS(X).

Teorema 1 Se X um espaco de Banach real com λ(X) > 1 ou um espaco de Banach complexo

reflexivo com λ(X) > 1 entao λ(X) ≤ BS(X).

xvi

Teorema 1 foi inspirado por outro teorema de Jarosz. Em [31, p. 299], ele mostrou que se

X e um espaco de Banach com λ(X) > 1 e K e L sao espacos metricos localmente compactos

entao

C0(K,X)<α∼ C0(L,X) com α = λ(X) =⇒ K ≈ L. (9)

Nossa principal tarefa e estender o resultado de Jarosz (9) para espacos localmente compactos

Hausdorff arbitrarios K e L no caso em que X e um espaco de Banach real ou um espaco de

Banach complexo reflexivo.

A seguir destacaremos as principais consequencias do Teorema 1.

Primeiramente, observe que o resultado de Amir e Cambern (1) segue diretamente dele

pois λ(K) = 2. Alem disso, o resultado de Cambern (2) tambem segue imediatamente do

Teorem 1, pois λ(X) =√

2 para todo espaco de Hilbert X de dimensao finita maior do que

ou igual a 2 [31, p. 298].

Para mostar que o Teorema 1 melhora o resultado de Cambern (3), provaremos na

Observacao 2.1 que para todo espaco de Banach uniformemente convexo X com dimensao

maior do que ou igual a 2,

1

1− δX(1)< λ(X).

Mais ainda, Teorema 1 tambem melhora o resultado de Behrends e Cambern (4). De fato,

mostraremos na Proposicao 2.4 que para todo espaco de Banach X com λB−C(X∗) > 1,

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)< λ(X).

No caso em que X e um espaco de Banach real, Teorema 1 melhora o resultado de Jarosz (7)

pois na Proposicao 2.5 demonstraremos que

4

2 + µ(X∗)< λ(X). (10)

No caso em que X e um espaco de Banach complexo reflexivo, o resultado de Jarosz (7)

e um corolario do Teorema 1 pois na Observacao 2.6 provaremos que para todo espaco de

Banach X

4

2 + µ(X∗)≤ λ(X). (11)

Finalmente, na Proposicao 2.7, mostraremos que o Teorema 1 e maximal para os espacos

de Banach X = lp com 2 ≤ p <∞. Mais precisamente, mostraremos que

BS(X) = λ(X) = 21/p. (12)

O restante do trabalho esta organizado da seguinte maneira.

No capıtulo 1, para fixarmos algumas notacoes e conceitos, lembraremos as nocoes basicas

de topologia, espacos de Banach e medidas vetoriais. Nesse mesmo capıtulo apresentaremos

alguns resultados desses tres topicos que serao utilizados na tese.

No capıtulo 2, apresentaremos propriedades importantes do parametro λ(X), sendo que

a principal delas tera um papel primordial na demonstracao do Teorema 1. No capıtulo 3,

introduziremos uma representacao do bidual dos espacos C0(K,X) analoga aquela obtida por

Cambern em [13] para os espacos C(K,X). Esse resultado sera fundamental na prova do

Teorema 1. No capıtulo 4, provaremos o Teorema 1 e suas principais consequencias.

Finalmente, no capıtulo 5, consideramos a ultima generalizacao do teorema de Banach-

Stone para os espacos C0(K,X) que encontramos na literatura. Ela foi obtida por Jarosz.

Entao mostramos que no caso em que X e X∗ tenha a mesma constante de James, esse

resultado tambem e uma consequencia do teorema principal desta tese. A consideracao do

caso em que X e X∗ nao tem a mesma constante de James levou-nos a uma conjectura

envolvendo essa constante de espacos de Banach.

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo apresentaremos algumas definicoes e resultados basicos da topologia geral que

que serao utilizados de maneira implıcita ao longo do nosso trabalho.

1.1 Nocoes de topologia

Definicao 1.1 Uma topologia em um conjunto X e uma colecao τ de subconjuntos de X,

chmados abertos de X, satisfazendo as seguintes condicoes:

(1) O conjunto vazio e o conjunto X pertencem a τ ;

(2) Qualquer uniao de elementos de τ e um elemento τ ;

(3) Qualquer intersecao finita de elementos de τ pertence a τ .

Neste caso, dizemos que (X, τ) e um espaco topologico, que naturalmente abreviaremos

para X quando nao houver perigo de ambiguidade ou de imprecisao. Um subconjunto F de

X e chamado de fechado se o seu complementar for aberto, isto e, X − F ∈ τ .

Definicao 1.2 Sejam X e Y espacos topologicos. Uma funcao f : X → Y e contınua

quando, para todo aberto B em Y , a imagem inversa f−1(B) e um aberto em X.

Observacao 1.3 A relacao (g◦f)−1(B) = f−1(g−1(B)) mostra que a composta g◦f : X → Z

de duas funcoes contınuas f : X → Y e g : Y → Z e uma funcao contınua.

2 Preliminares

Definicao 1.4 Sejam τ e τ ′ duas topologias em X. Dizemos que τ e mais fina do que τ ′

quando τ ′ ⊂ τ , isto e, quando todo aberto segundo τ ′ for necessariamente aberto segundo τ .

Analogamente, dizemos que τ e menos fina do que τ ′ quando τ ⊂ τ ′.

Exemplo 1.5 Sejam S um conjunto arbitrario, X um espaco topologico e f : S → X uma

funcao. A colecao τ das imagens inversas f−1(B) dos abertos B de X e uma topologia em S

pois⋃λ f−1(Bλ) = f−1(

⋃λBλ) e f−1(B1)∩f−1(B2)∩· · ·∩f−1(Bn) = f−1(B1∩B2∩· · ·∩Bn).

A topologia τ e chamada topologia induzida em S pela funcao f : S → X.

Observacao 1.6 Se S tem a topologia induzida pela funcao f : S → X entao, pela propria

definicao, a imagem inversa f−1(B) de cada aberto B de X e aberto em S. Sendo assim,

f : S → X e contınua. Alem disso, qualquer outra topologia em S na qual f : S → X

seja contınua deve conter como abertos pelo menos os conjuntos f−1(B) com B aberto de X.

Portanto, a topologia induzida por f : S → X e a menos fina dentre todas as topologias em S

que tornam a funcao f : S → X contınua. Essa propriedade caracteriza a topologia induzida.

Observacao 1.7 O caso particular mais importante da topologia induzida e aquele em que

S ⊂ X e f e a aplicacao inclusao i : S → X. Nessa situacao, dado B ⊂ X aberto temos que

i−1(B) = B ∩ S. Sendo assim, a topologia induzida por i : S → X em S tem como abertos as

intersecoes B ∩ S dos abertos B de X com o subconjunto S. Munido com essa topologia, S e

chamado um subespaco do espaco topologico X.

Definicao 1.8 Seja X um espaco topologico e x ∈ X. Dizemos que V e uma vizinhanca de

x quando existe um aberto U ⊂ X tal que x ∈ U ⊂ V . Quando a vizinhanca V e um conjunto

aberto, dizemos que V e uma vizinhanca aberta de x.

Definicao 1.9 Seja X um espaco topologico e x ∈ X. Dizemos que uma colecao Vx de

subconjuntos de X e um sistema fundamental de vizinhancas de x quando as seguintes

condicoes forem satisfeitas:

(1) Cada V em Vx e uma vizinhanca de x;

(2) Cada vizinhanca de x contem algum elemento de Vx.

Preliminares 3

Definicao 1.10 Se Vx e um sistema fundamental de vizinhancas de um ponto x ∈ X e se os

elementos de Vx sao conjuntos abertos, entao dizemos que Vx e uma base local para o ponto

x ou que Vx e um sistema fundamental de vizinhancas abertas de x.

Definicao 1.11 Sejam X e Y espacos topologicos. Um homeomorfismo h : X → Y e uma

funcao contınua cuja inversa h−1 : Y → X tambem e uma funcao contınua.

A seguir, introduziremos o conceito de redes, que e uma generalizacao do conceito de sequencia

muito util na descricao de topologias em geral. As redes foram introduzidas por E. Moore e

H. Smith em 1922.

Definicao 1.12 Um conjunto dirigido e um par (B,≤) na qual ≤ e uma direcao no

conjunto B, isto e, uma relacao em B tal que:

(1) β ≤ β para todo β ∈ B;

(2) Se β1, β2, β3 ∈ B, β1 ≤ β2 e β2 ≤ β3 entao β1 ≤ β3;

(3) Para todos β1, β2 ∈ B existe β3 ∈ B tal que β1 ≤ β3 e β2 ≤ β3.

Definicao 1.13 Uma rede em um conjunto X e uma funcao R : B → X, em que B e

um conjunto dirigido. Usualmente se denota R(β) por xβ, e neste caso nos referimos a rede

(xβ)β∈B.

Definicao 1.14 Dizemos que uma rede (xβ)β∈B no espaco topologicoX converge para x ∈ X

e neste caso escrevemos xβ → x, se para cada vizinhanca U de x existe β0 ∈ B tal que xβ ∈ U

para todo β ≥ β0.

Exemplo 1.15 Sejam X um espaco topologico, x ∈ X e Vx um sistema fundamental de

vizinhancas de x. A relacao de continencia invertida U1 ≤ U2 ⇔ U2 ⊆ U1 torna Vx um

conjunto dirigido. Nesse caso, escolhendo xU ∈ U para cada U ∈ Vx, temos uma rede (xU)U∈Vx

em X que converge para x.

Proposicao 1.16 Sejam X e Y espaco topologicos. Uma funcao Uma funcao f : X → Y e

contınua se, e somente se, f(xβ)→ f(x) para toda rede (xβ)β∈B em X tal que xβ → x.

4 Preliminares

Demonstracao. Veja a referencia [8, p. 356].

�

Os espacos topologicos mais interessantes satisfazem ainda a condicao de que pontos distintos

podem ser “separados” por abertos disjuntos.

Definicao 1.17 Um espaco topologico X e espaco de Hausdorff quando, dados dois pontos

arbitrarios x 6= y em X, existe abertos A,B ⊂ X tais que x ∈ A, y ∈ B e A ∩B = ∅.

Proposicao 1.18 Se X e um espaco topologico de Hausdorff entao {x} e um subconjunto

fechado para todo x ∈ X.


�

Proposicao 1.19 (Unicidade do limite) Um espaco X e de Hausdorff se, e somente se, toda

rede em X converge para no maximo um elemento de X.


�

Definicao 1.20 Seja X um espaco topologico e S ⊂ X. Um ponto x ∈ X e aderente a S

quando toda vizinhanca de x em X contem pelo menos um ponto de S.

O conjunto dos pontos de X que sao aderentes a S e chamado fecho de S cuja notacao e S.

Definicao 1.21 Seja X um espaco topologico, V um espaco vetorial e f : X → V uma

funcao. O suporte de f e o conjunto supp(f) = {x ∈ X / f(x) 6= 0}.

Definicao 1.22 Seja X um espaco topologico e S ⊂ X. Um ponto x ∈ X e um ponto de

acumulacao de S quando toda vizinhanca de x em X contem pelo menos um ponto de S

distinto do ponto x. O conjunto dos pontos de acumulacao de S e chamado derivado de S

cuja notacao e S ′.

Definicao 1.23 Seja X um espaco topologico e S ⊂ X. Um ponto x ∈ X e um ponto

isolado de S quando x ∈ X − S ′.

Preliminares 5

Exemplo 1.24 Se X e um espaco topologico e A ⊆ X e um subconjunto finito entao seus

elementos sao pontos isolados.

Definicao 1.25 Seja X um espaco topologico e S ⊂ X. Uma cobertura de S e uma famılia

C = (Cλ)λ∈L de subconjuntos de X com S ⊂⋃λ∈LCλ. Dizemos que uma cobertura C e aberta

(fechada) quando os conjuntos Cλ sao abertos (fechados). Do mesmo modo, dizemos que C

e uma cobertura finita, enumeravel ou nao-enumeravel quando o conjunto L de ındices

e finito, enumeravel ou nao-enumeravel.

Definicao 1.26 Seja X um espaco topologico, S ⊂ X e C = (Cλ)λ∈L uma cobertura de S.

Uma subcobertura de C e uma subfamılia C ′ = (Cλ′)λ′∈L′ com L′ ⊂ L que ainda e uma

cobertura de S.

Definicao 1.27 Um espaco topologico X e compacto quando toda cobertura aberta de X

possui uma subcobertura finita. Um subconjunto S ⊂ X de um espaco topologico X e um

subconjunto compacto quando S com a topologia induzida de X e um espaco compacto.

Exemplo 1.28 Todo espaco topologico finito e evidentemente compacto.

Proposicao 1.29 Seja X um espaco topologico compacto. Se F ⊂ X e fechado entao F e

compacto.


�

Proposicao 1.30 Seja X um espaco topologico de Hausdorff. Se K ⊂ X e um subconjunto

compacto entao K e fechado em X.


�

Proposicao 1.31 Sejam X e Y espacos topologicos e f : X → Y uma funcao contınua. Se

K ⊂ X e um subconjunto compacto de X entao f(K) e um subconjunto compacto de Y .

6 Preliminares


�

Proposicao 1.32 Se X e um espaco topologico compacto entao toda funcao real contınua

f : X → R e limitada e atinge os seus extremos.


�

Definicao 1.33 Um espaco topologico X e normal quando para todo par de conjuntos fe-

chados F,G ⊂ X com F ∩ G = ∅ existem abertos U, V ∈ X tais que F ⊂ U , G ⊂ V e

U ∩ V = ∅.

Proposicao 1.34 (Lema de Urysohn) Se X e um espaco normal e F,G ⊂ X sao conjuntos

fechados disjuntos entao existe uma funcao contınua f : X → [0, 1] tal que f(x) = 0 para todo

x ∈ F e f(x) = 1 para todo x ∈ G.


�

Definicao 1.35 Um espaco topologicoX e localmente compacto quando todo ponto x ∈ X

possui uma vizinhanca compacta.

Exemplo 1.36 Todo espaco topologico compacto X e localmente compacto pois o espaco

inteiro e uma vizinhanca compacta de qualquer um dos seus pontos.

Proposicao 1.37 Se X e um espaco localmente compacto Hausdorff entao as vizinhancas

compactas de cada ponto x ∈ X constituem um sistema fundamental de vizinhancas.


�

Preliminares 7

1.2 Espacos de Banach

1.2.1 Conceitos e resultados basicos

Para facilitar o leitor lembraremos nesta subsecao alguns resultados bem conhecidos da geome-

tria de espacos de Banach. Alguns deles serao usados mais para frente sem mencao implicita.

Definicao 1.38 Seja X e um espaco vetorial. Uma norma em X e uma funcao || · || : X → R

que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) ||x|| ≥ 0 para todo x ∈ X;

(b) ||x|| = 0 se e somente se x = 0;

(c) ||λx|| = |λ|||x|| para todo λ ∈ K e x ∈ X;

(d) ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| para todo x, y ∈ X

Observacao 1.39 A desigualdade (d) e chamada de desigualdade triangular. O espaco

vetorial X munido com a norma || · || e chamado de espaco normado. O espaco X e chamado

de espaco de Banach se for completo com relacao a metrica natural d(x, y) = x− y.

A seguir, veremos alguns exemplos de espacos de Banach.

Exemplo 1.40 Sejam K um espaco localmente compacto Hausdorff e X um espaco de Ba-

nach. Vamos denotar por C0(K,X) o espaco de todas as funcoes contınuas definidas em K e

com valores em X que se anulam no infinito, isto e, para cada ε existe um compacto M ⊂ K

tal que ||f(x)|| < ε para todo x /∈ M . Defina em C0(K,X) a funcao || · || : C0(K,X) → R

dada por

||f || = supx∈K||f(x)||.

Sendo assim, || · || : C0(K,X) → R e uma norma em C0(K,X) e C0(K,X) e um espaco de

Banach.

Exemplo 1.41 Dado 1 ≤ p <∞, seja lp = {x = (xj)j∈N ⊂ K /∑∞

j=1 |xj|p <∞}. Defina em

lp a funcao || · || : lp → R dada por

||x|| = (∞∑j=1

|xj|p)1p .

Sendo assim, || · || : lp → R e uma norma em lp e lp e um espaco de Banach.

8 Preliminares

Exemplo 1.42 Seja l∞ = {x = (xj)j∈N ⊂ K / sup |xj| < ∞}. Defina em l∞ a funcao

|| · || : l∞ → R dada por ||x|| = sup |xj|. Sendo assim, || · || : l∞ → R e uma norma em l∞ e l∞

e um espaco de Banach.

Exemplo 1.43 Seja (X,Σ, µ) um espaco de medida, ou seja, X e um conjunto nao-vazio, Σ

e uma σ-algebra de subconjuntos de X e µ : Σ → [0,∞] e uma medida. Dado 1 ≤ p < ∞,

denotaremos por Lp(X,Σ, µ) o conjunto das classes de equivalencias das funcoes mensuraveis

f : X → K tais que∫X|f |pdµ < ∞ dada pela relacao f ∼ g quando f(x) = g(x) µ-quase

sempre. Condidere a funcao || · || : Lp(X,Σ, µ)→ R dada por

||[f ]||p = (

∫X

|f |pdµ)1p .

Sendo assim,|| · || : Lp(X,Σ, µ)→ R e uma norma e Lp(X,Σ, µ) e um espaco de Banach.

Definicao 1.44 Dois espacos de Banach X e Y sao isomorfos quando existe uma aplicacao

linear contınua bijetiva T : X → Y cuja inversa tambem e uma aplicacao linear contınua.

Neste caso, a aplicacao T e uma isomorfismo.

Definicao 1.45 Sejam X e Y espacos de Banach isomorfos e T : X → Y um isomorfismo. A

distorcao de T e o numero ||T ||||T−1||.

Definicao 1.46 A distancia de Banach-Mazur entre espacos de Banach X e Y isomorfos

e d(X, Y ) = inf{ ||T || ||T−1|| : T : X→Y e isomorfismo}.

Definicao 1.47 Dois espacos de Banach X e Y sao isometricamente isomorfos quando

existe um isomorfismo T : X → Y tal que, para todo x ∈ X, tem-se ||T (x)|| = ||x||. Neste

caso, a aplicacao T e uma isometria.

Definicao 1.48 Sejam X um espaco de Banach. O dual de X, representado por X∗, e o

conjunto de todos os funcionais lineares de X, isto e, o conjunto de todas as aplicacoes

lineares contınuas φ : X → R.

Proposicao 1.49 O dual de um espaco de Banach X e um espaco de Banach.

Preliminares 9


�

Proposicao 1.50 Se 1 ≤ p < ∞ entao o dual de lp e isometricamente isomorfo a lq em que

1 < q ≤ ∞ e 1p

+ 1q

= 1.


�

Definicao 1.51 Seja X um espaco de Banach. O dual de X∗, representado por X∗∗, e o

bidual de X.

Proposicao 1.52 Seja X um espaco de Banach e J : X → X∗∗ dada por J(x)(φ) = φ(x). A

aplicacao J e um isomorfismo isometrico entre X e um subespaco de X∗∗.


�

Observacao 1.53 A aplicacao J : X → X∗∗ e chamada imersao canonica.

Definicao 1.54 Um espaco de Banach X e chamado reflexivo quando J e sobrejetora.

Exemplo 1.55 Dado 1 < p <∞, o espaco lp e reflexivo.

Exemplo 1.56 Os espacos l1 e l∞ nao sao espacos reflexivos.

Proposicao 1.57 Um espaco de Banach X e reflexivo se e somente X∗ tambem e reflexivo.


�

Teorema 1.58 Se K e um espaco topologico localmente compacto entao existe um espaco

topologico compacto tal que C0(K)∗∗ ∼= C(Z). Alem disso, se K0 e o conjunto dos pontos

isolados de Z entao cada ponto de K0 e da forma tx para algum x ∈ K, em que t : K → Z e

uma imersao natural de K em Z e todo ponto da forma tx e um ponto isolado de Z.

10 Preliminares


�

Definicao 1.59 Seja X e um espaco vetorial. Um produto interno em X e uma funcao

<>: X ×X → R que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >;

(b) < λx, z >= λ < x, z >;

(c) < x, z > =< z, x >;

(d) < x, x >≥ 0;

(e) < x, x >= 0 se e somente se x = 0

Definicao 1.60 Um espaco vetorial X com produto interno e um espaco de Hilbert quando

for completo com a norma definida pelo produto interno.

Exemplo 1.61 l2 e um espaco de Hilbert pois < (xj)j∈N, (yj)j∈N >=∑∞

j=1 xjyj define um

produto interno.

Proposicao 1.62 Todo espaco de Hilbert X e reflexivo.


�

Teorema 1.63 (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaco normado e M um subespaco

de X. Se φ0 ∈M∗ entao existe φ ∈ X∗ tal que φ(x) = φ0(x) para todo x ∈M e ||φ|| = ||φ0||.


�

Corolario 1.64 Seja X um espaco normado. Dado x0 ∈ X nao nulo, existe φ ∈ X∗ tal que

||φ|| = 1 e φ(x0) = ||x0||.

Preliminares 11


�

Definicao 1.65 Um espaco de Banach X e chamado uniformemente convexo se para todo

0 < ε ≤ 2 existe 0 < δ < 1 tal que para todo x, y ∈ X satisfazendo

||x|| = ||y|| = 1 e ||x− y|| ≥ ε temos

∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ ≤ 1− δ.

Definicao 1.66 Seja X um espaco de Banach. Dado 0 ≤ ε ≤ 2, o modulo de convexidade

de X e definido por

δX(ε) = inf{1− 1

2||x+ y|| / ||x|| = ||y|| = 1 e ||x− y|| ≥ ε}.

Proposicao 1.67 Se X e um espaco de Banach e 0 ≤ ε1 < ε2 ≤ 2 entao

δX(ε2)− δX(ε1)

ε2 − ε1≤ 1− δX(ε1)

2− ε1.

Demonstracao. Veja a referencia [28, Teorema 3.1].

�

Proposicao 1.68 Se X e um espaco de Banach uniformemente convexo entao o modulo de

convexidade δX e estritamente crescente em [0, 2].


�

Proposicao 1.69 Se X e um espaco de Banach, entao para todo 0 < ε ≤ 2,

δX(ε) ≤ 1−√

1− ε2

4.


�

12 Preliminares

Proposicao 1.70 (Desigualdades de Clarkson) Se 2 ≤ p <∞ e x, y ∈ Slp entao

2(‖x‖p + ‖y‖p)q−1 ≤ ‖x+ y‖q + ‖x− y‖q

em que 1/p+ 1/q = 1. Por outro lado, se 1 < p ≤ 2 e x, y ∈ Slp entao

‖x+ y‖q + ‖x− y‖q ≤ 2[‖x‖p + ‖y‖p]q−1

em que 1/p+ 1/q = 1.


�

Como consequencia das desigualdades de Clarkson, segue os proximos exemplos.

Exemplo 1.71 Se 1 < p <∞ entao lp e uniformemente convexo.

Exemplo 1.72 Se 1 < p <∞ entao Lp(X,Σ, µ) e uniformemente convexo.

Proposicao 1.73 Se X e espaco de Hilbert entao X e uniformemente convexo.


�

Proposicao 1.74 Se X e um espaco uniformemente convexo entao X e reflexivo.


�

Definicao 1.75 Um espaco de Banach X e uniformemente nao quadrado quando existe

0 < δ < 1 tal que para todo x, y ∈ X com ||x|| = ||y|| = 1 temos que

||x+ y|| ≤ 2(1− δ) ou ||x− y|| ≤ 2(1− δ).

Exemplo 1.76 Se 1 < p <∞ entao lp e uniformemente nao quadrado.

Preliminares 13

Exemplo 1.77 O espaco de Banach l1 nao e um espaco uniformemente nao quadrado.

Proposicao 1.78 Se X e um espaco uniformemente convexo entao X e uniformemente nao

quadrado.

Demonstracao. Segue imediatamente da definicao.

�

A seguir, vamos recordar uma topologia muito importante no estudo dos espacos de Banach.

Definicao 1.79 Seja X um espaco de Banach e J : X → X∗∗ a imersao canonica. A topologia

fraca-estrela* de X∗ e a topologia menos fina tal que todos os funcionais lineares na imagem

J(X) sao contınuos.

Proposicao 1.80 Se X um espaco de Banach entao X∗ munido com a topologia-fraca* e um

espaco topologico Hausdorff.


�

1.2.2 Generalizacoes do teorema de Banach-Stone

Nesta subsecao apresentamos os conceitos e principais resultados envolvendo as generalizacoes

do teorema de Banach-Stone desde a decada de 40.

Teorema 1.81 (Teorema de Banach-Stone) Sejam K e L sao espacos topologicos localmente

compactos Hausdorff. Se T : C0(K)→ C0(L) sao isometricamente isomorfismos entao K e L

sao homeomorfos.


�

Observacao 1.82 O Teorema Classico de Banach-Stone foi obtido para os espacos de funcoes

com valores reais por Banach em 1933 para espacos compatos metricos [4] e estendido por Stone

em 1937 para espacos compactos Hausdorff arbitrarios [40]. Em 1947, Arens e Kelly provaram

o resultado para os espacos de funcoes com valores complexos [3].

14 Preliminares

A primeira generalizacao do Teorema de Banach-Stone foi obtida, independentemente, pelos

matematicos Amir [2] e Cambern [9, 10]. Eles mostraram que nao era necessario que os espacos

fossem isometricamente isomorfos. Na verdade, basta que os espacos sejam isomorfos com

distorcao menor do que 2. Esse resultado ficou conhecido como o Teorema de Amir-Cambern.

Teorema 1.83 (Teorema de Amir-Cambern) Sejam K e L sao espacos localmente compactos

Hausdorff. Se T : C0(K)→ C0(L) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < 2

entao K e L sao homeomorfos.

Demonstracao. Veja as referencias [2, p. 206], [9, p. 396] e [10, p. 1062].

�

Observacao 1.84 Cambern provou que 2 e o maior numero possıvel nesse contexto exibindo

em [11] dois espacos localmente compactos HausdorffK e L comK compacto e L nao compacto

e um isomorfismo T : C0(K) → C0(L) tal que ||T ||||T−1|| = 2. Um contra-exemplo para o

caso em que K e L sao compactos e apresentado por Cohen em [19].

Na decada de 70, Cambern [12] obteve o primeira generalizacao vetorial para o teorema de

Banach-Stone considerando espacos de Hilbert de dimensao finita maior do que 2. Nesse caso,

basta que os espacos sejam isomorfos com distorcao menor do que√

2.

Teorema 1.85 Sejam K e L espacos localmente compactos Hausdorff e H espaco de Hilbert

de dimensao finita maior do que 1. Se T : C0(K,H)→ C0(L,H) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| <√

2



�

Preliminares 15

Em 1985, Cambern obteve uma extensao vetorial do teorema de Banach-Stone para espacos

compactos Hausdorff K e L considerando espacos de Banach uniformemente convexo X.

Teorema 1.86 Sejam K e L espacos topologicos compactos Hausdorff e X um espaco de

Banach uniformemente convexo. Se T : C(K,X)→ C(L,X) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < (1− δX(1))−1



�

Observacao 1.87 Como δR(1) = 1/2, Teorema 1.86 generaliza o teorema de Amir-Cambern

para espacos compactos Hausdorff K e L.

Observacao 1.88 O Teorema 1.86 tem importancia crucial nesse trabalho. Utilizaremos as

tecnicas de demonstracao desse resultado para provar o teorema principal no capıtulo 4. Alem

disso, necessitamos da generalizacao de um argumento que sera discutida no capıtulo 3.

Definicao 1.89 Um espaco de Banach X possui a propriedade isomorfica de Banach-

Stone (IBSP) se existe α > 1 tal que para todos espacos localmente compactos Hausdorff K

e L e para todos isomorfismos T : C0(K,X) → C0(L,X) com ||T || ||T−1|| < α temos que os

espacos K e L sao homeomorfos.

Observacao 1.90 Note que, para cada espaco de Banach X que possui IBSP, os possıveis

valores de α tem um limite superior. De fato, inspirados por Cambern em [10], considere

K = {−1/n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ {n : n ∈ N}

e

L = {−1/n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ {1/n : n ∈ N}.

Defina T : C0(K,X)→ C(L,X) dada por

16 Preliminares

T (g)(x) =

g(0) se x = 0,

g(n) + g(−1/n) se x = 1/n,

−g(n) + g(−1/n) se x = −1/n.

(1.1)

Sendo assim, e facil ver ‖T‖‖T−1‖ = 2 e K nao e homeomorfo a L.

Essa observacao nos motiva a introduzir a seguinte definicao:

Definicao 1.91 A constante de Banach-Stone BS(X) de um espaco de Banach X que

possui IBSP e o maior 1 < α ≤ 2 que satisfaz a Definicao 1.89.

Observacao 1.92 Note que um numero real 1 < α ≤ 2 satisfaz a Definicao 1.89 para algum

espaco de Banach X se e somente se 1 < α ≤ BS(X).

Definicao 1.93 Seja X um espaco de Banach. A constante de Behrends-Cambern e o

numero

λB−C(X) = inf{d(l21, X′) : X ′ ⊂ X, dim(X ′) = 2},

em que l21 e o espaco K2 com a norma do l1.

Em 1988, Beherends e Cambern mostraram em [7] que os espacos uniformente convexos tem

a propriedade IBSP.

Teorema 1.94 Sejam K e L espacos compactos Hausdorff e X um espaco de Banach com

λB−C(X∗) > 1. Se existe um isomorfismo T : C(K,X)→ C(L,X) que satisfaz a condicao

||T || ||T−1|| < 11λB−C(X∗)/(1 + 10λB−C(X∗)),

entao K e L sao espacos homeomorfos.


�

Observacao 1.95 A condicao λB−C(X∗) > 1 coincide no caso real com o fato que X e

um espaco uniformemente nao quadrado. Portanto, espacos uniformente convexos X tem a

propriedade λB−C(X∗) > 1, veja [7, p. 16].

Preliminares 17

Definicao 1.96 Seja X um espaco de Banach. A constante de James de X e o numero

J(X) = sup{min{||x1 + x2||, ||x1 − x2||} : x1, x2 ∈ SX}.

Proposicao 1.97 Se X e um espaco de Banach de dimensao maior ou igual a 2, entao√

2 ≤

J(X) ≤ 2.


�

Proposicao 1.98 Se X e um espaco de Banach entao temos que

1 + (J(X)− 1)2 ≤ J(X∗) ≤ 1 +√J(X)− 1.


�

Proposicao 1.99 Se X e um espaco de Banach com dimensao maior ou igual a 2 entao

J(X) = sup{ε ∈ (0, 2) : δX(ε) ≤ 1− ε/2}.


�

Definicao 1.100 Seja X um espaco de Banach. A constante de Schaffer de X e o numero

S(X) = inf{max{||x1 + x2||, ||x1 − x2||} : x1, x2 ∈ SX}.

Proposicao 1.101 Se X e um espaco de Banach com dimensao maior ou igual a 2, entao

J(X) · S(X) = 2.

Demonstracao. Veja a referencia [25, p. 4] e [41, p. 608].

�

18 Preliminares

Proposicao 1.102 Se X e um espaco de Banach entao

J(X) = J(X∗∗).


�

Definicao 1.103 Dado um espaco de Banach X, associamos ao espaco X o parametro

µ(X) := sup{min{‖x1 + λx2‖ : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}.

Em 1989, Jarosz introduziu esse parametro e obteve uma nova prova do teorema de Behrends

e Cambern.


µ(X∗) < 2. Se T : C(K,X)→ C(L,X) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < 4/(2 + µ(X∗)),



�

Observacao 1.105 A condicao µ(X∗) < 2 e equivalente a condicao λB−C(X∗) > 1, veja

Proposicao 1.111.

Observacao 1.106 Alem de obter uma nova demonstracao para o teorema de Behrends e

Cambern, Jarosz melhorou o teorema pois, pela Proposicao 2.3,

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)<

4

2 + µ(X∗)

para todo espaco de Banach real X.

Definicao 1.107 Dado um espaco de Banach X, associamos ao espaco X o parametro

λ(X) := inf{max{‖x1 + λx2‖ : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}.

Preliminares 19

Observacao 1.108 Em particular, λ(K) = 2, veja a referencia [31, p. 298].

�

Observacao 1.109 Esse parametro tambem foi introduzido por Jarosz em 1989. Ele sera

fundamental ao longo do trabalho. No proximo capıtulo, provaremos algumas das suas pro-

priedades mais importantes.

Observacao 1.110 Alem disso, dado um espaco de Banach X, Jarosz definiu em [31] o

parametro λ0(X) := inf d(X2, l2∞), em que X2 representa todos os subespacos de dimensao 2

de X e l2∞ e o espaco K2 com a norma do l∞.

A proxima proposicao relaciona todos esses parametros.

Proposicao 1.111 Seja X um espaco de Banach. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(a) µ(X) < 2 se, e somente se, λB−C(X) > 1.

(b) λ0(X) > 1 se, e somente se, λB−C(X∗) > 1.

(c) µ(X) λB−C(X) ≥ 2.

(d) λB−C(X∗) ≤ λ0(X).

(e) 2λ0(X)/1 + λ0(X) ≤ λ(X) ≤ λ0(X).


�

Proposicao 1.112 Seja X um espaco de Banach. Se λB−C(X∗) > 1 entao

λ0(X∗) = λB−C(X∗).


�

20 Preliminares

Proposicao 1.113 Se X e um espaco de Hilbert de dimensao maior que 1 entao λ(X) =√

2.


�

Proposicao 1.114 Existe um espaco de Banach real X de dimensao 2 satisfazendo:

(a) λ(X) =√

8/3.

(b) λ(X∗) = 1 + 1/√

2

Demonstracao. Veja as referencias [33, p. 280] e [1, Exemplo 24].

�

Proposicao 1.115 Se X e um espaco de Banach que satisfaz µ(X) < 2 entao temos que

δX∗(µ(X∗)) = 1− µ(X∗)/2.


�

1.3 Medidas vetoriais

Definicao 1.116 Sejam K um conjunto, A uma σ-algebra de K e X um espaco normado.

Uma funcao µ : A → X e uma medida vetorial quando, para qualquer sequencia (An)n∈N

de elementos dois a dois disjuntos de A, temos que µ(∑∞

n=1An) =∑∞

n=1 µ(An).

Definicao 1.117 Sejam K um conjunto, A uma σ-algebra de K, X um espaco de Banach

e µ : A → X uma medida vetorial. A variacao de µ e a funcao |µ| definida em A tal que

|µ|(A) = sup∑n

k=1 ||µ(Ak)||, em que o supremo e considerado sob todas as particoes finitas

{A1, A2, · · · , An} de A em A. Alem disso, se |µ|(K) < ∞, dizemos que µ tem variacao

limitada.

Preliminares 21

Definicao 1.118 Sejam K um conjunto, A uma σ-algebra de K e X um espaco de Banach.

Uma funcao f : K → X e simples se existem x1, x2, · · · , xn ∈ X e A1, A2, · · · , An ∈ A tais

que f =∑n

k=1 χAkxk.

Observacao 1.119 O conjunto S(K,X) de todas as funcoes simples de K em X e um espaco

vetorial com as operacoes usuais. Alem disso, a funcao || · || : S(K,X) → R dada por

||f || = sup ||f(x)|| e uma norma em S(K,X).


Uma funcao f : K → X e mensuravel se existe uma sequencia (fn)n∈N de funcoes simples

tal que fn → f pontualmente.

Proposicao 1.121 Sejam K um conjunto, A uma σ-algebra de K e X um espaco de Banach.

Se (fn)n∈N e uma sequencia de funcoes mensuraveis de K em X convergindo pontualmente

para f entao f e mensuravel.


�

Medidas vetoriais em duais de espacos de Banach desempenham um papel fundamental no

estudo de funcionais lineares contınuos definidos em espacos de funcoes com valores vetoriais.

Sejam K um conjunto, A uma σ-algebra de K, X um espaco de Banach e µ : A → X∗ uma

medida vetorial limitada. Dada f =∑n

k=1 χAkxk em S(K,X) defina φ(f) =∑n

k=1 µ(Ak)(xk).

Nao e difıcil verificar que φ e um funcional linear contınuo em S(K,X) tal que ||φ|| = |µ|(K).

Seja S(K,X) o complemento de S(K,X), isto e, o espaco das funcoes totalmente mensuraveis.

Dessa forma, existe uma unica extensao φ de φ tal que φ(f) =∫fdµ em que f ∈M(K,X) e

||φ|| = ||φ||.

Dado um espaco topologico K, a menor σ-algebra B(K) formada por todos os conjun-

tos abertos de K e chamada σ-algebra de Borel. Os elementos de B(K) sao chamados

borelianos de K e uma medida definida em B(K) e chamada medida de Borel.

O proximo conceito esta relacionado a medidas de Borel e sera fundamental para o nosso

estudo.

22 Preliminares

Definicao 1.122 Seja K um espaco topologico. Uma medida µ : B(K) → R e regular

quando µ(B) = inf{µ(U) / U e aberto e B ⊂ U} = sup{µ(C) / C e compacto e C ⊂ B} para

todo B ∈ B(K). Alem disso, uma medida vetorial de Borel µ e regular quando |µ| e regular.

Observacao 1.123 Dado um espaco de Banach X, o conjunto M(K,X) das medidas de

Borel µ : B(K) → X regulares de variacao limitada e um espaco vetorial com as operacoes

usuais. Alem disso, a funcao || · || : M(K,X) → R dada por ||µ|| = |µ|(K) e uma norma em

M(K,X).

Proposicao 1.124 Sejam K um espaco de Banach localmente compacto Hausdorff e X um

espaco de Banach. Dado f ∈ C0(K,X), existe uma sequencia (fn)n∈N em S(K,X) convergindo

uniformemente para f tal que ||fn|| ≤ ||f || para todo n ∈ N.


�

Dado um espaco localmente compacto Hausdorff K e um espaco de Banach X, segue da

proposicao 1.124 que C0(K,X) ⊂ S(K,X). Dessa forma, se φ e um funcional linear contınuo

definido em C0(K,X) entao, pelo teorema de Hahn-Banach, existe φ funcional linear contınuo

definido em S(K,X) tal que ||φ|| = ||φ||. Portanto, podemos associar a φ uma medida vetorial

µ : B(K)→ X∗ tal que µ(A)(v) = φ(χAv) em que A ∈ B(K) e v ∈ X. Nao e difıcil verificar

que ||φ|| = |µ|(K) e φ(f) =∫fdµ em que f ∈ C0(K,X). Note que φ nao e unica, assim como

a medida µ correspondente. No entanto, I. Singer mostrou que dentre todas as possıveis µ,

existe apenas uma que pertence a M(K,X). Esse e o resultado do proximo teorema.

Teorema 1.125 (Teorema de Representacao de Singer) Existe um isomorfismo isometrico

entre os espacos C0(K,X)∗ e M(K,X∗) tal que para cada φ ∈ C0(K,X)∗ existe uma medida

µ ∈M(K,X∗) satisfazendo φ(f) =∫fdµ em que f ∈ C0(K,X) e ||φ|| = |µ|(K).


�

Preliminares 23

Observacao 1.126 Em particular, segue que M(K) ∼= C0(K)∗. Uma vez que C0(K) e um

M -espaco abstrato, segue que M(K) e um L1-espaco abstrato, veja [34, p. 25]. Portanto,

M(K) e isometricamente isomorfo a L1(µ), veja [34, p. 135].

Observacao 1.127 M(K) tambem e um ideal fechado no espaco m(K,B(K),R) das medidas

de Borel, veja [34, p. 46].

Lema 1.128 Sejam (Y,Σ) e (Y ′,Σ′) espacos mensuraveis, M eM ′ ideais fechados emm(Y,Σ,R)

e m(Y ′,Σ′,R), respectivamente. Se existe um isomorfismo isometrico T : M →M ′ entao, para

cada espaco de Banach X, existe um isomorfismo isometrico TX : MX →M ′X em que MX e o

espaco de Banach das medidas de Σ em X com variacao limitada (respectivamente M ′X).


�

Proposicao 1.129 Se X e um espaco de Banach entao L1(µ,X) e isometricamente isomorfo

ao produto tensorial injetivo L1(µ)⊗X.


�

Lema 1.130 O espaco de Banach L(X∗,M(X)∗) e isometricamente isomorfo a [X∗⊗M(K)]∗.


�


Uma medida vetorial µ : A → X e absolutamente contınua com relacao a uma medida

positiva λ : A → R e denotamos µ� λ quando limλ(A)→0 µ(A) = 0.

Observacao 1.132 Se (K,Σ, λ) e um espaco de medida e X um espaco de Banach, M(λ,X)

denota o espaco das medidas vetoriais em Σ com valores em X de variacao limitada que sao

absolutamente contınuas com relacao a uma medida positiva λ : Σ→ R. Em particular, M(λ)

e um ideal fechado no espaco m(K,Σ,R).

24 Preliminares

Teorema 1.133 (Radon-Nikodym) Se λ : A → R e uma medida positiva e µ : A → X e uma

medida vetorial de variacao limitada com µ� λ entao existe uma funcao ρ :→ X mensuravel

e integravel tal que µ(A) =∫Aρdλ e |µ|(A) =

∫A|ρ|dλ em que A ∈ A.


�

Definicao 1.134 Um espaco de BanachX tem a propriedade de Radon-Nikodym quando

para todo conjunto K, para toda σ-algebra de K, para toda medida positiva λ : A → R e para

toda medida vetorial de variacao limitada µ : A → X com µ� λ, existe ρ :→ X mensuravel

e integravel tal que µ(A) =∫Aρdλ.

Proposicao 1.135 Se X e um espaco de Banach reflexivo entao X tem a propriedade de

Radon-Nikodym.


�

Proposicao 1.136 Seja X um espaco de Banach. Se X∗ e um espaco reflexivo entao X tem

a propriedade de Radon-Nikodym.

Demonstracao. Segue da Proposicao 1.135 e da Proposicao 1.57.

�

Proposicao 1.137 Seja X um espaco de Banach. Se X tem a propriedade de Radon-

Nikodym entao L1(µ,X) ∼= M(µ,X)


�

Capıtulo 2

Propriedades do parametro λ(X)

O objetivo desse capıtulo e demonstrar algumas propriedades do parametro λ(X) mencionadas

na introducao de trabalho.

2.1 Propriedades auxiliares

Proposicao 2.1 Para todo espaco uniformemente convexo X com dimensao maior ou igual

a 2, temos que1

1− δX(1)< λ(X).

Demonstracao. Como X e um espaco de Banach real, segue das Definicoes 1.103 e 1.107

que J(X) = µ(X) e S(X) = λ(X). Alem disso, pela Proposicao 1.101 , µ(X)λ(X) = 2. Como

X e um espaco de Banach de dimensao maior ou igual a 2, segue da Proposicao 1.99 que

µ(X) = sup{ε ∈ (0, 2) : δX(ε) ≤ 1− ε/2}. (2.1)

Fixe 1 < ε0 <√

2. Pela Proposicao 1.97, temos que J(X) ≥√

2. Sendo assim, µ(X) e o

supremo de

A = {ε ∈ (ε0, 2) : δX(ε) ≤ 1− ε/2}. (2.2)

Seja ε ∈ A. Assim, δX(ε) ≤ 1− ε/2. Como X e uniformemente convexo, a Proposicao 1.68

garante que a funcao δX e estritamente crescente em [0, 2]. Portanto, δX(ε0) < 1 − ε/2 , isto

e, ε < 2(1− δX(ε0)). Consequentemente, por (2.2),

µ(X) ≤ 2(1− δX(ε0)) < 2(1− δX(1)).

26 Propriedades do parametro λ(X)

Logo,1

1− δX(1)<

2

µ(X)= λ(X).

�

Observacao 2.2 Suponha que X e um espaco de Banach. Sendo assim, a Proposicao 1.111

garante µ(X∗) < 2 se, e somente se, λ(X) > 1 se, e somente se, λB−C(X∗) > 1.

Proposicao 2.3 Se X e um espaco de Banach real com λB−C(X∗) > 1 entao

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)<

4

2 + µ(X∗). (2.3)

Demonstracao. De fato, pela primeira desigualdade do item (e) da Proposicao 1.111, temos

que

11λ0(X∗) ≤ 2λ(X∗) + 3, 5λ(X∗) + 5, 5λ0(X

∗)λ(X∗).

Como λB−C(X∗) > 1, segue da Proposicao 1.112 que

λ0(X∗) = λB−C(X∗) > 1. (2.4)

Portanto, pelo item (e) da Proposicao 1.111, λ(X∗) > 1. Consequentemente,

11λ0(X∗) < 2λ(X∗) + 3, 5λ0(X

∗)λ(X∗) + 5, 5λ0(X∗)λ(X∗)

= 2λ(X∗) + 9λ0(X∗)λ(X∗).

Finalmente, utilizando a Proposicao 1.101 e a igualdade (2.4), temos que

11λ0(X∗)µ(X∗) < 4 + 18λ0(X

∗).

Logo, (2.3) e verdadeira.

�

Proposicao 2.4 Se X e um espaco de Banach com λB−C(X∗) > 1 entao

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)< λ(X).

Propriedades do parametro λ(X) 27

Demonstracao. Pela item (d) da Proposicao 1.111, se λ(X) > 1 entao λ0(X) > 1. Alem

disso, os itens (c) e (d) da Proposicao 1.111 garantem que

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)≤ 11λ0(X)

1 + 10λ0(X)<

2λ0(X)

1 + λ0(X)≤ λ(X).

�

Proposicao 2.5 Se X e um espaco de Banach real com λ(X) > 1 entao

4

2 + µ(X∗)< λ(X). (2.5)

Demonstracao. Novamente, µ(X) e λ(X) coincidem com as constantes de James J(X) e de

Schaffer S(X), respectivamente. Portanto, segue da Proposicao 1.98 que

1 + (µ(X)− 1)2 ≤ µ(X∗) ≤ 1 +√µ(X)− 1. (2.6)

A primeira desigualdade de (2.6) pode ser reescrita como

µ(X) ≤ 1 +√µ(X∗)− 1. (2.7)

Por outro lado, como µ(X) · λ(X) = 2, temos que µ(X) < 2. Dessa forma, pela segunda

desigualdade de (2.6), segue que µ(X∗) < 2. Portanto,

1 +√µ(X∗)− 1 <

2 + µ(X∗)

2. (2.8)

Utilizando (2.7) e (2.8), concluımos que

2

λ(X)= µ(X) <

2 + µ(X∗)

2.

Logo, (2.5) e verdadeira.

�

Observacao 2.6 Se X e um espaco de Banach entao

4

2 + µ(X∗)≤ λ(X).

De fato, pelos itens (c) e (d) da Proposicao 1.111, temos que

2 ≤ µ(X∗) λB−C(X∗) ≤ µ(X∗) λ0(X).


Portanto,4

2 + µ(X∗)≤ 2λ0(X)

1 + λ0(X).

Logo, o resultado segue do item (e) da Proposicao 1.111.

Proposicao 2.7 Se X = lp com 2 ≤ p <∞ entao BS(X) = λ(X) = 21/p.

Demonstracao. Primeiramente, note que para todo 2 ≤ p < ∞, temos λ(lp) = 21/p. De

fato, sejam x, y ∈ Slp e λ ∈ K com |λ| = 1. Pela Proposicao 1.70, temos que

2(‖x‖p + ‖y‖p)q−1 ≤ ‖x+ y‖q + ‖x− y‖q (2.9)

em que 1/p+ 1/q = 1. Sendo assim,

2q = 2(‖x‖p + ‖λy‖p)q−1

≤ ‖x+ λy‖q + ‖x− λy‖q

≤ 2 max|λ|=1‖x+ λy‖q ≤ 2

(max|λ|=1‖x+ λy‖

)q.

Consequentemente,

21/p ≤ max|λ|=1‖x+ λy‖.

Portanto, 21/p ≤ λ(lp). Por outro lado, se e1 = (1, 0, 0, . . .) e e2 = (0, 1, 0, . . .) entao

max|λ|=1‖e1 + λe2‖ = 21/p.

Alem disso, vamos provar que BS(lp) ≤ 21/p para todo 2 ≤ p <∞. Com efeito, sejam

K = {1− 1/n : n ∈ N} ∪ {2− 1/n : n ∈ N} ∪ {2}

e

L = {4− 1/n : n ∈ N} ∪ {4}.

Sendo assim, existe um isomorfismo T de C0(K, lp) em C(L, lp) tal que ‖T‖‖T−1‖ = 21/p, veja

a referencia [15, Observacao 1.4]. No entanto, K e L nao sao homeomorfos.

�

Propriedades do parametro λ(X) 29

Observacao 2.8 A desigualdade (2.5) tambem e verdadeira para o caso complexo X = lp,

2 ≤ p < ∞. De fato, e suficiente mostrar que µ(lp) = 21/p para todo 1 < p ≤ 2. Sejam

x, y ∈ Slp e λ ∈ K com |λ| = 1. Novamente, pela Proposicao 1.70, se 1 < p ≤ 2 e 1/p+1/q = 1

entao

‖x+ y‖q + ‖x− y‖q ≤ 2[‖x‖p + ‖y‖p]q−1.

Assim, procedendo como na Proposicao 2.7, temos que

min|λ|=1‖x+ λy‖ ≤ 21/p.

Portanto, µ(lp) ≤ 21/p. Alem disso, se e1 = (1, 0, 0, . . .) e e2 = (0, 1, 0, . . .) entao

min|λ|=1‖e1 + λe2‖ = 21/p.

Observacao 2.9 A primeira parte da prova da Proposicao 2.7 foi obtida por Michael Ricon e

aparecera na tese de doutorado dele. Nos o agradecemos por nos ter permitido coloca-la aqui.

2.2 Propriedade fundamental

A principal ferramenta que sera incorporada nos argumentos utilizados por Cambern em [10]

para obter a demonstracao do Teorema 1 e a proposicao seguinte. Essa proposicao substituira

o [10, Lema 1] do artigo de Cambern.

Proposicao 2.10 Sejam X um espaco de Banach, r ∈ N e η > 0. Dados x1, x2 . . . , x2r

em X com ‖xj‖ ≥ η para todo 1 ≤ j ≤ 2r, existem escalares α1, α2, . . . , α2r ∈ K com

max{|αj| : 1 ≤ j ≤ 2r} ≤ 1 tal que ∥∥∥∥∥2r∑j=1

αjxj

∥∥∥∥∥ ≥ ηλ(X)r.

Demonstracao. Vamos provar por inducao em r. Considere o caso r = 1. Sejam x, y ∈ X

tais que min{‖x‖, ‖y‖} ≥ η. Defina u = x/‖x‖ e v = y/‖y‖. Sendo assim, u, v ∈ SX

e λ(X) ≤ max{‖u + βv‖ : |β| = 1}. Alem disso, existe β0 ∈ K com |β0| = 1 tal que

λ(X) ≤ ‖u+ β0v‖. Se N = min{‖x‖, ‖y‖} entao

ηλ(X) ≤ Nλ(X) ≤ ‖Nu+Nβ0v‖.


Logo, considerando α1 = N/‖x‖ e α2 = N/‖y‖β0 entao max{|α1|, |α2|} ≤ 1 e o resultado

segue imediatamente. Suponha que a proposicao e valida para todo r com 1 ≤ r ≤ k. Sejam

x1, . . . , x2k+1 vetores em X satisfazendo ‖xj‖ ≥ η para todo 1 ≤ j ≤ 2k+1. Pela hipotese

de inducao, existem constantes β1, . . . , β2r , . . . , β2r+1 com max{|βj| : 1 ≤ j ≤ 2k+1} ≤ 1

satisfazendo

M1 :=

∥∥∥∥∥∥2k∑j=1

βjxj

∥∥∥∥∥∥ ≥ ηλ(X)k,

e

M2 :=

∥∥∥∥∥∥2k+1∑

j=2k+1

βjxj

∥∥∥∥∥∥ ≥ ηλ(X)k.

Seja

c =1

M1

2k∑j=1

βjxj and d =1

M2

2k+1∑j=2k+1

βjxj.

Assim, c, d ∈ SX . Utilizando o caso r = 1, existem s1, s2 ∈ K com max{|s1|, |s2|} ≤ 1 tais

que λ(X) ≤ ‖s1c+ s2d‖. Portanto, obtemos a inequacao

∥∥∥∥∥2k∑j=1

s1M1

βjxj +2k+1∑

j=2k+1

s1M2

βjxj

∥∥∥∥∥ ≥ λ(X).

Seja M0 = min{M1,M2}. Dessa forma, M0 ≥ ηλ(X)k e

∥∥∥∥∥2k∑j=1

s1M0

M1

βjxj +2k+1∑

j=2k+1

s1M0

M2

βjxj

∥∥∥∥∥ ≥ ηλ(X)k+1.

Definindo

αj =s1M0

M1

βj, if 1 ≤ j ≤ 2k,

e

αj =s2M0

M2

βj, if 2k + 1 ≤ j ≤ 2k+1,

segue o caso r = k + 1. Isso completa a prova da proposicao.

�

Capıtulo 3

O bidual dos espacos C0(K,X)

A maioria dos argumentos utilizados por Cambern para provar o Teorema 1.86 sao baseados

no fato de que se K e um espaco compacto Hausdorff e X∗ e um espaco de Banach que possui

a propriedade de Radon-Nikodym entao o bidual de C(K,X) pode ser representado como

um espaco de funcoes contınuas de um espaco compacto Hausdorff Z para X∗∗, esse ultimo

munido da topologia fraca-estrela*. Um fato importante para nos e que um resultado analogo

vale para os espacos C0(K,X).

Dados K um espaco localmente compacto Hausdorff e X um espaco de Banach, lembre

que M(K,X) e o espaco das medidas vetoriais de Borel regulares com variacao limitada e

M(µ,X) e o espaco das medidas vetoriais de variacao limitada absolutamente contınuas com

relacao a medida µ. Claramente, existe uma imersao natural de M(K) ⊗ X em M(K,X)

dada por µ⊗ φ→ µ(·)φ em que µ ∈M(K) e φ ∈ X. Alem disso, se Y e um outro espaco de

Banach, X⊗Y representa o produto tensorial injetivo de X e Y . Finalmente, X ∼= Y significa

que os espaco de Banach X e Y sao isometricamente isomorfos.

3.1 Resultados auxiliares

Nessa secao, enunciaremos e demonstraremos alguns resultados auxiliares com o objetivo de

obter uma representacao do espaco bidual de C0(K,X).

31

32 O bidual dos espacos C0(K,X)

Proposicao 3.1 Se K um espaco localmente compacto Hausdorff e X um espaco de Banach

entao existe um espaco de medida (S,Σ, µ) tal que M(K,X) ∼= M(µ,X).

Demonstracao. Pela Observacao 1.126, segue que M(K) e um L1-espaco abstrato. Sendo

assim, pela Observacao 1.127, M(K) e um ideal fechado no espaco das medidas de Borel. Alem

disso, note que a integral indefinida determina uma imersao isometrica de L1(µ) em M(µ).

Pelo Teorema 1.133, segue que L1(µ) ∼= M(µ). Portanto, pela Observacao 1.126, M(K) e

isometricamente isomorfo a M(µ). Logo, M(K,X) ∼= M(µ,X) e garantido pelo Lema 1.128.

�

Corolario 3.2 Seja K um espaco localmente compacto Hausdorff e X um espaco de Banach.

M(K)⊗X pode ser imerso em M(K,X) de tal maneira que ν ⊗ x corresponda a ν(·)x para

todo ν ∈M(K) e x ∈ X.

Demonstracao. Pela Proposicao 1.126, M(K) ∼= L1(µ). Portanto, M(K)⊗X ∼= L1(µ)⊗X.

Dessa forma, pela Proposicao 1.129, M(K)⊗X ∼= L1(µ,X). Uma vez que L1(µ,X) esta imerso

canonicamente em M(µ,X) e a Proposicao 3.1 garante que M(µ,X) e isometrico a M(K,X),

M(K)⊗X pode ser imerso em M(K,X).

�

Corolario 3.3 Seja K um espaco localmente compacto Hausdorff e X um espaco de Banach.

Se X tem a propriedade de Radon-Nikodym entao M(K,X) = M(K)⊗X.

Demonstracao. Como X tem a propriedade de Radon-Nikodyn entao, pela Proposicao

1.137, segue que L1(µ,X) ∼= M(µ,X). Portanto, pelo Corolario 3.1 e pela Proposicao 1.126,

temos que M(K)⊗X ∼= M(K,X). Como M(K) ⊗ X e denso em M(K)⊗X, segue que

M(K,X) = M(K)⊗X.

�

O bidual dos espacos C0(K,X) 33

3.2 Representacao do bidual de C0(K,X)

Nessa secao, caracterizaremos o espaco bidual de C0(K,X) para o caso em que X∗ tem a

propriedade de Radon-Nikodym.

Proposicao 3.4 Seja K um espaco localmente compacto Hausdorff e X um espaco de Banach

tal que X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodym. Existe um espaco compato Hausdorff Z

tal que

C0(K,X)∗∗ ∼= C(Z,X∗∗σ∗) e C0(K)∗∗ ∼= C(Z).

Demonstracao. Pelo Teorema 1.125,

C0(K,X)∗ ∼= M(K,X∗).

Por outro lado, Corolario 3.2 e Corolario 3.3 garantem que

M(K)⊗X∗ ∼= M(K)⊗X∗ = M(K,X∗).

Portanto,

C0(K,X)∗∗ ∼= M(K,X∗)∗ ∼= [M(K)⊗X∗]∗ ∼= [X∗⊗M(K)]∗.

Alem disso, pelo Lema 1.130,

[X∗⊗M(K)]∗ ∼= L(X∗,M(X)∗) ∼= L(X∗, C(Z)).

Defina uma funcao T de L(X∗, C(Z)) em C(Z,X∗∗σ∗) por

T (Ψ)(z)(φ) = (δz ◦Ψ)(φ),

for φ ∈ X∗, z ∈ Z and Ψ ∈ L(X∗, C(Z)), em que δz representa a funcao avaliacao no ponto

z ∈ Z. Claramente, para cada z ∈ Z fixo, T (Ψ)(z) e um funcional linear de X∗. Mais ainda,

para todo φ ∈ X∗,

|T (Ψ)(z)(φ)| = |Ψ(φ)(z)| ≤ ||Ψ(φ)|| ≤ ||Ψ||||φ||.

Consequentemente,

T (Ψ)(z) ∈ X∗∗ e ||T (Ψ)(z)|| ≤ ||Ψ||.

34 O bidual dos espacos C0(K,X)

Note que como funcao de Z em X∗∗, T (Ψ)(·) e fraca-estrela contınua pois, para todo φ ∈ X∗,

T (Ψ)(·)(φ) = Ψ(φ)(·) ∈ C(Z).

Dessa forma, temos que T esta bem definida. Obviamente, T e linear e ||T || ≤ 1 pois

||T (Ψ)|| = sup ||T (Ψ)(z)|| ≤ ||Ψ||.

Vamos mostrar que T e uma isometria. Sejam ε > 0 e Ψ ∈ L(X∗, C(Z)) nao nulo. Escolha

φ ∈ X∗ tal que ||φ|| = 1 e ||Ψ(φ)|| ≥ ||Ψ|| − ε. Alem disso, considere z ∈ Z tal que

|Ψ(φ)(z)| = ||Ψ(φ)||. Dessa forma, temos que

||T (Ψ)|| ≥ ||T (Ψ)(z)|| ≥ |T (Ψ)(z)(φ)| = |Ψ(φ)(z)| ≥ ||Ψ|| − ε.

Portanto, T e uma isometria. Finalmente, provaremos que T e uma funcao sobrejetora. Seja

G ∈ C(Z,X∗∗σ∗). Defina Ψ por Ψ(φ)(z) = G(z)(φ) para φ ∈ X∗ e z ∈ Z. E claro que

Ψ(φ)(·) ∈ C(Z) e Ψ e uma funcao linear de X∗ em C(Z). Alem disso, Ψ e limitada pois

||Ψ(φ)|| = sup |G(z)(φ)| ≤ ||G||||φ||.

Portanto, utilizando a definicao de T , temos que

T (Ψ)(z)(φ) = Ψ(φ)(z) = G(z)(φ),

para todo z ∈ Z e φ ∈ X∗. Logo T (Ψ) = G.

�

Capıtulo 4

Demonstracao do resultado principal

para os espacos C0(K,X)

Nesse capıtulo provaremos o Teorema 1. Isto e:

Unificacao das generalizacoes do teorema de Banach-Stone: Sejam K e L espacos

localmente compactos Hausdorff e X um espaco de Banach real ou um espaco de Banach com-

plexo reflexivo. Se λ(X) > 1 e T e um isomorfismo de C0(K,X) sobre C0(L,X) satisfazendo

||T || ||T−1|| < λ(X),

entao K e homeomorfo a L.

A demonstracao desse resultado utiliza as tecnicas do artigo de Cambern [14]. Na verdade,

a demonstracao e um refinamento dos argumentos apresentados na prova do teorema principal

de [14] utilizando os resultados dos capıtulos anteriores.

4.1 Observacoes iniciais

Sejam K e L espacos localmente compactos Hausdorff e X um espaco de Banach real

ou um espaco de Banach complexo reflexivo. Vamos assumir que λ(X) > 1 e que T e um

isomorfismo de C0(K,X) em C0(L,X) tal que ||T || ||T−1|| < λ(X).

Suponha, sem perda de generalidade, substituindo T por (1 + ε)||T−1||T para algum ε

positivo suficientemente pequeno que T e estritamente crescente em norma, isto e, que T

35

36 Demonstracao do resultado principal para os espacos C0(K,X)

satisfaz

||T (F )|| ≥ (1 + ε)||F ||,

para todo F ∈ C0(K,X) e ||T || < λ(X). Fixe ε e escolha um numero positivo P tal que

1 < P < 1 + ε.

Portanto, T satisfaz ||T (F )|| > P ||F || para todo F ∈ C0(K,X), F 6= 0. Alem disso, como

λ(X) ≤ 2 < 2P , podemos fixar tambem um numero positivo b tal que

1

P− 1

λ(X)< b <

P

λ(X)(λ(X)− P ). (4.1)

Como X e reflexivo entao, pela Proposicao 1.57, temos que X∗ tambem e reflexivo. Alem

disso, pela Proposicao 1.135, X∗ tem a propriedade Radon-Nikodym. Portanto, segue da

Proposicao 3.4 que

C0(K,X)∗∗ ∼= C(Z,Xσ∗),

onde Z e um espaco compacto Hausdorff com

C0(K)∗∗ ∼= C(Z).

Analogamente,

C0(L,X)∗∗ ∼= C(W,Xσ∗),

onde W e um espaco compacto Hausdorff com

C0(L)∗∗ ∼= C(W ).

Dessa forma, podemos considerar T ∗∗ como sendo um isomorfismo de C(Z,Xσ∗) em C(W,Xσ∗)

tal que

||T ∗∗|| < λ(X) e ||T ∗∗(F )|| > P ||F ||,

para todo F ∈ C(Z,Xσ∗), F 6= 0.

Seja K0 o conjunto dos pontos isolados de Z. Pelo Teorema 1.58, cada ponto de K0 e da

forma tx para algum x ∈ K, em que t : K → Z e uma imersao natural de K em Z e todo

ponto da forma tx e isolado. Analogamente, se L0 denota o conjunto dos pontos isolados de

W entao L0 consiste de pontos sy, y ∈ L, em que s : L→ W e uma imersao natural.

Finalmente, dado F ∗ ∈ C(Z,Xσ∗)∗, a restricao de F ∗ para C(Z,X) e um funcional linear

contınuo de norma menor do que ou igual a ||F ∗||. Pelo Teorema 1.125, existe uma medida

Demonstracao do resultado principal para os espacos C0(K,X) 37

n ∈ M(Z,X∗) tal que ||n|| ≤ ||F ∗||. Dado z ∈ Z, podemos escrever de maneira unica

n = ψµz + m em que µz denota a medida de massa pontual em z, ψ ∈ X∗ e m ∈ C(Z,X)∗

com m({z}) = 0. De fato, sejam ψ = n({z}) e m = n − ψµz. Pelo Teorema 1.63, existe

m ∈ C(Z,Xσ∗)∗ extensao linear de m que preserve a norma. Portanto, Φ = F ∗ − ψµz −m e

um funcional linear contınuo em C(Z,Xσ∗) que se anula em C(Z,X) e F ∗ = ψµz + m + Φ.

Logo, dado F ∗ ∈ C(Z,Xσ∗)∗ e z ∈ Z, sempre podemos representa-los de maneira que

F ∗ = ψµz +m+ Φ.

Analogamente, dado G∗ ∈ C(W,Xσ∗)∗ e w ∈ W , podemos representa-los de maneira que

G∗ = ψµw +m+ Φ.

4.2 Resultado principal

Como em [14], provaremos que K e homeomorfo a L atraves de uma sequencia de lemas.

Lema 4.1 Dados w ∈ W e tx ∈ K0, existe φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 tal que T ∗∗∗(φµw) e da

forma ψµtx +m+ Φ e ||ψ|| > P se, e somente se, para algum e ∈ X com ||e|| = 1 vale

||T ∗∗(χtxe)(w)|| > P.

Demonstracao. Seja e ∈ X tal que ||e|| = 1 e ||T ∗∗(χtxe)(w)|| > P . Pelo Corolario 1.64,

seja φ ∈ X∗ tal que ||φ|| = 1 e

φ(T ∗∗(χtxe)(w)) = ||T ∗∗(χtxe)(w)||.

Alem disso, como podemos escrever T ∗∗∗(φµw) = ψµtx +m+ Φ, segue que

P < ||T ∗∗(χtxe)(w)|| = φ(T ∗∗(χtxe)(w)) = T ∗∗∗(φµw)(χtxe) = ψ(e).

Portanto, ||ψ|| > P . Reciprocamente, suponha que exista φ ∈ X∗ tal que ||φ|| = 1 e T ∗∗∗(φµw)

possa ser escrito da forma ψµtx + m + Φ com ||ψ|| > P . Seja e ∈ X com ||e|| = 1 tal que

ψ(e) > P . Sendo assim, temos que

φ(T ∗∗(χtxe)(w)) = ψ(e) > P.

Logo, ||T ∗∗(χtxe)(w)|| > P .


�

Lema 4.2 Dados z ∈ Z e sy ∈ L0, existe φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 tal que (T ∗∗∗)−1(φµz) e da

forma ψµsy +m+ Φ e ||ψ|| > (λ(X))−1 se, e somente se, para algum e ∈ X com ||e|| = 1 vale

||(T ∗∗)−1(χsye)(z)|| > (λ(X))−1.

Demonstracao. Analoga ao Lema 4.1.

�

Observacao 4.3 Seja W1 o conjunto de todos w ∈ W tal que para algum φ ∈ X∗ com

||φ|| = 1 existe tx ∈ K0 tal que

T ∗∗∗(φµw) = ψµtx +m+ Φ,

em que ||ψ|| > P . Pelo Lema 4.1, existe uma funcao sobrejetora ρ : W1 → K0 dada por

ρ(w) = tx. De fato, primeiramente vamos mostrar que ρ : W1 → K0 esta bem definida.

Pelo Lema 4.1, ρ(w) = tx se e somente se para algum e ∈ X com ||e|| = 1 temos que

||T ∗∗(χtxe)(w)|| > P . Suponha que existissem φ1, φ2 ∈ X∗ tal que ||φ1|| = ||φ2|| = 1 e

T ∗∗∗(φiµw) = ψiµtxi +mi + Φ,

para i = 1, 2 com ||ψi|| > P e tx1 6= tx2. Sendo assim, para toda escolha de escalares αi com

|αi| ≤ 1 e ei com ||ei|| = 1, i = 1, 2, temos que

||α1χtx1e1 + α2χtx2e2|| ≤ 1.

No entanto, pela Proposicao 2.10 e pelo Lema 4.1, segue que

||T ∗∗(α1χtx1e1 + α2χtx2e2)|| ≥ ||α1T∗∗(χtx1e1)(w) + α2T

∗∗(χtx2e2)(w)|| ≥ Pλ(X) > λ(X),

uma contradicao pois ||T ∗∗|| < λ(X). Portanto, ρ : W1 → K0 esta bem definida. Alem disso,

ρ : W1 → K0 e sobrejetora. Dado tx ∈ K0, para todo e ∈ X com ||e|| = 1 existe algum w ∈ W

tal que ||T ∗∗(χtxe)(w)|| > P . Logo, w ∈ W1 e ρ(w) = tx. Analogamente, seja Z1 o conjunto

dos z ∈ Z tal que para algum φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 existe sy ∈ L0 tal que

(T ∗∗∗)−1(φµz) = ψµsy +m+ Φ,

em que ||ψ|| > (λ(X))−1. Pelo Lema 4.2, existe uma funcao sobrejetora τ : Z1 → L0 dada por

τ(z) = sy.


Lema 4.4 (i) Para cada tx ∈ K0, ρ−1({tx}) e um conjunto aberto e finito de pontos. Dessa

forma, W1 ⊆ L0.

(ii) Para cada sy ∈ L0, τ−1({sy}) e um conjunto aberto e finito de pontos. Dessa forma,

Z1 ⊆ K0.

Demonstracao. (i) Sejam tx ∈ K0 e w ∈ ρ−1({tx}). Sendo assim, existe ew ∈ X com

||ew|| = 1 tal que

||T ∗∗(χtxew)(w)|| > P.

Considere

ew =T ∗∗(χtxew)(w)

||T ∗∗(χtxew)(w)||

e escolha uma funcao contınua g : W → [0, 1] tal que g(w) = 1. Sendo assim, defina a funcao

G ∈ C(W,X) ⊆ C(W,Xσ∗) dada por

G(w′) = g(w′)ew,

para todo w′ ∈ W . Portanto,

||G+ T ∗∗(χtxew)|| ≥ ||G(w) + T ∗∗(χtxew)(w)|| > 1 + P.

Consequentemente, temos que

||(T ∗∗)−1(G) + χtxew|| >1 + P

λ(X)≥ 1 + P

2> 1.

Como ||(T ∗∗)−1(G)|| < 1, segue que

||(T ∗∗)−1(G)(tx)|| > P − 1

2> 0.

Pelo Corolario 1.64, seja φw ∈ X∗ com ||φw|| = 1 tal que φw(ew) = 1. Considere o conjunto

A = {w′ ∈ W : |φw(T ∗∗(χtxew)(w′))| > P}.

Note que A e aberto e w ∈ A. Alem disso, para cada w′ ∈ A,

||T ∗∗(χtxew)(w′))|| > P.

Portanto, w′ ∈ ρ−1({tx}). Dessa forma, fixando ew e φw para cada w ∈ ρ−1({tx}) , segue que


ρ−1({tx}) =⋃

w∈ρ−1({tx})

{w′ ∈ W : |φw(T ∗∗(χtxew)(w′))| > P}.

Logo, ρ−1({tx}) e um conjunto aberto.

Vamos mostrar que ρ−1({tx}) e um conjunto finito. Suponha que, para cada 1 ≤ k ≤ 2r,

wk ∈ ρ−1({tx}). Sendo assim, para cada 1 ≤ k ≤ 2r, existe Gk ∈ C(W,Xσ∗) com ||Gk|| = 1

tal que

||(T ∗∗)−1(Gk)(tx)|| > P − 1

2.

Sem perda de generalidade, podemos supor que as funcoes Gk tem suportes disjuntos. Dessa

forma, para quaisquer escalares αk com |αk| ≤ 1, temos

||2r∑k=1

αkGk|| ≤ 1.

No entanto, pela Proposicao 2.10, existem escalares αk tais que

∥∥∥∥∥2r∑k=1

αk(T∗∗)−1(Gk)(tx)

∥∥∥∥∥ ≥ (P − 1)(λ(X))r

2.

Como λ(X) > 1, segue que ρ−1({tx}) e finito.

Portanto, para cada tx ∈ K0, ρ−1({tx}) e um conjunto aberto e finito de pontos. Isso implica

que os pontos de ρ−1({tx}) sao isolados. Logo,

W1 =⋃

tx∈K0

ρ−1({tx})

possui apenas pontos isolados, isto e, W1 ⊆ L0.

�

(ii) Sejam sy ∈ L0 e z ∈ τ−1({sy}). Sendo assim, existe ez ∈ X com ||ez|| = 1 tal que

||(T ∗∗)−1(χsyez)(z)|| > (λ(X))−1.

Considere

ez =(T ∗∗)−1(χsyez)(z)

||(T ∗∗)−1(χsyez)(z)||


e escolha uma funcao contınua h : Z → [0, 1] tal que h(z) = 1. Sendo assim, defina a funcao

H ∈ C(K,X) ⊆ C(Z,Xσ∗) dada por

H(z′) = bh(z′)ez,

para todo z′ ∈ Z, em que b e um numero fixo satisfazendo (4.1). Portanto,

||H + (T ∗∗)−1(χsyez)|| ≥ ||H(z) + (T ∗∗)−1(χsyez)(z)|| > b+1

λ(X).

Consequentemente, pela desigualdade (4.1), temos que

||T ∗∗(H) + χsyez|| > P

(b+

1

λ(X)

)> bλ(X).

Como ||T ∗∗(H)|| < bλ(X), novamente pela desigualdade (4.1), segue que

||T ∗∗(H)(sy)|| > P

(b+

1

λ(X)

)− 1 > 0.

Finalmente, defina H ′ = 1bH. Sendo assim, ||H ′|| = 1 e

||T ∗∗(H ′)(sy)|| > 1

b

[P

(b+

1

λ(X)

)− 1

]:= c > 0.

Pelo Corolario 1.64, seja φz ∈ X∗ com ||φz|| = 1 tal que φz(ez) = 1. Considere o conjunto

A = {z′ ∈ Z : |φz((T ∗∗)−1(χsyez)(z′))| > (λ(X))−1}.

Note que A e aberto e z ∈ A. Alem disso, para cada z′ ∈ A,

||(T ∗∗)−1(χsyez)(z′))|| > (λ(X))−1.

Portanto, z′ ∈ τ−1({sy}). Dessa forma, fixando ez e φz para cada z ∈ τ−1({sy}) , segue que

τ−1({sy}) =⋃

z∈τ−1({sy})

{z′ ∈ Z : |φz((T ∗∗)−1(χsyez)(z′))| > (λ(X))−1}.

Logo, τ−1({sy}) e um conjunto aberto.


Vamos mostrar que τ−1({sy}) e um conjunto finito. Suponha que, para cada 1 ≤ k ≤ 2r,

zk ∈ τ−1({sy}). Sendo assim, para cada 1 ≤ k ≤ 2r, existe H ′k ∈ C(Z,Xσ∗) com ||H ′k|| = 1 tal

que

||T ∗∗(H ′k)(sy)|| > c.

Sem perda de generalidade, podemos supor que as funcoes H ′k tem suportes disjuntos. Dessa

forma, para quaisquer escalares αk com |αk| ≤ 1, temos

||2r∑k=1

αkH′k|| ≤ 1.

No entanto, pela Proposicao 2.10, existem escalares αk tais que

∥∥∥∥∥2r∑k=1

αkT∗∗(H ′k)(sy)

∥∥∥∥∥ ≥ c(λ(X))r.

Como λ(X) > 1, segue que τ−1({sy}) e finito.

Portanto, para cada sy ∈ L0, τ−1({sy}) e um conjunto aberto e finito de pontos. Isso implica

que os pontos de τ−1({sy}) sao isolados. Logo,

Z1 =⋃sy∈L0

τ−1({sy})

possui apenas pontos isolados, isto e, Z1 ⊆ K0.

�

Lema 4.5 Se sy ∈ W1 ⊆ L0 e ρ(sy) = tx entao tx ∈ Z1 e τ(tx) = sy.

Demonstracao. Seja sy ∈ W1 tal que ρ(sy) = tx. Supunha que tx nao e um elemento de Z1

ou que tx ∈ Z1 mas τ(tx) 6= sy. Sendo assim, para todo e ∈ X com ||e|| = 1 temos que

||(T ∗∗)−1(χsye)(tx)|| ≤ (λ(X))−1.

Fixe um elemento e ∈ X com ||e|| = 1 e considere

Q = sup ||(T ∗∗)−1(χsye)(z)||.

Pelo Lema 4.4 (ii), segue que

{z ∈ Z : ||(T ∗∗)−1(χsye)(z)|| > (λ(X))−1} = {tx′ ∈ K0 : ||(T ∗∗)−1(χsye)(tx′)|| > (λ(X))−1}


⊆ τ−1({sy})

que e um conjunto finito. Dessa forma, a Proposicao 1.32 garante que existe tx′ ∈ K0 tal que

||(T ∗∗)−1(χsye)(tx′)|| = Q. Note que tx′ 6= tx pois τ(tx) 6= sy. Seja

e = (T ∗∗)−1(χsye)(tx′) e e = e/||e||.

Sendo assim, existe w ∈ W tal que

||T ∗∗(χtx′ e)(w)|| > P.

Portanto, w ∈ W1 ⊆ L0, isto e, w = sy′ para algum sy′ ∈ L0. Novamente, sy′ 6= sy pois

ρ(sy′) = tx′ 6= tx = ρ(sy). Assim, se φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 e tal que

φ(T ∗∗(χtx′ e)(sy′)) = ||T ∗∗(χtx′ e)(sy′)||,

entao

T ∗∗∗(φµsy′) = ψµtx′ +m+ Φ,

com φ(e) > P.

Logo,

ψ(e) = ||e||ψ(e) > QP > Q.

Alem disso,

0 =

∫χsyed(φµsy′) = φµsy′(χsye)

=

∫(T ∗∗)−1(χsye)d(ψµtx′) + (m+ Φ)((T ∗∗)−1(χsye))

= ψ(e) + (m+ Φ)((T ∗∗)−1(χsye)).

Mas isso e um absurdo pois ψ(e) > Q e

|(m+ Φ)((T ∗∗)−1(χsye))| ≤ (||T || − ||ψ||)Q < Q.

�


Observacao 4.6 Lema 4.5 garante que K0 = ρ(W1) ⊆ Z1. Portanto, K0 = Z1. Alem disso,

L0 = τ(Z1) ⊆ W1. De fato, como ρ : W1 → K0 e sobrejetora, dado tx ∈ Z1 = K0 existe

sy ∈ W1 tal que ρ(sy) = tx. Pelo Lema 4.5, τ(tx) = sy ∈ W1. Assim, ρ : L0 → K0. Como τ e

uma funcao e ρ−1 = τ , segue que ρ e injetora. Portanto, ρ = t−1 ◦ ρ ◦ s e uma funcao bijetora

de L em K.

Finalmente, nosso objetivo e mostrar que ρ = t−1 ◦ ρ ◦ s e um homoemorfismo.

Lema 4.7 ρ e um homeomorfismo de L em K.

Demonstracao. Vamos mostrar que τ = s−1 ◦ τ ◦ t tambem e contınua. A demonstracao de

que ρ e uma funcao contınua e analoga. Sabemos que τ(x) = y se, e somente se, para todo

e ∈ X com ||e|| = 1 temos

||(T ∗∗)−1(χsye)(tx)|| > (λ(X))−1.

Portanto, para todo e ∈ X existe, pelo Corolario 1.64, φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 tal que

||(T ∗∗)−1(χsye)(tx)|| = φ((T ∗∗)−1(χsye)(tx)) = φµtx((T∗∗)−1(χsye)) = (T ∗∗)−1(χsye)(φµx)

= (χsye)((T∗)−1(φµx)) = (T ∗)−1(φµx)({y})(e)

e real e maior do que (λ(X))−1. Suponha que {xβ : β ∈ B} e uma rede em K convergente

para x0 mas yβ = τ(xβ) nao converge para τ(x0) = y0. Sendo asssim, pela Proposicao 1.37,

existe uma vizinhanca compacta V de y0 tal que para todo β0 ∈ B existe β ≥ β0 com yβ /∈ V .

Fixe e ∈ X com ||e|| = 1. Assim, pelo Corolario 1.64, existe φ0 ∈ X∗ com ||φ0|| = 1 e

(T ∗)−1(φ0µx0)({y0})(e) > (λ(X))−1.

Escreva (T ∗)−1(φ0µx0) na forma ψ0µy0 +m, em que ψ0 ∈ X∗ e m e uma medida vetorial regular

de Borel em L para X∗ com m({y0}) = 0. Portanto,

ψ0(e) > (λ(X))−1.

Pela regularidade da medida, podemos escolher uma vizinhanca V1 de y0, V1 ⊆ V tal que

|m|(V1) < (λ(X))−1 − (Pλ(X))−1.


Seja g1 : L→ [0, 1] uma funcao contınua com o suporte de g1 contido em V1 e g1(y0) = 1.

Defina G1 ∈ C(L,X) dada por G1(y) = g1(y)e, y ∈ L. Sendo assim,

|φ0(T−1(G1)(x0))| = |φ0µx0(T

−1(G1))| = |(T ∗)−1(φ0µx0)(G1)|

= |(ψ0µy0 +m)(G1)| = |ψ0(G1(y0)) +

∫G1dm|

≥ ψ0(e)−∫||G1||d|m| > (Pλ(X))−1.

Consequentemente,

||T−1(G1)(x0)|| > (Pλ(X))−1.

Como xβ converge para x0 e T−1(G1) e contınua na topologia da norma, existe β0 ∈ B tal que

β ≥ β0 implica que

||T−1(G1)(xβ)|| > (Pλ(X))−1. (4.2)

Fixe β satisfazendo (4.2) tal que yβ = τ(xβ) /∈ V . Assim, para algum φβ ∈ X∗ com ||φβ|| = 1,

(T ∗)−1(φβµxβ)({yβ})(e) > (λ(X))−1.

Escreva (T ∗)−1(φβµxβ) tambem na forma ψβµyβ +n, em que ψβ ∈ X∗ e n({yβ}) = 0. Portanto,

ψβ(e) > (λ(X))−1.

Pela regularidade da medida, podemos escolher uma vizinhanca V2 de yβ disjunta de V tal

que

|m|(V2) < (λ(X))−1 − (Pλ(X))−1

e uma funcao contınua g2 : L → [0, 1] com o suporte de g2 contido em V2 e g2(yβ) = 1.

Definindo G2 ∈ C(L,X) como G2(y) = g2(y)e, y ∈ L, seque que

||T−1(G2)(xβ)|| > (Pλ(X))−1.

Como G1 e G2 tem suportes disjuntos, para quaisquer escalares αi com |αi| ≤ 1, i = 1, 2, temos

que ||α1G1 + α2G2|| ≤ 1. No entanto, pela Proposicao 2.10, existem escalares αi satisfazendo

||T−1(α1G1 + α2G2)|| ≥ ||α1T−1(G1)(xβ) + α2T

−1(G2)(xβ)|| ≥ 1

P.


Isso contraria nossa hipotese pois ||T−1(G)|| < P−1 para todo G ∈ C(L,X) com ||G|| ≤ 1.

Logo, ρ e um homeomorfismo de L em K.

�

4.3 Consequencias do resultado principal

Nessa secao, vamos mostrar que os principais resultados sobre generalizacoes do teorema

de Banach-Stone sao consequencias do resultado principal. Dessa forma, alem de melhorar

o resultado obtido de Jarosz, unificamos e melhoramos “quase” todos os teoremas sobre o

assunto no caso real.

Teorema 4.8 (Teorema de Amir-Cambern) Sejam K e L sao espacos localmente compactos

Hausdorff. Se T : C0(K)→ C0(L) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < 2,


Demonstracao. Pela Observacao 1.108, temos que λ(K) = 2.

�

Teorema 4.9 SejamK e L espacos localmente compactos Hausdorff eH um espaco de Hilbert

de dimensao finita maior do que 1. Se T : C0(K,H)→ C0(L,H) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| <√

2,


Demonstracao. Pela Proposicao 1.113, λ(X) =√

2 para todo espaco de Hilbert X de

dimensao maior do que 1.

�


Teorema 4.10 Sejam K e L espacos compactos Hausdorff e X um espaco de Banach que e

uniformemente convexo. Se T : C(K,X)→ C(L,X) e um isomorfismo que satisfaz

||T || ||T−1|| < (1− δX(1))−1,


Demonstracao. O resultado principal implica e melhora o Teorema 4.10 uma vez que, pela

Proposicao 2.1, para todo espaco uniformemente convexo X temos que

(1− δX(1))−1 < λ(X).

�

Teorema 4.11 Sejam K e L espacos compactos Hausdorff e X um espaco de Banach tal que

λB−C(X∗) > 1. Se T : C(K,X)→ C(L,X) e um isomorfismo que satisfaz a condicao

||T || ||T−1|| < 11λB−C(X∗)/(1 + 10λB−C(X∗)),


Demonstracao. Teorema 4.11 tambem e consequencia do resultado principal uma vez que,

pela Proposicao 2.4,

11λB−C(X∗)/(1 + 10λB−C(X∗)) < λ(X),

quando λ(X) > 1.

�


µ(X∗) < 2. Se T : C(K,X)→ C(L,X) e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < 4/(2 + µ(X∗)),



Demonstracao. No caso real, o resultado principal implica e melhora o Teorema 4.12 pois,

pela Proposicao 2.5,

4/(2 + µ(X∗)) < λ(X).

Alem disso, no caso em que X e um espaco complexo reflexivo, Teorema 4.12 tambem e

consequencia do resultado principal uma vez que, pela Observacao 2.6,

4/(2 + µ(X∗)) ≤ λ(X).

�

Teorema 4.13 O resultado principal e o melhor possıvel no caso X = lp em que 2 ≤ p <∞,

isto e, BS(lp) = λ(lp) = p√

2.

Demonstracao. A demonstracao segue imediatamente da Proposicao 2.7.

�

Observacao 4.14 Portanto, o resultado principal unifica e melhora os principais teoremas

sobre o assunto no caso real. No entanto, ainda falta analisar um outro teorema de Jarosz da

decada de 80. Esse sera o tema do proximo capıtulo.

Capıtulo 5

Sobre outra generalizacao do teorema

de Banach-Stone obtida por Jarosz

Nesse capıtulo vamos considerar uma ultima generalizacao do teorema de Banach-Stone

para os espacos C0(K,X) obtida por Jarosz em 1982. Tendo em vista a unificacao conseguida

nesta tese de todas as outras generalizacoes desse teorema existentes na literatura, e natural

perguntar se essa ultima tambem segue como corolario do nosso trabalho. Nos mostraremos

que para espacos de Banach reais X cuja constante de Schaffer de X e de X∗ sejam iguais ou

estejam suficientemente proximas, a generalizacao de Jarosz aqui considerada e consequencia

do resultado principal desse trabalho.

5.1 O teorema de Jarosz

No inıcio da decada de 80, Jarosz demonstrou em [30] o seguinte resultado:

Teorema 5.1 Sejam K e L espacos compactos Hausdorff e X um espaco de Banach. Se existe

um isomorfismo T : C(K,X)→ C(L,X) tal que ||T || ||T−1|| ≤ k e

sup{||x∗1 − x∗2|| : ||x∗1 + x∗2|| = 2, ||x∗1|| ≤ k, ||x∗2|| ≤ k} = a < 4/3,


Para relacionarmos esse teorema com o resultado principal deste trabalho e conveniente

introduzir a seguinte definicao.

49

50 Sobre outra generalizacao do teorema de Banach-Stone obtida por Jarosz

Definicao 5.2 Para todo espaco de Banach real X e numero real k > 1, coloquemos

a(k) = sup{||x∗1 − x∗2|| : ||x∗1 + x∗2|| = 2, ||x∗1|| ≤ k, ||x∗2|| ≤ k}.

A proposicao abaixo mostra que uma das hipoteses do Teorema 5.1 esta ligada com o

modulo de convexidade de X∗. Nos agradecemos ao professor Satit Saejung pela sua ajuda

em prova-la.

Proposicao 5.3 Sejam X um espaco de Banach real e k > 1. Entao

a(k) = 2k(1− δX∗(2/k)).

Demonstracao. Sejam x∗1, x∗2 ∈ X∗ em que ||x∗1|| ≤ k, ||x∗2|| ≤ k e ||x∗1 + x∗2|| = 2. Considere

x∗ = x∗1/k e y∗ = x∗2/k. Sendo assim, ||x∗|| ≤ 1, ||y∗|| ≤ 1 e ||x∗ + y∗|| = 2/k. Pela definicao

de modulo de convexidade, segue que

δX∗(2/k) ≤ 1− ||x∗ − y∗||/2,

ou seja,

||x∗1 − x∗2|| ≤ 2k(1− δX∗(2/k)).

Portanto,

a(k) ≤ 2k(1− δX∗(2/k)).

Por outro lado, existem sequencias (x∗n)n∈N, (y∗n)n∈N ∈ S∗X tais que ||x∗n+y∗n|| = 2/k e ||x∗n−y∗n||

converge para 2(1− δX∗(2/k)). Considerando x′∗n = kx∗n e y′∗n = ky∗n, temos ||x′∗n || = ||y′∗n || = k,

||x′∗n + y′∗n || = 2 e ||x′∗n − y′∗n || converge para 2k(1− δX∗(2/k)). Logo, a(k) = 2k(1− δX∗(2/k)).

�

Observacao 5.4 A Observacao 5.6 e proxima proposicao mostram que o Teorema 5.1 e um

corolario do principal resultado desta tese no caso em que o espaco de Banach real X satisfaca

λ(X∗) = λ(X). E interessante observar que nos so conhecemos dois espacos de Banach nao

satisfazendo essa igualdade, a saber: os espacos X e X∗ mencionados na Proposicao 1.114.

Sobre outra generalizacao do teorema de Banach-Stone obtida por Jarosz 51

Observacao 5.5 Note que se X um espaco de Banach real, k > 1 e a(k) < 4/3 entao

k ≤√

13/3. De fato, pela Proposicao 1.69,

δX∗(ε) ≤ 1−√

1− ε2/4,

para todo 0 < ε ≤ 2. Portanto

1− 2/3k < δX∗(2/k) ≤ 1−√

1− (2/k)2/4.

Consequentemente, √1− (2/k)2/4 < 2/3k,

isto e, k <√

13/3.

Observacao 5.6 No caso em que X = R, o Teorema 5.1 e corolario do nosso principal

resultado pois pela observacao anterior e a Observacao 1.108 temos k ≤√

13/3 < 2 = λ(X).

Proposicao 5.7 Sejam X um espaco de Banach real com dimensao maior ou igual a 2 e

k > 1. Se a(k) < 4/3 entao µ(X∗) < 2 e k < λ(X∗).

Demonstracao. Inicialmente vamos provar que µ(X∗) < 2. Pela Proposicao 1.99,

µ(X∗) = sup{ε ∈ (0, 2) : δX∗(ε) ≤ 1− ε/2}.

Dessa forma, basta mostrar que

µ(X∗) ≤ 2/k.

De fato, se µ(X∗) > 2/k entao existe ε > 0 tal que µ(X∗) > ε > 2/k e

δX∗(ε) ≤ 1− ε/2.

Como o modulo de convexidade e uma funcao estritamente crescente, segue que

δX∗(2/k) < δX∗(ε),

consequentemente

1− δX∗(ε) < 1− δX∗(2/k).

Portanto, vale

ε/2 < 1− δX∗(2/k) < 2/3k,


pois

2k(1− δX∗(2/k)) < 4/3.

Logo, 2/k < ε < 4/3k, ou seja, temos que 6 < 4 uma contradicao. Isso prova que µ(X∗) < 2.

Agora provaremos que k < λ(X∗). Pela Proposicao 1.115, temos que

δX∗(µ(X∗)) = 1− µ(X∗)/2.

Assim, segue que

a(λ(X∗)) = 2λ(X∗)(1− δX∗(2/λ(X∗))) = 2λ(X∗)(µ(X∗)/2) = 2 > 4/3 > a(k).

Logo, λ(X∗) > k como querıamos demonstrar.

�

Observacao 5.8 A seguir melhoraremos a proposicao acima para mostrarmos que mesmo

para os espacos X e X∗ mencionados na Observacao 5.6 o Teorema 5.1 e uma consequencia do

principal resultado desta tese. De fato, usando as Proposicoes 1.101, 1.102 e 1.114 e imediato

que

2λ(X∗)/3 + 1/3 < λ(X) e 2λ(X∗∗)/3 + 1/3 < λ(X∗).

Proposicao 5.9 Sejam X um espaco de Banach real de dimensao maior ou igual a 2 e k > 1.

Se a(k) < 4/3 e

2λ(X∗)/3 + 1/3 < λ(X),

entao k < λ(X).

Demonstracao. Sejam ε1 = µ(X∗) e ε2 = 2/k. Pela Proposicao 1.67 temos que

δX∗(2/k)− δX∗(µ(X∗))

2/k − µ(X∗)≤ 1− δX∗(µ(X∗))

2− µ(X∗).

Pela Proposicao 5.3 vale que

1− δX∗(2/k) < 2/3k,

e pela Proposicao 5.7 µ(X∗) < 2, logo

Sobre outra generalizacao do teorema de Banach-Stone obtida por Jarosz 53

(1− 2/3k)− (1− µ(X∗)/2)

2/k − µ(X∗)≤ δX∗(2/k)− δX∗(µ(X∗))

2/k − µ(X∗)≤ µ(X∗)/2

2− µ(X∗).

Portanto,

k ≤ (4 + µ(X∗))/3µ(X∗) = 2λ(X∗)/3 + 1/3 < λ(X).

�

5.2 Problemas em aberto

Nessa secao final, enunciaremos alguns problemas que tentamos resolver durante esse perıodo

de estudo das generalizacoes do teorema de Banach-Stone mas que ainda permanencem sem

resposta.

Quando X = lp com 2 ≤ p < ∞, a Proposicao 2.7 garante que BS(X) = λ(X) = 21/p.

Mas nao sabemos resolver:

Problema 5.10 Seja X um espaco de Banach real ou espaco de Banach complexo reflexivo.

Se λ(X) > 1 entao BS(X) = λ(X)?

Em virtude da Proposicao 5.9, o Teorema 5.1 sera um corolario do principal resultado

desta tese para espacos de Banach reais se for verdadeira a seguinte conjectura:

Conjectura 5.11 Se X e um espaco de Banach real com λ(X) > 1, entao

2λ(X∗)/3 + 1/3 < λ(X).

Bibliografia

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