Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física Teórica e Experimental

Programa de Pós-Graduação em Física

Interação no Setor Escuro: Uma AnáliseTermodinâmica

William Jouse Costa da Silva

Natal-RNAgosto/2015

William Jouse Costa da Silva

Interação no Setor Escuro: Uma AnáliseTermodinâmica

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal doRio Grande do Norte como requisito para obtençãodo grau de Mestre em Física.

Orientador:Prof. Dr. Raimundo Silva Junior

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNDepartamento de Física Teórica e Experimental - DFTE

Natal-RNAgosto de 2015

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Silva, William Jouse Costa da. Interação no setor escuro: uma análise termodinâmica / William Jouse Costa da

Silva. - Natal, 2015. xi, 66 f.: il.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Silva Júnior.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro

de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Física.

1. Termodinâmica – Dissertação. 2. Energia escura – Dissertação. 3. Matéria escura – Dissertação. 3. Interação – Dissertação. I. Silva Júnior, Raimundo. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU: 536.7

Aos meus pais.

You got to be crazy gotta have a real need.Dogs, Pink Floyd

Agradecimentos

Agradeço a tudo que nos move nesse Universo. Aos meus pais, José Wilton e Aparecida

pela educação, pelo incentivo e apoio que sempre me deram. Ao meu irmão e amigo, Túlio.

Agradecer ao meu orientador Raimundo Silva pela orientação, pela paciência e pelo incentivo

de sempre procurar mais conhecimento. Agradeço aos membros da banca examinadora, Maria

Aldinez e Nilza Pires pela disponibilidade de participar e pelas contribuições pessoais acerca da

dissertação. Ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal do Rio Grande

do Norte, desde dos funcionários de serviços gerais ao corpo docente, em especial a professora

Nilza Pires por me apresentar essa área fascinante chamada Cosmologia. Agradeço aos amigos

da Sala Newton Bernardes: Nathan Lima, Aline Andrade, Luan Garcia, Felipe Banks e Everson

Frazão e aos agregados Rodrigo César, Jovânio Galvão e Marcone Oliveira pelas conversas,

discussões e pelos momentos de descontração. Sou grato também aos amigos da Jayme Tiomo:

Crisanto Neto, Tharcisyo Sá, Jeerson Soares, Pierre Niau, Cristovão Nascimento e Nyladih

Theodory pelos momentos de descontração, conversas e os cafés de todos os dias. Agradecer

à Tia Nenen e a Tio Valdi por me acolherem tão bem em sua residência. Agradecer a todos

da minha família pela torcida e pelo apoio. Agradeço em especial, a Jéssica Alves, pelo amor,

carinho, compreensão, apoio, paciência, pelas correções deste trabalho e por ter chegado na hora

certa na minha vida. Por m, agradeço ao CNPq pelo apoio nanceiro durante o mestrado.

iv

Resumo

Nesse trabalho, nós investigamos uma abordagem geral para o modelo de interação entre

as componentes do setor escuro do Universo usando argumentos termodinâmicos amplamente

conhecidos, ou seja, a positividade da entropia mais a segunda lei da Termodinâmica. Neste

sentido, apresentamos alguns vínculos termodinâmicos sobre o parâmetro da equação de estado

(EoS) variável do tipo ω(a) = ω0 + ωaf(a) que está relacionado com a energia escura que está

interagindo com a matéria escura, isto é, consideramos uma interação fenomenológica entre

a matéria escura fria e a energia escura como uma função do fator de escala cósmico ε(a).

Essa abordagem generaliza alguns modelos propostos na literatura: ε(a) → 0 representa um

modelo sem interação, enquanto que ε(a)→ ε0 conduz ao modelo de interação constante entre

as componentes escuras do Universo. Por outro lado, ω(a) → ω0 e ε(a) → 0 proporciona uma

análise termodinâmica para a energia escura que exclui a chamada cosmologia fantasma. Além

disso, nós também discutimos algumas consequências cosmológicas desta abordagem geral,

comparando nossos resultados com os propostos usando a EoS constante, isto é, ω(a) → ω0 e

ε = ε(a).

Palavras-chave: Energia escura, matéria escura, termodinâmica, interação.

v

Abstract

In this work, we investigate a general approach for the coupling model between the

components of dark sector of the universe using thermodynamics arguments widely known,

namely the positiveness of the entropy plus the second law of Thermodynamics. In this regard,

we present some thermodynamics constraints upon a varying equation of state (EoS) parameter

of the type ω(a) = ω0 + ωaf(a) which is related to dark energy that is interacting with the

dark matter, i.e., we consider the phenomenological coupling between the cold dark matter

and dark energy as a function of the cosmic scale factor ε(a). This approach generalizes some

models proposed in the literature: ε(a)→ 0 represents the model without interaction, whereas

ε(a)→ ε0 leads to the model with the constant interaction between the dark components of the

universe. On the other hand, ω(a)→ ω0 and ε(a)→ 0 provide a thermodynamics analysis for

the dark energy that rule out the so-called phantom cosmology. Furthermore, we also discuss

some cosmological consequences of this general approach by comparing our results with ones

proposed using the constant EoS, i.e., ω(a)→ ω0 and ε = ε(a).

Keywords: Dark energy, dark matter, thermodynamics, interaction.

vi

Sumário

Agradecimentos v

Resumo vi

Abstract vii

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xii

Notações, Convenções e Símbolos xiii

Introdução 1

1 Cosmologia Padrão 5

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker e Equações de

Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Equação de Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Cosmologia Observacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Redshift Cosmológico e a Lei de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Radiação Cósmica de Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Nucleossíntese Primordial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Setor Escuro e Modelos Alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Supernovas Tipo Ia e Expansão Acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Matéria Escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Constante Cosmológica e o Modelo ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4 Modelo ωCDM e Regime Phantom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.5 Modelo ω(z)CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Termodinâmica de Fluidos Relativísticos 25

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Conceitos de Termodinâmica de Não-Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

vii

2.3 Fluido Simples Relativístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Fluido Perfeito - Limite adiabático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 Fluido Imperfeito - Processos Dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Lei de Evolução da Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Modelos de Interação 33

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Modelo de Wang & Meng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Interação entre Matéria Escura e Energia Escura . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Modelo de Costa & Alcaniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Parametrizando ε(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Evolução dos Parâmetros de Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Termodinâmica da Interação entre Energia Escura e Matéria Escura 41

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Modelo de Interação Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Evolução dos Parâmetros de Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2 Análise termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3 Limite ε(a)→ ε0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.4 Limite ω(a)→ ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Conclusões e Perspectivas 52

A Dedução da Fonte de Entropia 54

B Dedução da Lei de Evolução da Temperatura 57

Referências Bibliográcas 59

viii

Lista de Figuras

1.1 Evolução da densidade de energia da matéria (linha preta), da radiação (linha

vermelha) e da constante cosmológica (linha verde) em função do fator de escala. 8

1.2 Gráco do trabalho original de Hubble (esquerda) mostra praticamente uma

relação linear. Na direita, temos os dados observacionais aprimorados da amostra

Constitution [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 A imagem mostra em detalhes todo o céu no Universo jovem, revelando as

utuações de temperatura em um intervalo de ±200µK. Imagem retirada de

[29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Os vários componentes que compõem o nosso Universo. A energia escura

compreende 69% da densidade de energia do Universo, a matéria escura

compreende 25% e matéria atômica 5%. Figura retirada e adaptada de [33]. . . 15

1.5 (a) Diagrama módulo de distância (µ) em função do redshift para 42 SNe Ia [16]

mais 18 SNe Ia [17]. As curvas tracejadas em azul representam ajustes dos dados

que correspondem aos modelos planos (k = 0) com vários valores de Ωm e ΩΛ. Já

as curvas pretas representam ajustes com constante cosmológica nula (Λ = 0).

(b) Diagrama magnitude residual em função do redshift para o mesmo conjunto

de dados de SNe Ia. Vários modelos são mostrados e o que mais se ajusta aos

dados é o que tem Ωm = 0.28 e ΩΛ = 0.72. Figura retirada e adaptada de [16]. . 16

1.6 Evolução do fator de escala a(t) para alguns valores do parâmetro da equação

de estadoω. Consideramos que a0 = 1 e t0 = 0. Figura retirada de [58]. . . . . . 21

3.1 Evolução dos parâmetros de densidades em função do log a para P1 mais alguns

valores combinados de ε0 e ξ e dois valores característicos do parâmetro de

equação de estado ω = −1, 0 e ω = −0, 9 [106]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Os mesmos dados da gura 3.1 mas agora ε(a) é dado por P2. Nas guras 3(b) e

3(d), para valores de ε0 > 1, 2 a interação entre matéria escura e energia escura

conduz o Universo a uma nova era em que a matéria escura domina [106]. . . . . 40

4.1 Na gura é mostrado todos os modelos que são englobados pelo nosso. Fazendo

determinados limites recuperamos os modelos que estão na literatura. . . . . . . 42

ix

4.2 Na gura é mostrado as evolução da densidade de energia do uido escura em

termos das parametrizações linear (a), logarítmica (b) e CPL (c) para alguns

valores de ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Evolução dos parâmetros de densidades Ωj em função do log(a) para os valores

de ξ considerando as parametrizações linear, logarítmica e CPL. . . . . . . . . . 46

4.4 Evolução dos parâmetros de densidades Ωj em função do log(a) para os valores

de ξ considerando as parametrizações linear, logarítmica e CPL. . . . . . . . . . 47

x

Lista de Tabelas

1.1 Valores para o parâmetro da equação de estado com intervalo de conança de

95% para dados combinados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

xi

Notações, Convenções e Símbolos

• Assinatura da métrica: (+,−,−,−).

• Índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos variam de 1 a 3. Índices repetidos representam

soma (convenção de Einstein).

• Palavras em outro idioma são escritas em itálico.

• Sistema de unidade em que c = 1, de modo que a constante gravitacional de Einstein

χ = 8πG.

• Derivada temporal: f ≡ dfdt.

• A unidade de distância é o megaparsec (Mpc): 1Mpc = 3, 26×106 anos-luz = 3, 08×1022m.

xii

Introdução

O entendimento de como funciona o universo é um desejo constante em toda história da

humanidade, das civilizações mais antigas até os dias de hoje. Em Cosmologia o objeto de

estudo é exatamente esse sistema singular, o universo. O principal objetivo dessa área da

física é estabelecer um modelo que explique os dados observacionais na tentativa de entender a

estrutura, dinâmica e a evolução do universo como um todo.

Na segunda década do século XX, Albert Einstein propôs o primeiro modelo para o universo

com uma matemática mais apurada [1]. O modelo proposto por Einstein era uma combinação

do princípio cosmológico com a sua recém publicada Teoria da Relatividade Geral. Contudo,

tal modelo possuía como principal problema a natureza atrativa da gravidade gerada pela

distribuição de massa e energia, que deveria causar um colapso do universo. Para evitar esse

colapso e devido as observações da época (imaginava-se que o universo era estático e estável),

Einstein introduziu em suas equações de campo a constante cosmológica em uma tentativa de

contrabalancear a gravidade de todo conteúdo do universo. Dessa forma, obteve uma solução

para suas equações de campo que descrevia um universo estático. Em 1917, Willem De Sitter

obteve uma solução das equações de Einstein para o vácuo com constate cosmológica que tinha

como interpretação um universo em expansão [2].

Em 1922 e depois em 1924, Alexander Friedmann obteve duas soluções expansionistas

das equações de campo de Einstein sem a constante cosmológica [3, 4]. Em 1927, Georges

Lemaître obteve, de forma independente e baseado nas observações de Vesto Slipher, equações

equivalentes às anteriormente obtidas por Friedmann [5]. A relação linear entre velocidade

e distância já encontrava-se nesse trabalho. Lemaître foi o primeiro a propor a ideia do Big

Bang. Apenas em 1929, usando medidas de redshifts feitas por Milton Humason, Edwin Hubble

observou a existência de uma relação linear entre o desvio para o vermelho e a distância das

galáxias [6]. Com essas observações, os modelos cosmológicos expansionistas passaram a ser

mais aceitos fazendo com que Einstein abandonasse a ideia da constante cosmológica.

Em meados de 1940 as evidências indicavam que o Universo estava se expandindo, mas

não haviam observações que ajudassem apoiar a teoria do Big Bang. No mesmo período

George Gamow mais seus colaboradores, Ralph Asher Alpher e Robert Herman, centraram

suas pesquisas em como descrever os estágios iniciais do universo utilizando física nuclear de

alta energia. Eles tentaram explicar a abundância dos elementos químicos a partir da fusão

nuclear tornada possível devido às altas temperaturas após o Big Bang [7]. Ralph Asher Alpher

1

e Robert Herman previram que em determinado momento a temperatura teria sido tão elevada

que elétrons não poderiam estar ligados aos núcleos [8]. Quando o universo esfriou e os elétrons

foram capturados pelos núcleos, este tornou-se transparente para os fótons, deixando como

relíquia uma radiação que tinha espectro de corpo negro, essa relíquia cou conhecida como

radiação cósmica de fundo. Eles previram que a temperatura da radiação cósmica de fundo

seria de 5K, que foi conrmado, acidentalmente, em 1965 por Arno Allan Penzias e Robert

Woodrow Wilson [9]. Penzias e Wilson publicaram seus resultados em uma revista e no mesmo

volume seus compatriotas R.H. Dicke, P.J.E. Peebles, P.G. Roll e D.T. Wilkison, que estavam

montando uma antena para detectar essa radiação, apresentaram a interpretação correta do

observado [10]. A temperatura de corpo negro encontrada foi de T = 3, 5 ± 1, 0K, oferecendo

suporte à teoria do Big Bang. Penzias e Wilson ganharam o Prêmio Nobel de Física de 1978

pela descoberta da radiação cósmica de fundo.

Já nos anos de 1960 a constante cosmológica volta à tona com Yakov Borisovich Zel'dovich

[11]. Ele deu uma outra interpretação para a constante cosmológica mostrando que o tensor

energia-momento do vácuo, decorrente das utuações dos campos quânticos, tinha as mesmas

propriedades de uma constante cosmológica. Desde então, a constante cosmológica passou a

ser associada à energia do vácuo. Nos anos 80, modelos expansionistas, que admitiam um

universo acelerado e com constante cosmológica, resolviam o problema da idade do Universo

fornecendo valores maiores do que as idades das estruturas mais velhas observadas. Juntamente

a esses modelos, a teoria da inação previa um universo plano [12, 13, 14]. Mesmo admitindo a

existência de matéria escura, ainda faltava explicar o que preenchia cerca de 70% do Universo.

Muitos cosmólogos associaram esta parcela faltante à constante cosmológica. Porém, era

necessário obter dados observacionais de uma possível expansão cósmica acelerada.

No nal da década de 90, grupos de pesquisas reuniram esforços na tentativa de observar

o universo muito além da nossa galáxia. Com intenção de medir a densidade de matéria do

universo, foi utilizado pela primeira vez dados de Supernovas do tipo Ia (SNe Ia) em Cosmologia.

Então dois grupos independentes, o High-z Supernova Search Team (HSST) [15] e o Supernova

Cosmology Project (SCP) [16], ambos usando amostras de calibrações do Calán/Tololo Survey

constataram que as SNe Ia apresentavam um brilho menor do que esperado. A partir desses

dados, o modelo que mais se ajustava era o que necessitava de uma contribuição de 72% de

uma fonte de energia extra que foi associada a energia do vácuo. Assim, a causa da expansão

acelerada foi associada à energia do vácuo que outrora foi relacionado à constante cosmológica.

Portanto, essa foi a primeira evidência observacional da aceleração do universo. Essa descoberta

revolucionou a cosmologia e a física rendendo Prêmio Nobel de Física de 2011 a Adam G. Riess,

Brian P. Schmidt e Saul Perlmutter.

Desde de então diferentes dados observacionais (Supernovas, Radiação Cósmica de Fundo e

Oscilação Acústica de Bárions) convergem para um mesmo modelo cosmológico. O modelo

padrão da cosmologia, conhecido como modelo ΛCDM, considera o universo homogêneo e

isotrópico, plano, com sua dinâmica descrita pela Relatividade Geral com constante cosmológica

2

e a presença de matéria escura fria. Mesmo sendo simples do ponto de vista matemático,

o modelo possui alguns problemas fundamentais que vão desde quais são as principais

componentes, como evoluem e o problema da constante cosmológica, em que o valor observado

da densidade de energia do vácuo previsto pelo modelo ΛCDM é cerca de 120 ordens de grandeza

menor que o valor previsto teoricamente pela teoria quântica de campos. Esse problema é que

motiva a explorar hipóteses mais gerais sobre quem seria o responsável pela aceleração cósmica.

Perante esse enorme problema, tem-se considerado alternativas mais gerais para explicar

o universo observado. No cenário da Teoria da Relatividade Geral, a alternativa mais usual

consiste em assumir a existência de uma componente exótica, conhecida como energia escura

ou quintessência, cuja a densidade de energia varia lentamente com a expansão cósmica. Essa

componente exótica possui pressão negativa e a energia do vácuo como caso particular. Tal

como a constante cosmológica, a energia escura também conduz a expansão do Universo para

uma fase acelerada, além disso pode resolver o problema da energia faltante no universo.

Porém, assumindo a existência dessa componente exótica surgem pelo menos duas questões

fundamentais que precisam ser respondidas. Qual a natureza da energia escura? E por que

a aceleração cósmica começou recentemente? Ou por que as densidades relativas de energia

escura (Ωx) e de matéria escura (Ωdm) tem a mesma ordem de magnitude se evoluem de forma

completamente independentes (problema da coincidência cósmica)?

No esforço de resolver o problema da coincidência cósmica, alguns trabalhos recentes tem

considerado a possibilidade de uma interação entre a energia e a matéria escuras, que origina

os chamados modelos de quintessência acoplada [18, 19, 20]. É no contexto de interação entre

as componentes escuras que essa dissertação é inserida. Descreveremos a seguir como esta

dissertação está estruturada.

No capítulo 1 faremos uma revisão da Cosmologia padrão e suas principais equações

baseadas na Teoria da Relatividade Geral bem como alguns suportes observacionais em que

se apoia. Mostraremos alguns problemas da Cosmologia padrão e os modelos alternativos ao

modelo ΛCDM, como também algumas parametrizações do parâmetro da equação de estado

(ω(a)). No capítulo 2, explanaremos sobre a termodinâmica de uidos relativísticos. Adotando

um modelo que o universo é descrito por um uido em expansão, vamos discutir os princípios

básicos da termodinâmica de não-equilíbrio, a descrição matemática, bem como as grandezas

fundamentais e as leis de conservação. Por m, deduziremos a lei de evolução da temperatura

do uido em termos dos processos dissipativos conhecidos. A seguir, no capítulo 3 faremos

uma revisão de modelos de interação, em especial o modelo de Wang & Meng. Apresentaremos

também o modelo de Costa & Alcaniz proposto em [105], em que consiste no modelo de Wang

& Meng em que o parâmetro de interação é varável com o tempo cósmico. Em seguida,

mostraremos algumas parametrizações de ε(a). Finalmente, no capítulo 4 apresentaremos

nossa contribuição original dessa dissertação. Considerando uma interação entre a matéria

e energia escuras descrita pelo modelo de Costa & Alcaniz em que o parâmetro da equação de

estado (ω = ω(a)) e o parâmetro de interação (ε = ε(a)) são variáveis com o tempo cósmico.

3

Considerando essa interação, iremos analisar a evolução de alguns parâmetros de densidade. Por

m, utilizaremos o tratamento termodinâmico desenvolvido no capítulo 2 para impor vínculos.

Veremos que o fato de ε = ε(a) e ω = ω(a) implicará em um uido interagente com um termo

dissipativo, pressão viscosa volumar. Nosso modelo generaliza alguns existentes na literatura

sentido matemático, ou seja, ε(a) → ε0 (interação constante), ε(a) → 0 (sem interação) e

ω(a)→ ω0 são situações especícas (já estudadas) do nosso modelo.

4

Capítulo 1

Cosmologia Padrão

1.1 Introdução

Desde do início do século XX a Cosmologia tem avançado signicativamente em busca do

entendimento da dinâmica, evolução e estrutura do Universo. Como toda teoria, a Cosmologia

é baseada em alguns princípios básicos que são alicerces de todo modelo que busca descrever o

Universo. A Cosmologia Padrão é baseada no princípio cosmológico, na Teoria da Relatividade

Geral de Einstein e em algumas evidências observacionais tais como a Lei de Hubble, a existência

da radiação cósmica de fundo (CMB), a nucleossíntese primordial e expansão acelerada do

Universo.

O princípio cosmológico arma que o universo é homogêneo e isotrópico em grandes escalas

de distâncias e portanto, não há nenhum observador privilegiado. Dizer que o universo é

homogêneo signica admitir que em todos os pontos do espaço tem as mesmas condições de

temperatura, densidade, por exemplo. Por outro lado, considerar isotrópico signica que em

torno de um ponto todas as direções são equivalentes. Observações que evolvem contagens

de galáxias usando catálogos [21] mostram que o princípio cosmológico é aproximadamente

correto. Todavia, as observações do espectro de utuações de temperatura da radiação cósmica

de fundo revelam com maior precisão que o Universo foi altamente isotrópico (∆T/T ' 10−5).

Acredita-se hoje que escalas acima de 100 Mpc é uma excelente aproximação considerar o

Universo homogêneo e isotrópico.

Na segunda década do século passado, Hubble observou que as galáxias distantes se afastam

de nós indicando uma expansão do Universo. Portanto, para um modelo padrão que descreve o

universo devemos considerar que ele seja homogêneo, isotrópico e que esteja em expansão. No

contexto da Relatividade Geral, a métrica que descreve um universo com essas propriedades é

a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertense-Walker (FLRW).

5

1.1.1 Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker e Equações

de Friedmann

A métrica que descreve um universo homogêneo, isotrópico, em expansão e que tenha

simetria esférica é a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) [22]

ds2 = dt2 − a2(t)[ dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sen2dφ2)

], (1.1)

em que a(t) é o fator de escala que descreve a expansão do universo e k é o parâmetro de

curvatura espacial que pode assumir três valores: k = 1, universo aberto; k= -1, universo

fechado e para k = 0 temos um universo plano.

Com a métrica que descreve um universo homogêneo, isotrópico e em expansão, o próximo

passo é obter as equações que determinam a dinâmica do universo. Então, considerando as

equações de campo da Teoria da Relatividade Geral, que são

Rµν −1

2Rgµν = χTµν , (1.2)

onde Rµν é o tensor de Ricci, R é o escalar de curvatura de Ricci, χ ≡ 8πG é uma constante

e Tµν é o tensor energia-momento que descreve todo conteúdo energético do Universo. Por

simplicidade, o conteúdo energético do Universo é representado por um uido perfeito cujo

tensor energia-momento é

Tµν = (ρ+ p)uµuν − pgµν , (1.3)

onde ρ é a densidade de energia, p pressão e uµ é a quadrivelocidade do uido medida por um

observador comóvel.

O lado esquerdo das equações de campo de Einstein depende das conexões que são calculadas

a partir da métrica de FLRW (1.1). Assim, obtendo as conexões não nulas, calculando o tensor

e o escalar de Ricci, temos a partir das equações (1.2) e (1.3) duas equações

( aa

)2

=8πG

3ρ− k

a2, (1.4)

e

2a

a+a2

a2+k

a2= −8πGρ. (1.5)

Então substituindo a equação (1.4) na equação (1.5) obtemos

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p). (1.6)

As equações (1.4) e (1.6) são conhecidas como equações de Friedmann e determinam a

dinâmica do universo descrevendo como seus componentes (matéria, radiação, energia escura

6

etc) evoluem. A primeira equação de Friedmann, (1.4), determina a taxa de expansão e a

segunda (1.6) determina a aceleração da expansão. Note que se o Universo está em expansão

acelerada, então a componente do uido que domina a expansão deverá possuir uma pressão

p < −ρ/3, ou seja, negativa.

1.1.2 Equação de Conservação de Energia

Para determinar como os componentes do universo evoluem com o tempo cósmico precisamos

de uma equação da conservação de energia. Logo, combinando a equação (1.4) com (1.6)

obtemos1

ρ+ 3a

a(ρ+ p) = 0. (1.7)

Precisamos de uma relação entre a densidade de energia e a pressão do uido. Por simplicidade,

a equação de estado (EoS) que é adotada em Cosmologia é p = ωρ, onde ω é o parâmetro da

equação de estado que identica o conteúdo do modelo cosmológico. Admitindo que cada

componente se conserva separadamente, isto é, são independentes, tem-se uma equação de

conservação para cada componente i do universo

ρi + 3a

a(ρi + pi) = 0. (1.8)

Para uma equação de estado p = ωiρi, com ωi constante, podemos resolver a equação (1.8) e

obter uma relação geral para a evolução da densidade de um uido qualquer, logo

ρi = ρi,0

( aa0

)−3(1+ωi)

. (1.9)

Os parâmetros da equação de estado para a matéria bariônica e para matéria escura, não

relativísticas são ambas nulas, ou seja, ωb = ωdm = 0. A radiação tem como parâmetro

ωr = 1/3 e vamos considerar o parâmetro da equação de estado referente a energia escura como

ωx = ω. Assim, a equação (1.9) fornece a evolução de cada componente

ρb = ρb,0

( aa0

)−3

, (1.10)

ρdm = ρdm,0

( aa0

)−3

, (1.11)

ρr = ρr,0

( aa0

)−4

, (1.12)

ρx = ρx,0

( aa0

)−3(1+ω)

. (1.13)

1A conservação da energia e do momento pode ser igualmente obtida ao projetar a derivada covariante dotensor energia-momento da direção da quadrivelocidade (uµT

µν;ν = 0).

7

Figura 1.1: Evolução da densidade de energia da matéria (linha preta), da radiação (linhavermelha) e da constante cosmológica (linha verde) em função do fator de escala.

Na gura 1.1 temos a evolução das diversas componentes do Universo. No eixo das abscissas

temos o fator de escala e no eixo das ordenadas, a densidade de energia. Notamos que no

universo primordial (a ≈ 10−5) a radiação dominou a evolução, esse momento da história

cósmica cou conhecido como era da radiação. Mas em um determinado redshift de transição

z∗ a matéria passou a dominar a evolução cósmica e a radiação seguiu subdominante. No

estágio atual da evolução, o universo parece ser dominado pela energia do vácuo (constante

cosmológica) que tem parâmetro da equação de estado ωΛ = −1, que a partir da equação (1.13)

implica ρΛ = const.

Considerando o universo plano (k = 0) podemos usar a primeira equação de Friedmann

(1.4) e denir, em um determinado momento, uma densidade de energia crítica que para valores

atuais [24] é

ρc =3H2

0

8πG= 8, 64× 10−27kg.m−3, (1.14)

logo, para cada componente i, podemos denir o parâmetro de densidade da seguinte maneira

Ωi ≡ρiρc

=3H2ρi8πG

, (1.15)

onde H = a/a é o parâmetro de Hubble. Para um universo com radiação, matéria não

relativística (bárions e matéria escura) e constante cosmológica, podemos reescrever a primeira

equação de Friedmann (1.4) da seguinte maneira

H2

H20

= Ωk,0

( aa0

)−2

+ Ωm,0

( aa0

)−3

+ Ωr,0

( aa0

)−4

+ ΩΛ,0, (1.16)

em que Ωk = −ka20H

20é o parâmetro de densidade associado à curvatura, ΩΛ,0, associada a constante

8

cosmológica e H0 é o parâmetro de Hubble hoje. Reescrevendo para o tempo hoje (a = a0 e

H = H0), encontra-se um vínculo entre esses parâmetros

Ωk,0 + Ωm,0 + Ωr,0 + ΩΛ,0 = 1. (1.17)

1.2 Cosmologia Observacional

Toda teoria que foi apresentada anteriormente prevê alguns fatos que foram posteriormente

observados: a recessão de galáxias, a existência de um remanescente fóssil que permeia o

Universo conhecido como radiação cósmica de fundo e as abundâncias primordiais dos elementos

leves (D, 3H, 3He, 4He e 7Li), cujos os núcleos foram sintetizados na nucleossíntese primordial.

1.2.1 Redshift Cosmológico e a Lei de Hubble

A ideia de um universo em expansão foi primeiramente apresentada por Vesto Slipher [23] e

nalmente conrmadas por Edwin Hubble em 1929, quando este observou que a luz proveniente

de galáxias distantes exibia um desvio sistemático para o vermelho [6]. A descoberta desse

fenômeno rapidamente se constituiu em uma das grandes descobertas cientícas do século XX

que, juntamente com a Teoria da Relatividade Geral são os pilares da Cosmologia moderna e

foram fundamentais para o seu desenvolvimento.

Num universo em expansão, a distância entre dois objetos aumenta com o tempo e a

luz emitida por esses objetos são desviadas para o vermelho (redshift). Considere uma onda

eletromagnética emitida pela galáxia no tempo te, viajando ao longo da direção −r e observadapor nós no tempo t0. O fóton se propaga ao longo de uma geodésica nula e como a métrica de

FLRW (1.1) é isotrópica, nos preocuparemos em descrever geodésicas tipo-luz radiais, isto é,

ao longo das quais dθ = dφ = 0. Assim, temos

dt2 =a2(t)dr2

1− kr2, (1.18)

ou

dt

a=

dr√1− kr2

. (1.19)

Supondo que a luz quando sai da galáxia tem um comprimento de onda λe, nos xemos numa

única crista de onda da luz emitida. Assim, a crista é emitida no tempo te e observada no

tempo t0. Integrando entre os instantes te, de emissão em r e t0, de recepção em r = 0, temos∫ t0

te

dt

a(t)=

∫ r

0

dr√1− kr2

. (1.20)

A próxima crista de onda é emitida no tempo te + λe e observada em t0 + λ0 (λe 6= λ0). Agora

9

temos, ∫ t0+λ0

te+λe

dt

a(t)=

∫ r

0

dr√1− kr2

, (1.21)

comparando as equações (1.20) e (1.21) e reescrevendo o resultado como∫ te+λe

te

dt

a(t)+

∫ t0

te+λe

dt

a(t)=

∫ t0

te+λe

dt

a(t)+

∫ t0+λ0

t0

dt

a(t), (1.22)

ou seja, ∫ te+λe

te

dt

a(t)=

∫ t0+λ0

t0

dt

a(t). (1.23)

Durante o tempo da emissão ou observação de duas cristas sucessivas, o universo não tem tempo

suciente para se expandir por uma quantidade apreciável. A escala de tempo para a expansão

é da ordem do tempo de Hubble, que é de 14 Giga anos (14 bilhões de anos), enquanto que o

tempo entre duas cristas sucessivas, por exemplo para a luz visível é λ ≈ 2 × 10−15s ≈ 10−33

do tempo de Hubble. Isso signica que é o fator de escala é praticamente constante, logo

1

a(te)

∫ te+λe

te

dt =1

a(t0)

∫ t0+λ0

t0

dt, (1.24)

integrando

λea(te)

=λ0

a(t0). (1.25)

Usando a denição de efeito Doppler para onda eletromagnética

z =λ0 − λeλe

, (1.26)

encontramos, então, que a luz emitida por um objeto distante sofre um desvio para o vermelho

devido à expansão do Universo, que é dada por

z =a0

a− 1, (1.27)

onde a0 é o fator de escala hoje (em z = 0) e a é o fator de escala do universo quando o fóton

foi emitido pela fonte (que se encontra no redshift z). Se o universo estiver expandindo a0 > a,

temos z > 0, então a luz se desvia para o vermelho (afastamento), enquanto a0 < a, o universo

estaria se contraindo, ou seja, a luz observada estaria se desviando para o azul.

Em 1929, Hubble analisando o espectro de galáxias observadas por Milton Humason,

observou que a luz proveniente de galáxias distantes exibia um desvio sistemático para o

vermelho (redshift). Na gura 1.2 (esquerda) temos o diagrama de Hubble do trabalho original

no qual se observa a relação linear entre distância e velocidade [6]. Com a evolução dos dados

10

Figura 1.2: Gráco do trabalho original de Hubble (esquerda) mostra praticamente uma relaçãolinear. Na direita, temos os dados observacionais aprimorados da amostra Constitution [25].

observacionais houve um mapeamento melhor, logo, o diagrama de Hubble foi aprimorado gura

1.2 (direita) [25].

A partir dessas observações, Hubble obteve uma relação linear entre a distância d (associado

à distância luminosidade, por exemplo) de um dado objeto e sua velocidade de recessão v

(associado ao redshift) da seguinte maneira

v = H0d, (1.28)

onde H0 é a constante de Hubble. A velocidade de recessão está relacionado com o redshift

da seguinte maneira: para velocidade baixas comparadas com a velocidade da luz, a variação

fracional do comprimento de onda é dado pela equação (1.26), assim

v =λ0 − λeλe

, (1.29)

se a fonte se afasta, v > 0 e z > 0 e as riscas correspondentes às linhas espectrais desviam-se

para o vermelho, caso contrário, isto é, v < 0 e z < 0, temos um desvio para o azul. Então,

para baixos redshifts. A equação (1.28) pode ser escrita da seguinte maneira

z = H0d. (1.30)

A grande vantagem da métrica de FLRW é que ela incorpora de maneira direta a Lei de

Hubble. De fato, considere uma galáxia arbitrária situada a grande distância, desta forma

11

podemos desprezar seu movimento próprio. Assim, sua distância d(t), até nós é dado por

d(t) = a(t)[ ∆r2

1− kr2+ r2∆θ2 + r2 sen2∆φ2

]1/2

, (1.31)

a derivada em relação ao tempo leva a

v(t) =a

ad(t) = H(t)d(t), (1.32)

em que H(t) é o parâmetro de Hubble, uma função do tempo que estima a taxa de expansão do

universo. Dimensionalmente, o parâmetro de Hubble tem dimensão de inverso de tempo [T ]−1,

fornecendo assim, uma escala temporal característica do universo. Na época em que Hubble

publicou seus trabalhos, ele encontrou um valor para H0 = 500 km.s−1.Mpc−1. Os resultados

mais recentes mostram valores bem mais baixos, como os da Missão Planck que fornecem

H0 = 67, 80 ± 0, 9 km.s−1.Mpc−1 [24]. Para eliminar essa incerteza, comumente escrevemos

o parâmetro de Hubble adimensional, ou seja, H0 = 100h km.s−1.Mpc−1 onde o parâmetro h

representa a nossa ignorância sobre o valor exato de H0. Atualmente ainda é discutido qual

o valor da taxa de expansão do Universo devido sua importância para compor um modelo

cosmológico preciso.

1.2.2 Radiação Cósmica de Fundo

Como o Universo está em expansão, é razoável pensar que em algum momento todos os

seus constituintes deveriam estar muito próximos um dos outros. Conforme a teoria do Big

Bang, o Universo primordial era opaco e estava sob a forma de um plasma, isto é, haviam

elétrons, prótons, mas não átomos de hidrogênio. Os fótons interagiam fortemente com os

elétrons através do espalhamento Compton. Devido a expansão do Universo, a temperatura foi

diminuindo, chegando por volta de 3.000K, que corresponde ao Universo com 300.000 anos, os

fótons não possuíam mais energia suciente para manter o hidrogênio ionizado. Formaram-se

então átomos neutros e os fótons seguiram livres, sem interagir com a matéria. Essa época é

chamada de recombinação ou desacoplamento. A superfície onde aconteceu o desacoplamento

é conhecida como última superfície de espalhamento. Os fótons, que seguiram praticamente

livres após a recombinação, constituem a radiação cósmica de fundo, ou em inglês, Cosmic

Microwave Background (CMB). Essa radiação foi detectada acidentalmente por Arno Penzias e

Robert Wilson, em 1965. Eles receberam o Prêmio Nobel de Física de 1978 por esta descoberta.

Quando detectaram a radiação cósmica de fundo, Penzias e Wilson obtiveram uma

temperatura T = 3, 5 ± 1, 0K. O Satélite COBE (Cosmic Microwave Background Explorer),

que foi o primeiro a ser lançado para investigar as propriedades da CMB, obteve um espectro

que se ajustava perfeitamente ao de corpo negro para a temperatura T = 2, 725± 0, 020K [27].

O campo de radiação é consistente com o espectro de um corpo negro, sendo a densidade de

12

energia dada por

ρν ∝ν3

ehν/kBT − 1, (1.33)

onde kB é a constante de Boltzmann e h a constante de Planck e ν a frequência. A descoberta

da CMB deu um forte crédito à estrutura teórica do Big Bang.

Integrando a equação (1.33) em todo espectro obtemos a densidade de energia total dos

fótons

ργ ∝ T 4γ , (1.34)

que é a famosa lei de Stefan-Boltzmann. Das equações de Friedmann, a radiação evolui na

forma ργ ∝ a−4, logo

Tγ ∝ a−1. (1.35)

Então a medida que o Universo se expande, a temperatura da CMB diminui, justicando a

detecção de temperatura tão baixa.

A CMB é extremamente homogênea e isotrópica em escalas de temperatura de até

10−5. Entretanto, algumas anisotropias foram identicadas nos resultados do COBE [28] e

posteriormente conrmadas pelo WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) [31]. Estas

anisotropias manifestam-se como variações na temperatura para diferentes regiões do céu e

recebem uma classicação de acordo com o período em que foram produzidas. Anisotropias

primárias são resultados de pertubações decorrentes de processos físicos que ocorreram antes

ou durante o processo de desacoplamento da matéria e radiação. Já as anisotropias secundárias

ocorreram durante a trajetória dos fótons da última superfície de espalhamento até nós.

O estudo dessa anisotropias se torna bastante útil para a Cosmologia, pois pode estimar

parâmetros cosmológicos com grande precisão.

Essas pertubações na distribuição angular da temperatura da CMB podem ser representadas

por meio de uma expansão em harmônicos esféricos da seguinte maneira

δT (θ, φ)

T0

=∞∑l=1

l∑m=−l

almYlm(θ, φ), (1.36)

onde alm são os coecientes da expansão e Ylm(θ, φ), os harmônicos esféricos que são denidos

em termos das funções associadas de Legendre. A série harmônica representa o conjunto de

todos os possíveis modos de oscilação da superfície esférica. Cada harmônico esférico indica

um padrão possível de onda estacionária em uma esfera. Uma superposição de harmônicos

esféricos pode representar qualquer padrão de onda em uma superfície esférica. Com isso,

podemos representar a última superfície de espalhamento por meio de uma superfície esférica

imaginária cujas irregularidades indicam utuações na temperatura.

13

Figura 1.3: A imagem mostra em detalhes todo o céu no Universo jovem, revelando as utuaçõesde temperatura em um intervalo de ±200µK. Imagem retirada de [29].

1.2.3 Nucleossíntese Primordial

A nucleossíntese primordial se refere ao período durante o qual se formaram determinados

elementos químicos leves (D, 3H, 3He, 4He e 7Li). Gamow foi o primeiro a descrever o universo

primordial supondo que a temperatura do nesse período era elevada o suciente para conter

toda matéria decomposta em sua forma elementar [7]. Assim, ele considerou que o universo era

inicialmente preenchido por prótons, nêutrons, elétrons, pósitrons, fótons e neutrinos. A síntese

dos elementos leves depende da relação entre a temperatura, a taxa de expansão e a taxa das

reações fraca e nuclear. As reações regidas pela interação fraca determinam a transformação

entre nêutrons e prótons que por sua vez, determina a quantidade de 4He sintetizada. As

reações nucleares determinam a relação entre a quantidade bárions e a quantidade de fótons (a

razão bárions-fótons η) e o número de neutrinos Nν .

A nucleossíntese primordial ocorreu, aproximadamente, entre os instantes t ≈ 0, 01s e

t ≈ 100s, quando a temperatura do Universo variou de T ≈ 10 MeV a T ≈ 0, 1 MeV. Nesse

período foram produzidos elementos leves, tais como: deutério (2H), hélio-3 (3He), hélio (4He)

e lítio (7Li). Com a diminuição da temperatura devida a expansão do Universo, a pressão

dos elementos bariônicos foi insuciente para continuar a fusão nuclear no plasma primordial

cessando a síntese dos elementos leves. Assim, as frações dos elementos leves observadas hoje

devem ser condizentes com a nucleossíntese primordial. Os elementos mais pesados foram

sintetizados posteriormente através das reações nucleares no interior das estrelas. Segundo as

previsões da nucleossíntese, a parte bariônica do Universo é constituída por cerca de 75% de

hidrogênio (1H), 25% de hélio (4He) e menos de 1% de outros elementos.

A estimativa da abundância dos elementos leves constitui um importante teste para os

modelos cosmológicos. As análises dos dados obtidos pelo Wilkinson Microwave Anisotropy

Probe (WMAP) permitiram realizar previsões acerca da nucleossíntese. De acordo com esses

14

dados, a abundância primordial do hélio era YHe = 0, 3080,0320,031 com 69% de conança e a masa

total dos neutrinos mν < 0, 44 eV com 95% de conança [41].

A análise da abundância dos elementos depende da razão bárion-fóton η no intervalo de 10−10

e 10−9 e do número efetivo de espécies de neutrinos Nν = 3, 26±0, 35 com 95% de conança[31].

Com o auxílio da temperatura da Radiação Cósmica de Fundo é possivel estimar a densidade da

matéria bariônica (Ωb) no Universo. De acordo com os dados do WMAP Ωb = 0, 0463± 0, 0024

para o modelo ΛCDM [41].

A teoria da nucleossíntese está de acordo com os valores encontrados para o número de

neutrinos em aceleradores Nν = 3, 00 ± 0, 02 [32]. Além disso, seus resultados podem ser

empregados para vincular outros parâmetros cosmológicos.

1.3 Setor Escuro e Modelos Alternativos

As medições de distâncias de Supernovas tipo Ia, marcaram uma nova corrida para

compreensão do Universo, ao propor a existência de uma componente exótica que seria

responsável pela atual fase de aceleração do Universo, conhecida como energia escura. Desde de

então, pesquisas tem sido feitas em busca para entender essa componente exótica, desta forma

os resultados recentes indicam um universo espacialmente plano e sua composição é dada pela

gura 1.4.

Figura 1.4: Os vários componentes que compõem o nosso Universo. A energia escuracompreende 69% da densidade de energia do Universo, a matéria escura compreende 25% ematéria atômica 5%. Figura retirada e adaptada de [33].

15

1.3.1 Supernovas Tipo Ia e Expansão Acelerada

A primeira conrmação direta da expansão acelerada do Universo veio de pesquisas que usam

supernovas tipo Ia (Sne Ia) por dois grupos independentes no ano de 1998: High-z Supernova

Search Team (HSST) [15] e o Supernova Cosmology Project (SCP) [16], ambos usando amostras

de calibrações do Calán/Tololo Survey. Essa descoberta revolucionou a Cosmologia e a física

rendendo Prêmio Nobel de Física de 2011 a Adam G. Riess, Brian P. Schmidt e Saul Perlmutter.

Supernovas do tipo Ia são produtos de um sistema binário em que uma estrela anã branca

acreta massa de sua companheira. Quando a massa da anã branca atinge 1,4 da massa solar

(limite de Chandrasekhar) ocorre uma explosão violenta, gerando um brilho intenso. Este

brilho é tão intenso que serve como indicador de distâncias que estão muito além da nossa

galáxia, assim, as SNe Ia é de grande valia para a Cosmologia, pois podemos estimar parâmetros

cosmológicos importantes.

Figura 1.5: (a) Diagrama módulo de distância (µ) em função do redshift para 42 SNe Ia [16] mais18 SNe Ia [17]. As curvas tracejadas em azul representam ajustes dos dados que correspondemaos modelos planos (k = 0) com vários valores de Ωm e ΩΛ. Já as curvas pretas representamajustes com constante cosmológica nula (Λ = 0). (b) Diagrama magnitude residual em funçãodo redshift para o mesmo conjunto de dados de SNe Ia. Vários modelos são mostrados e o quemais se ajusta aos dados é o que tem Ωm = 0.28 e ΩΛ = 0.72. Figura retirada e adaptada de[16].

16

Na gura 1.5 é mostrado dois diagramas: o módulo de distância em função do redshift

(a) e magnitude residual em função do redshift (b) para 42 SNe Ia [16] mais 18 SNe Ia [17].

Note que modelos de universo em que a matéria domina não se ajustam bem aos dados, o que

contrariava até então a ideia de que a expansão do Universo era freada pela gravidade. Já as

curvas que a energia do vácuo domina são as que melhores se ajustam aos dados. Para ser mais

preciso, a curva de melhor ajuste encontrada foi Ωm = 0.28 e ΩΛ = 0.72, o que signica que a

energia do vácuo (Λ) domina a evolução energética do Universo, concluindo-se que o Universo

se expande aceleradamente. O grande desao atual é saber qual a natureza desta componente

que estranhamente age contra a gravidade e expande aceleradamente o Universo.

1.3.2 Matéria Escura

Evidências observacionais que registraram a existência da matéria escura datam da década

de 30, quando medidas de velocidades de galáxias nos aglomerados de Coma e Virgo feitas por

Fritz Zwicky foram publicadas [34]. Esses estudos mostravam que as velocidades das galáxias

eram da ordem de dez à cem vezes maiores do que se esperava.

Na década de 1970, Vera C. Rubin e W. Kent Ford [36] mediram curvas de rotação para

galáxia M31, ou seja, mediram a velocidade circular orbital como função da distância radial

ao centro galáctico utilizando estrelas e nuvens de hidrogênio neutro como partículas teste.

Esperava-se que, para baixos raios, se a massa seguisse a luz (se a massa fosse proporcional à

radiação emitida pela galáxia) a curva de rotação tivesse o comportamento de uma curva de um

corpo rígido e que para médios e grandes raios a curva seguisse uma kepleriana. Para pequenas

distâncias ao centro da galáxia a curva apresenta o comportamento esperado, o que indica que

a matéria nas partas internas é dominada por matéria luminosa. Para as partes externas o

comportamento é diferente do esperado cuja interpretação é que nestas regiões da galáxia há

presença de matéria não luminosa formando um halo escuro.

Considerando que a gravitação newtoniana descreve bem a dinâmica em escalas galácticas,

parece coerente supor que uma parcela considerável de matéria que mantém as galáxias e

os aglomerados como sistemas gravitacionalmente ligados é escura. Do ponto de vista dos

modelos teóricos, é exigida a presença da matéria escura para que as estruturas sejam formadas

no Universo.

Existem alguns candidatos teóricos à essa componente, dentre eles podemos citar:

• Matéria Escura Fria (CDM): os candidatos mais promissores a matéria escura fria são

partículas neutras e que interagem muito fracamente entre si ou com a matéria bariônica,

reagindo quase que exclusivamente à gravidade, chamadas WIMPs (Weakly Interacting

Massive Particles). Os principais candidatos nessa classe são: os áxions e os neutralinos.

O áxion, que aparece na cromodinâmica quântica, possui massas entre 10−1 e 10−5 eV,

este teria sido formado fora do equilíbrio termodinâmico e nunca teria sido relativístico.

17

O mais popular é o neutralino que é a mais leve partícula super-simétrica e, parece ser

um bom candidato a matéria escura, sua massa deve estar entre 1 GeV e 1 TeV.

• Matéria escura morna (WDM): seria a fase intermediária entre a matéria escura fria e

quente. É composta de partículas neutras, como o gravitino.

• Matéria escura quente (HCM): composta por partículas que ainda seriam relativísticas na

época em que as primeiras estruturas foram formadas. O neutrino é o principal candidato

já que no início do Universo sua densidade era enorme, por isso a maior parte da densidade

de matéria escura pode ser razoavelmente explicada por eles.

Modelos de formação de estrutura favorecem a matéria escura fria como o candidato mais

plausível a matéria escura.

1.3.3 Constante Cosmológica e o Modelo ΛCDM

Do ponto de vista teórico, o candidato mais simples e natural a energia escura é a constante

cosmológica, que quando inserida no lado direito nas equações de campo de Einstein (1.2) as

alteram para

Rµν −1

2Rgµν = χTµν + Λgµν . (1.37)

Seguindo o mesmo caminho que zemos na subseção 1.1.1, temos a métrica de FLRW, equação

(1.1) e o tensor energia-momento de um uido perfeito, equação (1.3), então combinando com

a equação (1.37), obtemos

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) +

Λ

3. (1.38)

De fato, admitindo um universo do tipo poeira (p = 0), obtemos

a = −4πG

3ρma+

Λ

3a. (1.39)

Observando esta equação, vê-se que o primeiro termo após a igualdade representa a força

gravitacional e tem caráter atrativo. O termo da constante cosmológica, ao contrário, tem

características de uma força repulsiva.

Utilizando argumentos de simetria e covariância pode-se mostrar que o tensor energia-

momento para o vácuo pode ser escrito como2

T µνvac = −pvacgµν , (1.40)

onde T µνvac é o tensor energia-momento do vácuo com pvac = −ρvac. Assim, comparando as

equações (1.37) e (1.40) podemos escrever uma constante cosmológica efetiva (Λef ) dada pela

2Para uma demonstração completa consultar o apêndice A de [86].

18

soma de uma constante intrínseca mais uma contribuição do vácuo

Λef = Λ + 8πGρvac. (1.41)

Em contrapartida, do ponto de vista da teoria quântica de campos, pode-se associar a

constante cosmológica com o vácuo quântico (estado de menor energia). Nesse contexto, todo

campo pode ser tratado como um conjunto innito de osciladores independentes entre si, cada

um com frequência ωi(k) e energia Ei = ~ωi/2. Logo a energia total do campo será a soma das

contribuições de cada oscilador no espaço dos momentos, ou seja,

ρvac =∑i

Ei =1

(2π)3

∫ kmax

0

~k2

4πk2dk =~k4

max

16π2. (1.42)

Este cálculo poderia ter sido efetuado de 0 à innito. Existe um valor máximo de kmax no qual

a teoria tem validade (mais detalhes em [37, 38]). Considerando o caso limite da relatividade

geral, a escala de Planck, temos que, kmax = mplanck ∼ 1019 GeV e assim teremos

ρplanckvac ∼ 1073GeV 4. (1.43)

Contudo, observações atuais apontam um valor da densidade de energia do vácuo igual a

ρobsvac,0 = Ωvac,03H2

0

8πG∼ 10−47GeV 4. (1.44)

Portanto, podemos constatar que ρplanckvac /ρobsvac,0 ∼ 10120, isto é, o valor da densidade de energia

do vácuo previsto pelo modelo padrão ΛCDM é cerca de 120 ordens de grandeza menor

que o valor previsto teoricamente. Embora utilizando outras escalas de energias como a

cromodinâmica quântica (QCD)(0, 3GeV), força eletrofraca (100GeV) e as teorias de grande

unicação (GUT)(1016GeV) ainda haverá uma enorme discrepância entre a teoria e observação.

Isso signica que, de acordo com a equação (1.41) o valor observado corresponderia a ρΛef

assim, deveria haver um ajuste muito no entre Λ e o valor teórico ρvac para justicar o valor

pequeno de ρobsvac,0. Este problema é conhecido como o problema da constante cosmológica.

Apesar dos esforços para explicar o problema da constante cosmológica, nenhum argumento

plausível tem sido aceito. De fato, atualmente busca-se outras abordagens para explicar

aceleração do Universo. Considerando a energia escura como uma solução para aceleração

cósmica, podemos destacar alguns aspectos teóricos, a saber: i) considerar a energia escura

como um uido exótico com equação de estado px = ωρx ou ii) representá-la como um

campo escalar de quintessência φ. Modelos alternativos de energia escura ver a referência

[39]. Portanto, nesses modelos, a constante cosmológica seria um caso particular em que o

parâmetro da equação de estado seria ω = −1. Nesta dissertação será considerada a abordagem

em que a energia escura é representado por um uido exótico com equação de estado constante

(ω = constante) ou variável (ω = ω(a)).

19

1.3.4 Modelo ωCDM e Regime Phantom

Nesse modelo a energia escura é representado por um uido perfeito com uma pressão

negativa e equação de estado dada por

px = ωρx, (1.45)

onde o parâmetro da equação estado ω é constante em toda evolução cósmica. O modelo ΛCDM

é recuperado para o caso ω = −1 e outras componentes também possui ω constante tal como

a matéria (ω = 0), radiação (ω = 1/3). Da segunda equação de Friedmann (1.6), temos que

ω < −1/3 para que o universo seja acelerado por essa componente.

Da equação de conservação de energia (1.7), a evolução da densidade de energia escura para

esse modelo é dado por

ρx = ρx,0

( aa0

)−3(1+ω)

, (1.46)

onde ρx,0 é o valor atual da densidade. Note que a evolução da energia escura ocorre mais

lentamente que as outras componentes garantindo que ela domine o atual estado do universo,

como apontam as observações.

Uma questão desse modelo é a possibilidade do valor do parâmetro ω ser menor que −1,

que é o valor para a constante cosmológica, como apontam dados observacionais recentes. Por

exemplo, os resultados do satélite Planck [40] combinados com medidas de CMB [41, 42], BAO

[43, 44] e medidas de SNe Ia das compilações SNLS [45] e Union 2.1 [46] mostram os valores

que estão na tabela 1.1.

Dados ω

Planck + WMAP + BAO −1, 13+0,24−0.25

Planck + WMAP + Union 2.1 −1, 09± 0, 17

Planck + WMAP + SNLS −1, 13+0,24−0.25

Tabela 1.1: Valores para o parâmetro da equação de estado com intervalo de conança de 95%para dados combinados.

O caso de ω < −1 é conhecido como comportamento phantom (fantasma) que foi proposto

inicialmente por Robert Caldwell [47]. De acordo com equação (1.46), a medida que o universo

evolui, a densidade de energia associada ao comportamento fantasma domina a evolução

(ρx ∝ a(t)). Considerando a primeira equação de Friedmann (1.4) com k = 0 e substituindo a

densidade de energia dada pela equação (1.46) obtemos com a0 = 1

a =

√8πG

3ρx,0a

1−3(1+ω)/2, (1.47)

20

integrando do tempo hoje t0 até um tempo qualquer t, temos que

a(t) =[1 +

3(1 + ω)

2

√8πG

3ρx,0(t− t0)

]2/3(1+ω)

, (1.48)

que vale para qualquer valor de ω (para matéria, ω = 0, a(t) ∝ t2/3 e para radiação ω = 1/3,

a(t) ∝ t1/2), exceto constante cosmológica (a ∝ et−t0).

A gura a seguir mostra o gráco da evolução do fator de escala a(t) para alguns valores

de ω levando em conta apenas a proporcionalidade. Para valores de ω > −1, o fator de escala

cresce com uma lei de potência positiva e o universo se expande indenidamente, sem limite

para t.

Figura 1.6: Evolução do fator de escala a(t) para alguns valores do parâmetro da equação deestadoω. Consideramos que a0 = 1 e t0 = 0. Figura retirada de [58].

Quando ω = −1/3 temos um comportamento linear do fator de escala e essa reta representa

a transição de um universo desacelerado (ω > −1/3) e acelerado (ω < −1/3). No entanto,

para ω < 1 temos o comportamento phantom no qual o fator de escala diverge rapidamente em

valores nitos de t. Neste tempo característico ocorrerá uma singularidade chamada de Big Rip

onde o Universo terá um m [47]. De acordo com a teoria do Big Rip, o Universo, expandindo

aceleradamente, atingiria uma velocidade tal que toda a matéria caria desconectada numa

incrível rapidez, violentamente. Isto começaria acontecer com as estruturas em grande escala

como aglomerados de galáxias e rapidamente o efeito atingiria as escalas menores como galáxias,

estrelas e até em escalas menores como as do átomo.

21

1.3.5 Modelo ω(z)CDM

Uma outra forma de descrever a energia escura é considerá-la um uido exótico dinâmico

em que sua equação de estado seja variável com o tempo cósmico, isto é, ω = ω(z) ou

ω = ω(a). Geralmente, parametriza-se o parâmetro da equação de estado e estuda a dinâmica

dos parâmetros cosmológicos. É de suma importância que essas parametrizações contenham

os dois casos mais observados como casos particulares que são a constante cosmológica e a

quintessência.

Uma das formas de parametrizar ω(z) é considerar uma série de potência da seguinte maneira

ω(z) =∑n=0

ωnf(z)n, (1.49)

onde f(z) é uma função do redshift e ωn são constantes xadas pelos dados observacionais.

Normalmente se escolha as seguintes condições iniciais: f(0) = 0 e dfdz|z=0 = 1, assim teremos

ωn =dnω

dzn

∣∣∣z=0

. (1.50)

Dependendo dos valores de ωn podemos ter uma equação de estado constante (ω0 6= 0, ωn = 0,

n ≥ 1), quintessência (−1 ≤ ω(z) ≤ 1) e regime phantom (ω(z) < −1).

É comum truncar a série até o termo de primeira ordem porque permite recuperar o caso

mais observado, que é ω = −1. Esta aproximação contém o número suciente de parâmetros

que os dados observacionais são capazes de nos oferecer. Portanto, numa aproximação de

primeira ordem temos [26]

ω(z) = ω0 + ωzf(z). (1.51)

Para cada parametrização temos um valor de f(z), assim temos todos os ingredientes

para estudar a evolução da densidade de energia escura. Para uma parametrização qualquer

ω = ω(z), podemos utilizar a equação da conservação de energia (1.7) e obter a evolução da

densidade de energia escura, isto é

ρx = ρx,0 exp[3

∫ z

0

1 + ω(z)

1 + zdz], (1.52)

ou, utilizando a denição de redshift z = 1/a− 1, como

ρx = ρx,0 exp[− 3

∫ a

1

1 + ω(a)

ada]

(1.53)

Adiante serão listados algumas parametrizações que serão utilizadas nessa dissertação.

22

Parametrização Linear

Uma boa aproximação para o parâmetro da equação de estado para baixos redshifts é

parametrizá-lo de forma linear da seguinte maneira [48, 49, 49]

ω(z) = ω0 + ωzz. (1.54)

Para ωz = 0 recuperamos o modelo ωCDM e para ω0 = −1 e ωz = 0 é obtido o ΛCDM. Dessa

maneira, como o modelo ΛCDM é o mais favorecido observacionalmente, podemos supor que

ω(z) é uma função suave de z, de maneira que seja um ótima aproximação para uma intervalo

razoável de redshifts. Podemos obter a evolução da densidade de energia escura a partir da

equação (1.52),

ρx = ρx,0(1 + z)3(1+ω0−ωz) exp(3ωzz). (1.55)

Parametrização Logarítmica

Outra parametrização foi proposta por George Efstathiou [51] e foi aplicada inicialmente

para potencias de campos escalares dinâmicos. A parametrização é da forma

ω(z) = ω0 − ωz ln(1 + z). (1.56)

Essa parametrização é bem comportada em regiões de redshifts z ≤ 4. Porém, para

z 1, recuperamos a parametrização linear. A densidade de energia escura para o caso

da parametrização logarítmica é dada por

ρx = ρx,0(1 + z)3[1+ω0−ωz2 ln(1+z)]. (1.57)

Parametrização CPL

Nas parametrizações anteriores, o intervalo de redshifts em que são bem comportadas é

bem restrito. Michel Chevallier e David Polarski [52] e depois Eric V. Linder [53] propuseram

outra parametrização que generaliza a linear, e estende o intervalo para redshifts mais altos,

permitindo aplicá-la até o redshift da última superfície de espalhamento (z = 1100). Portanto,

podemos utilizar o parâmetro R da CMB para impor vínculos na equação de estado. A

parametrização é dada por

ω(z) = ω0 + ωzz

1 + z, (1.58)

23

na literatura é conhecida como parametrização CPL. No limite de z →∞ essa parametrização

é bem comportada (ω(z →∞) = ω0 +ω1z) e em baixos redshifts recuperamos a parametrização

linear. A densidade de energia para essa parametrização é dada por

ρx = ρx,0(1 + z)3(1+ω0+ωz) exp[− 3ωz

z

1 + z

]. (1.59)

Essas são as parametrizações que serão utilizadas durante a dissertação. Diversas outras

podem ser encontradas na literatura [54, 55, 56, 57].

24

Capítulo 2

Termodinâmica de Fluidos Relativísticos

2.1 Introdução

A Termodinâmica relativística de uidos tem sido bastante investigada no âmbito

gravitacional e cosmológico (veja referências em [58]). Adotando um modelo que o Universo é

descrito por um uido em expansão, devemos recorrer as equações de movimento do mesmo,

seja no caso de processos irreversíveis (uido imperfeito) ou reversível (uido perfeito). Nesse

capítulo, considerando os princípios básicos da termodinâmica de não-equilíbrio, obteremos

uma forma mais geral do tensor contendo todos os processos fora do equilíbrio para o caso

de um uido imperfeito e no limite que não existam processos irreversíveis, recuperamos o

tensor energia-momento para um uido perfeito (limite adiabático) e toda a termodinâmica de

equilíbrio. Notaremos que haverá mudanças nas equações de movimento do uido e da corrente

de entropia quando incluímos termos dissipativos no tensor energia-momento e no quadrivetor

uxo de partículas [59, 65]. Por m, deduziremos a lei de evolução da temperatura do uido em

termos de todos os processos dissipativos, onde, dependendo da abordagem adotada (Eckart ou

Landau-Lifshitz) teremos diferentes valores para a taxa de expansão do uido.

2.2 Conceitos de Termodinâmica de Não-Equilíbrio

A teoria termodinâmica para uidos simples ou misturas, seja em processos irreversíveis

(clássico ou relativístico) ou processos reversíveis, é baseada conceitualmente em alguns

princípios: a conservação da energia e do momento, o princípio da entropia e a hipótese do

equilíbrio local. Quando combinados de forma correta estes princípios básicos constituem toda

fenomenologia dos uidos clássicos ou relativísticos.

As leis de conservação da energia e do momento são obtidas a partir das equações de

movimento do uido, ou seja, aplicando a quadridivergência nula ao tensor energia-momento

projetada na direção da quadrivelocidade (uµTµν

;ν = 0).

O principio da entropia assegura que na presença de processos irreversíveis, existe uma

25

produção de entropia por volume por tempo, ou seja, uma fonte de entropia τ . Este princípio

está associado a segunda lei da Termodinâmica, estabelecendo uma seta do tempo, sendo

assim, a fonte de entropia é sempre positiva τ > 0. Para o caso de τ = 0, temos a

Termodinâmica do equilíbrio.

A hipótese do equilíbrio local postula que, apesar de globalmente o uido estar fora do

equilíbrio, há um estado de equilíbrio em cada elemento innitesimal do uido. Portanto,

podemos dividir o uido em elementos innitesimais de volume que são microscopicamente

grandes, ou seja, contém um grande número de partículas para que seja possível fazer médias

estatísticas e assim obter propriedades locais e macroscopicamente pequenas em comparação

com as dimensões do meio que contém o uido. Na prática, isto signica que as grandezas

termodinâmicas, pressão ou volume por exemplo, são os mesmos quando isolamos cada elemento

innitesimal do uido e permitimos a relaxação do sistema até atingir o equilíbrio [59, 65]. A

partir desse princípio, a relação fundamental de Gibbs, que combina a primeira e segunda leis

da Termodinâmica, permanece localmente válida quando é expressa em termos de quantidades

especícas ou seja, quantidades extensivas por unidades de massa ou de partícula (grandezas

especícas). Logo, a relação de Gibbs é escrita da seguinte maneira

Tdσ = d(ρn

)+ pd

( 1

n

), (2.1)

onde σ representa a densidade de entropia por partícula, T temperatura, ρ densidade de energia-

matéria, n concentração de partículas e p pressão local do uido.

Uma descrição fenomenológica para uidos imperfeitos relativísticos só é possível seguindo

os princípios e hipóteses apresentados. A combinação desses princípios com as equações

de movimento do uido irá fornecer as relações fenomenológicas obedecidas pelos termos

dissipativos do tensor energia-momento, como também a expressão analítica para a fonte de

entropia τ .

Para estendermos a teoria de uidos imperfeitos para a Relatividade Geral vamos considerar

que o campo gravitacional varia lentamente ao longo de um livre caminho médio ou de um livre

tempo médio das partículas do uido. Dessa forma, pelo princípio da equivalência as equações

covariantes sob transformações de coordenadas gerais são estabelecidas através do acoplamento

mínimo: substituição da métrica de Minkowski e das derivadas do espaço-tempo pela métrica

Riemanniana e as derivadas covariantes, respectivamente [64, 65].

2.3 Fluido Simples Relativístico

O estado termodinâmico de um uido simples relativístico é descrito por três grandezas

básicas: o tensor energia-momento T µν , a corrente de partículas Nµ e a corrente de entropia

Sµ. As equações fundamentais de movimento do uido estão relacionadas com a derivada

covariante do tensor energia-momento (conservação de energia), do uxo de entropia (segunda

26

lei da Termodinâmica) e do uxo de partículas (equação de balanço para o número de partículas)

[62, 64]. Logo

T µν;ν = 0, (2.2)

Sµ;µ = τ ≥ 0, (2.3)

Nµ;µ = Ψ, (2.4)

onde Ψ > 0 representa a fonte de partículas e Ψ < 0 um sumidouro de partículas. Em

relação a segunda lei da Termodinâmica, quando τ > 0 temos um uido submetido a

processos dissipativos ou estados irreversíveis que estão fora do equilíbrio, congurando um

uido imperfeito. E no caso em que a fonte de entropia é nula, τ = 0, temos um uido cujos

estados são não-dissipativos e estão em equilíbrio termodinâmico (limite adiabático).

2.3.1 Fluido Perfeito - Limite adiabático

Escolhendo um referencial em que a quadrivelocidade hidrodinâmica uµ tem norma unitária

uµuµ = 1 e considerando o limite adiabático, as grandezas termodinâmicas assumem as

seguintes formas

T µν = ρuµuν − phµν , (2.5)

Nµ = nuµ, (2.6)

Sµ = nσuµ, (2.7)

onde hµν = gµν−uµuν é o projetor sobre o espaço de repouso local no referencial uµ, satisfazendoas seguintes propriedades

hµνuν = 0, (2.8)

hµνhµα = hµα, (2.9)

hµµ = 3. (2.10)

As quantidades ρ, p, n, σ e T são invariantes medidos no referencial comóvel ao elemento de

volume do uido e são relacionadas pela relação de Gibbs (2.1). Então projetando a equação

27

(2.2) na direção da quadrivelocidade e utilizando a equação (2.5), temos

ρ+ (ρ+ p)Θ = 0, (2.11)

que é equação de conservação de energia para um uido perfeito. Θ ≡ uµ;µ é a taxa de expansão

do uido. Agora projetando a equação (2.4) (sem criação de partículas, Ψ = 0) na direção da

quadrivelocidade e usando (2.6), temos a conservação do número de partículas

n+ nΘ = 0. (2.12)

As equações (2.11) e (2.12) junto com (2.7) mais a relação de Gibbs (2.1) demonstram que

a fonte de entropia (2.3) torna-se identicamente nula, como é de se esperar para estados em

equilíbrio termodinâmico. O limite adiabático é um caso particular de uma teoria de uidos

mais geral como veremos a seguir.

2.3.2 Fluido Imperfeito - Processos Dissipativos

Para estudarmos uidos imperfeitos vamos supor pequenas perturbações nas variáveis

primárias. Dessas pertubações, o uxo de calor levantará uma questão interessante sobre a

denição de quadrivelocidade uµ: é necessário especicar se a quadrivelocidade é denida como

a quadrivelocidade do transporte de energia (dynamic frame), que é a abordagem de Landau-

Lifschitz [68], ou do transporte de partículas (particle frame) que é abordagem de Eckart

[61].1

Essas abordagens adotam a condição comum que os gradientes de espaço e tempo são

pequenos, tal que as variáveis primárias só contem termos até primeira ordem que desviam

do equilíbrio. Portanto, na presença de processos dissipativos, adicionam-se pequenos termos

∆T µν e ∆Nµ nas equações (2.5) e (2.6) respectivamente [59, 60]

T µν = ρuµuν − phµν + ∆T µν , (2.13)

Nµ = nuµ + ∆Nµ, (2.14)

onde as formas dos desvios são determinadas pela segunda lei da Termodinâmica, equação

(2.3). Na literatura sempre é adotado um referencial [65], mas aqui adotaremos uma formulação

independente da escolha do referencial de modo que no m recuperamos as duas abordagens

como casos particulares.

1No contexto clássico não há ambiguidade, pois a quadrivelocidade hidrodinâmica está associada ao uxo demassa. Porém, na relatividade, um uxo de massa envolve necessariamente um uxo de energia.

28

As equações de movimento do uido são dadas pela conservação de energia e momento (2.2)

e a equação de balanço para o número partículas (2.4). Logo, fazendo a derivada covariante de

(2.13) e (2.14) e projetando a primeira na direção da quadrivelocidade uµ teremos2

uµTµν

;ν = ρ+ (ρ+ p)Θ + uµ∆T µν;ν = 0, (2.15)

Nµ;µ = n+ nΘ + ∆Nµ

;µ = Ψ. (2.16)

Reescrevendo a relação de Gibbs (2.1) da seguinte maneira

nTdσ = dρ− ρ+ p

ndn, (2.17)

sua derivada covariante ao longo das linhas de universo dos elementos de volume do uido e

usando as equações (2.15) e (2.16), chegamos em

T (nσuν);ν = −uµ∆T µν;ν − µΨ + µ∆Nν;ν , (2.18)

onde µ é o potencial químico denido pela relação de Euler da termodinâmica [69]

µ =ρ+ p

n− σT. (2.19)

Vamos supor que o uxo de entropia seja dada pela relação fenomenológica geral

Sν = nσuν − µ

T∆N ν +

uµ∆T µν

T, (2.20)

sua derivada covariante é

Sν;ν =(uµ;ν

T− T;νuµ

T 2

)∆T µν −

(µ;ν

T− µT;ν

T 2

)∆N ν − µΨ

T. (2.21)

As formas mais gerais de ∆T µν e ∆N ν que incluem todos os processos dissipativos são dadas

por [59, 60]

∆T µν = −(Π + pc)hµν + qµuν + qνuµ + Πµν , (2.22)

∆N ν = Jν , (2.23)

onde Π é a pressão viscosa volumar, pc a pressão de criação, qµ o uxo de calor, Πµν tensão

viscosa e Jν corrente de partículas. Eles satisfazem os seguintes vínculos

uµqµ = uµJµ = uµΠµν = gµνΠµν = Πµν − Πνµ = 0, (2.24)

2Para o cálculo completo consulte o Apêndice A

29

pois qµ, Jµ e Πµν pertencem ao espaço de repouso local de uµ [65]. Portanto, considerando

tais vínculos juntamente com as equações (2.22) e (2.23), a fonte de entropia contendo todos

os processos dissipativos será

Sµ;µ = −ΠΘ

T− pcΘ

T− µΨ

T−(T;ν

T 2− uνT

)qν −

(µ;ν

T− µT;ν

T 2

)Jν +

uµ;νΠµν

T. (2.25)

A derivada covariante da quadrivelocidade presente no último termo pode ser decomposta

da seguinte maneira [81, 82]

uµ;ν = uµuν +1

3Θhµν + ωµν + σµν , (2.26)

onde

ωµν =1

2hαµh

βν(uα;β − uβ;α), (2.27)

é o tensor de vorticidade, e

σµν =1

2hαµh

βν

(uα;β − uβ;α −

2

3Θhαβ

), (2.28)

é o tensor de cisalhamento (shear) de traço nulo. Assim, podemos reescrever a fonte de entropia

como [59]

Sµ;µ = τe −qµh

µν(T;ν − T uν)T 2

−(µ;ν

T− µT;ν

T 2

)Jν +

σµνΠµν

T, (2.29)

onde τe é a fonte de entropia devido aos termos de natureza escalar

τe = −ΠΘ

T− pcΘ

T− µΨ

T. (2.30)

Então nessa aproximação linear a fonte de entropia será coerente com a segunda lei da

termodinâmica se os processos dissipativos (vetoriais e tensoriais) e as forças termodinâmicas

forem dadas pelas seguintes relações

qν = χφµ; φµ = hµν(T;ν − T uν), (2.31)

Πµν = ησµν , (2.32)

Jµ = ζλµ; λµ = hµν(µT

);ν, (2.33)

onde χ, η, ζ são respectivamente os coecientes de condutividade térmica, viscosidade de

cisalhamento e de difusão. Logo, usando as relações acima, a fonte de entropia (2.29) será

Sµ;µ = τe −χφµφ

µ

T 2− ζλµλ

µ

T 2+ησµνσµν

T, (2.34)

30

em que a segunda lei da termodinâmica é satisfeita se φµ e λµ forem vetores tipo-espaço

(φµφµ < 0, λµλµ < 0) e os coecientes fenomenológicos χ, η, ζ forem positivos [76].

Em resumo, as equações que regem a teoria de primeira ordem de um uido simples

imperfeito são: a relação de Gibbs (2.1), a lei de conservação de energia e momento (2.2),

a equação de balanço do número de partículas (2.4), a forma mais geral do tensor energia-

momento e do uxo de partículas dados por (2.13) e (2.14), as relações fenomenológicas (2.31)

a (2.33) e a fonte de entropia (2.34). Entretanto, para uma descrição termodinâmica completa

do uido precisamos de mais duas equações de estado: p = p(n, T ) e ρ = ρ(n, T ). Com todo

esse ferramental disponível será possível determinar uma relação explícita da lei de evolução da

temperatura do uido dada em termos dos processos dissipativos.

2.4 Lei de Evolução da Temperatura

Para uma descrição termodinâmica completa será necessário deduzirmos uma lei de evolução

para a temperatura de um uido relativístico em função dos processos dissipativos. Um uido

simples que se encontra num processo local de expansão (Θ > 0) ou contração (Θ < 0) deverá

mudar sua temperatura com o passar do tempo, inclusive se não houver processos dissipativos

[59, 60].

Fazendo a diferencial da equação de estado ρ = ρ(n, T ) substituindo na relação de Gibbs

(2.17) chegamos3

dσ =1

nT

[(∂ρ∂n

)T−(ρ+ p

n

)]dn+

1

nT

( ∂ρ∂T

)ndT. (2.35)

Sabemos que a entropia é uma função de estado, então sua diferencial dσ deve ser exata,

∂

∂T

1

nT

[(∂ρ∂n

)T−(ρ+ p

n

)]n

= ∂

∂n

[ 1

nT

( ∂ρ∂T

)n

]T, (2.36)

consequentemente,

T( ∂p∂T

)n

= ρ+ p− n(∂ρ∂n

)T. (2.37)

Diferenciando ρ = ρ(n, T ) em relação ao tempo e utilizando (2.15) e (2.16), temos

( ∂ρ∂T

)nT =

[n(∂ρ∂n

)T− (ρ+ p)

]Θ−

(∂ρ∂n

)T

(Ψ−∆Nµ;µ)− uµ∆T µν;ν , (2.38)

assim, combinando (2.38) com (2.37) obtemos a lei geral de evolução da temperatura de um

uido relativístico

T

T= −

(∂p∂ρ

)nΘ− 1

T(∂ρ∂T

)n

[(∂ρ∂n

)T

(Ψ−∆Nµ;µ)− uµ∆T µν;ν

], (2.39)

3Para o cálculo completo consulte o Apêndice B.

31

onde os processos dissipativos são descritos por ∆T µν , ∆Nµ e a fonte de partículas Ψ. No limite

em que não haja processos dissipativos, ou seja, ∆T µν = 0, ∆Nµ = 0 e Ψ = 0 (sem criação ou

destruição de partículas), temos a lei de temperatura de um uido perfeito

T

T= −

(∂p∂ρ

)nΘ, (2.40)

caso a pressão for positiva em um regime de expansão (Θ > 0), a temperatura diminui. E para

(Θ < 0), a temperatura aumenta.

Essa abordagem para a lei de evolução da temperatura é geral e engloba as mais comuns

da literatura (Eckart e Landau-Lifshitz). Dessa forma, considerando a abordagem de Landau-

Lifshitz [68] onde os observadores comóveis aos elementos do uido não devem ver a contribuição

do uxo de energia, isto é, qµ = 0, mas devem ver o uxo de partículas Jµ, assim

T

T= −

(∂p∂ρ

)nΘL +

1

T(∂ρ∂T

)n

[− (Π + pc)ΘL +

(∂ρ∂n

)T

+ (Jµ;µ −Ψ) + σµνΠµν], (2.41)

onde ΘL = Ψ−n−Jµµn

é a taxa de expansão do uido na abordagem de Landau-Lifshitz. Agora, na

abordagem de Eckart [61], os observadores são comóveis ao uxo de partículas ∆Nµ = Jµ = 0.

Para essa abordagem temos

T

T= −

(∂p∂ρ

)nΘE +

1

T(∂ρ∂T

)n

[− (pc + Π)ΘE −

(∂ρ∂n

)T

Ψ + uµqµ − qν;ν + σµνΠ

µν], (2.42)

em que ΘE = Ψ−nn

a taxa de expansão na abordagem de Eckart. Ao compararmos as duas

abordagens com a lei de temperatura no limite adiabático, a taxa de expansão do uido será a

mesma em ambas abordagens: ΘL = ΘE = −n/n.Baseado na teoria termodinâmica de uido relativístico, iremos considerar a energia escura

com equação de estado variável interagindo com a matéria escura. Assim, veremos quais são as

implicações desse uido em um universo em expansão e como as grandezas termodinâmicas se

comportam neste cenário. Toda a análise deve ser compatível com as leis da Termodinâmica.

32

Capítulo 3

Modelos de Interação

3.1 Introdução

Após anos de pesquisa, o setor escuro do Universo ainda continua levantando muitas

questões. Umas das componentes desse setor é a matéria escura, que foi proposta nos anos 1930

por Zwicky e é uma forma postulada da matéria que não interage com a matéria bariônica e nem

consigo mesmo (ou interage muito pouco com ela mesma). Ela só interage gravitacionalmente e

por isso, sua presença pode ser inferida a partir de efeitos gravitacionais sobre a matéria visível,

como estrelas, galáxias e aglomerado de galáxias. E a outra componente do setor escuro é a

energia escura que, possivelmente, na forma de energia do vácuo que está relacionado com a

constante cosmológica, parece ser a causadora da atual fase de expansão acelerada do Universo.

Assim, surgem várias questões, dentre elas: será a energia escura uma manifestação do vácuo

quântico? Se sim, por que a enorme discrepância entre o valor calculado pela teoria quântica

de campos e o observado? Outra questão é: por que as densidades de energia da matéria e

energias escuras são da mesma ordem hoje? Esse é conhecido como problema da coincidência.

É de se esperar que mais de um dos problemas citados estejam interligados.

Apesar dos dados observacionais signicativos armarem que o Universo está em expansão

acelerada, várias questões importantes sobre o mecanismo por trás dessa aceleração e a dinâmica

cósmica seguem sem respostas (ver [83, 84, 85] para revisões recentes). Na tentativa de

responder algumas dessas perguntas, a possibilidade de um acoplamento não mínimo entre

as duas principiais componentes energéticas do Universo não é descartada sendo bastante

investigada na literatura [86, 87, 88, 89, 90]. Os modelos de interação entre matéria e energia

escuras são tentativas fenomenológicas de atenuar o problema da coincidência.

Os modelos de interação são equivalentes aos modelos Λ(t) (decaimento no vácuo)1, no

qual é feito um ansatz de como o termo cosmológico Λ(t) varia com o tempo cósmico. Para

esse modelos, as equações de Einstein são escritas com o termo cosmológico do lado direito

1Para uma lista de modelos tipo Λ(t) ver a tabela 3.1 em [86].

33

representando a energia do vácuo

Rµν −1

2Rgµν = χTµν + Λ(t)gµν . (3.1)

As equações de Einstein devem satisfazer a seguinte condição

uµ(Rµν − 1

2Rgµν);ν = uµ(χT µν + Λ(t)gµν);ν = 0, (3.2)

para uma variação temporal do termo cosmológico devemos considerar um acoplamento entre

Tµν e Λ(t). Portanto, para uma interação entre o termo cosmológico e a matéria escura, tem-se

que

χuµTµν

;ν = −uµ(Λ(t)gµν);ν , (3.3)

onde T µν = ρdmuµuν é o tensor energia-momento da matéria escura. Então, resolvendo a

equação (3.3) segue que

ρdm + 3a

aρdm = −ρΛ, (3.4)

ou em termos do fator de escala

dρdmda

+3

a= −dρΛ

da. (3.5)

Em [91, 92] é mostrado que uma interação entre o termo cosmológico e a radiação modica a

lei de evolução da temperatura, portanto alterando a era da radiação. Em uma interação entre

o termo cosmológico e os bárions ocasiona o aparecimento de uma interação que não tem sido

observada [93]. Para essa dissertação será considerada uma interação entre o termo cosmológico

representado por um uido exótico e a matéria escura.

3.2 Modelo de Wang & Meng

Na tentativa de responder as questões sobre a matéria e energia escuras, modelos de

interação tem sido propostos na literatura. Uma abordagem diferente do usual foi feita por

Wang & Meng [88], onde eles zeram um ansatz para a lei de decaimento da densidade de

energia da matéria escura baseado no efeito que a interação teria na matéria.

Essa lei de decaimento foi deduzida a partir dos efeitos da interação na evolução da densidade

da matéria escura. Qualitativamente, eles argumentaram da seguinte maneira: como a energia

do vácuo interage com a matéria escura, esta diluirá a uma taxa levemente diferente da padrão

(ρdm ∝ a−3). Essa abordagem generaliza vários outros modelos, de acordo com o parâmetro

dos mesmos. O decaimento proposto foi o seguinte

ρdm = ρdm,0a−3+ε, (3.6)

34

onde ε é uma constante conhecida com parâmetro de decaimento. Para ε > 0 o problema da

coincidência pode ser aliviado. Substituindo a equação (3.6) em (3.5), temos

ρΛ = ρΛ,0 +ερdm,03− ε

a−3+ε, (3.7)

onde ρΛ,0 é uma constante de integração que representa a densidade de energia hoje associado

ao termo cosmológico. A diluição de ρΛ segue a mesma lei de potência da densidade de energia

da matéria escura. Para valores de ε > 3 as densidades de energias das componentes escuras

aumentariam à medida que o Universo expande, sendo sicamente inaceitável.

3.2.1 Interação entre Matéria Escura e Energia Escura

Na Cosmologia padrão, a matéria e a energia escuras evoluem independentemente, pois

nenhuma interação além da gravitacional é considerada. Então, a menos que alguma simetria

espacial e completamente desconhecida na natureza impeça ou suprima um acoplamento não

mínimo entre essas componentes, podemos investigar uma interação. Esses modelos são

investigados em dois contextos: i) a energia escura é representada por um campo escalar

(campos escalares acoplados); ii) a energia escura é representada por um uido exótico com

pressão negativa e equação de estado do tipo px = ωρx, com ω < 1/3. Em ambos os contextos,

a interação pode ocasionar uma mudança no número de partículas ou uma mudança na massa

individual de cada partícula. Este origina os chamados cenários VAMP (Variable Mass Particle)

e neste caso a massa de cada partícula é uma função do tempo (veja referências [94, 95, 96]

para mais detalhes).

Logo, considerando a energia escura como um uido exótico com equação de estado

px = ωρx, temos que o tensor energia-momento do uido escuro, que é obtido a partir da

soma do tensor energia-momento da matéria escura e do tensor energia-momento da energia

escura, ou seja,

T µν = T µνdm + T µνx . (3.8)

Sabemos que essa quantidade deve ser conservada, portanto, tomando a divergência do tensor

energia-momento e projetando na direção da quadrivelocidade (no Universo de FLRW), obtemos

ρdm + 3a

aρdm = −ρx − 3

a

a(1 + ω)ρx, (3.9)

onde podemos reescrever essa equação diferencial como um sistema de equações, da seguinte

maneira

35

ρdm + 3a

aρdm = Q, (3.10)

ρx + 3a

a(1 + ω)ρx = −Q, (3.11)

em que Q é conhecido como termo de acoplamento. Nesse contexto, a evolução das componentes

escuras pode ser encontrada resolvendo esse sistema de equações. Geralmente, isso pode ser

feito de duas maneiras: assumindo-se uma forma para Q ou admitindo-se uma relação entre as

densidades de energias das componentes. Aqui vamos seguir a primeira forma para resolver o

sistema. Assumindo que a forma do termo de acoplamento Q é dada por [97]

Q = εHρdm, (3.12)

que ao ser substituído na equação de conservação da energia da matéria escura (3.10), obtemos

ρdm = ρdm,0a−3+ε, (3.13)

que é equivalente ao ansatz do modelo de Wang & Meng [88]. Podemos resolver a equação

(3.11) e encontrar a evolução da densidade da energia escura, como foi feito em [98, 99], isto é,

ρx = ρx,0a−3(1+ω) +

ερdm,03|ω| − ε

a−3+ε. (3.14)

onde ρx,0 é uma constante de integração relacionada à densidade de energia escura hoje, ω é

o parâmetro da equação de estado da energia escura, ε é o parâmetro de interação e ρdm,0 é

uma constante de integração relacionada à densidade de energia matéria escura hoje. Para o

acoplamento dado pela equação (3.12), a troca de energia pode ocorrer apenas em um sentido,

dependendo do sinal do parâmetro de interação ε da seguinte maneira: se ε > 0, a energia

escura fornece energia para a matéria escura; se ε < 0, a energia vai da matéria escura para a

energia escura.

O modelo de Wang & Meng apresenta-se de certa forma incompleto por não incluir a matéria

bariônica em sua descrição. Nesse contexto, Alcaniz & Lima [100] aprimoraram o modelo

introduzindo matéria bariônica. Eles mostraram que a presença de bárions retarda o redshift

de transição z∗2, inclusive reconciliando o valor esperado de z∗ com os dados observacionais

para pequenos valores de ε. Do ponto de vista termodinâmico, os autores de [100] também

mostraram que o parâmetro de interação ε deve ser positivo.

2Redshift onde ocorreu a transição da fase desacelerada para uma fase acelerada da expansão do Universo.

36

3.3 Modelo de Costa & Alcaniz

O modelo de Wang & Weng é bastante geral e tem muitas aproximações fenomenológicas

como um caso particular. É pertinente enfatizar que nesse modelo o parâmetro de interação ε é

constante ao longo de toda a evolução cósmica, enquanto um caso mais geral ele deve ser uma

quantidade dependente do tempo. Assim, como proposto em [105], vamos considerar ε como

uma função do fator de escala, isto é, ε = ε(a). Dessa forma, podemos escrever a densidade de

energia da matéria escura da seguinte maneira

ρdm = ρdm,0a−3+ε(a). (3.15)

Da equação de conservação de energia da matéria escura (3.10) e da lei de decaimento da

matéria escura (3.15) encontramos a forma do termo de acoplamento para esse modelo

Q = ε(a)Hρdm + ε′(a)a ln aρdm, (3.16)

onde ε′(a) é a derivada do parâmetro de interação com relação ao fator de escala. Note que

para o caso de ε constante recuperamos (3.12) e o modelo de Wang & Meng padrão. Agora

considerando a energia escura como um uido com equação de estado p = ωρ, substituindo a

equação (3.16) em (3.11) obtemos [106]

ρx = ρx,0a−3(1+ω) + ρdm,0a

−3(1+ω)[ ∫ 1

a

aε′ ln a+ ε(a)

a1−ε(a)−3ωda], (3.17)

em que ρx,0 é uma constante de integração relacionada à densidade de energia escura hoje, ω é

o parâmetro da equação de estado da energia escura, ε(a) é o parâmetro de interação e ρdm,0é uma constante de integração relacionada à densidade de energia matéria escura hoje. Note

que, para ω = −1 (constante cosmológica), temos o resultado [105]. Para ε constante, temos o

modelo de Wang & Meng padrão.

Considerando uma geometria plana e que as principais componentes são a matéria (escura

e bariônica) e energia escura, a equação de Friedmann para essa classe de modelos de interação

pode ser escrita como

H =[Ωb,0a

−3 + Ωdm,0a−3+ε(a) + Ωx,0ϕ(a)

]1/2

, (3.18)

onde H = H/H0, Ωx,0 é o parâmetro de densidade atual da energia escura, Ωdm,0 é o parâmetro

de densidade atual da matéria escura e

ϕ(a) =[1 +

Ωdm,0

Ωx,0

∫ 1

a

aε′ ln a+ ε(a)

a1−ε(a)−3ωda]. (3.19)

Visto que essa classe de modelos dependem de uma função arbitrária, é necessário assumir

um relação apropriada para ε(a).

37

3.3.1 Parametrizando ε(a)

Visto que uma possível interação entre a matéria escura e energia escura não é conhecido,

só podemos estudá-la do ponto de vista fenomenológico. Então, assumiremos uma forma

apropriada para ε(a). Em [106] são propostas duas parametrizações para ε(a) da seguinte

maneira

ε(a) = ε0aξ, (P1) (3.20)

ε(a) = ε0 exp(1− a−1), (P2) (3.21)

onde ε0 e ξ podem, a princípio, assumir valores negativos e positivos. A parametrização mais

simples é dado pela P1. Todavia, para ξ < 0, P1 diverge quando a→ 0, enquanto para ξ > 0,

P1 também diverge quando a → ∞. Já P2 é bem comportada ao longo de toda a história

cósmica, além de possuir apenas um parâmetro livre.

Agora usando as parametrizações na equação (3.17), temos

ρx = ρx,0a−3(1+ω) + ε0ρdm,0a

−3(1+ω)[ ∫ 1

a

ln aξ + 1

a1−ε0aξ−ξ−3ωda], (P1) (3.22)

ρx = ρx,0a−3(1+ω) + ε0ρdm,0a

−3(1+ω)[ ∫ 1

a

exp(1− a−1)(ln a+ a)

a2−ε0 exp(1−a−1)−3ωda]. (P2) (3.23)

3.3.2 Evolução dos Parâmetros de Densidade

A evolução cósmica do parâmetro de densidade para uma componente qualquer é dado por

Ωi(a) =8πGρi(a)

3H2(a), (3.24)

em que i = b, dm, x. Então a evolução de cada componente será a combinação das equações

(3.15), (3.17), mais a equação de Friedmann (3.18), logo

Ωb(a) =a−3

Aa−3+ε(a) + a−3 +B−1ϕ(a), (3.25)

Ωdm(a) =a−3+ε(a)

A−1a−3 + a−3+ε(a) + Cϕ(a), (3.26)

Ωx(a) =ϕ(a)

C−1a−3+ε(a) +B−1a−3 + ϕ(a), (3.27)

onde A ≡ Ωdm,0/Ωb,0, B ≡ Ωx,0/Ωb,0 e C ≡ Ωx,0/Ωdm,0.

Podemos obter a evolução dos parâmetros de densidades Ωb, Ωdm e Ωx em função do

logaritmo do fator de escala (log a) [106]. A gura (3.1) mostra a evolução dos parâmetros

38

de densidades para Ωb,0 = 0, 0416, Ωdm,0 = 0, 24 para a parametrização P1 considerando

dois valores característicos do parâmetro da equação de estado da energia escura, ω = 0, 9

e ω = −1, 1 que correspondem aos regimes de quintessência e phantom, respectivamente.

Constatou-se que modelos com ε0 > 0 e ξ < 0 guras 3.1(a) e 3.1(d) falham em reproduzir o

passado cósmico no qual o Universo foi dominado pela matéria escura. Neste caso, as densidades

de energia e matéria escuras se anulam em altos redshifts e o Universo é completamente

dominado pelos bárions.

Figura 3.1: Evolução dos parâmetros de densidades em função do log a para P1 mais algunsvalores combinados de ε0 e ξ e dois valores característicos do parâmetro de equação de estadoω = −1, 0 e ω = −0, 9 [106].

Soluções que concordam com os dados observacionais atuais são obtidas quando ξ > 0, com

valores independentes do sinal de ε0 e de valores realísticos de ω (guras 3.1(b) e 3.1(e)). Nessas

soluções a matéria escura (80%) domina o passado, mais bárions (20%). A energia escura é

sempre subdominante, tornando-se importante recentemente z < 1.

Uma classe de modelos com evolução cósmica diferente dos modelos de quintessência são

obtidos quando ε0 > 0 e ξ ≥ 0,8. Isso é vericado nas guras 3.1(c) e 3.1(f) para ε0 = 0, 1

e ξ = 1, 0. Nesses modelos, o Universo teve uma passado dominado pela matéria escura,

é atualmente acelerado, portanto, em concordância com os dados observacionais, porém,

a aceleração cósmica parará para algum valor a 1 (quando a energia escura tornará

39

Figura 3.2: Os mesmos dados da gura 3.1 mas agora ε(a) é dado por P2. Nas guras 3(b)e 3(d), para valores de ε0 > 1, 2 a interação entre matéria escura e energia escura conduz oUniverso a uma nova era em que a matéria escura domina [106].

subdominante) e o Universo, quando a → ∞, voltará para uma fase dominado pela matéria

escura.

Na gura 3.2 temos os mesmos dados da gura 3.1 mas agora para a parametrização

P2. Note que, independentemente de valores realísticos de ω, todos os modelos com ε0 > 0

concordam com os dados observacionais ou seja, matéria bariônica e escura dominam no passado

e atualmente, a energia escura domina a evolução. Para valores de ε0 > 1, 1, o Universo evoluirá

para uma fase desacelerada no futuro, ao invés da usual fase de Sitter.

O próximo passo é propor um modelo de interação em que o parâmetro de interação seja

variável com o tempo cósmico e a equação de estado da energia escura também seja variável

com o tempo cósmico. No próximo capítulo vamos propor um modelo de interação dessa forma

e analisar a viabilidade termodinâmica desse modelo.

40

Capítulo 4

Termodinâmica da Interação entre

Energia Escura e Matéria Escura

4.1 Introdução

Neste capítulo será feito uma generalização da interação entre matéria escura e energia

escura considerando o parâmetro da equação de estado da energia escura e o parâmetro de

interação variáveis com o tempo cósmico. Naturalmente, a energia escura representada por

um uido perfeito com um parâmetro da equação de estado variável (ω = ω(a)), interagindo

com a matéria escura, onde o parâmetro de interação depende do tempo cósmico (ε = ε(a)),

corresponde a um modelo mais geral. De fato, este captura várias possibilidades existentes

na literatura (ver gura 4.1). Basicamente, os parâmetros ε(a) e ω(a) estão relacionados aos

modelos existentes na literatura a saber: i) o limite ε(a) → ε0 (constante) com ω = ω(a) e

ω(a) → ω0 conduz aos modelos Silva et al. [58] e Wang & Meng [88], respectivamente; ii)

ε(a) → 0 com ω = ω(a) e ω(a) → ω0 (constante) leva aos modelos com o potencial químico

nulo, Silva et al. [60] e Lima & Alcaniz [107], respectivamente. Obviamente, o quadro mais

geral não é investigado nessa dissertação, que seria a o potencial químico não nulo associado

ao uido de energia escura. Utilizando os conceitos de termodinâmica de uidos relativísticos,

obteremos a partir da segunda lei da termodinâmica e da positividade da entropia vínculos

termodinâmicos generalizados para o parâmetro da equação de estado da energia escura. Em

seguida, obteremos os vínculos em termos das parametrizações propostas em [106].

41

Figura 4.1: Na gura é mostrado todos os modelos que são englobados pelo nosso. Fazendo

determinados limites recuperamos os modelos que estão na literatura.

Na próxima seção, iremos abordar o modelo de interação entre matéria e energia escura

generalizado considerando a conservação da energia para calcular a densidade de energia de

três parametrizações conhecidas na literatura para a equação de estado (EoS).

4.2 Modelo de Interação Generalizado

Conforme foi discutido no capítulo anterior, o tensor energia-momento do uido escuro é

composto pelo tensor energia-momento da matéria escura mais o tensor energia-momento da

energia escura. Então, considerando sua conservação, temos

ρdm + 3a

aρdm = −ρx − 3

a

a(1 + ω(a))ρx, (4.1)

onde podemos reescrever como um sistema de equações diferenciais acopladas da seguinte

maneira

42

ρdm + 3a

aρdm = Q, (4.2)

ρx + 3a

a(1 + ω(a))ρx = −Q. (4.3)

Considerando que a evolução da densidade de energia da matéria escura é dado pelo o modelo

de Costa & Alcaniz [105]

ρdm = ρdm,0a−3+ε(a), (4.4)

que ao ser substituída na equação de conservação de energia da matéria escura (4.2), obtemos

o termo de acoplamento Q

Q = ε(a)Hρdm + ε′(a)a ln aρdm, (4.5)

onde (′) signica a derivada em relação ao fator de escala a, H o parâmetro de Hubble, ρdm é a lei

de decaimento da densidade de energia da matéria escura dada pela equação (4.4). Substituindo

Q na equação (4.3) e resolvendo a equação diferencial, temos a evolução da densidade de energia

do uido interagente

ρx =ρx,0 − ρdm,0

∫exp

[3∫ 1+ω(a)

ada](a−3+ε(a)ε′(a) ln a+ ε(a)a−4+ε(a))da

exp[3∫ 1+ω(a)

ada] , (4.6)

onde ρx,0 é uma constante de integração associada a densidade de energia escura hoje, ρdm,0 é

uma constante associada a densidade de energia da matéria escura hoje, ω(a) é o parâmetro da

equação de estado da energia escura e ε(a) é o parâmetro de interação. Podemos reescrever a

densidade de do uido interagente (4.6) utilizando as parametrizações apresentadas no capítulo

1, isto é, linear, logarítmica e CPL, que em termos do fator de escala são dadas por

ω(a) =

ω0 + ωa

(1−aa

)(linear),

ω0 − ωa ln a (logarítmica),

ω0 + ωa(1− a) (CPL).

(4.7)

Então considerando as parametrizações linear (P1), logarítmica (P2) e CPL (P3) , obtemos um

conjunto de densidades de energia do uido interagente

43

ρ(1)x

ρx,0=

1− A∫

exp[− 3ωa

(1−aa

)]a3(ω0−ωa)+ε(a)(ε′(a) ln a+ ε(a)a−1)da

a3(1+ω0−ωa) exp[− 3ωa

(1−aa

)] , (4.8)

ρ(2)x

ρx,0=

1− A∫

exp[−3ωa(ln a)2/2]a3ω0+ε(a)(ε′(a) ln a+ ε(a)a−1)da

a3(1+ω0) exp[−3ωa(ln a)2/2], (4.9)

ρ(3)x

ρx,0=

1− A∫

exp[3ωa(1− a)]a3(ω0+ωa)+ε(a)(ε′(a) ln a+ ε(a)a−1)da

a3(1+ω0+ωa) exp[3ω(1− a)], (4.10)

onde A = ρdm,0/ρx,0 e ωa é uma constante xada pelas observações. Podemos reescrever esse

conjunto de densidades de energia escura com a forma explícita de ε(a) que é proposta em [105],

ou seja,

ε(a) = ε0aξ, (4.11)

assim, as equações (4.8), (4.9) e (4.10) são reescritas como

g(1)(a) =ρ

(1)x

ρx,0=

1 + Aε0∫ 1

aexp

[− 3ωa

(1−aa

)]a3(ω0−ωa)+ε0aξ+ξ−1(ln aξ + 1)da

a3(1+ω0−ωa) exp[− 3ωa

(1−aa

)] , (4.12)

g(2)(a) =ρ

(2)x

ρx,0=

1 + Aε0∫ 1

aexp[−3ωa(ln a)2/2]a3ω0+ε0aξ+ξ−1(ln aξ + 1)da

a3(1+ω0) exp[−3ωa(ln a)2/2], (4.13)

g(3)(a) =ρ

(3)x

ρx,0=

1 + Aε0∫ 1

aexp[3ωa(1− a)]a3(ω0+ωa)+ε0aξ+ξ−1(ln aξ + 1)da

a3(1+ω0+ωa) exp[3ω(1− a)]. (4.14)

Para visualizar como esse conjunto de densidades evolui com o fator de escala, mostramos na

gura 4.2 a razão ρ(i)x /ρx,0 para alguns valores de ξ com A ≈ 0.371, ω0 = −1.0 e ωa = −0.1 [24].

Observamos que para valores pequenos do fator de escala (ou altos redshits) a parametrização

linear falha em descrever a evolução da densidade de energia escura (gura 4.2.a) como era de

se esperar. Para valores positivos de ξ (excluindo ξ = 0.2 ), a evolução começa a partir de

a ∼ 10−1 e logo chega a zero no tempo atual para todas parametrizações. Para alguns valores

negativos de ξ, a evolução da densidade é bem comportada para todas as parametrizações.

Vemos também que para todas as parametrizações e para todos os valores de ξ considerados,

a densidade de energia tende para o mesmo valor, como é de se esperar de acordo com as

integrais.

44

Figura 4.2: Na gura é mostrado as evolução da densidade de energia do uido escura em

termos das parametrizações linear (a), logarítmica (b) e CPL (c) para alguns valores de ξ.

4.2.1 Evolução dos Parâmetros de Densidade

Considerando um universo plano e que as principais componentes são a matéria escura (dm),

a bariônica (b) e energia escura (x), podemos escrever a equação de Friedmann equação (1.16)

para essa classe de modelos de interação da seguinte forma

H =[Ωb,0a

−3 + Ωdm,0a−3+ε(a) + Ωx,0g

(i)(a)]1/2

, (4.15)

onde H = H/H0 e g(i)(a) é dado pelas equações (4.12), (4.13) e (4.14).

O parâmetro de densidade para uma componente cósmica qualquer evolui da seguinte forma

Ωj =8πGρj(a)

3H2(a), (4.16)

em que j = b, dm, x. Então a evolução de cada componente será a combinação das equações

45

(4.4), (4.12 - 4.14), (4.15) mais a parametrização (4.11), logo

Ωb(a) =a−3

a−3 +Ba−3+ε0aξ + Cg(i)(a), (4.17)

Ωdm(a) =a−3+ε0aξ

B−1a−3 + a−3+ε0aξ + A−1g(i)(a), (4.18)

Ωx(a) =g(i)(a)

C−1a−3 + Aa−3+ε0aξ + g(i)(a), (4.19)

onde A ≡ Ωdm,0/Ωx,0, B ≡ Ωdm,0/Ωb,0 e C ≡ Ωx,0/Ωb,0.

Na gura 4.3 é mostrada a evolução dos parâmetros de densidades para cada parametrização

usando ω0 = −1.0, ωa = −0.1, ε0 = 0.1, A ≈ 0.371, B ≈ 5.375 e C ≈ 14.458 (dados retirados de

[24]). Para ξ = 0.1 as parametrizações logarítmica e CPL, guras 4.3.b e 4.3.c respectivamente,

e com ξ = −0.2 a parametrização linear, gura 4.3.a, a matéria escura domina no passado

(logarítmica e CPL ≈ 80% e linear ≈ 60%), com ≈ 20% de matéria bariônica e a energia escura

subdominante nas três parametrizações consideradas. A medida que evolui, a energia escura

passa a dominar a evolução energética do Universo e a matéria escura passa a ser subdominante.

Essa evolução dos parâmetros de densidades é condizente com as observações atuais, ou seja, o

domínio da matéria escura foi de suma importância para formação de estrutura no Universo.

Figura 4.3: Evolução dos parâmetros de densidades Ωj em função do log(a) para os valores de

ξ considerando as parametrizações linear, logarítmica e CPL.

46

Figura 4.4: Evolução dos parâmetros de densidades Ωj em função do log(a) para os valores de

ξ considerando as parametrizações linear, logarítmica e CPL.

Para ξ = −0.1 as parametrizações logarítmica e CPL, guras 4.4.b e 4.3.c respectivamente,

e com ξ = −0.3 a parametrização linear, gura 4.3.a, a matéria bariônica domina a evolução no

passado, matéria escura é subdominante e a energia escura praticamente nula. Essa evolução

não é condizente com as atuais observações.

4.2.2 Análise termodinâmica

A abordagem termodinâmica será baseada do ponto de vista de que a temperatura do uido

interagente deva ser positiva denida ao longo de toda evolução cósmica. Logo, como visto no

capítulo 2, os estados termodinâmicos do uido relativístico são caracterizados pelas grandezas

primitivas T µν , Nµ e Sµ denidas por

T µν = ρxuµuν − pxhµν , (4.20)

Nµ = nuµ, (4.21)

Sµ = nσuµ, (4.22)

onde nσ = s, sendo σ a entropia especíca e s a densidade de entropia. As leis de conservação

para o tensor energia-momento e o número de partículas para o uido interagente são dadas

por

uµTµν

;ν = ρx + 3a

a(ρx + p) = −Q, (4.23)

Nµ;µ = n+ 3

a

an = 0. (4.24)

47

Considerando que a energia escura é um uido exótico com equação de estado dada por

ω(a) = ω0 + ωaf(a), (4.25)

no qual interage com a matéria escura cujo a evolução da densidade de energia é dada pela

equação (4.4). Então a partir da equação (4.23) com o termo de acoplamento dado pela equação

(4.5) temos que

ρx + 3a

a(ρx + p0) = −3

a

aΠ, (4.26)

com p0 = ω0ρ e a pressão viscosa volumar sendo dada seguinte forma

Π = ωaf(a)ρx + ρdmε(a)

3+ ρdm

aε′(a)

3ln a, (4.27)

onde temos uma soma de um termo referente a parte variável da equação de estado da energia

escura, um referente à interação e outro vem da dependência do parâmetro de interação em

relação ao fator de escala. Note que, ε(a) → ε0 a viscosidade volumar conduz aos resultados

calculado em [58].

Vamos assumir um cenário VAMP (Variable Mass Particle) (veja mais referências em [94])

onde a massa das partículas dependem do tempo, entretanto, a forma como a massa varia não

será necessário. Assim, o número de partículas de cada componente será conservado. Assim, a

partir da equação (4.24) temos a conservação de partículas dos dois componentes

ndm + 3a

andm = 0, nx + 3

a

anx = 0. (4.28)

Devido a matéria escura não apresentar pressão, ela não possui uma lei de evolução da

temperatura. Portanto, apenas a energia escura possui lei de evolução da temperatura na qual

não será necessário explicitá-la, só devemos considerar que ela é positiva denida. Considerando

apenas um processo dissipativo escalar, ou seja, a pressão viscosa volumar, a fonte de entropia

da energia escura será

Sµ;µ = −ΠΘ

Tx, (4.29)

em que Θ = 3a/a (Universo FLRW). Logo, a partir das equações (4.27) e (4.29) temos o

seguinte vínculo termodinâmico para ωa

ωa ≤ −ε(a)ρdm + aε′(a) ln a

3f(a)ρx, (4.30)

onde ε(a) é o parâmetro de interação, ρdm é a evolução da densidade de energia da matéria

escura, f(a) depende de cada parametrização do parâmetro da equação de estado da energia

escura e ρx é a evolução da densidade de energia do uido interagente. Dessa forma, a partir

da densidade de energia da matéria escura dada pela equação (4.4) e das densidades de energia

48

escuras (4.8), (4.9) e (4.10), temos o seguinte conjunto de vínculos termodinâmicos

ωa ≤ −A

3

(ε(a)a3(ω0−ωa)+ε(a)+1 + ε′(a)a4+3(ω0−ωa) ln a) exp[− 3ωa

(1−aa

)](1− a)

1− A

∫exp

[− 3ωa

(1−aa

)]a3(ω0−ωa)+ε(a)(ε(a)a−1 + ε′(a) ln a)da

, (4.31)

ωa ≤ −A

3

(ε(a)a3ω0+ε(a) + ε′(a)a4+3ω0 ln a) exp[−3ωa(ln a)2/2]

ln a1− A∫

exp[−3ωa(ln a)2/2]a3ω0+ε(a)(ε(a)a−1 + ε′(a) ln a)da, (4.32)

ωa ≤ −A

3

(ε(a)a3(ω0+ωa)+ε(a) + ε′(a)a4+3(ω0+ωa) ln a) exp[−3ωa(1− a)]

(1− a)1− A∫

exp[3ωa(1− a)]a3(ω0+ωa)+ε(a)(ε(a)a−1 + ε′(a) ln a)da, (4.33)

onde A = ρdm,0/ρx,0 e claramente não são denidos em a = 1. Considerando a relação de Euler

(com o potencial químico nulo)

σ =SxN

=ρx + pxnT

, (4.34)

a positividade da entropia leva ao seguinte vínculo

ρx[1 + ω(a)] ≥ 0, (4.35)

onde, utilizando a parametrização linear, logarítmica e CPL mais as densidades de energia

escura dadas pelas equações (4.8), (4.9) e (4.9) temos o seguinte conjunto de vínculos

[ω0 + ωa

(1− aa

)]ρ(1)x ≥ 0, (4.36)

[1 + ω0 − ωa ln a]ρ(2)x ≥ 0, (4.37)

[1 + ω0 + ωa(1− a)]ρ(3)x ≥ 0. (4.38)

Agora vamos reescrever o conjunto de vínculos termodinâmicos, equações (4.31), (4.32)

e (4.33), com a forma funcional de ε(a) explícita. Considerando as parametrizações de ε(a)

propostas em [106] podemos reescrever os vínculos termodinâmicos para o parâmetro da equação

de estado variável. Portanto, considerando as parametrizações

ε(a) = ε0aξ, (P1) (4.39)

ε(a) = ε0 exp(1− a−1), (P2) (4.40)

os vínculos termodinâmicos para P1 são

49

ωa ≤ −ε0A

3

(a3(ω0−ωa)+ε0aξ+1 + a3(1+ω0−ωa)+ξ ln aξ) exp[− 3ωa

(1−aa

)](1− a)

1− Aε0

∫exp

[− 3ωa

(1−aa

)]a3(ω0−ωa)+ε0aξ+ξ−1(ln aξ + 1)da

, (4.41)

ωa ≤ −ε0A

3

(a3ω0+ε0aξ+ξ + a3(1+ω0)+ξ ln aξ) exp[−3ωa(ln a)2/2]

ln a1− Aε0∫

exp[−3ωa(ln a)2/2]a3ω0+ε0aξ+ξ−1(ln aξ + 1)da, (4.42)

ωa ≤ −ε0A

3

(a3(ω0+ωa)+ε0aξ+ξ + a3(ω0+ωa+1)+ξ ln aξ) exp[3ωa(1− a)]

(1− a)1− Aε0∫

exp[3ωa(1− a)]a3(ω0+ωa)+ε0aξ+ξ−1(ln aξ + 1)da, (4.43)

e para P2

ωa ≤ −ε0A

3

(a3(ω0−ωa)+ε0 exp(1−a−1)+1 + a2+3(ω0−ωa) ln a) exp[− 3ωa

(1−aa

)+ (1− a−1)

](1− a)

1− Aε0

∫exp

[− 3ωa

(1−aa

)+ (1− a−1)

]a3(ω0−ωa)+ε0 exp(1−a−1)−1( ln a

a+ 1)da

,(4.44)

ωa ≤ −ε0A

3

(a3ω0+ε0 exp(1−a−1) + a2+3ω0)+ξ ln a) exp[−3ωa(ln a)2/2 + (1 + a−1)]

ln a1− Aε0∫

exp[−3ωa(ln a)2/2 + (1 + a−1)]a3ω0+ε0 exp(1−a−1)−1( ln aa

+ 1)da,

(4.45)

ωa ≤ −ε0A

3

(a3(ω0+ωa)+ε0 exp(1−a−1) + a2+3(ω0+ωa) ln a) exp[3ωa(1− a) + (1− a−1)

](1− a)

1− Aε0

∫exp

[3ωa(1− a) + (1− a−1)

]a3(ω0+ωa)+ε0 exp(1−a−1)−1( ln a

a+ 1)da

.(4.46)

Agora mostraremos que fazendo determinados limites recuperamos modelos que estão na

literatura.

4.2.3 Limite ε(a)→ ε0

Fazendo o limite de ε(a)→ ε0 na equação (4.6), recuperamos os resultados de [58], ou seja,

uma densidade de energia para uma interação entre energia escura e matéria escura apenas com

a equação de estado variável

ρx =ρx,0 − ερdm,0

∫exp

[3∫ 1+ω(a)

ada]a−4+ε

exp[3∫ 1+ω(a)

ada] , (4.47)

e fazendo o limite de ω(a) → ω0 constante, recuperamos a relação (3.14), que é o modelo de

Wang & Meng padrão.

Fazendo o limite de ε(a)→ ε0 na inequação (4.30) recuperamos também o resultado de [58],

50

logo

ωa ≤ −ερdm

3f(a)ρx. (4.48)

Para o caso em que não há interação entre matéria escura e energia escura, fazemos o limite de

ε→ 0 na equação (4.6), temos o resultado de [104]

ωa ≤ −1 + ω0

f(a). (4.49)

4.2.4 Limite ω(a)→ ω0

Agora considerando o limite de ω(a) → ω0 na equação (4.6) recuperamos os resultados de

[86], ou seja,

ρx = ρx,0a−3(1+ω) + ρdm,0a

−3(1+ω)[ ∫ 1

a

aε′ ln a+ ε(a)

a1−ε(a)−3ωda]. (4.50)

E o limite de ε(a)→ ε0 recuperamos o Modelo de Wang & Meng padrão.

51

Capítulo 5

Conclusões e Perspectivas

Nessa dissertação, discutimos no capítulo 1 a Cosmologia padrão que é baseada no princípio

cosmológico e na Teoria da Relatividade Geral. Mostramos também as equações que regem a

dinâmica de um universo homogêneo, isotrópico e em expansão. Apresentamos também alguns

suportes observacionais que sustentam a teoria na qual a Cosmologia padrão se apoia. Embora

o modelo ΛCDM forneça uma boa descrição do Universo observado, ele apresenta pelo menos

dois graves problemas (o problema da constante cosmológica e o da coincidência cósmica)

que precisam ser investigados. Então, uma alternativa para explicar a expansão acelerada do

Universo é adotar como causa dessa aceleração um uido exótico conhecido como energia escura,

que tem como caso particular a constante cosmológica. Apresentamos dois modelos alternativos,

o ωCDM e ω(z)CDM que tem como casos particulares o modelo ΛCDM. Revisamos também

algumas parametrizações que estão na literatura. Todavia, sobre a natureza dessa componente

exótica responsável pelo maior conteúdo energético do Universo não há um modelo conclusivo

que responda todas as questões. Dessa forma, só podemos confrontar esses modelos que tentam

explicar a aceleração do Universo com os dados observacionais. Posto isso, modelos de interação

entre energia escura e matéria escura permitem abordar essas questões.

Adotando a energia escura como causa da expansão acelerada do Universo, no capítulo 2

ilustramos o modelo de uido relativístico no qual utilizamos para descrever a energia escura

e que serviu de base para a abordagem termodinâmica ao uido interagente no capítulo 4.

Vimos que, partindo de princípios básicos da termodinâmica de não-equilíbrio obtêm-se uma

forma mais geral do tensor energia-momento contendo todos os processos fora do equilíbrio

para o caso de um uido imperfeito. Notamos que houveram mudanças nas equações de

movimento do uido e da corrente de entropia quando incluímos termos dissipativos no tensor

energia-momento e no quadrivetor uxo de partículas. Por m, deduzimos a lei de evolução da

temperatura do uido em termos de todos os processos dissipativos.

É de se esperar que mais de uma das questões citadas anteriormente estejam interligadas,

então na tentativa de responder algumas delas, a possibilidade de um acoplamento não mínimo

entre as duas principais componentes energéticas do Universo não é descartada, sendo bastante

investigada na literatura. Os modelos de interação entre matéria e energia escuras são tentativas

52

fenomenológicas de atenuar o problema da coincidência. Então, no capítulo 3 foram mostrados

alguns modelos de interação entre matéria escura e energia escura. Estudamos o modelo de

Wang & Meng e vimos que a evolução de energia da matéria escura é levemente diferente da

padrão e esse pequeno desvio é dado pelo parâmetro de interação ε, que nesse caso é constante.

Apresentamos também o modelo proposto em [105, 106] que generaliza o modelo de Wang &

Meng, ou seja, o parâmetro de interação é variável com o tempo cósmico (ε = ε(a)). Mostramos

algumas parametrizações de ε(a) que foram propostas em [106], assim como algumas evoluções

de parâmetros cosmológicos para esse modelos de interação.

No capítulo 4, consideramos o modelo de interação em que o parâmetro de interação

(ε = ε(a)) e também o parâmetro da equação de estado px = ω(a)ρx são variáveis no tempo

cósmico e obtivemos a evolução da densidade de energia escura no contexto do modelo de

interação. Mostramos também como essa densidade de energia evolui com o tempo cósmico

e vimos que valores positivos de ξ para as parametrizações logarítmica e CPL e ξ = −0.2

para parametrização linear são os que melhores se ajustam quando analisamos a evolução

dos parâmetros de densidades e que valores negativos para ξ para logarítmica e CPL falham

em descrever a evolução do Universo. Baseado na termodinâmica desenvolvida no capítulo

2, vimos que a partir da equação de conservação de energia, esse uido interagente tem um

comportamento semelhante a um uido com um único processo dissipativo, a pressão viscosa

volumar, gerando entropia. Esse processo é a soma de um termo referente a parte variável da

equação de estado da energia escura, um referente à interação e outro associado a dependência

do parâmetro de interação em relação ao fator de escala. Então, a partir da segunda lei da

termodinâmica e da positividade da entropia, impomos vínculos para equação de estado da

energia escura.

Perspectivas

Como perspectiva iremos testar os vínculos encontrados com dados de SNe Ia, BAO e

CMB. Aqui, a análise termodinâmica foi feita considerando o potencial químico nulo, então

uma perspectiva é fazer essa análise considerando o potencial químico diferente de zero.

Outra possibilidade é considerar que no processo de interação haja criação ou destruição de

partículas. Ainda como perspectiva iremos fazer uma análise termodinâmica considerando a

parametrização Barbosa & Alcaniz [54, 55] que abrange todo espectro de redshifts. Iremos

vericar se para nosso modelo de interação o Universo se expande aceleradamente ou se há um

momento que desacelera. Para isso calcularemos o parâmetro de desaceleração. Vamos vericar

a possibilidade de fazer uma análise termodinâmica considerando uma interação geral, em que

a energia escura é representada por um uido exótico com equação de estado variável e o termo

de acoplamento variável com o tempo cósmico.

53

Apêndice A

Dedução da Fonte de Entropia

Na Termodinâmica de uidos relativísticos, seja em processos reversíveis ou irreversíveis,

o estado termodinâmico é descrito por três grandezas básicas: o tensor energia-momento T µν ,

a corrente de partículas Nµ e a corrente de entropia Sµ. Então, na presença de processos

dissipativos, as grandezas básicas são escritas da seguinte maneira

T µν = ρuµuν − phµν + ∆T µν , (A.1)

Nµ = nuµ + ∆Nµ, (A.2)

onde as formas dos desvios são determinadas pela segunda lei da Termodinâmica. As equações

de movimento do uido são dadas pela conservação de energia e momento e a equação de

balanço para o número partículas. Logo, fazendo a derivada covariante da equação (A.1) e da

equação (A.2) e projetando a primeira na direção da quadrivelocidade uµ, temos

uµTµν

;ν = ρ+ (ρ+ p)Θ + uµ∆T µν;ν = 0, (A.3)

Nµ;µ = n+ nΘ + ∆Nµ

;µ = Ψ. (A.4)

Considerando a relação de Gibbs

Tdσ = d(ρn

)+ pd

( 1

n

), (A.5)

podemos reescrevê-la da seguinte maneira

Tdσ = d(ρn−1) + pd(n−1), (A.6)

Tdσ =dρ

n− ρ

n2dn− p

n2dn, (A.7)

54

nTdσ = dρ− ρ+ p

ndn, (A.8)

tomando a derivada covariante ao longo das linhas de universo dos elementos de volume do

uido, temos

T (nσuµ);µ = T [(nσ);µuµ + nσuµ;µ] (A.9)

onde a taxa de expansão do uido é denida como Θ = uµ;µ, logo

T (nσuµ);µ = T [σ(n+ nΘ) + nσ] (A.10)

onde n = n;µuµ e σ = σ;µu

µ. Da equação de balanço de partículas (A.4), temos que

n+ nΘ = Ψ−∆Nµ;µ, (A.11)

assim a equação (A.10) é reescrita como

T (nσuµ);µ = T [σ(Ψ−∆Nµ;µ) + nσ]. (A.12)

Podemos reescrever a relação de Gibbs dada pela equação (A.8) considerando a equação de

balanço de partículas equação (A.4) da seguinte maneira

nT σ = ρ− ρ+ p

n(Ψ−∆Nµ

;µ − nΘ) (A.13)

então das equações (A.11) e (A.12), obtemos

T (nσuµ);µ = Ψ(σT − ρ+ p

n

)+ ∆Nµ

;µ

(ρ+ p

n− σT

)+ ρ+ (ρ+ p)Θ, (A.14)

utilizando a equação de conservação de energia e momento (A.3) e denindo o potencial químico

como

µ =ρ+ p

n− σT, (A.15)

podemos reescrever a equação (A.14) da seguinte maneira

T (nσuν);ν = −uµ∆T µν;ν − µΨ + µ∆Nν;ν . (A.16)

Considerando que forma do uxo de entropia seja dada pela relação fenomenológica geral

Sν;ν = nσuν − µ

T∆N ν +

uµ∆T µν

T, (A.17)

55

sua derivada covariante é

Sν;ν = (nσuν);ν −(µT

∆N ν)

;ν+(uµ∆T µν

T

);ν, (A.18)

usando a equação (A.16), obtemos

Sν;ν =(uµ;ν

T− T;νuµ

T 2

)∆T µν −

(µ;ν

T− µT;ν

T 2

)∆N ν − µΨ

T. (A.19)

As formas mais gerais de ∆T µν e ∆N ν que incluem todos os processos dissipativos são dadas

por

∆T µν = −(Π + pc)hµν + qµuν + qνuµ + Πµν , (A.20)

∆N ν = Jν , (A.21)

usando a denição de projetor sobre o espaço de repouso local hµν = gµν − uµuν e os seguintesvínculos para o uxo de calor qµ, tensão viscosa Πµν e corrente de partículas Jν dados por

uµqµ = uµJµ = uµΠµν = gµνΠµν = Πµν − Πνµ = 0, (A.22)

logo, temos a fonte de entropia em termos dos processos dissipativos conhecidos

Sµ;µ = −ΠΘ

T− pcΘ

T− µΨ

T−(T;ν

T 2− uνT

)qν −

(µ;ν

T− µT;ν

T 2

)Jν +

uµ;νΠµν

T. (A.23)

56

Apêndice B

Dedução da Lei de Evolução da

Temperatura

Para uma descrição termodinâmica completa do uido precisamos de mais duas equações

de estado: p = p(n, T ) e ρ = ρ(n, T ), assim podemos obter uma lei de temperatura para um

uido relativístico que se encontra num processo local de expansão (Θ > 0) ou de contração

(Θ < 0). Diferenciando a densidade de energia ρ = ρ(n, T ) ao longo das linhas universo do

volume do uido

dρ =(∂ρ∂n

)Tdn+

( ∂ρ∂T

)ndT, (B.1)

substituindo na relação de Gibbs

dσ =1

nT

[(∂ρ∂n

)T−(ρ+ p

n

)]dn+

1

nT

( ∂ρ∂T

)ndT. (B.2)

Agora fazendo a diferencial da densidade de entropia σ = σ(n, T ), obtemos

dσ =(∂σ∂n

)Tdn+

( ∂σ∂T

)ndT, (B.3)

comparando com a equação (B.2) temos que

(∂σ∂n

)T

=1

nT

[(∂ρ∂n

)T−(ρ+ p

n

)](B.4)

e ( ∂σ∂T

)n

=1

nT

( ∂ρ∂T

)n

(B.5)

Como dσ é uma diferencial exata, então

∂

∂T

(∂σ∂n

)T

=∂

∂n

( ∂σ∂T

)n

(B.6)

57

então das equações (B.4) e (B.5), temos que

∂

∂T

1

nT

[(∂ρ∂n

)T−(ρ+ p

n

)]n

= ∂

∂n

[ 1

nT

( ∂ρ∂T

)n

]T, (B.7)

expandindo essa equação, obtemos

T( ∂p∂T

)n

= ρ+ p− n(∂ρ∂n

)T. (B.8)

Considerando a diferencial com relação ao tempo da densidade de energia ρ = ρ(n, T ), ou seja

ρ =(∂ρ∂n

)Tn+

( ∂ρ∂T

)nT , (B.9)

utilizando as equações de conservação de energia e momento (A.3) e a de balanço de partículas

(A.4), podemos reescrever a equação (B.9) sa seguinte maneira

( ∂ρ∂T

)nT = −(ρ+ p)Θ− uµ∆T µν;ν −

(∂ρ∂n

)T

(Ψ− nΘ−∆Nµ;µ), (B.10)

ou ( ∂ρ∂T

)nT =

[n(∂ρ∂n

)T− (ρ+ p)

]Θ−

(∂ρ∂n

)T

(Ψ−∆Nµ;µ)− uµ∆T µν;ν , (B.11)

combinando com a equação (B.8) obtemos

( ∂ρ∂T

)nT = −T

( ∂p∂T

)nΘ−

(∂ρ∂n

)T

(Ψ−∆Nµ;µ)− uµ∆T µν;ν , (B.12)

logo

T

T= −

(∂p∂ρ

)nΘ− 1

T(∂ρ∂T

)n

[(∂ρ∂n

)T

(Ψ−∆Nµ;µ)− uµ∆T µν;ν

]. (B.13)

58

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