economia da engenharia 2
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ECONOMIA DA ENGENHARIA 2
INTRODUÇÃO
Apresentação do Professor
BIBLIOGRAFIA
2.1 – Projeto de Investimento --- Dayse Rebelutto – Editora Manole
2.2 – Projetos de Investimento Juan Carlos Lapponi- Lapponi treinamento e Editora Ltda.
2.3 – As Decisões de Investimento – Adriano leal Bruni , Rubens Famá - Atlas
2.4 – Apostila
2.5 – HP 12 C
CONCEITO DE PROJETO DE INVESTIMENTOS
Para que se tenha uma idéia do significado de a palavra investimento, e suas diversas
interpretações é preciso que antes fique claro que os investimentos podem ser realizados por:
--- Pessôas Físicas –Ex: compra de um apartamento, compra de um carro, aquisição de ações,
aplicações financeiras, participações societárias em empresas etc....
--- Pessoas jurídicas qualquer aplicação financeira
Os Projetos de Investimentos se classificam:
3.1) Quanto a sua natureza em:
3.1.1-- Investimentos Fixos
3.1.2-- Investimentos em Capital de Giro ou Capital Circulante ou ainda Capital de Trabalho
3.1.3-- Projetos de Investimeno Mistos: fixo + giro
3.2) Quanto ao seu objetivo:
3.2.1-- Investimentos em Implantação
3.2.2-- Investimentos em ampliação
3.2.3-- Investimento em relocalização
3.2.4—Investimentos em reorganização - rearranjo físico (layout) ou reestruturação
organizacional, ou modernização tecnológica.
4 CONCEITO DE CUSTO DE OPORTUNIDADE
Custo de oportunidade é o grau de sacrifício que se faz ao se optar pela aplicação de recursos
em um investimento qualquer em detrimento de outro ou mesmo pela produção de um bem
em detrimento da produção alternativa de outro bem. Na verdade em Avaliação de Projetos é
o parametro que se toma por base para se avaliar se um PROJETO DE INVESTIMENTO ou
INVESTIMENTO é ou nào atraente ou viável. SE:
Lucro ou rentabillidade do projeto > custo de oportunidade o prjeto é viável
Se LP ou RP < CO à projeto inviável
SE LP ou RP = CO à a naliosar os vários aspectos envolvidos, inclusive a avaliação social do
projeto para definir sua viabilidade ou não.
Exemplos:
Capital em caixa na empresa: o custo de oportunidade é o que a empresa poderia estar
ganhando se aplicasse o recurso no mercado financeiro ao invés de aplicá-lo em uma atividade
produtiva qualquer.
Se dispusesse de R$ 1.000.000,00 e:
- na atividade produtiva tivesse R$ 150.000,00 de Lucro/ano
- no mercado financeiro em fundos de renda fixa hoje se obtem 8% ao ano em média isto é
um rendimento de R$ 80.000,00/ano
O custo de oportunidade (CO) = R$ 80.000,00
Observação: não é a diferença R$ 150000,00 –R$ 80.000,00 = R$ 70.000,00
Quando utiliza o prédio próprio, a firma deve imputar um custo de oportunidade
correspondente ao que obteria se alugasse o prédio.
Estudante: custo de oportunidade de estar estudando e representado pelo que está deixando
de ganhar, se trabalhasse.
5. Avaliação privada e avaliação social de projetos de investimentos
Há uma clara diferença entre os dois enfoques de avaliação:
- avaliação privada: avaliação econômico-financeira, específica da empresa (receitas, lucros,
rentabilidade, retorno do investimento etc...).
- avaliação social: custos ou benefícios para a sociedade, derivados da atividade produtiva
específica.
Por exemplo: ao se aumentar a produção de veículos, devemos considerar:
--de um lado, os custos sociais, tais como: aumento da poluição ambiental e sonora, desgastes
das ruas e estradas etc, necessidade de obras de infra-estrutura, numero de acidentes, trafego
e engarrrafamentos etc.....
-- de outro lado os benefícios sociais: geração de empregos, geração de impostos, geração de
renda na região e consequentes benefícios ao comercio local, reflexos nos mercados locais ,
efeito multiplicador do projeto. Ex: mercado imobiliário, redução da pobreza, aumeento do
consumo etc...
6. EMPRESAS (PESSÔAS JURÍDICAS)
Empresas (pessoas Jurídicas): reunião de duas ou mais pessoas físicas ou jurídicas visando o
exercício de uma atividade econômica qualquer.
Contrato Social: Capital Social, objetivos da sociedade (comércio, serviços, Consultoria,
representações, etc...), gerência da sociedade, sede social, duração da sociedade etc...
CLASSIFICAÇÃO OU TIPOS DE EMPRESAS
A) Quanto ao setor de economia
--Empresas do setor primário: agrícola, mineral, produtor de matérias primas primárias.
-- Empresas do setor secundário: industrial
-- Empresas do setor terciário: serviços (turismo, bancos e instituições financeiras,
restaurantes etc...).
B) Quanto à origem do capital
Empresas Públicas
GOVERNO
Empresas de Economia Mista
SOCIEDADES PRIVADAS
C) quanto à forma jurídica de constituição
Sociedades Limitadas
Fechadas
Sociedades Anônimas
Abertas (ações, OP, ON, PP, PN) Bolsas etc..
(publicação de balanços e auditorias)
MERCADO DE CAPITAIS
D) Quanto a área de atuação:
Multinacionais
Nacionais.
Regionais
Locais
AVALIAÇÃO DE PROJETOS:
ESTÁTICA – análise do projeto considerando a viabilidade de cada capitulo
DINÂMICA – análise do projeto considerando as sua entradas e saidas de dinheiro (fluxo de
caixa ) projetado para város anos (horizonte da análise). Este horizonte pode se estender
durante toda a vida útil do projeto.
- Avaliação de um projeto isolado;
- Comparação entre dois ou mais projetos.
AVALIAÇÃO ESTÁTICA
TIPOS DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS
Determinado grupo econômico decide investir em um projeto ou investimento que pode ser:
Implantação
Ampliação
Capital de Giro
Modernização
Reorganização: física ou estrutural (Chocolates Vitória)
Relocalização
Quais os passos:
- Pré-análise
- Projeto de Viabilidade Técnica - Econômica e Financeira do Investimento:
- Descrição sumária e justificativa do investimento. EX: REALCAFÉ e MAPPELLI DO BRASIL.
a.1- Realcafé
-- 1 saco de 60 Kg café verde rende 20 Kg de café solúvel em média.
-- Custo de transporte de 40 kg desperdiçado
-- Brasil fornecendo materia prima (primaria) sem agregar valores a nossa economia
(empregos, mão de obra, receitas, impostos, renda interna etc..).
-- EUA importando o café verde e vendendo o café solúvel por um valor mais ou menos
5 vezes superior. Tipo de indústria a ser situada junto a fonte produtora de matéria prima. Só a
economia no custo de transporte conferia vantagens competitivas as indústrias que se
instalassem junto a produção do café verde. Se somassemos ainda a mão de obra mais barata
e outras vantagens haveria condições de se deslocar do mercado os produtores norte
americanos e ocupar a faixa de mercado deles, trazendo toda esta renda agregada para o
Brasil.
a.2- Mapelli.
Semelhante ao café verde. Deixar de exportar os blocos e exportar chapas, ladrilhos e
produtos acabados. Uma tonelada de bloco gera apenas 600kg de chapas e 450 kg de produto
acabados (ladrilhos, pisos etc...).
a.3- Substituições de importações
b.2. Detalhamento e informações dos investidores, contrato social, diretoria, tipo de empresa
(importante para incentivos fiscais) etc...
b.3- Definição da Macro e Microlocalização
b.4- Estudo de Mercado
b.5- Definição da Tecnologia do Processo Produtivo e do Tamanho da Empresa
b.6- Orçamentos dos investimentos (projetos, construções, equipamentos, instalações, móveis
e utensílios, veículos, montagem industrial, arranque e pré-operação e capital de giro)
b.7- Definição das fontes de recursos
b.8- Análise econômico – financeira (custos, receitas, lucros, rentabilidades, fluxos de Caixa)
b.9- Aprovação do Projeto junto aos agentes financeiros, órgãos governamentais (prefeituras,
meio ambiente – RIMA) etc..
b.10- Implantação
b.11- Pré- operação e operação
b. Projeto de Viabilidade Técnica- Econômica e Financeira do Investimento
b.1- Descrição sumária do investimento
Ligeiro histórico sobre o investimento a realizar, definição da localização, nome da
empresa, sede, domicílio fiscal, dimensão ou tamanho do projeto, total do investimento,
justificativas, mercados a atingir, origem das matérias primas e materiais secundários,
tecnologia a ser adotada, número de operários e especialização da mão de obra, faturamento
previsto, impostos a recolher , meio ambiente etc...
b.2- Detalhamento e informações dos investidores, cadastro, experiência no setor,
contrato social, diretoria, tipo de empresa (importante para incentivos fiscais) etc...
Nomear os investidores (sócios), responsáveis pelo projeto e financiamentos, patrimônio
pessoal de cada um, informações cadastrais (caso Argentinos), experiência empresarial e no
setor dos sócios ou diretores contratados, diretoria da empresa, organograma, forma jurídica
de constituição, capital social e forma de integralização, incentivos fiscais (exemplificar caso
GERES).
b.3- Definição da Macro e Microlocalização
b.3.1.- OBJETIVO – definir a localização mais econômica para a transformação dos fatores de
produção em bens ou serviços e colocá-los no mercado (consumidores). A melhor localização
será aquela que permitir o resultado mais favorável para o projeto ou investimento como um
todo considerando todos os aspectos envolvidos e deve ser analisada a curto , médio e longo
prazos. O estudo de localização deve ser feito para todo o tipo de empresa (indústria, serviços,
comércio etc...).
O estudo de localização deve ser feito para:
- Implantação de um novo empreendimento;
- Implantação de uma nova unidade para empresas pré-existentes ou uma nova linha de
produção e expansão;
- Mudança de determinados setores da empresa para localizações mais adequadas;
- Relocalização ( Randon Sudeste, Embasa etc..)
b.3.2. MACROLOCALIZAÇÃO
Definição do continente, país, região do país, estado, município e cidade onde localizar a
empresa
b.3.2- Fatôres de Influência.
b.3.2.1.-GLOBALIZAÇÃO
A globalizaçào trouxe e está trazendo uma grande mudança na estratégia das empresas. As
facilidades de acesso aos mercados mundiais, o marketing globalizado, as rápidas
transformações tecnológicas têm provocado grandes alterações na economia mundial,
obrigando as empresas a estarem sempre atentas aos competidores, atualizando-se e
programando-se permanentemente para atingir os seus mercados e consumidores da forma
mais atual possível, sem se prender as matrizes, e do modo mais competitivo possível. Muitas
vezes uma pequena empresa local com um mercado cativo em sua cidade vê-se atropelada
por uma empresa de outro local e até mesmo outro continente face às facilidades provocadas
pelos meios de comunicação e comercialização geradas pela globalização ( roupas, sapatos
etc...).
b.3.2.2.- TRANSPORTE.
Os custos de transporte dependendo do tipo de produto constituem, em muitos casos, o
fator que mais pode influenciar na localização das empresas. Existem produtos mais ou menos
transportaveis (transportabilidade), por exemplo:
- Diamante e pedras preciosas – Muito transportáveis (alto valor agregado)
- Brita e outros produtos de baixo valor agregado – pouco transportável
Existem transportes de volume (m3 por KM) de peso (Ton por KM)
A localização da empresa ou em relação as fontes ou locais de fornecimento das matérias
primas e aos mercados de produtos acabados deve ser estudada com muita segurança. Deve-
se determinar o ponto em que os custos de transporte seja minimo.
GRÁFICO>>>> CTAI = SOM CMP + SOM CTMP + SOM CP + SOM CTPA
OUTRAS ANÁLISES
b.3.2.3.- Disponibilidade de Mão de Obra
- Aspectos quantitativos - Se a indústria precisa contratar 2500 operários e a cidade tem
apenas 8000 habitantes, sendo, mais ou menos, 30% de mão de obra ativa , resultará em 2400
operários disponíveis
- Aspectos qualitativos – disponibilidade de mão de obra qualificada (escolas técnicas), nível de
saúde da cidade (quantidade de leitos por habitante) o que redunda em produtividade da mão
de obra.
- Custo da mão de obra – existência de sindicatos fortes, nível de salários etc... (ex: China e
Índia X EUA)
CASO – Only Conservas de Frutas SA
b.3.2.4.- Energia e combustível
Disponibilidade e custo da energia (caso da indústria de alumínio). Custo da energia agora e
unificado, mas, até bem pouco tempo no Brasil, o custo aumentava de acordo com a distancia
da fonte geradora da energia e perda de carga no transporte.
Se não há disponibilidade de energia ou infraestrutura de transportes, comunicações etc...
Os custos de combustível variam de local para local. A existência de fontes aternativas de
combustível (gás natural, carvão, coque siderurgico, turfa etc...) deve ser analisada.
b.3.2.5. Impacto ambiental
Análise da legislação ambiental da cidade (RIMA), despejo de resíduos etc..EX: CASO: CST X
VITÓRIA
b.3.2.6.- ÁGUA E ENERGIA
Disponibilidade, Custo e Qualidade da água podem ser importantes e fundamentais para
determinado tipo de indústria.
EX: (cerveja, cafe solúvel)
b.3.2.7.- Estabildade Política
Caso Bolívia e Venezuela e agora Equador
b.3.2.8. Fatores Climáticos
Inundações, sêcas, tempestades, tufões etc.. poderão implicar em acréscimos de custos
operacionais e de investimentos (construções mais sólidas, interrupções na produção etc...)
EX: Japão hoje
b.3.2.9. Fatores locais
- Se for por exemplo em São Paulo: terrenos caros, mão de obra cara, investimento alto etc...
- Não tem incentivos fiscais ou creditícios
Incentivos federais, Municipais e Estaduais
b.3.2.10.- Infraestrutura Básica
Sistema de transportes urbanos, existência e qualidade das estradas (sistema viário),
comunicação, sistema bancário, segurança, comércio etc...
Portos e Aeroportos (comercio Exterior) EX: Esp. Santo
B.3.3 - MICROLOCALIZAÇÃO
Escolha do terreno onde situar a empresa -- Topografia, lençol d’água, preço do terreno,
transportes urbanos, infra-estrutura urbana, segurança, água, energia, comunicações, tipo de
solo, adaptação do layout dos prédios e equipamento ao terreno etc...
Caso:Realcafé
CONTINUAÇÃO PROBLEMA ANTERIOR
B.4.- MERCADO
O termo mercado diz respeito ao conjunto de compradores e vendedores que interagem em
um certo espaço geográfico, assim como as vendas e compras que ocorrem por meio dessas
interações. Destas interações entre compradores e ofertantes surge um sistema de preços que
vai orientar a economia no sentido de aumentar ou reduzir a produção de bens e serviços.
Teóricamente o equilíbrio no mercado será alcançado quando, à determinado preço, a
quantidade de bens ou serviços demandada for idêntica a quantidade de bens e serviços
ofertada.
Em cada um dos mercados atuam conjuntamente as forças da oferta e da demanda,
determinando o preço. Assim, no mercado de bens e serviços formam-se os preços dos bens e
serviços, enquanto no mercado de fatôres de produção são determinados os preços dos
fatôres de produção (salários, juros, aluguéis, lucros, royalties, etc.).
b.5 – ANÁLISE DA DEMANDA DE MERCADO
b.5.1: Definição de Demanda:
Demanda (ou procura) é a quantidade de determinado bem ou serviço que os consumidores
desejam adquirir, num determinado período;
Demanda é um desejo, um plano e representa o máximo que o consumidor pode aspirar dada
a sua renda e os preços do mercado.
Assim demanda não é uma compra efetiva, mas a intenção de comprar, a dados preços.
Ex: Renda 10, preço 2, consumidor pode comprar 5 unidades.
(Máximo que o consumidor pode comprar) – Generalizar (? n consumidores)
B.5.2 – Fundamentos da Teoria da Demanda
B.5.2.1- Valor Utilidade e Valor Trabalho
Utilidade representa o grau de satisfação que os consumidores atribuem aos bens ou serviços
que podem adquirir no mercado, ou seja, é a qualidade que os bens econômicos possuem de
satisfazer as necessidades humanas.
Teoria do Valor Utilidade – pressupõe que o valor de um bem se forma por sua demanda, isto
é, pela satisfação que o bem representa para o consumidor (visão utilitarista: prepondera a
soberania do consumidor que é o pilar do capitalismo).
Teoria do Valor Trabalho – considera que o valor de um bem se forma do lado da oferta,
mediante os custos do trabalho (custos de produção) incorporado ao bem.
Na verdade:
Uma complementa a outra: o comportamento dos preços depende dos custos e do lado da
demanda (padrão de gostos, hábitos, renda etc…).
b.5.3: VARIÁVEIS QUE AFETAM A DEMANDA
Demanda pode ser afetada por muitos fatores, como:
- riqueza;
- renda (e sua distribuição);
- preço de outros bens (bens substitutos ou complementares);
- fatores climáticos e sazonais;
- propaganda;
- hábitos, gostos e preferências dos consumidores;
- facilidades de crédito (disponibilidades, taxa de juros, prazos).
Lei Geral da Demanda a quantidade demandada de um bem ou serviço varia na relação inversa
de seu preço, coeteris paribus.
Duas razões:
Efeito Substituição: o bem fica mais barato que os concorrentes e aumenta sua demanda;
Efeito Renda: com a queda do preço a renda do consumidor permite a aquisição de mais bens.
Quantidade
Preço demandada
1,00 50
2,00 45
3,00 40
4,00 35
5,00 30
(CURVA DE DEMANDA LINEAR)
Curva de demanda linear: revela o desejo (intenção de compra do consumidor com a variação
dos preços e não a compra efetiva).
A compra efetiva é um ponto da curva.
No gráfico acima supusemos uma função linear do tipo q=a-bp (q= 20-2p) pode
acontecer uma função exponencial do tipo
qid = api-b
(CURVA DE DEMANDA EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA)
B.5.3.2 – Relação entre quantidade demandada e preços de outros bens ou serviços
Esta relação da origem a dois conceitos: bens substitutos ou concorrentes e, bens
complementares.
c) Bens substitutos ou concorrentes: o consumo de um substitui o consumo do outro
bem.
EX: o consumo de coca–cola aos mesmos preços aumenta se o preço do guaraná subir,
coeteris paribus.
Outros exemplos:
- Carne de vaca, frango e peixe; e
- Cervejas Antártica e Brahma;
- Manteiga e margarina.
Bens complementares: são bens consumidos em conjunto
q = f(pc) com pi, ps, R, e G constantes
Ex: o aumento do preço dos automóveis provoca a queda no consumo da gasolina, coeteris
paribus.
Outros exemplos:
- camisa social e gravata;
- pneu e câmara;
- pão e manteiga;
B.5.3. 3 - Relação entre demanda de um bem e renda do consumidor
Q = f ( R) com pi, pc, ps e G constantes
^q > 0 - bem normal: aumenta renda, aumenta demanda
^R Ex:carne de pimeira
^q < 0 - bem inferior: aumenta renda, diminui demanda
^R Ex:carne de segunda
c) ^q =1 – bem de consumo saciado: aumenta renda e
^R consumo não altera. Ex: demanda de alimentos básicos: açúcar, a, sal, arroz
OBSERVAÇÃO: Variavel Agregada Macroeconomica : CONSUMO
B.5.3.4 – Relação entre demanda de um bem e hábitos do consumidor
Os hábitos, gostos e preferências dos consumidores podem ser manipulados com propaganda,
marketing, campanhas promocionais etc...
Formato da curva de demanda
A curva de demanda é calculada por métodos estatísticos através da análise dos dados
históricos de cada uma das varáveis e sua correlação por Econometria e Estatística Econômica.
Podemos ter curvas do tipo linear, exponencial, hiperbólicas etc.., dependendo da evolução
dos dados coletados.
Exemplo:
Função Linear: qid = 3-o,5pi+ 0,2ps-0,1pc+0,9R
Função Potência: qid = 5pi-0,2. ps0,3.pc-0,1 .R1,2
B.6 – ANÁLISE DA OFERTA DE MERCADO
B.6.1- Definição
Oferta é a quantidade de determinado bem ou serviço que os produtores e vendedores
desejam vender em determinado período. A oferta, como na demanda representa um plano
ou intenção de venda e não uma venda efetiva.
B.6.2- Variáveis que afetam a oferta
qis = f (pi, -m, pn, O) função geral da oferta.
s = supply
Onde:
q = quantidade ofertada do bem i/t
pi = preço do bem i/t
-m = preço dos fatores e insumos de produção m (mão de obra, mat. primas, etc...)
Pn = preço de outros n bens, substitutos na produção.
O = objetivos e metas do empresário
Função geral da oferta:
^q > 0 (se o preço do bem aumenta, estimula as empresas a ^pi a produzirem mais,
coeteris paribus)
Preço Quant. Ofertada
1,00 30
2,00 35
3,00 40
4,00 45
5,00 50
(CURVA DE OFERTA DE UM BEM DO SERVIÇO)
^qis < 0 ( se o preço do fator terra aumenta, diminui a
^-m oferta de café, coeteris paribus (o mesmo ocorre com os outros fatores mão de obra,
matérias primas, energia etc...)
Formato da curva de oferta
Pode ser linear, exponencial ou hiperbólica dependendo de como os dados estatísticos se
apresentarem ou se comportarem.
B.7 – EQUILÍBRIO DE MERCADO
B.7.1 – Equilíbrio de Mercado de um Bem ou Serviço
O preço em uma economia de mercado é determinado tanto pela oferta como pela procura de
um bem ou serviço.
(EQUILÍBRIO DE MERCADO DE UM BEM OU SERVIÇO)
E – Ponto de equilíbrio: é único, isto é, a quantidade do bem ou serviço que os consumidores
desejam comprar é igual à quantidade do bem ou serviço que os produtores desejam vender.
Não há excesso ou escassez de oferta ou demanda e sim, coincidência de desejos.
Tendência ao nível de equilíbrio: lei da oferta e da procura
(TENDÊNCIA AO NÍVEL DE EQUILÍBRIO)
Economia de mercado concorrencial - mecanismo de preços leva automaticamente ao
equilíbrio.
Excesso de oferta: acumulo de estoques, vendedores terão que diminuir preços.
Excesso de demanda; consumidores tenderão a pagar mais pelo bem ou serviço.
Mercado sozinho tende a encontrar o ponto de equilíbrio, sem filas, sem pressões de preços e
os estoques das empresas são planejados etc...
B.7.2 – Mudanças no Ponto de Equilíbrio, em virtude de deslocamentos da oferta ou da
demanda.
Bem Normal: aumenta a renda dos consumidores. Demanda maior a um mesmo preço
coeteris paribus. O excesso de demanda provocará o aumento gradativo do preço (P0 > P1) e a
demanda vai diminuindo e acaba no novo PE b.
(MUDANÇA NO PONTO DE EQUILÍBRIO – DESLOCAMENTOS DA DEMANDA)
Oferta: caem preços das matérias primas aumenta oferta
(MUDANÇA NO PONTO DE EQUILÍBRIO – DESLOCAMENTO NA OFERTA)
B.8 ELASTICIDADES
B.8.1 Conceito
Elasticidade, em sentido genérico, é a alteração percentual de uma variável, dada à alteração
percentual em outra variável, isto é, é a sensibilidade de uma variável em relação à outra.
- Elasticidade-preço da demanda: variação percentual na quantidade demandada, dada à
variação percentual no preço, coeteris paribus;
- Elasticidade-renda da demanda: variação percentual na quantidade demandada, dada à
variação percentual na renda dos consumidores, coeteris paribus;
- Elasticidade-preço da oferta: variação percentual na quantidade ofertada, dada à variação
percentual no preço do bem, coeteris paribus;
- Elasticidade das exportações em relação à taxa de cambio: variação percentual nas
exportações dada à variação percentual na taxa de cambio, coeteris paribus etc....
B.8.2 Elasticidade preço da demanda
Conceito
- Elasticidade-preço da demanda: variação percentual na quantidade demandada, dada à
variação percentual no preço, coeteris paribus. Mede a sensibilidade, isto é, a resposta dos
consumidores, quando ocorre uma variação no preço de um bem ou serviço.
q1 - qo
EPP = Variação percentual de q = qo = p . ^q
Variação percentual de p p1-po q ^p
po
Como ^qd é negativa(pela lei geral da demanda), e p e q
^p são valores positivos, a elasticidade preço da demanda é sempre negativa. Por
esta razão é sempre expressa em módulo: |Epp| = 1,2 , que equivale a Epp= -1,2 (significa que
para cada variação de 1% no preço de venda do produto para mais ou para menos teremos
uma variação de 1,2% para menos ou para mais na quantidade demandada deste bem ou
serviço)
– Classificação da demanda de acordo com a elasticidade-preço.
Demanda elástica: |Epp| > 1
Por exemplo |Epp| = 1,5 ou -1,5
Significa que a variação de preço de 1% ou 10% no valor do bem altera a quantidade
demandada em + ou – 1,5% ou 15%. Bastante sensível.
Demanda inelástica: |Epp| < 1
EX: |EPP| = 0,4 ou – 0,4
Significa que a variação de preço de 1% ou 10% no valor do bem altera a quantidade
demandada em apenas + ou – 0,4% ou 4%. Pouco sensível.
Elasticidade Unitária: | Epp| = 1 ou -1
Se o preço do bem aumenta de 1% ou 10% a quantidade demandada cai 1% ou 10%, coeteris
paribus.
- Bens substitutos: quanto mais substitutos, maior a elasticidade preço da demanda. Ex:
guaraná X refrigerantes.
- Bens essenciais: quanto mais essenciais, menor elasticidade. Ex: sal, açúcar.
B.8.3 – Relação entre a receita total do vendedor (ou dispêndio total do consumidor) e
elasticidade preço da demanda.
Rt = p.q
Se Epp for elástica – Rt segue sentido da quantidade, isto é:
- se p aumenta q cairá e Rt diminuirá;
- se p cai q aumentará e Rt aumentará;
Se Epp for inelástica, Rt segue o sentido do preço, isto é:
- se p aumenta q cairá e Rt aumentará;
- Se p diminui q aumentará e Rt cairá
c) Se Epp for unitária será indiferente p aumentar ou diminuir que a demanda permanecerá
constante.
B.8.4 ELASTICIDADE-RENDA DA DEMANDA
q1 - qo
ERP = Variação percentual de q = qo = R . ^q
Variação percentual de R R1-Ro q ^R
Ro
- Erp > 1 – Bem superior ou bem de luxo: dada uma variação de renda o consumo varia mais
que proporcionalmente;
- Erp >0 – Bem normal: consumo aumenta quando renda aumenta;
- Erp < 0 – Bem inferior: demanda cai quando renda aumenta;
- Erp = 0 – Bem saciado: variações de renda não alteram o consumo do bem;
B.8.5 – ELASTICIDADE-PREÇO CRUZADA DA DEMANDA:
É a variação percentual da quantidade demandado bem x, dada uma variação percentual do
preço do bem Y, coeteris paribus
qx1 - qxo
EPPc = Variação percentual de qx = qxo = py . ^qx
Variação percentual de py py1-py0 qx ^py
py0
Se Eppc > 0: os bens x e y são substitutos ou concorrentes (o aumento do preço do bem y
aumenta o consumo de x coeteris paribus);
Se Eppc < 0: os bens x e y são complementares (o aumento do preço do bem y diminui o
consumo de x coeteris paribus);
B.9 – ELASTICIDADE-PREÇO DA OFERTA:
Eps = variação percentual de qs
Variação percentual de P
q1 - qo
EPP = Variação percentual de qs = qo = P . ^qs a
Variação percentual de P p1-po q ^p
po
Eps >1: bem de oferta elástica;
Eps < 1: bem de oferta inelástica;
Eps =1: elasticidade preço da oferta unitária
B.8.5- MENSURAÇÃO DESTES COEFICIENTES
A mensuração destes coeficientes de elasticidade se faz pela análise das séries históricas dos
preços x consumo (em geral consumo por habitante) para o caso da elasticidade preço e
variação de renda x consumo, evidentemente deflacionando os valores obtidos para efeito
comparativos. Obtidas as séries históricas pode-se registrar estes valores em um gráfico (eixo
das abcissas para a renda ou preço e eixo das coordenadas a quantidade consumida por
habitante) e procurar uma linha de ajuste no diagrama de dispersão obtido. A inclinação da
tangente a curva obtida medirá a elasticidade preço ou renda, dependendo da série que se
esteja analisando.
Gráfico
B.10 – OUTROS FATORES QUE INFLUENCIAM O MERCADO
- Demanda de bens de consumo intermediários
Os bens de consumo intermediários são aqueles que são usados como matérias primas ou
insumos na produção de outros bens. EX: farinha de trigo na producão de pães, energia
elétrica, motores, couro em sapatos, café verde em solúvel. etc...
.- Demanda de bens de capital - equipamentos (necessidade e reposição)
-São os equipamentos que compõem os processos produtivos. Motores elétricos, máquinas
específicas etc...
Ex: setor marmores e granitos (Teares, laminadoras ou cortadoras, polidoras etc...),
A sua demanda futura normalmete é estimada com base nos seguintes aspectos
Reposição de bens de capital e de serviços que chegaram ao limite de sua vida útil
Expansão da capacidade instalada de empresas pré-existentes
Inovações tecnológicas cada vez mais frequentesç
Programas de investimentos e créditos governamentais.
OBSERVAÇÃO: relação bens de capital x PIB
FATORES GERAIS
Política econômica: (crédito) juros, prazos de pagamentos, isenções de impostos
(automóveis), investimentos do governo
Canais de transporte e escoamento da produção: Infraestrutura (estradas , ferrovias, aerovias,
aparelhamento dos portos etc...
Prazos de entrega e vendas praticados no mercado
Nescessidade de propaganda
Necessidade de depósitos e canais de distribuição intermediários: silos de estocagem de grãos
nos portos e cidades,
Ameaças a entrada: competição e preços (protecionismo de mercados)
Pressão de produtos substitutos principalmente os importados e produzidos por carteis e
monopólios
Economias de escala
Necessidade de capital
Custos de mudança para os compradores : televisões LED (Japão)
B.9 – DEFINIÇÃO DO TAMANHO
A determinação do tamanho ou capacidade instalada é de fundamental importância para
qualquer projeto de Investimento de uma empresa
Uma indústria pode ter a sua dimensão projetada de acordo com:
Objetivos dos empresários:
a.1) a indústria pode ser projetada com uma capacidade de produção superior à demanda do
mercado, o que indica que de início ela trabalhará com uma capacidade ociosa e, a medida do
crescimento e expansão do mercado, já estudado e projetado anteriormente, esta aumentará
sua produção, acompanhando o crescimento do mercado. Para tanto deve ser previsto um
nível de produção inicial que gere uma rentabilidade ou lucratividade que sustente o
investimento sem acumulo de prejuízo, até se atingir o nível máximo instalado de produção. O
nível mínimo deverá ser o Brak-even ou Ponto de Equilíbrio da empresa. Exemplo: Capacidade
instalada = 1000 unid/hora
PN: 47% ou 470 unid/hora
A mercado tem que absorver inicialmente no mínimo 470 unid/hora
para pagar os custos da empresa.
a.2) A empresa pode ser projetada com uma capacidade menor de produção, prevendo-se
uma expansão tão logo a demanda do mercado cresça. Com isto reduz-se o investimento
inicial prevendo-se um time-table (etapas) de crescimento.
O fatores que influênciam na definição do tamanho da empresa ou do investimento são
portanto os seguintes:
-- ASPECTOS TÉCNICOS
Do ponto de vista técnico a capacidade de produção, que define o tamanho do projeto,
depende da tecnologia do processo produtivo, do porte, custo e fornecedores dos
equipamentos. EX : Realcafé
--- Para 120.000 ton/ano – Investimento 5,8 milhões. de dolares
240.000ton/ano – Investimento 8,9 milhões de dolares Produção em série
300.000 ton/ano – Investimento 11,5 milhões de dolares
Outro aspecto é a capacidade de produção nominal e efetiva. A nominal normalmente é em
média 80% da efetiva porque depende da qualidade das matérias primas, da produtividade e
treinamento da mão de obra, do layout da indústria, condições de segurança do trabalho etc...
--- ASPECTOS ECONÔMICOS
Cada tamanho do projeto define uma rentabilidade, um valor para os custos totais e os custos
unitários médios do bens a serem produzidos. Evidentemente, o melhor tamanho é aquele
que permite obter-se os menores custos unitários médios dos bens e/ou serviços a serem
produzidos a curto e longo prazos. A medida que se aumente a capacidade de produção das
empresas diluem-se o custos fixos e reduz-se os custos médios.
CTM= CVM + CFM
q q
RT = Pm x q
Se q cresce RT cresce e CVM cresce numa proporção menor até certo limite e CFM decresce
tendendo a zero e aumentando o lucro e a rentabilidade da empresa e q define o tamanho da
empresa quando o acréscimo de custo para o aumento de uma unidade de produção (custo
marginal) for igual a receita provocada por este aumento de uma unidade de produção
(receita marginal ou Pm)
Métodos para se obter a capacidade ideal de produção das empresas foram estudados em
ECONOMIA DA ENGENHARIA 1
Existe portanto um tamanho máximo ( máxima dimensão suportada pelos equipamentos e
saturação da linha de produção – mão de obra, equipamentos etc..), um tamanho mínimo (
menor rentabilidade que possa remunerar o investimento) e um tamanho médio para cada
investimento,
-- MERCADO
O principal fator que define o tamanho das empresas é o tamanho do mercado, a demanda do
produto, a concorrência a competividade a expansão da demanda prevista (renda, PIB,
economia do Pais.)
-- Capacidade de investimento do Grupo ou de mobilização de recursos (créditos)
B.10 ENGENHARIA DO PROJETO
Definição e descrição do processo produtivo, razões da escolha dos equipamentos, Know-how,
royalties, custos operacionais comparados, diferença de investimentos etc...
B.11 - DESCRIÇÃO DOS INVESTIMENTOS
- TERRENO: área com 60.000 m2 situada em PIÚMA conforme planta anexa, servida de toda a
- infra-estrutura urbana (comunicações , transportes, energia , água, gás etc...). R$
2.000.000,00 pagos em 4 parcelas mensais de R$ 500.000,00
- Projeto de construções civis e layout no terreno dos prédios, edificações , jardinagem,
circulação de carros , carretas, equipamentos de carga, pessoal etc... R$100.000,00
- Cálculos estruturais, comunicações, projetos instalações , elétricas, vapor, ar condicionado,
gás, comunicações, hidro- sanitárias domésticos e industriais: R$ 230.000,00
-Terraplanagem: R$ 250.000,00
- Construções civis: Orçamentos detalhados, concorrências de execução etc... R$ 8.500.000,00
- Equipamentos e veículos: R$ 5.200.000,00
- Móveis e utensílios – R$ 750.000,00
- Montagem industrial – R$ 450.000,00
- Arranque e pré-operação e juros carência – 6 meses de produção com prejuízo de R$
1.500.000,00
- CAPITAL DE GIRO NECESSÁRIO= R$ 6.378.000,00
INVESTIMENTO FIXO TOTAL - R$ 18.980.000,00
CAPITAL DE GIRO - R$ 6.378.000,00
INVESTIMENTO TOTAL - R$ 25.358.000,00
B11.1 – CALCULO DO PONTO DE NIVELAMENTO (BREAK -_EVEN)
SUPONDO que o projeto calculou:
- Um CUSTO TOTAL de R$ 9.000.000,00 ( R$3.500.000,00 de materias primas e materiais
secundários e R$ 5.500.000,00 de custos operacionais);
- OS CUSTOS FIXOS TOTAIS de R$ 2.200.000,00.
- FATURAMENTO OU RECEITA ANUAL de R$ 12.000.000,00
PN= 100CF = 100 x 2.200.000 = 220.000.000 =
_____________________ ____________
RT – CVT 12000000 – 6.800.000 5.200.000
=42,31%
Supondo-se que a capacidade de produção nominal ou tamanho da empresa atingisse a 1000
unid/hora de um produto qualquer o seu PN seria de 423,1 unid/hora, equivalente a um
faturamento de R$ 5.077.200,00
Se a capacidade efetiva de produção, influenciada pela qualidade da mão de obra inferior, e
pelo tipo de matéria prima utilizada de baixo rendimento fosse de 70% da capacidade nominal,
o novo PN da empresa seria de:
PN= 100CF = 100 x 2.200.000 = 60,44%
__________ _________________________
RT – CVT 0,70 (12000000 – 6.800.000)
Para uma capacidade efetiva de produção de (0,70 X 1000) unid/hora= 700 unid/hora de
um produto qualquer o novo PN seria de 604,4 unid/hora, equivalente a um faturamento de
R$ 7.252.743,30/mes.
FINANCIAMENTO
Vamos testar agora se a empresa pleiteasse junto a um Banco de Desenvolvimento um
financiamento bancário de R$ 10.000.000,00 a juros nominais de 18% a ano, com 2 anos de
carência e 5 anos de amortização. Ela teria capacidade de pagamento?
Calculo do juros efetivos:
Juros nominais de 18 % ao ano equivalem a juros efetivos mensais compostos de 1,5% (um
vírgula cinco por cento ao mês), o que daria:
1º mes = Fv1= Pv + Pv i = Pv(1+i)
2º mes = FV2= Fv1 + Fv1i = Pv (1+i ) +Pv(1+i)i = Pv (1+i)(1+i) = Pv (1+i)2
FVn= Pv(1+i)n
12º mes = FV12 = Pv (1+i)12
Se fizermos Pv = 1, teremos:
Fv12 = 1(1+0,018)12 = 1,1956 , o que equivale a 19,56% de juros efetivos ao ano
Na HP 12C é so colocar:
PV= -1
i=1
n=12 e , teremos Fv= 1,1956 ou 19,56% de Juros efetivos capitalizados.
Desta forma, durante a carência a empresa terá que pagar juros anuais de :
Ja = 0,1956 x R$ 10.000.000,00 = R$1.956.000,00
Logo o Pn será =
PN= 100CF = 100 x{ (2.200.000 x12)+ 1.956.000} =
___________ _______________________________
RT – CVT 0,70 x12 (12000000 – 6800000)
= 64,4%
Para pagar os custos totais mais os juros do financiamento durante a carência o novo PN seria
de 649,2 unid/hora, equivalente a um faturamento de R$ 7.790.109,90/mes.
E para pagar os juros e o principal da dívida durante a amortização qual a produção mínima
necessária?
Na HP 12C, Temos:
- I= 1,5% ao mes capitalizados
- Amortização em 5 anos ou 60 meses , logo n= 60
- PV= principal da dívida igual a - R$ 10.000.000,00
A tecla PMT dá amortização mensal de R$ 253.934,27, o que equivale a R$ 3.047.211,29 por
ano, e o Break –even passaria para:
PN= 100CF = 100 x{ (2.200.000 x12)+ 3.074.211,29} = 67,48%
___________ ________________________________
RT – CVT 0,70 x12 (12000000 – 6800000)
Para pagar os custos totais mais os juros e o principal (R$ 10.000.000,00) do financiamento
durante a amortização o novo PN seria de 674,8 unid/hora, equivalente a um faturamento de
R$ 8.097.310,80/mes.
OUTRAS ANÁLISES
- Faturamento anual = R$144.000.000,00
- Custo Total mensal = R$ 9.000.000,00
- Custo Total anual = R$ 108.000.000,00
- Lucro Bruto Anual = R$ 36.000.000,00
- Imposto de Renda = R$ 12.000.000,00 (33% do LB)
- Lucro Líquido = R$ 24.000.000,00
- Investimento Total = R$ 31.382.000,00
- Rentabilidade sobre o faturamento = 24.000.000,00 = 0,1667 =16,67 %
____________
144.000.000,00
- Rentabilidade sobre o investimento = 24.000.000,00 = 0,7648 = 76,48%
____________
31.382.000,00
B.13. FATURAMENTO E CUSTOS ANUAIS
RECEITA TOTAL ANUAL: R$ 144.000.000,00 (cento e quarenta e quatro milhões de reais)
:
B.13.1 CUSTOS
01 Salários(mão de obra)
(V) - Operacional - 450 operários com salário médio de R$1.200,00/mes R$
7.920.000,00/ano
(F) - Honorários diretoria - 7 diretores com salário de R$ 25.000,00/mês R$
3.600.000,00/ano
(F) - Salários administrativos- 200 funcionários com salário médio de R$ 1.200,00/mes R$
2.880.000,00/ano
(F) - Mecânicos e eletricistas (manut.),laboratoristas 35 operários com salário médio de
R$ 1285,00/mes R$ 539.700,00/ano
(V)-Encargos Sociais variáveis- 127% sobre o salários variavéis
R$10.058.400,00/ano
(F) -Encargos Sociais Fixos - 127% sobre o salários fixos R$ 4.343.019,00/ano
02 Matérias primas e Mat. Secundários
(V)-Matérias primas e materiais secundários (produtos químicos e outros)
R$ 30.518.919,00/ano
(V)Embalagens- R$ 2.000.000,00/ano
(V)-Insumos industriais(óleo comb., lubrif., prod. químicos) - R$ 1.196.299,00/ano
(F)-Insumos administrativos (papel, canetas etc...)
R$ 500.000,00/ano
(V)Comissões de Vendas 3 % sobre a receita ou faturamento total da empresa R$
4.320.000,00/ano
04 Água, Energia, telefone e gás
(V)-Industrial(máquinas e equip. industriais)
R$ 4.200,000,00/ ano
(F)-Doméstica(escritórios,refeitórioetc...) R$ 2.300.000,00/ano
05 Diversos
(F)-Aluguéis- R$ 4.800.000,00/ano
(F)-Seguros: R$ 3.500.000,00/ano
(F)-Propaganda: R$ 2.992.281,00/ano
(V)- Impostos Diretos (ICM, IPI) 17 % e 6% respectivamente sobre a receita total abatidos os
créditos referentes a embalagens e matérias primas e materiais secundários
R$ 25.365.499,84/ano
(V)-Custos de Transportes Mat. Pri mas e Prod. Acab.
R$ 2.100.000,00ano
(F) - Depreciação (moveis e utensóilios de escritório, equipamentos, veículos, máquinas de
transportes, construções- R$ 945.000,00/ano
Para efeitos de incidencia de Imposto de Renda a Receita Federal admite depreciar
equipamentos em 10 anos, contruções civis em 20 anos , veículos em 5 anos,
LUCRO BRUTO = RECEITA TOTAL ANUAL – CUSTO TOTAL ANUAL = R$ 144.000.000,00 – R$
108.000.000,00 = R$ 36.000.000,00
CUSTO FIXO TOTAL ANUAL = R$ 26.400.000,00
CUSTO VARIÁVEL TOTAL ANUAL = R$ 87.979.117,84
CUSTO TOTAL ANUAL = R$ 114.379.117,80
PN= 100 CF = 100 x 26.400.000,00 = 47,13 %
________ __________________________
RT – CVT 144.000.000,00 - 87.979.117,80
Para pagar os custos operaionais totais o PN seria de 471,13unid/hora, equivalente a um
faturamento de R$ 67.867.200,00.
FINANCIAMENTO
Vamos testar agora se a empresa pleiteasse junto a um Banco de Desenvolvimento um
financiamento de R$ 10.000.000,00 (dez milhões de reais) a juros nominais de 18% aa. ( ao
ano), com 2 anos de carência e 5 anos de amortização. Ela teria capacidade de pagamento?
Juros nominais de 18 % ao ano equivalem a juros efetivos compostos de um vírgula cinco por
cento ao mês , o que daria:
1º mes : P1 = Pv + Pvi = Pv(1+i)
2º mes: P2 =P1+P1i =Pv (1+i ) + Pv(1+i)i = Pv (1+i)(1+i) = Pv (1+i)2
Pn= Pv(1+i)n
12º mes = P12 = Pv (1+i)12
Se fizermos Pv = 1, teremos:
P12 = 1(1+0,018)12 = 1,1956 , o que equivale a 19,56% de juros efetivos ao ano
Na HP 12C é so colocar:
PV= -1
i=1
n=12 e , teremos Fv= 1,1956 ou 19,56% de Juros efetivos capitalizados.
Desta forma, durante a carência a empresa terá que pagar juros anuais de : Ja = 0,1956 x R$
10.000.000,00 = R$1.956.000,00
Logo o Pn será =
Pn = 100CF = 100 (26.400.000,00+ 1.956.000) = 50,61%
________ _______________________________
RT – CVT 144.000.000,00 - 87.979.117,80
Para pagar os custos totais mais os juros do financiamento durante a carência o novo PN seria
de 516,10 unid/hora, equivalente a um faturamento de R$ 72.888.248,81.
E para pagar os juros e o principal da dívida durante a amortização seria necessária uma
produção mínima de:
Entrando na HP 12C, Temos:
- I= 1,5% ao mes capitalizados
- Amortização em 5 anos ou 60 meses , logo n= 60
- PV= principal da dívida igual a - R$ 10.000.000,00
A tecla PMT dá amortização mensal de R$ 250.181,60, o que equivale a R$ 3.002.178,60 por
ano, e o Break –even passaria para:
PN= 100CF = 100 (26.400.000,00+ 3.002.178,60) = 52,48%
__________ ________________________________
RT – CVT 144.000.000,00 - 87.979.117,80
Para pagar os custos totais mais os juros e o principal (R$ 10.000.000,00) do financiamento
durante a amortização o novo PN seria de 524,80 unid/hora, equivalente a um faturamento de
R$ 75.571.200,00/mês.
SIMULAÇÕES :
Para RT= R$118.000.000,00
PN = 100CF = 100 (26.400.000,00+ 3.002.178,60) = 97,93%
__________ ______________________________
RT – CVT 118.000.000,00 - 87.979.117,80
2) FINANCIAMENTO MÁXIMO
Considerando por margem de segurança que o máximo de risco que o agente financeiro
esteja disposto a bancar seja 75% da capacidade nominal instalada
PN = 100CF >>> 75 = 100 (26.400.000,00+ X) >>>
_____________ __________________________
RT – CVT 144.000.000,00 - 87.979.117,80
X= R$ 15.615.661.65
HP
PMT = 15.615.661.65 /ano = R$ 1.301.305.13/mes
______________
12
I= 1,5
N = 60
PV = ? = R$ 52.014.432,43 (FIN . MÁXIMO)
SE FATURAMENTO FOSSE R$118.000.000,00/ANO:
Financ. Máximo = 75 = 100 (26.400.000,00+ X) >>>
_____________________________
118.000.000,00 - 87.979.117,80
valor total possivel de sr amortizado anual anualmente = - R$ 3.88.433,83/ano NÃO É
SUFICIENTE
A 98% da CAPACIDADE INSTALADA
98 = 100 (26.400.000,00+ X) >>>
___________________________
118.000.000,00 - 87.979.117,80
PMT = 3020.045,00 = 251.170,53/mes
____________
12
PV = ? = R$ 10.006.090,57 (FIN . MÁXIMO)
GRÁFICO
- Faturamento anual = R$144.000.000,00
- Custo Total anual = R$ 114.379.117,80
- Lucro Bruto Anual = R$ 29.620.882,20
- Imposto de Renda = R$ 9.774.891,26 (33% do LB)
- Lucro Líquido = R$ 19.845.991,07
- Investimento Total = R$ 31.382.000,00
- Rentabilidade sobre o faturamento = 19.845,991,07 = 0,1378 =13,78 %
______________
144.000.000,00
- Rentabilidade sobre o investimento = 19.845.991,07 = 0,6324 = 63,24%
______________
31.382.000,00
- Se a empresa possuir ou for composta por 10.000.000 (dez milhôes) de ações no mercado o
lucro por ação será de 19845991,07 = R$ 1,98/ação
____________
10.000.000
- Se o valor da ação no mercado for R$ 20,00 a rentabilidade da ação será
= 1,98
____ = 0,099 ou 9,9 % ao ano ( RF hoje é 6% ao ano)
20
FLUXO DE CAIXA
PAYBACK
TIR
O PROJETO, A PRINCÍPIO É VIÁVEL TÉCNICA- ECONÔMICA e FINANCEIRAMENTE – ANÁLISE
B.14 - ANÁLISE PODE SER: ESTÁTICA E DINÂMICA
B.14.1- ESTÁTICA:
A- Rentabilidade bruta e líquida (bruta menos IR) sobre o investimento total, o capital da
empresa, o faturamento,
B- Break-even ou Ponto de equilíbrio
C- Análise Social
b.14.2 – DINÂMICA (Análise de Investimento própriamente dita)
TIR , PAY =BACK ETC...
Condições prévias ao financiamento:
- garantia das outras fontes de recursos;
- Saída de um dos sócios;
- aumentar participação de Recursos próprios (nível de endividamento elevado)
- contratar especialista no processo produtivo e submeter curriculum –vitae ao BANCO etc...
C. CONCEITO DE INFLAÇÃO, PRECOS NOMINAIS E REAIS
--Inflação: aumentos nos preços dos bens e serviços traduzidos pela variação para maior no
nível geral de preços da economia de um país. Desvalorização do poder de compra da moeda
do país ou do valor real da moeda. Ex: cesta básica
--Deflação: diminuição nos preços dos bens e serviços traduzidos pela variação para menor no
nível geral de preços da economia de um país. Valorização do poder de compra da moeda do
país ou do valor real da moeda. Ex: cesta básica
-- Preço nominal: é o preço absoluto de um bem sem nenhum ajuste decorrente da inflação,
também denominado preço em moeda corrente. EX: o preço da manteiga nos EUA em 1970
era $0,87, em 1980 era $ 1,88 e em 2001 era $ 3,30. Estes são os preços nominais ou preços
correntes;
-- Preço real: também denominado preço em moeda constante é o preço absoluto de um bem,
é o preço ajustado em função da inflação no período, conforme veremos no exemplo abaixo.
-- Índice de Preços ao Consumidor (IPC): é o índice que mede o nível Geral de preços dos bens
e serviços de uma economia. Este índice registra de que forma o custo de uma grande cesta de
mercadorias adquiridas por um consumidor típico em um ano ou data base, modifica-se ao
longo do tempo. Se o custo aumenta temos inflação e se diminui temos deflação ou queda de
preços.
Formula do Preço Real= IPC ano base x Preço nominal ano medido
IPCano medido
EX: Evolução dos preços dos ovos e do ensino universitário em uma universidade particular
(inclusive moradia e alimentação) nos EUA,
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2002
IPC 38,8 53,8 82,4 107,6 130,7 152,4 181,0
1) Preços Nominais
a)Ovos tipo A $0,61 $0,77 $0,84 $0,80 $1,01 $0,93 $1,03
Variação Perc. 0% 26,2% 37,7% 31,1% 65,6% 52,5% 68,9%
b)Ensino Univers $2530 $3403 $4912 $8202 $12081 $16207 $18273
Variação Perc. 0% 34,5% 94,2% 224,2% 377,5% 540,6% 622,3%
2) Preços Reais(1970)
a)Ovos tipo A $0,61 $0,56 $0,40 $0,29 $0,30 $0,24 $0,22
Variação Perc. 0% -8,2% -34,4% -52,5% -50,8% -60,7% -63,9%
b)Ensino Univ. $2530 $2454 $2313 $2958 $3568 $4126 $3917
riação Perc. 0% -3,0% -8,6% 17,0% 41,0% 63,1% 54,8%
OVOS (preço real 1975) = 38,8 X 0,77 = 0,56
53,8
Ensino Universitário (preço real 1975) = 38,8 x 3403 = 2454
53,8
|______|______|______|______|______|______|
70 75 80 85 90 95 02
<-- <-- <-- <-- <-- <--
VARIAÇÃO DA MOEDA NO BRASIL
BALANCO DE EMPRESAS
Exemplo R$ 1,00 milhão
ATIVO 58,50
ATIVO CIRCULANTE 43,00
Disponível 5,20
Caixa 0,20
Bancos 5,00
Realizável a curto prazo 28,50
Títulos a receber 15,00
Estoques de matérias primas e mat. secund. 8,00
Estoques de prod. Intermediários 3,00
Empréstimos e adiantamentos 2,50
Realizável a longo prazo 9,30
Aplicações financeiras a longo prazo 6,00
Adiantamentos a fornecedores 2,50
Adiantamentos a acionistas 0,80
IMOBILIZADO 15,50
Terreno 1,50
Obras civis 8,00
Equipamentos e veículos 4,50
Móveis e utensílios 1,50
PASSIVO 58,50
Exigível a curto prazo 18,80
Débitos a fornecedores 5,00
Impostos 11,80
Empréstimos e financiamentos de curto prazo 2,00
Exigível a longo prazo 27,20
Empréstimos e financ. de longo prazo 12,00
Débitos diversos de LP 15,20
Patrimônio líquido 12,50
Capital Social 7,00
Reservas a disposição da assembléia 4,00
Lucro do exercício 1,25
Analise:
--Índice de Solvência = Ativo Circulante = 43/46 = 0,934
________________________
Exig. Curto P. + Exig. Longo P.
-- Índice de Liquidez Disponível + Real. Curto Prazo = 33,7/ 18,8 = 1,79
____________________________
Exigiv Curto Prazo
-- Rentabil. s/ capital = Lucro = 1,25/7 = 0,1785
________
Capital
-- Rentabilidade sobre patrimônio = Lucro = 1,25/ 12,5 = 0,100
_________
Patrimônio
-- Rentabilidade s/faturamento = Lucro = 1,25 = 0,0125
______________ _________
Fatur.doExerc. 100000
---- VALOR PATRIMONIAL DA AÇÃO versus VALOR DE MERCADO????
---- LUCRO POR AÇÃO?????
-- Rateio do LUCRO : R$1,25 mi
-- Para Reservas: R$ 0,75 mi
-- Para Distribuição (dividendos): R$ 0,5 mi Para 5.000.000 ações
(R$ 0,10 por ação) -
-- Aumento de Capital (bonificação):R$ 4,0 mi 0,8 ação/ação
D) ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
D.1- INTRODUÇÃO E OBJETIVO
A análise de investimentos é um instrumental rápido, prático e seguro que auxilia os
profissionais de diversas áreas na análise e tomada de decisões financeiras. Utiliza a
Matemática Financeira como ciência básica e a Engenharia Ecônomica como técnica a ser
aplicada.
Tem como objetivo mostrar, a partir de informações das etapas anteriores de um projeto,
conforme vimos nas aulas precedentes, uma metodologia de cálculo que permita se concluir
sobre a sua viabilidade ou não.
JUSTIFICATIVA
A análise das alternativas de investimento é um estudo de fluxos de caixa – desembolsos de
capital (saídas de caixa) e retornos de investimento (entradas de caixa) – de um projeto para
que se possa avaliar a sua viabilidade econômica. A viabilidade econômica exige a
recuperação do capital (retorno do investimento) e sua remuneração (retorno sobre o
investimento) a taxas e prazos atraentes, quando comparadas as outras possíveis opções de
aplicação dos recursos.
A escassez de recursos de capital frente às necessidades ilimitadas de investimentos, faz com
que cada vez se procure maximizar a otimização de sua utilização.
As técnicas de Engenharia Econômica baseiam-se na Matemática Financeira que, por sua vez,
descreve e analisa as relações do binômio tempo versus dinheiro.
Assim, diante do ambiente no qual as organizações se encontram caracterizado por uma
competição acirrada, pricipalmente devido a globalização, torna-se necessário que as
empresas , cada vez mais, aperfeiçoem o seu processo de tomada de decisões, para garantir o
bom desempenho e eficiência dos recursos, avaliação das alternativas de aplicação etc...
CONCEITOS BÁSICOS
Segundo a Teoria Econômica, o homem combina os fatores de produção – terra, trabalho,
capacidade gerencial, recursos tecnológicos capital – para produzir os bens e seviços que
necessita para seu consumo.
A remuneração destes fatores é:
- Terra- alugueis
- Trabalho – Salários
- Capacidade gerencial - Lucros
- Recursos tecnológicos- royalties
- Capital – JUROS
Logo, os juros são a parte da renda que representam, o custo do capital, ou seja, é o dinheiro
pago pelo uso de um capital, durante um determinado período de tempo a uma taxa
estipulada antecipadamente pelas partes.
EX:- compras de bens de consumo a prazo;
- financiamento para aquisição da casa própria;
- aplicações no sistema financeiro;’
- desconto de duplicatas;
- empréstimos à pessoas físicas e/ou jurídicas.
Resumindo
- Para o Investidor ou Emprestador é a remuneração do investimento
- Para o Tomador é o custo do capital obtido por empréstimo
DEFINIÇÕES
- Valor Presente = valor inicial aplicado do capital = PV
- Valor Futuro =capital aplicado mais juros = FV
FV= PV + J
TAXA DE JUROS
Razão entre os juros pagos ao final de um certo período e o capital aplicado ou emprestado:
i = J/PV
Pode ser expressa das seguintes formas:
- percentual: 12 % a. a.; 0,55% a.m.; 7% a.s.
- unitária: 0,12 a.a.; 0,0055 a.m.; 0,07 a.s.
Geralmente se usa a forma percentual para entrar com a taxa de juros ao se efetuar cálculos
numa calculadora financeira e a forma unitária para as fórmulas matemáticas
Exemplos:
Qual a taxa de juros i cobrada por um empréstimo de $ 100.000,00 a ser resgatada ao final de
um ano por $ 150.000,00?
J= VF- VP = 150.000 - 100.000 = 50.000 J= $ 50.000,00
I= J/PV = 50.000 = 0,5 a.a. ou 50% a.a
100.000
Fatôres que influenciam na determinação da taxa de juros:
-- RISCO: (seguro contra perdas) risco da operação devido à incertezas ao futuro;
-- OFERTA/ PROCURA de crédito;
-- TAXA DE JUROS REAL (r): remuneração efetiva do capital
-- TAXA DE INFLAÇÃO (I); Perda do poder de compra do dinheiro
i= (1+ I). (1+r) -1
Ex: se I= 4,5 a.a e r= 6% a.a
Teremos: i=(1+ 0,045). (1+ 0,06) -1= 1,1077 – 1= 0,1077 a.a ou 10,77% a.a
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS
Os juros podem ser simples e compostos.
Os JUROS SIMPLES são calculados sobre o capital inicial. Nesse regime, a taxa de juros incide
sempre sobre o capital inicial PV em todos os períodos, ou seja, os juros obtidos têm um
crescimento linear ao longo do tempo e formam uma progressão aritmética.
Já os JUROS COMPOSTOS ou CAPITALIZADOS são calculados sobre o montante do período
anterior rendendo a cada período calculado juros sobre juros. Nesse regime, os juros obtidos
em cada período são incorporados ao capital inicial (PV), formando um montante FV1, que
passará a produzir juros para o período posterior formando um FV2 e assim por diante. No
regime de JUROS COMPOSTOS os juros têm portanto um crescimento exponencial formando
uma progressão geométrica.
EX: i=10%; PV=$1.000,00; n= 10 anos ou períodos
Periodos PV Juros (J) Simples FV simples Juros Compostos FV Composto
01 1.000,00 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00
02 1.100,00 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00
03 1.200,00 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00
04 1.300,00 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10
05 1.400,00 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51
06 1.500,00 100,00 1.600,00 161,05 1.771,56
07 1.600,00 100,00 1.700,00 177,16 1.948,72
08 1.700,00 100,00 1.800,00 194,87 2143,59
09 1.800,00 100,00 1.900,00 214,36 2.357,95
10 1.900,00 100,00 2.000,00 235,80 2.593,75
JUROS TOTAIS: 100,00% 159,37%
Fórmulas:
JUROS SIMPLES
FV1 = PV + PV. i = PV (1+i)
FV2 = FV1 + PV. i = PV+ PV.i + PV.i = PV (1+ 2i)
...........
FVn= PV(1+ni)
JUROS COMPOSTOS
FV1= Pv+ J = PV+ PV.i = PV(1+i)
FV2 = FV1 + FV1.i = FV1( 1+i) = PV (1+i) (1+i)
FV2 = PV (1+i)2
FV3 = FV2 +FV2.i= FV2 (1+i) = PV(1+i)2 (1+i)
FV3= PV(1+i)3
.....................................
FVn= PV(1+i)n
Exemplos:
Um investidor aplicou $ 100.000,00 a uma taxa simples de 26% ao mês, por dois mêses.
Pergunta-se qual o valor do resgate da aplicação?
FV=?
_________________________|
| i=26%
100.000,00
FV= PV(1+n.i) = 100.000 (1+2 x 0,26)= 100.000,00 X 1,52 = 152.000,00
Quanto é preciso investir hoje para se obter um montante de $ 138.750,00 em 1 ano, 3 mêses
e 15 dias a uma taxa de juros simples de 30% ao ano?
FV= 138.750,00
|
____________________________|
| i=30%
|
PV=?
(1 ano = 360 dias) + (3 meses = 90 dias) + 15dias = 465 dias
I= 30% a. a.= 30 a. d. FV= PV (1 +ni) -> PV= FV -> 138750
360 (1+ni) (1+465 . 30 )
360
PV= $100.000,00
JURO EXATO E JURO COMERCIAL
Nas transações financeiras de curto prazo, em que geralmente predomina o regime de juros
simples faz-se necessário definir o prazo em número de dias. Assim temos;
Ano comercial = 360 dias ( todos os mêses têm 30 dias) -> juro comercial ou ordinário;
Ano civil = 365 dias ( janeiro: 31 dias, fevereiro: 28 dias, março: 31 dias, abril: 30 dias e assim
por diante) -> juro exato.
Exemplo: calcular o juro comercial e o juro exato de um capital de $ 5.000,00 aplicado por um
período de 60 dias à taxa de juros simples de 6% a.a.
I = 0,06 Ie = 0,06 J.C = 5.000,00 . 0,06. 60 = $ 50,00 JE = 5.000,00 . 0,06 . 60 = $
49,32
_______ ______ _____
360 360 365
JUROS COMPOSTOS
Nesse regime, como já foi dito, os juros auferidos ao final do primeiro período são
incorporados ao capital e passam, ambos, capital mais juros a integrar a nova base de cálculo
para o segundo período e assim sucessivamente.
Cálculo do Valor Futuro (Montante):
!_______!_______!_______!_______!_ _ _ _ _ _!_______!
Pv Fv1 Fv2 Fv3 Fv4 Fvn-1 Fvn
FV1= Pv+ J = PV+ PV.i = PV(1+i)
FV2 = FV1 + FV1.i = FV1( 1+i) = PV (1+i) (1+i)
FV2 = PV (1+i)2
FV3 = FV2 +FV2.i= FV2 (1+i) = PV(1+i)2 (1+i)
FV3= PV(1+i)3
.....................................
FVn= PV(1+i)n
E ainda:
JUROS: J = FV-PV -> J= PV(1+i)n – PV -> J=PV [(1+i)n – 1]
VALOR PRESENTE -> PV= FV
________
n
(1+i)
Exemplo:
Calcular o montante de um capital de $500.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 10% ao
semestre em 6 semestres.
FV= ?
_____________________________|
| J=10%
PV = 500.000,00
FVn= PV(1+i)n -> FV = 500.000,00 (1+0,10)6
FV= 500.000,00 x 1,77 -> FV = $ 885.780,50
Na calculadora financeira:
Registros Pressione Visor Comentários
f reg 0,00 Limpa todos os
registros
500.000 CHS - PV - 500.000,00 Introduz o valor
presente (capital)
10 i 10,00 Introduz a taxa de
juros
6 N 6,00 Introduz o prazo
(períodos)
FV 885.780,50 Calcula o valor
futuro (montante)
A calculadora financeira deverá ser usada apenas para agilizar os cálculos, recomendando-
se fortemente, para se evitar erros, que as soluções dos problemas sejam acompanhadas do
cash flow ( fluxo de caixa ou seja a solução gráfica dos problemas) e do equacionamento
matemático necessário à obtenção da resposta final, como mostrado no método algébrico.
J= Fv- Pv = 885.780,00 – 500.000,00 -> J = 385.780,00
OBSERVAÇÕES: note-se que a calculadora financeira HP12c, acompanhando as saídas e
entradas do fluxo de caixa entra com o PV (saída) sempre com o sinal negativo e dá o resultado
com o sinal positivo (entrada de caixa). Se entrarmos com o PV positivo o resultado FV será
negativo.
A HP 12c também pode trabalhar com períodos fracionários, o que simplifica muitos
problemas da matemática financeira. Basta apertar as teclas STO e EEX. Aparecerá na parte
inferior do visor um c indicando que a calculadora está preparada para efetuar cálculos com
períodos inteiros e fracionários, sendo portanto aconselhável manter sempre a indicação c no
visor.
Uma empresa formalizou uma operação financeira de capital de giro de $ 80.000,00 pelo
prazo de 105 dias, a uma taxa de juros de 25% a.m. Determine o montante a ser pago no
vencimento da transação.
Método algébrico
FV=?
|________________________________|
|o i= 25% 105 dias
PV = 80.000,00
N= 105 dias = 3,5 meses
n 3,5
FVn= PV(1+i) -> FV = 80.000,00 (1+0,25)
FV= $ 174.692,00
Na calculadora financeira HP 12C:
Registros Pressione Visor Comentários
f reg 0,00 Limpa todos os registros
80.000 CHS - PV - 80.000,00 Introduz o valor presente (capital)
25 i 25,00 Introduz a taxa de juros
3,5 N 3,50 Introduz o prazo (períodos)
FV 174.692,81 Calcula o valor futuro (montante)
Se a letra c não estivesse no visor a HP12C calcularia a parte inteira (3 meses) a juros
compostos e a parte fracionária (0,5) a juros simples, resultando num valor errado para FV, ou
seja:
3
FV= 80.000,00 (1+0,25) . (1+ 0,25 . 0,5) = $ 175.781,25
Quanto vale hoje um título de $ 15.000,00, vencível daqui a 15 meses, se a taxa de juros é de
5% a.m.?
FV= 15.000,00
|_______________________________|
|0 i=5% 15 meses
PV =?
n
FVn= PV(1+i) -> PV = FVn = 15.000,00 = $7.215,26
_____ ___________
n 15
(1+i) (1+0,05)
Registros Pressione Visor Comentários
f reg 0,00 Limpa todos os
registros
? FV $ 15.000,00 Introduz o valor
presente (capital)
5 i 5,00 Introduz a taxa de
juros
15 N 15,00 Introduz o prazo
(períodos)
PV -$7215,25 Calcula o valor
presente (capital)
CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS
TAXA DE JUROS PROPORCIONAIS
Duas taxas de juros são proporcionais quando a razão entre elas é proporcional a razão entre
os seus períodos.
Este conceito está diretamente ligado ao conceito de juros simples
I1 = N1
I2 N2
Exemplos:
Razão Razão
Taxas Períodos
3% a.m é proporcional à 36% a.a. -> 3 = 1
___ ___
36 12
0,4% a.d. é proporcional a 12% a. m -> 0,4 = 1
______ _____
12 30
42% a.a. é proporcional a 21% a. s. -> 42 = 2
___ ___
21 1
21% a.t. é proporcional a 28% a.q. -> 21 = 3
____ _____
28 4
30% a.s. é proporcional a 10% a.b. -> 30 = 6 = 3
____ ___ _____
10 2 1
TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES
Duas taxas (i e iq) referidas a períodos diferentes de capitalização se dizem equivalentes
quando aplicadas a um mesmo capital PV e pelo mesmo período n, produzem o mesmo juros J
e o mesmo montante FV. É portanto indiferente aplicar uma ou outra taxa. Este conceito está
ligado ao regime de juros compostos ou capitalizados.
i= taxa de juros referentes ao período de capitalização maior;
iq= taxa de juros referente ao período de capitalização menor;
q= numero de períodos de capitalização menor contidos no período de capitalização maior;
q = período da taxa maior
____________________
período da taxa menor
Supondo-se que um capital PV seja aplicado durante um período n a uma taxa de juros i:
__ q __
|_ _ _ _ _ |_____|_______|_ _ _ _ _|_______|_______|
0 1 2 3 n-2 n-1 n à nq
<------
n
FV= PV(1+i)
Se cada um dos n períodos for dividido em q subperíodos iguais, cuja taxa de juros
correspondente é iq , obtém-se o seguinte montante para o 1o período:
q
FV1= PV(1+iq)
Ao final de n períodos à taxa de juros iq teremos:
nq n nq n nq q
FVn= PV(1+iq) -> PV(1+i) = PV(1+iq) -> (1+i) = (1+iq) -> (1+i) = (1+iq)
q
i = (1+iq) -1
Se tirarmos da fórmula acima o valor de iq, teremos
1\q
iq = (1+i) -1 (dada a formula de juros de um período maior i, calcula-se a taxa referente a
um período menor iq)
As equações relacionando a taxa de juros ao ano com as taxas equivalentes ao semestre, ao
quadrimestre, ao trimestre, ao bimestre , ao mês e ao dia decorrem da dedução apresentada
acima. Para um ano comercial (360 dias), as fórmulas a seguir possibilitam o cálculo das taxas
equivalentes:
1 2 3 4 6 12 360
(1+i12) = (1+i6) = (1+i4) = (1+i3) = (1+i2) = (1+i1) = (1+id)
Exemplo:
Determinar a taxa mensal equivalente a 213,8428% a.a.
Método 1
1\q 1\12
iq = (1+i) -1 iq = (1+2,138428) -1 = 0,10 0u 10%
Logo ao taxa de 10% ao mês é equivalente à taxa de 213,8428% ao ano.
Determinar a taxa semestral equivalente a 21% a.b.
Método 1
q 3
i = (1+iq) -1 iq = (1+0,21) -1 = 77.,16% a.s ou 0,7716
iq = 77,16%
TAXA DE JUROS NOMINAL E TAXA DE JUROS EFETIVA
A taxa de juros é chamada de nominal quando o período a que se refere não coincide com o
período de capitalização;
EX: - 36% a a capitalizados mensalmente corresponde a 3% de taxa proporcional e 42,5761 %
de taxa efetiva
- 36% a.a capitalizados bimestralmente corresponde a 6% de taxa proporcional e 41,8519%
a.a. de taxa efetiva
- 36% a.a capitalizados trimestralmente corresponde a 9% de taxa proporcional e
41,1582% a.a. de taxa efetiva
- 36% a.a capitalizados quadrimestralmente corresponde a 12% de taxa proporcional e
40,4928% a.a. de taxa efetiva
- 36% a.a capitalizados semestralmente corresponde a a 18% de taxa proporcional 39,24%
a.a. de taxa efetiva
- 36% a.a capitalizados diáriamente corresponde a a 0,1% de taxa proporcional 43,3071%
a.a. de taxa efetiva para os juros comerciais (360 dias/ano) e 0,09863% a.d. de taxa
proporcional e 43,3074% de taxa efetiva para os juros exatos (365 dias/ano).
Exemplo:
Um banco faz a uma empresa um empréstimo de $120.000,00 pelo prazo de dois anos .Qual
o montante a ser recebido pelo banco a taxa de juros de 24% ao ano, capitalizados
mensalmente?
n 24
FV= PV (1+i) =120.000 (1+0,02) ou FV = $ 193.011,92
n 2
FV = PV (1+i) = 120.000 ( 1+0,26824) = $ 193.011,92
TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL
Nas economias inflacionárias é fundamental distinguir, nas várias taxas de juros praticadas
pelo mercado financeiro, a componente relativa à inflação e a componente relativa à parte
real da taxa de juros, para a correta utilização dasa técnicas e cálculos da Matemática
Financeira.
Sendo assim, faz-se necessário identificar uma taxa de juros que engloba a atualização
monetária e a taxa real de juros. A taxa que unifica estas duas componentes da taxa de juros é
a taxa de juros aparente.
Desta forma a taxa de juros aparente: - é a taxa que inclui uma parcela que se destina a repor a
perda do poder aquisitivo do capital emprestado (inflação) e outra destinada à remunerar
própriamente o capital r (taxa de juros real).
I= taxa de inflação, correção monetária, correçào cambial etc...
i= taxa de juros aparente
r = taxa de juros real
Assim:
n n
FV= PV (1+I) . (1+r)
|> <| |> <|
Reposição Remuneração
do do
capital capital
n n n
PV (1+ i) = PV(1+I) . (1+r)
n n n
(1+i) =(1+I) . (1+r)
(1+i) = (1+I) . (1+r)
i = (1+I). (1+r) - 1 Formula da Taxa de Juros Aparente (Equação de Fisher)
ou
r = (1+i) -1
____
(1+I)
Na realidade a taxa de juros real incide sobre o capital atualizado monetáriamente (Efeito
Fisher)
Exemplos:
Se um banco deseja uma remuneração real de 5% a.a. para seus empréstimos. Que taxa de
juros deverá anunciar para seus clientes se a inflação estimada é de 20%?
i = (1+I). (1+r) – 1
i= (1+0,20) . (1+0,05) – 1
i= 0,26 ou 26% a. a.
Admita-se que a taxa de inflação estimada no exemplo anterior, tenha se efetivado em 28% a.
a.. Qual seria a taxa de juros real recebida pelo banco?
r = (1+i) -1 r =(1+0,26) -1 r = - 0,015625 ou -1,5625 % (o banco perdeu dinheiro)
___ ____
(1+I) (1+0,28)
FLUXOS DE CAIXA (CASH FLOW)
O fluxo de caixa – cash flow – é a representação gráfica de uma movimentação
financeira. As movimentações financeiras são identificadas temporalmente por um conjunto
de entradas e saídas de caixa, definido como o diagrama de fluxo de capital. Este tipo de
representação permite se visualizar o que ocorre com o capital ao longo do tempo ou período
analisado.
Para simplificar o entendimento deste conceito, são utilizados gráficos contendo setas
direcionadas para cima e para baixo, simbolizando respectivamente entrada e saída de
dinheiro ao longo do tempo.
O eixo horizontal indica o horizonte de planejamento do investimento, e registra a escala de
tempo (número de períodos- mêses, semestres, anos etc...) da transação financeira
(aplicações, investimentos, projetos econômicos), isto é, representa o horizonte financeiro da
operação.
Esquemáticamente o fluxo de caixa é representado conforme o diagrama a seguir:
Fc Fc Fc
| | |
Fc | Fc | | (+) Entradas de caixa
| | Fc | | |
______|_____|_______|_____ |_ _____|_ _ _ _ _|
|0 1 2 3 4 5 n (períodos de tempo)
| (-) Saídas de caixa
Fc0;
SIMBOLOGIA
A simbologia adotada no desenvolvimento de nossas aulas será a simbologia das calculadoras
financeiras conforme abaixo:
PV= Presente Value (valor presente, valor inicial, valor atual, capital, principal, valor da
aplicação, empréstimo ou financiamento, valor na data zero);
FV= Future Value (valor futuro, montante, valor de resgate, valor nominal, valor de liquidação,
valor de face);
i = Interest Rate (taxa de juros -> forma centesimal para as calculadoras – 10% - e forma
unitária para as formulas – 0,10);
n = Number of Periods ( número de períodos, prazo, número de parcelas ou de termos,
quantidade de prestações)
PMT = Periodic Payment (prestação, pagamento, valor da parcela ou do termo -> valores iguais
e períodicos);
J= Interest (Valor dos juros);
CF = Cash Flow (fluxo de caixa);
CF0 = Cash Flow 0 (fluxo de caixa verificado no momento zero – data zero-);
CFj = Cash Flow j (fluxo de caixa previsto para cada intervalo de tempo – entradas ou saidas de
caixa);
Nj = Number j (quantidade de vezes que se repete no fluxo de caixa a parcela que precede,
sem qualquer interrupção);
NPV = Net Present Value (valor presente líquido – VPL – valor atual líquido – VAL-);
IRR = Internal Rate of Return (Taxa Interna de Retorno – TIR-);
NFV = Net Future Value (valor futuro líquido – VFL – );
$ = Money Units (unidades monetárias -representa qualquer moeda);
CHS = Change Sign (troca de sinal no visor da calculadora – muda de positivo para negativo e
vice versa).
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (JUROS COMPOSTOS)
Como o dinheiro tem um valor no tempo, decisões que envolvem diversos capitais em datas
diversas exigem a adoção de um padrão uniforme que permita a melhor escolha de
investimento.
Comprar a vista ou a prazo, investir no projeto A ou no B, substituir pagamentos etc... são
situações que ocorrem corriqueiramente para todos.
Essas questões são resolvidas por um princípio da Matemática Financeira denominado
equivalência de capitais, que , por sua importância é fundamental em nosso estudo:
“Dois ou mais conjuntos de capitais são equivalentes quando, numa mesma data, à
mesma taxa de juros, as somas de seus respectivos valores atuais forem iguais”.
Exemplos:
1) Considere os conjuntos de capitais A e B a seguir:
DATA FLUXO A FLUXO B
0 --- $ 88.590,00
1 $ 100.125,00 ---
2 --- $ 124.570,00
3 $ 124.570,00 $ 105.000,00
4 $ 132.320,00 ---
Verifique a uma taxa de 10% ao período, se os conjuntos de capitais são equivalentes.
Escolhendo-se a data 0 (data focal) para avaliar todos os capitais:
FV= PV (1+i)n : PV (VA) = FV
_____
(1+i)n
VAA = 100.125 + 124.570 + 132.320 =
________ __________ ___________
(1+0,10)1 (1+0,10)3 (1+0,10)4
= $274.990,00
VAB = 88.590 + 130.090 + 105.000 =
__________ _________ ___________
(1+0,10)0 (1+0,10)2 (1+0,10)3
=$274.990,00 R: São equivalentes
Observação: caso fosse escolhida uma data focal y diferente de zero a conclusào seria a
mesma devido ao princípio da transitividade de capitais.
2) A empresa Tentação deve ao Banco Doloroso os seguintes pagamentos referentes a uma
dívida contraída a juros compostos de 5% a.m.
$ 10.000,00 a serem pagos no próximo mês;
$ 25.000,00 a serem pagos no 2º mês;
$ 30.000,00 a serem pagos no 5º mês.
Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o Banco a substituição
desses compromissos por um único pagamento no 4º mês, a mesma taxa de juros. Qual o valor
do pagamento proposto?
N4?
|
|
|
|_________________.______|__________________________
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |5
| | | |
10.000 | !
25.000 30000
Escolhendo-se a data zero para data focal teremos:
10.000 + 25.000 + 30.000 = N4
_________ ________ ________ _______
(1+0,05)1 (1+0,05)2 (1+0,05)5 (1+0,05)4
N4= $ 67.710,18
Se escolhessemos a data 3 com data focal teríamos:
10.000 (1+0,05)2 + 25.000 (1+0,05)1 + 30.000 = N4
________ _______
(1+1,05)2 (1+0,05)1
N4 = $ 67.710,18 ( o mesmo valor obtido para a data focal 0 – Princípio da transitividade de
capitais)
SÉRIES DE PAGAMENTOS (RENDAS CERTAS OU ANUIDADES)
- CLASSIFICAÇÃO
Quanto ao prazo de duração:
a.1 – Temporárias (finita: o prazo é fixo - limitado)
a.2 – Perpétuas ( infinita: o prazo é indeterminado - ilimitado)
Quanto ao valor dos têrmos
b.1 – constantes
b.2 – variáveis
C) Quanto a periodicidade:
c.1 - periódicas
c.2 – Não periódicas ( sucessão de períodos não regulares)
D) Quanto a ocorrência do primeiro têrmo:
d.1 - Postecipada
d.2 – Antecipada
d.3 - Diferida
Uma série de pagamentos é dita postecipada quando o primeiro
pagamento/recebimento ocorre no fim do primeiro período, e antecipada quando o primeiro
pagamento/recebimento ocorre no início do primeiro período (séries com entrada), e, diferida
quando o primeiro pagamento/recebimento ocorre após decorridos m períodos (séries com
períodos de carência).
As séries com têrmos constantes dão origem às séries uniformes de pagamentos, ao
passo que as séries com termos variáveis originam as séries não uniformes de pagamentos
- SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS (SUP)
Na medida que os fluxos de pagamentos/recebimentos se ampliam em número de
têrmos há necessidade de se buscar soluções simplificadoras para os cálculos e, a solução mais
comum refere-se a um conjunto de pagamentos/recebimentos do mesmo valor, em períodos
sucessivos denominados séries uniformes de pagamentos (SUP).
- Série de pagamentos: quando as entradas e saídas de um fluxo de caixa destinam-se
ao pagamento de uma dívida;
- Série de desembolsos: quando as entradas e saídas de um fluxo de caixa destinam-se
a constituir um capital futuro;
- SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA (MODELO BÁSICO)
É a série uniforme de pagamentos/recebimentos mais comum, com termos constantes
(iguais), periódica( intervalo de ocorrência dos termos constantes), temporária (prazo finito) e
postecipada (1º pagamento/recebimento – 1º termo - ocorre no fim do 1º período).
- CÁLCULO DO VALOR PRESENTE DE UMA SUP POSTECIPADA
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
| | | | | |
__________|_________|_________|________|________| _ _ _ _ _ _ _|
|0 1 2 3 4 5 n (períodos)
| i
PV
PV= PV1 + PV2 + PV3 + PV4 + PV5 +----------+ PVn
PV = PMT + PMT + PMT + PMT + ......... PMT
______ _____ ______ _______ _________
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1 +i)n
n
PV= ?
PV= PMT { 1 + 1 + 1 + 1 + ......... 1 }
____ ____ ____ ____ ______
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)n
A expressão entre colchetes é a soma de uma progressão geométrica (PG) de n termos como
primeiro termo (a1) igual a 1 , razão (q) igual a
____ __1___
(1+i)1 (1+n)
e o enésimo termo (an) igual a 1
_______
n
(1+n)
Da algebra se sabe que a soma dos n primeiros termos de uma PG de razão q , é dada pela
fórmula:
1 - 1 . 1 (1+ i)n -1
Sn = a1 – an.q _________ ______ _____ ____________
__________ n n
PV = PMT . (1+ i) (1+i) ( 1+ i) = PMT. (1+i). (1+i)
________________________
________________
1-q 1 - 1 (1+i)-1
________
____________
(1+i) (1+i)
n
PV = PMT . (1+ i) -1 > Fórmula do valor atual de uma série uniforme postecipada
________
n
(1+i).i (Modelo Básico)
Cálculo do valor futuro de uma série uniforme postecipada
n n n
FV = PV (1+i) FV = PMT . (1+ i) - 1 . (1+i)
________
ni
(1+i)
FV = PMT . (1+i)n -1 > Fórmula do Valor Futuro de uma SUP
_________
i
EXEMPLO:
Um homem compra um carro que poderá ser pago em 10 prestações mensais, sem entrada,
iguais e consecutivas de $ 20.000,00. Para uma taxa de juros de 5% a.m. qual o preço do carro
a vista?
PMT = $ 20.000,00
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
| | | | | |
__________|_________|_________|________|________| _ _ _ _ _ _ _|
|0 1 2 3 4 5 10 (períodos)
| i = 5%a.m.
PV =?
n
PV = PMT . (1+ i) -1 > Formula do valor atual de uma série uniforme postecipada
________
n
(1+i).i
10
PV = 20.000 . (1+ 0,05) -1
_______________
10.0,05
(1+0,05)
PV = 154.434,70
Utilizando a Calculadora Financeira HP12C, temos;
Registros Pressione Visor Comentários
- (f)(reg) 0,00 Limpa todos os registros
20.000 (PMT) $ 20.000,00 Introduz o valor das prestações
5 (i) 5,00 Introduz a taxa de juros
10 (n) 10,00 Introduz o prazo ( no de períodos)
PV - 154.434,70 Calcula o valor presente
- SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA (SÉRIE COM ENTRADA)
É a série uniforme de pagamentos/recebimentos que tem as seguintes características:
apresenta termos constantes (iguais), é periódica (todos os períodos sào iguais), temporária(
duração limitada), e antecipada( 10 pagamento/recebimento -1º termo – ocorre no início do
primeiro período). São as séries com entrada, isto é, o primeiro pagamento/ recebimento
ocorre no ato da contratação.
- CÁLCULO DO VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA
Para o equacionamento matemático será considerado o fluxo de caixa seguinte, que se
identifica com as características da SUP Antecipada
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
| | | | | | | |
|__________|_________|_________|________|________| _ _ _ _ _ |_ _ _ _ _.
|0 1 2 3 4 5 n-1 n
(períodos)
| i
PV
PV=PV0 + PV1 + PV2 + PV3 + PV4 + PV5 +----------+ PVn-1
PV = PMT + PMT + PMT + PMT + PMT + .........+ PMT
_____ _____ _____ ______ _______
1 2 3 4 n-1
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
PV= PMT { 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + .........+ 1 }
____ ____ ___ _____ _____
1 2 3 4 n-1
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
Multiplicando e dividindo o segundo membro da expressão anterior por (1+i), a igualdade não
se altera:
PV= PMT . (1+i) { 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + .........+ 1 }
___ ____ ____ ____ _____ _____
1 2 3 4 n-1
(1+i) (1+i)1 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
PV= PMT . (1+i) { 1 + 1 + 1 + 1 + .........+ 1 }
_____ _____ ____ ____ ________
1 2 3 4 n
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
A expressão que está entre colchetes já foi estudada anteriormente e representa a soma de
uma progressão geométrica (PG) de n termos e é igual a:
1 - 1 . 1 n
Sn = a1 – an.q = _____ _____ _____ ( 1+i) -1
(1+ i) (1+i)n ( 1+ i) = _______________
__________ _____________ n
( i + i). I
1-q 1 - 1
______
(1+i) Então
n
PV = PMT . (1+i) . (1+i) -1 = PMT . 1 . (1+i)n - 1
______ _________________
n n-1
(1+i) .i (1+i) . i
n
PV = PMT . (1+i) -1 (Fórmula do valor presente de uma série uniforme
__________
n-1
(1+i) .i antecipada)
Cálculo do valor futuro de uma SUP antecipada:
n
FV = PV (1+i)
n n
FV = PMT (1+i). (1+ i) -1 )
___________
n-1
(1+i) i
n
FV = PMT (1+i). (1+ i) -1 (fórmula do FV de
uma SUP antecipada)
___________
i
Exemplo:
Um homem compra um carro que poderá ser pago em 10 prestações mensais, com entrada
(1+9), iguais e consecutivas de $ 20.000,00. Para uma taxa de juros de 5% a.m. qual o preço do
carro a vista?
PMT = $ 20.000,00
PMT PMT PMT PMT PMT
PMT
| | | | | | |
|__________|_________|_________|________|________| _ _ _ _ _ _ _|
|0 1 2 3 4 5 9 (mêses)
| i = 5%a.m.
PV =?
n
PV = PMT . (1+i) -1
________
n-1
(1+i) .i
10
PV = 20.000 . (1+0,05) -1
____________
10-1
(1+0,05) .0,05
PV= $ 162.156, 43
Utilizando a Calculadora Financeira HP12C, temos;
Registros Pressione Visor Comentários
- (f)(reg) 0,00 Limpa todos os
registros
- (g) (BEG) 0,00 Calcula a série antecipada
20.000 (PMT) $ 20.000,00 Introduz o valor das
prestações
5 (i) 5,00 Introduz a taxa de juros
10,00 (n) 10 Introduz o prazo ( no de
períodos)
(PV) - 162.156,43 Calcula o valor presente
- SÉRIE UNIFORME DIFERIDA (SÉRIE COM CARÊNCIA)
Chamamos série uniforme diferida a uma série de pagamentos/recebimentos nominalmente
iguais e sucessivos, que ocorrem após um certo período de carência m, também denominado
prazo de diferimento.
Uma série uniforme diferida tem as seguintes características:
- Termos constantes (iguais);
- É periódica (intervalos de ocorrência dos termos constantes);
- Temporária (prazo finito);
- Diferida (1º pagamento/recebimento - 1º têrmo – ocorre no fim de um certo prazo igual a m
períodos sendo m? 0 e m ? 1).
Seja o fluxo de caixa abaixo que identifica uma SUD;
FV
|
PMT PMT PMT PMT PMT PMT |PMT
_____._____.____._ _ _ _.____.____|_____|_____|_____| _ _ _ _|_______|____|
|0 1 2 3 m-1 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-2 m+n-1 m+n
-> período de carência <- i (periodos)
PV |
PVm
CÁLCULO DO PV DE UMA SÉRIE UNIFORME DIFERIDA (SUD)
Seja:
m = número de períodos de carência ( prazo decorrido entre a operação e o início do
pagamento das prestações)
n = prazo de pagamento (ou número de prestações) contado a partir do início dos
pagamentos.
m+n = período total da série
i = taxa de juros
n
PVm = PMT . (1+ i) -1
_____
n
(1+i) .i
Como se deseja o valor presente PV na data zero, vamos atualizar PVm de m períodos , ou
seja:
m
PV = FV (1+ i ) = PVm = n
______ PMT . (1+ i) -1 > Formula do valor atual de uma série
uniforme postecipada
m ________
(1+i) n
(1+i) i
______
m
(1+i)
n
PV = PMT . (1+ i) -1
_________
m+n
(1+i) .i
VALÔR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME DIFERIDA
n
PV = PMT . (1+ i) -1
______
m+n
(1+i) .i
m+n n m+n
FV = PV (1+i) FV = PMT . (1+ i) -1 . (1+i)
_________________
m+n
(1+i) .i
n
FV = PMT . (1+ i) -1
_______
i
Da expressão obtida conclui-se que o valor futuro de uma série uniforme diferida (SUD) é igual
ao valor futuro de uma Série Uniforme Postecipada (SUP), uma vez que o período de carência
(diferimento) não interfere na formação do montante, pois apenas os períodos após a
aplicação é que contam.
Exemplo:
Um equipamento industrial é vendido a prazo em 24 prestações mensais, iguais e sucessivas
de $20.000,00, ocorrendo o primeiro pagamento 1 ano após a compra. Determine o preço a
vista do equipamento se a taxa de juros é de 5% a.m.
FV
|-> PMT= $20.000,00
<-|
|
_____._____.____._ _ _ _.-------------------------|______|______|_____|_____|_____| _ _ _
_|____|____|
|0 1 2 3 11 12 13 14 15 16 34 35
36
|-> período de carência <-| i= 5% (mêses)
|
PV12
PMT= $20.000,00 n
i = 5% a.m PV = PMT . (1+ i) -1
n = 24 prestações m+n
(1+i)m+n .i
m = 12 mêses (carência) 24
PV= 20.000. (1+ 0,05) -1
________________
12+24
PV = ? (1+i) .0,05
PV= $ 153.672,00
Utilizando a Calculadora Financeira HP12C, temos;
Registros Pressione Visor Comentários
- (f)(reg) 0,00 Limpa todos os
registros
20.000 PMT 20.000 Introduz o valor das
prestações
5 (i) 5,00 Introduz a taxa de juros
24 (n) 24,00 Introduz o número
de prestações
- (PV) - 275.972,84 Calcula o valor presente
na data 12 –PV12
- (CHS) (FV) 275.972,84 Introduz o valor futuro do
capital na data 12
12 (n) 12,00 Introduz o prazo de
diferimento (carência)
0 (PMT) 0,00 Zera o valor das PMT
que nào será mais usado
(PV) - 153.672,00 Calcula o valor presente
n
FV = PMT . (1+ i) -1
________
i
FV = 20.000 . (1+ 0,05)24 -1 = $ 890.039,98
0,05
-SÉRIE UNIFORME PERPÉTUA
As séries uniformes de pagamentos (SUP) perpétuas são aquelas cuja duração é
ilimitada(infinita), ou seja, não se tem um prazo determinado para seu encerramento. Por isso,
só há sentido em calcular o valor presente dessa série, já que o valor futuro (montante) é
infinito.
Características das séries perpétuas:
Termos constantes, periodicidade constante (periódica), o primeiro termo ocorre no fim do
primeiro período e é infinita ( prazo indeterminado-ilimitado).
Este tipo de série tem pouca aplicação no Brasil, sendo mais usada no exterior. É utilizada na
área de avaliação imobiliária (locação de imóveis) visto que os imóveis costumam ter, pelo
menos em termos de vida útil, uma duração longa, e assim sendo, sua avaliação expedita pode
ser usada com base nos seus respectivos valores de locação. Assim, o valor do imóvel pode ser
calculado como dado pelo valor atual (valor presente) da sequência formada pela sucessão de
aluguéis periódicos, supondo-se um número infinito de períodos.
Uma outra utilizaçào é na Teoria das Finanças, para avaliação do preço das ações.
Fluxo de Caixa de uma Série Perpétua
PMT PMT PMT PMT PMT |PMT
| | | | |
__________|. __________|.__________|.__________|._________|. _ _ _ _ _ _ _ _ _> + 8
|0 1 2 3 4 5
|
-> 1o período <- i (períodos)
PV
Inicialmente se considera a série dada como finita, isto é, com o número de prestações
limitado. Assim tem-se uma série uniforme postecipada, cuja equação do valor presente é;
n
PV = PMT . (1+ i) -1
_____
n
(1+i) .i -n
Multiplicando-se e dividindo a equação por (1+i) , obtém-se:
n -n -n
PV = PMT . (1+ i) -1 . (1+i) = 1 - (1+i)
_______________ _________
n -n
(1+i) .i (1+i) i
LIM (PV) = LIM { PMT . 1 - 1 }
n -> 8 n -> 8 _____
n
(1+i)
______
i
PV = PMT . LIM { 1 - 1 }
_____ ____
i n
(1+i)
PV = PMT . { 1 - LIM 1 }
______ _____
i n -> 8 n
(1+i)
Do Cálculo Diferencial Integral (Teoria dos Limites), tem-se que, para a resolução da expressão
LIM 1 deve-se distinguir as seguintes situações:
___
n->+8 n
(1+i)
i < 0:Se a taxa de juros for negativa o limite em estudo tende a +8, o que torna o estudo da
série sem interesse.
i > 0: se a taxa de juros for positiva , o que , geralmente costuma ser o caso de real interesse
prático, o limite em análise tende para zero. Assim o valor presente de uma série perpétua
reduz-se a:
PV = PMT
_____
i
EXEMPLO:
Avaliar o valor de uma casa, cujo aluguel pode ser estipulado em termos de mercado mobiliáro
em $2.000,00 mensais, se a taxa de juros vigente é de 5% a.m.
Trata-se de uma série uniforme perpétua, sem levar em consideração a inflação ou correção
monetária, nem depreciação. É uma maneira de fazer uma avaliação rápida do imóvel
PV = PMT = 2.000,00
____ _______
i 0,05
PV= $ 40.000,00
Vimos na Matemática Financeira que o Valor Presente de um fluxo com vida útil infinita é dado
pela expressão: VP = R/i.
Podemos ter casos de investimentos que fornecem benefícios por um período tão grande que
poderá ser considerado eterno. Isto se dá principalmente em obras públicas, tais como
estradas, estádios, praças, canais, etc. O valor atual dos custos, neste caso, chama-se “Custo
Capitalizado”.
Ex: A empresa B & B Tabacos Ltda, fabrica e vende um tabaco para cachimbos bastante
popular. A empresa possui um fluxo anual de caixa de aproximadamente $100.000,00 livre de
todas as despesas e impostos.
A Harrys Cigarros S/A ofereceu $800.000,00 para comprar a fábrica. Qual deverá ser a decisão
da B & B, assumindo uma expectativa de vida do produto de:
a) 15 anos
b) Infinita
Considere que a taxa de desconto para a B & B é de 10% a.a..
O termo perpetuidade sugere fluxos de duração infinita sem limite. Entretanto, é mais
apropriado dizer que uma perpetuidade se constitui de um conjunto de rendas cujo número
não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito, como sucede,
por exemplo, com os dividendos pagos pelas empresas.
Na prática, quando uma empresa vai comprar outra, analisa o fluxo de caixa esperado para os
próximos quinze anos, e a partir de então perpétuo.
VP = PERPETUIDADE - PERPETUIDADE = VP x i
________________
i
Perpetuidade crescente à razão “c”:
VPt = PERPETUIDADE
______________
i – c
Exemplos:
Espera-se que a empresa SEMPREFIRME continue pagando indefinidamente dividendos de
$1,00 por ação. Qual deveria ser o preço dessa ação se a taxa de juros fosse de 8% ao ano?
Valor da ação = perpetuidade = 1 = 12,50
_____ ________
taxa de juros 0,08
A companhia ROCKET deve pagar um dividendo de $3,00 por ação no próximo ano. Espera-se
que esse dividendo cresça a 8% ao ano para sempre. Qual deveria ser o preço da ação se a taxa
de juros para essa empresa fosse de 12% ao ano?
Valor da ação = perpetuidade = 3,00 = 75,00
_____________________ _______
juros – taxa de crescimento 0,12 – 0,08
Suponhamos que um investidor tenha acabado de pagar $50,00 por ação da empresa XYZ. A
empresa pagará um dividendo de $2,00 por ação no próximo ano. Espera-se um crescimento
desse dividendo à taxa anual de 10% indefinidamente. Qual a taxa de retorno (TMA) exigida
por esse investidor que acha que pagou um preço justo pela ação?
Valor da ação = perpetuidade = dividendo =
_____________________ ______________
taxa de juros – taxa de crescimento TMA – 10%
= 2,00 = 50 = TMA = 14%
____________
TMAC – 0,10
- SÉRIES NÃO UNIFORMES DE PAGAMENTOS
São as séries cujos termos são variáveis, ou seja, os termos não são iguais entre si.
Se considerarmos o fluxo de caixa a seguir, que representa uma série de
pagamentos/recebimentos variáveis, o valor presente (PV) pode ser obtido pela soma dos
valores atuais de cada um dos termos da série.
Assim:
!<--------------------------------------------------------|
!<----------------------------- --| | |
!<--------------------| | | |
!<---------| | | | |
!______|______|______|______|______|_ _ _ _ _|
|0 1 2 3 4 5 n(períodos)
| i
PV
PV= PV1 +PV2 + PV3+PV4 +PV5 +......+ PVn
PV= CF1 + CF2 + CF3 +...........+ CFn
______ ______ ______ _____
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
Genéricamente:
n
PV= SOM CFj
1
Exemplo
Um terreno foi comprado para ser pago em 5 parcelas mensais, conforme plano de
pagamentos abaixo:
1º mês:$20.000,00-2º mês:15.000,00-3ºmês:$30.000,00-4ºmês:$ 25.000,00-5ºmês:$17.000,00
Se a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no mercado é de 5% a.m. qual o valor do
terreno a vista?
n
PV= ? CFj = 20.000,00 + 15.000,00 + 30.000,00 + 25.000,00 +
17.000,00
i=1 (1+i)j __________ ________ __________ _________ _________
(1+ 0,05)1 (1+ 0,05)2 (1+ 0,05)3 (1+ 0,05)4 (1+
0,05)5
PV= $92.455,70
Registros Pressione Visor Comentários
- (f)(reg) 0,00 Limpa todos os
registros
0 (g)(CF0) 0.00 Introduz o valor das
prestações
20.000 (g)(CF1) 20.000,00 Introduz CF1 1º
termo
15.000 (g)(CF2) 15.000,00 Introduz CF2 2º
termo
30.000 (g)(CF3) 30.000,00 Introduz CF3 3º
termo
25.000 (g)(CF4) 25.000,00 Introduz CF4 4º
termo
17.000 (g)(CF5) 17.000,00 Introduz CF5 5º
termo
5 (i) 5,00 Introduz a taxa de
juros
- (f)(NPV) 92.455,70 Calcula o valor
presente
EXERCÍCIOS
1)Prova
-2)Quanto se deve depositar no instante inicial para, somados os rendimentos, se retirar
R$100.000,00 a cada 3 anos a partir do depósito, até o ano 12 , computados juros de 10% a.a.?
3)Quanto se deve depositar mensalmente em um fundo , a partir do instante zero, a juros de
15% a.a. até o ano 10 para que possamos fazer 3 retiradas anuais de R$ 100.000,00 durante os
anos 11 a 13 inclusive?
4)Um banco faz um empréstimo de R$ 10.000,00 somando 20% à quantia emprestada
dividindo o pagamento em 10 prestacões iguais. Qual a taxa de juros?
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Entre os múltiplos objetivos de uma empresa está o de maximizar a riqueza de seus
proprietários ou acionistas. Para alcançar estes objetivos existem técnicas de análise de
alternativas de investimentos que visam dar aos administradores subsídios aceitáveis para a
tomada de decisões, proporcionando investir em projetos que sejam economicamente viáveis.
CUSTO DE CAPITAL E CUSTO DE OPORTUNIDADE DE CAPITAL
Suponha-se que uma empresa tenha acesso ilimitado ao crédito (financiamento), a uma taxa
de juros de de 15% a.a.. Sendo assim ela não poderá aceitar investir em nunhum projeto que
tenha taxa de retorno do capital investido inferior a 15% a. a., sem o que ela não terá
condições de liquidar o financiamento obtido e ainda obter algum lucro. Assim o custo do
capital foi de 15% a.a.
Custo de oportunidade de capital é o sacrifício que se faz ao se optar pelo investimento em um
projeto em detrimento de outro projeto. Para exemplificar tomemos uma empresa que tenha
acesso ilimitado ao financiamento a uma taxa de juros de 15% a.a. e dois projetos econômicos
a serem avaliados: o Projeto Amazonia e o Projeto Nordeste. Se o Projeto Amazônia for o
escolhido, o Projeto Nosdeste - que teria uma rentabilidade de 30% a.a. - não seria
implementado, pois todos os recursos financeiros disponíveis seriam absorvidos pelo projeto
selecionado.
Nessa situação, mesmo sendo 15% a.a. o custo de capital, o custo de oportunidade de capital
para empreender o Projeto Amazônia em detrimento do Projeto Nordeste será de 30% a.a., ou
seja, o projeto escolhido deverá ter uma taxa de retorno de investimento superior à do projeto
não escollhido (30% a.a.) taxa esta que constitui o custo de oportunidade para a empresa.
TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA)
Como o dinheiro tem valor no tempo alguns métodos de análise de investimento de projetos
econômicos sugeridos pela Engenharia Econômica requerem a definição de uma taxa de juros
para seu equacionamento.
Logo, é necessária a definição prévia de uma taxa para servir como parâmetro para a aceitação
ou rejeição de um determinado projeto de investimento.
Essa taxa recebe o nome de Taxa Mínima de Atratividade (TMA) e deve ser a taxa mínima a ser
alcançada pelo investimento para que ele seja economicamente viável, isto é, a taxa mínima
de retorno do capital investido no projeto.
A taxa mínima de atratividade é o parâmetro de comparação para a Taxa Interna de
Retorno(TIR) e é, como veremos adiante, a taxa para o desconto dos fluxos de caixa ao se usar
o método do Valor Atual Líquido (VAL).
Existem muitas controvérsias para a fixação de um valor para a TMA. Cada empresa tem uma
política de para essa fixação de valor da TMA, sendo que algumas recorrem a valores
históricos, ou seja, a rentabiliadde de algumas empresas que atuam no mesmo setor de
negócios, ou, rentabilidade de projetos semelhantes, outras recorrem `a estatística para a
determinação de uma taxa que seja ótima para os objetivos da organização, outras aos juros
de mercado e ainda outras que recorrem a valores empíricos.
A TMA deve pelo menos ser função do custo do Capital (fontes de financiamento de terceiros)
e custo de oportunidade (aqui entendido como o custo de não se optar por aplicações
alternativas dos recursos dos acionistas).
Segundo HESS, um economista de renome mundial:
“a TMA apresenta um forte grau de subjetividade, podendo ser influenciada, pela política da
empresa, sendo alterada segundo o risco oferecido pelo investimento, segundo o capital
pincipalmente.disponível para investir, a tendencia geral de surgimento da aplicações mais
rentáveis, o custo do capital, a estrutura de capitais da empresa etc...”.
HORIZONTE DE PLANEJAMENTO (HP)
Entende-se por HP ( vida econômica ou vida útil de um investimento), o período decorrido
entre a data do investimento e a data inicial e data final de retorno do capital investido.
Assim, o horizonte de planejamento é influenciado por fatôres diretamente relacionados com
o projeto de investimento e própriamente dito e tambem por fatôres intrínsecos da própria
empresa (política de investimento, sua própria história – tradição- sua estrutura, métodos
administrativos, recursos utilizados, capacidade ecnômico- financeira, estratégias de médio e
longo prazos, etc...
Para efeitos de nossos estudos de fluxo de caixa o HP será considerado como o período em
que o projeto se mantém operacional, sua vida útil principalmente.
MÉTODOS DETERMINÍSTICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Os métodos de análise de investimentos sào utilizados pelos empresas para determinar os
projetos que melhor remuneram os seus proprietários ou acionistas.
Após selecionar os projetos técnicamente viáveis é necessário se determinar o melhor
investimento através de critérios de decisão fornecidos pela Engenharia Econômica.
Sào 4 os métodos de avaliação:
Método do Valor Atual Líquido (VAL);
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR);
Método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE);
Método do Período de Retorno de Capital (Payback).
Estes métodos fornecem o mesmo resultado - excetuando-se o método do Payback - sendo
equivalentes e indicam sempre a mesma alternativa de investimento que é a melhor do ponto
de vista econômico.
Sào métodos exatos, embora existam vantagens e desvantagens entre a utilização de um em
relação ao outro, dependendo do caso analisado, o que veremos ao longo de nosso estudo.
MÉTODO DO VALOR ATUAL LÍQUIDO (VAL)
O Valor Atual Líquido (VAL) ou Valor Presente Líquido (VPL) – net present value - de um
projeto de investimento é o valor atual das entradas de caixa (retornos de capital esperados),
incluindo o valor residual, se houver, menos o valor atual das saídas de caixa (investimentos
realizados).
O método do VAL reflete a riqueza em valores monetários do investimento, medida pela
diferença entre o valor presente das entradas de caixa e o valor presente das saídas de caixa, a
uma determinada taxa específica, chamada de taxa de desconto, custo de oportunidade ou
custo do capital.
O critério para aceitação de um projeto no que se refere ao VAL é:
VAL > 0 ? aceita-se o projeto;
VAL < 0 ? rejeita-se o projeto;
VAL = 0 ? é indiferente aceitar ou não o projeto.
Esse critério de análise de investimentos determina ser inaceitável um projeto cujo valor atual
líquido (VAL) não seja positivo.
Assim o VAL , como mostrado na figura a seguir é obtido subtraindo o investimento inicial
(FC0) – saída de caixa - do valor atual das entradas de caixa (FCn) decontados a uma taxa igual
ao custo do capital investido (i).
FC5
? FCn
FC4 | ?
FC1 FC3 ? | |
? FC2 ? | | | (+)Entrada
de caixa
__________|. __________?.___ ______|.__________|._________|._ _ _ _ _ _
_|........................>
|0 1 2 3 4 5 n (períodos)
? i (-)Saída de caixa
FC0
Matemáticamente:
VAL = { FC1 + FC2 + FC3 + FC4 + ...........+ FCn } - FC0
_______ _____ ______ ______ _______
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)n
______________________________________
| n |
n
VAL SOM FCj - FC0
j=1 _____
(1+i) j
Caso haja mais de uma saída de investimento é só levar tambem cada saída para o momento
zero somando-as para posteriormente descontá-las das entradas de caixa também calculadas
no mesmo momento zero do fluxo de caixa.
No método do VAL após apurada a diferença entre as receitas (entradas) e as despesas
(saídas) do fluxo de caixa trazidas ao momento zero, verifica-se se o valor resultante é positivo
(receita>despesa) ou negativo (receita< despesa) e:
- Se VAL positivo à significa que o projeto proporciona uma remuneração a uma taxa maior
que a TMA (Taxa Mínima de Atratividade)
- Se VAL negativo à significa que o projeto proporciona uma remuneração a uma taxa menor
que a TMA (Taxa Mínima de Atratividade)
- Se VAL for zero ou nulo à significa que o projeto proporciona uma rentabilidade com taxa
igual a TMA (Taxa Mínima de Atratividade)
Caso existam dois ou mais projetos de investimentos viáveis econômicamente a serem
comparados, o mais rentável será aquêle que apresentar o maior valor para o VAL, sendo
evidentemente esse o projeto com maior taxa de remuneração.
O VAL portanto pressupõe:
Por um lado remunerar o projeto, no mínimo, a uma taxa igual ao custo do capital investido
sendo as entradas de caixa (fundos gerados) reinvestidas no fim de cada período.
Por outro lado, reembolsar o capital investido ao longo da vida útil do projeto.
MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
A Taxa Interna de Retorno (TIR) – internal rate of return (IRR) – é a taxa de retorno que torne o
valor atual líquido (VAL) igual a zero. Também é chamada de taxa interna efetiva de
rentabilidade.
A TIR é uma técnica sofisticada de análise de investimentos, sendo, possívelmente, a mais
utilizada na avaliação de projetos econômicos. Essa taxa interna de retorno (TIR) deve ser
comparada a uma outra taxa, denominada Taxa Mínima de Atratividade (TMA), que é a taxa
mínima para aceitação ou rejeição do projeto de investimento.
O critério, no que se refere a TIR é:
. TIR > TMA ? aceita-se o projeto;
.TIR < TMA ? rejeita-se o projeto.
Este critério consiste em considerar inviável um projeto que não tenha TIR superior ao custo
de oportunidade da empresa.
Caso que tenhamos vários projetos de investimentos viáveis, o método da TIR considera o
melhor projeto aquele que tiver a TIR mais elevada.
A TIR tem como características:
Durante o período de análise do projeto, ele gerará liquidez suficiente para remunerar a taxa
de X% o capital investido e ainda não retornado e reembolsar o capital investido.
Pressupõe que as receitas geradas pelo projeto (entradas de caixa) sejam reinvestidas à taxa
TIR do projeto.
Matemáticamente:
n
VAL = SOM FCj - FC0
j=1 _____
(1+i) j
n
0 = SOM FCj - FC0
j=1 ________
(1+TIR) j
n
FC0 = SOM FCj
j=1 _________
(1+TIR) j
EM outras palavras a TIR é definida como a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido
das entradas de caixa ao investimento inicial referente a um projeto, ou seja, é a taxa segundo
a qual o valor atual dos fluxos de caixa de entrada (receitas) é exatamente igual ao valor atual
dos fluxos de caixa de saída (desembolsos).
EXEMPLO:
Seja o fluxo de caixa mostrado abaixo:
4000
1000 3000
| 2000 | | (+)Entrada de caixa
_ _________.______|.______ |. __ _____|.__________|.
|0 1 2 3 4 anos
| (-)Saída de caixa
6641
Calcule o VAL para i= 10% a.a. e i= 20% a.a.
Para i=10%a.a.
VAL = 1000 + 2000 + 3000 + 4000 - 6641
(1+0,10)1 (1+0,10)2 (1+0,10)3 (1+0,10)4
VAL= $ 906,98
Para i = 20%
VAL = $ - 753,65
Com a calculadora HP:
VISOR
F- REG 0,00 LIMPA
6641 CHS- g- CF0 -6641,00
1000 g-CF1 1000,00
2000 g-CF2 2000,00
3000 g-CF3 3000,00
4000 g-CF1 4000,00
10 i 10,00
f- NPV 906,58 VAL i=10
20 i 20,00
f- NPV -753,65 VALi=20
Como visto acima, foram escolhidas duas taxas de juros aleatóriamente, uma das quais
apresentou VAL positivo ($ 906,98) e a outra Val negativo ($-753,65). Logo existe uma taxa de
juros localizada entre elas, ou seja 10% a.a. = i = 20% a.a., que fornecerá um VAL igual a zero.
Esta é a TIR.
Para encontrar o valor da TIR:
6641 = 1000 + 2000 + 3000 + 4000
(1+TIR)1 (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4
Se desejarmos encontar a TIR sem utilizarmos a calculadora financeira é
necessário fazer uso de métodos matemáticos, como interpolação entre os valores das taxa de
juros que fornecem os VALs positivos e negativos, ou ainda ir estimando valores aproximados
para a TIR (processo de tentativas) e calculando o VAL até que se chegue a uma TIR que
forneça o VAL igual a zero.
Com o auxílo de uma HP 12c , tem-se:
VISOR
F- REG 0,00 LIMPA
6641 CHS- g- CF0 -6641,00
1000 g-CF1 1000,00
2000 g-CF2 2000,00
3000 g-CF3 3000,00
4000 g-CF1 4000,00
10 i 10,00
f- NPV 906,58 VAL i=10
20 i 20,00
f- NPV -753,65 VALi=20
f-IRR 15,00 TIR
Se pressionarmos as teclas para calcular o Val teremos VAL= 0
Retomando o exemplo em questão e recalculando o VAL para várias taxas de juros (TMA),
teremos:
TMA VAL
0 3359,00
2,50 2647,74
5,00 2007,76
7,50 1429,98
10,00 906,98
12,50 432,31
15,00 0,00 (TIR)
17,50 -393,52
20,00 -753,65
22,50 -1083,62
25,00 -1386,60
MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) PARA FLUXOS DE CAIXA QUE APRESENTAM
MAIS DE UMA INVERSÃO DE SINAL
Na maioria dos fluxos de caixa há apenas uma inversão de sinais (fluxo de caixa convencional),
isto é , o investimento inicial (sinal negativo) é seguido por uma sequência de entradas de
caixa (sinais positivos). Nesse caso há uma única solução para a TIR.
Quando o projeto é representado por um fluxo de caixa não convencional ou seja, quando o
investimento inicial é seguido por uma sequência de entradas e saídas de caixa de forma
alternada e não uniforme, ocorrendo mais de uma inversão de sinais, poderão surgir várias
TIRs. Nesse casos as taxas encontradas poderão não ter significado algum, porque o método
implica em uma equação polinomial de n raízes, cuja solução torna-se bastante complexa.
Da algebra, a Regra de Descartes estabelece que poderá haver tantas taxas internas de retorno
(TIRs), quantas são as inversões de sinal no fluxo de caixa.
Para evitar isto calculamos primeiro o valor presente de todas a saidas e aplicamos este valor
no calculo ada TIR
RESTRIÇÕES AO USO DA TIR COMO MÉTODO DE DECISÃO
O método da TIR apresenta algumas restrições ao seu uso que dificultam o seu uso em alguns
tipos de análises de investimento, a saber:
O método assume implícitamente que todos os fluxos de caixa (retorno de investimento) são
reinvestidos ou descontados, seja na taxa média de remuneração ou na taxa média de
empréstimo praticada no mercado de crédito
Essa hipótese é financeiramente aceitável enquanto a TIR estiver dentro de um intervalo
razoável para financiamentos. Quando a TIR se torna significativamente maior ou menor, a
hipótese torna-se menos válida e o valor resultante menos representativo como uma medida
de investimento.
A TIR também fica limitada pelo número de variações do sinal do fluxo de caixa (de positivo
para negativo e vice-versa). Cada troca de sinal evidencia a existência potencial de uma TIR,
isto é, se o fluxo de caixa apresenta três inversões de sinal a TIR poderá assumir três valores
diferentes.
Embora esses três valores tenham consistência do ponto de vista matemático, em geral, as
respostas múltiplas não têm sentido como parâmetro de investimento, como discutido
anteriormente.
COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DO VAL E DA TIR
Os dois métodos trabalham com fluxos de caixa;
No cálculo do VAL já consideramos a taxa de rentabilidade desejada;
Na TIR calcula-se a rentabilidade do projeto e ela é comparada com um parâmetro pré-
estabelecido, que é a TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA);
A TIR apresenta dificuldades no cálculo – Fluxos de caixa com mais de uma inversão de sinal
podem ter mais de uma TIR;
O VAL leva em conta os seguntes fatôres: fluxo de caixa periódico, o valor do dinheiro no
tempo, a vida útil do projeto de investimento, o desembolso com o investimento e o custo do
capital;
Já a TIR considera os seguintes fatôres: fluxo de caixa periódico, o valor do dinheiro no tempo,
a vida útil do projeto de investimento o desembolso como investimento e a TMA;
VAL do fluxo de caixa positivo ou negativo, não significa lucro ou prejuízo para a empresa que
está investindo, mas sim, o diferencial de ganhos ou perdas em relação à TMA da emprêsa.
MÉTODO DO VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (VAUE)
O método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) caracteriza-se por transformar todos
os fluxos de caixa do projeto em análise numa série uniforme de pagamentos, indicando o
valor do benefício líquido, por período de tempo, oferecido pela alternativa de investimento.
O projeto em análise só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo. Entre
vários projetos aquele de maior benefício positivo será o mais vantajoso.
Assim, dado o fluxo de caixa a seguir:
FC5
? FCn
FC4 | ?
FC1 FC3 ? | |
? FC2 ? | | | (+)Entrada de
caixa
__________|. __________?._ ____|.__________|._________|._ _ _ _ _ _ _|........................>
|0 1 2 3 4 5 n (períodos)
? i (-)Saída de caixa
FC0
Deve-se obter um fluxo equivalente, ou seja:
FC EQUIVALENTE
? ? ? ? ? ? +Entrada de caixa
__________|. __________|.___ ______|.__________|._________|._ _ _ _ _
_|........................>
|0 1 2 3 4 5 n (períodos)
? i (-)Saída de caixa
FC0
para que se possa aplicar o método do valor anual uniforma equivalente.
Normalmente nos estudos de viabilidade econômica de um investimento (projeto) o
período considerado para os fluxos de caixa tem dimensão anual. Por isso optou-se pela
designação do critério em pauta método do valor anual uniforma equivalente. Nada impede
entretanto que os fluxos tenham uma dimensão temporal em meses, bimestres, trimestres,
semestres etc...
Exemplo:
Visando uma melhor compreensão do método do valor anual uinforme equivalente (VAUE)
vamos analisar os fluxos de caixa de uma série não uniforme de pagamentos, a uma taxa de
juros de 15% a.a. como ilustrado a seguir:
2000
1800 ?
900 ? |
? | |
400 | 700 | |
? | ? | | (+)Entrada de caixa
_________|. __________ |.___ ______|._________|.________|
|0 1 2 3 4 5 anos
? i=15%a.a (-)Saída de caixa
PV
SOLUÇÃO:
Para determinação do fluxo de caixa equivalente anual, calcula-se primeiramente o valor
presente (PV) do fluxo de caixa em questão, logo:
PV = 400 + 900 + 700 + 1800 + 2000
(1+0,15)1 (1+0,15)2 (1+0,15)3 (1+0,15)4 (1+0,15)5
PV= $ 3.512,13
Com o valor presente (PV) do fluxo de caixa da série não uniforme calculada, pode-se
anualizar o fluxo, obtendo-se então o fluxo de caixa anual uniforme equivalente. Assim:
PV = PMT . (1+ i)n -1 à PMT = PV (1+ i)n.i
(1+i)n .i (1+i)n -1
PMT = 3.512,13 (1+ 0,15)5. 0,15
(1+0,15)5 -1
PMT = $1.047,72
Também poderia ter sido usada uma calculadora (HP12c) para se calcular o PMT. Com o fluxo
de caixa registrado na calculadora e o valor de PV ($ 3.512,12) e armazenado na memória da
calculadora, basta entrar com o número de períodos do fluxo de caixa (5) e pressionar a tecla n
apertando em seguida a tecla PMT para se obter o valor da série anualizada uniforme $
1.047,72.
Vale observar que o valor negativo no visor da calculadora para PMT indica apenas que PV e
PMT têm sentidos contrários no diagrama de fluxos de caixa.
PMT = $1.047,72
...............................................................................................................................
? ? ? ? ? +Entrada de caixa
___ _____|. __________|.___ ______|._________|._________|
|0 1 2 3 4 5
? i=15% a.a. (-)Saída de caixa
PV= $ 3.512,13
MÉTODO DO PERÍODO DE RETORNO DO CAPITAL (PAYBACK)
ESTE MÉTODO- Payback (PB) ou pay-out períod ou ainda payback period – consiste em
selecionar projetos de investimento enfatizando o período de recuperação do capital
investido, isto é, calculando o prazo necessário para que o valor atual dos reembolsos (retorno
de capital) se iguale ao desembolso com o investimento efetuado, restituindo o capital
aplicado.
O critério de aceitação ou não do projeto é o tempo de retorno do capital. Projetos com
períodos de reposição menor são preferidos àqueles que indicam prazos de recuperação
maiores
Mesmo que se usem métodos mais sofisticados de avaliação de investimentos, deve-se
utilizar esse índice (payback), como parâmetro pois permitirá medir com base no fluxo de caixa
do projeto medir em quanto tempo o capital investido retornará ao investidor, medindo
também a liquidez do projeto. Quanto maior a líquidez do projeto menos arriscado será.
Este método apresenta as seguintes desvantagens:
Não leva em consideração os fluxos que ocorrem após o período de recuperação do capital
(payback);
Não leva em consideração o valor do dinheiro no tempo, isto é, não examina a magnitude dos
fluxos de caixa e sua distribuição nos períodos que antecedem ao período do payback.
Chamando de t o tempo de recuperação do projeto e de n o período de vida útil do projeto
(horizonte de planejamento do investimento) podemos afirmar, econômicamente que:
t > n o projeto apresenta prejuízo econômico;
t = n o projeto apresenta lucro normal;
t < n o projeto apresenta lucro econômico.
OBSERVAÇÃO:
Lucro Econômico:a diferença entre receitas e despesas num determinado período é superior
ao custo de capital;
Lucro Normal: a diferença entre receitas e despesas num determinado período é igual ao custo
de
capital;
Prejuízo Econômico: a diferença entre receitas e despesas num determinado período é inferior
ao custo de capital;
EXEMPLO:
Sejam os Projeto Ômega e o Projeto Sigma para se calcular o prazo de retorno do capital
investido (payback).
Como o projeto Ômega tem fluxo de caixa regular pode ser calculado pela fórmula:
PB = I0 (válida para fluxo de caixa regulares)
___
FC
Onde:
I0 = Investimento inicial
FC = Fluxo de caixa regular
O fluxo de caixa do Projeto Ômega é apresentado a seguir:
Projeto Ômega
Investimento Inicial = $ 130.000,00
ANO Fluxo de caixa Saldo
0 (130.000,00) (130.000,00)
1 40.000,00 (90.000,00)
2 40.000,00 (50.000,00)
3 40.000,00 (10.000,00)
4 40.000,00 30.000,00
5 40.000,00 70.000,00
$ 40.000,00
...............................................................................................................................
? ? ? ? ? +Entrada de caixa
__________ |. __________|.___ ______|.__________|._________|
|0 1 2 3 4 5 anos
?
130.000,00 (-)Saída de caixa
PB = I0 = 130.000,00 = 3,25 anos
_ ________
FC 40.000,00
Ou ainda, analisando-se o fluxo de caixa:
120.000,00
PB = 3 anos + 10.000,00 = 3anos + 0,25 = 3,25 anos (retôrno do investimento em
3,25 anos)
__________
40.000,00
Projeto Sigma
Investimento Inicial = $ 1.000.000,00
ANO Fluxo de caixa Saldo
0 1000.000,00 (1000.000,00)
1 260.000,00 (740.000,00)
2 250.000,00 (490.000,00)
3 100.000,00 (390.000,00)
4 190.000,00 (200.000,00)
5 400.000,00 200.000,00
O cálculo deverá ser feito analisando diretamente o fluxo de caixa em questão;
800.000,00
PB = 4 anos + 200.000,00 = 4 + 0,50 = 4,5 anos (retôrno do investimento em 4,5 anos)
400.000,00
CRÍTICAS AO USO DO PAYBACK COMO MÉTODO DE DECISÃO
Este método contém várias limitações, a saber:
NAO considera o tempo para o fluxo de caixa, somando valores em tempos diferentes
O payback pode levar a decisões erradas pois ignora o lucro após o período de retorno do
capital, portanto, se o projeto apresentar durante um certo período resultados melhores após
o retorno do capital nos últimos períodos de vida útil, o payback pode levar a decisões por
projetos menos vantajosos;
Para os projetos com períodos de retorno do capital mais longos caracterizados por um
planejamento a longo prazo, envolvendo decisões estratégicas (desenvolvimento de um novo
produto ou entrada em um novo mercado) que não darão retorno durante um certo número
de períodos o payback pode dar um resultado parcial que não atinge os períodos de mais
longo prazos.
Outra crítica que se faz é o método PAYBACK não considerar o fator juros.
Para melhor entender estas limitaçõpes consideremos os Projetos Alfa e Beta abaixo:
Projeto ALFA
Investimento Inicial = $ 6.000,00
ANO PROJETO ALFA PROJETO BETA
1 3.000,00 1.000,00
2 2.000,00 2.000,00
3 1000,00 3.000,00
4 4.000,00 4.000,00
5 5.000,00 5.000,00
Verifica-se que ambos os projetos têm payback de 3 anos e parecem viáveis econômicamente
e rigorosamente iguais em termos de decisão de investimento sob a ótica do payback..
No entanto, como o dinheiro tem valor no tempo, o projeto Alfa que tem um retorno de
investimento mais rápido é mais vantajoso, pois possibilita o reinvestimento da quantia
retornada a uma taxa de juros de mercado já no primeiro ano do projeto de 50% do capital
investido ao invés de 16,666% do projeto Beta.
Sejam agora os projetos Gama e Delta;
Investimento Inicial = $ 1.0.000,00
ANO Projeto Gama Projeto Delta
1 5.000,00 5.000,00
2 5.000,00 5.000,00
3 3.000,00 10.000,00
4 2.000,00 15.000,00
5 1.000,00 20.000,00
O payback dos projetos é de dois anos logo, parecem idênticos econômicamente.
Porém após dois anos o Projeto Gama entra em declínio, enquanto o Projeto Delta começa a
acelerar a sua rentabilidade.
Isto acontece porque o payback não considera os fluxos de caixa após o período do payback.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
> Impossibilidade de se quantificar certos tipos de vantagens de um projeto (intangíveis ou
imponderáveis: não quantificáveis economicamente);
> prestígio, imagem, satisfação dos empregados;
Exemplo:
VECTRA e FERRARI
.
> Imponderabilidade de se prever o futuro: World Trade Center, Crises financeiras,
calamidades etc...
– DESCONTO
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é
resgatado antes do seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no
setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas
promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de
vencimento. O banco, naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no
título dito nominal. A diferença entre o valor nominal (VN) e o valor liberado (VL) pago ao
portador do título é o que se denomina desconto (D). O seguinte diagrama ilustra o processo:
0 k (tn-tk) n
VL VN
O uso do desconto simples (com juros simples) é amplamente adotado em operações de curto
prazo, restringindo-se o desconto composto para operações de longo prazo.
Pela sistemática de capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas
modalidades: desconto racional (também chamado desconto por dentro) e desconto comercial
(também chamado desconto por fora).
3.1 – Desconto racional
VL = VN
1 + i (tn - tk)
D = VN – VL =VN - VN
1 + i (tn - tk)
DR = Vn . i . (tn - tk)
1 + i . (tn – tk)
‘i’ representa a taxa de juros simples, ‘tn – tk’ é o prazo a decorrer até o vencimento do título e
‘VL’ é o valor líquido liberado na data do desconto. O uso da equação anterior exige observar a
regra de proporcionalidade entre as dimensões da taxa de juros e o prazo de operação.
3.2- Desconto comercial
Nesta modalidade, também chamado desconto por fora, o valor do desconto é obtido
multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo
prazo a decorrer até o vencimento do título:
DC = VN x d x (tn – tk)
‘d’ representa a taxa de desconto comercial também chamada taxa por fora, ‘(tn – tk)’ é o
prazo e ‘VN’ é o valor nominal (valor de resgate, valor futuro ou valor de fase) do título.
Uma expressão para o valor liberado (valor líquido, valor descontado ou valor atual) pode ser
obtida considerando-se que o valor do desconto é sempre igual à diferença entre o valor
nominal e o valor liberado pelo título:
DC = VN - VLC
VN x d x (tn – tk) = VN – VLC è VLC = VN x [1 – d x (tn – tk)]
OBS:
1- O desconto bancário pode ser considerado uma extensão do desconto comercial, basta
acrescentar a taxa de serviço bancário ‘s’ que comumente incide sobre o valor nominal. Logo,
as expressões para o valor do desconto e para o valor liberado passam a ser as seguintes:
DC = VN x [s + d x (tn – tk)] VLC = VN x [1 – s – d x (tn – tk)
2- A taxa de juros ‘i’ e a taxa de desconto ‘d’ servem para calcular o rendimento de uma
unidade monetária por unidade de tempo em diferentes momentos do horizonte temporal.
Enquanto a taxa ‘i’ é aplicada sobre um valor presente ‘VL’, a taxa ‘d’ é aplicada sobre um valor
futuro ‘VN’, originando um valor de desconto comercial maior que o valor de desconto
racional. Quando as taxas são baixas, a diferença entre os descontos racional e comercial não é
relevante, porém, quando são altas, a diferença pode ser considerável.
Exemplos:
1) Uma instituição financeira arremata no leilão do Banco Central uma LTN com as seguintes
características:
Valor nominal = $10.000,00
Prazo = 91 dias
Taxa de deságio = 14% a.a.
Calcular o valor de arremate da LTN, pelo valor atual racional.
VL = VN
1 + i (tn - tk)
V = 10.000
(1 + 0,14 x( 91/360))
V = 9.658,21
2) Um título no valor final de $2.000,00 vai ser descontado em um banco que cobra 10% de
juros mensais. Calcular o valor do desconto comercial e valor atual comercial, faltando 45 dias
para o vencimento do título.
DC = VN x d x (tn – tk)
Dc = 2.000 x 0,10 x( 45/30)
Dc = 300
Vc = VN – Dc = 2.000 - 300 = 1700
3) Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por $2.000,00 em 1º de
setembro do mesmo ano a uma taxa simples de 6% a.m.. Nas modalidades de desconto
comercial e racional simples, calcular o valor de resgate (valor nominal) do título e a taxa de
desconto efetiva linear.
Desconto comercial simples:
· Prazo de operação: 105 dias
· Cálculo do valor de resgate do título: VLC = VN x [1 – d x (tn – tk)]
$2.000 = VN x [1 – 0,06 x (105/30)]
VN = $2.531,65
Taxa de desconto efetiva linear:
2.531,65 = 2.000 x [1 + d x (105/30)]
d = 7,60% a.m.
Desconto racional simples:
Cálculo do valor de resgate do título: VL = VN
1 + i x (tn – tk)
2.000 = VN
1 + 0,06 x (105/30)
VN = $2.420,00
Taxa de desconto efetiva linear:
2.420 = 2.000 [1 + d(105/30)]
d = 6% a.m.
4) Por quanto devemos comprar uma nota promissória cujo valor de resgate é de $12.000,00,
pagável daqui a sete meses, se a taxa de juros é de 8% ao mês.
P V = 12.000
(1 + 0,08)7
Pv = 7.001,88
5) Admitamos que um título com valor nominal de $10.000,00 seja descontado em um banco,
com 60 dias (2 meses) antes do seu vencimento à uma taxa de desconto de 2% a.m. e com IOF
de 0,0041% a.d. incidente sobre a operação. O banco cobra ainda, Taxa de Serviço Bancário
(TSB) de 2% sobre o valor nominal do título paga no ato da liberação dos recursos.
Calcule a taxa efetiva mensal (em juros compostos) da operação.
Valor nominal do título.......................................$10.000,00
Valor do desconto: 10.000 x 0,02 x 2 .................... - 400,00
IOF: 10.000 x 0,000041 x 60 dias ........................ – 24,60
TSB: 10.000 x 0,02 ............................................... – 200,00
Valor líquido liberado ......................................... 9.375,40
9.375,40
1 2
0
10.000
Cálculo da taxa efetiva da operação: VF = VP x (1 + i)n
10.000 = 9.375,40 (1 + i)2
(1 + i)2 = 1,066621
(1 + i) = 1,032774
i = 0,032774 è i = 3,2774% a.m.
EXERCÍCIOS
1- Um sítio é vendido nas seguintes condições:
a) Entrada = $ 30.000;
b) 20 prestações mensais de $ 1.100 cada, vencendo a primeira daqui a 30 dias;
c) 6 prestações semestrais de $ 7.500 cada, vencíveis a partir do final do 3º mês.
Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juros, determinar até que preço é interessante adquirir este
sítio à vista.
30000
| 7500+1100 7500+1100 7500+1100
7500
| 1100 1100 | 1100 1100 1100 1100 1100 | 1100 1100 1100 1100 1100
| 1100 1100 1100 1100 1100 |
|__|_ _|_ _|___|__
|___|____|____|___|____|____|____|____|____|___|____|____|____|____|____|___|_
_
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
7500 7500
| |
|_ _|_ _|__|__|__ |____|____|____|____|____|____| i= 2,5%
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
PV = PMT . (1+ i)n -1 > Fórmula do valor atual de uma série uniforme postecipada
(1+i)n.i
PV1 = 1100,00. (1+ 0,025)20 -1
(1+0,025)20.0,025
PV1= $ 17.148,07
PV = PMT . (1+i)ns-1 (Fórmula do valor presente de uma série uniforme antecipada)
(1+i)ns-1 .i
FV= PV (1+i)n (Fórmula do Valor Futuro) -> PV = FV
(1+i)n
PV2 = 7500 . (1+0,1597)6-1 = $ 32.074,39 = $ 29.784,25
(1+0,1597)6-1 .0,1597 (1+ 0,025)3
(1+0,025)n
PV = PV1 + PV2+ $ 30.000,00
PV = $17.148,07+ 29.784,25 + 30.000,00
PV = 76.932,32
2- Uma empresa estuda a possibilidade de reformar uma máquina. A reforma está orçada em
$ 200.000 e dará uma sobrevida de cinco anos ao equipamento, proporcionando uma
diminuição nos custos operacionais da ordem de $ 75.000 ao ano. Considerando um custo de
capital de 15% a.a. e usando o método do VAL, analisar a viabilidade econômica da reforma do
equipamento.
75000 75000 75000 75000 75000
______|______|______|______|_____|
|0 1 2 3 4 5
|
200000
VAL = 75000 + 75000 + 75000 + 75000 + 75000 -
200.000
(1+0,15)1 (1+0,15)2 (1+0,15)3 (1+0,15)4 (1+0,15)5
VAL = 257004,87- 200000 = $ 57004,87 (POSITIVO)
Para calcular a TIR, faremos i= 20%
VAL = 62.500,00 + 52083,00 + 43402,00 + 36168,00 + 30140,00 - 200000 = $ 24.393,00
Vamos tentar i=25%
VAL = 60000,00 + 48.000,00 + 38400,00 + 30720,00 +24576,00 -200000 =$ 1.696,00
TIR então próxima de 25%
O projeto é valido econômicamente
3 - Determinada empresa transportadora está avaliando a compra de um caminhão por $
60.000. O veículo será usado durante 5 anos, após o que prevê-se um valor de revenda de $
7.200. A empresa estima, ainda, um custo anual de manutenção, combustível etc. de $ 24.000,
no primeiro ano, crescendo esse gasto aproximadamente 10% ao ano.
Segundo avaliação da empresa, são esperados benefícios de caixa gerados pelo caminhão
de $ 65.000, $ 56.000, $ 48.000, $ 40.000 e $ 36.000, respectivamente, nos próximos 5 anos.
Para uma taxa de desconto de 12% ao ano, demonstrar se é economicamente interessante
a compra desse caminhão.
65000 56000 48000 40000 36000+7200
______|______|______|______|_____|
|0 |1 | 2 | 3 |4 |5
| 24000 26400 29040 31944 35138
60000 i=12%
FC0 = 60000 + 24000 + 26400 + 29040 + 31944 + 35138
(1+0,12)1 (1+0,12)2 (1+0,12)3 (1+0,12)4 (1+0,12)5
FC0 = $ 163.383,82
FC = 65000 + 56000 + 48000 + 40000 + 43200
(1+0,12)1 (1+0,12)2 (1+0,12)3 (1+0,12)4 (1+0,12)5
FC = 58035 + 44642 + 34165 + 25420 + 24512 = $ 186.774,00
VAL = 186.774,00 -163.383,82 = $23390,18 >0 (VÁLIDO)
TIR = 37,92%
VAL1= -0,9156
4 - Um apartamento foi colocado à venda por $ 107.800. A prazo pode ser pago com uma
entrada de $ 8.000 mais cinco prestações postecipadas mensais consecutivas, sendo as duas
primeiras de $ 18.000 e as três últimas de $ 23.000. Considerando que o comprador tem a
opção de aplicar seu capital em um fundo de renda fixa que renda juros efetivos de 1,4% a.m.,
qual será a melhor alternativa, supondo-se que a pessoa tenha recursos para comprá-lo até
mesmo à vista.
8000 18000 18000 23000 23000 23000
|______|______|______|______|_____|
0 1 2 3 4 5
107800 i=1,4% a.m
18000 + 18000 + 23000 + 23000 + 23000 + 8000 =
VAL
(1+TMA)1 (1+TMA)2 (1+TMA)3 (1+TMA)4 (1+TMA)5
Para TIR = 1,4 a.m
18000 + 18000 + 23000 + 23000 + 23000 + 8000 -
107800 = VAL
(1+0,014)1 (1+0,014)2 (1+0,014)3 (1+0,014)4 (1+0,014)5
17751,00 + 17506,00 + 22060,00+ 21755,00 + 21455,00 + 8000,00- 107800 = 727,00
VAL = $727,00 > 0 -> a melhor opção é comprar a vista porque o VAL das prestações a TMA de
1,4% a.m. é positivo.
TIR do problema 1,645% > 1.4 % logo vale mais a pena pagar a vista o apartamento porque se
evitaria um custo do financiamento a 1,645% do que aplicar os R$ 107.800,00 a 1,4%
5 - Considere as seguintes alternativas de investimento mutuamente exclusivas:
Fluxo de caixa
Alternativas Ano 0 Ano 1 Ano 2
Alternativa A -$ 100 $ 120 $ 30
Alternativa B -$ 100 $ 40 $ 140
Determinar a taxa de desconto (juros) que faz as duas alternativas serem igualmente
atrativas para o investidor.
VAL1 = 120 + 30 - 100
(1+i)1 (1+i)2
VAL2 = 40 + 140 - 100
(1+i)1 (1+i)2
Para i=10% a.a
VAL1 = 120 + 30 - 100 =$ 33,88
(1+0,10)1 (1+0,10)2
VAL2 = 40 + 140 - 100 = $52,06
(1+0,10)1 (1+0,10)2
Para i=25%
VAL1 = 120 + 30 - 100 = $ 15,20
(1+0,25)1 (1+0,25)2
VAL2 = 40 + 140 - 100 = $ 21,60
(1+0,25)1 (1+0,25)2
Para i= 30%
VAL1 = 120 + 30 - 100= $ 10,06
(1+0,30)1 (1+0,30)2
VAL2 = 40 + 140 - 100 = $ 13,60
(1+0,30)1 (1+0,30)2
Para i=32,5
VAL1 = 120 + 30 - 100= $ 7,65
(1+0,325)1 (1+0,325)2
VAL2 = 40 + 140 - 100 = $ 9,93
(1+0,325)1 (1+0,325)2
Extrapolando:
Para uma variação na taxa de 2,5% tivemos a diferença caindo de 13,60 – 10,06 = 3,54
para 9,93 – 7,65 = 2,28, portanto uma queda na diferença do VAL1 para o VAL2 de 3,54 – 2,28
= 1,26, logo:
2,5 - 1,26
3,54 - X à X = 7,02
Logo, para i=37,02
VAL1 = 120 + 30 - 100 = $ 3,55
(1+0,3702)1 (1+0,3702)2
VAL2 = 40 + 140 - 100 = $ 3,76
(1+0,3702)1 (1+0,3702)2
I ˜ 37,02
6- A Riolight pretende instalar um gerador de energia elétrica a um custo de $ 10.000.000. Os
custos operacionais projetados são de $ 80.000/mês ao longo da vida útil do equipamento,
que foi estimada em 120 meses. Considerando que a empresa requer uma rentabilidade
mínima de 10% a.m., determinar o custo mensal que deve ser repassado aos usuários do
equipamento.
.................PMT................................
____|_____|_____|_____|.....................|___________________________________________
___________
|0 |1 |2 |3 |4 | 120
| |80.000 |80,000 |80.000 |80.000 |80.000
|10.000.000
I=10%a.m.
PMT= PMT0 + 80.000
PV = PMT . (1+ i)n -1
(1+i)n.i
10000000= ( PMT0 +80.000) . (1+ 0,10)120 -1
(1+0,10)120.0,10
PMT = $ 1.080.010,78/mês
Uma pessoa depositou $ 2.000 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais $ 2.500 e,
dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de $ 1.300. Qual será o saldo da
poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15%
a.m.?
1300
0_____1_____2______3_____4______5_______6
2000 2500
FV= PV (1+i)n ={2000 (1+0,15)5+ 2500 (1+0,15)3 } - 1300,00 (1+0,15)] =
FV = $ 6.329,90
8 - Três dívidas, a primeira de $ 2.000 vencendo em 30 dias, a segunda de $ 1.000 vencendo
em 60 dias e a terceira de $ 3.000 vencendo em 90 dias, serão liquidadas por meio de um
pagamento único de $ 6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar
daqui a quanto tempo deve ser efetuado este pagamento.
PV = 2000 + 1000 + 3000 = $5.629,76
(1+ 0,03)1 (1+ 0,03) 2 (1+ 0,03)3
FV = PV (1+0,03)n à 6000 = 5629,76 (1+0,03)n
N=2,15 = 2 mêses e 0,15 x30 dias = 2mêses e 4,5 dias
9 - Calcular a taxa efetiva anual (ou capitalizar para um ano) as seguintes taxas:
a) 2,5% a.m.; b) 4% a.b.; c) 6% a.t.; d) 10% a.s.
FV= PV (1+i)n = 1(1+0,025) 12 = 1,3449 = 34,49%
1(1+0,04) 6 = 1,2653 = 26,53%
1(1+0,06) 4 = 1,2653 = 26,53%
1(1+0,10) 2 = 1,21= 21%
- Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juro
que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a:
a) 1 mês;
b) 1 trimestre;
c) 7 meses
FV= PV (1+i)n = 1(1+0,025) 12
1,18 = 1 (1+i)12 = 1,3888 % a.m
1.18 = 1(1+i)4 = 4,2247 % a.m
1,18 = 1(1+i)1,7143 = 10,0768 a. 7m.
11- Uma empresa vende determinado produto por $ 630. O produto foi adquirido à vista,
tendo permanecido 29 dias em seus estoques antes da venda. A venda foi realizada para
pagamento em 15 dias sem acréscimo. O custo unitário de compra do produto atinge $
420,00. Outros custos de responsabilidade da empresa são:
ICMS: $ 11,50 pagos 5 dias antes de realizado a venda
IPI: $ 16,30 pagos quando da compra do produto
Impostos sobre vendas: $ 3,20 pagos 10 dias após o recebimento da venda
Sendo de 0,10% ao dia a taxa de juros considerada, pede-se calcular o resultado desta
operação comercial na data de venda.
|630
0---------------------------------------------24--------------29------------------------------- -----44------------54--
------------------------
|420 +16,30 |11,50 |3,20
R = - (420+ 16,30) (1+0,001)29 - 11,50(1+0,001)5 + 630 - 3,20
(1+0,001)15 (1+0,001)25
R = $ 156,81
12- Uma empresa de reflorestamento, em 1989, iniciou um programa de plantio de eucaliptos,
visando formar uma floresta de 20 mil hectares, dentro de um programa anual de plantio de
05 mil hectares.
As despesas são da ordem de $ 2.400 por hectare.
Levando-se em conta que:
a) As árvores começarão a ser derrubadas 8 anos após o plantio (1997).
b) Que em cada ano, serão derrubadas árvores correspondentes a 3 mil hectares, até o
último ano de corte, quando serão derrubados 2 mil hectares.
c) Que cada hectare produzirá 2.300 m3 de madeira.
d) Que as despesas com o corte da floresta são estimados em $ 16.000 por hectare.
e) Que a madeira cortada em um ano é vendida no mesmo ano,
Pede-se determinar qual deve ser o preço do m3 da madeira cortada, para que a esse
investimento corresponda uma taxa interna de juros (interna de retorno) de 15% a.a.
|->PMT=6900XR$/m3<-| PMT1=
PV-4 PV1
__________________________ __|___|___|___|____|___|___|____________________
|-4 |-3 | -2 |-1 |0 1 2 3 4 5 |6 |7 |8 |9 |10 |11
12,0 12,0 12,0 12,0 48,0 48,0 48,0 48,0 48,0 48,0 32,0
PV-4(saídas)= PMT1 .(1+ i)n -1 (Fórmula do valor atual de uma série uniforme postecipada)
(1+i)n.i
+
PMT2 . (1+ i)n -1 (Fórmula do valor atual de uma série uniforme diferida)
(1+i)m+n .i
+
PMT3 = 32.000.000
(1+0,15)15
Pv-4 = 12.000.000 (1+ 0,15)4 -1 + 48.000000 (1+0,15)6 -1 + 3.932.623,52
(1+0,15)4.0,15 (1+0,15)9+6.0,15
Pv-4 = $ 89.830.100,52 (saídas de caixa)
PV = PMT . (1+i)n-1 (Fórmula do valor presente de uma série uniforme antecipada)
(1+i)n-1 .i
PV1 = PMT (1+0,15)6-1 + 2/3 PMT
(1+ 0,15)5 .0,15 (1+0,15)6
PV1 = PMT .1,98
PV-4= PMT .1,98
(1+0,15)9
PMT.0,56 = $ $ 89.830.100,52
PMT = 159.601.606,50
Preço do M3 = 159601606,50 = $3,46/m3
20.000 X2300
13 - Uma empresa cogita realizar um investimento de expansão traduzido pela compra de
novas máquinas, cujo preço é de $400.000,00, vida útil prevista de 10 anos, valor residual de
$50.000,00. Os desembolsos operacionais anuais conseqüentes da operação dessas máquinas
são estimados em $50.000,00; os recebimentos anuais provenientes da venda dos produtos
fabricados por essas máquinas são avaliados em $120.000,00. Para uma taxa calculatória de
juros de 10% a.a., verificar a conveniência ou não da realização desse investimento.
70000 70000 70000+ 50000
0________|1_______|2_______________________..._____________|10
400.000
PV1= PMT.(1+ i)n -1(Fórmula do valor atual de uma série uniforme postecipada)
(1+i)n.i
PV1 = 70.000 . (1+0,10)10 -1 = 430.119,69
(1+0,10)10.0,10
PV= 430.119,69 + 50.000 = $449.396,86
(1+0,10)10
VAL = FCj – FC0 = 449.396,86 - 400.000,00 = $ 49.396,86 (conveniente)
SE i=20%
PV1 = 70.000 (1+0,20)10-1 = 293473,04
(1+0,20)10.0,20
PV= 293.473,04 + 50.000 = $301.548,31
(1+0,20)10
VAL = FCj – FC0 = 301.548,31 - 400.000,00 = - $ 98.451,68 (não conveniente)
SE i=15%
VAL = 363.673,03 – 400.000,00 = - $ 36.326.96
Se i=12,5%
VAL = 402497,46 -400.000,00 = $ 2.947,46
2,5 -- 39.274,42
X -- 36.326,96 X = 2,31
TIR= 15% -2,31% = 12,69 %
14 - Para dinamizar o setor de vendas, o gerente deseja publicar tabelas dos coeficientes de
financiamento por unidade de capital. Deste modo, seus vendedores poderão apresentar os
múltiplos planos de financiamento, informando ao cliente qual é a prestação em cada um,
bastando, para isso, multiplicar o valor a ser financiado pelo coeficiente. Qual é o coeficiente
em cada uma das hipóteses abaixo, se a taxa de juros for de 3,5% a.m.?
Carência Número de prestações Coeficiente
a) 3 meses 12 0,11147
b) 4 meses 12
c) 6 meses 24
d) 6 meses 36
PV = PMT . (1+ i)n -1 (Fórmula do valor atual de uma série uniforme diferida)
(1+i)m+n .i
PMTa = PV (1+i)m+n .i = 1. (1+0,035)15 .0,035 = 0,1147
(1+ i)n -1 (1+0,035)12-1
PMTb = PV (1+i)m+n .i = 1. (1+0,035)16.0,035 = 0,1188
(1+ i)n -1 (1+0,035)12-1
PMTc = PV (1+i)m+n .i = 1. (1+0,035)30.0,035 = 0,0765
(1+ i)n -1 (1+0,035)24 - 1
PMTd = PV (1+i)m+n .i = 1. (1+0,035)42.0,035 = 0,0606
(1+ i)n -1 (1+0,035)36-1
15 -Uma empresa está analisando as alternativas de compra ou de aluguel de um
equipamento com as seguintes condições:
Alternativa de compra
Preço do equipamento novo : $ 100.000
Custo de manutenção própria : $ 15.000/ano
Vida útil: 10 anos
Valor residual : desprezível
Alternativa de aluguel
Preço do aluguel, inclusive manutenção: $ 30.000/ano
Pede-se:
a) Indicar a melhor alternativa para as taxas mínimas de atratividade de 10%
a.a.
b) Se a alternativa de compra for mais onerosa, calcular a redução de preço do
equipamento necessária para tornar essa alternativa equivalente à do aluguel.
COMPRA
FC0 = 100.000
FC= PMT.(1+ i)n -1(Fórmula do valor atual de uma série uniforme postecipada)
(1+i)n.i
FC= 15.000.(1+ 0,10)10 -1 = 92.198,50
(1+0,10)10.0,10
VAL= FC +FC0 = 92198,50 +100.000,00 = - $192.198,50
ALUGUEL
VAL = 30.000. (1+0,10)10 – 1 = $ 184.337,01
(1+0,10)10.0,10
O preço do equipamento para tornar as duas alternativas equivalentes deve ser $100.000,00 –
(192.198,50 – 184.337,01) = $92.138,51 , logo a redução é de $7.861,49
16 - Uma empresa de mineração tenciona comprar uma escavadeira e duas propostas lhe são
apresentadas:
PROPOSTA A:
. Preço: $ 140.000
. Produção horária: 200 m3 de minério
. Custo horário - operador: $ 10
- combustível / lubrificante: $ 60
- manutenção: $ 15
. Vida útil: 06 anos
PROPOSTA B:
. Preço: $ 120.000
. Produção horária: 140m3 de minério
. Custo horário - operador: $ 10
- combustível / lubrificante: $ 45
- manutenção: $ 12
. Vida útil: 05 anos
Verificar qual proposta é a mais vantajosa, para taxa calculatória de juros de 12% a.a..
Considerar jornada diária de 06 horas de trabalho e 300 dias de trabalho/ano.
Proposta A
Preço = $140.000,00
Produção = 200m3 X 6 x 300 = 360.000 m3/ano
Custo Total = (10 +60+ 15) X 6 X 300 = $ 153.000,00/ano
Vida ütil = 6 anos
VAL A= PMT.(1+ i)n -1 (série uniforme postecipada entradas) - PMT.(1+ i)n -1(série uniforme
postecipada saídas)
(1+i)n.i (1+i)n.i
VAL A = 360.000 x pm. (1+012)6-1 - 153.000,00 (1+0,12)6 – 1 – 140.000,00
(1+012)6.0,12 (1+0,12)6.0,12
VAL A= 1480106,66 pm – 629045,32 -140.000,00 à
VAL A = 0
pm = 769045,32/1480106,66 = 0,5196
Pma= R$ 0, 5196/ m3
Proposta B
Preço: $120.000,00
Produção = 140 X 6 X 300 = 252.000 m3/ano
Custo Total = (10+45+12) X 6 X 300 = $ 120.600/ano
Vida útil = 5 anos
VAL B = 252.000 x pm. (1+012)5-1 - 120.600,00 (1+0,12)5 – 1 – 120.000,00
(1+012)5.0,12 (1+0,12)5 .0,12
VAL B = 1.036.074,64 pm - 494.835,72 -120.000,00
VAL B = 0
Pmb = 0,5934/m3
A produção remunera o investimento e os custos se o m3 de minério for vendido:
Para a proposta A = $ 0,5196/m3 -à MELHOR PROPOSTA
Para a proposta B = $ 0,5934/m3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01- Calcular o rendimento de $ 23.000,00 aplicado por 14 dias à taxa simples de 2,5% a.m.
02- Qual é a taxa de juros simples, que transforma $4.500,00 em um montante de $
8.100,00 em um ano?
03- Um capital de $ 50.000 aplicado a juros simples rendeu $ 1.875 em um determinado
prazo. Se o prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $ 250. Calcular a taxa de
juros simples a.a. e o prazo da operação em dias.
04- Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a., monta $ 14.000?
05- Uma pessoa depositou $ 2.000 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais $
2.500 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de $ 1.300. Qual será o
saldo da poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é
de 15% a.m.?
06- Um determinado capital, aplicado a juros efetivos de 40% a.a. durante 4 anos e 11
meses, resultou em um montante de $ 10.000. Determinar o valor do capital pela convenção
linear e convenção exponencial.
07- Uma empresa contrata um empréstimo de $ 48.700 e prazo de vencimento de 30
meses. Sendo a taxa de juro anual de 19,5% pede-se calcular o montante a pagar utilizando as
convenções linear e exponencial.
08- Duas dívidas de $ 20.000 e $ 30.000 com vencimento em 2 e 4 meses,
respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3
meses. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor deste pagamento.
09- Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo
prazo e à mesma taxa efetiva de 4% a.m. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $ 400 de
juros, e que a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totalizam $
1.032,91, calcular os capitais e o prazo.
10- Três dívidas, a primeira de $ 2.000 vencendo em 30 dias, a segunda de $ 1.000
vencendo em 60 dias e a terceira de $ 3.000 vencendo em 90 dias, serão liquidadas por meio
de um pagamento único de $ 6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m.,
determinar daqui a quanto tempo deve ser efetuado este pagamento.
11- Os rendimentos de uma aplicação de $ 12.800 somaram $ 7.433,12 ao final de 36
meses. Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta aplicação.
12- Uma pessoa deve a outra a importância de $ 12.400. Para a liquidação da dívida,
propõe os seguintes pagamentos: $ 3.500 ao final de 2 meses; $ 4.000 ao final de 5 meses; $
1.700 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo de 3% ao mês a taxa efetiva de juros
cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento.
13- Uma empresa vende determinado produto por $ 630. O produto foi adquirido à vista
pelo preço de R$ 420,00 tendo permanecido 29 dias em seus estoques antes da venda. A
venda foi realizada para pagamento em 15 dias sem acréscimo. Outros custos de
responsabilidade da empresa são:
ICMS: $ 11,50 pagos 5 dias antes de realizado a venda
IPI: $ 16,30 pagos quando da compra do produto
Impostos sobre vendas: $ 3,20 pagos 10 dias após a realização da venda
Sendo de 3% ao mes taxa de juros considerada, pede-se calcular o resultado (lucro) desta
operação comercial na data de venda.
14- Calcular a taxa efetiva anual (ou capitalizar para um ano) as seguintes taxas:
b) 2,5% a.m.; b) 4% a.b.; c) 6% a.t.; d) 10% a.s.
15- Sabe-se que a taxa nominal de uma aplicação financeira é de 12% a.a., capitalizados
mensalmente. Pede-se determinar:
Quanto valerá uma aplicação de $ 10.000 depois de 5 meses;
Taxa efetiva anual da aplicação financeira;
Taxa efetiva mensal da aplicação financeira.
16- Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de
juro que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a:
c) 1 mês;
d) 1 trimestre;
e) 7 meses
17- Calcular a taxa nominal a.a., capitalizada mensalmente, que produz um montante de $
1.933,15 a partir de um investimento de $ 1.200 aplicado pelo prazo de 3 anos.
18- Uma pessoa aplicou $ 4.000 por dois anos a juros nominais de 12% a.a., capitalizados
semestralmente. Ao término desse prazo, reaplicou o montante por três anos à taxa de juros
de 16% a.a., capitalizados trimestralmente. Calcular o valor de resgate da aplicação.
19- Os juros reais da caderneta de poupança são de 6% a.a. com capitalizações mensais.
Qual é a taxa efetiva ao ano?
20- Calcular a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa nominal
de 120% a.a. capitalizada mensalmente.
21- Um empréstimo de $ 3.000 será liquidado por meio de um único pagamento de $
3.500 no prazo de 15 meses. Sabendo que no ato da contratação foi paga uma ‘comissão’ de
15% sobre o valor emprestado, determinar a taxa nominal e efetiva no prazo e a taxa efetiva
mensal.
22- Calcular a rentabilidade nominal anual de uma caderneta de poupança que paga juros
reais de 0,5% a.m. sendo de 17,5% a correção monetária do ano.
23- Uma pessoa comprou no início de um determinado ano um terreno por $ 140.000,
vendendo-o no fim do mesmo ano por $ 220.000. Considerando uma inflação anual de 40%,
estimar o ganho real da operação.
24- Um capital aplicado durante dois anos à taxa nominal aparente de 18% a.a.
capitalizada mensalmente rendeu $ 1.500 de juros. Considerando uma inflação anual de 12%
a.a., calcular o capital e as taxas de rentabilidade aparente e real da aplicação.
25- Um investimento de $ 180 rendeu juros e atualização monetária pela inflação.
Considerando que o rendimento aparente total foi de $ 45 e os juros recebidos foram de $ 20,
calcular as taxas de rentabilidade aparente e real. Igualmente, determinar a inflação do
período.
26- Uma aplicação de $ 38.600, pelo prazo de 7 meses, gera um resgate de $48.400. Sendo
os juros reais de 1,5% a.m., calcular a taxa de correção monetária mensal e a taxa aparente
(nominal) de juros desta operação.
27- Qual o custo real mensal de uma operação de financiamento por 5 meses, sabendo-se
que os juros nominais cobrados atingem 2,8% ao mês e a inflação de todo o período, 12%?
28- Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por $ 2.000 em 1º
de setembro do mesmo ano a uma taxa simples de 6% a.m. Nas modalidades de desconto
comercial e racional simples, calcular o valor de resgate (valor nominal) do título e a taxa de
desconto efetiva linear.
29- Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes
de seu vencimento, sendo seu valor de resgate (valor nominal) igual a $ 26.000 e valor atual na
data do desconto de $ 24.436,10.
30- Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias antes do seu
vencimento, sendo seu valor de resgate (valor nominal) igual a $ 26.000 e valor atual na data
do desconto de $ 24.436,10.
31- Uma duplicata de $ 6.000 foi descontada comercialmente resultando em um crédito
de $ 5.100 na conta do cliente. Considerando taxa de desconto de 5% a.m., calcular o prazo do
vencimento do título, a taxa de desconto efetiva linear e a taxa de desconto efetiva
exponencial.
32- Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de
desconto definida pelo banco é de 3,3% ao mês. Sendo de $ 25.000 o valor nominal deste
título, e sabendo-se que a instituição financeira trabalha com o sistema de desconto “por
fora”, pede-se calcular:
f) Valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao
cliente
g) Taxa implícita simples e composta desta operação.
33- Um título de crédito com valor nominal de $ 200.000 foi descontado 63 dias antes de
seu vencimento à taxa simples de desconto de 13% a.m. Considerando a cobrança de IOF de
1% a.m. e uma TSB de 2,5%, calcular o valor do desconto comercial, o valor liberado, a taxa de
desconto efetiva linear e a taxa de desconto efetiva exponencial.
34- Um lote de LBC com valor nominal de $ 3.000.000 e prazo de vencimento de 90 dias é
adquirido no leilão do Banco Central. Considerando que a operação foi fechada a uma taxa
simples de desconto de 48% a.a., calcular o valor da operação (preço de compra) e a
rentabilidade efetiva linear da operação.
35- O valor atual de um título é de $ 159.529,30, sendo o valor de seu desconto racional,
apurado a uma taxa de juros de 5,5% ao mês, igual a $ 20.470,70. Com base nestas
informações, determinar o número de dias que falta para o vencimento do título.
36- Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $
350,00 em uma aplicação que paga juros efetivos de 5% ao mês?
37- Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas seguintes condições: $
1.500 de entrada e 3 prestações mensais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro é de
2,5% a.m., calcular o preço a vista.
38- Um financiamento de $ 450.000 foi contratado a juros efetivos de 20% a.a., devendo
ser amortizado em 12 prestações mensais postecipadas iguais. Calcular o valor das prestações.
39- Uma pessoa deseja comprar um bem cujo valor à vista, quando da compra, é de $
3.840. Para tanto, resolve efetuar quatro depósitos trimestrais iguais em uma aplicação
financeira que rende juros efetivos de 12,55% a.a. Considerando que a compra será efetuada
um trimestre após o último depósito, calcular o valor das aplicações trimestrais de modo que
seja possível efetuar a compra com o valor de resgate do investimento.
PMT1 ________PMT2 ______ PMT3_________ PMT4 ________3840
i(efet) = 12,55%.a.a= 0,9901%a.m= 1,03%a.tr.
FV = PMT . (1+ i)n -1 . (1+i) (fórmula do FV de uma SUP antecipada)
i
FV4 = FV5 = 3840 = 3800,85
(1+i)n (1+0,0103)1
Pmt = FV4 + = 3800,85 . 0,0103 = R$926,18
(1+i)n-1. (1+i) (1+0,0103)4 -1 .(1+0,0103)
-
40- Uma pessoa pode abater $ 7.500 se entregar seu carro usado na compra de um veículo
novo, cujo valor à vista é de $ 18.500. O saldo será pago por meio de uma determinada
entrada, mais 18 prestações mensais postecipadas de $ 350. Considerando que foram
aplicados juros nominais de 72% a.a. capitalizados mensalmente, calcular o valor da entrada.
41- Um financiamento de $ 20.000 será pago em oito prestações mensais postecipadas.
Considerando que a taxa de juros efetiva cobrada pela financeira é de 8% a.m., calcular o valor
de uma comissão de abertura de crédito, cobrada do cliente, que permite à financeira auferir
uma rentabilidade de 10% a.m. na operação.
PMT=?
0_____1|_______2|________________________________________8
|
i =8%am
PV = PMT . (1+ i)n -1 > Fórmula do valor atual de uma série uniforme
postecipada
(1+i)n.i (Modelo Básico)
20.000 = PMT (1+ 0,08)8 -1 PMT = R$2.983,00
(1+0,08)8.0,08
PV = PMT . (1+i)n-1 (Fórmula do valor presente de uma série uniforme
(1+i)n-1 .i antecipada)
PV = 2983,00 (1+ 0,088)8 -1 = R$ 1437,00
(1+0,088)7.0,088
42- Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de $ 1.895.395
pagando prestações mensais postecipadas de $ 500.000 a juros efetivos de 10% a.m.?
43- Um financiamento de $ 50.000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros
efetivos de 8% a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses,
calcular o valor das prestações antecipadas (primeira prestação paga no início do terceiro mês)
e postecipadas (primeira prestação paga no final do terceiro mês).
44- Um financiamento de $ 40.000 será pago em oito prestações mensais de $ 6.413,44. O
início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de
carência. Considerando juros efetivos de 3% a.m., determinar o período de carência.
45- Um empréstimo de $ 4.500 contratado em 15/08/2000 será pago por meio de 36
prestações mensais a juros efetivos de 6% a.m. Os juros são capitalizados e incorporados ao
principal já a partir da data de contratação. Considerando que a primeira prestação deverá ser
paga 45 dias depois e as restantes com intervalos de 30 dias, calcular o valor da prestação.
46- Um bem cujo valor à vista é de $ 10.000 será pago por meio de uma entrada de 20%
mais 13 prestações antecipadas mensais de $ 800 cada e mais um pagamento final junto com a
última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% a.m. e que há um
período de carência de três meses (a primeira prestação de $ 800 será paga no final do
terceiro mês), calcular o valor do pagamento final de modo que a dívida seja liquidada.
47- Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 60% a.a., capitalizados mensalmente.
Um investidor fez um depósito inicial de $ 8.000 mais 22 depósitos mensais iguais e
consecutivos, o primeiro iniciando um mês após o depósito de abertura. Considerando que no
fim do período o fundo acusa um saldo de $ 90.000, calcular o valor das aplicações mensais.
48- Um eletrodoméstico é vendido à vista por $ 8.000, ou em 4 pagamentos mensais de $
2.085,79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da
entrada admitindo uma taxa de juros de 4% a.m.?
49- Um empréstimo no valor de $ 12.500 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de
valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence de hoje a 3 meses, e
as demais seqüencialmente. A taxa de juro contratada para a operação é de 27% ao ano (taxa
efetiva). Determinar o valor de cada pagamento do empréstimo.
50- Uma pessoa irá necessitar de um montante de $ 31.000 daqui a 4 anos. Ela deposita
hoje $ 2.500 e planeja fazer depósitos mensais no valor de $ 290 numa conta de poupança.
Que taxa de juros deve esta conta pagar mensalmente para que o poupador receba o
montante desejado ao final dos 4 anos?
51- Antônio compra de um amigo um apartamento, cujo valor a vista é de $ 150.000, nas
seguintes condições: entrada de $ 50.000 mais prestações mensais postecipadas de $
18.598,04, com 1 ano de carência (primeira prestação no final de décimo segundo mês).
Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 4,5% a.m., qual é o número de prestações?
52- Para dinamizar o setor de vendas, o gerente deseja publicar tabelas dos coeficientes
de financiamento por unidade de capital. Deste modo, seus vendedores poderão apresentar os
múltiplos planos de financiamento, informando ao cliente qual é a prestação em cada um,
bastando, para isso, multiplicar o valor a ser financiado pelo coeficiente. Qual é o coeficiente
em cada uma das hipóteses abaixo, se a taxa de juros for de 3,5% a.m.?
Carência Número de prestações
a) 3 meses 12
b) 4 meses 12
c) 6 meses 24
d) 6 meses 36
53- Uma loja anuncia a venda de um televisor por $ 6.000 a vista. Um cliente está disposto
a comprá-lo por $ 2.000 de entrada, mais 36 prestações mensais. De quanto serão as
prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50% a.a.?
54- Uma casa é posta à venda por $ 500.000 a vista. Financiada, ela é vendida por 50% de
entrada e o restante em 48 prestações mensais a juros de 2,5% a.m. Tendo encontrado certa
dificuldade em vendê-la, o construtor resolveu também financiar 80% do valor referente à
entrada, facilitando em 4 parcelas trimestrais iguais, à mesma taxa de juros. Qual é o valor da
entrada, da parcela trimestral e da prestação mensal?
55- Um economista, tendo recebido $ 300.000 como prêmio de loteria, imaginou o
seguinte esquema: “Aplico este dinheiro em uma instituição que pague 2% a.m. e durante os
próximos 24 meses efetuo retiradas mensais de $ 15.000. O saldo será retirado em 2 parcelas
anuais iguais, a primeira 1 ano após o último saque mensal e a segunda no ano seguinte”. Qual
será o valor das retiradas anuais?
56- Um artigo custa $ 2.200 à vista. O pagamento a prazo implica num sinal de $ 500 e 4
mensalidades de $ 500. Qual a taxa de juros cobrada?
57- Um banco financia empreendimentos a 24% ao ano, conforme o plano que se segue:
adiciona 24% à quantia emprestada e divide o total pôr 12 para obter o valor da prestação
mensal.
Nestas condições, um empréstimo de $ 1.000 é pago em 12 mensalidades de:
$1.000 + 240 = $ 103,33
12
Qual a taxa de juros efetivamente cobrada?
58- Uma pessoa com certa quantia disponível pelo prazo de 6 meses, decide aplicá-la. No
banco de sua escolha, o gerente lhe oferece uma aplicação em RDB, visto que o prazo pelo
qual está disponível a quantia permite que se emita um RDB nominativo ao cliente.
Dados:
Quantia disponível: $ 10.000
Prazo de aplicação: 180 dias
Taxa bruta vigente no mercado: 98% a.a.
Alíquota do IR: 10% incidente sobre o rendimento bruto.
Pede-se:
a) O valor de resgate líquido da aplicação
b) A taxa líquida da aplicação
59- Um banco comercial emite e vende um Certificado de Depósito Bancário (CDB) pós-fixado
com as seguintes características:
a- Valor depositado pelo Aplicador: $ 50.000
b- Data de emissão: 27-08-96
c- Prazo: 184 dias
d- Vencimento: 27-02-97
e- Rendimento total: correção monetária idêntica à variação de TR mais juros de 7% a.a.,
pagáveis pôr ocasião do vencimento final do título.
f- Imposto de renda na fonte: 30% dos juros reais
Seja: TR (agosto/96) = 1.108,27 e TR (fevere/97) = 1.526,66
Qual o valor recebido pelo aplicador?
60- Um indivíduo obtém um empréstimo que deverá ser resgatado dentro das
seguintes condições:
Um pagamento de $ 1.500 daqui a 6 meses
Um pagamento de $ 2.500 daqui a 1 ano
Seis prestações trimestrais iguais a $ 450, carência de 18 meses (1ª prestação paga no final do
18º mês).
Calcular o valor do empréstimo para uma taxa de juros de 10% a.a., capitalizações trimestrais.
61- Uma empresa obteve um certo financiamento, obrigando-se a pagá-lo dentro das
seguintes condições:
Uma parcela de $ 120.000 daqui a dois anos;
Cinco parcelas semestrais de $ 60.000, a partir de um ano após o pagamento daquela parcela
inicial;
Uma parcela de $ 150.000, seis meses após o pagamento da última prestação anterior;
Taxa de juros de 8% a.a., capitalizações semestrais.
Após o pagamento da 2ª prestação de $ 60.000, foi feita uma reformulação do plano,
obrigando-se a empresa a pagar a dívida restante, nas seguintes condições:
Carência de 6 meses (1ª prestação paga no final do 6º mês);
10 prestações trimestrais iguais;
Uma parcela de $ 110.000, seis meses após o pagamento da última prestação trimestral;
Taxa de juros de 10% a.a., capitalizações trimestrais.
Pese-se determinar o total de juros pagos, depois de liquidada a dívida.
62- Certo indivíduo obtém para execução de sua moradia, a importância de $ 300.000
financiada pelo BNH na seguinte modalidade:
1º ano: $ 150.000;
2º ano: $ 150.000;
Carência de 3 anos (a partir do recebimento da 1ª parcela);
Pagamento inicial de $ 50.000 e o restante em 5 prestações anuais, taxa de juros de 8% a.a.,
capitalizações anuais;
Está prevista uma correção monetária, ao final da 3ª prestação, de acordo com o aumento do
custo de vida, estimada em 40% sobre a dívida restante.
Pede-se:
a- O valor da prestação após a correção monetária;
b- O total de juros pagos
63- Uma determinada empresa tem um faturamento mensal constante de $ 4.000.000 e inicia,
a partir de uma certa data, um programa de dar a seus empregados uma participação nos
lucros, com a finalidade de premiá-los pelo seu trabalho. A quantia a ser distribuída
mensalmente será de 0,50% do faturamento (mensal) da empresa e será distribuído
proporcionalmente aos salários dos seus empregados. A folha de pagamento é de $ 250.000
mensais. A quantia gerada para cada funcionário é depositada num Banco de Investimento
que tem por finalidade a sua aplicação no mercado de capitais, conseguindo uma remuneração
constante de 24% a.a. (taxa nominal, sobre as aplicações mensais). A quantia assim aplicada
somente é retirada em casos especiais, ou quando o empregado mudar de empresa ou se
aposentar.
Um determinado empregado, com salário mensal de $ 10.000, 2 anos após ter iniciado o
plano, decide comprar um apartamento no valor de $ 105.000. É possível a retirada de 20%
dos valores do fundo até aquela data; os restantes 80% serão financiados pelo Sistema Price
(prestações mensais), taxa de juros de 18% a.a. (nominal com capitalizações mensais), em 5
anos. Parte da prestação será retirada mensalmente do fundo e parte complementada pelo
funcionário ($ 1.500), retirando do seu salário.
Pergunta-se então se será possível retirar do fundo logo após completar o pagamento da
última prestação, uma quantia de $ 30.000 para atender a ampliação/melhorias do
apartamento.
Se o empregado resolver sair da empresa depois de 10 anos de implantado o sistema, qual
será o montante a retirar pelo mesmo? (considerar todas as retiradas anteriormente citadas).
64- Um indivíduo pretende construir uma casa e para isso obtém um financiamento de $
160.000, efetuando os saques na seguinte proporção:
Imediatamente: $ 50.000
1 (um) ano após: $ 50.000
2 (dois) anos após: $ 60.000
A entidade financiadora cobra juros de 10% ao ano, como garantia, sobre o saldo não utilizado
do financiamento e que são pagos no final de cada ano. Em compensação não cobra juros
sobre o saldo devedor durante o período de construção.
Concluída a construção, 03 (três) anos após o primeiro saque, o financiamento deverá ser
pago da seguinte forma:
Carência de 01 (um) ano
10 (dez) prestações anuais
Taxa de juros de 10% a.a.
Passados 04 (quatro) anos, o indivíduo, para reformar a casa recebe um financiamento
suplementar de $ 20.000, o qual acrescido da dívida restante do primeiro financiamento
deverá ser pago em 15 (quinze) prestações trimestrais, carência de 09 meses e taxa de juros de
12% ao ano, capitalizações trimestrais.
Pede-se:
Determinar o valor das prestações e o total de juros pagos.
65- Um capital de $ 130.000 aplicado por 15 meses rendeu juros reais de 5% a.m. mais
atualização monetária correspondente à inflação do período.Considerando no período da
aplicação uma inflação de 94,30%, calcular o valor de resgate.
66- Uma pessoa fez uma aplicação em dezembro de 19X1, que resgatou após um ano. O juro
aparente recebido foi de 15%. Calcular o juro real recebido, adotando como medida da
inflação no período o índice 2 da FGV (igual a 343 em dezembro de 19X2 e igual a 297 em
dezembro de 19X1).
67- O preço a vista de um carro é de $ 20.000. A agência o vende por $ 5.000 de entrada e o
restante após 6 meses, a juros efetivos de 12% a.a. mais a correção monetária. Sabendo-se
que a correção do primeiro trimestre do financiamento foi de 6% e a do segundo trimestre foi
de 10%, pergunta-se qual é o valor a ser pago ao fim dos seis meses.
68- Uma máquina cujo valor à vista é de $ 34.000 será paga em oito prestações mensais fixas
de $ 7.576,91. Considerando uma taxa real de juros na praça de 2% a.m., encontrar a taxa de
inflação projetada, embutida no cálculo das prestações.
69- Uma pessoa pretende comprar daqui a seis meses um apartamento cujo valor (hoje) à
vista é de $ 44.000. Para tanto, abre uma poupança que rende juros reais efetivos de 0,5%
a.m. mais atualização monetária pela inflação. Calcular o valor da aplicação necessária de
modo que ela possa comprar o apartamento exclusivamente com os rendimentos da
poupança (juros e correção). Considere que o preço do apartamento aumenta a uma taxa de
6% a.m. e que a inflação do período é de 40%.
70- Uma loja anuncia a venda de um conjunto de som por 3 parcelas quadrimestrais,
seqüenciais de $ 3.000, $ 4.000 e $ 5.000 mais uma entrada de $ 500. Qual deve ser o preço a
vista se a taxa de juros real for de 2% ao quadrimestre e a inflação prevista for de 8% no
primeiro quadrimestre, 7% no segundo e 6% no terceiro?
71- Uma empresa estuda a possibilidade de reformar uma máquina. A reforma está orçada em
$ 200.000 e dará uma sobrevida de cinco anos ao equipamento, proporcionando uma
diminuição nos custos operacionais da ordem de $ 75.000 ao ano. Considerando um custo de
capital de 15% a.a. e usando o método do VPL, analisar a viabilidade econômica da reforma do
equipamento.
72- Um sítio é vendido nas seguintes condições:
a) Entrada = $ 30.000;
b) 20 prestações mensais de $ 1.100 cada, vencendo a primeira daqui a 30 dias;
c) 6 prestações semestrais de $ 7.500 cada, vencíveis a partir do final do 3º mês.
Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juros, determinar até que preço é interessante adquirir este
sítio à vista.
73- Uma empresa está avaliando um investimento em uma nova unidade de negócios. O valor
a ser investido no momento zero atinge $ 1.000.000, prevendo-se os seguintes fluxos de caixa
ao final dos próximos 4 anos: $ 150.000, $ 200.000, $ 900.000 e $ 1.100.000. Admitindo que a
empresa tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto dos fluxos esperados de caixa,
determinar a viabilidade do investimento.
74- Determinada empresa transportadora está avaliando a compra de um caminhão por $
60.000. O veículo será usado durante 5 anos, após o que prevê-se um valor de revenda de $
7.200. A empresa estima, ainda, um custo anual de manutenção, combustível etc. de $ 24.000,
no primeiro ano, crescendo esse gasto aproximadamente 10% ao ano.
Segundo avaliação da empresa, são esperados benefícios líquidos de caixa gerados pelo
caminhão de $ 60.000, $ 56.000, $ 48.000, $ 40.000 e $ 36.000, respectivamente, nos
próximos 5 anos.
Para uma taxa de desconto de 12% ao ano, demonstrar se é economicamente interessante
a compra desse caminhão.
75- Um apartamento foi colocado à venda por $ 107.800. A prazo pode ser pago com uma
entrada de $ 8.000 mais cinco prestações postecipadas mensais consecutivas, sendo as duas
primeiras de $ 18.000 e as três últimas de $ 23.000. Considerando que o comprador tem a
opção de aplicar seu capital em um fundo de renda fixa que renda juros efetivos de 1,4% a.m.,
qual será a melhor alternativa, supondo-se que a pessoa tenha recursos para comprá-lo até
mesmo à vista.
76- Considere as seguintes alternativas de investimento mutuamente exclusivas:
Fluxo de caixa
Alternativas Ano 0 Ano 1 Ano 2
Alternativa A - $ 100 $ 120 $ 30
Alternativa B - $ 100 $ 40 $ 140
Determinar a taxa de desconto (juros) que faz as duas alternativas serem igualmente
atrativas para o investidor.
77- O proprietário de uma patente assinou contrato com uma empresa concedendo-lhe o
direito exclusivo de usá-la. A empresa concordou em pagar ao dono da patente as seguintes
quantias durante os 17 anos de vida da patente:
a) $ 26.000 por ano durante os primeiros quatro anos
b) $ 130.000 por ano durante os próximos oito anos
c) $ 52.000 por ano durante os últimos cinco anos.
Se o custo de capital para a empresa é de 10%a.a., qual o preço máximo que ela estará
disposta a pagar pela patente?
78- Uma empresa está estudando duas alternativas para a sua estratégia de lançamento de
novo produto no mercado:
a- Se lançado com preço baixo ficará no mercado durante 2 anos gerando benefícios líquidos
anuais depois do imposto de renda de $ 10.000;
b- Se lançado com preço alto ficará no mercado somente por um ano e gerará um benefício
líquido depois do imposto de renda de $ 18.000
Em ambos os casos o lançamento exigirá um desembolso inicial de $ 15.000 de promoção do
produto. Se a taxa de mínima é de 5% a.a., qual estratégia a ser adotada?
79- Uma máquina existente deve ser trocada. Dois novos modelos estão sendo estudados:
a- O modelo X de valor $ 15.000 com vida útil de 2 anos e que gerará um benefício líquido
anual depois do imposto de renda de $ 10.000 durante os 2 anos;
b- O modelo Y, de valor $ 15.000 com vida útil de 1 ano e que gerará um beneficio líquido
anual de $ 18.000 depois do imposto de renda.
A nova máquina será necessária por 2 anos. Se a taxa de retorno é de 5% a.a., que modelo
deve ser escolhido?
80- A Riolight pretende instalar um gerador de energia elétrica a um custo de $ 10.000.000. Os
custos operacionais projetados são de $ 80.000/mês ao longo da vida útil do equipamento,
que foi estimada em 120 meses. Considerando que a empresa requer uma rentabilidade
mínima de 10% a.m., determinar o custo mensal que deve ser repassado aos usuários do
equipamento.
81- Admita um ativo que tenha sido adquirido por $ 140.000. Este ativo tem vida útil estimada
de 7 anos e valor residual de $ 15.000 ao final da vida. Os custos operacionais do ativo atingem
a $ 20.000 no 1º ano, crescendo à taxa aritmética constante de $ 10.000/ano.
Para uma taxa de juro de 12% a.a., determinar o custo equivalente anual deste ativo.
82- Uma indústria está operando uma máquina há 3 anos, restando ainda uma vida útil
prevista de 4 anos. O custo equivalente anual desta máquina está estimado em $ 6.711,60. A
empresa recebe uma oferta para substituir sua máquina por uma mais moderna. O valor da
máquina nova é de $ 28.000, tendo um valor residual de $ 4.200. A vida útil estimada é de 10
anos, e os custos anuais de manutenção e operação somam $ 1.000.
Para uma taxa de retorno mínima de 12% a.a., pede-se determinar se a empresa deve
efetuar a substituição da máquina usada.
83- Qual das alternativas mutuamente exclusivas, A ou B, é melhor considerando um custo de
capital de 5% a.a.?
Fluxo de caixa
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3
Alternativa A - $ 14 $ 8 $ 8
Alternativa B - $ 11 $ 5 $ 5 $ 5
84- Uma empresa está analisando as alternativas de compra ou de aluguel de um
equipamento com as seguintes condições:
Alternativa de compra
Preço do equipamento novo : $ 100.000
Custo de manutenção própria : $ 15.000/ano
Vida útil: 10 anos
Valor residual : desprezível
Alternativa de aluguel
Preço do aluguel, inclusive manutenção: $ 30.000/ano
Pede-se:
a) Indicar a melhor alternativa para as taxas mínimas de atratividade de 10%
a.a.
b) Se a alternativa de compra for mais onerosa, calcular a redução de preço do
equipamento necessária para tornar essa alternativa equivalente à do aluguel.
85- Uma empresa de mineração tenciona comprar uma escavadeira e duas propostas lhe são
apresentadas:
PROPOSTA A:
. Preço: $ 140.000
. Produção horária: 200 m3 de minério
. Custo horário - operador: $ 10
- combustível / lubrificante: $ 60
- manutenção: $ 15
. Vida útil: 06 anos
PROPOSTA B:
. Preço: $ 120.000
. Produção horária: 140m3 de minério
. Custo horário - operador: $ 10
- combustível / lubrificante: $ 45
- manutenção: $ 12
. Vida útil: 05 anos
Verificar qual proposta é a mais vantajosa, para taxa calculatória de juros de 12% a.a..
Considerar jornada diária de 06 horas de trabalho e 300 dias de trabalho/ano.
86- Uma empresa estuda a troca de uma máquina velha por uma nova. Com as seguintes
informações, determinar se a máquina deve ou não ser substituída.
Máquina velha (V) Máquina nova (N)
Investimento inicial __ $ 25.000
Custo operacional $ 12.000/ano $ 8.000/ano
Vida útil 2 anos 6 anos
Custo do capital 6% a.a. 6% a.a.
87- Uma bomba instalada em um poço artesiano tem custos operacionais de $ 450/ano
considerados muito altos para o tipo de instalação. Trocá-la por um equipamento mais
moderno representaria um investimento de $ 1.230 sem valor residual. Uma projeção indica
que a nova bomba teria os seguintes custos operacionais/ano ao longo de sua vida útil:
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Custos operacionais: 0 $ 250 $ 200 $ 150 $ 100 $ 50
Considerando um custo de oportunidade de capital de 2% a.a., calcular o custo anual
uniforme equivalente das duas alternativas (trocar ou não trocar a bomba) e determinar se a
bomba deve ou não ser substituída. Não levar em consideração efeitos fiscais.
88- Atualmente a operação de um equipamento produz uma receita líquida de $ 200/ano.
Existe a possibilidade de trocá-lo por um novo equipamento orçado em $ 4.800 com vida útil
de cinco anos e sem valor residual. No caso da troca de equipamentos, o fluxo de caixa líquido
aumentará geometricamente nos próximos cinco anos de acordo com a seguinte projeção:
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Fluxo de caixa : - $ 4.800 $ 200 $ 400 $ 800 $ 1.600 $ 3.200
Considerando um custo de oportunidade do capital de 5% a.a., calcular as anuidades
uniformes equivalentes para as duas alternativas (trocar ou não trocar o equipamento) e
determinar se o equipamento deve ou não ser substituído. Por simplicidade, não considerar
efeitos fiscais.
89- Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de $ 47.000 no momento inicial, e os
seguintes benefícios esperados de caixa ao final dos três meses imediatamente posteriores: $
12.000; $ 15.000 e $ 23.000. Determinar a rentabilidade (TIR) mensal efetiva dessa operação.
90- Uma empresa contrata um financiamento de $ 25.000 para ser pago em 6 prestações
trimestrais, iguais e sucessivas no valor de $ 8.600 cada. Sabe-se que a primeira prestação será
liquidada ao final do 9º mês (três trimestres de carência). Determinar a TIR dessa operação de
financiamento.
91- Uma compra cujo valor à vista é de $ 4.000 pode ser paga com uma entrada de 20% mais
três parcelas mensais de $ 1.000, $ 2.200, e $ 1.000, respectivamente. Considerando que
existe um período de carência de três meses para início do pagamento das parcelas, calcular o
custo efetivo do financiamento.
92- Considerando um custo de capital de 12% a.a., avaliar pelo método de VPL e TIR as
seguintes alternativas mutuamente exclusivas:
Alternativa Investimento Retorno
A
B - $ 10.000
- $ 15.000 $ 12.000
$ 17.700
B – A - $ 5.000 $ 5.700
93- Uma empresa de reflorestamento, em 1989, iniciou um programa de plantio de eucaliptos,
visando formar uma floresta de 20 mil hectares, dentro de um programa anual de plantio de
05 mil hectares.
As despesas são da ordem de $ 2.400 por hectare.
Levando-se em conta que:
a) As árvores começarão a ser derrubadas 8 anos após o plantio (1997).
b) Que em cada ano, serão derrubadas árvores correspondentes a 3 mil hectares, até o
último ano de corte, quando serão derrubados 2 mil hectares.
c) Que cada hectare produzirá 2.300 m3 de madeira.
d) Que as despesas com o corte da floresta são estimados em $ 16.000 por hectare.
e) Que a madeira cortada em um ano é vendida no mesmo ano,
Pede-se determinar qual deve ser o preço do m3 da madeira cortada, para que a esse
investimento corresponda uma taxa interna de juros (interna de retorno) de 15% a.a.
94- Sejam os seguintes investimentos:
FLUXOS DE CAIXA
ANOS Projeto 1 Projeto 2
0 (155,22) (155,22)
1 100 0
2 0 0
3 100 229,96
Calcule a taxa interna de retorno dos dois investimentos. Qual seria preferível?
95- Para recuperar uma mina em exaustão um minerador necessita investir $ 100 milhões na
abertura de nova frente de lavra. A extração do minério remanescente, após a realização do
investimento referido, pode ser realizada de acordo com as seguintes alternativas:
a) Na primeira alternativa, o minério será totalmente retirado em 1 ano, a um custo total
anual de $ 220 milhões. O minério, após vendido, dará uma receita de $ 330 milhões.
b) Na segunda alternativa, o minério será totalmente retirado em 2 anos, aos custos
totais anuais de $ 60 milhões no 1º ano e de $ 215 milhões no 2º ano. As receitas anuais pela
venda do minério retirado serão de $70 milhões no 1º ano e de $ 320 milhões no 2º ano.
Pergunta-se:
a) A que taxas de retorno de investimento alternativo nenhuma das alternativas seria
aceita?
b) A que taxa de retorno de investimento alternativo seria preferida a 1ª alternativa e a
que taxas seria preferida a segunda?
96- Uma empresa obteve um contrato para a execução de uma obra de terraplanagem que
deve ser entregue em 24 meses. Para os serviços de escavação, a empresa poderá adquirir
dois tipos de escavadeira, de diferentes capacidades de produção e que são caracterizadas
pelos seguintes números:
ESCAVADEIRA TIPO A:
Custo inicial: $ 500.000
Desembolsos operacionais (semestrais): $ 42.000
Vida útil: 12 anos
ESCAVADEIRA TIPO B:
Custo inicial: $ 230.000
Desembolsos operacionais (semestrais): $ 36.000
Vida útil: 10 anos
A escavadeira tipo B, por ser de pequena capacidade, acarretará um atraso de 6 meses na
entrega da obra.
Sabendo-se que:
a) o contrato estipula multa de $ 100 por dia de atraso, a ser paga quando da entrega da
obra;
b) que as escavadeiras poderão ser vendidas a um preço igual ao valor não depreciado
(método linear de depreciação).
Pede-se determinar qual a solução de maior rentabilidade, para uma taxa calculatória de juros
de 4% por semestre.
97- Uma determinada empresa produz e transporta até o porto diversos tipos de minério. Um
destes, chamado “Pellet Feed” serve como matéria prima para uma usina de pelotização. O
Pellet Feed depois de pelotizado recebe o nome de pellet e é vendido a $ 70/t.
A empresa resolve então produzir um adicional de 3.000.000 TPA (toneladas por ano) de pellet
feed e conseqüente pelotização, pois tem mercado assegurado para a venda de pellet. Porém
surge também uma proposta para a compra do pellet feed.
Pergunta-se:
a) Se nessa proposta o preço do pellet feed for de $ 35/t, que negócio deve ela fazer: vender
pellet ou pellet feed?
b) Qual seria o preço mínimo do pellet feed para que fosse igualmente vantajoso a venda
de um ou de outro?
Dados:
1. Investimento (unitário) no pellet feed em produção e transporte até a usina ou ao navio: $
100/TPA
2. Investimento adicional em pelotização: $ 75/TPA
3. Custo operacional de pellet feed: $ 15/t (da mina à usina ou navio)
4. Custo operacional em pelotização: $ 22/t
5. Taxa calculatória de juros: 10% a.a.
6. Vida útil: 15 anos.
98- Uma ferrovia está duplicando a sua linha, porém surge um problema entre dois pontos A e
B. Nesse trecho AB existe uma cidade, cuja duplicação será bastante onerosa acarretando
ainda problemas sociais. Os problemas básicos atualmente são:
a) Condições geométricas de traçado não muito boas.
b) Devido a cortar uma cidade, a velocidade dos trens desce a níveis baixos, sendo grande o
tempo de percurso no trecho AB.
c) Paralisação de automóveis, ônibus e caminhões durante a passagem do trem.
Resolve-se então estudar além da duplicação normal e seus custos envolvidos, a construção de
uma variante com traçado externo à cidade.
Os valores envolvidos são os seguintes:
a) Custos iniciais:
a.1) Duplicação da linha existente: $ 13,5 milhões
a.2) Variante ............................... : $ 17,5 milhões
b) Economias proporcionadas pela Variante em relação à Duplicação da
linha atual:
b.1) De manutenção da linha (EM) (face às melhores condições
geométricas): $ 60.000/ano
b.2) De tempo de percurso (ETP) proporcionado pela maior velocidade do trem na
variante:
ETP = NTD x 365 x CT x t ($/ano)
Onde: NTD = nº de trens por dia = 30 trens por dia
CT = custo de 1 minuto de operação do trem: $8,00/min.
t = tempo ganho com a variante: 5 min/trem
c) Economias Sociais (função da não paralisação de veículos):
ES = NCD x 365 x TP x CP ($/ano)
Onde: NCD = nº de carros por dia que sofrem paralisação na linha atual (aproximadamente
100 veículos/dia)
CP = Custo da paralisação ($12/veículo hora)
TP = Tempo de paralisação por veículo (20 min. = 0,33h)
d) Tempo previsto de utilização da linha: 20 anos
e) Valor residual nulo
f) Taxa de atratividade para a ferrovia: 12% a.a.
Pede-se verificar a rentabilidade da “Variante” sobre a “Duplicação da linha atual”
considerando:
1) Somente as economias descritas no item b
2) Considerando também o item c.
99- Um equipamento com custo de aquisição de $ 100.000 tem uma vida útil de três anos e
um valor residual que depende do número de anos de uso: $ 60.000, $ 15.000 e $ 10.000,
respectivamente, para um ano, dois anos e três anos de uso. Os custos operacionais
projetados são de $ 20.000/ano, $ 28.000 e $ 42.000/ano, respectivamente, para cada ano de
operação. Determinar o tempo ótimo de substituição considerando-se um custo de capital de
10% a.a..
100- Um equipamento pode ser usado por cinco anos ou substituído antes deste prazo.
Considerando um custo de capital de 10% a.a., e com os seguintes VPLs para cada uma das
alternativas de substituição, calcular as anuidades uniformes equivalentes e determinar o
período ótimo de substituição do equipamento.
Ano: 1 2 3 4 5
VPL: $ 2.000 $ 5.000 $ 7.000 $ 8.000 $ 10.000
Obs.: Cada alternativa de substituição do equipamento (substituir no primeiro, no
segundo,....., ou no quinto ano) é mutuamente exclusiva em relação às outras.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1- $ 268,33
2- 80% a.a.
3- 5% a.a.; 270 dias
4- $ 6.052,59
5- $ 6.329,90
6- Convenção linear: $ 1.904,69
Convenção exponencial: $ 1.912,22
7- Convenção linear: $ 76.325,44
Convenção exponencial: $ 76.023,65
8- $ 49.571,43
9- $ 832,91; $416,46; 10 meses
10- 65 dias
11- 1,28% a.m.
12- $ 6.085,47
13- $ 156,77
14- a) 34,49% a.a.
b) 26,53% a.a.
c) 26,25% a.a.
d) 21,0% a.a.
15- a) $ 10.510,10
b) 12,68% a.a.
c) 1% a.m.
16- a) 1,39% a.m.
b) 4,22% a.t.
c) 10,14% p/ 7 meses
17- 16% a.a.
18- $ 8.085,07
19- 6,1678% a.a.
20- 132,40% a.a.
21- Taxa nominal: 16,67% em 15 meses
Taxa efetiva: 37,26% em 15 meses
Taxa efetiva mensal: 2,1336% a.m.
22- 24,75% a.a.
23- 12,25%
24- Capital: $ 3.492,41
Rentabilidade aparente: 19,56% a.a.
Rentabilidade real: 6,75% a.a.
25- Taxa de rentabilidade aparente: 25%
Taxa de rentabilidade real: 9,76%
Inflação no período: 13,89%
26- Taxa nominal: 3,29% a.m.
Correção monetária: 1,76%a.m.
27- 2,5% p/ 5 meses; 0,496% a.m.
28- Desconto comercial =>Valor de resgate: $ 2.531,65
Taxa de desconto efetiva linear: 7,5949% a.m.
Desconto racional => Valor de resgate: $ 2.420
Taxa de desconto efetiva linear: 6% a.m.
29- 3,2% a.m.
30- 3,0% a.m.
31- Prazo: 90 dias
Taxa de desconto efetiva linear: 5,88% a.m.
Taxa de desconto efetiva exponencial: 5,5667% a.m.
32- a) Desconto: $ 2.475; Valor descontado: $ 22.525
b) Taxa implícita simples: 3,66% a.m.; composta: 3,54% a.m.
33- Desconto: $ 54.600; Valor liberado: $ 136.200; Taxa linear: 22,31% a.m.; Taxa
exponencial: 20,08% a.m.
34- Valor da operação: $ 2.640.000; Rentabilidade efetiva linear da operação: 54,55% a.a.
35- 2,33 meses (70 dias)
36- $ 7.552,50
37- $ 5.000,00
38- $ 41.335,57
39- $ 891,13
40- $ 7.210,34
43- Prestações antecipadas: $ 7.738,77
Prestações postecipadas: $ 8.357,87
42-$ 1432,88
41-5 meses
44- 5 meses
45- $ 316,88
46- $ 1.106,08
47- $ 1.729,58
48- $ 1.000,00
49- $ 3.091,80; $ 3.462,80; $ 3.833,80; $ 4.204,80
50- Ao final de 3 anos: $ 292.364,22; ao final de 8 anos: $ 1.935.478,70
51- 12 prestações mensais
52- a) 0,114735; b) 0,118750; c) 0,076549; d) 0,060583
53- $ 195,35
54- Entrada efetiva: $ 50.000,00; Parcelas trimestrais: $ 59.966,81;
parcelas mensais: $ 9.001,50.
55- $ 18.581,00
56- 6,83% a.m.
57- 3,47% a.m.
58- a) $ 13.664,12; b) 36,64% (p/ 180 dias)
59- $ 70.549,00
60- $ 5.758,20
61- $ 182.157,50
62- a) $ 112.175,32; b) $ 194.809,53
63- Sim; $ 41.555,49
64- Prestação anual: $ 26.039,26
Prestação trimestral: $ 11.855,68
Total de juros: $ 118.992,24
65- $ 525.122,00
66- -0,42% a.a. (houve uma perda de 0,42% em um ano).
67- $ 18.510,00
68- 12,75% a.m.
69- $ 141.040,49
70- $ 10.396,72
71- VPL = $ 51.411,63 > 0 è Viável
72- $ 76.932,70
73- Viável, pois VPL = 315.200,62 > 0
74- É interessante, pois VPL = 18.929,23 > 0
75- VPL das prestações > 0 è Melhor opção é comprar à vista
76- i = 37,5% a.a.
77- $ 618.922,73
78- Estratégia “a” pois o VPL é maior (não pode ser repetida)
79- Modelo “b” pois o VPL é maior (pode ser repetida)
80- $ 1.080.011/mês
81- $ 74.704,40
82- CAE (máq. velha) = $ 6.711,60 > CAE (máq. nova) = 5.716,20 è Máquina nova melhor.
83- SAEA = 0,4707 < SAEB = 0,9607 è B melhor
84- a) Melhor o aluguel
b) $ 7.831,49
85- Proposta A = $ 0,52/m3 melhor que proposta B = $ 0,61/m3
86- CAEV = $ 12.000 < CAEN = $ 13.084 è Melhor manter máquina velha
87- CAEnova = $ 412,93/ano < CAEvelha = $ 450/ano è Comprar novo equipamento
88- SAEnovo = $ 61,90/ano < SAEvelha = $ 200/ano è Manter o equipamento velho
89- TIR = 2,84% a.m.
90- TIR = 14,65% a.t.
91- 7,065% a.m. (interpolação linear entre 7% e 7,5%)
92- VPLA = $ 714,29 < VPLB = $ 803,57 è Selecionar B
TIRA = 20% > TIRB = 18% e TIRB-A = 14% < i = 12% è Selecionar B
93- $ 3,19/m3
94- Se i < 14% è Projeto 2 é melhor
Se i > 14% è Projeto 1 é melhor
95- a) Se i > 10%, nenhuma alternativa seria aceita
b) Se i > 5%, “a” é preferível
Se i < 5%, “b” é preferível
96- CAEB = $ 59.139,35 < CAEA = $ 81.624,17 è B melhor
97- a) Vender pellet
b) $ 38,14/t
98- a) Inviável variante, pois VPL diferencial = $ -280.217 < 0
b) Viável variante, pois VPL diferencial = $ 799.416 > 0
99- Terceiro ano (CAE = $ 66.496/ano)
100- $ 2.200; $ 2.880,95; $ 2.814,80; $ 2.523,77; $ 2.637,98; Período ótimo: 2º.