ec3 - parte 4

Estruturas Metálicas

EC3 – Parte 1.1 / Volume IV

Série ESTRUTURAS

joão guerra martins 4.ª edição / 2011

Série Estruturas Estruturas Metálicas

II

Prefácio

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de

Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e

actualizado.

Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto,

completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno

de Engenharia Civil.

Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer

à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se

ao que se pensa omitido.

Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos

que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.

De notar que este texto tem apenas fins pedagógicos, sem nenhum interesse comercial e de

acesso gratuito e livre.

Por outro lado, a consulta e estudo da bibliografia que ajudou a criar este texto é

indispensável para a consolidação dos conhecimentos aqui contidos, não podendo este

documentos de apoio, de qualquer forma, substituir-se à mesma.

João Guerra Martins


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / I

ÍNDICE GERAL

ÍNDICE GERAL ......................................................................................................................... I

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................ III

ÍNDICE DE QUADROS ........................................................................................................... V

1. Introdução ............................................................................................................................... 1

1.1. Generalidades .................................................................................................................. 1

1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas ............................................................ 1

1.1.2. Modelos de cálculo ................................................................................................... 1

1.1.3. Classificação de secções ........................................................................................... 3

1.1.4. Comprimento de encurvadura .................................................................................. 6

2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão ......................................................... 8

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos ................................................. 12

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão:

encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler) ............................ 12

2.1.2. Elementos uniformes .............................................................................................. 16

2.1.3. Elementos não uniformes ....................................................................................... 29

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção .................................. 29

2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral

.......................................................................................................................................... 43

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial

.......................................................................................................................................... 47

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento

segundo o eixo fraco (zz’s) .............................................................................................. 47

2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas ............................ 48

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas .............................................. 50

Kz=Kw ............................................................................................................................. 50

Kw=1 ................................................................................................................................ 51

Segundo o quadro da página 71 ....................................................................................... 51



2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída ....................... 57

2.2.7. Viga em consola ..................................................................................................... 64


II

2.4. Flexão composta com compressão ................................................................................ 68

2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral .................................. 72

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral .............................. 74

2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3 ............................. 82

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas

comparações ................................................................................................................... 101

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 131

ANEXO I – Encurvadura Lateral (incluindo o Anexo F do EC3 de 1993) ........................... 132

ANEXO II – Tabelas .............................................................................................................. 146

ANEXO III – Encurvadura (em inglês) ................................................................................. 149

Types of instability at the sectional level ....................................................................... 156

Instability at the joints/nodes/connections level ............................................................. 158

Buckling domains (global, element, sectional and nodes) ............................................. 159

Material properties during the buckling process ................................................................ 161

Structural stability of frames in standard (EC3) ................................................................. 162

Final remarks & recommendations .................................................................................... 162


III

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico ................................................................................ 2

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico ................................................................................ 2

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito ................................................................... 3

Figura 4 – Comportamento de secções à flexão ......................................................................... 4

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços ...................................... 5

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura ................... 5

Figura 6A – Secções transversais da classe 4 ............................................................................ 6

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L .............. 7

Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira. .... 9

Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas

.......................................................................................................................................... 10

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos

das vigas ........................................................................................................................... 10

Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares ........................................................................ 11

Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler ........................................................................... 13

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado ........................... 15

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida,

irreal dado que não contém imperfeições. ........................................................................ 17

Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais. .. 18

Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada ....................... 19

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler .................................... 19

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de

vigas – esquema ............................................................................................................... 30

Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem .................. 30

Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial

segundo o eixo dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura

com flexão lateral (deslocamento “u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção

(rotação “ϕ”). .................................................................................................................... 31

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada . 31

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido

.......................................................................................................................................... 31


IV

Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em

bambeamento (encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral) ............................ 32

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte

flexo-torsionada ................................................................................................................ 32

Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada .. 33

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis

.......................................................................................................................................... 33

Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais

.......................................................................................................................................... 34

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça .. 39

Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza ... 40

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento ............ 40

Figura 12 D - Redução entro Mcr e λLT nornalizado................................................................. 40

Figura F.1.1 – Convenção de sinais para a determinação de Zj ............................................. 138


V

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo ..................... 7

Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais ................................................................... 12

Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 –

Cap. 6.3.1.2) ..................................................................................................................... 20

Quadro 4 – Factores de redução ............................................................................................... 20

Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal ...................... 21

Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura

lateral ................................................................................................................................ 35

Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais ............... 36

Quadro 8 – Factores de correcção Kc ....................................................................................... 37

Quadro 9 - Valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed (EC3). ................................................ 69

Quadro F.1.1 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K –

Momentos nos apoios ..................................................................................................... 136

Quadro F.1.2 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K –

cargas nos vãos ............................................................................................................... 137

Quadro A1.1 - Factores para o cálculo do momento crítico em tramos de vigas com

comprimento L e secção duplamente simétrica (Simões, 2005) .................................... 145

Quadro A2.1 - Centro de Corte e Módulo de Torção ............................................................. 147

Quadro A2.2 - Tensões tangenciais e constante de torção em secções correntes (Simões,

2005) ............................................................................................................................... 147

Quadro A2.3 - Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2005) ............... 148


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / 1

1. Introdução

1.1. Generalidades

1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas

Embora se tenha consciência que os próximos pontos já foram anteriormente abordados, mas

atendendo a um eventual estudo desfasado e dada a importância dos conceitos envolvidos,

julga-se pertinente a sua reapreciação. Em caso destes princípios estarem ainda presentes, será

de ir directamente para o ponto 5.5.2.

Devido às propriedades físicas e mecânicas do aço, a pesquisa neste campo conduziu ao

desenvolvimento de estruturas metálicas (correntes e em particular porticadas) caracterizadas

cada vez mais por elementos lineares de esbelteza considerável.

Assim, a verificação da segurança ocupa um papel fundamental no cálculo e

dimensionamento das mesmas com o intuito de salvaguardar pessoas e bens através do estudo

físico, tanto de fenómenos intrínsecos (tensões, ligações, etc), como extrínsecos (vento,

sismo, etc.). Relativamente à verificação da segurança no respeitante a estruturas de aço, o

EC3 preconiza os seguintes critérios gerais:

• Estado-limite último – estado associado ao colapso da estrutura com risco da

segurança de pessoas e bens. Na generalidade consideram-se os estados limites de

resistência, de estabilidade e de perda de equilíbrio (raramente a fadiga em estruturas

metálicas de Construção Civil).

• Estado-limite de utilização – devem ser definidos de acordo com as

condições particulares de utilização de cada estrutura. Sendo um estado limite, as suas

condições específicas de utilização deixam de ser verificadas. Na generalidade das

estruturas metálicas consideram-se os estados limites de deformação e de vibração.

1.1.2. Modelos de cálculo

Em termos de dimensionamento, deverá prever-se que nenhum estado limite relevante seja

excedido. Para tal dever-se-ão considerar todas as situações do projecto onde constem cargas

aplicadas importantes para a estabilidade da estrutura, bem como possíveis desvios

direccionais ou posicionais das acções consideradas. Jamais as acções destabilizantes poderão

ser maiores que as acções estabilizantes, sob risco de colapso e/ou deformação da estrutura.


EC3 – Volume IV 2

Em termos do número de vínculos de uma estrutura temos duas situações:

• Estrutura isostática: Sempre recorrendo a uma Análise Global Elástica, os esforços de

uma estrutura isostática devem ser determinados através da aplicação das regras de

equilíbrio estático.

• Estrutura hiperestática: O cálculo dos esforços pode ser determinado segundo duas

variantes: Análise global elástica – é baseada na linearidade das relações entre tensão e a deformação do material

em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja a tensão actuante. Existindo uma tensão actuante logo

deverá existir uma deformação no material, inter-reagindo em proporcionalidade uma em relação à outra;

Análise global plástica (comportamento rígido-plástico, elasto-plástico ou elasto-plástico perfeito) – é

baseada na plastificação de algumas zonas da estrutura (formação de rótulas plásticas) só podendo ser

efectuada se a mesma verificar determinados requisitos relativos à estabilidade global estrutural e do próprio

material. No comportamento rígido-plástico (fig. 1) desprezam-se as deformações elásticas do material.

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico

No comportamento elasto-plástico (fig. 2) admite-se que a secção se mantém perfeitamente

elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto A).

No comportamento elasto-plástico perfeito, admite-se que a secção se mantém perfeitamente

elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto B), tornando-se a seguir

perfeitamente plástica (fig. 3).

fase elástica

fase elastoplástica

fyA

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico


EC3 – Volume IV 3

fase elastoplástica perfeitafy

fase elástica

B

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito

Segundo o EC3, a escolha do tipo de análise a efectuar a uma estrutura (em particular aos

elementos estruturais e ligações) depende das condições que se passam a apresentar.

Para uma análise global plástica:

• Aços com ductilidade suficiente, verificando os requisitos estabelecidos no

subcapítulo 3.2.2.2 do EC3;

• As secções transversais onde se formem rótulas plásticas devem possuir capacidade de

rotação suficiente. No caso de as rotações requeridas não serem calculadas, as secções

devem ser da classe 1;

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem ser simétricas em relação ao plano

de acção;

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem estar contraventadas lateralmente.

Para uma análise global elástica:

• As secções transversais podem ser de qualquer classe. Se forem das classes 1 ou 2,

pode ser considerada no seu cálculo orgânico a sua resistência plástica. Se forem das

classes 3 ou 4, deve ser considerada a resistência elástica, considerando uma área

efectiva reduzida no caso de serem da classe 4 (ver fig. 4 e 5).

• Pode ser considerada a redistribuição de momentos, até ao máximo de 15%, desde que

os esforços internos continuem em equilíbrio com os carregamentos actuantes e as

secções dos membros onde se considera a redistribuição sejam das classses 1 ou 2.

1.1.3. Classificação de secções

Com base nisto, assume assim importante destaque a classificação das secções transversais

dos elementos estruturais metálicos a utilizar no processo de cálculo e dimensionamento.


EC3 – Volume IV 4

Tendo em conta as suas capacidades de rotação e de formação de rótulas plásticas, as secções

transversais podem classificar em:

• Classe 1 – são aquelas secções em que se pode formar uma rótula plástica com a

capacidade de rotação requerida por uma análise plástica;

• Classe 2 – são aquelas secções em que é possível atingir o momento plástico, mas

que possuem uma capacidade de rotação limitada;

• Classe 3 – são aquelas secções em que a tensão da fibra externa mais comprimida

do elemento de aço pode atingir o valor da tensão de cedência, mas em que o

momento plástico poderá não ser atingido, devido à encurvadura local;

• Classe 4 – são aquelas secções em que é necessário ter em conta, explicitamente, os

efeitos da encurvadura local na determinação da sua resistência à flexão ou

compressão. A redução da resistência é efectuada através do cálculo de uma secção

efectiva reduzida.

Podemos resumir graficamente (fig. 4) a classificação atrás apresentada relativa ao

comportamento à flexão de secções da seguinte forma:

Me

Mp

M

classe 4classe 3

classe 2classe 1

Ø Figura 4 – Comportamento de secções à flexão

Sendo:

eM – Momento elástico.

pM – Momento plástico.

No respeitante à máxima distribuição possível de tensões (óptimo rendimento do material), a

situação é a traduzida na figura 5, sendo visível que a configuração mais favorável será para


EC3 – Volume IV 5

um aproveitamento do domínio plástico, possível nas classes 1 e 2, e a pior a respeitante à

classe 4, em que nem é possível atingir o limite elástico na fibra mais esforçada.

fy

classe 1 e 2

fy

classe 3

fy

f < fy

classe 4

f < fyfy

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços

Segundo a definição da Classe 3, as proporções do elemento de chapa, representadas pela

relação b/t, devem ser tais que σcr exceda a resistência limite elástica, ou de plastificação, do

material, fy, de modo que a plastificação ocorra antes da encurvadura dos elementos de chapa

da secção. O comportamento ideal elasto-plástico de um elemento de chapa perfeito,

submetido a compressão uniforme, pode-se representar por um diagrama carga-esbelteza

normalizado, em que a carga de rotura normalizada:

E a esbelteza normalizada (também designada por reduzida):

Se podem colocar em ordenadas e abcissas, conforme figura 6.

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura


EC3 – Volume IV 6

No que respeita à classe 4, mais frequente em secções enformadas a frio ou soldadas, admite-

se a existência de fenómenos de instabilidade local que impedem que se desenvolva toda a

capacidade elástica resistente da secção (analisar fig. 3). O EC3 preconiza que a avaliação da

resistência seja efectuada com base numa secção efectiva reduzida, descontando, nesta

análise, as zonas susceptíveis de instabilizar localmente (fig.6A).

No caso de numa peça existirem elementos de classes diferentes, a classe da secção da mesma

será sempre dada pela maior classe dos elementos comprimidos (a mais desfavorável).

Secção Transversal Bruta Secção Transversal Efectiva

eixo neutro zona não efectiva

Mesecção efectivaeixo neutro da

Figura 6A – Secções transversais da classe 4

Define-se assim uma área efectiva, havendo a necessidade de deslocar o eixo neutro da peça

devido à supressão de parte da massa (zona não efectiva). Este conceito envolve dois

aspectos: o cálculo da largura efectiva e a sua localização na secção.

1.1.4. Comprimento de encurvadura

No caso genérico da instabilidade de uma estrutura, normalmente estuda-se o comportamento

de uma barra comparando-a coma sua congénere articulada nos seus extremos, de secção

constante e com uma carga axial também constante aplicada em toda a sua longitude, da qual

se conhece bem o seu comportamento. Na prática, salvo raras excepções, não é possível

encontrar esta situação teórica que serve de padrão. Além disso, com a variação da carga ao

longo da peça (p.e. devido às suas imperfeições de fabrico ou de aplicação no local) esta pode

ser de secção transversal variável.

Para uma barra isolada, de secção constante e com apoios perfeitos, considera-se o

comprimento de encurvadura como o comprimento de uma barra fictícia, bi-rotulada nos

extremos, sujeita a uma determinada carga axial, constante ao longo de todo o seu

comprimento.

De uma forma geral:

• Pórtico de nós fixos: o comprimento de encurvadura é inferior ao comprimento real da


EC3 – Volume IV 7

peça – sendo, no máximo, o da peça;

• Pórtico de nós móveis: o comprimento de encurvadura é superior ao comprimento real

da peça – sendo, no mínimo, o da peça.

0.70.5 1.0 1.0 2.0 2.0

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L

Nos tipos de secções transversais normalmente usadas em elementos comprimidos (pilares)

laminados a quente, a encurvadura relevante é geralmente a encurvadura por flexão de peça e

utiliza-se o termo encurvadura por “varejamento”.

Resumindo e associando a análise global material (ou física) com a classificação das secções

podemos construir, sinteticamente, a tabela 1.

Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo

Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo

Modelo Método de análise global (cálculo de esforços internos e momentos) Cálculo da resistência da secção da peça

I Plástico Plástico (Classe 1)

II Elástico Plástico (Classe 1 e 2)

III Elástico Elástico (Classe 3)

IV Elástico Elástico com encurvadura (Classe 4)


EC3 – Volume IV 8

2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão

Devido às elevadas tensões resistentes do aço, o cálculo e o dimensionamento de estruturas

metálicas correntes, e em particular de estruturas porticadas, tende a ser condicionado pelos

fenómenos de (i) instabilidade global, (ii) ao nível do elemento (especialmente dos pilares),

(iii) da secção (local) ou (iv) das ligações. A avaliação do comportamento de um pórtico, em

termos de estabilidade global, é condicionada pelo facto de ter deslocamentos laterais

significativos (nós móveis) ou não (nós fixos).

Genericamente, no caso de não existirem deslocamentos globais laterais expressivos da

estrutura (pórticos de nós fixos), a verificação da segurança do pórtico em termos de

estabilidade passa por verificar a encurvadura por:

Varejamento (também designada de encurvadura por flexão, já que a compressão gera flexão

segundo o eixo de menor inércia, com um deslocamento lateral perpendicular à acção da

força, que é aplicada segundo o eixo longitudinal da peça) das barras comprimidas (em geral

dos pilares), no plano do pórtico ou perpendicularmente a este (para fora do plano);

Bambeamento, ou a encurvadura lateral (ou flexo-torsional) de barras submetidas a esforços

de flexão.

Ou seja, estuda-se unicamente possíveis fenómenos de instabilidade local.

Em pórticos de nós móveis terá que se verificar a sua estabilidade global, concomitantemente,

sem prejuízo que face à mobilidade própria destas estruturas, com deslocamentos laterais não

desprezáveis, os efeitos locais serem agravados (a encurvadura local é mais gravosa).

A verificação da segurança dos elementos depende essencialmente de uma correcta definição

dos comprimentos de encurvadura, no caso de elementos à compressão, e dos comprimentos

entre secções contraventadas lateralmente, no caso de elementos submetidos à flexão.

A possibilidade de instabilidade de partes da secção terá que ter sido em conta naquelas que

se classificam na classe 4, devendo ser removidas do cálculo da sua resistência as porções que

potencialmente empenem.

Nas secções da classe 3 apenas podemos efectuar um aproveitamento elástico do material.

Nas secções da classe 1 e 2 podemos efectuar um aproveitamento plástico do material.

Segue-se a apresentação de algumas situações que traduzem problemas de instabilidades por

encurvadura, bem como a apresentação de imagens de peças em pós-encurvadura.


EC3 – Volume IV 9

Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira.


EC3 – Volume IV 10

Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos das vigas



Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares

Numa súmula que se antecipa o estudo a efectuar, podemos adiantar:

Os aspectos mais destacados da encurvadura de elementos estruturais resumem-se no Quadro

2;

A estabilidade de pórticos sem deslocamentos laterais horizontais está controlada pela

estabilidade de cada uma das colunas individualmente;

A estabilidade de um pórtico com deslocamentos horizontais está controlada pela rigidez à

flexão das colunas e das vigas, bem como da rigidez das ligações das vigas-coluna (e de todos

os elementos em geral, ainda que mais importante nos elementos citados).

A forma mais eficaz de melhorar a resistência à encurvadura é incrementar as dimensões das

secções transversais, introduzir reforços ou restrições de apoio adequadas para modificar o

modo de encurvadura para valores de energia mais elevados.



Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos

O comprimento de encurvadura de um elemento uniforme, ou seja, com secção transversal

constante, integrado num pórtico, pode ser definido como o comprimento de uma barra

fictícia, bi-rotulada, que, para um dado carregamento, instabilizaria em simultâneo o pórtico.

Considera-se que na ausência de qualquer esforço o eixo da peça é perfeitamente rectilíneo.

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão:

encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler)

Leonhard Euler estabeleceu a carga crítica de encurvadura de uma peça comprimida

axialmente (fig. 8A) quando se verificam as seguintes condições.

• As deformações são suficientemente pequenas (teoria das tensões de segunda ordem);

• O material cumpre infinitamente a lei de Hooke, bem como as hipóteses de Navier;

• O eixo da peça é perfeitamente recto e a carga axial Ν de compressão está

exactamente centrada no seu eixo;



• Os extremos da peça são perfeitamente articulados e os deslocamentos encontram-se

suprimidos na direcção perpendicular à directriz da barra, sendo a sua secção

constante em todo o seu desenvolvimento longitudinal;

• A peça encontra-se num estado tensional neutro, sem tenções residuais ou de qualquer

outro tipo.

N

l

máx.f=f sen

máx.f

l

x

Zy

N

z

Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler

Tendo em conta as condições de Euler, considera-se a carga crítica de Euler, NE, como:

2

2

lIEN E

π=

Com:

• NE – carga crítica de Euler

• E – módulo de elasticidade

• I – momento de inércia da secção

l – comprimento de encurvadura da peça

A barra poderá permanecer recta conservando a sua forma primitiva, ou adoptar uma posição

definida pela equação:

lzsenAf .. π

=

Sendo “f”a deformada/excentricidade da barra.

À carga axial, NE, corresponde a tensão σE:



ΑΝ= EEσ

Com:

A - Área da secção transversal da barra;

σE - Tensão crítica de Euler.

Ao aproximar “N” do valor de “NE” a peça pode permanecer recta, se não existir causa que a

demova desta posição, ou iniciar a sua encurvadura, se existir alguma causa que altere o seu

equilíbrio (imperfeições da sua forma, excentricidade da carga aplicada, etc.).

Quando o esforço axial é acompanhado de uma flexão, máxvN . , criando-se uma tensão

máxima máxσ definida pela expressão:

wfN

AN máx

máx.

+=σ

Com:

N - Esforço axial de compressão

vmáx - Flecha no centro da coluna

A - Área de secção transversal

w- Módulo de elasticidade da secção no plano em que se dá a flexão da barra.

fmáx - Flecha máxima da barra.

Para valores de “N” ligeiramente superiores a “NE”, a flecha máxima “fmáx” deduz-se da

seguinte expressão:

Emáx NNlf Δ≅ ..9.0

Com:

ENNN −=Δ

Na realidade a peça encurvará antes de se atingir “NE”, já que as suposições teóricas são, na

prática, impossíveis de cumprir (por exemplo, não há peças com eixo perfeitamente recto,

verticalidade absoluta ou carga completamente centradas), dadas as imperfeições existentes.

Na figura 8A pode-se observar uma peça que, sujeita a uma flexão “Me=N×e” provocada pela

carga “N”, possui já uma deformada inicial que produz também o, consequente, momento-

flector com essa excentricidade eo: Meo=N×eo.



Daqui surge uma tensão de flexão máxima σB, Figura 8 B a), que somada a N e à tensão

residual σR origina a distribuição de tensões que se apresenta na figura 8 B b). Se σmax é maior

que a tensão de cedência (limite elástico), a distribuição final de tensões será parcialmente

plástica e uma parte do elemento entraria em cedência por compressão, como se vê na figura 8

B c).

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado

No caso de elementos comprimidos axialmente a capacidade de resistência desta peça deduz-

se da seguinte expressão (EC3 - Cap 6.3.1.1):

Secções de classe 1, 2 ou 3

1,

M

yRdb

fAN

γχ ××

=

Secções de classe 4

1,

M

yeffRdb

fAN

γχ ××

=



Com:

yf - Tensão de cedência do aço

A – Área total da secção

Aeff – Área efectiva da secção transversal de classe 4

effA - Área da secção efectiva da peça e A área total da secção.

χ - É o factor de redução para o modo de encurvadura relevante.

1Mγ - Coeficiente de segurança.

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).

2.1.2. Elementos uniformes

Se considerarmos o elemento uniforme, ou seja, com secção constante ao longo de todo o seu

desenvolvimento (secções transversais constantes), sujeito a uma compressão axial também

constante, o valor do factor de redução para o modo de encurvadura relevante:

χ

Que corresponde à esbelteza adimensional, reduzida ou normalizada:

_λ

E pode-se determinar a partir da expressão:

5,02_2

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=

λφφ

χ

Mas com 1≤χ (EC3 - Cap 56.3.1.1).

Em que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2__2,015,0 λλαφ

;

α = factor de imperfeição – ver quadro 1;

λ – Coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional.

Este coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional pode ser identificado como:

• 11

11λπλ

λλi

LEf

iL

NfA CryCr

cr

y ==== - Secções de classe 1, 2 ou 3



• 11

/1λπλ

λλAA

iL

Ef

AA

iL

AA

NfA effCryeffCreff

cr

yeff ==== - Secções de classe 4

Em que:

NCr – Carga crítica elástica (carga critica de Euler)

επλ 3,931 ==

yfE

il=λ ε = Factor em função do tipo de aço calculado a partir da expressão:

5,0235

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yfε

, com “fy” em N/mm2.

A relação entre estas grandezas pode ser apreciada na Figura 8C, sendo usado “LE”

(comprimento de encurvadura segundo o conceito de carga crítica de Euler, no qual não

existem imperfeições).

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida, irreal dado

que não contém imperfeições.

Na realidade, e uma vez que existem imperfeições, ensaios experimentar reais ficam abaixo

da linha que traduz a carga crítica de Euler para cada valor da esbelteza normalizada,

conforme círculos da Figura 8D.

Através do coeficiente de encurvadura, χ , que vem em função de esbelteza adimensional, o

Eurocódigo 3 (EC3) minora a resistência do aço em compressão axial (ver quadro 2).

O factor de imperfeição (α) depende da curva de encurvadura da peça, relacionada entre χ e

λ .



Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais.

Conforme a figura 9A e 9B e o quadro 4.

As curvas têm o seguinte significado:

• A curva a0 (a defenir)

• A curva a representa formas quase perfeitas, perfiles I laminados a quente (h/b >

1,2) com banzos delgados (tf <= 40 mm) sem encurvadura perpendicular ao eixo

maior; também representa perfis tubulares laminados a quente.

• A curva b representa formas com imperfeições médias: define o comportamento da

maioria dos perfiles em caixão soldados, de perfis I laminados a quente que encurvam

segundo o eixo menor, de perfis I soldados com banzos delgados (tf <= 40 mm) e de

perfis I laminados com banzos de espessura média (40 < tf <= 100 mm) que encurvam

pelo eixo maior. Respeita também às secções tubulares laminadas a frio, tomando-se a

resistência média depois do elemento laminado.

• A curva c representa formas com muitas imperfeições: os perfis U, L e T estão nesta

categoria, bem como as secções em caixão soldadas, as tubulares laminadas a frio e

calculadas com a resistência plástica da chapa antes de laminar. Ainda podem caber

nesta classe os perfis H laminados a quente de chapas grossas (h/b <= 1,2 e tf <= 100

mm) que encurvam pelo eixo menor e alguns perfis I soldados (tf <= 40 mm), que

encurvam pelo eixo menor e tf > 40 mm e que encurvam pelo eixo maior.

• A curva d representa formas com o máximo de imperfeições: aplica-se a perfis I

laminados a quente com chapas muito grossas (tf > 100 mm) e secções I soldadas

muito grossas (tf > 40 mm), que encurvam pelo eixo menor.



Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada

Importa fazer notar que as curvas de encurvadura fixaram-se para elementos articulados

carregados axialmente num extremo, se as condições forem diversas corrigir o comprimento

de encurvadura.

EULER

0,2

0,20

0

0,4

0,6

0,8

Curvas de Encurvadura

1,00,80,60,4 1,81,61,41,2

ac

bd

(Eurocódigo)

2,0

1,0

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler

Assim, o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura e pode ser obtido através

do quadro 3.



Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 – Cap. 6.3.1.2)

Factores de imperfeição α Curva de encurvadura a0 a b c d Factor de imperfeição α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

O factor de redução da encurvadura poderá ser obtido directamente ou por interpolação

através dos valores do quadro 4, em função da curva de encurvadura e da esbelteza

normalizada.

Quadro 4 – Factores de redução

Factores de redução χ

_

λ Curva de encurvadura

a b c d 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

1,0000 0,9775 0,9528 0,9243 0,8900 0,8477 0,7957 0,7339 0,6656 0,5960 0,5300 0,4703 0,4179 0,3724 0,3332 0,2994 0,2702 0,2449 0,2229 0,2036 0,1867 0,1717 0,1585 0,1467 0,1362 0,1267 0,1182 0,1105 0,1036

1,0000 0,9641 0,9261 0,8842 0,8371 0,7837 0,7245 0,6612 0,5970 0,5352 0,4781 0,4269 0,3817 0,3422 0,3079 0,2781 0,2521 0,2294 0,2095 0,1920 0,1765 0,1628 0,1506 0,1397 0,1299 0,1211 0,1132 0,1060 0,0994

1,0000 0,9491 0,8973 0,8430 0,7854 0,7247 0,6622 0,5998 0,5399 0,4842 0,4338 0,3888 0,3492 0,3145 0,2842 0,2577 0,2345 0,2141 0,1962 0,1803 0,1662 0,1537 0,1425 0,1325 0,1234 0,1153 0,1079 0,1012 0,0951

1,0000 0,9235 0,8504 0,7793 0,7100 0,6431 0,5797 0,5208 0,4671 0,4189 0,3762 0,3385 0,3055 0,2766 0,2512 0,2289 0,2093 0,1920 0,1766 0,1630 0,1508 0,1399 0,1302 0,1214 0,1134 0,1062 0,0997 0,0937 0,0882

Poderemos saber, assim, de uma forma expedita a percentagem da secção que é aproveitada

mediante os esforços aplicados.



Em termos do EC3, quando ocorre a encurvadura por flexão (varejamento) de uma peça, a

curva de encurvadura apropriada pode ser determinada através do quadro 5.

Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal

Quando se tratem de secções que não estejam classificadas neste quadro, deverão ser

consideradas de forma análoga às nele classificadas. As curvas de encurvadura apresentadas



neste quadro tipificam um comportamento padronizado que reflecte a relação entre a

esbelteza da peça e o seu próprio comprimento de encurvadura.

A tabela 5 ajuda a seleccionar a curva de encurvadura conveniente em função do tipo de

secção, seus limites dimensionais e o eixo pelo qual pode ocorrer a encurvadura. Em secções

tubulares conformadas a quente, fyb é a resistência plástica à tracção e fya é a resistência média

plástica. Se a secção em estudo não é idêntica às descritas, deve classificar-se analogamente.

2.1.2.1. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 sem contraventamento

Dados:

• fy = 235 (MPa ou N/mm2)

• 1/235 == yfε

Verifique a resistência para Nx,Ed= 2800 kN admitindo um pilar com 10m de vão encastrado

na base, não contraventado, logo com possibilidade de encurvar livremente.



Não existem contraventamos, nem segundo o eixo dos yy’s (eixo forte), nem segundo o eixo

fraco (que corresponde a o eixo do zz’s).

- Perfil HEA 500.

- NxEd= 2800 kN.

- S235 (fy=235 MPa)

2761074,2102

200 =

××

==⇒= −z

z il

il λλ

A esbelteza “λz” corresponde ao eixo fraco (zz’s), bem como “iz” corresponde ao raio de

giração segundo este eixo (zz’s).

O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.

1235235235

===fy

ε

3,9313,933,931 =×=×= ελ



Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada:

94,29,93

276

1

===λλλ

Para escolher a curva de encurvadura europeia:

2,167,1300500

≥==bh

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “b”.

Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução):

1º) Pelo gráfico:

χ ≈ 0.10

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor

da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “b”.



2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos:

103,0≈χ

3º) Através da utilização da expressão:

22

1λφφ

χ−+

= , mas χ ≤1

Em que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2__2,015,0 λλαφ

Sendo “α” factor de imperfeição.

Aplicação das fórmulas apresentadas:

!,1103,094,229,529,5

112222

Ok≤=−+

=−+

=λφφ

χ

Pois:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2__2,015,0 λλαφ

( )[ ] 29,594,22,094,234,015,0 2 =+−+=φ

Já que:

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à

encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3):

kNfA

NM

yRdb 478

110235105,197103,0 34

1, =

××××=

××=

−

γχ

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 2800 kN.



2.1.2.2. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento

total segundo o eixo fraco (zz’s)

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado segundo

o eixo fraco (zz´s).

Neste exercício contraventamos o eixo dos zz’s (eixo fraco), só podendo existir encurvadura

segundo o eixo forte (que corresponde a o eixo do yy’s).

- Perfil HEA 500.

- NxEd= 2800 kN.

- S235 (fy=235 MPa)

23,951021102

200 =

××

==⇒= −y

y il

il λλ

A esbelteza “λy” corresponde ao eixo forte (yy’s), bem como “iy” corresponde ao raio de

giração segundo este eixo (yy’s).

O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.

1235235235

===fy

ε

3,9313,933,931 =×=×= ελ

Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada.



01,19,9353,95

1

===λλλ

Para escolher a curva de encurvadura europeia temos a mesma relação que a anterior: h/b>1,2.

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “a”.

Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução):

1º) Pelo gráfico:

χ ≈ 0.67

A azul destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor da

esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”.




67,0≈χ


22

1λφφ

χ−+

= , mas χ ≤1

Em que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2__2,015,0 λλαφ

Sendo “α” factor de imperfeição.


!,167,001,1084,1084,1

112222

Ok≤=−+

=−+

=λφφ

χ

Pois:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2__2,015,0 λλαφ

( )[ ] 084,101,12,001,121,015,0 2 =+−+=φ

Já que:



kNfA

NM

yRdb 3091

110235105,19767,0 34

1, =

××××=

××=

−

γχ

Ou seja, este perfil com contraventamento verifica um esforço axial de 2800 kN.

2.1.2.3. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento

parcial segundo o eixo fraco (zz’s)

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado,

parcialmente, segundo o eixo fraco (zz´s):



A meio da sua altura, por espias ao solo;

A meio e no seu topo, por espias ao solo.

A solução seria idêntica ao exercício 2.1.2.1., mas em que:

A meio da sua altura, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de:

ml 10520 =×=

• Uma vez que a partir de meio do pilar este pode varejar livremente, estando

simplesmente apoiado nas espias a meio do seu vão mas livre acima destas.

A meio e no seu topo, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de:

ml 5510 =×=

• Uma vez que até meio do pilar e a partir de meio deste, o mesmo só pode varejar entre

os pontos de contraventamento (ligação às espias), estando simplesmente apoiado nas

mesmas.

2.1.3. Elementos não uniformes

Para os elementos cuja secção transversal pode variar ao longo do seu comprimento (não

uniformes), a resistência à encurvadura pode ser determinada através de uma análise de

segunda ordem, a qual deve incluir uma imperfeição inicial. Deste modo, considera-se a peça

já deformada (devido às imperfeições) antes da aplicação de qualquer esforço, ou seja, o seu

eixo não é perfeitamente recto.

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção

Suponha-se uma viga nas condições da figura 10. Esta viga é suportada em dois apoios que

impedem os deslocamentos e as rotações no plano da secção e submetida a uma flexão

constante provocada por dois momentos flectores “M” aplicados nos seus extremos.

Assim, a parte superior da viga encontra-se comprimida e, ao mesmo tempo, a parte inferior

permanece traccionada.

Esta compressão na zona superior pode provocar, quando o momento-flector alcança um

determinado valor, Momento Crítico - “MCr”, um fenómeno de instabilidade denominado

bambeamento (ou encurvadura lateral ou, ainda, encurvadura por flexo-torção), que consiste

em deformações transversais acompanhadas de rotações que as diferentes secções da viga

sofrem. A peça instabiliza quando a sua zona comprimida atinge tensões que ultrapassam a

sua capacidade resistente flexo-torsora, fugindo lateralmente da sua posição de equilíbrio e



sofrendo torção (dado o banzo comprimido tender a deslocar a secção lateralmente – para fora

do seu eixo longitudinal inicial, enquanto o traccionado a tenta manter na sua posição inicial).

Para efeitos de cálculo, o comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as

duas extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente, pode, pelo lado da segurança, ser

considerado igual ao seu comprimento nominal.

Por outro lado, poderá também ser determinado através de esquema informativo do

Eurocódigo 3, conforme volume anterior sobre este assunto.

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de vigas – esquema

tracções

Mh yy

compressões

Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem



Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial segundo o eixo

dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura com flexão lateral (deslocamento

“u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção (rotação “ϕ”).

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido



Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em bambeamento

(encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral)

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte flexo-

torsionada



Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis



Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais

Tendo em conta que a viga não está contraventada lateralmente (senão não se daria o

fenómeno de bambeamento ou encurvadura lateral), o valor de cálculo do momento resistente

à encurvadura lateral é dado pela expressão:

Método Geral: 1

,M

yyLTRdb

fWM

γχ=

Wy = Wpl,y em secções de classes 1 e 2

Wy = Wel,y em secções de classe 3

Wy = Weff,y em secções de classe 4

LTχ = Factor de redução para a encurvadura lateral correspondente à esbelteza

normalizada LTλ .

O factor de redução para a encurvadura lateral:

LTχ

Pode ser determinado a partir da expressão:

22

1

LTLTLT

LTλφφ

χ−+

=

Mas com 1≤χ .



Em que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= −2

_

2,0.15,0 LTLTLTLT λλαφ,

Correspondente à esbelteza normalizada: cr

yyLT M

fW=λ

E “Mcr” é o momento elástico crítico relativo à encurvadura lateral de uma viga.

No caso desta viga ser de secção transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, nas

condições padrão de restrições nos apoios, submetida a uma carga no eixo da sua alma e a um

momento uniforme, este momento elástico crítico é dado por:

2 2 222

1 1 12 2 2 2 21 1E w w wzCR T z T z T

T T

EI EI EIEIM C GI EI C GI EI C GIL L GI L L GI L L

π π πππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ou:

2 22 2 2 2

1 12 2 2 2 2 2

22 2

1 2 2 2

2 2

1 2 2

E w wz z zCR T T

z

wzT

z

wz T

z z

EI EIEI EI EI LM C GI C GIL L L L EI L

EIEI LC GIL EI L

IEI GI LCL EI I

π ππ π ππ

πππ

ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

Com “C1=1”. Sendo “C1” uma constante que pode ser obtida no Anexo I deste texto e

depende de várias condições (apoio, carregamento, etc.) e “αLT” é o factor de imperfeição

dependente da curva de encurvadura, conforme Quadro 6.

Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral

Em geral, com o parâmetro de imperfeição “αLT” igual a 0,21 relativamente a secções

laminadas, e igual a 0,49 quando se tratar de secções soldadas.



As curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais para este método

alternativo apresentam-se no quadro 7.

Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais

Secção Limites Curva da encurvadura

Secções I ou H laminadas h/b≤2 a

h/b>2 b

Secções I ou H soldadas h/b≤2 c

h/b>2 d

Outras secções - d

Como método alternativo aplicável a secções laminadas ou soldadas equivalentes:

22

1

LTLTLT

LTλβφφ

χ−+

=

Com:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

≤

2

11

LTLT

LT

λχ

χ

( )[ ]2,15,0 LToLTLTLTLT λβλλαφ +−+=

Em que 0,LTλ e β são parâmetros a definir pelos Anexos Nacionais do EC3, sendo

recomendados actualmente os seguintes valores limites:

⎩⎨⎧

≥

≤

75,04,00,

βλLT ;

LTα é o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura;

LTλ é o coeficiente de esbelteza normalizada, obtido da mesma forma

que no método geral;

Mcr é o momento crítico elástico.

Para este tipo de secções (laminadas ou soldadas equivalentes) temos um valor mais

favorável para o valor inicial da esbelteza normalizada que corresponde ao começo da

instabilidade elástica (0,4 em vez de 0,2).



De acordo com esta segunda metodologia, a forma do diagrama de momentos flectores ao

longo do elemento, entre secções contraventadas, pode ser tida em conta modificando o

coeficiente de redução χLT para:

fLT

LTχ

χ =mod, , mas 0.1mod, ≤LTχ

Os valores de f serão definidos nos Anexos Nacionais do EC3; actualmente, no EC3-1-1 é

proposta a seguinte expressão para o cálculo deste factor:

[ ]2)8.0(0.21)1(5.01 −−−−= LTcKf λ , mas f ≤ 1.0

Sendo kc um factor de correcção, definido de acordo com o quadro 8.

Quadro 8 – Factores de correcção Kc

A verificação da encurvadura lateral, segundo o método alternativo proposto no EC3-1-1,

pode ser dispensada se for verificada pelo menos uma das seguintes condições:



4.0≤LTλ ou 16.0/ ≤crEd MM

Considerando-se:

LT

__λλ =

LTχχ =

Os valores do factor de redução para a encurvadura lateral (correspondente à esbelteza

normalizada) pode ser obtido através do quadro 4 tendo em conta que:

• Para secções laminadas com 21,0=α - curva a;

• Para secções soldadas com 49,0=α - curva c.

Para consulta do quadro 4, que determina o valor do factor de redução, é necessário calcular o

valor da esbelteza normalizada a partir da expressão:

Em que:

5,0

1235.9,93 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yfλ

ou 5,0

1 .9,93 ελ = ( )2mmNemf y

Sendo:

5,0235

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yfε

Analogamente, LTλ pode-se calcular também pela expressão:

• cr

yyLT M

fW=λ , Secções de classe 1, 2 ou 3

• ==cr

yeffyLT M

fW ,λ , Secções de classe 4

Também pode ser relacionado por:

• ( ) 5,01

_

. wLTLT βλλλ =

Com:

( ) επλ .9,93. 5,01 == yfE

( ) 5,0235 yf=ε (com yf em N/mm2)

wβ = 1 para secções transversais das classes 1 e 2

yplyelw WW ..=β Para secções transversais da classe 3



yplyeffw WW ..=β Para secções transversais da classe 4

Esta expressão é equivalente à apresentada neste subcapítulo para cálculo de λ (encurvadura

por varejamento ou flexão).

Por outro lado, o valor da esbelteza normal para a encurvadura lateral, relativo a todas as

secções transversais, pode ser aproximado por:

( ) 5,0.

2 .. cryplLT MWEπλ =

A informação necessária para o cálculo directo de CrM ou de LTλ encontra-se em bibliografia

da especialidade.

Há, no entanto e conforme figuras 12A a 12C, duas situações possíveis:

• Quando a λ ≤ λ1 (ou 4≤LTλ laminadas ou soldadas equivalentes ou 2≤LTλ em geral)

não é necessário considerar a encurvadura lateral, dada a rotura ser plástica (por razões

de colapso do material e não de geometria da peça);

• Uma viga perfeitamente contraventada não necessita de ser verificada relativamente à

encurvadura lateral. Inclui-se neste caso uma viga que suporte uma laje, dado que esta

última dá-lhe estabilidade suficiente desde que impeça os movimentos do banzo

comprimido da viga (de notar que no caso de momentos negativos, situação normal

nos apoios de continuidade, o travamento deverá ser efectuado no banzo inferior, por

exemplo através de varões oblíquos que partem da base da alma para as madres ou

laje).

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça



Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento

Figura 12 D - Redução entro Mcr e λLT nornalizado



Diga-se que, em geral e para casos de flexão em vigas com secções I e H laminadas, o factor

λLT pode ser determinado pela expressão (expressão F.20 do antigo Anexo F do EC3 de

1993):

25,02

5,01 /

/2011)(

/9,0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

f

z

zLT

thiLC

iLλ

Também o factor C1 (Quadro F.1.2. do antigo Anexo F do EC3 de 1993) varia pouco, para

cargas distribuídas (e mesmo concentradas), independentemente das condições de apoio da

viga (segundo o eixo dos yy’s e dos zz’s), podendo tomar-se o valor unitário (C1=1), em geral

e para as situações correntes.

De notar que este factor é colocado sob raiz quadrada na fórmula de λLT, o que ainda mais faz

tender para 1 a sua dispersão em torno deste valor. Por outro lado, considerar C1=1 é, em

geral, conservativo, portanto seguro (verificar tabela F.1.1 e F.1.2 do antigo Anexo F do EC3

de 1993).

Contudo, no caso de trechos de barras sem carregamentos, e com variação de momentos

significativa, esta simplificação, embora possa ser aplicada, por ser igualmente segura, é um

tanto menos económica (consultar-se a tabela respectiva F.1.2 do antigo – 1993 – Anexo F do

EC3).

No que trata ao momento crítico de uma secção, de que atrás se apresentou a sua fórmula

genérica:

2 2 222

1 1 12 2 2 2 21 1E w w wzCR T z T z T

T T


π π πππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Estamos em presença de uma grandeza extremamente importante na aferição da estabilidade

da peça, verificando-se que este momento crítico de um elemento submetido a flexão depende

de diversos factores, como sejam (Simões, 2005):

• Carregamento (forma do diagrama de momentos flectores);

• Condições de apoio;

• Ponto de aplicação da carga em relação ao centro de corte da secção;

• Comprimento do elemento entre secções lateralmente contraventadas;

• Rigidez de flexão lateral;

• Rigidez de torção;



• Rigidez de empenamento.

De facto, a resistência de um elemento à encurvadura lateral depende, principalment,e do

valor do momento crítico. Sendo complexa e pouco exequível a dedução de uma expressão

exacta para avaliação do momento crítico em cada caso, adoptam-se, em geral, fórmulas

aproximadas.

Por outro lado, o comportamento de elementos à flexão, no que respeita aos fenómenos de

encurvadura lateral, é análogo ao verificado em elementos à compressão, tendo em conta a

analogia entre Ncr e Mcr, do que:

• A capacidade resistente de elementos pouco esbeltos (muito estáveis) é condicionada

pelo valor do momento plástico da sua secção transversal (Mpl);

• A capacidade resistente de elementos muito esbeltos (pouco estáveis) é condicionada

pelo valor do momento crítico associado à encurvadura lateral (Mcr);

• A capacidade resistente de elementos de esbelteza intermédia é condicionada pelos

valores de Mpl e Mcr (interacção entre fenómenos de plasticidade e instabilidade -

eslasticidade).

O comportamento de uma peça em relação à encurvadura lateral pode ser melhorado de várias

formas, tais como (Simões, 2005):

• Aumentando a rigidez de flexão lateral e/ou torção, aumentando a secção ou passando

de perfis menos estáveis, ou mais esbeltos (tipo IPE) para outros mais estáveis, ou

menos esbeltos (tipo HEA ou HEB) ou ainda para secções tubulares (quadradas,

rectangulares ou circulares);

• Contraventando lateralmente a parte comprimida da secção (banzo comprimido no

caso de secções em I ou H) passível de instabilizar.

Comummente, a segunda solução é mais económica, embora por vezes não seja viável. Os

componentes de contraventamento devem ligar a zona comprimida das secções a pontos com

deslocamento lateral nulo ou muito atenuado, como apoios exteriores ou zonas traccionadas

de perfis adjacentes. Sendo habitual considerar-se estes elementos para resistir a uma

percentagem não inferior a 1% da força máxima de compressão que se pode desenvolver no

elemento a contraventar, o valor de 2.5% será mais recomendável.

Como é óbvio, não é necessário verificar a encurvadura lateral no dimensionamento de

elementos à flexão (Simões, 2005):



• Secções em I ou H flectidas em torno do eixo de menor inércia (a secção jamais

poderá instabilizar segundo o eixo forte);

• Viga contraventada lateralmente por meio de elementos metálicos ou por uma laje em

betão (neste último caso para momentos positivos);

• Secções com elevada rigidez de flexão lateral com torção, como as secções fechadas

ocas (secções com momento crítico muito elevado).


2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral

Dados:

• fy = 235 (MPa ou N/mm2).

•

Verifique a resistência para uma viga com 10m de vão, simplesmente apoiada, com carga

distribuída e momento máximo a meio vão de My,Ed= 600 kNm, não contraventada, logo com

impossibilidade de encurvar livremente.

- Perfil HEA 500, sendo da Classe 1 em flexão pura, conforme tabela acima.



- My,Ed= 600 kNm.

- S235 (fy=235 MPa)

1235235235

===fy

ε

3,9313,933,931 =×=×= ελ

Sendo que “ LTλ ” corresponde a esbelteza normalizada:

cr

yeffyLT M

fW ,=λ

Ou:

( ) ( ) 5,05,01 13,93// ×== LTwLTLT λβλλλ

Calculando a esbelteza de forma aproximada por:

( )( )

6,119037,1

124

023,0/5,01024,7/10

20111

1024,7/109,0

//

2011)(

/9,025,022

2

25,02

5,01

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×+×

××=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−

−

f

z

zLT

thiLC

iLλ

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C1=1,132.

Temos:

( ) ( ) 28,13,93/6,11913,93// 5,05,01 ==×== LTwLTLT λβλλλ

Para escolher a curva de encurvadura europeia (em flexão lateral):

267,1300500

<==bh

Secção Limites Curva da encurvadura

Secções I ou H laminadas h/b≤2 a

h/b>2 b

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia (em flexão lateral) “a”.

Métodos para calcular o valor de χLT (factor de redução):



1º) Pelo gráfico:

χLT ≈ 0.48

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor

da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”.


48,0≈LTχ


22

1

LTLTLT

LTλφφ

χ−+

= , mas com 1≤χ .

Em que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= −2

_

2,0.15,0 LTLTLTLT λλαφ

Sendo “αLT” o factor de imperfeição.


!,1484,028,143,143,1

112222

OkLTLTLT

LT ≤=−+

=−+

=λφφ

χ

Pois:



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= −2

_

2,0.15,0 LTLTLTLT λλαφ

( )[ ] 43,128,12,028,121,015,0 2 =+−+=LTφ



kNmfWfW

NM

yplyLT

M

yyLTRdb 449

110235103949484,0 36

1

,

1, =

××××=

××=

××=

−

γχ

γχ

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 600 kNm, segundo

esta metodologia.

Se optasse-mos por determinar a esbelteza normalizada através da expressão:

cr

yeffyLT M

fW ,=λ

Aproximadamente:

( )

2

1 2

2

2

1

210 6 5643 91 80,8 6 309,3 8 210 6 10370 8 110 10 80,8 6 309,3 8

5437107 1, 47 7984096 88710 10

E wCR T z

T

EIM C GI EIL L GI

E EE E E EE E

kNm

ππ

π π

π π

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞× × −= × − × × − +⎜ ⎟× × −⎝ ⎠

= × = =

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C1=1,132 (de

notar que se utilizou um valor conservativo para “C1”, mas tal foi o critério utilizado nos 2

métodos, não surgindo daí conflito numérico).

Do que:

025,105,1887928

88710235103949 36

, ===×××

==−

cr

yplyLT M

fWλ

O que surge como um valor inferior ao calculado pelo outro processo e do qual surgiria um

momento resistente superior (≈ 613kNm, para χLT ≈ 0.65) e satisfatório.

De reparar que esta disparidade não é de estranhar, dado a forma como chegamos ao factor de

redução (χLT) é bastante diferente.



De reparar que se aproveitássemos o método alternativo, aplicável a secções laminadas ou

soldadas equivalentes, surgiria:

( )[ ]2,15,0 LToLTLTLTLT λβλλαφ +−+=

Em que são recomendados actualmente os seguintes valores limites:

• ⎩⎨⎧

≥

≤

75,04,00,

βλLT

Então, por exemplo, com:

• ⎩⎨⎧

=

=

86,04,00,

βλLT

Teríamos:

( )[ ] ( ) ( )[ ] 3,128,186,04,028,121,015,015,0 22, =×+−+=+−+= LToLTLTLTLT λβλλαφ

!,165,028,13,13,1

112222

OkLTLTLT

LT ≤=−+

=−+

=λφφ

χ

Ou seja, o momento crítico elástico em consideração corresponde à viga ser de secção

transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, o que é caso, pelo que é correcto utilizar o

método alternativo. É normal que, por processos diferentes mas igualmente legítimos e

normativos, se chegue a variações que podem chegar a 20 a 30%.

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada a um

terço do vão, segundo o eixo fraco (zz´s).

O raciocínio seria o mesmo, contudo o comprimento de encurvadura (LCr) cairia para

10m×(2/3), dado o travamento ser a 1/3, restando 2/3 do vão sem contraventamento.

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento segundo

o eixo fraco (zz’s)

Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada segundo

o eixo fraco (zz´s), em toda a sua extensão.

Neste caso estaríamos na presença de χLT ≈ 1, ou seja, não haveria possibilidade de

encurvadura lateral (ou bambeamento).



2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas

Averiguar a estabilidade lateral de uma viga de ponte grua formada por uma secção de 750 x

222 x 222 (IPE) com um perfil em Ou de 400 x 110 x 71,8 unido ao banzo superior, com aço

S235.

Os pontos de encastramento efectivo lateral e contraventamento estão a intervalos de 10 m e o

momento de rotura de cálculo é 2000 kNm.

Propriedades das secções:

Secções em U Secções em I

Secções compostas:



Para calcular é necessário calcular antes o momento elástico crítico Mcr.

Então, para um valor de kw = 1,0 e k = 1:

(Note-se que C2 não faz falta)

Já que o eixo neutro plástico (PNA) está na viga, o módulo plástico pode-se calcular deste

modo:



Área abaixo do diagrama

(Ver diagrama) = Área abaixo do PNA - Área abaixo da linha central

Portanto:

Modulo plástico da viga carril:

Sendo:

1

Aplicando a curva (a) 5.5.2 do Eurocódigo 3

Que supera o valor de “Msd” de 2000 kN.

Adopta-se esta secção.

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas

Kz=Kw



Kw=1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

411,059,0

35,1

3

2

1

CCC

Segundo o quadro da página 71

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

×××××

+×

+×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××××

×=

zjCzjC

zjCzgCIzEH

iGlKzIz

lKzIzIw

KwKz

lKzIzECM

t

cr

32

32)(

5.0

22

222

2

2

1π

( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−+

+×××××××

+

+××

×

×××××

×=

2,236411,059,0

2,236411,059,0

102995410210106,6868100012000

1029954106,23401

1200010299541021035,1

5.0

2

432

42

4

122

2

432

ππ

crM

KNm7,16974=

Ou, pela expressão genérica:

2 2 222

1 1 12 2 2 2 21 1E w w wzCR T z T z T

T T


π π πππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×××

×××+×××××××= 42

12624346

106,6868100012000106,234010210

1102995410210106,68610814

wECR

IM

ππ

7,12150=ECRM

KNmMM ECRmcr 4,164037,1215035,1 =×=×= α

39,04,16403

102351010438 36, =

×××==

−

CR

yyplLT

MfW

λ

( )[ ]22,015,0 LTLTLTLT λλαφ +−+=

( )[ ] 60,039,02,039,021,015,0 2 =+−+=LTφ



22

1

LTLTLT

LT

λβφφχ

−+=

95,039,06,06,0

122=

−+=LTχ

23,18361

1023510822595.03

6

1,, =

××××== −

M

yYPLLTRdd

fWM

γχ


Uma viga de 9,8 m de vão está carregada por vigas transversais situadas a 4,3 m e 6,6 m do

extremo esquerdo. Ambos extremos da viga, e os dois pontos onde incide a carga, podem

considerar-se totalmente restringidos lateralmente à torção.

A composição de momentos na viga é:

A - Extremo esquerdo: M = 130 kNm

B - Ponto 1ª da viga: M = 260 kNm

C - Ponto 2ª viga: M = 208 kNm

D - Extremo direito: M = 0 kNm

Verificar se uma secção de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço S235 satisfaz. Todos os momentos

correspondem a carga de rotura. A viga e o diagrama de momentos:



Há que comprovar a estabilidade lateral dos segmentos AB, BC e CD.

Propriedades da secção:

Segundo a tabela F.1, notando que k = 1

Aplicando a curva (a), tabela 5.5.2 do Eurocódigo 3



Já que a resistência à encurvadura é maior do que o momento aplicado em cada segmento,

adopte-se a secção 500 x 200 x 90, 7 IPE.


Comprovar a capacidade de uma peça de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço Fe360 para suportar

uma sobrecarrega de 24 kN repartida uniformemente num vão de 6 m.



Os extremos estão unidos pela alma aos banzos dos pilares, mediante eixos duplos,

simplesmente apoiada.

Com os extremos restringidos deste modo, é razoável supor que a viga trabalha como se

estivesse simplesmente apoiada, num plano vertical e com restrição total contra a flexão

lateral e a torção nestes pontos. Para simplificar este primeiro problema, presume-se que a

carga incide à altura do centro de corte (que coincide com o centróide ou centro de

gravidade). Pode incluir-se carga no banzo superior para o cálculo de λLT.

Classificação da secção:

→ A secção escolhida é da classe 1.



Segundo a Tabela F.1.2, para carga repartida e vendo que não há restrição presente aos

extremos e que k = 1,0:

Sendo:

Para um vão de 6m, simplesmente apoiado:

Como o momento de resistência supera este valor, a secção verifica.

Adopte-se: 500 x 200 x 90,7 (IPE).



2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída

A viga representada na figura abaixo é simplesmente apoiada. Para um carregamento

constituído por uma carga uniformemente distribuída de 25 kN/m, (já majorada), seleccione a

viga económica e segura utilizando um perfil HEA, em aço S355 (E = 210 GPa e G = 81

GPa), segundo o EC3-1-1, 2010 (versão portuguesa). Despreze-se a restrição à flexão vertical

(em torno de y), à flexão lateral (em torno de z) e ao empenamento nas secções fora dos

apoios. Considere, no entanto, que o tipo de ligação utilizada impede a rotação das secções de

apoio em torno do eixo da viga (eixo x), nos apoios.

Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída

i) Diagrama de esforços

Para o carregamento indicado, considerado a verificação do estado limite último de

resistência, obtém-se os diagramas de esforços indicados na figura abaixo. Como a viga não é

restringida lateralmente, o seu dimensionamento é condicionado pela verificação da

resistência das secções mais esforçadas, mas também pela possibilidade de encurvar, bem

como pela verificação do estado limite de deformação.

Diagramas de esforços



Analisando os diagramas de esforços, verificam-se MEd = 200.0 kNm e VEd = 100.0 kN,

dado a secção se meio vão ser a mais esforçada e com igual possibilidade de encurvar.

Na verificação da estabilidade da viga considera-se a possibilidade de não ser contraventada

lateralmente nas secções de aplicação das cargas.

ii) Pré-dimensionamento à flexão – efectuando um pré-dimensionamento à flexão, admitindo

uma secção de classe 1 ou 2, obtém-se a seguinte solução:

336

,3

, 4.563104.5630.1/103550.200 cmmWWM yplyplEd =×≥⇒××≤= −

HEA 240 (Wpl,y = 744.6 cm3 ).

iii) Verificação da classe da secção (Quadro 5.2 do EC3-1-1)

Secção de Classe1:

Alma à flexão,

3.5881.072729.215.7

164=×=<== ε

tc

OK!

Banzo à compressão,

3.781.0999.712

212/5.72/240=×=<=

−−= ε

tc

KO!

Secção de Classe 2:


1.881.010109.712

212/5.72/240=×=<=

−−= ε

tc OK!

Secção de Classe 2:


1.881.010109.712

212/5.72/240=×=<=

−−= ε

tc OK!



Logo, conforme os cálculos, a secção HEA 240 submetida a flexão, em aço S355, é de classe

2.

iv) Verificação do esforço transverso

Sendo a área de corte da secção HEA 240 dada por por Av = 25.18 cm2, vem:

kNVVkNV RdplRdcEd 1.5160.1

3/103551018.250.10034

,, =×××

==<=−

Como 3.581/81.072/725.275.7/206/ =×=<== ηεww th (tomando conservativamente η

= 1), não é necessário verificar a encurvadura por esforço transverso.

Logo a secção HEA 240 verifica a segurança em relação ao esforço transverso.

v) Interacção flexão – esforço transverso

Como kNVkNV RdplEd 1.258%500.100 , =<= , não é necessário reduzir o momento resistente

por causa do esforço transverso.

vi) Verificação do estado limite de deformação

A seguir verifica-se o estado limite imposto para a deformação vertical máxima, para uma

viga simplesmente apoiada com o carregamento em análise, o deslocamento máximo, a meio

vão, é dado por (para carga uniformemente distribuída):

EIpl

máx 3845 4

=δ

Sendo “EI” a rigidez de flexão da secção transversal da viga.

Para a secção HEA 220, o deslocamento máximo é dado por:

mmLmmmEI

plmáx 7.26

300327327.0

1077631021038481005

3845

86

44

=>==××××

××== −δ



Logo insuficiente.

Passando à secção HEA 500, obtém-se:

mmLmmmEI

plmáx 7.26

3002.290292.0

10869701021038481005

3845

86

44

=>==××××

××== −δ

Também insuficiente. Passando à secção HEA 550, obtém-se:

mmLmmmEI

plmáx 7.26

3007.220227.0

101119001021038481005

3845

86

44

=<==××××

××== −δ

Logo a solução é a secção HEA 550 com 3

, 4622cmW ypl = e A = 83.72cm2 .

vii) Encurvadura lateral (sem contraventamentos intermédios)

Considerando um perfil da série HEA, tendo em conta o efeito da encurvadura lateral,

agravado pelo facto do elemento não ter qualquer elemento de contraventamento lateral,

adopta-se a secção HEA 550.

As principais características geométricas desta secção são: Wpl,y = 4622 cm3 , Iy = 111900

cm4 , Iz = 10820 cm4 , IT = 351.50 cm4 e IW = 7189×10–3 cm6 .

As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G =

81 GPa.

De acordo com os dados fornecidos, as condições de apoio da viga em análise são

semelhantes às do “caso padrão”, considerado no estudo da encurvadura lateral. Sendo o

carregamento constituído por uma carga uniformemente distribuída, aplicada no banzo

superior, o momento crítico pode ser obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto):

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )()(

)()( 32

5.0

2322

22

2

2

1 jgjgz

Tz

z

W

w

z

z

zcr zCzCzCzC

EIGILk

II

kk

LkEI

CMπ

π

Sendo L = 8.00 m, considerando kz = kw = 1.0, C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (obtidos

no Anexo 1 deste texto):

)( sag zzz −=



Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em

relação ao centro de gravidade da secção:

02

5402

540=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=gz

Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y,

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos

iguais).

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

×−×−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−×+

×××××××

+××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××××

=−

−

−

−

−

)0525.0045.0()0525.0045.0(

1010820102101050.3511081)81(

1010820107189

11

)81(10108201021012.1

5.0

2

862

862

8

152

2

862 ππcrM

kNmM cr 7.1118= 5.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cr

yyLT

MfW

λ

Wy = Wp,y em secções de classe 1 e 2; Wpl,y = 4622×10– 6 m3.

21.17.1118

103551046225.0365.0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

cr

yyLT

MfW

λ

Sendo 21.0=LTα (curva a) - secção laminada em H, com h / b = 540/300 = 1.8 < 2

[ ]2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαφ +−+=

[ ] 34.121.1)2.021.1(21.015.0 2 =+−+=LTφ

5.022 )(1

LTLTLTLT λφφ

χ−+

=

52.0)21.134.1(34.1

15.022 =

−+=LTχ

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por:

kNmMkNmM EdRdb 0.2002.8530.11035510462252.0

36

, =>=×

×××= −



A classe da secção HEA 550 é obtida com base na verificação das seguintes condições

(Quadro 5.2 do EC3-1-1):

• Alma à flexão, 3.5881.072720.35

5.12438

=×=<== εtc

(Classe 1)

• Banzo à compressão, 3.781.0999.4

24272/5.122/300

=×=<=−−

= εtc

(Classe 1)

Secção HEA 550 é de classe 1.

viii) Encurvadura lateral (com contraventamentos intermédios)

Se a viga for contraventada lateralmente a meio vão (através de uma viga secundária ou outro

dispositivo que impeça os deslocamentos laterais do banzo comprimido e, consequentemente,

as rotações dessas secções em torno do eixo da viga) o comportamento em relação à

encurvadura lateral é beneficiado. O problema agora consiste em avaliar a resistência à

encurvadura lateral do troço de viga com 4.00m de comprimento, submetido a um diagrama

de momentos flectores constante (MEd = 200.0 kNm), como se ilustra na abaixo. O momento

crítico da viga não é agravado pelo facto de a carga ser aplicada no banzo superior, pois são

aplicadas em secções assumidas como lateralmente contraventadas.

Viga contraventada lateralmente a meio vão



Para o perfil HEA 550 em aço S 355, as principais características geométricas desta secção

são: Wpl,y = 3949 cm3 , Iy = 86970 cm4 , Iz = 10370 cm4 , IT = 309.30 cm4 e IW =

5643×10–3 cm6 .

As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G =

81 GPa.

O momento crítico obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto):

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )()(

)()( 32

5.0

2322

22

2

2

1 jgjgz

Tz

z

W

w

z

z

zcr zCzCzCzC

EIGILk

II

kk

LkEI

CMπ

π

Sendo L = 4.00 m, considerando kz = kw = 1.0 , C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (Anexo 1

deste texto);

)( sag zzz −=

Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em

relação ao centro de gravidade da secção:

02

5402

540=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=gz

Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y,

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos

iguais).

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

×−×−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−×+

×××××××

+××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××××

=−

−

−

−

−

)0525.0045.0()0525.0045.0(

101037010210103.3091081)41(

1010370105643

11

)41(10103701021012.1

5.0

2

862

862

8

152

2

862 ππcrM

kNmM cr 7.2054=

5.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cr

yyLT

MfW

λ

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 3949×10– 6 m3.

83.07.2054

103551039495.0365.0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

cr

yyLT

MfW

λ

Sendo 21.0=LTα (curva a) ; secção laminada em H, com h / b = 490/300 = 1.6 < 2



[ ]2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαφ +−+=

[ ] 91.083.0)2.083.0(21.015.0 2 =+−+=LTφ

5.022 )(1

LTLTLTLT λφφ

χ−+

=

78.0)83.091.0(91.0

15.022 =

−+=LTχ


kNmMkNmM EdRdb 0.2005.10930.11035510394978.0

36

, =>=×

×××= −

Logo o perfil HEA 500 em aço S 355 é a solução. A secção submetida a flexão pertence à

classe 1.

2.2.7. Viga em consola

Dimensione a viga em consola ilustrada na figura abaixo, utilizando uma secção IPE em aço

S355 (E = 210 GPa e G = 81 GPa), para o carregamento indicado, aplicado no banzo superior

do perfil. Verifique o estado limite último de resistência (γ = 1.50) e o estado limite de

deformação (γ = 1.00), considerando um deslocamento máximo admissível de L/200.

Viga em consola com uma carga uniformemente distribuida



i) Flexão e esforço transverso

Diagramas de esforços

Majorando as cargas com γ = 1.50, a viga fica submetida a um esforço transverso, com VA =

62.50×1.5 = 93.8 kN e VB = 0.0 kN e a um momento flector, com MA = 78.13×1.5 = 117.2

kNm e MB = 0.0 kN .

Por conseguinte os esforços de dimensionamento são: VEd = 93.8 kN e MEd = 117.2 kN .

Como se trata de uma viga em consola procede-se ao pré-dimensionamento da secção de

forma a limitar a deformação máxima na secção de extremidade (estado limite de

deformação), considerando uma carga dada por mkNpEd /252500.1 =×= .

Com base na fórmula de cálculo do deslocamento elástico na secção de extremidade de uma

consola submetida a uma carga uniformemente distribuída, obtém-se:

mmmLIEI

LpEdBmáx 5.120125.0

2005.2

2001021085.225

8 6

44

===≤××

×=== δδ

445 3.4650106503.4 cmmI =×≥⇒ −



Consultando uma tabela de perfis da série IPE, obtém-se a secção IPE 270 com Iy = 5790

cm4.

Admitindo que a secção anterior pertence à classe 1 ou 2, o seu momento flector resistente é

dado por:

kNmfWM MOyyplRdc 8.1710.1/10355100.484/ 36,, =×××== −γ ,

Sendo a resistência à flexão verificada através da condição:

kNmMkNmM EdRdc 2.1178.171, =>=

Sendo a área de corte dada por Av = 22.14 cm2, a resistência da secção ao esforço transverso

é verificada através da seguinte condição:

kNfA

VkNVMO

yvRdplEd 8.453

30.1103551014.22

38.93

34

, =×

×××==<=

−

γ

Para a alma não reforçada, considerando conservativamente η = 1, vem:

3.580.181.072728.37

6.66.249

=×=<==ηε

w

w

th

Logo, segundo 6.2.6 (6) do EC3-1-1, é dispensada a verificação da encurvadura da alma por

esforço transverso.

A interacção entre o momento flector e o esforço transverso (segundo 6.2.8 do EC3-1-1) deve

ser verificada na secção de encastramento.

Como nessa secção:

kNVkNV RdplEd 9.2268.45350.050.08.93 , =×=×<=

Não é necessário reduzir o momento flector resistente da secção.

A verificação da classe da secção, segundo 5.5 do EC3-1-1, é efectuada com base nas

seguintes condições:

Alma do perfil à flexão,

3.5881.072723.336.6/6.219/ =×=<== εtc

Banzo comprimido do perfil,



3.781.0998.42.10

152/6.62/135=×=<=

−−= ε

tc

Como ambas as partes da secção são de classe 1, a secção é globalmente de classe 1, sendo

válida a hipótese considerada na verificação da flexão.

ii) Encurvadura lateral

A secção pré-dimensionada (IPE 270) possui as seguintes propriedades geométricas: Iz =

419.9 cm4 , IT = 15.94 cm4 , IW = 70.6×10–3 cm6 , Wpl,y = 484.4 cm3 .

Para o material utilizado, as principais propriedades mecânicas são: E = 210 GPa , G = 81

GPa e fy = 355 MPa .

De acordo com Anexo 1 deste texto:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+=

22 )1.0(69.11)1.0(3.11)2(10

)1.0(96.11)1.0(4.1127

ε

ε

ε

εLGIEI

KLGIEI

M TzTzcr

Onde:

35.1

5.21094.151081106.7010210

286

562

2

2

=××××××××

== −

−ππLGI

EIK

T

W

43.035.1270

)2/270(22=

×==

ππε K

hyQ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+

×××××××−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+

×××××××=

−−

−−

2

8686

2

8686

)1.043.0(69.11)1.043.0(3.11

5.21094.151081109.41910210)235.1(10

)1.043.0(96.11)1.043.0(4.11

5.21094.151081109.4191021027crM

kNmM cr 4.1632=

5.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cr

yyLT

MfW

λ

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 484×10– 6 m3.

32.04.1632

10355104845.0365.0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

cr

yyLT

MfW

λ



Sendo 21.0=LTα (secção laminada em I, com h / b ≤ 2);

[ ]2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαφ +−+=

[ ] 56.032.0)2.032.0(21.015.0 2 =+−+=LTφ

5.022 )(1

LTLTLTLT λφφ

χ−+

=

98.0)32.056.0(56.0

15.022 =

−+=LTχ


kNmM Rdb 5.1680.110355104.48498.0

36

, =×

×××= −

Como:

kNmMkNmM EdRdb 2.1175.168, =>=

É verificada a segurança em relação à encurvadura lateral, sendo a solução constituída por um

perfil IPE 270 em aço S 355.

2.4. Flexão composta com compressão

O Eurocódigo 3, parte 1-1 (EC3-1-1), apresenta expressões gerais para a flexão composta com

compressão, em que fenómenos de instabilidade sejam potencialmente condicionantes. Essas

expressões, a seguir reproduzidas, correspondem fundamentalmente a expressões de

interacção linearizadas em que cada termo estabelece a percentagem de utilização

correspondente a cada um dos esforços relevantes (esforço axial, momento flector segundo a

maior inércia e segundo a menor inércia).

Onde:

NEd, My,Ed e Mz,Ed são os valores de cálculo do esforço axial de compressão e dos

momentos flectores máximos solicitantes em torno de y e z, respectivamente;



ΔMy,Ed e ΔMz,Ed são os momentos devidos à variação do centro de gravidade em

secções de classe 4;

χy e χz são os factores de redução devido à encurvadura por flexão (compressão

simples) em torno de y e de z, respectivamente, avaliados de acordo com a

cláusula 6.3.1 do EC3-1-1;

χLT é o factor de redução devido à encurvadura lateral ou encurvadura por flexo-

torção (flexão pura), avaliado de acordo com a cláusula 6.3.2 do EC3-1-1 (χLT =

1.0 para elementos não susceptíveis de encurvar lateralmente);

kyy, kyz, kzy e kzz são factores de interacção dependentes dos fenómenos de

instabilidade e de plasticidade envolvidos, obtidos de acordo com o Anexo A do

EC3-1-1 (Método 1) ou com o Anexo B (Método 2).

Os valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed são avaliados de acordo com a tabela 9 (EC3),

dependendo da classe da secção transversal do elemento em análise.

A 1ª fórmula (em cima) traduz o efeito introduzido pelo momento na encurvadura em torno

do eixo yy, enquanto que a 2ª fórmula (em baixo) representa o mesmo efeito mas agora em

torno do eixo zz.

Na realidade, o aumento do esforço axial de compressão amplifica os momentos de 2ª ordem

em torno dos eixos “yy” e “zz”, resultando num comportamento em conjunto das

instabilidades dos diferentes eixos.

Quadro 9 - Valores de NRk = fyAi, Mi,Rk = fyWi e ΔMi,Ed (EC3).

No EC3-1-1 são apresentados dois métodos para o cálculo dos factores de interacção kyy, kyz,

kzy e kzz:

• O Método 1, desenvolvido por um grupo de investigadores Franco-Belga;

• O Método 2, desenvolvido por um grupo de investigadores Austro-Alemão.



O EC3 estabelece ainda que nos Anexos Nacionais do Eurocódigo 3 poderão ser dadas

indicações acerca do método a adoptar.

Em elementos não susceptíveis de sofrer deformações de torção, assume-se que não existe

o risco de ocorrer encurvadura lateral, sendo a estabilidade do elemento assegurada pela

verificação da encurvadura por flexão em torno de “y” e em torno de “z”.

Este procedimento consiste na aplicação da equações (1a) (encurvadura por flexão em torno

de “y”) e (1b) (encurvadura por flexão em torno de “z”), respectivamente, considerando χLT

= 1.0 e calculando os coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1,

como pelo Método 2) para a situação de elementos não susceptíveis de sofrer deformações de

torção.

Em elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção assume-se que a encurvadura

lateral é mais condicionante. Neste caso, devem aplicar-se as Equações (1a) e (1b),

considerando χLT avaliado de acordo com 6.3.2 do EC3-1-1 e calculando os coeficientes de

interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1, como pelo Método 2) para a situação

de elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção.

Uma explicação pormenorizada do procedimento para a determinação da resistência da flexão

composta por compressão, a avaliação da susceptibilidade a deformações de torção e ainda a

determinação dos coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz poderá ser consultada em

“Simões, R. Manual de dimensionamento de estruturas metálicas, CMM Press, 2005”.

O procedimento de cálculo dos factores de redução yχ e zχ não sofreu alterações, face à

versão inicial do EC3 (1993).

Para perfis das classes 1 e 2 os valores de ΔM y,Ed e ΔMz,Ed são iguais a zero. NRk , M y,Rk

e M z,Rk são definidos de acordo com as expressões:

NRk = A × fy , My,Rk =Wpl,y × fy , Mz,Rk =Wpl,z × fy

Para valores reduzidos de esforço axial, a resistência à encurvadura dos elementos é similar à

da secção à tracção, tornando-se assim necessária essa verificação. A nova proposta do

Eurocódigo 3 refere que devem ser feitas as seguintes verificações:



Em que os factores “n” e “a” são dados por:

Os factores de interacção kyy ,kzy ,kyz e kzz , utilizados podem ser calculados de acordo com

os dois métodos, que seguem as abordagens propostas pelos diferentes grupos de trabalho, tal

como descrito anteriormente:

• A proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000) denominada por “método 1” encontra-

se no anexo A da parte 1-1do EC3;

• A proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001) denominada por “método 2 “encontra-se no

anexo B da parte 1-1 do Eurocódigo 3.

O “método” 2 é uma abordagem do nível 1, ou seja, trata-se de um procedimento simples, de

cálculo dos factores de interacção, para casos mais comuns. O “método” 1 trata-se de uma

abordagem do nível 2, baseando-se numa análise mais precisa e compreensiva.

Abordagens do nível 3 consistem em análises numéricas não lineares usando programas de

elementos finitos.

A versão inicial do EC3 (1993) também possuía duas fórmulas verificativas, mas efectuava

uma distinção clara entre a encurvadura de viga-coluna (aqui designada de flexo-torsional) e

de viga (aqui designada de lateral ou lateral-torsional).

, ,

min1 1 1

,

1

Encurvadura flexo-torsional (flexural – torsional buckling) 1

Encurvadura lateral (lateral – torsional buckling)

y y Sd z z SdSd

y y y z y

M M M

LT y SdSd

yz LT

M

k M k MNA f w f w f

k MNA f w

χγ γ γ

χ χγ

→ + + ≤⋅ ⋅ ⋅

→ +⋅

⋅ ⋅

⋅ ,

1 1

1z z Sd

y y z y

M M

k Mf w f

γ γ

+ ≤⋅ ⋅

⋅



2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral

No caso de não existir possibilidade de encurvadura lateral a metodologia dos dois métodos é

a seguir exposta.


As fórmulas de estabilidade são apresentadas nos pontos 6.3.1. e 6.3.3. do EC3, sendo os três

principais parâmetros:

• O comprimento de encurvadura, L cr;

• O momento máximo de flexão, Mmax;

• O factor equivalente “C m” que caracteriza a forma de distribuição do momento

flector.

Método 1

Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção para perfis das classes 1 e 2,

através do “método 1” (proposta Franco-Belga, Villette et al., 2000), encontram-se descritos

no Anexo A da nova proposta do Eurocódigo 3.

Esta proposta foi desenvolvida com os objectivos de criar uma fórmula que fosse

compreensível, onde todos os seus componentes tivessem significado físico, consistente com

as outras fórmulas que se encontram nos regulamentos existentes, e conservativa e precisa em

comparação com os resultados numéricos e experimentais disponíveis.

São admitidas as condições gerais correspondentes a flexão composta com momentos

segundo yy e/ou zz (My,Ed e/ou Mz,Ed ) e com esforço axial NEd , bem como a possibilidade

de encurvadura por compressão (encurvadura por flexão) e a verificação de diferentes secções

(I, H e tubulares).

Segundo o “método 1” deve-se determinar os factores de interacção através das expressões:



Nestas expressões dos factores de interacção é possível reconhecer os conceitos familiares de

factor de momento equivalente “cmi” (segundo o eixo yy e zz), e de factor de amplificação k,

devido aos efeitos de 2ª ordem.

Em que:

Para se simplificar o cálculo do coeficiente de momento equivalente “cm”, foram propostas

várias fórmulas aproximadas. Estas fórmulas, geralmente, têm em conta apenas a variação do

diagrama de momentos de primeira ordem.

Os coeficientes μy e μz são dados pelas expressões:



Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por meio de calibração numérica e

representam a interacção elasto-plástica, entre os momentos de 1ª ordem e o esforço axial.

Acresce que este coeficientes (cyy, cyz, czy e czz) dependem das esbeltezas adimensionais,

sendo que os elementos mais esbeltos não conseguem desenvolver a mesma interacção entre

esforço axial e momento flector, que os menos esbeltos. De facto, devido aos efeitos de

instabilidade, o comportamento pode variar significativamente em função do tipo da secção.

Estes coeficientes também dependem do factor de momento equivalente “cmi”, dado que o

elemento não desenvolve a mesma resistência elasto-plástica para diferentes tipos de

carregamento.

A metodologia deste método de cálculo é baseada na teoria elástica de 2ª ordem no plano, e

foi estendida para 3D. O formato teórico mantém-se o máximo possível, de forma a que os

coeficientes dêem explicitamente uma ideia do significado físico. Quando não foi possível

manter esse formato teórico, foram usados resultados de análises numéricas por elementos

finitos para calibrar localmente alguns destes factores.

Método 2

Tal como referido anteriormente, o “método 2”, preconizado na parte 1-1 do Eurocódigo 3 de

2010, corresponde à proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001). Os objectivos essenciais desta

proposta foram desenvolver fórmulas simples e de fácil aplicação no dimensionamento de

vigas-coluna, e a obtenção de uma boa precisão e adequada economia na avaliação das

capacidades resistentes dos casos mais comuns.

Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção através do “método 2”

encontram-se descritos no anexo B da nova proposta do Eurocódigo (2010, em português ).

Os casos analisados no desenvolvimento desta proposta incluem: secções em I e secções

tubulares rectangulares; secções duplamente simétricas; e flexão composta com flexão plana.

Os restantes casos de secções simétricas apenas numa direcção e para a flexão desviada com

compressão são tratados nesta análise de forma mais conservativa e não tão precisa.

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral

Em relação às expressões para o caso em que não existe encurvadura lateral, as principais

diferenças são a introdução do factor de redução à encurvadura lateral “χLT”, e o cálculo dos

factores de interacção kyy , kzy , kyz e kzz . As expressões a usar na verificação da segurança,

no caso de existir encurvadura lateral, já foram apresentadas:



Os dois métodos propostos, para a verificação da segurança de vigas-coluna, de acordo com o

Eurocódigo 3, têm em consideração a possibilidade de existir encurvadura lateral, e para isso

propõem diferentes formulações, para ter em consideração este fenómeno de encurvadura no

cálculo dos factores de interacção. Estas formulações, de acordo com o “método 1” e “método

2”, são resumidamente apresentadas nos pontos seguintes.

Método 1

Na proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000), a filosofia geral foi mantida em relação ao

proposto para o caso de não existir encurvadura lateral.

Os factores de interacção modificados, para ter em conta a encurvadura lateral, são o kyy e

kzy, onde é agora introduzido o factor “cmLT” (coeficiente de momento equivalente para a

encurvadura lateral). Os restantes factores de interacção, kyz e kzz, mantém o significado

anteriormente exposto.

O coeficiente de momento equivalente cmy é calculado de acordo com a expressão:

O factor “cmLT” é calculado de acordo com a seguinte expressão:



O cálculo do coeficiente de momento equivalente, segundo o eixo zz (cmz) é feito da mesma

forma que para o caso em que não existe encurvadura lateral, ou seja, através da fórmula:

O coeficiente “aLT” permite uma transição suave entre as respostas para secções abertas e

tubulares, e é calculado de acordo com a expressão:

Para perfis das classes 1 e 2 “εy” é dado pela expressão:

Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por calibração numérica.

Os factores constantes no Anexo A do EC3 são apresentados a seguir, para o Método 1.



Método 2

No “método 2” (proposta Austro-Alemã) a única diferença que existe, entre os casos em que

há e não há encurvadura latera,l é o procedimento de determinação do factor de interacção

kzy, que é efectuado, para o caso de haver encurvadura lateral, de acordo com a expressão:



Em que “cmLT” é o factor de momento uniforme equivalente, correspondente à encurvadura

lateral, e que se determina através do diagrama de momentos em torno do eixo yy, ou seja é

igual ao “cmy”. Os factores constantes no Anexo B do EC3 são:



2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3

Seguem-se exemplos baseados em “Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background

documentation and design guidelines, ECCS, 2006”.

2.4.3.1. Exemplo Prático 1 - comportamento plano.

Este primeiro exemplo trata de comportamento plano, sem possibilidade de encurvadura para

fora do plano do eixo da peça. A viga-coluna é submetida à compressão e a momento de

flexão triangular no eixo principal. O elemento tem, pois, os deslocamentos de flexão e torção

laterais impedidos.

Características da secção Transversal (IPE 200)

Comprimento de encurvadura L = 3,5m

Dimensões dos banzos e alma bf = 100mm = 0,1m

tf = 8,5mm = 0,0085m

hw = 183mm = 0,183m

tw = 5,6mm = 0,0056m

Área A = 28,48cm2 = 2,848·10-3m2

Inércias Iy = 1943cm4 = 19,43·10-6m4

Iz = 142,4cm4 = 1,424·10-6m4

Módulos de flexão plásticos Wpl,y = 220,6cm3 = 220,6·10-6m3

Wpl,z = 44,6cm3 = 44,6·10-6m3

Módulos de flexão elásticos Wel,y = 194,3cm3 = 194,3·10-6m3

Wel,z = 28,5cm3 = 28,5·10-6m3

Raios de giração iy = 8,26cm = 82,6·10-3m

iz = 220,24cm = 22,4·10-3m



Solicitações

Esforço axial de compressão NEd = 210 KN

Momentos de flexão, eixo forte (yy’s) My,Ed,direito = 0 KN.m My,Ed,esquerdo = 43 KN.m

Propriedades dos Materiais

Módulos Elásticos E = 210000x106 N/m2 G = 8070x106 N/m2

Características do aço Fy = 235x106 N/m2

Factores parciais de segurança γ Mo = 1,0 γ M1 = 1,0

Definições das curvas de Flexão:

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21

• O perfil IPE200 feito de S235 é Classe 1 em compressão, e por conseguinte também

Classe 1 em compressão e flexão.

Classificação das Secções Transversais:

- Alma em compressão combinada com flexão:

7,32106,510183

3

3

=××

== −

−

mm

td

tc

w

Limite da Classe: ε = 33

⇒Alma em compressão é Classe 1.

- Parte do banzo em compressão:

1,4105,8

)1012,210100(5,0)2(5,03

33

=×

×−×=

−−= −

−−

mmm

trtb

tc

f

w

Limite da Classe: ε = 9

⇒ Banzo é da Classe 1.

Logo temos Classe 1 na classificação da secção transversal.

Inércia torsional (torção uniforme, Saint-Venant)

e de empenamento (torção não uniforme)

It = 6,98cm4 = 69800·10-12m4

Iw = 12,988·103cm6 = 12988·10-12m6



Verificação de acordo com o Método 1

• Verificação de Estabilidade:

- Factor de redução para a compressão e flexão:

1939,0451,0628,0628,0

11

628,0]451,0)2,0451,0(21,01[5,0])2,0(1[5,0

451,0103287

1023510848,2

328)5,3(

1043,1910210000

2222

22

3

2623

,

22

462

6

2

2

,

≤=−+

=−+

=

=+−+=+−+=

=×

×××==

=××××

==

−

−

yyy

y

yyyy

ycr

yy

yycr

NmNm

NAf

kNm

mmN

LEI

N

λφφχ

λλαφ

λ

ππ

- Termos auxiliares:

5,1135,1103,194106,220

996,0

10328710210939,01

103287102101

1

1

36

36

,

,

3

3

3

3

,

,

≤=××

==

=

××

−

××

−=

−

−=

−

−

mm

MM

W

NN

NN

NN

NN

yel

yply

ycr

Edy

ycr

Ed

y

χμ

- Factor Cm0:

A fórmula dos momentos flectores linearmente distribuídos é usada aqui.

782,010328710210)33,00(36,0021,079,0

)33,0(36,021,079,0

010430

3

3

,0,

3,,

,,

=××

−+×+=

−++=

=×

==

NN

NNC

NmMM

ycr

Edyymy

esquerdoEdy

direitoEdyy

ϕϕ

ϕ

Sendo que Cmy=0, porque a torção por flexão lateral não é susceptível de ocorrer.



- Resistência axial elástico-plástica:

kNmNfAN yRkc 6691023510848,2 2

33, =×××=×= −−

881,0106,220103,194061,1

0

0,11066910210451,0782,0

135,16,1451,0782,0

135,16,12)1135,1(1

6,12)1(1

36

36

,

,

3

3222

1

,

222

=××

=≥=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−×−−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+=

−

−

mm

WW

NN

bNNCC

wwC

ypl

yel

LT

M

Rkc

Edymyymy

yyyy

γ

λλ

Sendo bLT = 0 porque a torção por flexão lateral é impedida, de modo que αLT = 0.

881,0106,220103,194061,1

0

0,11066910210451,0782,0

135,16,1451,0782,0

135,16,12)1135,1(1

6,12)1(1

36

36

,

,

3

3222

1

,

222

=××

=≥=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−×−−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+=

−

−

mm

WW

NN

bNNCC

wwC

ypl

yel

LT

M

Rkc

Edymyymy

yyyy

γ

λλ

- Verificação:

kNmmNmfWM yyplRkypl 8,5110235106,220 2

633,,, =×××== −−

1985,0

0,1108,51061,1

103287102101

1043782,0996,0

0,110669939,0

10210

1

3

3

3

3

3

3

1

,,

,

,,

1

,

≤=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−

××+

××

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

NmNN

NmN

N

MC

NN

MCN

N

M

Rkyplyy

ycr

Ed

direitoEdymyy

M

Rkcy

Ed

γ

μ

γχ



⇒ Satisfatório.

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9)

É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado:

KNKNxVKNV

KNmN

mfAV

mmmthmmmmmm

trtbtAA

KNmNm

LMM

V

RdyplEdy

M

yVyRdypl

ww

fwfVy

esquerdoEdydireitoEdyEdy

5,691395,05,03,12

1390,1

10235

31002,1

3

1002,1106,5183,01040,1)012,020056,0(0085,01,0210848,2

)2(2

3,125,3

01043

,,,

26

23

0,,

23323

23

3,,,,

,

=×=≤=

=××

==

×=××=≥×=

×++××−×=

++−=

=−×

=−

=

−

−−−

−

γ

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em

conta (Vsd < 50% Vrd).

25,0314,0

0,11066910210

3

3

0

,≥=

××

==NN

NNn

M

Rkc

Ed

γ

5,0872,010235106,5183,0

0,110210

263

30 ≥=

××××

××=

×××

=−

mNmm

Nfth

Nnyww

MEdw

γ

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente precisa de ser tido em conta.

1965,0107,44

1043

108,510,1

108,51

.7,440,1

108,51403,05,01

314,015,01

1

5,0403,010848,2

105,81,0210848,2)2(

3

3

,,,

,,

33

0

,,

3

0

,,,,,

23

323

≤=××

=

=×

=≤

=×

×−−

=−−

=

≤=×

×××−×=

−= −

−−

NmNm

MM

NmxNmM

mKNNmMnM

mmmm

AtbA

RdyplN

direitoEdy

M

Rkypl

M

RkyplRdyplN

ff

γ

γα

α



⇒Satisfatório.

De notar que só a extremidade direita tem de ser verificada, uma vez que possui uma

solicitação superior à da extremidade esquerda (My,Ed = 0).


• Verificação da Estabilidade:


1939,0451,0628,0628,0

11

628,0]451,0)2,0451,0(21,01[5,0])2,0(1[5,0

451,09,93

1106,825,31

9,9310235

10210000

2222

22

31

26

26

1

≤=−+

=−+

=

=+−+=+−+=

=×

==

=×

×==

−

yyy

y

yyyy

y

cry

y

mm

iL

mN

mN

fE

λφφχ

λλαφ

λλ

ππλ

- Momento Uniforme Equivalente Cm:

4,06,004,06,04,06,0

010430

3,,

,,

≥=×+=+=

=×

==

ymy

esquerdoEdy

direitoEdyy

C

NmMM

ϕ

ϕ

- Factores de Interacção:

( )[ ] ( )[ ] 650,0334,02,0451,01600,02,01:1

334,0

0,110669939,0

10210

6691023510848,2

3

3

1

,

233

,

=−+=−+=≤

=×

×==

=×××== −−

yymyyyy

M

Rkcy

Edy

yRkc

nCK

NN

NNn

KNmNAfN

λλ

γχ



- Verificação:

1874,0

0,1108,51

1043650,0

0,110669939,0

10210

8,5110235106,220

3

3

3

3

1

,,

,

1

,

2633

,,,

≤=××

+×

×=+=

=×××== −−

NmNm

NN

MM

kNNn

kNmmNmfWM

M

Rkypl

Edyyy

M

Rkcy

Edy

yyplRkypl

γγχ

⇒Satisfatório.

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9):


kNKNxVKNV

kNmN

mfAV

mmmthmmmmmm

trtbtAA

kNmNm

LMM

V

RdyplEdy

M

yVyRdypl

ww

fwfVy

esquerdoEdydireitoEdyEdy

5,691395,05,03,12

1390,1

10235

31002,1

3

1002,1106,5183,01040,1)012,020056,0(0085,01,0210848,2

)2(2

3,125,3

01043

,,,

26

23

0,,

23323

23

3,,,,

,

=×=≤=

=××

==

×=××=≥×=

×++××−×=

++−=

=−×

=−

=

−

−−−

−

γ

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em

conta (Vsd < 50% Vrd).

25,0314,0

0,11066910210

3

3

0

,≥=

××

==NN

NNn

M

Rkc

Ed

γ

5,0872,010235106,5183,0

0,110210

263

30 ≥=

××××

××=

×××

=−

mNmm

Nfth

Nnyww

MEdw

γ

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente plástico precisa de ser tido em

conta.



1965,0107,44

1043

108,510,1

108,51

7,440,1

108,51403,05,01

314,015,01

1

5,0403,010848,2

105,81,0210848,2)2(

3

3

,,,

,,

33

0

,,

3

0

,,,,,

23

323

≤=××

=

×=×

=≤

=×

×−−

=−−

=

≤=×

×××−×=

−= −

−−

NmNm

MM

NmNmM

kNmNmMnM

mmmm

AtbA

RdyplN

direitoEdy

M

Rkypl

M

RkyplRdyplN

ff

γ

γα

α

⇒Satisfatório.

Só a extremidade direita final tem de ser verificada porque tem um momento superior face à

extremidade esquerda My,Ed = 0.

2.4.3.2. Exemplo Prático 2 - comportamento espacial com encurvadura lateral

Este segundo exemplo trata de comportamento espacial. A viga-coluna é submetida à

compressão e forças transversas causando uma significativa flexão. A flexão lateral e a torção

não estão impedidas, podendo ocorrer.

Características da secção Transversal (IPE 500)

Comprimento de encurvadura L = 3,5m

LLT = 3,5m

Dimensões dos banzos e alma bf = 200mm = 0,2m

tf = 16mm = 0,016m

hw = 468mm = 0,468m

tw = 10,2mm = 0,0102m



Área A = 115,5cm2 = 11,55·10-3m2

Inércias Iy = 48199cm4 = 481,99·10-6m4

Iz = 2142cm4 = 21,42·10-6m4

Módulos de flexão plásticos Wpl,y = 2194cm3 = 2194·10-6m3

Wpl,z = 335,9cm3 = 335,9·10-6m3

Módulos de flexão elásticos Wel,y = 1927,9cm3 = 1927,9·10-6m3

Wel,z = 214,2cm3 = 214,2·10-6m3

Raios de giração iy = 20,43cm = 204,3·10-3m

iz = 4,31cm = 43,1·10-3m

Inércia torsional (torção uniforme, Saint-

Venant) e de empenamento (torção não

uniforme)

It = 89,2871cm4 = 892871·10-12m4

Iw = 1249·103cm6 = 1,249·10-6m6

Solicitações

Forças de Compressão NEd = 800 KN

Distribuição do momento de flexão, eixo forte My,Ed,direito = 350 KN.m My,Ed,esquerdo = 0 KN.m

Distribuição do momento de flexão, eixo fraco Mz,Ed = 0 KN.m

Propriedades dos Materiais

Módulos Elásticos E = 210000x106 N/m2 G = 80770x106 N/m2

Características do rendimento forte Fy = 235x106 N/m2

Factores parciais de segurança γ Mo = 1,0 γ M1 = 1,0

Definições das curvas de Flexão:

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21

• Factor de Imperfeição para eixo fraco: α z = 0,34

Factor de imperfeição na flexão lateral com torção:



• α LT = 0,34 se o “caso geral” for escolhido;

• α LT = 0,49, se for escolhido o caso de “secções laminadas ou as secções equivalentes

soldadas”.

Classificação da Secção Transversal:

- Alma em compressão composta com flexão:

8,41102,1010426

3

3

=××

== −

−

mm

td

tc

w

Se considerarmos uma distribuição plástica:

m

mNm

mmftNdc

yw

Ed 3

263

33 108,379

10235102,10

108005,0104265,05,05,0 −

−

− ×=×××

××+××=+=α

Deste modo α = 0,892 > 0,5

Classe 2 quando combinando flexão e compressão:

0,431892,013

1456113

456=

−××

=−αε

⇒ Alma em compressão combinada com flexão é da Classe 2.

- Banzo em compressão:

6,41016

)1012,2102,1010200(5,0)2(5,03

333

=×

×−×−×=

−−= −

−−−

mmmm

trtb

tc

f

w

Limite da Classe 1: 9ε = 9

⇒ Banzo é da Classe 1.

⇒ Secção transversal é da Classe 1.


• Verificação de Estabilidade:




1683,0865,0988,0988,0

11

988,0]865,0)2,0865,0(34,01[5,0])2,0(1[5,0

865,0103624

102351055,11

3624)5,3(

1042,2110210000

000,1200,0182,01081549

1023510552,11

81549)5,3(

1099,48110210000

2222

22

3

2623

,

22

462

62

2

2

,

3

2623

,

22

462

62

2

2

,

≤=−+

=−+

=

=+−+=+−+=

=×

×××==

=××××

==

=→≤=×

×××==

=××××

==

−

−

−

−

zzz

z

zzzz

zcr

yy

zcr

yycr

yy

ycr

NmNm

NAf

KNm

mmN

LEI

N

NmNm

NAf

kNm

mmN

LEI

N

λφφχ

λλαφ

λ

ππ

χλ

ππ

- Termos Auxiliares:

5,15,1568,1102,214109,335

918,0

10362410800683,01

103624108001

1

1

5,1138,1109,1927

102194

000,1

10815491080011

1081549108001

1

1

36

36

,

,

3

3

3

3

,

,

36

36

,

,

3

3

3

3

,

,

=→≤=××

==

=

××

−

××

−=

−

−=

≤=××

==

=

××

−

××

−=

−

−=

−

−

−

−

zzel

zplz

zcr

Edy

zcr

Ed

z

yel

yply

ycr

Edy

ycr

Ed

y

Wmm

MM

W

NN

NN

NN

NN

mm

MM

W

NNN

N

NN

NN

χμ

χμ

- Factor Cm0:



Assume-se aqui que o momento de flexão no eixo maior é quase linear, assim, a fórmula da

flexão com momento linear é usada.

789,01081549

10800)33,00(36,0021,079,0

)33,0(36,021,079,0

0103500

3

3

,0,

3,,

,,

=××

−+×+=

−++=

=×

==

NN

NNC

NmMM

ycr

Edyymy

direitoEdy

esquerdoEdyy

ϕϕ

ϕ

- Resistência à flexão lateral com torção:

Porque It = 892871×10-12 m4 < Iy = 481,99×10-6 m4, a forma da secção transversal é tal que o

elemento pode ser propenso a flexão lateral com torção.

As condições de apoio asseguram que o comprimento de encurvadura é igual ao comprimento

da barra LLT = L.

( )

( )

713,0101014

10235102194

1014

5,3

10249,110210000108928711080770

5,3

1042,2110210000

3

2636

0,

,0

2

662

62

4122

6

2

462

62

2

2

2

2

0,

=×

××==

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ×××+××

××××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−

−

−

NmmNmx

MfW

m

mmN

mmN

m

mmN

LEIGI

LEIM

cr

yypl

LT

wt

LT

zcr

λ

π

π

ππ

( )KN

m

mmN

mmN

mmm

LEIGI

IIAN

LT

wt

zyTcr

65035,3

10249,110210000108928711080770

1042,211099,48110552,11

2

662

62

4122

6

4646

23

2

2

,

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ×××+×××

××+×

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

−

−

−−

−

π

π

Com C1 = 2,15 (determinado pelas tabelas fornecidas no Anexo I deste documento).



267,0106503108001

10362410800115,22,0

112,0

43

3

3

3

4

,,1lim.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

NN

NN

NN

NNC

Tcr

Ed

zcr

Edoλ

⇒=≥= 267,0713,0 lim.oo λλ A flexão lateral com torção tem de ser tida em conta.

621,2109,192710552,11

1080010350

0998,01099,4811089287111

36

23

3

3

,

,,

412

412

=××

××

==

≥=××

−=−=

−

−

−

−

mm

NNm

WA

NM

mm

II

yelEd

direitoEdyy

y

tLT

ε

α

( )

( )

486,0102179

10235102194

.2179

5,3

10249,110210000108928711080770

5,3

1042,2110210000

5,21

1020,1

106503108001

103624108001

998,0919,0

11

919,0998,0621,21

621,2998,0)789,01(789,01

)1(

3

2636

,

2

662

62

4122

6

2

462

62

2

2

2

2

1

3

3

3

3

2

,,

2

0,0,

=×

×××==

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ×××+××

×××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

≥=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=×+

−+=+

−+=

−

−

−

−

NmmNm

MfW

mKN

m

mmN

mmN

xm

mmN

LEIGI

LEICM

NN

NN

NN

NN

CK

CCC

cr

yyplLT

LT

wt

LT

zcr

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmyLT

LTy

yLTmymymy

λ

π

π

ππ

α

αε

εα

O “caso geral” é o método escolhido aqui.

667,0]486,0)2,0486,0(34,01[5,0])2,0(1[5,0 22 =+−+=+−+= LTLTLTLT λλαφ

1890,0486,0667,0667,0

112222

≤=−+

=−+

=LTLTLT

LTλφφ

χ



Com Kc = 0,653 (valores obtidos pelo Anexo I deste documento).

0,1861,0])8,0486,0(21)[653,01(5,01])8,0(21)[1(5,01 22 ≤=−−−−=−−−−= LTckf λ

000,1034,1861,0890,0

mod,mod, =→=== LTLT

LT fχχχ

- Resistência à compressão elástico-plástica:

865,0

27141023510552,11

max

233

,

==

=××== −−

z

yRkc KNmNxAfN

λλ

Sendo bLT = 0 porque MZ,Ed = 0.

879,0102194109,1927061,1

0

0,1102714

10800865,0919,0138,1

6,1865,0919,0138,1

6,12)1138,1(1

6,16,12)1(1

36

36

,

,

3

3222

1

,

2max

2max

2

=××

=≥=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−×−−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+=

−

−

mm

WW

NN

bNNC

wC

wwC

ypl

yel

LT

M

Rkc

Edmy

ymy

yyyy

γ

λλ

Sendo dLT = 0 porque MZ,Ed = 0.

459,0102194109,1927

5,1138,16,06,0893,0

0

0,1102714

10800138,1

865,0919,0142)1138,1(1

142)1(1

36

36

,

,

3

3

5

22

1

,5

2max

2

=××

=≥=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

−

−

mm

WW

ww

NN

dNN

wC

wC

ypl

yel

z

y

LT

M

Rkc

Ed

y

myyzy

γ

λ

- Verificação:

mKNmNmfWM yyplRkypl .51610235102194 2

633,,, =×××== −−



1777,0

0,110516893,0

1081549108001

10350919,0000,1020,1

5,1138,16,0918,0

0,11027141

10800

16,0

1936,0

0,110516033,1

1081549108001

10350919,01

0,11027141

10800

1

3

3

3

3

3

3

1

,,

,

,,

mod,

1

,

3

3

3

3

3

3

1

,,

,

,,

1

,

≤=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−

××+

××

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

≤=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

−

××+

××

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

NmN

NNm

NN

MC

NN

MCkww

NN

NmN

NNm

NN

MC

NN

MCN

N

M

Rkyplzy

zcr

Ed

direitoEdymy

LT

LT

z

yz

M

Rkcz

Ed

M

Rkyplyy

ycr

Ed

direitoEdymyy

M

Rkcy

Ed

γχ

μ

γχ

γ

μ

γχ

⇒ Satisfatório.

• Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9):


A força máxima de corte nas extremidades do elementos é Vy,Ed = 106,4 KN, na extremidade

esquerda.

KNKNxVKNV

KNmN

mfAV

mmmthm

mmmmmtrtbtAA

RdyplEdy

M

yVyRdypl

ww

fwfVy

3246485,05,05,152

6480,1

10235

31077,4

3

1077,4102,10468,01099,5

)021,020102,0(016,02,021055,11)2(2

,,,

26

23

0,,

23323

23

=×=≤=

=××

==

×=××=≥×=

×++××−×=++−=

−

−−−

−

γ

⇒ O efeito do corte sobre o momento resistente plástico não precisa de ser tido em conta

(Vsd < 50% Vrd).



5,0713,010235102,10468,0

0,110800

25,0295,0

0,1102714

10800

263

30

3

3

0

,

≥=××××

××==

≥=××

==

−

mNmm

Nfth

Nn

NN

NNn

yww

MEdw

M

Rkc

Ed

γ

γ

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico precisa de ser tido em conta.

1748,01046810350

105160,1

10516

.4680,1

10516446,05,01

295,015,01

1

5,0446,010552,11

016,02,0210552,11)2(

3

3

,,,

,,

33

0

,,

3

0

,,,,,

23

23

≤=××

=

=×

=≤

=×

×−−

=−−

=

≤=×

××−×=

−= −

−

NmNm

MM

NmxNmM

mKNNmMnM

mmmm

AtbA

RdyplN

direitoEdy

M

Rkypl

M

RkyplRdyplN

ff

γ

γα

α

⇒Satisfatório.


• Verificação da Estabilidade:


866,09,93

1101,435,31

000,1200,0182,09,93

1103,204

5,31

9,9310235

10210000

31

31

26

26

1

=×

==

=→≤=×

==

=×

×==

−

−

mm

iL

mm

iL

mN

mN

fE

y

crz

yy

cry

y

λλ

χλ

λ

ππλ



1683,0866,0988,0988,0

11

988,0]866,0)2,0866,0(34,01[5,0])2,0(1[5,0

2222

22

≤=−+

=−+

=

=+−+=+−+=

zzz

z

zzzz

λφφχ

λλαφ

- Momento Uniforme Equivalente Cm:

495,0

4,0495,0369,08,02,08,02,0

1369,00

369,0350

06,129

.350

.06,129

0103500

.

,,

,,

3,,

,,

==

≥=×+=+=

≤=≤

===

==

==

=×

==

−

myLTm

smy

s

h

ss

direitoEdyh

spanmidEdys

esquerdoEdy

direitoEdyy

CC

C

MM

mKNMM

mKNMM

NmMM

α

α

α

ϕ

- Resistência à flexão lateral com torção:

837,0

016,05,0

3,812011

9,0

2011

9,025,0225,02=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

=

mm

th

k

f

z

p

λ

Com Kc=0,653 (valores obtidos pelas tabelas do Anexo I).

473,0866,0837,0653,0__

=××=××= zpcLT KK λλ

O factor de torção lateral λLT também pode ser calculado da forma habitual, utilizando Mcr.

β = 0,75



000,1110,1864,0959,0

0,1864,0])8,0473,0(21)[653,01(5,01

])8,0(21)[1(5,01

1959,0473,075,0602,0602,0

11

602,0]473,0)4,0473,0(49,01[5,0

])4,0(1[5,0

mod,mod,

2

2

2222

2

2

=→===

≤=−−−−=

−−−−=

≤=×−+

=−+

=

=+−+=

+−+=

LTLT

LT

LTc

LTLTLT

LT

LTLTLTLT

f

kf

χχχ

λ

λβφφχ

λλαφ

- Factores de Interacção:

( )[ ] ( )[ ]

847,025,0495,0

432,0866,01,0125,0

1,01:14,0

492,0295,02,0182,01495,02,01:1

432,0

0,1102714683,0

10800

295,0

0,1102714000,1

10800

27141023510552,11

3

3

1

,

3

3

1

,

233

,

=−××

−=−

−=≤≤

=−+=−+=≤

=×

×==

=×

×==

=×××== −−

mLT

zzLTz

yymyyyy

M

Rkcz

Edz

M

Rkcy

Edy

yRkc

Cnk

nCK

NN

NNn

NN

NNn

KNmNAfN

λλ

λλ

γχ

γχ

- Verificação:

1628,0

0,110516000,1

10350492,0

0,1102714000,1

10800

51610235102194

3

3

3

3

1

,,mod,

,

1

,

2636

,,,

≤=×

×+

××

=+

=×××== −

NmNm

NN

MM

kNN

kNmmNmfWM

M

RkyplLT

Edyyy

M

Rkcy

Ed

yyplRkypl

γχ

γχ



1006,1

0,110516000,1

10350847,0

0,1102714683,0

108003

3

3

3

1

,,mod,

,

1

≥=×

×+

××

=+Nm

NmN

NM

MkN

N

M

RkyplLT

EdyLT

M

Rkz

Ed

γχ

γχ

⇒Não Satisfatório

• Secção transversal de verificação (EN 1993-1-1, 6.2.9)

O máximo de corte nas extremidades do elemento é Vy,Ed = 106,4 KN, na extremidade

esquerda.

KNKNVKNV

KNmN

mfAV

mxmxmthmmmmmm

trtbtAA

RdyplEdy

M

yVyRdypl

ww

fwfVy

3246485,05,05,152

6480,1

10235

31077,4

3

1077,4102,10468,01099,5)021,020102,0(016,02,021055,11

)2(2

,,,

26

23

0,,

23323

23

=×=×≤=

=××

==

=×=≥×=

×++××−×=

++−=

−

−−−

−

γ

⇒ O efeito do corte sobre o momento plástico de resistência não necessita de ser tomado em

consideração.

5,0713,010235102,10468,0

0,110800

25,0295,0

0,1102714

10800

263

30

3

3

0

,

≥=××××

××==

≥=××

==

−

mNmm

Nfth

Nn

NN

NNn

yww

MEdw

M

Rkc

Ed

γ

γ

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico necessita de ser tomado em

consideração.

NmxNmM

mKNNmMnM

mmmm

AtbA

M

Rkypl

M

RkyplRdyplN

ff

33

0

,,

3

0

,,,,,

23

23

105160,1

10516

.4680,1

10516446,05,01

295,015,01

1

5,0446,010552,11

016,802,0210552,11)2(

=×

=≤

=×

×−−

=−−

=

≤=×

××−×=

−= −

−

γ

γα

α



1748,01046810350

3

3

,,,

,, ≤=××

=NmNm

MM

RdyplN

direitoEdy

⇒ Satisfatório.

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas comparações

Seguem-se alguns exemplos utilizando a versão inicial do EC3, de 1993, em que a

encurvadura lateral é mais fácil de verificar, embora com valores mais conservativos e menos

económicos. Em certos exemplos também é incluída a resolução pela versão actual do EC3

(2010), para comparação. Contudo, a solução pela versão actual do EC3 (2010) precisa de

revisão, podendo existir erros.

Os exemplos foram retirados da versão espanhola do ESDEP.

2.4.4.1. Exemplo de momento simples e esforço axial, sendo o momento segundo z

(menor inércia)

Mostre que quando o perfil da figura é usado como pilar de uma estrutura com uma altura de

4 m., sujeito a um esforço axial Nsd=250 kN pode ser, sem prejuízo da sua estabilidade,

sujeito a um momento segundo o eixo de menor inércia (zz) no valor de 6kNm (constante ao

longo de todo o pilar). Este pilar tem os seus extremos simplesmente apoiados sem

possibilidade de ocorrência de translação (nós fixos).

z

y

Mz.Sd

y

z

Nsd

Dados:

160HEA



Altura útil da alma, d = 104 mm

Altura, h = 152 mm

Largura do banzo, b = 160mm

Espessura do banzo, ft = 9 mm

Raio de giração, iy = 6,75 cm

Raio de giração, iz = 3,98 cm

Espessura da alma, tw = 6 mm

Módulo de flexão elástica, 3

. 220 cmw yel =

Módulo de flexão elástica, 3976 cm,w z.el =

Módulo de flexão plástica, 3

. 245cmw ypl =

Módulo de flexão plástica, 3

. 118cmw zpl =

360eF (com a tensão de cedência ay MPf 235= ).

Resolução

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993

Nota: O comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as duas

extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente (ver esquema), pode,

conservativamente, ser considerado igual ao seu comprimento nominal.

Devemos calcular em primeira instância a classe do perfil. Calculando separadamente as

classes da alma e do banzo. A classe da peça será a mais alta existente entre estas duas (em

termos numéricos das classes).

Tendo em conta a sua tensão de cedência fy=235 MPa para S235:

1235235235

===yf

ε

Quanto à classe da alma, uma vez que está sujeita à compressão, temos:

d/tw

Com:



d = altura útil entre banzos

tw = espessura da alma

Assim:

mmmmmm 33,176104 =

Logo:

ε⋅≤ 3333,17 mm , com 1=ε , (já calculado)

Assumindo que, conforme calculado:

ε.33/ ≤wtd , sabemos que a alma da peça é da classe 1.

Analogamente, para o banzo vem:

c/tf

Com:

c = metade da largura do banzo

tf = espessura do banzo

Assim:

80 mm/9 mm = 8,88 mm

ε.1088,8 ≤mm , com 1=ε (já calculado)

Assumindo que, conforme calculado:

ε.10/ ≤ftc , sabemos que os banzos da peça são da classe 1.

Finalmente sabemos que a peça pertence à classe 1.

Para a classe 1 a área efectiva tem o mesmo valor que a área total da peça (não existem partes

da secção capazes de instabilizá-la localmente).

A esbelteza para o modo de encurvadura apropriado ( 1λ ) é dada por:

ελ .9,931 =

Logo:

99319931 ,., =×= ελ



Dos dados iniciais do problema depreendemos que o raio de giração da peça relativamente ao

eixo z (iz) é menor que o mesmo relativamente ao eixo y, ou seja, iz < iy.

O factor de redução para o modo de encurvadura relevante, χ , tomará o menor valor dos

factores de redução yχ e zχ .

Portanto minχ será igual ao menor valor de yχ e zχ .

Os elementos com secções transversais da classe 1 sujeitos a uma compressão devem

satisfazer a seguinte condição:

( ) ( ) 1..

.. 1.

.

1min

≤+Myzpl

Sdzz

My

Sd

fwMK

fAN

γγχ

Com:

yf = Tensão de cedência

1Mγ = Coeficiente de segurança

Kz = Coeficiente de rigidez

SdzM . = Momento-flector actuante

zplw . = Módulo de flexão plástico

Vamos calcular as incógnitas em falta para analisarmos a relação anterior e fazer as

verificações necessárias.

Por definição sabemos que a esbelteza normalizada para o eixo z, z

_λ , é igual a:

1λλλ =

Em que λ é a esbelteza para o modo de encurvadura apropriado) e:

zil

=λ (sendo l o comprimento da peça e i o seu raio de giração segundo o eixo de menor inércia z-z)

Assim virá:

5,1008,39

4000==λ

0703119935100 50 ,

,, ,

_

z =×=λ



Através da consulta podemos seleccionar a curva de encurvadura de secção transversal da

nossa peça, do seguinte modo:

Tratando-se de um perfil laminado, calculamos a razão entre bh (dados iniciais do problema). Com

um resultado de 0,95, verificamos que 2,195,0 ≤ , sendo abrangido no limite 2,1≤bh .

Seguidamente verificamos que a espessura do banzo “tf” dada inicialmente é de 9 mm, e logo,

fica abrangido nos limites tf < 100mm.

Tendo em conta que pretendemos a curva de encurvadura relativa ao eixo dos z-z, sabemos

então que é a curva c.

Para cálculo do factor de redução χ para a encurvadura, sabendo que a esbelteza calculada _

zλ

é 1,0703 e que a nossa curva de encurvadura é a “c” podemos calcular directamente ou

interpolando o valor correcto para χ. No nosso caso concreto χ=0.5 (Quadro 4 – Factores de

redução).

Como se assume o momento constante ao longo de toda a peça, o nosso coeficiente de

redução ψ é igual a 1. Tendo em conta o quadro 6 (cap. 5.5.6.1, EC3, 1993), ψ situa-se nos

limites entre 11 ≤≤− ψ , e logo, o coeficiente de equivalência a momentos uniformes ψβM será

igual a ψ7,08,1 − .

Então vem:

1,117,08,1.7,08,1 =×−=−= ψβ ψM

Falta-nos verificar os valores de cálculo dos coeficientes zμ e zK .

O primeiro pode ser calculado da seguinte forma:

( ) 90,04.2.

.._

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=

zel

zelzplMzzz w

wwβλμ

Com:

zelw . = Módulo de flexão elástico

MZβ = Factor de momento uniforme equivalente correspondente à encurvadura

por varejamento (compressão).

zplw . = Módulo de flexão plástico



Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:

( )

9003921

900976

976118411207031

,,

,,

,),.,

z

z

≤−=

≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+−×=

μ

μ

Pelo que verifica!

O segundo pode ser calculado através da expressão:

5,1..

.1 ≤−=yZ

Sdzz fA

NKχμ

Com:

A = área do perfil utilizado (m2)

fy = tensão de cedência do ( )ae PF 360

NSd = esforço axial na peça (N)

Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:

( )517631

51102351083850

1025039211 64

3

,,K

,,,,K

z

z

≤=

≤××

××−−= −

Não verifica!

Neste caso vamos utilizar o valor máximo de:

5,1=zK

Verificação de todos os dados na expressão:

( ) ( ) 1..

.. 1.

.

1min

≤+Myzpl

Sdzz

My

Sd

fwMK

fAN

γγχ

Vem:

1

11023510118

1065,1

110235108,385,0

1025066

3

64

3

≤×××

××+

×××××

−−

187280 ≤,

Verifica!



Conclusão final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços

pretendidos.

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010.

Classificação da secção:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×−

×+= −3102h

IM

AN

z

zededcompressãoσ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××+= −3102

hI

MA

N

z

zededtracçãoσ

AIi =

⇔ 3.98 = 8.38I

⇔ I = 23847 cm4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×−

××

+×

= −−− 384 102152

10238476

108.38250

compressãoσ

= -191.23 MPa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××

×+

×= −−− 384 102

1521023847

6108.38

250tracçãoσ

= 191.21 MPa

tracçãocomp

comp

σσσ

α+

= = 21.19123.191

23.191+ 50.0=

→ Para a alma do perfil em flexão composta:

ε7217.226

931603≤=

×−=

−=

Ttb

TC

7250.0

13636=

×==

αε

TC

22.17 ≤ 72 Classe 1

→ Banzo Comprimido:

86.6

9

2.1526

2160

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−



99 =≤ ε

TC

6.86 ≤ 9 Classe 1

Logo é classe 1

ii) Verificação da resistência da secção transversal

Cap. 6.1 do EC3, 2010.

0

,M

fyARdNplλ

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

111

2

1

0

M

M

M

γγγ

( ) ( )1

108.3810235,43 −×××

=RdNpl = 911.8 KN

Ned = 250 KN ≤ 0.25 Npl,Rd

≤ 911.8 × 0.25

≤ 227.95 kN KO

Ned = 250 KN ≤ 0

5.0M

fyTwhwγ

×××

≤ ( ) ( )1

102351061093101525.03

333 ××××××−×× −−−

≤ 88.125 kN KO

É necessário verificar a resistência à flexão:

0

,γfyWplaRdMplz z ×=

110235)10118(,

36 ×××= −RdMplz

= 27.73 kNm

iii) Verificação da estabilidade do elemento

( ) ( ) kNfyAN RK 8.91110235108.38 34 =×××=×= −

fyWplaMz zRK ×= = ( ) ( ) kNm73.271023510118 36 =××× −



( ) 07.119.93

11098.3

412

1

, =×

××

=×= −λλ

z

ZEz

iL

Com 1λ da página 63 do Eurocódigo 3, 2010.

2.195.0160152

≤==hb

α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1)

( )[ ] 29.107.12.007.115.0 2 =+−×+×= αφ

22

1

λφφχ

−+=Z

= 50.0

07.129.129.11

22=

−+

( ) 63.019.93

11075.6

412

1

, =×

××

=×= −λλ

y

yEy

iL

α = 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1)

( )[ ] 77.063.02.063.015.0 2 =+−×+×= αφ

22

1

λφφχ

−+=y

= 82.0

63.077.077.01

22=

−+

Cálculo do momento crítico:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

T

wzT

ECR GIL

EIEIGI

LM 2

2

1ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××××

×××+×××××××= −

−−−

1262

106286126

109,8459910814101386210210

1102384710210109,8459910814

wECR

IM

ππ

72,2399=ECRM

63,323972,239935,1 =×=×= ECRmcr MM α

5.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

CR

LTM

fyWzλ=

( ) 093.063.3239

10235)10118(5.036

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ××× −

Sendo 49.0=LTα (Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando:

4.00, =LTλ e β = 0.73, obtém-se:

( )[ ] 43.015.0 20, =×+−×+×= LTLTLTLTLT λβλλαφ



22

1

LTLTLT

LTλβφφ

χ×−+

=

17.1093.073.043.043.0

122=

×−+=LTχ

( ) ( )[ ]28.00.2115.01 −×−×−×−= LTKcf λ , Com f ≤ 1

Kc = 0.86 (Segundo quadro 6.6 EC3)

( ) ( )[ ] 999.08.0093.00.2185.015.01 2 =−×−×−×−=f OK

17.1999.017.1

mod, ===fLT

LTχ

χ

Ψ+= 4.06.0LTCm ≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3)

= 0.6 + 0.4 ×0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK

Cmy = 0.9

Cmz = 0.9

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××−+×=

1

6.021

M

RKz

Edzmzzz N

NCk

γχ

λ

( ) 23.1

18.911

50.0

2506.063.0219.0 =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××−×+×=zzk

74.023.16.06.0 =×⇔×= zzkk yz

1

1

,

,,

1

≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛Δ+

×+×

M

RKz

EdzEdzyz

M

RKy

Ed

MMM

kN

N

γγχ

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

×+×

173.27

0674.0

18.91182.0

250

0.49 ≤ 1 OK

EdzM ,Δ : Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7)



1

1

,

,,

1

≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛Δ+

×+×

M

RKz

EdzEdzzz

M

RKz

Ed

MMM

kN

N

γγχ

OK181.0

173.27

0623.1

18.91150.0

250≤=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

×+×

Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a

segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1, 2010.

2.4.4.2. Exemplo de compressão com momento simples e esforço axial, sendo o momento

segundo y (maior inércia)

Mostre que a secção do problema anterior pode também suportar um momento-flector de 15

kNm segundo o eixo de maior inércia (yy), assumindo que este momento produz uma flexão

ao longo do comprimento da peça.

y z

z y

My.Sd

NSd

Resolução


Mantêm-se as restantes condições do exemplo anterior.

Considera-se a peça da classe 1, conforme o exemplo visto e, analogamente, y

_λ = 93,9.



Deve-se proceder de novo ao cálculo da esbelteza normalizada y

_λ , desta feita segundo o eixo

dos yy, uma vez que o momento-flector actua neste mesmo eixo.

1λλλ =

5,674000

==zilλ

9,931 =λ (já calculado)

Assim virá:

633,01

5,935,67

4000 5,0_

=×=yλ

A curva de encurvadura da secção transversal será a “b” (cálculo conforme o exemplo

anterior).

Com a designação do tipo de curva de encurvadura e com o valor de y

_λ já calculado, com

recurso ao quadro respectivo (), calculamos o valor de 8204,0=yχ (Quadro 4 – Factores de

redução).

Assumindo novamente momento-flector constante ao longo de toda a peça, o nosso

coeficiente de redução ψ será igual à unidade.

Deste modo, recuperamos a expressão ψβ .7,08,1. −=YM , uma vez que ψ se situa no

intervalo 11 ≤≤− ψ .

Chegaremos ao valor de 1,1. =YMβ .

Considerando, conforme se afirmou no início deste exemplo, a peça pertencer à classe 1,

vamos verificar os valores de yμ e de yK (subcapítulo 5.5.6.1. do EC3, 1993) para esta

situação.

( ) 90042 ,w

ww..

y.el

y,ely.pl

_

Y.My

_

y ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−= βλμ

Substituindo os valores vem:



( ) 900220

220245411263330 ,,.,y ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−×=μ

E logo:

90,0025,1 ≤−=yμ

Verifica!

5,1..

.1 ≤−=yz

Sdzy fA

NKχμ

Substituindo os valores vem:

( ) 51102351083850

1025002511 64

3

,,.,

,K y ≤××

××−−= −

E logo:

5,1562,1 ≤=yK

Não verifica!

Neste caso vamos utilizar 5,1=yK (valor máximo)

Verificação de todos os dados na expressão:

( ) ( ) 111

≤+Myy.pl

Sd.yy

My.min

Sd

f.wM.K

f.A.N

γγχ

Substituindo vem:

( ) ( )( )

( ) ( ) 1

110235.10118

1015.5,1

110235.108,38.8204,0

1025066

3

64

3

≤××

×+

×××

−−

181140 ≤,

Verifica!

Como a peça está submetida a um esforço axial NSd e a um momento flector My.Sd em torno

do eixo dos yy, é necessário verificar se existe ou não a possibilidade de ocorrer a

encurvadura lateral, ou seja, o bambeamento, dado que sendo a flexão segundo este eixo, yy,

de maior inércia, esta pode instabilizar lateralmente. Se a flexão fosse segundo zz, eixo de

menor inércia (exemplo anterior), não seria necessário este estudo, pois que a



instabilidade/encurvadura nunca se daria pelo eixo de maior inércia, yy, mais

resistente/estável que zz.

Neste caso concreto, o esforço axial vai gerar um efeito negativo, ajudando a ocorrência de

encurvadura lateral.

111

≤+Myy.plLT

Sd.yLT

Myz

Sd

f.M.M.K

f.A.N

γχγχ

Considerando o cálculo já efectuado de 9,931 =λ e de 0,1=wβ , consultando o Anexo F

(capítulo 6) sabemos que para secções I ou H, a esbelteza relativa à encurvadura lateral virá

segundo a expressão:

( )

25,02

5,01 .

2011.

9,0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

=

f

z

zLT

th

iL

c

iL

λ

Com c1 derivado das condições de fronteira da barra em questão (ANEXO F ou outra

bibliografia).

Sabemos ainda que:

1

...1 ≤−=

yz

SdLTLT fA

NKχμ

(subcapítulo 5.5.6.1, EC3, 1993)

9,015,0..15,0 . ≤−= LTMzLT βλμ (subcapítulo 5.5.6.1, 1993)

115,0

2_

2

≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

LTLTLT

LT

λφφ

χ

(subcapítulo 5.5.4, 1993)

Com:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

2__2,0.1.5,0 LTLTLTL λλαφ

1

_

.λλ

z

zz

il

= (subcapítulo 5.5.2.1, 1993)

Como estamos em presença de uma secção laminada a quente, 21,0=LTα , através do

ANEXO F retiramos a expressão relativa a:



( )2502

501 20

11

90,

f

z,

LT

thiL..c

izL,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=λ

Substituindo vem:

250250

91528394000

201101

839400090,

,

LT

,..,

,,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×=λ

11,70=LTλ

Podemos então calcular:

( )

( ) ( )

7460

19931170 50

501

,

.,,

.

LT

_

,LT

_

,WLTLT

_

=

=

=

λ

λ

βλλλ

Ainda:

( )[ ]836,0

746,02,0746,0.21,015,0

2,0.15,0

2

2__

=+−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

LT

LT

LTLTLTLT

φφ

λλαφ

Podemos verificar o valor da expressão:

115,0

2_

2

≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

LTLTLT

LT

λφφ

χ

( )1824,0

1746,0836,0836,0

15,022

≤=

≤−+

=

LT

LT

χ

χ

Verifica!

Calculando:



071993839

40001

,,,

.izl

z

z

zz

=×

=

=

λ

λ

λλ

E sabendo que mais uma vez: 1,17,08,1. =−== ψββ MLTM

Vem:

900260

9015011071150

90150150

,,

,,,,,

,,..,

LT

LT

LT.M

_

LT

≤=

≤−××=

≤−=

μ

μ

βλμ

Verifica!

Calculando:

( ) ( )

010140

1023510838501025002601

011

64

3

,,K

.,.,,K

,f.A.

N.K

LT

LT

yz

SdzLT

≤=

××××

−=

≤−=

−

χμ

Sendo que zχ foi calculado para o exemplo atrás.

Verifica!

Finalmente podemos verificar a condição:

111

≤+Myy.plLT

Sd.yLT

Myz

Sd

f.M.M.K

f.A.N

γχγχ

Substituindo vem:

( ) ( )( )

( ) ( ) 0,1

110235.10245.824,0

1015.014,0

110235.108,38.5,0

1025066

3

64

3

≤××

×+

×××

−−

0,155,0 ≤



Verifica!

Conclusão Final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços

pretendidos.

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010

i) Classificação da secção

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×−

×+= −3102h

IM

AN

y

yededcompressãoσ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××+= −3102

hI

MA

N

y

yededtracçãoσ

AIi = ⇔ 6.75 =

8.38I ⇔ I = 1767.83 cm4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×−

××

+×

= −−− 384 102152

1083.176715

108.38250

compressãoσ

= -644.86 MPa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××

×+

×= −−− 384 102

1521083.1767

15108.38

250tracçãoσ

= 644.86 MPa

tracçãocomp

comp

σσσ

α+

= = 86.64486.644

86.644+

50.0=

→ Para a alma do perfil em flexão composta

ε7217.226

931603≤=

×−=

−=

Ttb

TC

7250.0

13636=

×==

αε

TC

22.17 ≤ 72 OK. Classe 1

→ Banzo Comprimido

86.69

2.1526

2160

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−



99 =≤ εTC

6.86 ≤ 9 Classe 1

Logo é classe 1

ii) Verificação da resistência da secção transversal

0

,M

fyARdNplλ

=

Cap. 6.1 do EC3, 2010.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

111

2

1

0

M

M

M

γγγ

( ) ( )1

108.3810235,43 −×××

=RdNpl = 911.8 KN

Ned = 250 KN ≤ 6.25 Npl,Rd

≤ 911.8 × 0.25

≤ 227.95 kN, KO!

Ned = 250 KN ≤ 0

5.0M

fyTwhwγ

×××

≤ ( ) ( )1

102351061093101525.03

333 ××××××−×× −−−

≤ 88.125 kN KO

É necessário verificar a resistência à flexão:

0

,γfyWplaRdMply y ×=

1

10235)10245(,3

6 ×××= −RdMply

= 57.56 kNm

iii) Verificação da estabilidade do elemento.

( ) ( ) kNfyAN RK 8.91110235108.38 34 =×××=×= −

fyWplaMy yRK ×= = ( ) ( ) kNm58.571023510245 36 =××× −



( ) 07.119.93

11098.3

412

1

, =×

××

=×= −λλ

z

ZEz

iL

Sendo 1λ lido na página 63 do Eurocódigo 3, 2010.

2.195.0160152

≤==hb

α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1).

( )[ ] 29.107.12.007.115.0 2 =+−×+×= αφ

22

1

λφφχ

−+=Z = 50.0

07.129.129.11

22=

−+

( ) 63.019.93

11075.6

412

1

, =×

××

=×= −λλ

y

yEy

iL

α = 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1).

( )[ ] 77.063.02.063.015.0 2 =+−×+×= αφ

22

1

λφφχ

−+=y = 82.0

63.077.077.01

22=

−+

Cálculo do momento crítico:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

T

wzT

ECR GIL

EIEIGI

LM 2

2

1ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××××

×××+×××××××= −

−−−

1262

106286126

109,8459910814101386210210

1102384710210109,8459910814

wECR

IM

ππ

72,2399=ECRM

63,323972,239935,1 =×=×= ECRmcr MM α

5.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

CR

LTM

fyWyλ=

( ) 133.063.3239

10235)10245(5.036

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ××× −

Sendo 49.0=LTα (Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando

4.00, =LTλ e β = 0.73, obtém-se:

( )[ ] 44.015.0 20, =×+−×+×= LTLTLTLTLT λβλλαφ



22

1

LTLTLT

LTλβφφ

χ×−+

=

16.1133.073.044.044.0

122=

×−+=LTχ

( ) ( )[ ]28.00.2115.01 −×−×−×−= LTKcf λ , Com f ≤ 1

Kc = 0.86 (Segundo quadro6.6 EC3)

( ) ( )[ ] 992.08.0133.00.2185.015.01 2 =−×−×−×−=f OK

17.1992.016.1

mod, ===fLT

LTχ

χ

Ψ+= 4.06.0LTCm ≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3)

= 0.6 + 0.4 ×0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK

Cmy = 0.9

Cmz = 0.9

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××−+×=

1

6.021

M

RKz

Edzmzzz N

NCk

γχ

λ

( ) 23.1

18.911

50.0

2506.063.0219.0 =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××−×+×=zzk

74.023.16.06.0 =×⇔×= zzkk yz

1

1

,

,,

1

≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛Δ+

×+×

M

RKy

EdyEdyyz

M

RKy

Ed

MMM

kN

N

γγχ

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

×+×

158.57

01574.0

18.91182.0

250 0.53 ≤ 1 OK

EdzM ,Δ : Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7)



1

1

,

,,

1

≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛Δ+

×+×

M

RKy

EdyEdyzz

M

RKz

Ed

MMM

kN

N

γγχ

OK187.0

158.57

01523.1

18.91150.0

250≤=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

×+×

Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a

segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1 de 2010.

2.4.4.3. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial

Demonstrar que a secção do problema anterior pode resistir, sem

risco, uma compressão NSd de 250 kN e, ao mesmo tempo,

momentos no eixo maior e menor de My.Sd = 10 kNm e Mz.Sd =

2,7 kNm, supondo que ambos momentos produzem uma só curva

de flexão, sendo a altura de 4 m, como anteriormente.

Resolução


Devem cumprir-se as condições de 5.5.4.(1) e 5.5.4.(2) do EC3, 1993.



Comprovar também a resistência da secção, conforme EC3 (1993) em 5.4.8.

Cumpre as condições de encurvadura e resistência local, pelo que se aceita esta secção.

Resolução segundo o novo Eurocódigo,, 2010

My,sd=10KNm

MZ,sd=2,7KNm



0,1

1

,

,

1

,

,

1

≤++

M

RkZ

EdZyZ

M

RKyLT

Edyyy

M

Rky

Ed

MM

KM

MK

NN

γγχ

γχ

0,1

1

,

,

1

,

,

1

≤++

M

RkZ

EdZZZ

M

RKyLT

EdyZy

M

RkZ

Ed

MM

KM

MK

NN

γγχ

γχ

KNAfN yRk 8,91110235108,38 34 =×××== −

58,571023510245 36, =×××== −

yyplRky fWM

07,1810235109,76 36, =×××== −

yZplRkZ fWM

Encurvadura em torno de y.

63,019,93

11075,6

00,412

1

, =××

== −λλ

y

yEy

iL

2,195,0160152

≤==hb

Curva b.

( )[ ]22,015,0 yy λλαφ +−+=

( )[ ] 77,063,02,063,034,015,0 2 =+−+=φ

22

1

y

y

λφφχ

−+=

82,063,077,077,0

122=

−+=yχ

Encurvadura em torno de z.

07,119,93

11098,3

00,412

1

, =××

== −λλ

z

zEz

iL

Curva c - 49,0=α

( )[ ]22,015,0 yy λλαφ +−+=

( )[ ] 29,107,12,007,149,015,0 2 =+−+=φ

22

1

y

y

λφφχ

−+=



50,008,129,129,1

122=

−+=yχ

( )( ) 4333

19,845999160269104

31

31 mmThI

n

iiiT =××+×−== ∑

=

( ) 663232

101386224

1609104924

mmbht

I fw ∗=

×−×==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

T

wzT

ECR GIL

EIEIGI

LM 2

2

1ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××××

×××+×××××××= −

−−−

1262

106286126

109,8459910814101386210210

1102384710210109,8459910814

wECR

IM

ππ

72,2399=ECRM

63,323972,239935,1 =×=×= ECRmcr MM α

13,063,3239

1023010245 36, =

×××==

−

CR

yyplLT

MfW

λ

( )[ ]2

015,0 LTLTLTLTLT λβλλαφ +−+=

( )[ ] 82,013,075,04,013,049,015,0 2 =×+−+=LTφ

22

1

LTLTLT

LT

λβφφχ

−+=

61,013,075,082,082,0

122=

×−+=LTχ

CmLT=0,8

Cmy=Cmz=0,9

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+≤

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+=

11

8,012,01

M

RKy

Edmy

M

RKy

Edymyyy N

NC

NN

CK

γχ

γχ

λ

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×+≤

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−+=

18,91182,0

2508,019,0

18,91182,0

2502,063,019,0yyK

14,103,1 ≤=yyK



Considera-se 1,03.

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+>

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××−+×=

11

4,116.021

M

RKy

EDmz

M

RKz

Edzmzzz N

NCN

NCk

γχ

γχ

λ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

+>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

×−×+×=8,91182,0

2504,119,08,9115,0

2506.007,1219,0zzk

32,166,1 >=zzk

Considera-se 1,32.

( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−<

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

11

25,01,01

25,01,01

M

RKz

Ed

mLT

M

RKz

Ed

mLT

zzy N

NCN

NC

K

γχ

γχ

λ

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×−

−<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×−

×−=

8,9115,0250

25,08,01,01

8,9115,0250

25,08,007,11,01zyK

9,089,0 <=zyK

Considera-se 0,9.

738,023,16,06,0 =×== zzyz KK

0,1

1

,

,

1

,

,

1

≤++

M

RkZ

EdZyZ

M

RKyLT

Edyyy

M

Rky

Ed

MM

KM

MK

NN

γγχ

γχ

0,1

107,187,2738,0

158,5761,0

1003,1

18,91182,0

250≤+

×+

×

0,1738,0 ≤ O.K.

0,1

1

,

,

1

,

,

1

≤++

M

RkZ

EdZZZ

M

RKyLT

EdyZy

M

RkZ

Ed

MM

KM

MK

NN

γγχ

γχ

0,1

107,187,232,01

158,5761,0

109,0

18,91150,0

250≤+

×+

×

0,199.0 < O.K.

Verifica a segurança, segundo a formulação do método 2.



2.4.4.4. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial

Demonstrar que a secção do problema anterior pode resistir, sem risco a uma compressão Nsd

de 250 kN e, ao mesmo tempo, momentos no maior eixo e menor de My.Sd = 20 kNm e Mz.Sd

= 7 kNm.


Devem cumprir-se as condições de 5.5.4. (1) e 5.5.4. (2) do EC3, 1993, sendo provável que a

resistência da secção seja mais crítica que no problema anterior.

Ver 5.5.4. (1) do Eurocódigo 3, 1993, para os seguintes cálculos.



Comprovar a encurvadura lateral por torção.

Notar que: Ψ = -1, K = 1

Pois ambos os extremos são basculantes (permitem rotações livres).



Aplicar a curva “a” de secção laminada.

Cumpre as condições de encurvadura geral e resistência local. Aceita-se esta secção.

2.4.4.5. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial,

com várias formas de apoio

Um pilar de 7,2 m de altura, articulado na base, com vigas

que transmitem cargas ao eixo forte e ao eixo fraco.

Verificar se é seguro uma compressão Nsd = 250 kNm e

momentos de My.Sd = 15 kNm e Mz.Sd = 2,7 kNm.




Temos que estudar a possibilidade de que a secção se esgote pelo seu eixo forte (yy’s) e/ou

pelo seu eixo fraco (zz’s). Estudar a resistência do pilar (ver 5.5.1 e 5.5.1.2 do Eurocódigo 3,

1993).

Aplicando as curvas de encurvadura (b) e (c), das tabelas 5.5.3 e 5.5.1 do Eurocódigo 3, vem:

Comprovar a encurvadura lateral por torção.



Ver tabela F1.1 e F2.1.(4) para os seguintes cálculos.

Aplicar a curva (a) (Ver 5.5.2(4) do Eurocódigo 3, 1993).

Cumpre as condições de encurvadura geral e resistência local. A secção é aceitável.

Pelo acima exposto constate-se uma maior simplicidade do EC3 de 1993.


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte IV / 131

BIBLIOGRAFIA

•

• Estruturas de Acero – Calculo, Norma Basica y Eurocodigo”, Arguelles Alvarez,

Arguelles Bustillo, Arriaga Martitegni, Atienza Recles.

• Curso Basico de Calculo y Diseño de Estruturas Metálicas en Ordenador – Adaptado

al Eurocódigo 3 y al LRFD (AISC).

• Jaime Marco Garcia, Fundamentos para el Calculo y Diseño de Estruturas Metálicas

de Acero Laminado – Comportamiento del Material y Esfuerzos.

• Norma Europeia EN 1993-1-1: 2010, Eurocódigo 3: Projecto de Estruturas de Aço

(D.N.A.).

• “Projecto de Estruturas Metálicas, Parte I – Análise, Concepção e Dimensionamento

de Estruturas Metálicas”, FCTUC.

• ESDEP, Intoduction to Concise Eurocode 3.

• R. Narayanan, V. Lawless. F. J. Naji, J. C. Taylor, The Steel Construction Institute,

1993.

• Dubas, P. and Gheri, E. - Behaviour and design of steel plates structures. Presses

Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1994.

• ECCS - Technical Committee 8 - Structural Stability, Technical Working Group 8.3 -

Plates Structures, 1986.

• Simões, Rui A.D. – Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas –

Eurocódigo 3: Projecto de Estruturas Metálicas Parte 1-1: Regras gerais e regras para

edifícios – Edição 2005, CMM, Associação Portuguesa de Construção Metálica e

Mista.

• Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background documentation and design

guidelines, ECCS, 2006.

•



ANEXO I – Encurvadura Lateral (incluindo o Anexo F do EC3 de

1993)



ANEXO F (Informativo)

ENV 1993-1-1: 1993

Encurvadura lateral

F.1. Momento elástico crítico

F.1.1 Bases

(1) Momento elástico crítico relativo à encurvadura lateral de uma viga de secção transversal

uniforme e simétrica, de banzos iguais, nas condições padrão de restrições nos apoios,

submetida a uma carga no eixo da sua alma e a um momento uniforme, é dado por:

5,0

2

2

2

2

..

.....⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

z

t

z

wzcr IE

IGLII

LIEM

ππ

(F1)

Com:

( )vEG+

=12

G e E – Módulos de elasticidade Longitudinal e Transversal

It – Constante de enfunamento

Iw – constante de empenamento

Iz – momento de inércia relativo ao eixo zz (eixo de menor inércia)

L – comprimento entre secções da viga contraventadas lateralmente

(2) As condições padrão de restrição em cada apoio são:

• Restrição ao movimento lateral;

• Restrição respeitante à rotação segundo o eixo axial;

• Livre de flectir no plano

•

F.1.2 Fórmula geral para secções transversais simétricas sobre o

eixo menor

(1) No caso de uma viga com secção transversal uniforme simétrica relativamente ao eixo

menor, com flexão sobre o eixo maior, o momento crítico elástico para a encurvadura lateral

(bambeamento) é dado pela seguinte expressão:



( )( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= jgjg

z

t

z

w

w

zcr zCzCzCzC

IEIGLK

II

KK

LKIECM 32

5,0

2322

22

2

2

1 ......

...

ππ

(F.2)

Na qual C1, C2 e C3 são factores dependentes das condições dos apoios e da forma do

diagrama dos momentos flectores

K e Kw são factores efectivos de comprimento, dependentes das condições de

apoio nas extremidades.

sag ZZZ −=

( )∫ +−= ysj I/dA.Z.zyA,ZZ 2250

Za é a coordenada do ponto de aplicação da carga em relação ao centro de

gravidade da secção

Zs é a coordenada do centro de corte em relação ao centro de gravidade da

secção

Zj é o parâmetro que traduz o grau de simetria da secção em relação ao eixo y

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica e toma valores maiores o

banzo comprimido de maior momento de inércia em torno de z.

Nota: Ver F.1.2 (7) e (8) para os sinais convencionais e F.1.4 (2) para as aproximações de Zj.

(2) Os factores efectivos de comprimento, K e Kw, variam de 0,5, para encastramento

completo, a 1,0, para somente apoiado, com 0,7 para um apoio encastrado e o outro apoiado.

(3) O factor K refere-se à rotação no plano e é análogo ao quociente entre l/L para a peça

comprimida.

(4) Caso geral, o factor Kw refere-se ao enfunamento. Excepto nos casos em que não forem

tomadas medidas para evitar enfunamento, Kw deverá ser igual a 1,0.

(5) Os valores C1, C2 e C3 serão dados pelas tabelas F.1.1 e F.1.2 para os diferentes casos de

tipos de cargas, mediante a forma do diagrama de esforços sobre o comprimento L, entre os

apoios. Os valores dados correspondem aos vários valores de K.

(6) Para os casos de K=1,0, o valor de C1 para qualquer valor do momento no apoio, como o

indicado no quadro F.1.1, é dado aproximadamente por:

21 .52,0.40,188,1 ψψ +−=C com 70,21 ≤C (F.3)

(7) O sinal convencionado para a determinação de Z j, ver fig. F 1.1., é:



Z é positivo para o banzo comprimido;

Z é positivo quando o banzo que tiver maior valor de Iz estiver comprimido no

ponto de maior momento.

(8) O sinal convencionado para a determinação de Zg é:

A carga gravítica Zg é positiva para cargas aplicadas no centro de corte.

Em casos gerais, Zg é positivo para cargas activas aplicadas “towards” na direcção do centro

de corte.

F.1.3 Vigas com secções transversais duplamente simétricas e

uniformes

(1) Para secções transversais duplas e simétricas, Zg = 0, assim:

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= gg

z

t

z

w

w

zcr zCzC

IEIGLK

II

KK

LKIECM 2

5,0

222

22

2

2

1 ......

...

ππ

(F.4)

(2) Para os momentos nos apoios, C2 = 0 e para cargas transversais aplicadas no centro de

corte Zg = 0 . Para estes casos:

( )( )

5,0

2

22

2

2

1 ......

...

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

z

t

z

w

w

zcr IE

IGLKII

KK

LKIECM

ππ

(F.5)

Quando K = Kw = 1,0 (sem fixação no apoio):

5,0

2

2

2

2

1 ......

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

z

twzcr IE

IGLII

LIECM

x ππ

(F.6)



Quadro F.1.1 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K – Momentos nos apoios

Carregamentos e condições de apoio

Diagrama de momentos Valor de K

Valor dos factores

C1 C2 C3

M M

= + 1

1,0 0.7 0,5

1,000 1,000 1,000

1,000 1,113 1,144

= + 3/4

1,0 0.7 0,5

1,141 1,270 1,305

0,998 1,565 2,283

= + 1/2

1,0 0.7 0,5

1,323 1,473 1,514

0,992 1,556 2,271

= + 1/4

1,0 0.7 0,5

1,563 1,739 1,788

0,977 1,531 2,235

= 0

1,0 0.7 0,5

1,789 2,092 2,150

0,939 1,473 2,150

= - 1/4

1,0 0.7 0,5

2,281 2,538 2,609

0,855 1,340 1,957

= - 1/2

1,0 0.7 0,5

2,704 3,009 3,093

0,676 1,059 1,546

= - 3/4

1,0 0.7 0,5

2,927 3,009 3,093

0,366 0,575 0,837

= - 1

1,0 0.7 0,5

2,752 3,063 3,149

0,000 0,000 0,000



Quadro F.1.2 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K – cargas nos vãos

Tipo de cargas e condições de apoio

Diagrama de momentos Valor de K

Valor dos factores

C1 C2 C3

W

1,0 0,5

1,132 0,972

0,459 0,304

0,525 0,980

W

1,0 0,5

1,285 0,712

1,562 0,652

0,753 1,070

F

1,0 0,5

1,365 1,070

0,553 0,432

1,730 3,050

F

1,0 0,5

1,565 0,938

1,267 0,715

2,640 4,800

F F

L/4 L/4 L/4 L/4

1,0 0,5

1,046 1,010

0,430 0,410

1,120 1,890



Figura F.1.1 – Convenção de sinais para a determinação de Zj

Zs

Y

Z

Centro de corte

Centro de gravidade

(compressão)

(tracção)

Centro de gravidade

Centro de corte

Zs

Z

Y

(compressão)

(tracção)

F.1.4 Vigas com secções transversais monossimétricas, uniformes e

com banzos diferentes

(1) Para uma secção em I com banzos diferentes:

( ) 2..1. gzffw hII ββ −= (F.7)

Com:



ftfc

fef II

I+

=β

Ifc é o momento de inércia da área de compressão do banzo sobre o eixo de

menor secção

Ift é o momento de inércia da área de tensão do banzo sobre o eixo de menor

secção

hg é a distância entre o centro de corte e os banzos

(2) Pode, no entanto, usar-se as seguintes aproximações para Zj:

Quando: ( ) 21280

50

gfj

f

h..,Z

:,

−=

⟩

β

β

(F. 8)

Quando: ( ) 2.12.0,1

:5,0

gfj

f

hZ −=

⟨

β

β

(F. 9)

Para secções com rebordos nos banzos comprimidos (rigidizadores)

( ) ( ) 2.1.12.8,0 gLfj hhhZ +−= β quando 5,0⟩fβ (F.10)

( ) ( ) 21.12.0,1 gLfj hhhZ +−= β quando 5,0⟨fβ (F.11)

Em que hL é o comprimento do rebordo.

F.2 Esbelteza

F.2.1 Conceitos gerais

(1) O valor da esbelteza normalizada para a encurvadura lateral, LT

_λ , é dado por:

( ) 5,01

_

. wLTLT βλλλ = (F.12)

Com:

( ) επλ .9,93. 5,01 == yfE

( ) 5,0235 yf=ε (com yf em N/mm2)

wβ = 1 para secções transversais das classes 1 e 2



yplyelw WW ..=β Para secções transversais da classe 3

yplyeffw WW ..=β Para secções transversais da classe 4

(2) O valor da esbelteza normal para a encurvadura lateral relativo a todas as secções

transversais, é dado por:

( ) 5,0.

2 .. cryplLT MWEπλ = (F.13)

F.2.2 Vigas com secções transversais duplamente simétricas e

uniformes

(1) Para os casos em que Zg = 0 (o momento no apoio ou a carga transversal aplicada no

centro de corte) e K = Kw = 1,0 (sem fixação no apoio), o valor de LTλ , pode ser obtido

através da expressão:

( )25,0

2

25,0

1

25,02.

..

.1.

.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

=

w

t

wz

ypl

LT

IEIGLC

IIw

L

π

λ

(F.14)

Ou também pela expressão equivalente:

( ) ( ) 25,025,0

1 66,251. ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=LT

LTLT

aLC

iLλ

(F.15)

Com: ( ) 5,0twLT II=α

(2) Para uma secção plana I ou H (sem rebordos):

Iw = Iz . hg2/4 (F.16)

Com: fg thh −=

(3) Para uma secção transversal duplamente simétrica, o valor de iLT é dado por:

( ) 25,02.. yplwzLT WIIi = (F.17)

Ou com uma aproximação, por:

( )[ ] 5,0..5,0 gwzLT htAIi −= (F.18)



(4) Para secções I ou H laminadas, conforme “Reference Standard 2”, pode ser usada a

seguinte aproximação pelo lado da segurança:

( )25,02

5,01 20

11.⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

=

f

LT

LTLT

thiLC

iLλ

(F.19)

Ou:

( )25,02

5,01 20

11.

9,0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

=

f

zLT

thizLC

iLλ

(F.20)

(5) Para qualquer secção I ou H com banzos iguais pode ser usada a seguinte aproximação

pelo lado da segurança:

( )25,02

5,01 20

11.⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

=

f

zLT

thizLC

iLλ

(F.21)

(6) Nos casos com K < 0,1 e/ou Kw < 1,0 pode-se usar:

( ) ( )25,0

2

225,0

1

25,02.

....

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

=

w

t

w

wz

yplL

LT

IEIGKL

KKC

IIw

K

π

λ

(F.22)

Ou:

( ) ( )25,0

225,0

1 66,25 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

LT

w

LTLT

akLKKC

ikLλ

(F.23)

Ou para secções padrão I ou H laminadas:



( )25,022

5,01 20

1.⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

f

LT

w

LTLT

thiKL

KKC

iKLλ

(F.24)

Ou:

( )25,022

5,01 20

1

9,0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

f

z

w

zLT

thiKL

KKC

iKLλ

(F.25)

Ou para qualquer secção I ou H com banzos iguais:

( )25,022

5,01 20

1⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

f

z

w

zLT

thiKL

KKC

iLKλ

(F.26)

(7) Salvo caso especial em que sejam tomadas precauções para prevenir o enfunamento, Kw

deve tomar o valor de 1,0.

(8) No caso de cargas transversais aplicadas em cima do centro de corte (zg>0,0) ou debaixo

do centro de corte (zg < 0,0), pode-se usar:

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

5,05,0

2

5,0

222

225,0

1

25,02.

....

w

zg

w

zg

w

t

w

wz

ypl

LT

IIzC

IIzC

IEIGKL

KKC

IIw

kL

π

λ

(F.27)

Ou em alternativa:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡5,0

2

5,02

222

5,01

2266,25 g

g

g

gLT

w

LTLT

hzC

hzCakL

KKC

ikLλ

(F.28)

Ou para secções padrão I ou H laminadas:



( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡5,0

2

5,02

2

225,0

1

22201

g

g

g

g

f

LT

w

LTLT

hzC

hzC

thikL

KKC

ikLλ

(F.29)

Ou em alternativa:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡5,0

2

5,02

2

225,0

1

22201

9,0

g

g

g

g

f

Z

w

ZLT

hzC

hzC

thikL

KKC

ikLλ

(F.30)

Ou para qualquer secção I ou H com banzos iguais:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡5,0

2

5,02

2

225,0

1

22201

g

g

g

g

f

Z

w

ZLT

hzC

hzC

thikL

KKC

ikLλ

(F.31)

Em termos genéricos, o valor crítico do momento segundo o eixo dos “yy’s” My designado

como momento crítico, crM , é, para o “caso padrão” (momento crítico de uma viga

simplesmente apoiada com uma secção transversal simétrica - secção em I ou H - submetida a

momento flector constante) (Simões, 2005):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

T

WzTcr GIL

EIEIGIL

M 2

2

1 ππ (A.1)

Sendo Iz o momento de inércia da secção em relação ao eixo z (eixo de menor inércia), IT a

constante de torção uniforme, IW a constante de empenamento, L o comprimento entre

secções da viga contraventadas lateralmente e E e G os módulos de elasticidade longitudinal e

transversal, respectivamente. Esta expressão (A.1), embora deduzida para um elemento com

secção I ou H, é válida para elementos com outras secções duplamente simétricas.

A constante de torção uniforme IT (geralmente designada por inércia ou constante de torção) e

a constante de empenamento Iw para as secções mais correntes costumam estar tabeladas

pelos fabricantes. No Anexo I são apresentadas estas grandezas para alguns tipos de secções

(Simões, 2005).

Interessa referir que o nível de aplicação do carregamento também tem uma influência directa

no momento crítico de uma viga. De facto, uma carga descendente aplicada abaixo do centro



de corte (que é coincidente com o centro de gravidade, no caso de secções em I ou H

duplamente simétricas) tem um efeito estabilizador, sendo que uma carga aplicada acima

desse ponto tem um efeito instabilizador.

O momento crítico de secções não contraventadas lateralmente, de vigas com secção

transversal duplamente simétrica (caso de secções em I ou H) e carregamentos aplicados no

centro de corte (que em secções duplamente simétricas coincide com o centro de gravidade),

para diversos géneros de carregamento, pode ser estimado multiplicando o momento crítico

para uma situação “padrão” ( CrM dado pela expressão A.1) por um factor αm:

crmcr MM α= (A.2)

Valores de αm podem ser encontrados no quadro A1.1.

Em vigas em consola submetidas a uma carga pontual na extremidade ,ou a uma carga

linearmente distribuída ao longo do seu vão, o momento crítico pode ser estimado através das

expressões A.3 e A.4, respectivamente (Simões, 2005).

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

22 )1.0(44.11)1.0(2.11)2(4

44.112.1111

ε

ε

ε

εLGIEI

KLGIEI

M TzTzcr (A.3)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+=

22 )1.0(69.11)1.0(3.11)2(10

)1.0(96.11)1.0(4.1127

ε

ε

ε

εLGIEI

KLGIEI

M TzTzcr

(A.4)

Os parâmetros “ε” e “K” são dados por: π

ε KhyQ2

= e 2

2

LGIEI

KT

Wπ= , sendo “h” a altura

total da secção e a restante simbologia definida anteriormente, onde “yQ” é a distância entre o

ponto de aplicação das cargas e o centro de gravidade (neste caso coincidente com o centro de

corte).

No caso de um tramo em consola, na extremidade de uma viga contínua, as condições de

restrição na secção de apoio são distintas das verificadas num encastramento perfeito. Deste

modo, na secção do apoio da viga num tramo em consola de uma viga contínua, submetido a

uma carga pontual na extremidade ou a uma carga linearmente distribuída ao longo do seu

vão, o momento crítico pode ser estimado através das expressões A.5 e A.6, respectivamente

(Simões, 2005).



⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+=

22 )3.0(91)3.0(31)2(5.1

)1.0(25.21)1.0(5.116

ε

ε

ε

εLGIEI

KLGIEI

M TzTzcr

(A.5)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+=

22 )4.0(84.71)4.0(8.21)2(4

)3.0(24.31)3.0(8.1115

ε

ε

ε

εLGIEI

KLGIEI

M TzTzcr

(A.6)

Quadro A1.1 - Factores para o cálculo do momento crítico em tramos de vigas com comprimento L e secção duplamente simétrica (Simões, 2005)



Os momentos críticos acima expostos podem ser estimado através da fórmula F.2, aplicável a

elementos submetidos a flexão em torno do eixo de maior inércia, constituídos por secções

simétricas em relação ao eixo de menor inércia, com as diversas condições de apoio e

diversos tipos de carregamento colocados nas tabelas respectivas.

ANEXO II – Tabelas



Quadro A2.1 - Centro de Corte e Módulo de Torção

Quadro A2.2 - Tensões tangenciais e constante de torção em secções correntes (Simões, 2005)



Quadro A2.3 - Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2005)



ANEXO III – Encurvadura (em inglês)



Flexural buckling

This kind of buckling usual occurs in any compression member that experiences a deflection

originated by bending or flexure. Flexural buckling take place about the axis with the largest

slenderness ratio and the smallest radius of gyration (Figure 6.1(a)). Is the type of buckling

that happen where axial compression force is dominant.

At the critical load, the stable equilibrium of the straight column is at its limit and there exists

a slightly deflected configuration of the column, which can also satisfy equilibrium. For this

configuration, the bending moment at any cross section is given, for a pin–ended strut.

The critical load for a pin–ended column was calculated by Leonhard Euler in 1744.

Historically speaking, it is the first solution given to a stability problem.

Figure 6.1. Buckling modes at element level: a)+d) flexural; b)+e) torsional; c)+f) flexural–torsional buckling or lateral

buckling (Almeida, 2007 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.18]).



The same procedure may be used for cases with other boundary conditions. The critical load

given above does not take into account the effect of shear forces. Thus, owing to the action of

the shear forces, the critical load is reduced when compared to Euler's load. In the case of

solid columns, the influence of shear can generally be neglected.

However, in the case of laced or battened compression members, this effect may become of

practical importance and should be considered.

Note that these phenomena only can be characterized like instability if we are in presence of

one pure compression. If there is also a bending or flexion applied at the weak axis, the

compression generates a second order effect but not buckling itself.

In fact, the moment of flexion in the weak axis produce a deflexion that associated with the

compression induce a second moment in the same weak axis, but that deflexion already was

there, before the compression, and is not direct cause of the compression but just increase in it

presence.

Therefore, the deflexion by the moment is a 1.ª order phenomenon and is enlargement, by the

compression, is a 2.ª order phenomenon and no buckling occurs, being the collapse by

resistance.

Figure 6.2. Buckling modes for non-braced and braced compression (Höglund, 2008 [Erro! A origem da referência não foi

encontrada., p.45]).

Braces constrained against flexural buckling use buckling stiffeners, being make a

representative illustration between buckling modes for non-braced and braced compression in

Figure 6.2.



Torsional buckling

Torsional buckling of columns can arise when a section under compression is very weak in

torsion, and leads to the column rotating about the force axis.

Figure 6.3. Torsional buckling modes in a cruciform section.

Typically, this form of buckling happens in compression members that are doubly symmetric

and have especially slender cross–sectional elements. Being certain that almost never can

occur in rolled sections, is characterized by a rotation about the longitudinal axis (Figure

6.1(b), Figure 6.2 and Figure 6.3).

Flexural–torsional buckling and/or lateral–torsional buckling

Flexural–torsional buckling and/or lateral buckling is the simultaneous bending and twisting

of a member (Figure 6.1(c)) when instability arrives, inducing buckling coupled deformations

in the lateral and torsional directions.



Figure 6.4. Column (flexural and flexural-torsional) and beam (lateral-torsional) buckling differences.

Lateral-torsional buckling is similar to the flexural buckling or flexural-torsional buckling of a

column subjected to axial loading, the difference is more in the kind of action that produce the

phenomena rather in the effect. However, there is one key difference: (i) for a column, the

axial load causing buckling remains constant along the length; (ii) but, for a beam, usually the

lateral-torsional buckling causing bending moment varies along the unbraced length.

In the first case, (i) flexural–torsional buckling, we have action compression alone or

associated with bending (column and beam–column, being that in compression members is

most common in case of cross-section with just one axis of symmetry) and in the second, (ii)

lateral–torsional buckling, just bending moment. The first edition of the standard EC3

verifyed this phemomena by using double sectional check, where clear was separate flexural–

torsional buckling from lateral–torsional buckling:

(Eq. 6.1)

, ,

min1 1 1

, ,

1 1 1

1

1

flexural – torsional buckling

lateral – torsional buckling

y y Sd z z SdSd

y y y z y

M M M

LT y Sd z z SdSd

y y y z yz LT

M M M

k M k MNA f w f w f

k M k MNA f w f w f

χγ γ γ

χ χγ γ γ

+ + ≤⋅ ⋅ ⋅

+ + ≤⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅→

⋅ ⋅→

Note that in first expression the buckling reduction factor, χ, was the lower between local “y”

and “z” axes, while in second expression we have just the weak axes buckling reduction

factor, χz, and lateral-torsional effect, LT, was introduce for moment about the strong axes

(the one that may buckles laterally when bending).

Therefore, we can separate the phenomena genesis in pure bending (beam), in pure

compression (column) or both together (beam–column):

→ Pure bending – when a beam is bent about its strong axis, it normally deflects only in that plane.

However, if the beam does not have sufficient lateral stiffness or lateral supports to ensure that this

occurs, then it may buckle out of the plane of loading;

→ Pure compression – when we are talking about compression members, this type of buckling only occurs

in that one which has unsymmetrical cross section with one axis of symmetry. This mostly occurs in

channels, structural tees, double–angle shapes, and equal–leg single angles;

→ Combined bending and compression – the add of both above situation, but the effects itself are similar

depending the relative values of the types of deflexions (flexural and torsional) of the magnitude of each

force.



Looking to the straight elastic beam case, there is no out–of–plane displacements until the

applied moment reaches its critical value. When this happen the beam buckles, by deflecting

laterally and twisting (lateral buckling), therefore, involves lateral bending and torsion. We

can identify the simplest case as the one of a doubly symmetric simply supported beam,

loaded in its stiffer principal plane by equal moments. The expression was established, for the

first time in 1899, by Prandtl.

When a beam is loaded in flexure, the load bearing side (generally the top) carries the load in

compression. Because this moment induces web compression, it generates instability in this

zone and the weak axes may not have enough rigidity to oppose to lateral deflexion, so a

bending appear in the weak axis. Also, because the other web is in traction, this portion of the

beam resist to this lateral displacement and the torsion occurs (Figure 6.5(a)). Indeed:

→ Lateral deflection – the lateral bending of the section creates restoring forces that oppose the movement

because the section wants to remain straight. These restoring forces are not large enough to stop the

section from deflecting laterally, but together with the lateral component of the tensile forces, they

determine the buckling resistance of the beam;

→ Torsional effect – in addition to the lateral movement of the section the forces within the flanges cause

the section to twist about its longitudinal axis (Figure 6.5(b)). The twisting is resisted by the torsional

stiffness of the section. The torsional stiffness of a section is dominated by the flange thickness. That is

why a section with thicker flanges has a larger bending strength than the same depth of section with

thinner

(a) (b)

Figure 6.5. Lateral forces induced by in–plane compression and traction forces in flexural–torsional buckling or lateral

buckling

Resuming, the applied vertical load (or ends moments) results in compression and tension in

the flanges of the section. The compression flange tries to deflect laterally away from its



original position, whereas the tension flange tries to keep the member straight. The transverse

section, itself, can have some distortion along the principal axes of the beam because of that.

The magnitude of lateral buckling mainly depends:

→ Location of the applied load;

→ The shape diagram of the applied bending moment;

→ End support conditions.

The following factors affect the slenderness (λi = L/(Ii/A)½) of a section:

→ Length of the beam, flexural stiffness, cross-sectional area (directly visible in classic slenderness

formula);

→ Lateral bending stiffness of the flanges and torsional stiffness of the section (not so obviously).

Beams are subject to combined bending and torsion, and lateral torsional buckling in the

construction stage. Lateral–torsional buckling is fundamentally similar to the flexural–

torsional buckling and, even, flexural buckling of a column subjected to axial loading, being

the similarity founded in the fact that all they are a bifurcation–buckling type phenomenon.

Indeed, lateral–torsional buckling and/or flexural–torsional buckling are an important limit

state that must be considered, being the most complex of all the three we have seen.

The lateral instability of a beam just may happen if it suffers a flexion in turn of strong axes,

in case of unbrace compressed zone (unbraced compressed flange). In fact, the compressed

flange tends to buckle, swaying laterally, while traction zone (traction flange) tends to

stabilize, restricting the lateral displacement.

This is a case of bifurcation buckling, where the fundamental path is the flexion in turn of

strong axes (displacement “w”) and the instability mode involves both flexion in turn of weak

axes (displacement “v” at compressed zone) and torsion in turn of longitudinal axes (rotation

“ϕ” induced by restriction of traction zone), as can be seen in Figure 6.6 (Reis & Camotin,

2001 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.265-266]).



Figure 6.6. Lateral instability of beams – equilibrium path (Reis & Camotin, 2001 [Erro! A origem da referência não foi

encontrada., p.266]).

Types of instability at the sectional level

At sectional level, structure is said to buckle when some of the parts, or points, of the cross

sectional suffer a relative displacement form another one. This is more frequent in sections of

thin wall (thin–walled structures), under any kind of efforts (except pure traction, as is

obvious).

In Figure 6.7 is show the difference between a local and global mode of buckling, being that

we can also see the column failure as an element buckling situation (in an isolated point of

view).

Figure 6.7. Buckling in double modes of a stiffened plate (Nguyen, 2000 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.,

p.177]).

The elevated slenderness of the different elements (plates) that constitute the cross section

leads to that can take place local buckling phenomena, which should be considered explicitly

in the design of this kind of sections. Beyond that, the resistance post–buckling of slender

elements is normally stable, what make it possible consider the backup of post–buckling



resistance in the dimensioning of this kind of form sections in order to obtain an economical

solution.

Two main effects may take place:

Local Torsion effect - The cross sectional slenderness implies a rigidity of twisting usually very

low. Most of the sections produced by the cold forming process are mono–symmetric or even asymmetric,

and where the centre–cut does not coincide with the centre of gravity of the section, and thus the

consideration second torsion moments is need, that arising from the eccentricity between the axis loads of

action and the canter–cut. Thus, typically, this type of elements needs to be restricted to the twisting,

either continuously or at regular intervals along its entire length;

Local Distortion effect - Sections prevented/restrained from cross warp, laterally deflect or

twist may still suffer a way of buckling usually designated by distortion buckling. This mode of buckling

can occur in compress of bending members.

As the resulted of the two effects above identify, there are two main ways a compression

section can buckle, or become unstable: (i) local plate; (ii) distortional. In addition is possible

the consideration of a third mode, a mixed of the two before, namely the coupled model.

Local Plate Mode (LPM)

Local Plate Mode (LPM) is show at Figure 6.8 and is characterized by that fact that interior

nodes of the cross section do not move from initial position.

Distortional Mode (DM)

By the contraire, in Distortional Mode (DM), as is show at Figure 6.8, the interior nodes of

the cross section may move from it initial position.



Figure 6.8. Buckling modes at section level of Local Plate Mode type (LPM) and buckling modes at section level of

Distortional Mode type (DM)

Local Plate Mode (LPM) and Distortional Mode (DM) normally just happen in short span

members with significant load.

Coupled Mode

This model is a combination the booth two before, (LPM) plus (DM), as show in Figure 6.9.

Figure 6.9. (a) Coupled model; (b) Web coupled configuration; (c) Local plate model; (d) Distortional model; (e) Web coupled

model resultant from (c) LPM and (d) DM (Nagahama, 2003 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p. 121-123])

Very complete and understandable interpretations of all the above cases can be found from

many authors (as Nagahama, 2003, [Erro! A origem da referência não foi encontrada.],

among many) and available in many web sites (CUFSM - Schafer, 2009 [Erro! A origem da

referência não foi encontrada.]) with useful computer programs associated.

Instability at the joints/nodes/connections level



The joints/nodes/connections of a structure are also important locations of possible instability,

and not only a place where undesirable displacement or rotations may occur.

In fact, these important structural components may suffer many kind of instability, namely

due to be propensity to several kind of imperfections, complex behaviour and incorrect

design.

Also, geometrical imperfections due to joint angle deviations, from the right angle of the joint

with respect to the centre-lines of the two members of the frame, influences significantly the

buckling strength of the frame. This effects may decreasing, or not, the strength of such

structures (Avraam & Raftoyiannis, 2009 [Erro! A origem da referência não foi

encontrada.Erro! A origem da referência não foi encontrada.]).

Buckling domains (global, element, sectional and nodes)

In the Figure 6.10 is represented, in a simpler way, some of the phenomena above identified,

making correspond them to exemplar given section in function of the value of the spam

(development of the slenderness of the piece with increase of this value), in a merely

illustrative approach.

It must be refer that, as would could not be of other way, the greatness of the spam is

important but not unique factor, being equally limitative the value of the load (the force of

compression that this load generate), what means, the tension that the load go to induced in

the section in analysis.



Figure 6.10. Buckling phenomena in relations with transversal section, stress and spam deep (including possible simulating

with 7 freedom displacement stiffness matrixes) (adapted from Varma, 2008 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.])

In the blue letter arise the effects that can be, most minimum, misled through the use, in

automatic calculation, of a matrix of classical stiffness increased to 7 freedom displacements,

being the 6 first the trivial of a bar stiffness matrix in the space and the 7.º corresponding to

the warping effects of the section.

The Local Plate Model (LPM) and the Distortional Mode (DM) cannot be represented in a

matrix of stiffness whose freedom displacements do not permit that points of the section

change the relative location vary among themselves.

This kind of effects may be captured using nonlinear geometric shells (Nandini &

Kalyanaraman, 2010 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.]; among others) or

GBT (Silvestre, 2005 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.]; Basaglia et al,

2009 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.]; Camotin et al, 2010 [Erro! A

origem da referência não foi encontrada.]; among others), but assuming the price of

numerous DOF, although some more developments being able of reduce this number

(Gonçalves, 2010 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.]).

Note that in the case of stable sections to distortion, this zone of the graphic (where sectional

distortion occurs) would be a potential plastic behaviour, given the small value of the



slenderness for the length of the spam. Rather, as the size of it will grow, it would change the

behaviour to elastic–plastic range and, finally, just elastic.

Another attention to some important facts that comes from Figure 6.11:

→ Local Plate buckling only involves rotation of internal folds;

→ Distortional buckling booths involves rotation and translation of internal folds;

→ Lateral–Torsional buckling involves “rigid–body” translation with rigid deformation of the cross

section without distortion.

Figure 6.11. Buckling phenomena illustration in a member: (left) flexural–torsional; (centre) local–plate; (right) distortional

(Silvestre & Camotin, 2003 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.])

Nevertheless, these are pure mode situations, once in practice many mixed and/or complex

types may occur (as show in an assorted example at Figure 6.12), being almost infinite the

possible combination.

Figure 6.12. Buckling modes in partial restrained profiles (Vrcelj, Z. & Bradford, 2006 [Erro! A origem da referência não foi

encontrada., p.228])

Material properties during the buckling process

The material properties during the buckling process have a crucial importance. In fact, and in

a concise and comparative way, we can say that:

→ Elastic buckling takes place in a process where the critical state is initiates in an elastic material

range. This means that the instability occurs before plasticity and the structure only reaches plastic

deformations after has already experienced buckling phenomena. This may occurs in very slender frames

and thin-walled shells;



→ Plastic buckling, by the contrary, it is initiates with plastic deformations. In this case, plasticity occurs

before the instability, what means prior to the structure reaches a buckling load (plastic deformations has

already started, even the collapse can take place without any visible buckling). This maybe the case of

robust frames or thick shells;

→ Elastic-plastic buckling occurs when plasticity and instability happen almost at the same (or very near)

load level. It can be exemplify by moderate slender frames or thin shells.

Therefore, the conscience of the limits of linear (material) buckling must be present when use

this kind of analysis.

Structural stability of frames in standard (EC3)

It is known that the effects of deformed geometry of the structure (second order effects) may

be of the major importance in it response to the applied loads, especially in structures of

significant slenderness, as the metallic one. In fact, in this type of thinness structures, many

times the deformability and the stability are the constraints of the design, overshadow cross-

sectional resistance.

Therefore, if the influence of the deformation is significant to the structure behaviour, these

effects has to be taken into account, being correspondently verify in: (i) the structural stability

and (ii) internal forces enlargement (increase of the action effects).

When stability verification must be done, at global and/or local level, not only the second

order effects should be considered, as the imperfections have to be included. For this, three

types of methods are provides by EC3:

→ 1. Second order effects and the imperfections integrated in the global analysis;

→ 2. Just in part the second order effects and the imperfections are account by the global analysis, being

the remain unconsidered effect checked according to the relevant criteria of subsection 6.3 of EC3;

→ 3. When in presence of basic cases, an individual stability check of equivalent members may be done,

using appropriate buckling lengths according to the global buckling mode of the structure, according to

subsection 6.3 of EC3.

This work is concerned with the purpose of an appropriated and simply methodology that uses

first option.

Final remarks & recommendations

In a description of the behaviour of a solid, subjected to a load action, two typical stages can

be differentiated (Yang & Kuo, 1994 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.,

p.219]):



→ Pre-buckling stage, that corresponds to small deformations and neglected changes in geometry

(sometimes this stage may have measurable displacements, but always small deformations);

→ Buckling stage, when large deformations take place, and not in a parallel direction of the pre-buckling

stage (what just could correspond to material nonlinear response).

In fact, it just can be say that in pre-buckling stage the deformations are small if we admit that

possible plastifications are, also, small. However, even with mild or large plastification that

do not represent, necessarily, buckling stage. Actually, we can have large plastifications in

pre-buckling stage, but what we must assume is that nonlinear behaviour of all kind may be

present (geometric and, manly, material).

Once a simultaneous nonlinear geometric and material analysis is a continuum incremental

and iterative process, where the passage between pre-buckling stage and buckling stage is

slow and multi-parameter course of action (depending of the ductility properties of the

structural system), with many plasticifications, consequent redistributions of internal stress

and geometric changes, that approach can be classify as a natural and realistic consequence of

a complete step-by-step load-displacement path approach.

So, in the context of this chapter it only make sense an approach in the elastic range,

once the kind of the formulations that will be introduce aim to try to anticipate the final

moment when, abruptly and severely, the structure undergoes from a pre-buckling stage

to a buckling stage. In spite of that, many concepts that will be presented are quite applicable

in a nonlinear geometric and material context, because suddenly and brutally instability

behaviour also may happen in real structures.

With the above and vital notification in mind, the frontier between the pre-buckling and

buckling stage as a close relation with the beginning of stability loss, which can be, or not,

recuperated as the load increase (or still stable).

This also demarks the difference between the linear and nonlinear buckling:

→ In linear buckling, we can estimate the maximum load that can be supported preceding the structural

instability or collapse, but the “P-∆” & “P-δ” effects, support deforming and yielding effects are not

significant in the loading range up to buckling. In addition, because imperfections and full nonlinearities

(especially material one) are not included, the eigenvalue buckling load factors are, therefore,

overestimated. However, a linear buckling analysis can give an accurate assessment of structure and

member resistance;

→ In nonlinear buckling a detailed structural geometrically nonlinear analyses should be carried out,

including material and boundary nonlinearity if required. In fact, in this case, the tangent stiffness matrix

of the structure is automatically updated between loading increments, what turns the analysis able to



integrate deformations, which affect the structural behaviour (“P-∆” & “P-δ” effects). Also, the analysis

can be performed with imperfections (which deformed shape could be from a linear buckling model)

and/or with material nonlinearity during a buckling event (as yielding) and/or, even, some boundary

nonlinearity (yielding supports). Of course, this progressively, step-by-step, analysis may better identify

the structural behaviour and the origin of any possible failed analyses.

Some more remarks to this chapter:

→ Post-bucking is an area that has deserve already many studies (as Chajes, 1983 [Erro! A origem da

referência não foi encontrada., p. 2450-2462]), but here as just justified a short review, and even stilling

in linear behaviour, although in what post-buckling behaviour of structures is of concern, the use of an

accurate elastic stiffness matrix plus a rigid-body-qualified geometric stiffness matrix can always yield

satisfactory results (Yang et al, 2003 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.248-251]);

→ Buckling length and slenderness factor is a subject that was not considered in deeply, in spite that has

been study by many authors (as Ochoa, 1994 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.,

p.2977-2991), as should be seen is not important in the context of this work;

→ Stability of bracing (and/or unbraced) systems has deserved same individual studies (as Thevendran &

Wang, 1993 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.169-180]), although is not an matter

that make difference in the perspective of this study;

→ Linearized stability analysis (buckling analysis) has as basic assumption small deformations and no

imperfections or plastic behaviour, consequently the real critical buckling load always will be smaller

than reality. Thus, linear stability analysis should therefore only be used as a guideline to instability load,

being insufficient design criteria;

→ In addition, in the context of stability analysis, a common assumption is that large displacements are

described within the rigid body motion so that deformations are small. If this assumption is not legitimate

for a particular element, one possible solution is to break it into more elements until the assumption holds

true;

→ Buckling of one member (or a part of it) does not necessarily correspond to the ultimate loads carrying

capacity (Gambhir, 2004 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p. 120]), once post-

buckling strength of the structure may overcome this situation. However, reserve of strength analysis, as

load carrying capacity safety under abnormal conditions, beyond critical point, was not introduced or

explored;

→ Plastic buckling of elements, even in simplify form (Jones, 2006 [Erro! A origem da referência não foi

encontrada., p. 187-202]), also was not introduced;

→ Progressive failure analysis, as stability and strength criterion of progressive deterioration, also was

not focused.

ec3 - parte 4

Documents