Eletricidade Aplicada

Aulas Teóricas

Professor: Jorge Andrés Cormane Angarita

Circuitos em CA

Números Complexos

Introdução

Um número complexo z é definido como a soma de um número real e um número imaginário, da forma z=x+jy, onde x e y são número reais e j=-1.

Os números complexos podem ser escritos de quatro formas diferentes

Retangular z = x + jy

Polar z = r

Exponencial z = rej

Trigonométrica z = r(cos + jsin)

3

Introdução

Os números complexos podem ser representados graficamente como

Pontos em um sistema de coordenadas retangulares, conhecido como plano complexo, que possui um eixo real e outro imaginário.

Segmentos de reta, que ligam a origem do plano complexo ao o ponto que representa o número complexo. O ângulo do segmento de reta, é medido no sentido anti-horário a partir do semieixo real positivo.

4

22 yxr

0,0tan2

0,0tan

0,0tan

0,0tan

1

1

1

1

yx

yx

yx

yx

x

y

x

y

x

y

x

y

zx Re

zy Im

Operações

Soma e subtração, é feita na representação retangular.

Multiplicação e Divisão, pode ser feita na representação retangular.

5

2121221121 yyjxxjyxjyxzz

222111 jyxzjyxz

21212121221121 yyxxjyyxxjyxjyxzz

2

2

2

2

21212121

22

22

22

11

22

11

2

1

yx

yxxyjyyxx

jyx

jyx

jyx

jyx

jyx

jyx

z

z

222111 jyxzjyxz

Operações

Multiplicação e Divisão, pode ser feita na representação polar.

Conjugado

6

222111 rzrz

2121221121 rrrrzz

21

2

1

22

11

2

1

r

r

r

r

z

z

rjyxz*

Operações

Relações úteis

7

j

ee

ee

zzzz

zzzz

zjzz

zzz

rzz

jj

jj

2sin

2cos

Im2

Re2

*

2

*

1

*

21

*

2

*

1

*

21

*

*

2*

901

901

18011

011

j

j

nn jj

jjjj

jjj

jjjj

j

jj

4

45

224

23

2

1

1

1

8

Exercício A11_01 – Considere o numero complexo Z representado pelas formas retangular, polar e exponencial, conforme abaixo. Mostre que Exercício A11_02 – Apresente as condições necessárias e suficientes para que o número z C, com (x2+jy2)0, seja (a) real puro e (b) imaginário puro.

jzezjyx z

sincos

tan 122

zyezxb

eyxax

y

z

22

11

jyx

jyxz

9

Exercício A11_03 – Considerando os números complexos interprete geometricamente as operações: (a) Z1 + Z2 e (b) Z1 – Z2. Exercício A11_04 – Mostre que para toda matriz 2x2 não singular, tem-se: Exercício A11_05 – Determine os valores de x e y na equação Exercício A11_06 – Determine os valores de r e θ na equação

222111 zez zz

ac

bd

bcaddc

ba 11

42015 j

ejyx

2553 jjr

10

Exercício A11_07 – Resolva as operações Exercício A11_08 – Resolva os sistemas lineares

6

3

1043

403510

5342

435040

205040

*

j

j

ejj

jc

jj

jb

ea

1

1

15

32610

453016

1043020

32208467

80603016075240

j

jjf

e

j

jd

jx

x

x

jj

j

jj

b

e

x

x

j

jja

j

1

0

902

11

015

3201

015

32610

3

2

1

2

12