Aula 4

Nesta aula iniciaremos o estudo da dinâmica de uma única partícula, sujeita aos campos elétrico e magnético uniformes ou não no espaço.

Em particular, a deriva do centro guia para os seguintes casos:

• e (uniforme com ); 0=E

r

r0≠B

r0== yx BB

r• (uniforme com ) e

(uniforme com );

0≠E

r

0=yE0=r

0≠B= yx BB

• e (Gradiente de ) ; r

0=Er

B∇r

rBr

⊥ Br

• e (Gradiente de ) // ; 0=Er

B∇r

B B• e Curvado. 0=E B

2. Movimento de Partículas Carregadas em Campos

Elétrico r

e Magnético E Br

Fluidos Newtonianos (por exemplo a água) são densos demais para que o movimento individual das partículas seja considerado. Neste regime de alta densidade, as colisões dominam e o fluido é então descrito pelas equações de fluido.

No outro extremo, quando a densidade de partículas é baixa (por exemplo partículas em aceleradores), somente o movimento individual das partículas, deve ser considerado.

Agora , leia com atenção a frase abaixo

“Os plasmas são esquizofrênicos, pois ora

preferem se comportarem como fluidos e ora, como uma coleção individual de partículas.” (José Leonardo Ferreira)

Neste capítulo estudaremos um destes

comportamentos: o movimento individual de partículas sujeitas a campos elétrico e magnético.

2.1 Campos E e Uniformes

rBr

Para e (uniforme com ): 0=E

r0≠B

r0== yx BB

Campo Magnético na direção z.

A equação de movimento de uma única partícula de massa m e carga elétrica q, sujeita aos campos elétrico e magnético da figura acima, é dada pela expressão 2.1.1 abaixo

BVqdtVdmF

rrr

r×== 2.1.1

Em termo das componentes x, y, e z, a equação

2.1.1 transforma-se no sistema de equações 2.1.2

=−=

=

0dtdVmqBVdtdVm

qBVdtdVm

z

xy

yx

2.1.2

Dica: Para encontrar o sistema 2.1.2, lembre-se

do produto vetorial entre os vetores unitários do . 3R

A solução da componente z da equação de movimento, sugere um movimento de translação ao longo de z, segundo a equação 2.1.3

teconsVdt

dVm zz tan0 =⇔= 2.1.3

Agora, observe que as 2 componentes transversais da equação de movimento em 2.1.2 estão acopladas, portanto devemos desacoplá-las, para isso vamos diferenciar em t a componente em y e substituir o resultado na componente em x

yxyx

xyyx

VmqB

dtVd

dtdV

qBdt

dVm

dtd

,

2

2,

2

,,

−=∴

−=

2.1.4

Calcular!

A equação diferencial 2.1.4, descreve um

movimento harmônico simples com freqüência de giro ou ciclotrônica igual a

mBq

c =ω com (por convenção) 0≥cω

A solução típica da equação 2.1.4 é conhecida,

isto é ( )yxct

yx eVV ,,

δω +±⊥= 2.1.5

, onde V é a ⊥ velocidade no plano x-y perpendicular ao campo

r, é um B yx,δ fator de fase e os sinais de

(devido ao sinal da carga elétrica) ± indica o sentido de giro, para a direita ou para esquerda.

Agora, a partir da solução 2.1.5, assumindo 0, =yxδ , considerando a definição da freqüência

ciclotrônica e utilizando uma das equações do sistema 2.1.2, é possível determinar as velocidades nas direções x e y (direção transversal), assim como os deslocamentos em x e y

±==

⊥

⊥

)exp()exp(tiiVV

tiVV

cy

cx

ωω

2.1.6

Calcular!

Integrando em t, as duas equações do sistema 2.1.6, os deslocamentos em x e y podem ser determinados

±=

−=

⊥

⊥

)exp(

)exp(

0

0

tiVyy

tiVixx

cc

cc

ωω

ωω

2.1.7

Calcular!

A partir do sistema 2.1.7, vamos definir o raio de Larmor que é o raio da órbita da partícula em torno do centro guia fixado ( 00, yx )

BqmVVr

cL

⊥⊥ ==ω

Como as velocidades e os deslocamentos são grandezas reais (não imaginários), devemos tomar apenas a parte real das equações dos sistemas 2.1.6 e 2.1.7

+=+=

±==

⊥

⊥

)cos()(

)()cos(

0

0

tryytsinrxx

tsinVVtVV

cL

cL

cy

cx

ωω

ωω

2.1.8

Calcular!

Portanto o movimento da partícula, deve ser uma superposição dos movimentos de translação ao longo de z (segundo a equação 2.1.3) e de giro no plano x-y (segundo o sistema 2.1.8), conforme mostra a figura abaixo

Trajetória Helicoidal para Íons num Campo Magnético.

O sentido do giro pode ser tanto para a esquerda quanto para a direita, dependendo do sinal da carga elétrica da partícula, quanto ao raio de Larmor, maior ou menor, dependendo da massa da partículas, conforme mostra a figura abaixo

Sentido de Giro das Partículas Carregadas em . B

r

Observação: O movimento ciclotrônico das partículas em torno do campo magnético externo

r,

gera uma B

segundo campo magnético, contrário ao externo. Este fenômeno é conhecido como efeito diamagnético, conforme mostra a figura abaixo

Efeito Diamagnético.

Para ≠E (uniforme com ) e

(uniforme com ):

0r

B0=yE 0≠B

r

0== yx B

r rCampos e Uniformes e Cruzados E B

A equação de movimento de uma única partícula

de massa m e carga elétrica q, sujeita aos campos elétrico e magnético da figura acima, é dada pela expressão 2.1.8 abaixo

)( BVEqdtVdmF

rrrr

r×+== 2.1.9

Em termo das componentes x, y, e z, a equação

2.1.8 transforma-se no sistema de equações 2.1.10

=−=

+=

zz

xy

yxx

qEdtdVmqBVdtdVm

qBVqEdtdVm

2.1.10

Agora, a solução da componente z da equação de

movimento, sugere um movimento retilíneo acelerado ao longo de z, segundo a equação 2.1.11

0zz

z Vtm

qEV += 2.1.11

As 2 componentes transversais da equação de movimento em 2.1.9 estão, novamente acopladas, portanto devemos desacoplá-las, para isso vamos utilizar a definição de freqüência ciclotrônica, diferenciar em t a componente em y e substituir o resultado na componente em x

+−=⇒

±=

=

yx

cy

ycxx

xc

y

VBE

dtVd

Vm

qEdt

dVdt

dVdt

Vd

22

2

2

2

ω

ω

ωm

2.1.12

Calcular!

Podemos reescrever a equação 2.1.12, sem perda de generalidade, da seguinte maneira

+−=

+ y

xcy

x VBEV

BE

dtd 2

2

2

ω 2.1.13

A solução da equação diferencial 2.1.13 é

BEtiiVV x

cy −±= ⊥ )exp( ω 2.1.14

Calcular!

Substituindo a solução 2.1.14 na componente y do sistema 2.1.10, podemos determinar Vx

)exp( tiVV cx ω⊥= 2.1.15

Calcular!

As soluções 2.1.11, 2.1.14 e 2.1.15 indicam um movimento helicoidal com uma deriva do centro guia na direção –y devido aos campos campos E

r e

uniformes e cruzados, conforme mostra a figura abaixo

Br

Deriva do Centro Guia devido aos Campos e

Uniformes e Cruzados. Er

Br

Podemos encontrar uma expressão geral para a velocidade de deriva do centro guia, para isso vamos considerar um sistema de referência que viaja junto como o centro guia

0)(

0)(

=×+∴

=×+=⇒

BVE

BVEqdtVdm

rrr

rrrr

2.1.16

Agora, se realizarmos o produto vetorial de com a equação 2.1.16, temos

Br

)()(

0)()(2 BVBBVBVBBE

BVBEBBVEBrrrrrrrr

rrrrrrrrr

⋅−=××=×∴

=××+×=×+×

Como estamos interessados na componente transversal ao campo magnético

r, isto é, na B

velocidade de deriva do centro guia, então

Egc VBBEV rrrrr

=×= 2/ 2.1.17

Calcular!

A expressão 2.1.17 é a velocidade de deriva do centro guia, devido ao campos elétrico e magnético

cruzados. Note que Vr

é gc independende da carga elétrica q, da massa m e da velocidade tangencial

da partícula. ⊥V A figura abaixo, mostra a trajetória da partícula num campos

r e uniformes e cruzados E B

r

Deriva do Centro Guia de Elétrons e Íons.

Observação: Em geral, uma partícula num campo magnético, que posteriormente é submetida a um outro campo, terá como velocidade de deriva do centro guia a seguinte expressão geral

21

BBF

qVF

rrr ×

= 2.1.18

Para obter a equação 2.1.18, basta substituir r

por uma outra força na Eq Fr

equação 2.1.9 e realizar os mesmos procedimentos para obter a equação 2.1.17.

A figura abaixo, mostra as possíveis trajetórias de uma única partícula de carga elétrica q e massa m, para diferentes valores entre a velocidade

tangencial ou de giro ⊥V e a velocidade de deriva do centro guia FV

Trajetó Comgravitaciom e carga

a)

c)

rias: a) V , b) VFV=⊥

o um exemplo, nal que age numa ú elétrica q

b)

e c) . FV>⊥ FVV <⊥

considere o campo nica partícula de massa

2BBg

qmVg

rrr ×= 2.1.19

A expressão 2.1.19 é a velocidade de deriva do centro guia devido à ação dos campos gravitacional e magnético. A deriva gravitacional, diferentemente da deriva devido ao campo elétrico, depende da carga elétrica q da partícula, em conseqüência surge no plasma uma corrente gJ

r, devido ao movimento de deriva contrário

de elétrons e íons, conforme mostra a figura abaixo

Deriva Gravitacional para Elétrons e Íons.

Agora, vamos determinar a corrente que circula no plasma, devido à

gJr

deriva gravitacional

( ) 2

22

BBgmMnJ

BqBgmq

BqBgMqnJ

VnqJ

g

ee

iig

qg

rrr

rrrrr

rr

×+=∴

×+

×=∴

= ∑

Um fenômeno natural, relacionado com a velocidade de deriva gravitacional, é o eletrojato: corrente elétrica na ionosfera terrestre, que circula no sentido de oeste para leste e em latitudes que vão do equador até a altas latitudes, conforme mostra a figura abaixo

Mapeamento Espacial de um Eletrojato Boreal.

2.2 Campos E e não Uniformes

rBr

Em situações reais, plasmas espaciais ou

aplicados estão sujeitos a campos magnéticos não uniformes, o que pode gerar vários tipos de velocidade de deriva do centro guia.

Para facilitar na resolução de problemas com

campos magnéticos não uniformes, utiliza-se a teoria de órbita. Esta teoria assume que:

O raio da órbita da partícula, na região de não

uniformidade do campo magnético, deve permanecer aproximadamente o mesmo, isto é, inalterado.

Para isso, utiliza-se de uma expansão em termos de LrL ,onde rL é o raio de Larmor e L, o comprimento da região onde o campos elétrico e magnético são não uniformes.

Estudaremos os casos mais simples, onde

discutiremos os vários casos de não uniformidade do campos elétrico e magnético não uniformes, um de cada vez.

Para (Gradiente de ) : B∇

rBr

⊥ Br

r rCampo Magnético não Uniforme: . B∇ ⊥ B

As componentes da equação de movimento de uma única partícula de massa m e carga elétrica q,

sujeita ao campo magnético da figura acima, é dada pelas equações do sistema 2.2.1 abaixo

==

−==

0

)()(

dtdVmF

yBqVFyBqVF

zz

zxy

zyx

2.2.1

Para avaliar o efeito da variação de na direção y, vamos aplicar a

Br

teoria de órbita, ou seja, expandir

r numa B série de Taylor em torno do centro

guia (x0, y0) da partícula

...)(

...)(

0

0

+∂

∂+=⇒

+⋅+=

yByByB

BBrBB

zz

rrrrr

2.2.2

Reescrevendo o sistema 2.2.1, a partir da expansão 2.2.2 e dos resultados já conhecidos, isto é, velocidade nas direções x e y e deslocamento na direção y, para a órbita de uma única partícula num campo magnético uniforme (ver sistema 2.1.8), temos

=

∂

∂±−=

∂

∂±=

⊥

⊥

0

)()cos()cos(

)()cos()(

0

0

z

zcLcy

zcLcx

Fy

yBtrBtqVF

yyBtrBtsinqVF

ωω

ωωm

2.2.3

Calcular!

Agora, vamos utilizar as 3 componentes reescritas do sistema 2.2.3, para encontrar a média do vetor força que age na partícula, durante uma órbita completa

( )

yy

yBrqVdyFF

dzFyFxFdFF

zLy

zyx

ˆ)(21ˆ

ˆˆˆ

2

0

2

0

2

0

∂∂

±==⇒

++==

⊥∫

∫∫π

ππ

θ

θθ

r

rr

2.2.4

Calcular!

Note que na equação 2.2.4, as médias nas direções x e z são nulas, como esperado, pois devido ao gradiente de B

r ao longo da direção y, uma força

resultante nesta direção, deve agir na partícula, durante uma órbita completa.

Substituindo o resultado acima, na expressão geral para a velocidade de deriva (ver equação 2.1.18), temos

xy

yBBrV

BByF

qV zLy

Bˆ)(

2ˆ1

2 ∂∂

=×

= ⊥∇ m

rrr

2.2.5

Calcular!

A expressão 2.2.5 é a velocidade de deriva do centro guia, devido ao gradiente de B

r na direção y.

A figura abaixo, mostra a deriva do centro guia da órbita da partícula, devido ao gradiente de B

r

Deriva do Centro Guia da Órbita da Partícula, devido ao

Gradiente de r

. B Se ∇ é arbitrário (em qualquer direção), podemos encontrar uma

Br

expressão geral para r

, a partir da expressão 2.2.5

BV∇

22 BBBrV

V LB

∇×= ⊥

∇

rr

mrr 2.2.6

Calcular!

Para B Curvado:

r

rCurvatura de . B

A força média que age numa única partícula de massa m e carga elétrica q, que viaja ao longo da direção do campo magnético curvado da figura acima, é

ccc

cf RRVmr

RVmF

rr2

2//

2// ˆ == 2.2.7

Na expressão 2.2.7, consideramos Rc fixo (logo B deve ser constante para uma mesma curvatura) e

a velocidade térmica da partícula ao longo da direção de

r (velocidade mais provável) igual a V . B //

Agora, substituindo 2.2.7 na expressão geral 2.1.19, encontraremos a velocidade de deriva do centro guia, devido à curvatura de B

r

22

2//

21

c

ccfR R

BRqBmV

BBF

qV

rrrrr ×

=×

= 2.2.8

Calcular!

Para avaliar completamente a dinâmica de uma partícula carrega em B

r curvado, devemos

considerar também o efeito do gradiente de r

em r

curvado, conforme mostra a figura abaixo

B B

Direção da Curvatura e do Gradiente de . B

r

Vamos utilizar a lei de Àmpere-Maxwell para encontrar o resultado do gradiente de B

r ao longo da

direção r, considerando o seguinte:

• Ausência de fontes elétricas; • Ausência de campo elétrico variável; • Resolução em coordenadas cilíndricas.

Note também, que o gradiente de é ao longo da direção r e que

r curvado é ao longo da direção

poloidal, logo alguns termos do produto vetorial abaixo, são nulos

Br

B

Calcular!

0)(10

=∂∂

∴

=×∇∴

θrBrr

Brr

2.2.9

A solução da expressão 2.2.9, considerando a

condição de contorno para campo magnético curvado ou toroidal ( ), é ∞→⇔→ rB 0θ

teconCrCB tan, ==θ 2.2.10

Calcular!

Agora, podemos encontrar o gradiente de , uma vez que conhecemos

Br

B

rrB

rrCr

rB

B ˆˆˆ2 −=−=

∂∂

=∇ θr

2.2.11

Finalmente, para r=R c fixado, considerando as definições de ω c e r L e substituindo 2.2.11 na expressão geral 2.2.6, encontraremos a velocidade de deriva do centro guia, devido ao gradiente de B

r em

Br

curvado

22

2

2 c

cB R

BRqB

mVV

rrrr

×= ⊥

∇ 2.2.12

Calcular!

Portanto, a velocidade de deriva total, deve ser a soma das velocidades de deriva devido à curvatura de r

e ao gradiente de r

B B

+

×=+ ⊥∇

22//22 2

1 VVR

BRqBmVV

c

cBR

rrrrr

2.2.13

A figura abaixo, mostra a direção da deriva total de uma partícula carregada num campo magnético curvado ou toroidal

zBRc ˆ//rr

×⊗

Direção da Deriva do Centro Guia num Campo Magnético Toroidal.

Observação: O problema apresentado acima, é de grande interesse, pois está relacionado com o confinamento magnético para fusão termonuclear controlada em TOKAMAK, conforme mostra as figuras abaixo

Linhas e Superfície de Campo Magnético Toroidal.

Deriva devido á Configuração Toroidal das Linhas de

Campo Magnético num TOKAMAK.

Interior do TOKAMAK inglês, JET.

Para (Gradiente de ) // : B∇

rBr

Br

Vamos considerar B

rao longo da direção z e

com simetria axial, isto é, variando sua magnitude apenas nas direções z e r, conforme mostra a figura abaixo

Perfil do Campo Magnético e Deriva do Centro Guia.

As componentes da equação de movimento para uma única partícula de massa m e carga elétrica q, que viaja ao longo do perfil de campo acima, são

( )( )(

−=+−=

−=

rrz

rzzr

zzr

BVBVqFBVBVqF

BVBVqF

θθ

θ

θθ

) 2.2.14

O sistema 2.2.14 deve ser reescrito, considerando

Bθ=0 (simetria axial) e substituindo a compomente Br do campo magnético.

A partir da lei de Gauss para o magnetismo,

podemos encontrar a componente B r que deve ser subsitituida em 2.2.14

0)(10

=∂

∂+

∂∂

∴

=⋅∇

zBrB

rr

B

zr

rr

2.2.15

A solução de 2.2.15 deve ser determinada,

assumindo que zBz ∂∂ é conhecido sobre o eixo de simetria, isto é, para r=0 e que sua variação seja, aproximadamente pequena com r≠0, então

02 =

∂∂

−=r

zr z

BrB 2.2.16

Calcular!

Agora, podemos reescrever o sistema 2.2.14

( )

∂∂

=

∂∂

−−=

=

=

=

0

0

2

2

r

zz

r

zzzr

zr

zBrVqF

zBrVBVqF

BVqF

θ

θ

θ

2.2.17

Analisando o sistema 2.2.17, “termo a termo”, temos

• qVθBz e (-qVrBz) dão origem ao movimento ciclotrônico que conhecemos no plano r-θ;

• quando r ≠ 0, qVzBr dá origem a uma deriva do

centro guia na direção r (ver a primeira figura acima);

• -qVθBr dá origem a uma desaceleração na direção de convergência das linhas de campo magnético (cúspide magnética).

O termo de maior importância é Fz = -qVθBr , pois

permite o confinamento magnético das partículas entre 2 cúspides.

Portanto, vamos tomar a média da componente F z

sobre o eixo z e durante um período de giro da partícula, considerando também Vθ = ±V⊥ (± é devido ao sinal da carga q) e r = rL, então

0

20

2

2

=

⊥

=

∂

∂−=∴

∂

∂=

r

zz

r

zz

zB

BmV

F

zBqrV

F θ

2.2.18

Calcular!

O movimento de partículas em espelhos

magnéticos, possui algumas constantes do movimento: a primeira é mais importante delas é o momento magnético µ que é uma grandeza escalar, definida como

BmV2

2⊥=µ 2.2.19

Portanto, podemos reescrever expressão 2.2.18, a partir da definição acima

0=

∂

∂−=

r

zz z

BF µ 2.2.19

A partir a expressão 2.2.19, podemos encontrar o

vetor força, ao longo da direção do campo magnético

BF //// ∇−=rr

µ 2.2.20

Toda constante do movimento deve ser invariante, isto é, deve ser conservada, neste caso

“A medida que a partícula se move para regiões de

campo magnético mais fortes ou mais fracos, o momento magnético µ, deve ser conservado”.

Vamos agora, provar tal invariância para o

momento magnético µ, para isso vamos usar um artifício matemático, isto é, multiplicar V// = dz/dt = ds/dt pela componente z da equação do movimento (paralela ao campo magnético)

dtdBmV

dtd

dsdB

dtds

dtdV

mV

µ

µ

−=

∴

−=

2

2//

////

2.2.21

Calcular!

Sabemos que B é constante no tempo, no

entanto a partícula em sua trajetória; “sente” uma variação de B associado ao seu movimento de ida e

volta entre os espelhos magnéticos, portanto

r

0≠dtdB

. Sabemos também que a energia mecânica deve

ser conservada em todo o movimento, vamos então usar esse fato e os resultados acima, para concluir que o momento magnético µ é invariante, ou melhor, conservado.

( )

teconsdtd

dtdB

dtdB

dtdB

BdtdmV

dtd

BmVdtdmVmV

dtd

tan0

0

02

2222

//

2//

22//

=⇔=∴

=++−∴

=+

∴

+=

+ ⊥

µµ

µµ

µ

µ

µ

Calcular!

Este último resultado, isto é, a invariância do

momento magnético µ, é a base principal para o confinamento de partículas por espelhos magnéticos.

A figura abaixo, mostra o confinamento do plasma

por espelhos magnéticos.

Confimanento Magnético por Espelhos Magnéticos.

O confinamento da partícula por espelhos magnéticos, não é perfeito, pois depende dos valores das velocidades V⊥0 e V//0 na região entre as cúspides magnéticas, isto é

• Para , logo a

partícula deve escapar do confinamento; 0000 =∴=⇒=⊥ zFV µ

• Para 10//

0 <<⊥

VV

, se B não for suficientemente

grande, a partícula também deve escapar do confinamento;

Agora, conhecido os campos B0 e B´ e conhecidas as velocidades nas regiões entre as cúspides (V⊥0 e V//0) e também nas cúspides (V´

⊥ e V´

//), vamos aplicar a invariância do momento magnético µ, para encontrar um parâmetro para o confinamento

tenB

mVB

mV tancos22 ´

2'

0

20 === ⊥⊥µ 2.2.22

Calcular!

Usando o fato de que a energia mecânica deve ser conservada, temos

20

20

20//

2´2´// VVVVV =+=+ ⊥⊥ 2.2.23

Utilizando as expressões 2.2.22 e 2.2.23 e considerando que a velocidade V´

// é nula na cúspide, temos Calcular!

´0

20

20

2´

20

BB

VV

VV

== ⊥

⊥

⊥

2.2.24

Podemos reescrever a expressão 2.2.24,

considerando

• o ângulo α formado entre o vetor velocidade e a sua componente paralela ao campo magnético;

Trajetória da partícula entre 2 Espelhos Magnéticos.

• a razão de espelho (R), isto é, a razão

entre o valor máximo e mínimo do campo magnético

, que indica com que eficiência deve ocorrer o confinamento

tenBBR tancos

0

´

==

Agora, podemos reescrever 2.2.24

´02

20

20 1

BB

Rsin

VV

===⊥ α 2.2.25

Calcular!

A partir da última expressão, podemos imaginar

um “cone no espaço das velocidades”, onde existe um ângulo de abertura máximo (imposto pela razão de espelho) que define, quais partículas serão confinadas ou não (segundo o ângulo formado pelo vetor velocidade de cada partícula com a sua componente paralela ao campo magnético). A figura abaixo, mostra o cone de perdas no espaço das velocidades

Cone de Perdas no Espaço das Velocidades.

Observe que partículas com velocidades no interior do cone são perdidas, isto é, não são confinadas pois V// > V⊥, mas aquelas com velocidades fora do cone de perdas são confinadas, uma vez que V// < V⊥.

Importante!

A figura abaixo, mostra a reflexão de partículas

num espelho magnético, cujo vetor de velocidade se encontra fora do cone de perdas

Reflexão da Partícula no Espelho Magnético.

Na natureza, temos vários eventos relacionados

com configuração de campo magnético, tipo espelho magnético, conforme os exemplos a seguir

• Auroras Boreais e Austrais

Aurora Boreal vista do Espaço.

• Cinturão de Van Allen

Cinturão de Van Allen.

Trajetórias de Partículas Confinadas no Cinturão de Van

Allen. No laboratório, também podemos simular os

espelhos magnéticos naturais, com várias finalidades

• Propulsores a Plasma

Projeto do Propulsor para longas viagens espaciais:

VASIMIR.

Campo de Espelho Magnético para Propulsão:

VASIMIR..

• Fusão Termonuclear Controlada

A maior Máquina de Confinamento Magnético por

Espelhos Magnéticos: Tandem Mirror, Japão.

Perfil de Campo Magnético, Potencial de Plasma e

densidade de Plasma, para o Tandem Mirror.