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Duas Alegorias e um Teorema:o Impossıvel, o Indeterminado,

o Inconsistente e o Independenteem Matematica

Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva(IM – UFBA)

Departamento de Matematica – Instituto de MatematicaUniversidade Federal da Bahia

Joao Pessoa – Paraıba

Outubro de 2010

Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva (IM – UFBA) V Bienal SBM – Joao Pessoa, 2010

Uma palestra “in”...

Esta e, sem duvida nenhuma, uma palestra “in”... Nosso objetivoe discutir as nocoes de

Impossıvel

Indeterminado

Inconsistente

Independente

em Matematica !!!


Qual e o valor de zero elevado a zero ?

Esta palestra e uma adaptacao da palestra Qual e o valor dezero elevado a zero ? (ou: o impossıvel, o indeterminado, oinconsistente e o independente em matematica, apresentadaem duas oportunidades em Salvador (na UFBA) em 2009 – umadelas durante um Cafe Cultural, organizado pelos alunos degraduacao –, e tambem em Ilheus (na UESC) e em Recife (naUFRPE).

Aproveito a oportunidade para agradecer aos colegas MaiteKulesza (UFRPE) e Nestor Centurion (UESC) pela oportunidadede divulgar (e desenvolver) este trabalho !!!


Cuidado !!!

Esta palestra nasceu num ambiente “bastante liberal” de um CafeCultural, entao algumas precaucoes tem que ser tomadas...

Utilizaremos varias vezes algumas palavras“especiais” (algumas de uso comum, outras nao) em varioscontextos, sem fazer definicoes precisas (o que em geraldevemos evitar em apresentacoes tecnicas !!!).

Com isso, muitas vezes podera parecer que estamos perdendoa clareza ou o foco do que estaremos falando a respeito ! Oumesmo podera parecer que nao estamos falando deMatematica – mas garanto que nao e o caso...

O objetivo desta palestra e, antes de tudo, “levantar poeira”nas cabecas dos estudantes. Ao final talvez algumas partıculasainda estarao voando, mas certas coisas demoram mesmopara decantar !!!


Cuidado !!!

De certo modo, esta palestra segue os princıpios de umgrande brasileiro, o apresentador de TV Abelardo Barbosa, oChacrinha (1917-1988):

“Eu vim para confundir, e nao para explicar !”

... Em resumo, espero que todos saiam com mais duvidas doque respostas...


Quao poderosa e a Matematica ?

As pessoas em geral (nao apenas os estudantes e profissionaisde Matematica) tendem a ter uma visao bastante “solida econfiante” no poder da Matematica, e na certeza absoluta desuas conclusoes – certeza, inclusive, da existencia dessasconclusoes. Dado um problema matematico, existira umasolucao para ele !!! Basta achar (ou criar) umademonstracao...

Hilbert: “Nao existe ignorabimus em Matematica !!!”

Vamos resumir essa “crenca” em uma frase, escrita numalinguagem bem simples – sem nenhuma expressao filosoficaem latim... –, com a qual imagino que uma boa parte devoces concorda (talvez, todos concordem !!!):


Voce concorda com essa frase ?

A “crenca”

“A matematica e uma ciencia exata, que nos fornece semprerespostas corretas, verdadeiras e unicas”.

A ideia de “resposta unica e verdadeira” (com a qual as pessoastendem a concordar na frase acima) vem, possivelmente, do fatoque todos acreditamos fortemente nos princıpios logicos doTerceiro Excluıdo e da Nao-Contradicao.

Voltaremos a essa frase varias vezes durante esta palestra. Decerta forma, nosso objetivo e “atacar a crenca que temos nessafrase !”


Existem “limitacoes” para a Matematica ?

Estamos interessados em discutir o poder da Matematica, e, paratanto, vamos pensar um pouco em suas eventuais limitacoes, emdois nıveis de discussao:

O que e “impossıvel” na Matematica ?(“dentro da matematica”)

O que e “impossıvel” para a Matematica ?(“olhando a matematica de fora”)

(Notar que, conforme prometido, ja estamos usando uma palavrabastante complicada, sem defini-la formalmente: a palavraimpossıvel...)


A Matematica pode tudo ?

Seria a Matematica... Onipotente ?

Para algumas pessoas, vale a seguinte frase:

Eis aı a unica entidade onipotente !

Onipotente, so Deus !

Com o perdao dos mais religiosos (pela eventual blasfemia detrazer Deus a baila !), lembro que existe ate uma famosademonstracao de que “a existencia de Deus e equivalente aoAxioma da Escolha”... (Meyer)

Pois bem – vamos a primeira alegoria desta palestra ! Vamosdiscutir um pouco a onipotencia de Deus – e tentar trazer algumalicao para nosso estudo da Matematica...


O Paradoxo da Onipotencia

O objetivo deste paradoxo e contestar (ou discutir) a onipotenciade Deus, e o mesmo vem sendo estudado desde o seculo XII. Ele sebaseia na seguinte pergunta (ou em variacoes dela):

Sim ou nao ?

Deus pode construir uma pedra tao pesada que ele proprio naoconsiga levanta-la ?

Existem variacoes interessantes desse paradoxo. Por exemplo:

O que acontece quando uma forca irresistıvel encontra umobjeto inamovıvel ?

Ou, para quem passa madrugadas assistindo a programas depropaganda na televisao: quem ganha, as facas Ginsu ou asmeias Vivarina ???


O Paradoxo da Onipotencia

Para qualquer resposta que se de (positiva ou negativa) para apergunta sobre Deus e a pedra, conclui-se que Deus nao eonipotente.

Se Deus nao pode construir essa pedra que ele mesmo naoconsegue levantar, entao existe algo que Ele nao podefazer - construir essa pedra que Ele proprio nao pode levantar.

Se Deus pode construir essa pedra, entao existe algo queEle nao pode fazer - levantar essa pedra.

Como os defensores da ideia de onipotencia de Deus podem se opora esse paradoxo ? Vamos levantar alguns argumentos utilizados.Alguns nao nos ajudarao na sequencia – mas outros sim !!!


Tentando “escapar” do Paradoxo...

Uma maneira e considerar que, diante da questao da onipotenciade Deus, falar em “pedra tao pesada que ele nao possa levantar”seria algo tao sem sentido como “um cırculo quadrado”. Essa foi aposicao de C. S. Lewis, de quem citamos a seguinte frase:

C. S. Lewis, 1898-1963, autor de “Cronicas de Narnia”

“Combinacoes de palavras que nao possuam sentido nao ganhamsentido simplesmente colocando ‘Deus pode’ na frente delas.”

Assim, o paradoxo seria apenas um jogo de palavras sem sentido -algo “nonsense”.



Uma outra maneira e considerar o seguinte “truque”: se Deuse onipotente, ele pode retirar Sua propria onipotencia. EntaoEle construiria a pedra, retiraria a propria onipotencia e,pronto, “na hora de nao levantar a pedra” Ele nao seria maisonipotente. Nao existe mais contradicao, so que Deus perde aonipotencia no final... Mas perceba que Ele efetivamenteconstruiu a pedra que Ele nao pode levantar.

Um outro argumento e considerar que a onipotencia de Deusseria relacionada a poder fazer coisas que “nao fossem contraos seus princıpios”. Nesta interpretacao, Deus, por exemplo,nao poderia mentir !!!

Lula em Copenhaghe, 2009:

“Impossıvel so e Deus pecar”

No entanto, ele continuaria onipotente, pois continua podendofazer “tudo que nao fosse contra os Seus princıpios”...



Ainda dentro desta linha de “restringir a definicao deonipotencia”, pode-se considerar que nao e do interesse deDeus que existam contradicoes. Nesse sentido, se apergunta fosse “Deus pode fazer com que 2 + 2 = 5 ?”, aresposta seria “Nao, pois nao e do Seu interesse que existamcontradicoes”. Isso estaria contra os Seus princıpios !!!

Uma outra linha e aceitar a contradicao. Nesta linha, Deuspode fazer com que 2 + 2 seja, ao mesmo tempo, 4 e 5 !!!Ou entao, construir uma pedra tao grande que ele nao possalevantar, mas no final levanta-la do mesmo jeito !!!

Nesta linha, Deus poderia fazer realmente tudo, mesmo quefosse contraditorio ou absurdo.


Discutindo “Y pode fazer X”

Observamos que, na tentativa de restringir a onipotencia de umaentidade Y, buscando evitar contradicoes, podemos tentar fazerduas tentativas de restricao com relacao a “efetuar tarefas X”(procure entender bem a diferenca):

Podemos considerar Y onipotente se Y pode fazer qualquertarefa X, desde que “X” nao contrarie os princıpios da logica.

Podemos considerar Y onipotente se Y pode fazer qualquertarefa X, desde que “Y pode fazer X” nao contrarie osprincıpios da logica.

Exercıcio: Ambas as restricoes resolvem, isoladamente, oParadoxo (mantendo a onipotencia de Deus) ? Ou apenasuma delas ?


Qual seria o “melhor argumento” para nos ?

Possivelmente, a melhor maneira de considerar o Paradoxo paranos e a seguinte:

Deus nao quer contradicoes !

Para que nao tenhamos contradicoes, entao devem existir coisas queDeus nao possa fazer - por exemplo, Deus nao pode fazer com que2 + 2 = 5, e tambem Deus nao pode construir uma pedra taopesada que ele nao possa levanta-la.

Ou seja: a onipotencia total levaria a contradicoes... Em outraspalavras, a unica maneira de termos onipotencia plena eadmitindo contradicoes !!!

Note que, no enunciado acima, estamos combinando as duasrestricoes em “Y pode fazer X” que consideramos; por que ?


Quais licoes podemos levar para a Matematica dessa nossabrincadeira com o Paradoxo da Onipotencia ?

Sendo Y = Matematica, podemos procurar tarefas X quesejam tais que “X” contrarie os princıpios da logica. Istoequivale aquela questao inicial: o que e impossıvel naMatematica ? (olhando de dentro).

Sendo Y = Matematica, podemos procurar tarefas X quesejam tais que “Y pode fazer X” contrarie os princıpios dalogica. Isto equivale aquela questao inicial: o que e impossıvelpara a Matematica ? (olhando de fora).

E vamos fazer mais um joguinho de palavras para introduzir aproxima pergunta...

Como todos os presentes sao pessoas muito devotadas aMatematica, identifiquemos “Deus” ≡ “Matematica”, e penseque “Deus pode fazer” ≡ “A Matematica pode demonstrar”.


O poder de demonstracao da Matematica

Procurando manter as analogias, a primeira restricao (evitarprovar X, se X contrariar os princıpios da logica) deve semanter ! Sabemos que, em Logica Classica, se obtemos umacontradicao o sistema se trivializa e todas as assercoes seriamdemonstradas ! (A nao ser que se mude a Logica subjacente etrabalhemos com uma Logica Paraconsistente, mas isso seriaassunto para outra palestra...)

“Forcando a barra” na seguinte analogia, considere que “asverdades sao coisas solidas, concretas como uma pedra”...Nesse sentido, a questao colocada no Paradoxo daOnipotencia (“pode existir alguma pedra que nao possa serlevantada por Deus ?”) acabaria correspondendo a seguintepergunta...


O poder de demonstracao da Matematica

Uma questao complicada !

Existe alguma verdade matematicaque nao possa ser demonstrada ?

... Agora sim chegamos a algo bem complicado !...

Vamos dar seguimento a palestra discutindo inicialmente aprimeira questao de limitacao, que e bem mais facil: o“impossıvel” na Matematica. Aproveitaremos para discutirtambem a nocao de “indeterminado” em Matematica.

Mais a frente, usaremos mais uma alegoria para atacar, por fim, aquestao que surgiu neste slide !!! Essa questao esta associada adiscussoes sobre “consistencia e independencia em Matematica”...


O decimo-primeiro mandamento !!!

Vamos comecar com o decimo-primeiro mandamento: “Naodividiras por zero”. Ou seja, “nao pode ocorrer zero nodenominador”.

O usual e simplesmente falarmos que

“nao existe10”; e

“nao existe00”.

De fato: nao existem numeros reais que estejam associados a essasexpressoes (e nada do que eu disser em seguida vai fazer com queeles existam...) Mas, vamos dar uma segunda olhada nisso ! Eutenho um enorme prazer em dizer para voces, neste momento, queexiste uma grande diferenca entre essas duas expressoes ! Eu lhesdigo que...


O impossıvel e o indeterminado

Tem uma diferenca aı...

10 e impossıvel.

00 e indeterminado.

(lembrando ao aluno que, mesmo com essa eventual “diferencas destatus”, ambas expressoes nao estao “oficialmente” definidas...)

O aluno deve estar mais acostumado a usar as palavras“impossıvel”e “indeterminado” para sistemas lineares.


Para sistemas lineares...

Classificacao dos Sistemas Lineares

Um sistema linear e dito impossıvel se nao admite nenhumasolucao.

Um sistema linear e dito possıvel e indeterminado se admiteinfinitas solucoes.

Um sistema linear e dito possıvel e determinado se admiteuma unica solucao.

Lembre-se que um sistema e impossıvel quando voce chega aconclusao que “as equacoes sao contraditorias umas com asoutras”; apos manusearmos as equacoes (por triangulacao, porexemplo), voce chega numa expressao do tipo 0 = 1.


Nocoes associadas a “impossıvel”

Assim,

“impossıvel” ≡ “nao existe solucao”

≡ “nao acontece”

≡ “nao existe”

≡ “contraditorio”


Nocoes associadas a “indeterminado”

“indeterminado” ≡ “nao existe uma solucao unica”

≡ “existe mais de uma solucao”

≡ “pode acontecer de mais do queuma maneira”

≡ “nao existe uma resposta unica”

≡ “existem possibilidades diferentes,que nao levam a uma contradicao”


Voltando a 10e

00

Ora, os mesmos raciocınios aparecem quando discutimos as fracoescom denominador zero !!!

Comecemos com10 . Deixamos como exercıcio aos estudantes

relembrar como se demonstra o seguinte

Teorema

Para todo numero real x , x .0 = 0.

Com isso, se existisse o chamado “inverso multiplicativo do zero”,

z =10 , terıamos z .o = 1, o que seria... uma contradicao !


10 e impossıvel

Temos entao ideias semelhantes as que destacamos para ossistemas impossıveis:

10 nao existe, pois a equacao x .0 = 1 nao tem solucao.

E impossıvel existir um numero real z =10 , pois sua existencia

levaria a uma contradicao.

10 e algo que nao pode acontecer (“a nao ser que 0 = 1”).


00 como “sımbolo para uma conta exata”

Vamos agora usar o sımboloab nao como o sımbolo de um

numero, e sim como o sımbolo de uma conta exata... (Este e umpequeno truque que fazemos para convencer os colegas da

indeterminacao de00 ...)

Definicao

Sejam a, b, c numeros reais quaisquer. Denotaremos porab= c a

situacao em que a = b.c .

Pois bem...

Exercıcio. Mostre que, segundo a definicao acima, para qualquernumero real x , podemos escrever

00= x


00 e... indeterminado !!!

Ou seja,00 pode ser o que voce quiser... Aparecem aqui as ideias

de

“indeterminado” ≡ “nao existe uma solucao unica”

≡ “existe mais de uma solucao”

≡ “pode acontecer de mais do queuma maneira”

≡ “nao existe uma resposta unica”

≡ “existem possibilidades diferentes,que nao levam a uma contradicao”

... exatamente como no caso dos sistemas indeterminados.


Indeterminacoes...

A palavra “indeterminacao” tambem aparece em Calculo, noestudo de limites, recordam-se ? No seu livro de calculo

possivelmente apareca a expressao “indeterminacao do tipo00”.

Isso tambem se refere a “existencia de infinitas possibilidades”, ou

“um limite do tipo00 pode ter como resultado o que voce quiser”.

De fato, dado um numero real k qualquer previamente fixado,temos que

limx→0k.xx

e um limite do tipo00 cujo resultado e k . Isso pode ser encarado

como uma justificativa um pouco mais formal para a frase “00

pode ser o que voce quiser”.


Expressoes que “nao prestam”...

Assim, ambas expressoes10 e

00 “nao prestam”

- a primeira, porque nao ocorre nunca; a segunda, porque ocorrepara qualquer valor !!!

Outro caso famoso de indeterminacao e o 00, que deu o tıtulo aversoes previas desta palestra !!!

Novamente, “nao existe uma resposta unica” !!! Convidamos oaluno a esbocar os graficos de f (x) = 0x , g(x) = x0 e h(x) = xx

e, em seguida, determinar o valor do limite dessas funcoes quandox tende a zero.

Para pensar em casa: Por que 0! = 1 ?


O impossıvel na Matematica e...

De acordo com a linha que estou desenvolvendo nesta palestra,estou tentando vender para voces a ideia que o impossıvel,“dentro” da Matematica, e... A contradicao, o contraditorio, oabsurdo.

Destacamos que: o interesse em manter a consistencia emMatematica (consistencia = ausencia de contradicao) se deve aofato de que, em Logica Classica, se existe uma prova parauma contradicao entao todas as proposicoes poderiam serdemonstradas !!! Logo, tudo seria verdadeiro e falso ao mesmotempo, trivializando o sistema !

Terıamos um gigantesco “0 = 1” e o universo se colapsaria a umponto...

Assim, para X = contradicao e Y = Matematica, “Y nao pode fazerX”, pois ”X” contraria as leis da logica !


E o impossıvel para a Matematica ?

... Restam entao dois problemas pra se resolver, dentro do planoque apresentamos inicialmente, inspirados pelo Paradoxo daOnipotencia...

achar (se e que existem !) tarefas X para as quais, sendo Y =Matematica, “Y pode fazer X” contrarie as leis da logica.

responder a pergunta: Existem verdades matematicas que naopodem ser demonstradas ?

... Talvez a maneira com que responderemos a essas questoes sejaum pouco chocante... Respire fundo !!!


As duas questoes serao respondidas ao mesmo tempo !!!

... Mostraremos para os colegas a seguinte

Afirmacao

Sendo Y = Matematica e X a tarefa

X = exibir uma demonstracao para todas as verdades matematicas

entao “Y pode fazer X” contraria as leis da Logica (a nao ser quea Matematica seja inconsistente !).

... Em outras palavras: se supusermos que a Matematica e consis-tente, entao existem verdades que nao podem ser demonstradas.

Essencialmente o argumento do Teorema que demonstraremos paracomprovar a afirmacao acima esta descrito na seguinte alegoria...


A Maquina DIN-DIN

A Maquina DIN-DIN e uma “adaptacao livre” de umquebra-cabecas logico, proposto pelo celebre matematico, logico efilosofo norte-americano Raymond Smullyan.

Essa adaptacao e de autoria do colega Walter Carnielli(UNICAMP) e de Michael Rathjen (Leeds, UK) e foi publicada naRevista Matematica Universitaria n◦ 12, em 1990.

Aproveito a oportunidade para agradecer a Walter Carnielli poralguns comentarios feitos por ele sobre este e varios topicosrelacionados, em contatos realizados via email durante a confeccaodesta palestra, no final do mes de julho.


A Maquina DIN-DIN

Podemos imaginar a Maquina DIN-DIN como uma daquelasimpressoras bem antigas, que faziam barulhinhos mecanicosdurante a impressao...

Essa maquina possui um rolo de papel (o qual podemos supor quenao acabara nunca, ou que sera sempre substituıdo a tempo !) eimprime na folha de papel expressoes (i.e., sequencias arbitrariasde sımbolos) construıdas a partir de:

D, I, N e –

Algumas expressoes especiais serao denominadas sentencas, e paraestas sera associada uma interpretacao (ou “significado”) que nospossibilitara falar em “sentencas verdadeiras” e “sentencas falsas”.


As sentencas e suas interpretacoes

Serao quatro tipos de sentencas:

A sentenca I-X (onde X e uma expressao qualquer) significaque “X e imprimıvel”, e sera verdadeira se, e somente se, aexpressao X aparece, mais cedo ou mais tarde, impressa nafolha de papel.

A sentenca NI-X (onde X ...) significa que “X nao eimprimıvel”, e sera verdadeira se, e somente se, a expressaoX nunca aparece impressa na folha de papel.

ID-X (onde X ...) significa que “X-X e imprimıvel”, e seraverdadeira se, e somente se, a expressao X-X (“dobro de X”)aparece, mais cedo ou mais tarde, impressa na folha de papel.

NID-X (onde X ...) significa que “X-X nao e imprimıvel” esera verdadeira se, e somente se, a expressao X-X nuncaaparece impressa na folha de papel.

(Ou seja: “I” ≡ “imprime”, “D” ≡ “dobro” e “N” ≡ “nao”.)


A Hipotese de Correcao

Observar que as interpretacoes que escolhemos sao nocoes queestao “fora da maquina”, apesar de falarem “sobre” a Maquina –no sentido de que as interpretacoes, a princıpio, nao alteram o“comportamento” da Maquina ! Nossa unica hipotese nessesentido sera a chamada “Hipotese de Correcao”, que pressupoeque a Maquina esta, de uma certa forma, “bem regulada”...

Hipotese de Correcao

Quando a Maquina imprime sentencas, com certeza imprimeapenas sentencas verdadeiras.

Note, porem – por favor !! – que nao estamos assumindo que aMaquina “apenas imprime sentencas”, ou que “imprime todas assentencas verdadeiras”: estamos apenas afirmando que a Maquinanao imprime sentencas falsas.


Um fato interessante !!!

Na verdade, a partir das interpretacoes fixadas e da Hipotese deCorrecao, temos uma afirmacao muito interessante para fazer !!!

Afirmacao

Existem sentencas verdadeiras que a Maquina DIN-DINnunca vai imprimir.

Vejamos um exemplo de sentenca dessa forma...


O que diz a sentenca... NID-NID ???

Consideremos agora a sentenca NID-NID. Pelas interpretacoesdadas, NID-NID e verdadeira, se, e somente se, NID-NID e naoimprimıvel. Ou seja:

NID-NID e verdadeira se, e somente se, nao e imprimıvel.

Intuitivamente, NID-NID diz: “Eu nao sou imprimıvel”.

Assim, temos duas opcoes: ou NID-NID e falsa e imprimıvel, ou everdadeira e nao imprimıvel.

A primeira alternativa nao pode ocorrer (por que ???).


NID-NID e verdadeira e nao imprimıvel

... NID-NID nao pode ser falsa porque, neste caso, ela seriaimprimıvel – o que contradiz a Hipotese de Correcao !!!Assumimos que a Maquina nao imprime sentencas falsas !!!

Assim, NID-NID e verdadeira e, como ela propria afirma a suanao-imprimibilidade... NID-NID nao e imprimıvel.

NID-NID e uma sentenca verdadeira que nao e imprimıvel.

Exercıcio. Responda: ID-NID e verdadeira ? E imprimıvel ?(Dica: ID-NID e a negacao de...)


Um sistema formal “incompleto”

Encarando a Maquina como um “sistema formal”, poderıamosdesejar que ele tivesse uma certa propriedade de “completude”,definida da seguinte maneira: dada uma sentenca S, imprimirsempre ou S ou a negacao de S. Se ocorresse isso, poderıamosdizer que a Maquina sempre decidiria por uma sentenca entre S enegacao de S.

Bem, acabamos de ver na pagina anterior que, considerando-seS = NID-NID, temos que nem S e nem a negacao de S podem serimprimıveis !!! Conclusao:

A Maquina DIN-DIN e um sistema formal incompleto

Existem sentencas indecidıveis para a Maquina DIN-DIN.


... Todos perceberam a analogia a ser feita ???

... Espero que todos ja tenham percebido a analogia que vamosfazer...

Vamos identificar o sistema formal dado pela Maquina DIN-DINcom a Matematica, e “ser imprimıvel” significara “serdemonstravel”. Notar que vale a Hipotese de Correcao, ou seja,proposicoes matematicas que podem ser demonstradas comcerteza sao verdadeiras...

Sera que podemos adaptar os argumentos dados para a MaquinaDIN-DIN e mostrar que “existem verdades matematicas que naopodem ser demonstradas” ?


A resposta e... SIM !!!

Na verdade, o argumento utilizado para a Maquina DIN-DIN e,essencialmente, o mesmo argumento utilizado para provar aqueleque e talvez o mais controverso, polemico e chocante teoremamatematico do seculo XX...

... E esse e o teorema referenciado no tıtulo desta palestra (“DuasAlegorias e um Teorema”). Ainda nao citamos o nome destefamoso teorema para nao “assustar” ninguem...

No teorema a seguir, a codificacao das sentencas utiliza osnumeros naturais, por isso deve ser suposto que a teoria emquestao inclua uma “porcao suficiente da Aritmetica”.


O Primeiro Teorema da Incompletude de Godel

Teorema (Godel, 1931)

Se uma teoria consistente T e suficientemente complicada de modoa conter a Aritmetica (de Peano), entao T nao e completa - i.e., Tpossui proposicoes indecidıveis.

Notar que a “Matematica” e, em geral, formalizada como sendo a“Teoria dos Conjuntos”. Assim, aplicando o teorema acima,teremos que “se a Matematica for consistente, entao devem existirproposicoes indecidıveis”.


Esboco da Demonstracao

Seja T a teoria consistente em questao. Vamos mostrar que existeuma sentenca verdadeira que nao pode ser demonstrada. “Para semanter a consistencia, algumas pedras nao poderao serlevantadas”.

Como T contem uma parte suficiente da Aritmetica (nesse pontode vista, alguns autores dizem que T e “suficientementecomplicada a ponto de...”), vamos aritmetizar a tal teoria, demodo que cada afirmacao representar (e ser representada por) umaafirmacao aritmetica.

Essa parte e a chamada “construcao dos numeros de Godel”.Observamos que os numeros de Godel sao capazes tambem decodificar a nocao de “demonstracao em T”.


A Sentenca de Godel

Trabalhando muito cuidadosamente com sua codificacao, Godel foicapaz de construir uma sentenca G, a chamada sentenca deGodel, que satisfaz a seguinte propriedade:

A Sentenca de Godel

G e verdadeira se, e somente se, G nao e demonstravel.

Em outras palavras, podemos intuitivamente encarar G como umasentenca que declara sua propria nao-demonstrabilidade.

(Alguns autores dizem que, nesta parte da demonstracao, Godelfez uma “variacao diabolica” do Paradoxo do Mentiroso, o qualconsiste em discutir o valor de verdade da afirmacao “Esta frase efalsa”. Enquanto no Paradoxo do Mentiroso realmente chegamos aum paradoxo, com a sentenca de Godel nao se chega a umparadoxo, como veremos a seguir...)



Pois bem: afirmamos que G nao pode ser demonstrada nateoria T !!!

De fato: como sempre sabemos que vale a “correcao”, se Tdemonstrasse G terıamos que G e verdadeira, e portantonao-demonstravel.

So que aı terıamos que, a partir de T, conclui-se que “T demonstraG” e, ao mesmo tempo, “T nao demonstra G”. Isso e um absurdo,pois supomos que a teoria T e... Consistente !!! T nao podeconcluir duas conclusoes contraditorias !!!

Portanto G nao pode ser demonstrada – e, como ela afirmaexatamente sua nao-demonstrabilidade, temos que G e verdadeira(pois afirma um fato verdadeiro) e nao pode ser demonstrada.



Pense agora na afirmacao aritmetica que codificou a sentencade Godel G. Seja S essa afirmacao aritmetica. Pela codificacaofeita, podemos afirmar que S e uma afirmacao sobre os numerosnaturais que e verdadeira e que nao pode ser demonstrada – sendoportanto uma “verdade matematica nao-demonstravel”.

Novamente usando a Correcao, conclui-se facilmente que essaafirmacao S e indecidıvel.

Conclusao !!!

Existem proposicoes indecidıveis para a Matematica (a nao ser quea Matematica seja ela propria inconsistente.).

Neste sentido, o Teorema da Incompletude mostrou que Hilbertestava errado – existem ignorabimus em Matematica !!!


... E a nossa crenca, como fica ?

Se existem proposicoes indecidıveis em Matematica, como ficaaquela nossa “crenca” do inıcio da palestra, sobre o poder daMatematica ?

A “crenca”


... Acabamos de verificar que nao podemos garantir o “sempre”em nossa crenca. Dada uma proposicao indecidıvel I, a pergunta“vale I, sim ou nao ?” nao possui uma resposta que possa serdemonstrada !!!

... Isso te incomoda muito ?? Sim ou nao ??


Sera que S e o unico exemplo de proposicao indecidıvel ?

O Primeiro Teorema da Incompletude nos fornece um exemplo“concreto” de proposicao indecidıvel para a Matematica. Sera esteo unico exemplo ? Ou existem outros exemplos, obtidos por outrastecnicas ?

A resposta e: sim, existem outros exemplos, obtidos por outrastecnicas (e que nao envolvem “auto-referencias”).

Existem tecnicas muito importantes que usam a nocao deconstrucao de modelos.

Vamos ter que introduzir algumas nocoes de semantica esintatica...


Alguns termos tecnicos...

Uma teoria T e dita consistente se T nao nos leva acontradicoes – i.e., nao existe uma afirmacao ϕ tal que Tprova ϕ e T prova a negacao de ϕ.

Uma afirmacao ϕ e dita consistente com uma teoria T se T,acrescentada de ϕ, e uma teoria consistente.

Uma afirmacao ϕ e dita independente de uma teoria T setanto ϕ como a negacao de ϕ sao consistentes com T.

Um modelo para T e uma “estrutura” (conjunto ou classe)no qual a teoria pode ser “interpretada”.

Uma afirmacao ϕ e dita uma consequencia semantica de Tse ϕ for verdadeira em todos os modelos de T.

Uma afirmacao ϕ e dita uma consequencia sintatica de Tse existe uma demonstracao de ϕ dentro da teoria T.

Uma teoria T e dita completa se, dada uma afirmacao ϕqualquer, entao ou T prova ϕ ou T prova a negacao de ϕ.


Interpretacoes e Demonstracoes

Ou seja: a nocao de consequencia semantica procura capturar aideia de “verdade segundo interpretacoes”, enquanto que a deconsequencia sintatica procurar capturar a ideia de “verdadesegundo demonstracoes”.

Notar que, com os novos termos introduzidos, podemos dizer queo Primeiro Teorema da Incompletude de Godel nos diz, a grossomodo, que nao podemos exigir, ao mesmo tempo, consistencia ecompletude !!!

Teorema da Incompletude - Enunciado resumido

Teorias consistentes que contem a Aritmetica nao sao completas.


Alguns Fatos e Corolarios !!!

Observando o princıpio ex falso quodlibet, o qual garante que apartir de contradicoes podemos deduzir qualquer afirmacao, oestudante mais interessado podera verificar os seguintes Fatos eseus Corolarios !!!

Fatos

T e consistente se, e so se, existe alguma afirmacao que naopode ser demonstrada.

ϕ e consequencia semantica de T se, e so se,T + negacao de ϕ nao tem modelo.

ϕ e consequencia sintatica de T se, e so se,a negacao de ϕ nao e consistente com T.


Alguns Fatos e Corolarios !!!

Consequencias

ϕ e consistente com T se, e so se,T nao prova a negacao de ϕ.

ϕ e independente de T se, e so se, ϕ e indecidıvel(i.e., T nao prova nem ϕ e nem a negacao de ϕ).

A terminologia “proposicao indecidıvel” foi a originalmenteutilizada por Godel em 1931.

Em textos mais atuais, a terminologia utilizada e a deindependencia. O termo decidibilidade tambem tem um outrosentido em Computacao Teorica, aplicado a teorias e nao aafirmacoes, e portanto esse sentido e diferente do uso que estamosdando nesta palestra.


Teorema da Correcao

Vamos agora apresentar os Teoremas que mostram que as nocoessemantica e sintatica de “verdade” coincidem...

Teorema da Correcao - Enunciados Equivalentes

Se ϕ e consequencia sintatica de T, entao ϕ e consequenciasemantica de T.

Teorias que possuem modelo sao consistentes.

Se existe um modelo de T no qual ϕ e verdadeira,entao ϕ e consistente com T.

Observacao: Os enunciados acima sao (facilmente !)equivalentes, assim, para provar o Teorema da Correcao, bastaprovar qualquer um dos enunciados (normalmente, demonstra-se osegundo enunciado).


Teorema da Completude (Godel, 1930)

Teorema da Completude - Enunciados Equivalentes

Se ϕ e consequencia semantica de T, entao ϕ e consequenciasintatica de T.

Teorias consistentes possuem modelo.

Se ϕ e consistente com T, entao existe um modelo de T noqual ϕ e verdadeira.

Observacao: Os enunciados acima sao (facilmente !)equivalentes, assim, para provar o Teorema da Completude, bastaprovar qualquer um dos enunciados (normalmente, demonstra-se osegundo enunciado).

O Teorema da Completude e muito importante, exatamente porfazer “a ponte” entre as visoes sintatica e semantica da nocao deverdade.


Provas de Consistencia e Independencia

Como consequencia do Teorema da Correcao, temos o metodo de“construcao de modelos” como ferramenta para provar aconsistencia de afirmacoes matematicas.

Construcao de Modelos

Para mostrar que uma afirmacao ϕ e consistente com uma teoria T,basta exibir um modelo de T no qual ϕ seja verdadeira.

Segue que, para mostrar que ϕ e independente de T usandoconstrucao de modelos, devemos ser capazes de construir doismodelos de T: uma para ϕ e outro para a negacao de ϕ.


Provas de Consistencia e Independencia

O estudante fica convidado a refletir sobre como a tecnica deconstrucao de modelos foi usada, por exemplo, na verificacao deque o Quinto Postulado de Euclides e independente dos demaisaxiomas da Geometria ! (Dica: Pensar nas geometriasnao-euclidianas...)

Uma observacao: no caso em que T = Matematica = Teoria dosConjuntos, diremos simplesmente “ϕ e consistente” ou “ϕ eindependente” (nao precisaremos colocar “com T”/“de T” nofinal, ficara subentendido).


E tao difıcil assim exibir proposicoes indecidıveis ?

... Na verdade, em alguns casos e super facil !!!

Considere, por exemplo, T como sendo a Teoria dos Aneis, econsidere a afirmacao (da linguagem da Teoria de Aneis)

ϕ ≡ “Existe x tal que x2 = 2”

... Sera que a Teoria dos Aneis e capaz de conseguir decidir ϕ -i.e., existe como provar ϕ ou a sua negacao ?


Essa afirmacao e independente da Teoria dos Aneis !

Existem modelos de T onde ϕ e verdadeira... Basta considerarcomo modelo o conjunto dos numeros reais R !

E existem modelos de T onde onde ϕ e falsa ! Basta considerarcomo modelo o conjunto dos numeros racionais Q...

Assim, ϕ e uma proposicao independente da Teoria dos Aneis !

Conclusao

A Teoria dos Aneis (ou mesmo a Teoria dos Corpos) nao e capazde decidir se a afirmacao “Existe x tal que x2 = 2” e verdadeira oufalsa.


Ue... A Matematica nao da sempre respostas unicas ???

E voltemos apensar em nossa “crenca”...

A “crenca”


... Podemos encarar a pergunta “Existe x tal que x2 = 2” comouma “pergunta que tem duas respostas”...

Existe x tal que x2 = 2 ?

A resposta e SIM para os numeros reaise e NAO para os numeros racionais.

... Isso te incomoda muito ?? Sim ou nao ?? Note que, paraafirmacoes que sejam independentes de T, a nocao de “verdade”depende fortemente do modelo escolhido para se trabalhar... Isso econsequencia do Teorema da Completude !!!


Juntando Completude e Incompletude

Observamos que existem duas nocoes diferentes de incompletudeenvolvidas nos Teoremas da Completude e da Incompletude.

A completude semantica de T consiste em que toda afirmacaoque e consequencia semantica de T possa ser demonstrada, setornando assim, tambem, consequencia sintatica.

A completude sintatica de T consiste na decidibilidade dequalquer afirmacao, demonstrando-se ou a afirmacao ou a suanegacao.

Assim, por exemplo, podemos dizer que a Matematica e completasemanticamente e incompleta sintaticamente.

Exercıcio. Combinando os Teoremas da Completude e daIncompletude, mostre que se uma teoria possui proposicoesindecidıveis entao essa teoria possui modelos essencialmentediferentes entre si.


Indeterminado ≡ Independente eImpossıvel ≡ Inconsistente !!!

Voltando agora as nossas analogias com sistemas lineares e fracoescom denominador zero (?), podemos encarar os problemasindependentes de uma teoria, esses que dependem do modeloescolhido, como “afirmacoes possıveis e indeterminadas”.

Agora, a ideia de “varias respostas possıveis para uma equacao”aparece na forma de “varios modelos possıveis para umaafirmacao”.

Poderıamos entao apresentar uma classificacao das afirmacoes deuma teoria (consistente), de um modo semelhante a classificacaodos sistemas lineares...


Classificando as afirmacoes !!!

Classificacao das afirmacoes de uma teoria consistente T

Afirmacoes possıveis e determinadas: sao asconsequencias sintaticas da teoria. Pelo Teorema daCompletude, sao exatamente as afirmacoes que valem emtodos os modelos de T.

Afirmacoes possıveis e indeterminadas: sao as afirmacoesindependentes de T. Novamente pelo Teorema daCompletude, existirao modelos em que serao verdadeiras emodelos em que serao falsas.

Afirmacoes impossıveis: sao as afirmacoes inconsistentescom a teoria. Notar que sao, exatamente, as negacoes dasafirmacoes possıveis e determinadas. Nao possuem modelo.


Um ultimo estudo de caso: a Hipotese do Contınuo

Estamos nos aproximando do final da palestra. Vamos falar de umproblema classico da matematica, o “Primeiro Problema deHilbert” - a Hipotese do Contınuo.

Por um argumento classico de Cantor (o chamado “argumentodiagonal”), sabemos que “existem mais numeros reais do quenumeros naturais” - i.e., R e um conjunto nao-enumeravel.

A cardinalidade de N e denotada por |N| = ℵ0.

Por razoes tecnicas que nao vem ao caso (mas que serao discutidasno minicurso de combinatoria), a cardinalidade de R e denotadapor |R| = |P(N)| = 2ℵ0 .


Um ultimo estudo de caso: a Hipotese do Contınuo

Assim, a expressao “R e nao-enumeravel” traduz-se nadesigualdade

ℵ0 < 2ℵ0

Essa desigualdade e, inclusive, um caso particular do chamadoTeorema de Cantor: para qualquer conjunto X vale |X | < 2|X |.

Sabe-se, no entanto, que existe “o menor cardinalnao-enumeravel”, o qual e denominado ℵ1. Qual e a perguntanatural agora ???

???


Hipotese do Contınuo

A pergunta e: sera que a cardinalidade da reta coincide comesse primeiro cardinal que e nao-enumeravel ???

Cantor conjecturou que a resposta a pergunta acima seria positiva.Essa afirmacao - “a cardinalidade da reta e igual ao primeirocardinal nao-enumeravel” e a chamada Hipotese do Contınuo !!!

Hipotese do Contınuo:

ℵ1 = 2ℵ0

O que nos leva a uma nova pergunta natural...

Sera que Cantor estava certo ?

Isto e – sera que a Hipotese do Contınuo e verdadeira ???


Agora, todas as suas crencas matematicasserao colocadas a prova...

Se voce ainda mantem a crenca (do inıcio da palestra) de quea matematica da resposta unicas, corretas e verdadeiras,entao voce encara a Hipotese do Contınuo como algo que eOU verdadeiro OU falso.

Nesse ponto de vista, a busca por essa resposta seria umabusca por essa “verdade imutavel dos fatos”, algo que podeser simplesmente (?) “checado” (bastaria ter acesso a“realidade”).

Porem, se voce foi atento a essa palestra, voce sabe quemuitas teorias possuem proposicoes indecidıveis – inclusive,algumas obrigatoriamente possuem proposicoes indecidıveis(a saber, as consistentes que incluem a Aritmetica).


Agora, todas as suas crencas matematicasserao colocadas a prova...

Assim...

da mesma forma que a Teoria dos Aneis nao consegue decidirse “Existe x tal que x2 = 2” e verdadeiro ou falso (poisambas possibilidades sao consistentes)...

poderia ocorrer o caso da Matematica (= Teoria dosConjuntos) nao conseguir decidir se “2ℵ0 = ℵ1” e verdadeiroou falso.

O que o(a) nobre colega acha que esta acontecendo ?

8-)


A Hipotese do Contınuo e independentedos Axiomas da Teoria dos Conjuntos

Fato

A Hipotese do Contınuo e uma proposicao indecidıvelpara a Matematica.

Tanto a Hipotese do Contınuo como sua negacao sao afirmacoesconsistentes !!! Ou seja, existem modelos nos quais ela vale emodelos nos quais ela nao vale !!!

O proprio Godel (nos anos 30) mostrou que a Hipotese doContınuo e consistente (“modelo construtıvel de Godel”).

Nos anos 60, Cohen mostrou que a negacao da Hipotese doContınuo e consistente (“invencao do metodo de forcing”).


Uma ultima pergunta !!!

“E eu com isso ???”

Se eu nao trabalho diretamente com Logica ou com Teoria dosConjuntos, eu tenho que saber algo sobre proposicoes indecidıveis ?

Na verdade... Sim. Qualquer matematico deve estar, pelo menos,ciente da existencia de problemas indecidıveis para a Matematica,pois qualquer problema matematico que resiste muito tempoa solucao pode “esconder” algum resultado de consistenciaou de independencia.


E os Problemas do Milenio ?

A versao “Seculo XXI” dos Problemas de Hilbert (Paris, 1900), saoos Problemas do Milenio, sete problemas para os quais oInstituto Clay oferece 1 milhao de dolares por sua solucao. Umdesses premios ja foi recusado por Grigori Perelman, que provou aConjectura de Poincare... Mais ainda existem seis milhoes dedolares em jogo !!!

O que queremos destacar aqui e o seguinte fato: e possıvel quealguns dos “Problemas do Milenio”, como a Hipotese deRiemann, ou P vs NP, sejam afirmacoes independentes da Teoriados Conjuntos. Se for o caso, um matematico pode literalmentegastar sua vida inteira procurando uma demonstracao que... Naoexiste (leiam “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach” !!!).

Note que mesmo uma unica prova de consistencia ja seria umavanco tremendo para esses problemas. Se alguem provar que aHipotese de Riemann e consistente, ja fica impossıveldemonstrarmos que a mesma e falsa.


Alguns comentarios mais sutis...

Os Teoremas de Completude e de Incompletude estaoenunciados para uma determinada Logica especıfica, a saber:Logica Finitaria de Primeira Ordem (em particular, todas asdemonstracoes sao supostas finitas). Se a Logica subjacente emudada, esses teoremas nao sao mais necessariamente validos.

Existe o chamado Segundo Teorema da Incompletude deGodel, o qual garante que teorias consistentes que incluam aAritmetica nao podem provar a sua propria consistencia.Muitos autores entendem que este segundo teorema enterroucompletamente o chamado Programa de Hilbert, o qualseria provar a consistencia da Matematica por metodos finitos.

O esboco de demonstracao que apresentamos para o PrimeiroTeorema da Incompletude utiliza alguns argumentossemanticos, como a nocao de “verdade”. No entanto, a provaoriginal de Godel, feita com alguns cuidados adicionais, epuramente sintatica.



Algumas pessoas afirmam que o Teorema da Incompletude deGodel mostra que “nenhum sistema logico pode ser completo”e procurar aplica-lo para objetos dıspares como “a mentehumana”, “a Constituicao”, “a Bıblia” ou “o sistema solar”.Essas aplicacoes sao completamente nonsense, pois paranenhum desses sistemas podemos verificar as duas hipotesesprincipais do Teorema da Incompletude: ser uma teoriaconsistente e que inclua a Aritmetica !!!



Temos que tomar um certo cuidado com afirmacoes do tipo“Pelo Primeiro Teorema da Incompletude de Godel, existemafirmacoes matematicas que nao podem ser demonstradas,como por exemplo a Hipotese do Contınuo”. Apesar decorreta, essa frase parece dar a entender que a independenciada Hipotese do Contınuo seria um corolario do PrimeiroTeorema de Incompletude (o que nao e o caso, suaindependencia foi obtida por construcao de modelos). O queo Teorema da Incompletude de Godel garante e que, parateorias em certas condicoes, existem proposicoes aritmeticasindecidıvels. A princıpio, alguem poderia construir uma teoriaconsistente para “numeros naturais e fantasmas”, de modoque a mesma fosse (sintaticamente) completa no que se referea... Fantasmas.



Alguns filosofos procuram interpretar, a partir dademonstracao do Teorema da Incompletude, que nenhumcomputador pode superar a mente humana – pois nos,humanos, podemos verificar que a Sentenca de Godel everdadeira, enquanto um computador nao pode. Esseargumento, conhecido como argumento de Lucas/Penrose,esta longe de ser consenso entre os filosofos da matematica.

“Ser nao-demonstravel” e sempre uma afirmacao relativa auma teoria especıfica. Existem maneiras de “estender” aTeoria dos Conjuntos de modo a demonstrar certasproposicoes indecidıveis para a teoria usual – por exemplo,supor a existencia de cardinais inacessıveis, os chamadosgrandes cardinais. No entanto, pelo Segundo Teorema daIncompletude de Godel, nao e possıvel demonstrar, na Teoriados Conjuntos usual, sequer a consistencia da existenciadesses cardinais.


Sugestoes de Leitura

W. A. Carnielli e Michael Rathjen, “Combinatoria eindemonstrabilidade, ou o 13o trabalho de Hercules”,Mathematica Universitaria n. 12, 1990, Sociedade Brasileriade Matematica, pp.23-41.

R. Smullyan, “Godel incompleteness theorems”, OxfordUniversity Press, 1992.

T. Franzen, “Godel’s theorem: an incomplete use to its useand abuse”. A. K. Peters, 2005.


Agradeco a todos pela atencao !!!

Espero sinceramente que tenham aproveitado esta palestra !

Ate a proxima !

Vamos discutir Logica e Teoria dos Conjuntos ?

[email protected]


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