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Progressão Geométrica - www.matematica.com.br - Jorge Krug
Definição Progressão Geométrica (P.G.) é toda sequência em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior vezes um certo número constante, denominado razão (q).
Fórmula do Termo Geral
Em uma PG (a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro termo.
Observações
Podemos fazer an = as.qn – s. Por exemplo: a20 = a5.q15.
Em certas situações é favorável colocar o 1º termo como a0 e não a1. Dessa forma, o termo
geral da P.G. é dado por an = a0.qn. Por exemplo, se deposito na poupança R$ 1.000,00, rendendo 1%
ao mês, quanto terei daqui 4 meses? Temos uma P.G. com a0 = R$ 1.000,00 e razão q = 1 + i = 1 + 0,01 = 1,01. Daqui 4 meses, terei a4 = a0.q4 = 1000.(1,01)4 R$ 1.040,60
Progressão Geométrica
an = a1 . qn 1
Notação: a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...
a1 1º termo
a3 3° termo
an n-ésimo termo ou termo geral
n nº de termos q razão
Exemplos:
a) (2, 4, 8, 16, ... ) a1 = 2; q = 2
b) (18, 6, 2, 2
3 , ...) a1 = –18; q =
1
3
c) (1, 1
2,
1
4,
1
8, ... ) a1 = 1; q =
1
2
2
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Classificação
P.G. Crescente: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1
1º) a1 = 1 e q = 2 (1, 2, 4, 8, ...)
2º) a1 = 18 e q = 1/3 (18, 6, 2, 2/3, ...)
P.G. Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1
1º) a1 = 10 e q = 1/2 (10, 5, 5/2, 5/4, ...)
2º) a1 = 2 e q = 5 (2, 10, 50, ...)
P.G. Constante: q = 1
q = 1 (2, 2, 2, 2, .... )
P.G. Oscilante ou Alternante: q < 0
q = –2 < 0 (5, –10, 20, –40, ... )
Propriedades
P1 O produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma PG finita é igual ao produto dos extremos.
1 3 9 27 81 243
P2 Qualquer termo de uma PG, excluídos os extremos, é a média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente .
2 4 8 16 32 64
4 = 2.8 8 = 4.16 32 = 16.64
P3 Numa PG de números ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos ou dos termos eqüidistantes dos extremos.
3 6 12 24 48
12 = 3.48 12 = 6.24
9.27 = 243
3.81 = 243
1.243 = 243
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Representação
Dada a P.G. (a, b, c) de razão q, podemos escrever em função do termo médio b.
Produtos dos termos A fórmula a seguir permite calcular o produto Pn dos n termos iniciais de uma P.G..
Soma dos termos
Finita: e
Infinita e decrescente:
2
)1n(n
n1n q.aP
1 nn
a a .qS
1 q
1n
aS
1 q
n1
n
a 1 qS
1 q
b, b, b.q
q
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Interpretação Geométrica
A fórmula do termo geral an = a1 . qn 1 é equivalente à an = ao . qn , em que os termos iniciam por ao. Logo, podemos associar esta relação como sendo uma função exponencial restrita a números naturais (domínio = N) do tipo a(x) = ao .qx. O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.
an = ao . qn
ao a1
a2
n
an
0 1 2 3
a3