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Progressão Geométrica - www.matematica.com.br - Jorge Krug

Definição Progressão Geométrica (P.G.) é toda sequência em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior vezes um certo número constante, denominado razão (q).

Fórmula do Termo Geral

Em uma PG (a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro termo.

Observações

Podemos fazer an = as.qn – s. Por exemplo: a20 = a5.q15.

Em certas situações é favorável colocar o 1º termo como a0 e não a1. Dessa forma, o termo

geral da P.G. é dado por an = a0.qn. Por exemplo, se deposito na poupança R$ 1.000,00, rendendo 1%

ao mês, quanto terei daqui 4 meses? Temos uma P.G. com a0 = R$ 1.000,00 e razão q = 1 + i = 1 + 0,01 = 1,01. Daqui 4 meses, terei a4 = a0.q4 = 1000.(1,01)4 R$ 1.040,60

Progressão Geométrica

an = a1 . qn 1

Notação: a1, a2, a3, ... , an-1, an, ...

a1 1º termo

a3 3° termo

an n-ésimo termo ou termo geral

n nº de termos q razão

Exemplos:

a) (2, 4, 8, 16, ... ) a1 = 2; q = 2

b) (18, 6, 2, 2

3 , ...) a1 = –18; q =

1

3

c) (1, 1

2,

1

4,

1

8, ... ) a1 = 1; q =

1

2

2

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Classificação

P.G. Crescente: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1

1º) a1 = 1 e q = 2 (1, 2, 4, 8, ...)

2º) a1 = 18 e q = 1/3 (18, 6, 2, 2/3, ...)

P.G. Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1

1º) a1 = 10 e q = 1/2 (10, 5, 5/2, 5/4, ...)

2º) a1 = 2 e q = 5 (2, 10, 50, ...)

P.G. Constante: q = 1

q = 1 (2, 2, 2, 2, .... )

P.G. Oscilante ou Alternante: q < 0

q = –2 < 0 (5, –10, 20, –40, ... )

Propriedades

P1 O produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma PG finita é igual ao produto dos extremos.

1 3 9 27 81 243

P2 Qualquer termo de uma PG, excluídos os extremos, é a média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente .

2 4 8 16 32 64

4 = 2.8 8 = 4.16 32 = 16.64

P3 Numa PG de números ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos ou dos termos eqüidistantes dos extremos.

3 6 12 24 48

12 = 3.48 12 = 6.24

9.27 = 243

3.81 = 243

1.243 = 243

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Representação

Dada a P.G. (a, b, c) de razão q, podemos escrever em função do termo médio b.

Produtos dos termos A fórmula a seguir permite calcular o produto Pn dos n termos iniciais de uma P.G..

Soma dos termos

Finita: e

Infinita e decrescente:

2

)1n(n

n1n q.aP

1 nn

a a .qS

1 q

1n

aS

1 q

n1

n

a 1 qS

1 q

b, b, b.q

q

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Interpretação Geométrica

A fórmula do termo geral an = a1 . qn 1 é equivalente à an = ao . qn , em que os termos iniciam por ao. Logo, podemos associar esta relação como sendo uma função exponencial restrita a números naturais (domínio = N) do tipo a(x) = ao .qx. O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.

an = ao . qn

ao a1

a2

n

an

0 1 2 3

a3