AULA 16PROF. PAULO

P.G. – PRODUTO, SOMA E LIMITE DA SOMA DOS TERMOSProduto dos termos de uma P.G.Dada uma P.G.(a1 , a 2 , a 3 , ..., a n ), o produto dos n primeiros termosdesta P.G. é dado por:

nP = nnaa ).( 1

Exemplo:Calcule o produto dos vinte primeiros termos da P.G.(1, 2, 4, 8, ...)Resolução:P.G.(1, 2, 4, 8, ...)a 1 = 1 e q = 2a n = a 1 .q

1-n

a 20 = a 1 .q120-

a 20 = 1.2 19

a 20 = 2 19

nP = nnaa ).( 1

2020120 ).( aaP =

201920 )2.1(=P

201920 )2(=P

20P = (2 19 ) 10

20P = 2 190

Como os termos da P.G. são positivos, P 20 ≥ 0

P 20 = 2 190

Soma dos termosSeja uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão q. Asoma dos n primeiros termos desta progressão (S n ) é calculada por:

S n = 1

)1.(1

-

-

q

qa n

Ou

S n = q

qa n

-

-

1

)1.(1

Exemplos:

Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 1, 2, 4, 8, 16, ... )Resolução:a1 = 1q = 2n = 20

S n = 1

)1.(1

-

-

q

qa n

S 20 = 1

)1.( 201

-

-

q

qa

S 20 = 12

)12.(1 20

-

-

S 20 = 1

)12.2( 1010 -

S 20 = (1024.1024 – 1)S 20 = 1.048.576 – 1S 20 = 1.048.575

Calcular a soma dos sete primeiros termos da P.G.(1; 3; 9; ... )Resolução:a1 = 1q = 3n = 7

S n = 1

)1.(1

-

-

q

qa n

S 7 = 1

)1.( 71

-

-

q

qa

S 7 = 13

)13.(1 7

-

-

S 7 = 2

12187 -

S 7 = 2

2186

S 7 = 1093

Série geométrica (S n )Série geométrica é uma série gerada por uma progressão geométrica,sendo que, cada termo da série é a soma do termo correspondente naPG com todos os termos anteriores à ele.

Exemplo:Da PG (1, 2, 4, 8, ...) obtém-se a série geométrica S n (1, 3, 7, 15,...).Note que:3 = 2 + 17 = 4 + 2 + 115 = 8 + 4 + 2 + 1Série geométrica convergente:Série geométrica convergente é a série gerada por uma progressãogeométrica com razão q, sendo que, –1 < q < 1.Soma dos infinitos termos de uma progressão geométricaconvergente.

Sempre que-1<q<1 en •Æ

S = q

a

-11

_________________________________________________________Exemplos:Calcule o valor de:

4 + 2 + 1 + 2

1 + ...

Resolução:A seqüência é uma P.G. com:a1 = 4

q = 4

2 =

2

1

n •ÆPortanto

S = q

a

-11

S =

2

11

4

-

S =

2

14

=

2

11

4

S = 1

2.

1

4

S = 8

Calcule a soma dos infinitos termos da seqüência( 0,2; 0,02; 0,002; ...)Resolução:A seqüência é uma P.G. com:a1 = 0,2

q = 2,0

02.0 = 0,1

n •ÆPortanto

S = q

a

-11

S = 1,01

2,0

-

S = 9,0

2,0

S = 9

2

Calcule o valor de:

•

=1 2

1

nn

Resolução:

•

=1 2

1

nn = ...

2

1

2

1

2

1321

+++ =

= ...8

1

4

1

2

1+++

A seqüência é uma P.G. com:

a1 = 2

1

q = 2

1

e n •ÆPortanto

S = q

a

-11

S =

2

11

2

1

-

S =

2

12

1

S = 1

EXERCÍCIOS:

1) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica deprimeiro termo 1 e razão 2 é 511. O valor de n é:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2) Calcule o produto dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 6, 18,...)

3) Calcule o valor de:

10 + 5 + 2

5 + ...

4) Sabendo-se que a soma dos infinitos termos de uma P.G. é 5x e queo primeiro termo é x, calcule a razão.

Resolução:1) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de

primeiro termo 1 e razão 2 é 511. O valor de n é:a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12Resolução:a 1 = 1, q = 2 e S n = 511

S n = 1

)1.(1

-

-

q

qa n

511 = 12

)12.(1

-

-n

511 = 1

12 -n

511 = 2 n - 12 n - 1 = 5112 n = 511 + 12 n = 5122 n = 2 9 ¤ n = 9Resposta b

2) Calcule o produto dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 6, 18,...)Resolução:P.G.(2, 6, 18, ...)a 1 = 2q = 3a n = a 1 .q

1-n

a 5 = a 1 .q15-

a 5 = 2.3 4

nP = nnaa ).( 1

5515 ).( aaP =

545 )3.2.2(=P

5425 )3.2(=P

20105 3.2=P

1055 3.2=P

Como os termos da P.G. são positivos, P 5 > 0 e portanto

P 5 = 2 5 .3 10

3) Calcule o valor de:

10 + 5 + 2

5 + ...

Resolução:

10 + 5 + 2

5 + ...

é uma P.G. com:

a 1 = 10, q = 2

1

10

5= e n •Æ

S =

2

110

2

11

10

11 =

-=

- q

a=20

4) Sabendo-se que a soma dos infinitos termos de uma P.G. é 5x e queo primeiro termo é x, calcule a razão.S = 5x e a 1 = x

S = q

a

-11

5x = q

x

-15x(1-q) = x

1-q = x

x

5

1 – q = 5

1

-q = -1 + 5

1 .(-1)

q = 1 - 5

1

q = 5

15 -

q = 5

4

Resposta q = 5

4