"ESTUDO DE PROCESSOS DE 'TRi\NS-
PORTE EM MATERIAISUNI-DIMENSIO
NAIS" .
Angela Antonia Sanches Tardivo
Delben
Dissertação apn~sent~ada ao Insti tuto
de Física e Química de são Carlos
para obtenção do Título de Mestre em
Física Aplicada.
Orientador:Prof.Dr.Guilherme F.Leal Ferreira
Departamento de Física e Ciência dos Materiais
são Carlos - 1984
BIBliOTECA DO INSTITUTO DE F1SICA E QUIMICA DE SÀO CARlOS • USP tF \ S I C A
MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA OT'))[PTACAO DE MESTRADO DE
ANGELA ANTONIA SANCHES TARDIVO DELBEN
APRESENTADA AO INSTITUTO DE FrSICA E nuIMICA DE SAO CARLJS, DA
UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM 24 f1(~ FEVEREIRO
COMISSAO JULGADORA:
./
("'-, .~I__/' //~.~.c/'! L~'?-'v"',. ;- /\
I \ ~~ L·' Q
Dr. GUILHERME F.LEAL FERREIRA - Oril~nlador
____._..._l~L'~_~C ~c "_.~ ..._-_-_...'- .'n'-····\/ --------.-Dr. OSCAR HIP{)LIT(J
; I S 1 C A
" ."~ t.ii:": _ ~. : ~ 'L-,,'.\00'...) 1!'Il!;')ii-i'T'\ ,- -_._-,-.-,---
, IL"".' ,,,:.. ';: t. (/JI!V'.::A ~:,-~. :',~"
Ao José Renato,
ao Francis co
e aos meus pais.
AGRADECIMEN'ros
Ao Prof. Guilherme Fontes L\~al Ferreira, por toda urien
tação que recebi.
À Mariangela Tassinari de Figueiredo pelos di verso~) au-
xí lios .
T~'balhorealj.zado com auxí lio financeiro do CNPq e CAPES.
:!ND;I:CE
Lista de Figura >.
I
Res uma •.............•.................... ~ " I I I
IV
13
6
10
13
Abstract
Capítulo
Capítulo
I - I NTRODUÇÃO >•••••••••••••••••,
11 - FUNDAMENTOSTEC5RICOS............••........
2.1 - Tempo de Captura em Uma Dimensão .
2.2 - Campo CrItico ...............•............
2.3·- Saturação das Armadilhas .
2.4 - Cristal l-D de Espessura Reduzida com T,:) -
das as Armadilhas Preenchidas 15
3.~.2
3.3.1.2
3.4
3.4.1
3.1
3.2
3.3
111 - ESTADO ESTACIONÂRIO COM CORRENTE LH11'I'AD!1..
POR CARGAESPACIAL , 17
- Considerações Gerais 17
- -. 18- Equaçoes BaSlcas .
- Material Uni-Dimen~ional em Campo Maior que
o Críti co 19
- 21- Obtençao da Caracterlstlca ............•...
- Característica VOltagem-Corrente Pelo Mét.~
do da Aproximação Hegional 24
- Saturação da Corrente l-D Num Campo Maior
C ... 31que o rl tlCO .
- Material 1-]) Num Campo Próximo ao Crítico. 31
- Determinação das DL,tribuições de Carga e
d 1- . 32o Campo E etrlco ...........•............
- Obtenção da Característica Voltagem-Corre~
te 3 4
3.3.1
3.3.1.1
Capítulo
capitulo IV - ESTADO TRANSIENTE - ISOLANTE CARREGADOPOR
DESCARGA CORONA 41
4.1 - Equações Básicas, Condições Iniciais e de
Contorno . 42
4.2 - Obtenção dqs Equa\:õc:') Ca,racteJ:;"rst;icas.... 45·
4.3 Potencial Residual culÚ Injeçao Total
Cargas •......................... o •••••••48
4.3.1 - Discussão e Compa t·a(?iode Resultados .... 51
4.4 - Decaimento do PotencLal no Caso de Inje -'
ção Parcial de Carg(j~)
4.4.1 - Potencial Superfi cial até o Tempo de Tái!.!
sito da Frente de Cargas .
4.4.2 - Potencial Superficial entre o Tempo de
Trânsi to da Frente de Cargas e o da Trasci
54
55
Capítulo
ra de Cargas 59
4.4.3 - Potencial Superficial Após o Tempo lle
Trânsito da Traseira de Cargas 61
4.4.4 - Decaimento do Potencial Superficial ..... 63
v - OUTROS RESULTADOS GEEAIS 65
5.1 - Variação do Potencial Devido ã Injeção de
S.:!..l
Uma Dada Quantidade de Carga
- d (L\Q)- Calculo de -dt
65
66
capítulo
5.2 - Efeito de M~ltiplas Descargas Coronas no
Caso de Injeçâo Total 70
5.3 - A Carga Total e o Primeiro Momento da Dis
~ribuição a Partir de Injeçâo em Circuito
Fe ch a do ....•..............•.•.••••••••.. 7 3
5.3.1 - Obtençâo do Centr6ide de Cargas. "0 •••••• 76
VI - CCDNCLUSÕES 77
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS o ••••• o ••••••••• 79
-;
I
LISTA DE FIGURZ\S
3
3
4
7
Figura
Figura
Figura
FiCjura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
, . a
l.b
2
3
4
5
6
7
8
Representaç~o de material 3D
Representaç~o de material 10
Volume unit~rio do material lD
Correntes transientes'em ferrantreno - PMDA
Correntes transientes para dielétrico i:leal 1
com armadilhas ra:3as e com armadilhas pl~ofun-
das. 8
Tempo de captura em função do campo 9
Esquema de mfiltipla ocupação da armadilha na
cadeia 10 14
Material lD de espessura reduzida 16
CaracterIstica voltagem-corrente 10, calupo ma
23
26
30
Potencial residual em função da densidade de
ior que o critico.
Esquema das regi6es de predominio das car
gas livres ou das presas no dielétrico
Caracteristica voltagem-corrente em OCH
Caracteristica voltagem corrente, no entor
no do campo critico
Baixo coeficiente de difusão 35
~lto coeficiente de difusão 36
9
ll.a
ll.b
12
10
11
Figura
Figura
F7gura
Figura
Figura
Figura
armadilhas na cadeia lD 49
Figura 13 Potencial residual em função do tempo de cap-
Figura
Figura
Figura
14
15
16
tura convencional
Dielétrico carregado por corona, O ~ t
Oielétrico carregado por corona tf ~ tDielétrico carregado por corona tt ~ t
Fi,gura
Figura
Figura
Figura
Figura
;1.,7
18
19
20
21
11
potenc;La,lre~;L.duÇl.lem fu.nçâo dÇ3,fra,ç~Q de '::argas
que entra 63
Potencial superficial em funçâo do tempo 64
Elemento de carga 65
Potencial residual apÓs n descargas corona 72
Dielétrico em circuito fechado 73
111
RESUMO
Estudos recentes em materiais uni--dimensionais indi caram
a necessidade de alterações na equaç2ic dd dinâmica de captur '1 de
portadores por armadilhas. As experiências de Haarer e ~hwa:_d em
fenantreno - PMDAmostraram que o tempo de captura das armadilhas
decai linearmente com o campo elétrico, a partir de um campo crI
tico. Neste caso podemos admitir a subst1tuição da fórmula clássi
ca do tempu de captura pela razão entre a. distância entre as arma
dilhas e a velocidade do portador sob açÚo do campo elétrico. A
velocidade do portador devido ao campo é dada pelo produto da mo
bilid~de do portador pelo campo elétrico.
Assim, a equação de balanço de cargas nas armadilha:; fi
ca alterada pelo aparecimento explicito do campo elétrico, ocasi
onando mudanças no próprio processo de transporte.
Neste trabalho, tentou-se encont.rar o comportamento de
materiais uni-dimensionais, na região de campo de ocorrência des
te fenômeno e em suas proximidades, estudando-se a característica
voltagem-corrente, bem como alguns processos transientes de ·trata
mento analítico a~eno.
IV
ABSTRAC'L'
Recent studies in one .•..dimE'r!~;ional systems show tLat the
trapping equations must be changed .f<aarer and Mahwald expel'iments
on Phenanthrene - PMDA showed that the trapping time decéYs li
nearly with the electric field, from a. critical field an. rrhere
fore we can assume that one should sl.lbstitute the classicê:l for
mula of the trapping time by the ratJo between the intertrap dis
tance and the drift velocity. The drift VEdocity is given by the
product of the carrier mobility by, the field.
Thus the equation of carrie 1 "trapping becomes moái fied
by the explicit dependence on the fiE'ld that leads to chanqes in
the transport itself.
In this work we tried to find the response of a Ild.t.e
rial in which such behaviour is observcd, by studying the current
voltage characteristic, and also some transient processes amena
ble to analytical treatment.
1
INTRODUÇJ\U
Tem sido crescente o inten::;;:;c pc:loEi fenômenos de t:rans~
porte em illater~ais uni-dimensionais ll-D) desde a obtenç~o de mo~
nocristais de pol!meros cristalinos com grandes dimensões, os
polidiacetilenos (;PDA). Estes se constituem de cadeias de carbono
com grupos R acoplados e sua forma sj_mplificada é C= RC ~ C
c ~ RC =ln r onde existem diversas possibilidades para o radicalF:.
Estas unidades moleculares básicas se ligam ao longo de UffiÚ dire
ção formando cadeias paralelas bastante afa,:;tadas (7,5 a 1.l,5~
no cristal, de forma a ser provável fcaca interação entre dS ca -
deias. Na realidade, há forte superpo:3ição de funções de onda at8
mica ao longo da cadeia, gerando li9aqoes covalentes, e uma fraca
superposiçao perpendicular à cadeia, originando ligações do tipo
de Van der V'laals. Uma vez que a anisotropia do acoplamento eletrª
nico surge de diferenças qualit.ati vas nas ligações químicm; segun
do as diversas direcões, ela é acent.ué1damente maior que a manifes, -tada nos cristais moleculares usualmente estudados e o aspecto un!
dimensional das propriedades elétricas do material fica então e ~
videnciado (a mobi lidade, por exemplo, ao longo da cadeia é da
ordem de U../3vezes maior que perpendicularmente). Na prática é es
t.e o material que mais se aproxima do 10.
Diversas pesquisas têem sido feitas e verificam-se con ~
tradiçôes tanto em medidas realizadas, quando na interpret_açao dos
resultados obtidos, onde a principal dificuldade está na adapta ~
ção das equações tri-dimensionais (3D) para o sistema uni-dimen
sional (l-D), pois existe diferença Cjualit.ativa e não apenas geo
métrica no comportamento de parâmetros de transporte básicos. Al
guns autoresC1(2)discutem as diferenças de comportamento entre os
dois sistemas e incluem uma variedade de Ias. Não achamos que to -
2
a"s esta,s estej arn cQmprovad~~ f razôo pe la qual só as n}als ;i mportan.•.....
tes serao levadas em conta neste trabalho. Isto será feito no capf
tulo J:J:, onde trataremos de algumas TIlllda,nçasacarretada.s f?E la uni-
dimensi.onalidade que apresentem compl'ova.çãoexperimental Oll que de, ,,-
rivem espontaneamente da limitação dé, condutivídade a uma, lln:Lca,di
reção (material lD ideal, do qual tréci:aremos)•
Levamos as alterações aceité.~;em conta nas equa(~ÕES de
transporte, através de correções na equa.ção de balanço de cargas
presas, possib;i:.litandoestudos de processos de transporte (OS ma ...
teriais ID.
No capItulo :UI estuda-se a coerent.e limitada por carga
espacial, sob influência de um nível de armadilhas rasas I [O reg;t-
me estacionaria.
No capítulo IV estuda-se o ]:)(Jt.c~ncialsuperf,icial como fun.•.....
ção do tempo em amostras carregadas por descarga carona, err circui
to aberto, na presença de uma variedade de armadilhas profundas.
No capítulo V, ainda cons iderando-se apenas armadi lhas p~
fundas, ortivemos equações gerais relacionando a carga que pas
sa por dada posição e a densidade de cargas que aí fica p.ccc,a,com
a carga que deixa a superfície de injeçiio. Este resultado pode ser
aplicado mesmo a circuito fechado, de onde é possível correlacio -
nar a carga total presente na amostra e o centróide de cargas.
Não temos notícias de outro trabalho onde sej am fei
tos os cálculos do capítulo 111, IV e V para os materiais ora con-
siderados.
3
FUNDAMENTOS TEOm: COS
Adotaremos como modelo de movimento do portador (J de
transporte por pulos numa rede cút·j.cade parâmetro aI cor, o li -
vre caminho médio sendo equivalente d um parâmetro de I"edt, e o
transporte feito por portadores positivos. Os resultados l,erão i-
gualmente válidos para elétrons levando-se em conta a car(fa nega-
tiva.
As armadilhas presentes no fla::erialserao consiÓEéradas
neutras I monoenergéticas e uniformenlE;nte distribuídas ns. ,ostra.
Supomos material perfeitamEnte lD.
Nas comparações que faremos, consideraremos dois mate
riais de igual pureza! sendo o lD obtido a partir do 3D! Eliminan
do-se a condução em duas das direç6Es, como representado a seguic
0 __ 0.--.---- c - __ ..• ('
t- __C - () -- (; --.-_u(I(
LJ---c - ""i --------~
- c --_ Ci --('
o--u--_ c __
FIG.l - a) Representação do material 3D.
b) Representação do material lD, de pureza igual à do 3D.
oo
denota armadilhas
denota sItio do cristal permitido ao portador.
4
Sendo w~ ~ separação entre dUa~i arm~dilhAS consecltivas
em 3D, a densidade volum~trica de armadilhas no material serfi:
1w'3
3
e sendo wi, a separação entre as armadilhas ao longo da cad(da lD,
a densidade de armadilhas nesta será:
N'lt
= 1W'1
Suponhamos um volume unitário do material, com par iirnetro
de rede a, conforme esquematizado na Figura 2.
FIG. 2 - Volume unitãrio do material, com linhas verticais deno -
tando as cadeias lD, as cruzes os pontos em que estas li-
rihasatravessam a face superior.
Para determinarmos o nUmero de linhas que atravessam a
ãrea superior e razoãvel dividirmo-Ia neLa área determinada en-
5
tre caqe~as adjace~tes;
N9 de cadeias1
:::: ~2a
a densidade de armadilhas na cadeia Nit' ser& a razâo entre N~t '
densidade de armadilhas no volume, e o nÜmero de cadeia do \101u -
me, portanto:
=
e a relação entre as separações das armadilhas em urna e tri?; di -
- "mensoes sera:
2w' a1 ,
corno
de 1
w' »3
armar
a (a concentração tlpica para os polidiacetilenos e
ha para 106 unidades celulares) teremos, obrigatoria-
mente, wi > > w3, ou sej a o espaçamento entre as armadilhas (~ma
ior em uma dimensão.
Tal fato se evidencia na Figura 1 onde mostramos que em
três dimensões um portador pode saltar para sItios de linhas adj5!
centes, podendo encontrar uma armadilha a menor distância do que
se deslocando apenas na cadeia l-Do
Até aqui as diferenças entre os dois sistemas fOraJ1.1 de
ordem geométrica. Doravante, porém, trataremos de aIteraçõe~; radi
cais na natureza de parâmetros que caracterizam a condução 3D e
lD.
6
2.1 - Tempo de Captura em Uma-Dimen:3:iO
A fórmula para o tempo T' d·.:~ captura de um portad:>r li .-
vre se des locando por saltos em um mate ri.al 3-D é dada por::
1 = N' 2t' 3t a vt ( 1)
onde se vê que o tempo de captura varia inversamente com a concen
tração de armadilhas por volume unitário N3t ' com o parâJni:~tro de
rede af e com a velocidade térmica do portador Vt=a v (v É~ a fre
quência de saLtosl. Desta forma, o tempo de captura ê uma consta!!
te .para detenninado material tri-dirrensional (3D) a dada temperatura.
Entretanto, as medidas realLzadas por Haarer e ~hwélld (3~
em um material aproximadamente uni-dimensional (l-D) mostraram que
o tempo T I de captura é função do campo elétrico. A Figura 3 mos-
tra os rE ~lltados que obtiveram na medida da corrente transien
te ao longo e perpendicularmente à cadeia l-D~
A injeção foi feita de forma a serem evi tados efeitos de
carga espacial.
Para facilitar a anâlise das curvas da Fig. 3 vej amos ag
tes os efeitos de armadilhas, uniformemente distribuídas, sobre a
corrente.
Num sistema ideal sem armadilhas, a corrente seria. cons-
tante entre o inicio da injeção em tr=O e o instante t~ em que as
cargas atingem o eletrodo. Define-se o tempo de trânsito t=t~ dos
portadores como :
t't = LjJE'
(21
7
..01 \"---I (a)H (1j t' (:nsEg)
•..o.~
O,~1,2
c:
::~ (b)2.00
~oo1Mt'l \IS,:~g)
,..~-.I \:- ....,'-\ " ' .
H I \\~ ~-,
I \ \ '\ '--I.!> ' \\ \'
O'' \ 'li.-J :1 \ \ 111 \
\
P Iv \ ' \!L_ I 11'1 \ \
o ,.L+L ..\ \~oo
\
t'( useg)
FIG. 3 - Correntes transientes em mono-cristais de fenan-
treno-PMDA (a) perpendicular e (b) paralela à c~
deia l-Do A temperaturd foi de 3550K iL ::::;1,2rnm
voltagens aplicadas: lOOOV (curva I), 2500V (cur
va 11), lOOOV (curva 111), 1500V (curva IV)
2500V (curva V). (c) Resumo de (a) e (b) em esca
Ia monolog.
onde L é o comprimento da amostra, ]J ê a mobilidade dos portadores
e E' o campo elétrico.
Se tivéssemos armadilhas rasas capturando e soltando os
portadores, aindà assim teríamos uma corrente constante, menor que
a do caso sem armadilhas, até o tempo de trânsito:
= L)lefEI
( 3)
onde )lef = 8)l e 8 .::::1 é a raz ão entre os portadores livres E' o to-
1 d d (4 ) -ta e porta ores presentes na amostra . Neste caso e como se to
8
dos os portadores participassem do prccesso de condução C'l.iln a mobi
lidade reduzida por um fator G e, cunsequentemente, com o tempo de
trânsito aumentado pelo mesmo fator.
No caso de serem armadilha.~:, profundas que captu:clm os po!.
tadores 1 não há mudança na mobilida.c12 dos portadores, nem no tempo
de trânsito, porém a concentração dc~ portadores que parti>::iparn da
conduçãl i alterada, pois os portadores capturados não es ::apam das
armadilhas 1 e decai exponencialmente com o tempo, sendo p' a densi-
dade volumétrica de cargas livres, teremos:
P I (t) ( 4)
onde p' é a densidade volumétrica lJerada pelo pulso luminoso emo
~= 0, suposta uniforme em todo o material,T' o tempo de captu
ra pelas armadilhas.
As formas das correntes transientes para os três ca
sos(5) são mostradas a seguir:
_,- 1'- - ..-,
'-
__ m_·~ _.~._;;.. .•
'-,111-
1. ..
iI
-_.--~tiRT
-)
ti
FIG. 4 - Correntes transientes: Curva I - isolante sem ar
madilhas . Curva 11 - isolante com armadi lhas ra-
sas atuantes. Curva IIr - isolante com armadi
lhas profundas atuantes.
9
Pela semelhança das curvas da l~iq. 3.a e 3.b com a cur
va 111 da Fig.4 é de se concluir que o (lU;; estej a influindo no
transporte sejam as armadilhas profunda;;. SE::ndoa densidad,:! (k: con
dução / desprezando-se a corrente de di 1'115 30, dada por:
I'(x'/t) = J.lp'(x',t)E'(x',t') (5 )
se considerJ.rmos o efeito da captura por armadilhas profunda:::, com
p' dado pela equação (4)/ e o campo E' aplicado sendo constant.e,t§.
remos a corrente:
I I (t') =t'
pE I P ~ exp (- T')
ou log I I (t') = log (pE I P I) -ot'
TI(6)
e temos que, num gráfico de log II versus t~ a inclinação é dada
por uma constante TI. ~ o que se verifica na Fig. 3.c para as cur-
v~s I e XL. rarem pÀra as curvas 111, IV, e V, onde ~ corrente é
me di.da aO longo l.a cadeia l-D, nota-se que a inclinaça.o das cur-
vas, e portanto TI , é alterada pelo campo.
Reproduzimos na Fig.S os resultados destes autores para
TI sob diversos cam~os. Observa-se que, a partir de certo campo,
"" .o·...
-~F ~.( 10 - V/ cm)
FIG. S - Tempo de captura de eL6trons como função do cam
po aplicado, log x lo~;.
10
o decaimento de T' é linear com o c.Jmpo I ao longo da cade ia.
o te.IIll:?0T~ que um portador (}.::carga gasta para pe (COrre);'
lUisob ação do campo e, consequentem,:nte I ser capturado é:
T IC
=
=
lU'
_1l1ET
(Nit~E,)-l = (N I 2 --i3ta pEI)(7 )
onde ~E' é a velocidade de arrastamento.
Esta é a expressão que nos dá o tempo de captura em uma
dimensão, desde que tenhamos um campu maior que o campo críLi
co E' , que discutiremos a seguir.c
2.2 - Campo Crítico
Consideremos o portador em movimento ao longo di" l'adeia
l-D.
o tempo Td que ele gastaria para vencer a separaçao en
tre duas armadilhas por difusão, relaciona-se com wi da seguin
te forma:
W I = I 2D' T I I1 d
w' 2 = 2D I T I1 d
T'dw,2
= 12D'
(8 )
onde DI é o coeficiente de difusão. Pdra ba.ixos ca.mpos o tem
po de captura e dado por esta expre:ô;s<10.
11
Ex;.i.stiria uma regiao, em tun () do campo crític; I I~I, onc '
de o tempo de cé1ptura por difusao (; o de captura por i,Irai tamen ...
to pelo campo são da mesma ordem. N('stél regiã.o de transiç:io te ...
rIamos:
II 1 .l+
T'C
1l'dN' ].lE' + 2DN'2lt lt ( 9 )
com o campo limite para ocorrência d(~ste fato, derivado da condi,çao L' = Ld' , dado por E' = 2D'NJt. A relação de Einstein nosc c ~
KT 1"1' 2 KTfornece D' = .l:!- e portanto E' = 2 -':--N I == - - • Para os poli
e c e 1t wi e -diacetilenos podemos considerar que o espaçamento entre ill; arma-
dilhas é de aproximadamente O,Smm(l) e portanto E' = I V/em.c
Para um campo bem menor que E~, teremos Ld < < L t~ e con-
sequentemente L' ~ Ld, sendo a difusão o fen~meno determinanteda
captura. Não é de nosso interesse discutir tal caso neste traba-
lho.
Para o campo bem maior que E' verifica-se a condiçãoc
T~ « Ld e L' será dado pela expressão (7), com a captura deter-
minada pelo arrastamento do portador pelo campo, ou seja,
o material I-D existem as regiões onde
para
'N'21., = 2D ltL , se S' < E'c i
2D'N,2 + N' }lEIlt lt , se Si EJC
N' )lE'lt , se S' > EJC
Comparemos estes resultado~; com o caso 3-D, com o tempo
12
de captura, expresso pela equaçào (1)
=
==a
3w'1
=
+
a3w' 1
uE'
Vt
se E' <: E'c
se E' ~ E IC
se E' > E'c
6D' (3)onde usou-se vt=a- . I.enbrando que
, '> ' ,
li!1 ,,> 0) 3 » a, como discutido
no item anterior, e que vt » lJE', resulta que o tempo de capt~
ra em uma dimensão, sob qualquer campo, é maior que o tempo de
captura tri-dimensional, justamente pelo espaçamento entre as ar
madilhas ser ma;or em uma dimensão.
Após estas regiões de campo, Wilson(l) ainda considera
a existência de outra, onde a velocidade de arrastamento satura
e se iguala â velocidade térmica do portador. Nesta região ote~
po de captura seria determinado pela velocidade térmica. Nãodi~
cutiremos este fenômeno, consideraremos não haver saturação da
velocidade de arrastamento .do portador pelo campo.
de processos que envolvam captura de portadores por armadilhas é
S hub (5) d' ~ .' ~d' .d do c weg " lstancla me la percorrl a por um porta or antes de
ser capturado, definido pela relação:
Para campos maiores que o crítico em uma dimensão tere -
mos o SchuJ:>weg
13
constante, devido ao fato do tempo de ca.pt ura variar com o inver-
so do campo.
Em três dimensões, obteremos sc~rnpre:
=
e portanto, S3D depende do campo.
Assim, verificamos que em urna dimensão um portador per -
corre uma distância constante e é capturado num tempo depend(;n
te do campo; enquanto que em três dimen~3õ2s o portador é captura-
do num tempo const nte, após percorrer uma distância que é função
do campo.
2.3 - Saturação das Armadilhas
A equação que descreve a varia(;ao de cargas captura
das, num material 3-D é:
,-ª..2.:t:. ( x' , t')
Cltp (Xl ,t') (1 _
= -TIP I (x I t')t '---·êN'~)
3t- k P ~ Lx' ,t') (11)
onde p~ ê a concentração de cargas nas anlladilha.spor volume u'"~
nit~rio e k é a probabilidade de um portador capturado se liber
tar, dada pelo inverso 'do tempo Tb que o portador leva para es-
ca,par. O primeiro termo do segundo membro desta equa,ção expressa
o fato cE que, à. medi.da que aumenta a fração p~/N3te de armadi lhas
preenchidts, diminui a probabilidade de captura de novos portad~
res. No entanto, para condução l-D, onde o portador se movI. ao
longo de uma linha, não se deve considerar este efeito de satu
raçao. Aliás, como mostrado por Sworakowski e Leal Ferreira(2)
poderia até ocorrer uma espécie de mÚltipla ocupação de uma arma
14
dilha, exatamente porque o portador e<l IT!ovimento numa linha pode
ser imobilizado ao encontrar uma arrnadilh_a já ocupada.
Consideremos o esquema abai)cu:
- -.. --- @2]f- ---- -- R "--~c
Y1'
.L. _x
FIG. 6 - Esquema do movimento de portadores ao lonqo da
cadeia l-D coincidente com o eixo x. Os porta-
dores se deslocariam no sentido positivo ele x,
com velocidade VI =: pEI
o denota sítio com armadilha
é o raio crítico de interação cOlllom-
o
R =c
indica
e2EKT
portador
biana
o portador 1 estaria preso em uma armadilha, com proba-
bilidade k de escape, porém dentro de um raio R evidencia-se forctemente a repulsão entre
2 e1,impedindo que2,em seu movimen-
to para a direita,
ultrapasse o sítio de aprisionamento deJ •Vis
to nos materiais l-D o processo de condu<;:ãose verif.icar ao lon'"
go de uma única d~reção '(no exemplo, ao longo de x), o porta
dor 2 não poderia contornar 1..Da mesma forma o n..,..êsimopo;:·tador
sente a ação repulsiva dos (n.,..l)outros, de modo a haver um aéú ..,..
mulo de cargas na vizinhança anterior a 1. Portanto uma única ar-
madilha teria capturado n portadores, não havendo então satura ...
çao na ocupação das armadilhas. Porém existe saturação na desocu-
paçao, pois apenas o portador 1 pode escapar à armadilha. Desta
forma, o número de portadores que podem (~scapar é igual ao I".umero
de armadilhas. Por ora, não consideraremos este fenômeno de rnÚlti
15
pLa ocupaçãof embor~ sempre clue se t ra l>;-~ de armadilhAs PX( fu.ndaseste efeito esteja incluido.
A equação (11), não havendo3.s::~im saturação na
das armadilhas, é:
-.ol;upaçao
a p , (x' ,t~at
= p , (x' , t')T ' k Pt (x' I t') (12)
Para o estado estacionário! onde determinaremos a carac-~ -
terlstica voltagem-corrente usaremOEJesta expressao com T da -
c:.. pela expressão (7) ou (9) conforme tenhamos um campo maj_or ou
no entorno de E I , respectivamente. Consideraremos que nestas rec
giões o campo seja suficientemente alto para que um portador
saindo de uma armadilha, tenha uma probabilidade baixíssimél de
ser recapturado; isto é, a probabilidade de escape k seria tão
grande que praticamente independeria do campo.
Estudaremos ainda o caso do decaimento do potenciç,l de
superfície de uma amostra l-D carregada por descarga coronêi. O
campo considerado será maior que o crItico, com TI dado pClr (7),
e neste caso deslJrezaremos a probabilidade de fuga das armadilhas.
2.4 - Cristal l,:",Dde Espessura R.edllzidé~ com Todas as Armadilhas
l?reench.ida.s
Uma situação peculiar surcJi ri a se tivéssemos um cris,t.al
com espessura tão reduzida que fosse possível existirem cadeias
l-D sem armadilhas. Sob voltagem suficientemente alta te:rlamos to
das as armadilhas ocupadas,comodiscuU_dohá pouo::>, com possLvelmeg
te mais de um portador. EsC]uematizarnos a seguir esta si tnação.
16
FIG. '7 - Esquema das cadeias:; l-D, indicadas pelas li
nhas pontilhadas (r'=livre de armadilha, c =com
armadilhas), num cristal de espessura reduzida,
com todas as armadilhas C1 ocupadas. @) indi
ca portadores aprisionados e ® os livres. P é
a probabilidade de saltos das linhas tifo c p~
ra L
Neste caso tem-se que os portadores que se encontram em
linhas sem armadilhas podem atravessar livremente o cristal,po-
rém ainda existe a possibi lidade de portadores serem imobiliza -
dos nas cadeias sem armadilhas pelo efE~ito coulombiano de car
gas presas nas cadeias com armadilha mais próximas. No caso ante
rior, os portadores em linhas com armadilhas ficaria:ql imobiliza
dos ( ;Lndependentemente desta,s j ã estç-lrem ocupa,das ou nao. Entreta,n
to, na situaçã.o a,tual, devido à repulsão ent.re a,s ca,rgas aprision~
das, a probabilidade P de port.adore~o do tipo 2, 3, 4 ... saltarem
de cadeias com armadilhas para as cadeias livres torna-se ~;ignifi-
aante. A determinação de P requer um tratamento matemático refina-
do e se encontra além dos nossos objetivos atuais.
Desprezaremos este efeito em nossos cálculos, ficando co-
mo sugestão para futuros estudos neste campo.
17
C.A,:P1.T ULO I I I
ESTADO ESTA,CIONARIO C01<1 CORREN
TE LIMITADA POR CAR3i\ ESPACIAL
A condição essencial para S:E~ O'Jservar corrente Uni ta da
por carga espacial (SCLC) é a existência de um contacto cé:\paz de
injetar toda a quantidade de carga qU(~ ?ossa ser transporL:ida a-
través do isolante.
Define-se usualmente um contacto ohmico como um n;ser-
vatório Llfinito de cargas, o que equ~..va.le a se considerar uma
densidade infinita de portadores e I cl fim de se ter uma (",..1 . ida-
de de corrente de condução fini ta I um C.Hnpoe létrico nulo E'mtal
superficie. Como tais condições de contorno fornecem bons 1"esul-
tados para a corrente no interior do material, que é a região c~
j as propriedades praticamente dominam a corrente limitada por ca!:.
ga espacial e uma vez que trazem grande s s implificações nOE~cálcu
10s, ser~o utilizadas neste capitulo.
3.1- Considerações Gerais
Façamos um,contacto ohiuico na superficie em x' =0 I per -
pendicular à cadeia I-D, de um material com densidade Nit ao lon
go da cadeia e constante dielétrica t f estando a outra facE' em
x'=L à terra. Os portadores injetados com a aplicação do campo se
rao buracos.
Suporemos nao existirem portadores termicamente gerados,
o que é 1_. oável para os polidiaceti lenos, pois a separaçâ.o entre
~ 2 (6)as bandas e de pelo menos - eV .
o campo E' é função da posiç:ão, no entanto sua varia
çio ao longo da amostra é pequen~ 4) " com exceção da região de
18
contacto, de tal forma que, a,Q consiclecarmos Q$ Llrnites dE' cÇ;ünpo
maior e de campo aproxi,madamente igu,Ü ao crítico! isto seja ver
rl~de na quase totalidade da amostra.
Quando o estado estacionári:: é; atingido as armadilhas
profundas já estão preenchidas, apenas as armadilhas raE;as in-
fluem no processo de transporte.
Estaremos trabalhando num cLrcuito fechado, em regime
estacionário e as equações fundamentais na determinação d:l ca -
racterística corrente-voltagem estão relacionadas a seguir.
3.2- Equações Básicas
Para o estado estacionário t coremos:
dE' (x')c ------dx'
=p'(x') + p~(XI) (13)
dI' (x I )
dx'
= d
ã"t(p'(x1) + P~(xt)) = O(14 )
dU (x')
dx'= - E'(x') (15)
LV = f E' Çx I ) dx '
o(16 )
que sao, respectivamente, a equação de Poissoni a equaçao da con
tinuidade; a relação entre o potencia 1 UI (x I) e o campoj eél di-
ferença de potencial VJ entre xl=O e x':::L, ou seja a voltagem no
eletródio emissor. Além destas, temo~; a equação da corrente:
I = }l P , (x ' ) E (Xl )
19
OP~ {Xl} ==
~~Jo::"
k\ I=O
ót I
TIf't
3.3- Material Uni-Dimensional em Campo Maior que o CrItico
Este é o caso de maior interesse para nós I visto ser es-
ta a região de diferenças mais acentuadas entre a conduçãol ri e
uni-dimensional. Na situação de campo maior que E' o campo elétric
co e dominante no tempo de captura, e como anteriormente de:: ini
do:
T' = 1N' uE'(X')lt
Existem aspectos, tais corno a distribuição de cargas e
campo elétrico, cuja determinação é relevante no estudo de tTans-
porte de cargas no material.
Com a equação do tempo de captura há pouco mencionada e
a inserção da equação da corrente na de balanço de cargas, é pos-
sível determinarmos a densidade de carCJas aprisionadas em função
da corrente:
p ,tN' I I_ lt
- k (17)
~ importante observar-se que a distribuição espacial de
cargas aprisionadas e uniforme.
Usaremos a equação de poisson para encontrar o campo na
amostra. Ut.ilizando-se a def,inição da corrente, a equação (17) e
a (13):
dE' Cx'L. , . ~ .
20
- L'C~~
)lE J C~L
N]~t+ -c-j{
Doravante, por simplicidad(~ nos cálculos, usarerno::J as
vari~veis adimensionais, definidas por.
N'flN I 21
P = lJ lt
P I (x ') I ::::lt
I IE:k
,E:k 2
llN'
,N ltfl
E = k lt E I (x')U =
U ' (x ')f Lk
(19 )
x'x ::::- L
•Pt
= llN;Lt
p'E:kt
Desta forma as equaçoes da corrente, do potencialí15)
da densidade de cargas presas (17) e a da variação espacial do cam
po (18) serão agora:
I = pE (2 O)
dU _dx - - E
I
(21)
(22)
dE =P+ Pt
( 23)
dx
I
+I=li:
21
E!o
E 1 I
l+E"dE' ,
x= f Idx
o
E ,Q,n(l+E) = Ix (24)
e conseguimos, assim determinar implicitamente o campo elétd.co em
função da posição.
Com isto torna-se possível determinarmos a densidaJe de
cargas livres em função das variávets pcsiçâo e campo. Da erua
ção da corrente .e de (24) obtemos:
1[P (x,E)= Ex E - 2n (l+E)]
3.3.1- Obtenção da característica
Nosso objetivo principal é determinar a variação da cor -
rente com a voltagem entre as placas.
Integrando a equação de Poisson (23) em toda a amostra:
JEL Eo l+E dE
1= J ldx = Io (25)
I (26)
onde, pe Ia definição (19), x=l. corre sponde à posição do elei:ródio
traseiro, aonde o campo é EL'
De (23) temos dx = 111~\T dE, que substituída em (:~l)re-
sulta:
I dU2
= _ E1+:8 dE
22
:Cntegxa,ndo em toda, a, P,ITlost.ra;
o- f IdU
V
EL E2 dEf l+Eo
(27)
Derivando-se esta express~o cem relação a V:
dII + VdV
= (28)
Temos-
(26)com I ' f(EL) Ie se conseguinnos umaa equaçao
expressão para dEL/dV =
g(EL1I IV)poderemos obter a cUr'/a carac
terísticê
'teI versus V.
Derivando a equação (25) com relaç~o a V:
que substituída em (28) fornece:
dIdV (29)
Inserindo-se esta expressao em (28) vem:
(30)
com I dada por (26). Esta equaçao n~o é solúvel analiticamente .En
tretanto 1 podemos obter a caracterís ti cz:tcorrente-voltagem" do sis
tema de equaç6es constituído por (30) e (26) I atrav~s de c§lculos
numéricos 1 com auxílio do computador. Mostramos a seguira cu:rva as-
sim resultante:
23
•,-
.1././I
)'"/
(Y)
I
. ",-------l'".--1 lo~Vt 1 3
LOG V
dH (jOH
r·';
(Yl
I
li),
')" -1
LOG V
,.--1
.//',
f,r
I'J
3
FIG.8.a - Característica volta- FIG.8.b - Gráfico comparat:i
gem-corrente, em unidades adime,!l vo dos resultados numéricos(cur
sionais, escala logxlog. It e Vt va continua) e o da AproxLmaçâo
marcam a transição entre o com - HeqLonal (Sirnbolo)
portamento quadrático e o linear
d<...corrente
Observa-se ~esta Figura que a corrente exibe um comport~
mento quadrático em baixas voltagens e linear com altas, pa~;sando
por urna região intermedi~ria, caracterizada por Vt, entre O~; dois
comportamentos.
Do gr~fico ternos Vt = 1,8 e It =3,6. Seria interessan
te compararmos estes valores com os re~;uLtantes de cálculos analí
ticos aproximados. A segui r determinamos Vt e It' assim cc-p r- o
comportamento para a corrente em fun(;;ãoda voltagem, pelo méto
do da Aproximação Hegional.
24
3.3.1.1- Cara.cterística voltagem·-cor ren te pe 10 método di~ Ivroxi.ma,~
çâo Re.gional.
A) Região de Cargas Livres
Para muito baixos valores dê voltagem teremos tanbém cam-
pos elétricos muito baixos. Como o tempo de captura T' var:La inver
samente com o campo elétrico, ele será muito grande. Supondo--se que
este tempo de captura sej a muito maior que o de escape (lb)' tudo
se passa como se o portador não tiVGé3SE':'.;ido capturado pela armadi
lha.
Os portadores poderiam, portanto, ser considerado3 total-
mente livres. Assim a equação de Poisson se resumiria a:
• dEdx
I= p = E ( 31)
Integrando em toda a amostra vem:
I (32)
Esta expressao em (31) resulta:
ta equaçao em (21) e integrando em toda a
2Edx = 2" dE.
ELamostra: V =
Inserindo es2EL--... subs-3 '
ti tuindo EL dado por (32) obteremos a característica para baixa vol
tagem:
( 33)
onde se evidencia o comportamento quadrático da Fig.8 para V pequ~
no.
Voltando -as variáveis dimens,i.onais t a expressao será:
BIBlIUTECA DO INSTITUTO DE FISICA E QUIMICA DE SÃO (ARLOS· USP
FI S ICA
25
... t t h' d 1 . d .," 1 - ""1. d (4 )que e exa amen e a con eC1 a e1 c (.>:11 ct para so 1 OS , como s~
ria esperado, pois se as armadilhas praticamente não captu::am por-
tadores não importa o mecanismo pelo qual o fariam.
B) - Região de Cargas Livres e Presa~;
Conforme aumentamos a voltéiCTt~mas cargas aprisioI1ddas pa.§.
sarao a contribuir para o campo el&trLco e a equaç~o de Poisson se
escrevera:
dEdx P + Pt
Como estamos na região de seLC temos urna densidade infini
ta para as cargas livres em x=O e será razoável considerarmos no
setor do dielétrico de x pequeno toda a carga livre .. A partir de
um dado plano x = Xl (I), que é função da corrente e onde as duas
concentrações se igualam: pt(Xl)=P(X1), teremos urna concentração
maior de cargas presas. A aproximação regional consiste em:
a) desp .L"ezarmosPtpara xXl,ondep>Ptb)
desprez armosp paraxXl,ondep<
Ptc)
resol ve,rmosas equaçoess j.mp1i fi cadas pe Iasimposições
(a) e (b) I em cada regi ão onde se aplicarem.
d) Levarmos em conta a condição de continuidade do campo
26
11.I ;' /
.I , /// P > fJtL..L _O
FIG. 9 - Esquema das regiões do dielétrico onde SE veri-
ficam as condições li . (regi~o I) ,P = 0t(pla1:. . -
no Xl) e Pt > P (re9Llo 11). VI e V2, sãü as vol
tagens entre O e Xl e Xl e Xl e 1, respect.iva
mente.
19 - Na região I, pela condição (a), tem-se:
dEdx I - - () --,= E' que e a equaçao 31. Como ela e vallda apenas pa-
ra x < Xl' para acharmos a voltagem V 1 c~ntre O e Xl' o procE..':!dime~
to sera o mesmo que o adotado para chegarmos a (33), apenas que
o limite superior das integrações se15. Xl' Desta forma obtemos:
9 V2I = -- J ~ (34)8 x31
onde VI é ( voltagem entre O e Xl'
Integrando a equação(31) em toda a região I teremos uma
relação entre o campo El e a posiçao:
El = /2Ix' (35)
como P = ~ ' teremos a distribuição espacial de cargas livres nes
27
ta reg~ão dada por:
p= (36 )
Xl determina'-sc uma transição entre ,)S reg!
mes p e Pt' como o campo ~ continuo, as equações (34)/ (35) e (36)
são válidas no plano Xl.
Como as densidades de cargas presas e livres são
neste plano e Pt = l, por (36) vem:
i.guais
I
e portanto,
= J:21 ( 37)
d~ onde vemos que o mlnimo valor para a corrente I , onde S2 dã a
passagem do regime p para o regime p + rt, ~ dado pelo m&ximo va
lar de XI(XI=I), ou seja o plano Xl coincidente com o eletr6diotra
seiro e a região I se estendendo por todo o dielétriro.Esta co cren
te limite 1~ seriai por 37:
I- 2
Considerando-se I~ em (34) ti.ramos o potencial li,."i t-_e:
2V =-39,
Então, conforme aumentemos a corrente ou o potencial aci-
ma destes valores limites, Xl será menor e a.parecerão no cristal
duas regiões como mostrado anteriormente na Figura 9 .
28
o va,lor do campo n.o plano Xl vem da $ubstitu.içào dE? (37)
em (351 ou da igualdade D = Pt = I
I-- j:)
E '-:= 1.
39-Para x > Xl' devido ã::í có.cg,j;-) c:untidas apenas I!Cl re
gião 11 teremos:
dE cdx
=
onde Ec é o campo das cargas localizéLdas (?ntre Xl e 1. Cone:) ainda
existe o campo El em x = Xl' devido às cargas da região l, estet~
ra que ser considerado na estimativa do carnpo total E2 paLa x >Xl"
Considerando-se, pois, este fato o campo total em 11 será:
=
= Ix + 1
A voltagem nesta regiâo serã dada pela integraçâo de E2
entre Xl e 1:
~ubstituindo Xl de (37):
= I 1 2 1- (1 - --) + (1 - ---)2 21 21 (38)
A diferença de potencial total entre os eletr6dios será
a soma da d.d.p entre O e o plano Xl' VI' e a entre o pLano e
v =
29
v ! + 12 2
1~ -~24I
(39)
C) - Região de Cargas Presas
1 ~Para elevados campos o termo I: da equaçao de Pois:;on po-
de ser desprezado perante I, ou sej a J fomente as cargas pL:sas es
tariam contribuindo para o campo.
Por (37) vemos que, para a J"ecjao 11 se estender uor to-
do o dielé-trico, isto é ~ o plano X, c:oiIlcidir com o eletró:Üo in.l
j etor em x=Or é necessário que a co:crente sej a infinita. Lnpon
do este limite em (39):
v I- :2
(40)
Portanto, para voltagens ell~vadas ternos a variaçáo line-
ar da corrente com a voltagem, observada na Figura 6.
Traça-se a característica obtida na Aproximação ;~(~gional,
das equações (33) para baixa voltagem e de (39) para voltagem in-
termediária e alta. Observa-se na FiCJura 6.b que este resultado e~
tá coeren:e com o numérico, principalmente nos extremos da volta-
gemo
Podemos obter valores aproximados para Vt e Itr nos
quais o regime quadrático da corrente passa a linear. Igualando-.
se as voltagens dadas por (33) e por (40) teremos o valor em que
as duas funções se cruzam:
30
e portanto
= 1,8
Estes valores concordam p Ljnélmente com os obti do:> na Fi-
gura B.a, por processos numéricos.
3.3.2- Comparação com resultados eX[Jerimentais
A .~. d S . nU 1 (7) LI f'S experlenclas e pannlng e DctSS er em DCc con-lr-
mam a caracteristica da corrente para baixos valores de volta
gemo Reproduzimos abaixo seus resultados.
-5\0
-6W
~N!EoJ
___..L ~_. _
10 100YCv)
FIG.IO - Densidade de corrente versus voltagem, com con-
tacto de NaK em urna das faces e prat.a o:" outra.- . - -3 2
A area do crlstal e de 5xlO cm. A voltagem do
eletródio de NaI<:é negativa.
Vemos que apos o comport.amento quadrático existe uma ten
dência à saturar a corrente. A sequir discutiremos uma possibili-
dade de ocorrência deste fato.
31
3 . .3,1.2- Satura,çao da corrente l~D nUl\: Cilmpo rna,i,oX' que o cr(ti.co
1 f' . ,- ~ •. 1Para vo tagem SU"-lclentemenü~ é-Ltô e posslve enc::·n
trarmos um limite onde p~ = eN3t, ou ::,ejél todas as armadilh:ls es
tariam ocupadas. Neste caso f como vj.sco no ítem 2.3 o nÚmefiJ de
portadores que têem pos sibi lidade de (.:23 capar é igual ao nU!ni"~
ro de armadilhas e o termo kp ~ da equação de balanço de caClas. 1
o qual nos fornece a taxa de portadores que se libertam, pode ser
igualado a ,keN3t·
Desta forma, a equaçao de balanço em unidades reai:; e:
[' .dt
=, substituindo N3t
ou
o
rI
= NI rIlt
ek= "2a
-2ekN lta
A corrente, assim, depende di retamente da probabili dade
k de portadores do tipo 1 escaparem, e é constante para um da
do material l-D, se k não for função do campo el,§trico, como e
a hipótese feita anteriormente.
Desta forma; é possível que a saturação observada na
fig 10 se deva ao fato de. todas as armadilhas estarem ocupadas a
partir de V :oe 10V, porém não podemos afirmá-Io com certeza.
3.4- Material l-D Num Campo Próximo ao CrItico
Para campos da ordem de Ec tem-se a sobreposição da ca}2
tura por difusão, a baixos valores da voltagem, e da captura por
efeito de campo, para voltagens elevadas. Agora o tempo de capt~
ra T' é:
1~-, -T NitUE'
+
32
2D'N,2lt
e as demais equações básicas do item 2 :~ sào igualmente vá Üdas
para esta situação/ desde que consid,'n~mos o tempo de captura d~
do pela expressão acima. O procedÜn(:;jtCi adotado será idênt i.•. ~ ~
co ao do ltem 2.3/ por razoes ObVj.dS,
3.4.1- Determinação das dlstribuiçõ(~:; ép carga e do campo:: lé -
trico
A equação de balanço de carqas e:
o = p' ()JE 'N' + 2 D 'N I 2) - k I '1t lt' t
Substituindo-se a equação dil corrente obtém-se a densi
dade de cargas presas:
j t=
NI rI 2DIN'~(1 + __ lt)
k lJE I( 41)
Note-se que agora temos urna distribuição de carga~; pr~
SeiS que é função da~posição, através do campo e létri co.
Tendo em conta (41) e a equélc;ão da corrente, a equa
çao de Poisson sera:
N' rI 2D'N'T IdE' .-lL (1 +." lt)-L( 42)E: -- = + --.-.-dx'
k pEIpE '
Definamos o novo sistema de Cfra.ndezas adimensionais:
p - P I xXl
L
33
(43)
E =
12
N1t DiD= T
T = kT'
Comestas grandezas, as equilç()(;S da corrente, a(42) e a
(15) serão, respectivamente:
I = pE
dE = I (1 + 2D + 1)dx E E (45)
dUdx = - E ( 46)
co:
Integrando (45) obtemos urna relação para o campo elétri-
Ef E"dE"o
l+E' '+2D=
xf Idxo
(47)
Substituindo (47) em (44) advém para a densidade de car-
gas livres:
1[1 _ 1+2D 9,n(1+E+~~_12)'Ix E 1+2D ..( 48)
34
3.4.2 .... Obten9âo da ca,racte;t;'!sticÇ1, vcJ.ta,:jcw-·corrente
De (45) tem-se:
dx =EdE
I (1+E+2D) I que substi tuIdo em (46) é:
-IdU =
Integrando a última equação em todo o material:
of IdUV
E21V_) dE
aonde EL é o carr)o do eletródio em x~l.
Derivando-se em relação a V:
dI =I + V dV
dEI..
dV
e nos interessa explici tar dEL/dV em função da corrente, da volta
gem e do campo.
Se integrarmos (45) em toda a amostra:
1f Idx =o
I ==
EL E(V)dE _ = If .o
[1+EL+2D-jEL - (1+2D).Q,n 1+21)--.J
(50)
(51)
Derivando (50) com relação ô v:
dIdV
=dE LdV
(52)
35
S~~t~tu;indo dEr!dY dp,eCJuaça.o (49) el1l.C52L ob tenos ~
dIdV
= IE -VL
I
que inserida em (52) resulta:!
(53)
Considerando-se simultaneamente (53) e (51) obtém-se nu-
mericamente a característica voltagem-corrente para o campo em
torno de E .c ///liÀ
••'"'?
-'.11 -I .• -1.11 t.•lOGv
TI.• I,..-2
a) D = 10
-1Vc = 1,6xlO
FIG.ll - Característica voltagem - corrente, na região prQ
xi~a ào campo crítico~
36
J
1J..1lllD
"'-r-" ·····----11. 00 ;', Ci~ 3.111111
LOF) V
NI
...•.
b) D = 30
Vc = 38,5
FIG.ll - Caracteristica voltagem - corrente na regiao
próxima ao campo critico.
Uma análise qualitativa deste gráfico sera feita a se
37
CO!!}O no:. ~nteressa. apena.s o comportamento geral, llSç~:r;e •..
mos a aproximação de campo constante atrav(~s da amostra E' -:: V'/L.
o tempo de trânsito t~ médio de; UlTl portador pode ~:er cal
culado assim:
ti =tL + L 1
1JET I k
e o
de ve
de pe~
onde ll~' é o tempo gasto pelo portador para ir de uma face à ou_o
tra da amostra se não houvesse armadilhas. O termo E~ , k1]1 1
tempo gasto pelo portador nas armadiJha~:;: - E~ é o número]l' T
zes que, em média, um portador é capturado e l/k é o tempo
manência 1"b do portador em cada armad i lha.
A densidade de corrente será obtida do quociente da car-
ga Q pelo tempo de trânsito; e pela área do dielétrico A:
TI = -º-At't
sendo Q a carga total no interior da amostra, a qual pode ser posI EAV'. -
ta corno Q = CV = ~ . ASSlm a corrente sera:
I' =
= 1" I]..l ,+ I
E 1" Tb
(54)
ou, em variáveis adimensionais:
I =T 2
T+l V
-
1 2
V+2D+l V
(55)
38
]?Ç3,ro, vALo;çes do can)t>Q ll)u~.tc)a,haixo dQ c,xS t~co r o tempo
de captura é determ;lnado apen~s pelo termo d~ d;lfusao,
1/ (1+1) sempre expresse a fração de:.::ar~Jaslivres 1 agora.
:EÜ}ora
este
termo será praticamente independentc~ da vo1tagem e se igu Üa -
rá ao fator 8 tradicional, e a corrente será, aproximadame·]te:
I = (56)
que, em unidades reais ~ a expressão tradicional da corren~e in
fluenciada por armadilhas rasas, com a mobilidade modulada W f=e_
W8, a menos do fator 8/9.
Para valores de campo da ordem ou ligeiramente superiQ..
res ao critico teremos comportamentos diferentes para a corren-
te, conforme o coeficiente de difusào D seja grande ou pequeno
comparada com a unidade.
19 caso - D « 1
Para D « 1 temos também Ec :::2D '\;Vc muito menor que a
unidade (Vc sendo a voltagem onde ocorre o campo crítico) p(55)
2fornece I a V .
Aumentando a tensão esta atingirá limites onde V ;> 1,
quando teríamos I a V.
Portanto, para baixos coeficientes de difusão a regiao
quadráticct ultrapassa o potencial crítico,o que se pode obser -
var na Figurall.a; para voltagens ainda maiores surge a regiao
linear.
29 caso - D » 1
Para D grande teremos Vc grande, e já a partir do cam
po crítico teremos I a V, e com isto a transição do regime qua
drático para o linear inicia-se abaixo da voltagem crítica, como
se vê na Figura l1.b.
Podemos analisar, ainda, o comport.amento da dis tribui-
ção de cargas livres p com o potencial.
39
, 12V = (p' + ')t Ps
onde (p~+p') L é a densidade superfici.al de carga na amosL:a..
A relação entre as densidé,(h~s de cargas livres p e
de presas P~ é dada por:~
== QT
que substituída na expressão da voltaQem for
nece:
P
1= 1+1 V
=
V
1+2D+V
=
1 _ 1+2D1+2D+V
(57)
ou sej a: a densidade de cargas livres aumenta com VI até altas
voltagens I quando então p se torna constante.
A proporção de carga nas armadilhas y pode ser achada
da razão entre o tempo que o portador fi.ca preso e o tempo que
ele efetivamente gasta para percorrer o dielétrico:
y =
L]JET 'k
t't
1= l+T'k
1
1assim:mas T'k=- e
T
(- l ,1 - 2O't'1;:1
40
Daqui vemos que a proporção di:; cargas presas S'3mpn-!. au...
menta com a voltagem, tendendo à un,idade para altas voltêlCjens
Tal fato é coerente com a saturação na densidade de carqa~: li-
vres observável em (57) para grandes valores da tensão, qllan
do então toda quantidade de carga qt!e e xcedesse o valor dE P = 1
seria aprisionada.
:g interessante notar-se que / embora a densidade õe car-
gas livres tenda à saturação I o mesmo não se dá com a con:en
te I = pV, pois ela é sempre crescente com V, tendendo à U.near
com voltagem grandes aonde p é constant.c.
41
CAP!'TULC 1'1
ESTADO TRANSIENTE - ISOLANTE C.i\RHECADO POR DESCAEGlI, ,:::OEONA
I: exemplo do que está mostrado no artigo de Campo::;e Gia
cometti (8) faremos um estudo do dE~caimc:nto do potencial dE: super-
fície 1 que é uma grandeza mensuráve 1 r num material carregadc") por
-.;orona.
Usualmente carrega-se a amostra por descarga corona na
face livre de eletrodo em x' =0, enquanto que a outra face em
x' =L é posta à terra e mede-se o potencial da superfície. livre .E§.
tas serao as condições em que faremos nossos cálculos para os ca-
sos de inj eção total e parcial de C,:1rgéis, Suj ei tas à ação de arm~
dilhas profundas. Embora o tratamento seja feito para armadilhas
monoenergéticas, é poss ível generali zar para di versos níve is de
energia, considerando-se um tempo de captura efetivo Tef dadopor:
N= 1:
i=l(58)
em que Ti é o tempo característico de captura do portador por umdado nível i de armadilhas e N é o número total de níveis.
No instante inicial t '=0 da:c-sc-á um pulso de corona com
uma densidade superficial de carga (í I, carreqando-se a fac<:~ emu -. o'
x' =0 até o potencial V', inicial, ou o campo E I = -º- . Nos Lnstan-o o E
tes posteriores a carga penetrar~ no dielétrico, reduzindo o po -
tencial da superfície injetora.
Consideraremos apenas campo~; superiores ao critico
anteriormente definido.
E I ,C
42
4.1 - Equações Básicas, Condições In i c i.Ji~) e de Contorno
Para armadilhas profundas k =0 I:~ sob campos maiorE',; qU(~ o
l' , -crl tlCO podemos escrever a equaçao de Lalanço de cargas na::; arma-
dilhas:
dPt(X',ti)dt I = NitI'(X',t'j (59)
As equaçoes da densidade de con:ente de condução 1 a de
Poisson, a da continuidade, e a do potEncial são:
I'(x',t') = lJp'(x',t')E'(x',t') (60)
élE' (x' ,t ' )E élx'
=p'(x',t') + r'~(xl,t') (61)
élI'(x',t') = _ -ª- (p'(x',t') + p~(x',t'))élx' élt' (62)
élU'(x',t') =élx'
- E'(x',t') (63)
A equação de Poisson na da continui.dade resulta:
ou
d-L'(X',t')élx' +. -ª- ( ~ E' (I ,)élt' E élx' x, t) = O
o termo entre colchetes é portanto independente dE' x'
e e a expressão para densidade de corrente total I' (t')
43
I' (t I) = I' (x I I t ') + c -ddt E I ( X I 1ti)
Na configuração de circui 1~O ;b(~
Ia e assim:
I'(x' t') + c -~ EI(x' ti), at' I
()
o a corrente tot;:,! é nu
(64)
Inicialmente I não existem cargél~) presas:
= O (65 )
As condições de contorno paTa o campo elétrico são obti-
das considerando-se que em t' = O todas as cargas estão loc,diza-
das junto à superfície e que para instantes posteriores a qllanti-
dade a' jã se encontra no interior do material:
E'(x',O) = E'o (66)
F' (O,t') = E' _ a'o E (67)
No caso limite em que ai =0' = fEl, ou seja: toda a car-o o
g? deposi tada na superfície entra no material, o campo na superfi
cie d.e inj eção será sempre nulo e o pulso de cargas, alargando-se
sob ação de seu próprio campo elétrico, manterá a traseira da dis
tribuição tocando a superfície em x I '" O.
Consideremos uma nova definição para as variáveis adimen
sionais:
p(x,t)L
cE,P'(x',t')o
X'X ::o .L
(68)
E(x,t)= ~: (Xl ,ti)o
44
I ( X t) --- --~-..,.- N = LN I, , •. ·-·'E'·-]J' lt 1t.. o
a = a'a Io
As equaçoes básicas e demaÜ; condições de (59) a (67) agQ
ra serão, respectivamente:
(69 )
I (x,t) ( 70)
ClE(x,t)= p (x,t)
+ I(x,U(71)Clx
tE(x,t)
ClI(x,tt = _ ~ (p (x,t)
+ ~IJ~!l_)(72)Clx Clt t E (x, t)
ClU(x,t)Clx = - E(x,t) (73)
I (x,t) + ClE(x,t)Clt = O
Pt (x,O) = O
E(x,O) = 1 .
E(O,t) = 1 - a
aonde, a é a fração de cargas que penetra no dielétrico.
(74)
( 75)
(76)
( 77)
45
4.2- Obtenção das Equações Caracterí:;ticClS
Na solução das equações básicas usaremos o método de La
grange (9) ou das características ,em que se acompanha a evo l.uçao
temporal das grandezas ao longo de Ll.ohas de corrente, sobre as
quais voltaremos a falar posteriormen te .
Substituindo (69) em (74) obtemos:
ou sej a: o termo entre parêntese é função apenas da posiçao:
+ E(x,t) = E(x) ( 78)
Pode-se determinar E(x) a p<:lrtir das condições (7Ij), (76)
e (77) no instante t = O, quando (78) pode ser escrita:
E(x) = 1 ,
substituindo em (78) obtemos uma expn~ssão para a densidade de
cargas presas em função do campo:
pt(x,t) (1 - E(X,t))Nlt (79)
que, substituída em (71) e considerando (74) fornece a equaç~io dife
rencial i a derivadas parciais:
aE(x,t) + 1. )E(x,t)=
(1 - E(x,t))Nlt
Esta equação foi resolvida pelo método de Lagrange, do
46
- ...
qual resultam as equaçoes caracterlsticas:
dx(t)dt
( 80)
j~E (x, t) ,t) = (E ( x (t)) f t) - E,- (x (t) , t) )N1t
ª-E (x (t) ,t ) = (1 - E(x (t). t) jIJ 1t
( 81)
( 82)
A equação (80) define as linhas de corrente, que SE~ ori-
ginam no instante inicial t=O, em x=O. A posição da carga E~m uma
linha de corrente depende do tempo e :U;to é indicado nas
çoes.
cqua -
Podemos obter o campo e a posição da carga na linha. pela
integração de (81) e (80), respectivamente. Sendo E = E (x(O) ,0)0o
campo inicial, podemos integrar (81) (h~sde o instante inicLJl até
um instante qualquer:
E(x,t)r dE' ,) N (E"--E 11 2ltEo
t
f dt' ,o
1 2-)2
t
esta integral encontra-se tabelada e resulta, afinal numa expres-
sao para o campo em função do tempo E~p()~3ição (através de E,J• J ()
E(x,t) =
NlttE eoN
E e lt_E +1o o
(83)
47
Na determinação de E existem duas regiões de int:~resse:o
a da frente do pulso de cargas em t
cargas em t ~ O, X't.o l
o I X . .çf e a da tras<:!:.ra de1.L
o campo na frente de cargas, EOi'
da traseira, Eot ' por (77)
é dado por (76) e o
( 84)
= 1 - (J,
Substituindo (83) em (80)e integrando no tempo:
t' ,x t N lt dt' ,
f f e , ,dx' '= N1t t + 1: _ 1
o e Eoo
Nltt" 1Fazendo-se Z=e + E - 1, a integral do 29 rn(:~mbroo
transforma-se numa do tipo J~Z , que resolvida fornece a equaçao
para a posição:
x(t,E )o - E + 1)o ( 85)
Se consider,armos (83) podemos obter urna relação dir'etaen
tre posição e campo apenas:
x (E, E )o (86)
Ainda, considerando-se (79) em (86), relacionamoH posi-
çao com densidade de cargas presas e campo inicial:
( 87)
81BLlOTECA DO INSTITUTO DE FlslCA E OUIMICA DE SÃO CARLOS • USP
FI S ICA
48
4.3- Potencial Residual com Injeção TotaL de Cargas
No caso de todas as cargas pc,nctrarem teremos, con;) co -
mentado anteriormente, o campo nulo ,2m ~('=:O. A frente da distr.:ibui
ção de cal."gasse deslocará, enquanto a traseira se manterá ':)róxi-
ma a x=O. Após um tempo suficientem(::~nteC]rande todas as carqas livres terão deixado' a amostra, restandD no material ap8na~ a:~ ear-
gas ;)resas em armadilhas profundas, que serão responsáveis pelo
potencial residual VR, o qual independe da forma que as cargas e~
traram. Todo o tratamento que faremos a seçruir considera tal fa -
to.
Integrando (82) em toda a amostTa obteremos uma expres -
sao para o campo EL do eletrodo traSt~tro:
( 88)
= 1 -
Tendo explicitado EL podemos, a seguir, determinar a vol
tagem residual.
Ainda de (82) temos:
dx = dE (x)
(1- fix)) N1t ,
que substituída em (73), considerando que agora U(x) nao e
função do tempo, fornece:
mais
dU(x)dE(x)
= E (x)
(l-ETXf)N lt
49
Integrando em toda a amostra:
o EL
J N1tdU =
(--L dE- J
l-EvRo
VR
=_l_(.Q,n _1_ - EL)
N l-Elt L
Substi tuindo (88) na exprE~ss ão anterior:
(89)
o gráfico obtido desta expressao é mostrado a seguir
en
N,
\\
\
;;:,I/)
N ~ ---, ._.._-2
-r -1
______11,01
I.t '
,2, ::")
FIG.12 - Curva uni vers al do comportamento do potencial
residual VR com a densidade de armadilhas Nlt,em unidades reduzidas.
50
Vejamos o comportamento assintótico da equação (W,)~,
19 Nlt » 1
Teríamos para (89):
(90)
E no limite de N1t -+ 00, terlélffi<JsVH ê:' 1, ou seja. toda a
carga depositada cairia em armadilhas prÓximas à superfíciE e o
Potencial residual seria praticamente igual a V , o potencj a1. inio -
cialmente atingido na descarga corona. }~;o que se observa r a Fig.
12.
79 Nlt « 1
-NExpandindo e lt em (89) obtém--se:
(91)
Consideremos o caso de termos uma distribuição de cargas
presas Pt uniforme ..~Comoo campo não é mais função do tempo, nao
havendo mais cargas livres na amost~ra pod.emos colocar a equação de
Poisson na forma:
dE (x)dx
= ,
que integrada em toda a amostra fornece:
= (92)
51
Ainda, da equação de Poisson:
dx =
·'\1 (v)•• - ,CJ. ü •
substltulüdo na expressao do potenc:Ld -~1Í<:-··- = -E e lntegr:lndo em
toda a amostra, obtemos:
por (92)
=
que e a express ao (91) se considerarmos todas as armadi lha.:; pree!!.
chidas: Pt =
4.3.1- Discussão e comparaçao de resultados
A expressao (89) em variáveis reais e:
VIR
(93)
corno o produto LN1t e constante para certa amostra, temost~mbém constante.
v'lv'R o
J.M.Guimarães(lO) mediu o potencial residual no teflon -
FEP carregado negati vamente com di versas voltagens ini ciai s e re-
produzimos, a seguir, os seus resultados em duas séries de medi -
das. Estas se referem ao potencial depois de aquecida a amostra- oate cerca de 160 .
Admite-se que por este aquecimento as cargas saem da su-
perfície e percorrem a amostra até se}~emcapturadas em armadilhas
52
pro~undÇl,p. ~e s3, amostxa, é Rqueçida ai.n,dq ll),Ü.5 r o poten.cj.,a,l decai
ainda ma.i~, ma,s a9'0rê\ devido à saídale cart]ê\S da,s armadill1dS que
seriam profundas em temperaturas maÜ; baixas.
-
Vi (V)VI (V
OR
-Ia
300286
S f:
600541
IR
960 842
I E
1500 1348
2a.
600 530
S :g
1000894
R IE1500 1323
_ ..__ ._._-----~vt/V'R O
---.-------- I
0,95
0,90
0,88
0,90
-_ ..~--_._._-.-..----.---------0,88
0,89
0,88_________ ' I
TABELAI: Medidas do potencial residual no Teflon FEP,
feitas por J.M.Guimar~es.
Note-se que nos resultados experimentais VI/V~ é apro
ximadamente constante, o que concorda com as previsões do nosso
mode10.
Kanazawa e Batra (11) fizeram o tratamento das equaçoes
de transporte na presença de armadi lhas profundas em que o -tempo
de captura de portador era determinado por difusão apenas. Neste
caso obtiveram Vt!V~=VR em função de T IVo/L2=T, aonde JH' /L2 e
uma constante do material a dada temperai~ura. Reproduzimos, a se
53
guir, O resultqdo destes ~utores;
oor-l
riIorl\
I
l _.._L •....
10-1 10° [
FIG. 13 Curva universal que relaciona a voltagem resi-
dual com ° tempo de captura T, em unidades re-
duzidas.
')
Da Fig. 13 podemos determinar ]JT i /LL., desde que conheça _
mos VI e VR'IV'. Usaremos os valores experimentais da Tabela I pa-o o
ra estes fins.
'rABELA 11
2
3
3
V' (V)V~/VQpT 'Voo
300
0/950,7
600
0,900,6
960
0,880,6
1500
0,900,6
600
0,880,6
1000
0,890,6
1500
0,880,6___ ~._. .~ 4. I
/LL p; (V-l)L2,4xlO-3
-3l,lxlO-4. 6,6xlO
1 -4S t 4,3xlO
---·--·t-·--? ''.•.• I J
I -46,3xlOi -4I 4, lxlOI
l--.I
-~IIIII!
TABELA11: As duas primeiras colunas !::-eferem-se a medidas no Te flon-FEP. As duas últimas são obtidas da consid.l:ração
das medidas nos cálculos dE Kanazawa e Batra (12) .
54
)?ode-se observar que os va,~Jru; de }rC J/L2 resulta tJ.t.es nã.o
são constantes, tendendo a diminuir:ol!l o crescimento e12, v:>ltagem.
Portanto, o modelo de captura de di:Eus~o, com o tempo de c:rptu
ra l' constante não se adapta ao Te:ELor-·YEP. Estes resultaios in -
dicariam que l' varia inversamente cum a voltagem e 1 consei[uente -
mente, com o campo elétrico.
Teríamos, assim, concordância das previsões do no:' :30 mode
10 com o comportamento verificado no Iref lon-FEP, que até (ll,ora não
foi considerado I-D (13) . Isto mostra umê,possibilidade do modelo de
captura determinada pelo campo ter uma validade maior que ( ini
cialmente proposta, restrita a materj.ais l-Do
4.4- Decaimento do Potencial no Caso de Injeção Parcial de Cargas
Estudaremos agora a situaç~lo em que apenas uma frdção a
das cargas penetram no material. Ernbora neste caso o campo da tra-
seira da distribuição de cargas não sej a nulo, com a traseira des-
prendendo-se da superfície em x=O, será sempre menor que o campo da
frente de cargas e os portadores da frente terão sempre uma veloc~
dade maior, ocasionando um alargament.o na distribuição de cargas ,
até que a primeira frente cheque ao E letrodo em x=l.
Sendo xf a~posição da frente de ca:rgas, o tempo t-f gasto
para atingir xf=l, com.o campo da frente sempre dado por: Ef=Eof =1 é :
= 1 (94)
Sendo Xt a posiçao da traseira de cargas podemos achar o
seu tempo de trânsito tt' impondo Eot=l - (x(equação (84)) e Xt= 1
em (85):
55
1 =
e
(95)
Na. determinação do potencié.l :3uperficial em funç~lo do tem
pa, existem três tempos característico::; a considerar:
a) Quando a frente de cargé.E; a.inda não atingiu o eletrodo
traseiro, isto ~: O ~ t ( tf, e nenhuma. carga saiu ainda 60 diel~trico.
b) Quando a frente de cargas já atingiu o eletrodo em
x=l, mas a traseira ainda não: tf <: tvre já deixou a amostra.
tt ' e parte das cargas li
c) Quando também a traseira de cargas já atingiu o eletrQ
do traseiro, ou seja: tt ~ t e não existem mais cargas livres no
material.
Trataremos de cada um destes ítens separadamente:
4.4.1- Pútencial superficial até o tempo de trânsito da frente de
cargas
É a situação em que O ~ t .:S tf! que pode ser representada
graficamente pela figura 12.
o potencial em x=O, VI (t), num certo instante sera
pela soma das d.d.p entre x=O e xt'Xt e xf' e xf e x=l:
dado
56
I--y--/~~-// ,.' .'I " /
o X+,.L
( c)
!
I
_I1
FIG. 14 - Esquema das regioes de cargas no materi~l para
(a) Região por ond(~ i Si passou o pulso dE car -
g as (p = O e P t ' = O) •
(b) Região onde :32 encontra o pulso (den::;idade
total de carc:ras ,= Pt + p)
(c) Região ainda não atingida pelo pulse (Pt =
p = O).
1Vl(t) = f E(x,t)dxo
Xt xf.l .= J E(x,t)dx +~ E(x,t)dx -+- j E(x,t)dx (96)
o t xf
Devido às diferentes distribuiç:ões de carga , trataremos
das integrais individualmente, em cada região.
19 - Região (a)
Temos apenas as cargas aprisionadas neste setor do diel~
trico. Podemos resolver facilmente a primeira integral da equação
(96) fazendo uma mudança de variáveis:
Xtf E(x,t)dxo
Et= f E (x t ) __ :~~(t ) -
Eot ' dE(x(tf~-tT dE(x(t) ,t)
57
Determina,mos O limite de inth]raçâo Et~ cqnl;l?o da ·t:::'ô,sei •..
ra de cargas num instante t, da equaçiJ.o (83):
N1tt_ (l-a)e
N1tt ..,(l-a)e +a
('om E t.I' o .-1- a
(97)
Sub t· t . d dx (t) d d·· - t .,. t'S 1 Uln o dE (x/t) a o pe.La equaçao carac erls .lca
(82), teremos:
Xt
J E(x,t)dx =o
1- Nlt
Et
f E~l dEl-a
1= - Nlt
Et
J ( E~l + l)dEl-a
= Nl [~n(l_~ ) + 1 - E - aJlt t t
Inserindo (97), obtemos:
x .~tJ E(x,t)dx =o
1 Nltt aN{~n[(l-a)e +:tJ-a+ N t--···} (98)
lt (1- )e lt +a
29 Regi ão (b)
Existem cargas livres e presas. 'remos a expressao para o
campo em função do seu valor inicial, assim como para a pos:Ll;~aoem
função do campo inicial, assim podemos resolver a segunda inc~e
gral de (96) com a seguinte alteração:
58
4;E
f!':lx,tldxxtPor (83) temos:
Eof
= I !':(Ea,tl
Eot
I.IE~o
E (E I t) =O
e de (85) obtemos:
N1ttE eo
E (eN"""ftE -1) +1O
(99)
Nltte - 1N t
E (e lt -1)+1o( 10 O)
SlbJtituindo estas expressões e (84) na integral:
Xf
J E(x,t)dx =Xt
Nltt Nltte (e -1)
Nlt
Esta integral e encont.rada néU; Tabelas e obteremos, fi .•.•
nalmente:
Xf
J E(x,t)dx =Xt
-N tlt N t-{e + lt
1)
1 N te lt(l-a)+a -~n[(l-(()e lt +aJ}
(101)
39 Região (c)
Ainda nao existem cargas nesta regiao e o campo ne1él s~
rá o da frente de cargas E = Ef = 1. As~;im a terceira integral de
(96) fica:
59
.~ J.
(E.d,x = Ef(dx
=J. •... x
; )
f
xf
xf
+ 1J
mas Eof = 1, então:
= t
e1
JEdX = 1 - txf
(102)
Substituindo (98), (101) e ll(2) na expressao do pote.!],
cial (96), algum tratamento algébrico nos leva a:
N - (J,ltNlt
(103)
4.4.2- Potencial superficial entre o tempo de trânsito dafrente
de cargas e o da traseira de cargas.
No intervalo de tempo tf ~ t ~~tt algumas cargas saem~
pelo eletrodo traseiro e graficamente isto é visto na Figura 15.
o potencial pOderá ser obtido da soma das d.d.p. entre
os extremos de cada região:
1= J a: ~,t) dx
o
Xt 1= J E(x,t)dx + J E(x,t)dxo xt
( 104)
60
/7;;1'·'.~/ liI i'// li.'
, (a)./··i .. ('o ):!
FIG. 15 - Esquema das regioes dô:: cargas no material em
tf ~ t ~ tt
(a) Região por onde já passou o pulso (p :: O
(b) Região do pulso f que começa a deixar él a -
::: fi + p)mostra (Ptotalt
A primeira integral foi obtida em (98). ResolveremOf:; a se
gunda, com a seguinte mudança de variã\'Ed;:
1r E (x, t) dx)Xt
E(l,O)
= fE(Eo,t)
Eot
dx(Eo ,t). dEdE oo
Por (85) I obtemos E(I,O) I fazendo X=li o que result~él em:
E(l,O) = Nlt _ 1e
Nlt t _ 1e
Obt" dx(Eolt)lvemos dEoSubstituindo estas
em (100) e E(Eo,t) em (99)
expressões e mais (84) I vem:
E dE00_ Nlt t 2I.Eo (e -1 )+1]
E(l,O)
Jl-o
Nltt N1tte (e-I)N1t
1rE (x I t) dx =)Xt
61
=
Substituindo esta integral e (98) em (104) teremos a ex-
pressao final:
N1 t+ a(l - e t)_ I} (105)
Note que para t = tf
igualdadeVl(tf) = V2(tf)·
1 por (103) e (105) verifica-se a
4.4.3- Pot encial superficial após o tempo de trânsito da traseira
de cargas
Com tt ~ t todas as cargas livrcs já deixaram a amostra ,
como representado na Fig. 16 , e as cargas presas em armadilhaspr~
fundas provocam a existência do potencial residual V3 .
o
,( a)\\
1-
FIG. 16- Esquema da região de carga na amostra em tt < t.
A região (a), contendo apenas cargas presas es-
tende-se por todo o material.
Este potencial é atingido quando a traseira de cargas che
62
ga ~o eletro40 tr~seiro,
encontra resolvida para,
.-tt
.- Pt i
ou §ejq Xt := 1, D.a ~n,stÇ\nte que tu • ~n:
equacao de ~o~sson ~~.~ cl;:V3 pa,rtindo da
xJ f ( ) :.,~E x,t.dx jil3eO
porém como a,integral
Poderíamos dete~inar
um instante qualquer, basta, impormoE t= tt e obteremos
como argumentado a pouco:
v, ;I pois,
=1
J E(x,t)dxo
Xt= [ J E (x, t) dx]
o t=t t
Substituindo, então (95) em (98):
= 1 { -N-- NNlt lt -a(l - e lt)}
(106)
Para t = tt verifica-se a igualdade V3 = V2(tt).
Note que para a = O, o potencial residual é V 3 = l,pois
todas as cargas sao mantidas na superffcie da deposição e não e -
xiste decairnento do potencial.
Com a = 1 e Nlt = O teremos V) = O, pois não existin
do captura todas as cargas deixarão a amostra e não haverá poten-
cial residual, enquanto que para a=l e NltjO, (106) obviamente for
necera para V3 a mesma expressao (98) obtida para o potencial re
sidual VR' sob injeção total de cargas. Mostramos a seguir o grá
fico de V3 versus a, onde este comportamento é visível.
Observa-se que v3 é maior com valores crescentes de Nlt,
pois aumenta a concentração de cargas presas com a densidade de
armadilhas.
N ,,1 ú.t_ -
63
oo
oro
tt"!f61-
> ...
1
o . _C\J 1---1
fJ 'J , 20I
FIG. 17 - Potencial residual V3 em funç~o da fraç~o de
cargas injetadas a, com diversos Nlt (densi-
dade de armadilhas na cadeia). As grandezas s~o
adimensionais.
4.4.4- Decaimento do potencial superficial
A curva do potencial superfici aI V(t) é obtida fazendo-se:
v (t) =VI (t) O .j... ./ t( L. ,'- f
V(t)
=V2(t) tf ~i.: ~. tt
V(t)
--V3 tt ~ t
64
FIG. 18' - Potencial superficial
111
11
I- "'~"=r=--"'''-''''''--==
'5,':bill 8, CIO 1(l), (!,c
em função do tempo.
a = 0,6. tt(I) refere--se a curva I. Valores de-2 2 _
Nlt: 10 (I); 1(11) { 10 (111).
Note que para uma e levada densi dade de armadi lhas L\ lt co~
parada com a espessura da amostra (=::1), o potencial residual já
é prati camente atingido quando a Ia. f rente de cargas alcança x=l,
em t=tf=l, pois o efeito de captura é qrande. Indicamos tf na Fi
gura, com a linha tracejada.
Para baixa densidade de armadilllas na amostra, só ating~
mos o potencial residual quando essencialmente todas as cargas li
vres deixarem a amostra, após tt' que es tá indi cado para a cur
va I, pois a captura é baixa e é grande a densidade de cargas que
deixa a amostra entre tf e tt' alterando sensivelmente o pot2n
cial superficial neste intervalo de tempo.
65
CARlTULO V
OUTROS RESULTADO;) CERAIS
Durante nossos estudos do es l:aé;,otr'ansiente, algum:ls re§..
postas do material l-D chamaram nOSSii atenção! ou por terem apli
cação prática 1 ou por revelarem aspE~ctO:::importantes do comporta
mento do portador no interior da amo,3tré,.
Umresultado geral que pode ser obtido é o da variaçao e~
pacial de uma carga emitida em x=O, também na hipótese de o mate
rial l-D possuir armadilhas profundas, mas independente da condi
ção de contorno a que está sujeita a amostra, este último fato
permitindo a obtenção de um resultado geral em circuito fec:lado .
Verificou-se, ainda, que sempre a mesma fração de cargas que saíam
da superfície eram aprisionadas numa dada posição, do que se con
clui que o potencial superficial decairii sempre da mesma fr ação ,
independendo da prévia existência ou não de cargas nas armôdi lhas.
Isto nos permitiu encontrar uma solução para o caso do potencial
residual atingido após sucessivas descargas coronas, onde ocorria
injeção total de cargas.
Demonstraremos estas condiçôes a seguir.
,5.1- variação do Potencial Devido à } njeçao de uma Dada Quantida
de de Carga.
Procuraremos deduzir como varia a carga livre ao ~;e des
locar ao longo da amostra. Acompanharemos um elemento de carga 6.0,
de origem qualquer, através da amostra, com a corrente no ~;entido
positivo ie x, como esquematizado a seguir.
f
66
k I ------·---~I• I:1. ,---'7 I
,
i,
IIi
\I
o
o elemento de carga será definido por:
6.Q = p6.x
1'IC. 19 - Elemento de Car
ga se d(~:; locan-
do na amJstra.
( 107)
Não indicaremos nas equações as dependências das grande-
zas com x e t, só o faremos ocasionalmente, e usaremos apenas va-
riáveis reais.
Interessa-nos determinar a variaçao de 6.Qno espa(~o mas:
d(6.Q) =dt
d (6.Q) dxdx dt (108)
. d(6.Q)portanto se acnarmos~
5.1.1- Cálculo de d(6.Q)dt
Por 107
; poderemos determinar d(6.Q)
d(6.Q)qt
= ddt (p6.x)
(109 )
67
dpdt
= dP + ~at aX
!:lx
dt
Da equaçao da continuidade:
l2.at
= di
3x
da variação de cargas nas armadi lhas profundas e da definiçiio da
densidade de corrente, temos respecti vament.e:
i = llPE
que substltuídas na relação anterior:
apat = - Nlti - p li pE)dX
. ap. dE- N l - pE - - pp -.--lt. 3x dX
Portanto a-derivada total de p em relação ao tempo, con
siderando ~~ assim determinado e a velocidade do portadorâ~-}JE,sera:
dQdt
=
68
$ub$t~tu;Lndo""'se q eguação de Po~ssor::
-ª.f2. = -N i - .HE-(p + pt)dt lt E
. - d(l1x)b) Determlnaçao de
d(6x2- _dt" -
Note que o segundo termo é a diferença das velocid]des
dos portadores em x2 e xl:
Da lei de Gauss:
aonde (p + Pt)6X é a densidade superficial da carga total conti
da em 6x. Então:
Substituindo d~~x) e dpdt em (109) r vem
d(6Q)dt
=
Voltando a equaçao (108) tem-·ó;e:
-NltI6x -d (6Q)dx
dxdt
01f:
69
=
= d (~Q)--dx
, pela aEf~niç~o de ~Q:
Integrando esta expressão em x obteremos para a carga em
determinada posição:
d(àQ") _ilQ" -
x
-N Jlt dx' Io
aonde Qo a carga que sai de x=O e Q é a carga na posição x.
Q = (110)
Desta expressao e da equaçao de balanço de cargas pode -
mQs obter a dependência das cargas presas com a posiçao. Integra~
do a equação de balanço:
tPt(~,t) = Nltbi(x,t)dt
mas i(x,tXlt=àq (x,t) 1 por (110)
_ -N_ dq(O,t)e ltX
assim
70
aonde t' ê o instante em que a ultima (,U'(Jél deixa x=O, suplndoque
ela começe a fazê-Io em t =0, e a int::;gnÜ n.os fornece a c,:trga to
tal que (c _xou a superfície e:r:nx=O, Q)
r:\ (x,t) ( 111)
portanto, numa dada posição x, sempn:; a mesma fração das cargas
que deixaram a superfície serão apris Lonadas. Podemos tamb<:rnafir
mar que em circuito aberto a variaçào do potencial de supe::'fÍcie
devido a uma injeção de carga será SE~mprea mesma independE~nteme!:!.
te da população de cargas já existente nas armadilhas profundas.
Na determinação de (110) e (111) não se fez considera
çoes a respeito de corno a carga entrou nem sobre as condiç<;,es de
contorno a que a amostra está submetida. Assim sendo, os n~sulta-
dos têem validade geral (sempre que se trate de armadilhas profug
das) podendo ser usados mesmo em circui to fechado, corno faremos
posteriormente.
5.2- Efeito de Múltiplas Descargas Ccn:onas no Caso de Inje~~ão To-
tal
Umtipo de~medida que ultimamente tem despertado :i ntere~
se é o de carregar-se urna amostra por corona até o potenciél1 su -
perficial Vo' esperar-se um tempo suficiente para a amostr'l ficar
ao correspondente potencial residual VI ' então carregar-sE~ nova
mente a amostra até V e esperar-se atingir o potencial reEiduo
aI V2' repetindo-se o processo um determinado número de VE'2es.Ve-
rificamos ser este caso de fácil sohlç:ão para o caso de injeção t~
tal de cargas.
Considere termos feito urna descanJil corona na amestra,de
forma a atingir-se a voltagem V' entre'~ =0 e x =L. Esper -]' s o o
71
correr o dec~iJnento da vo1tÇl,gematé ç
determinado no capItulo anterior e É~:
Vd lu;c residua,l VIÜ'c ue
.J foi,
VR1=GV
o
1 e
-LNlt
com G = 1 - -- +.-= constante
LNlt LN1t
Para atingirmos novamente a. \/O ..t dsrem Vo' uma nova de~3caI
ga carona l :;ve, na verdade, fornecer ópcnaEi Vo - VR1 ' vi.s tu exi~
tir já a voltagem residual VIU no matcrJ.iJJ.. Após um tempo sufi
cientemente grande a voltagem atingirÚ (> valor residual VR2 :
= +G (Vo - VR1)
onde levamos em conta a existência de Vp1! devido às cargas apri
sionadas na primeira descarga corona, e o termo G(Vo - VRl) nos
mostra o potencial residual devido ;~s cargas aprisionadas dpÓS a
segunda descarga corona, que como argumentado anteriormente sera
uma fraç~o constante G do potencial que a superfície havia atin -
gido, (Vo - VRl) .
Substituindo G = VRI/Vo na equaçao anterior e apó:; aI
gumas manipulações obtemos:
VR2vo
De forma semelhante podemos obter o potencial resiJ.ual
VR3' apbs a terceira descarga carona:
e substituindo-se VR2 e G em termos de v1Ü e V~ obtém-se:
72
"--""-.. -:=-T---="=-:C:~'::"O-:-_"-"
40 DO 60,001/ N llt -
2D,OO
--------p ---0,00
SN
FIG. 20 - Potencial residual após a n-ésima descar~ra co-
rona em função da densidade de armadilhas na ca
deia l-Do Valores de n: 1 (I), 5 (11), 10 (111) .
73
Para o potencial residual a.pós a quarta descarçrd t:eremos:
= vo
v_ V (1 _ RI) 4-o ---Vo
Assim podemos escrver urna px,?ressão genérica para o poten
cial residual após a n-ésima descarqa corona
A Figura 20 mostra o potencial residual em funç~o da den-
sidade de armadilhas, para números diferentes de descargas coronas
~ que se submete a amostra.
5.3- A Carga Total e o Primeiro Momento da Distribuição a partir
de Injeção em Circuito Fechado.
Apliquemos uma voltagem Ventre os eletredos na3 supero
fícies do dielétrico corno no esquema abaixo:
~o
-l':
,---.--- 11.:-U --~~..-
I
I--._~I --
FIG.2l - Dielét.rico Bi-
metalizado em
circuito fecha
do, cc,mvolta-
gem aplicada.
Nesta situação observa-se que a corrente I, decrE~sce cog
tinuamente I devido à captura dos portadores pelas armadiJJ as pro-
fundas e tenderá a se anular para t.empos infinitos, quant~o prat:!:....
74
camente toda a voltagem é consumj,dçt n,:15 carqa.s captura.da.~i.
A densidade de corrente tota.l I É; a mesma em qualquer
secção do circuito, podendo ser posta. em função da variaç~ão tem
poral do campo e da corrente de conduçao na origem:
I - ~ dEo- l::dt
aonde i = i(O,t)o
+ lo
e E = E(O,t)o
sendo E (00) = E(O,oo) e E(O,O) = V /L, integrando a equação dao o
corrEnte no tempo, vem:
f Idto
=Eo(oo) 00
E f dE + J iodtEo o
(112 )
aonde q é a carga total que sai de x ,= O. E (00) é desconheci -o o
do e será determinado a seguir.
Para tern~o tendendo a infinito praticamente todas as
cargas estão presas,· então a equação de Poisson poderá ser es -
crita:
dE =E ax por ( 111)
Integrando esta equação em x, com t --r 00:
portanto:
E,
r~jE =) ,EO ((Xl)
N1tQo
7S
x x' J
( -Nlt . dx j ie)
o
E = E (00) +o ~Q [1 -t:
N 'i'. ,--, 1 t"'1
e -' .! (113)
Integrando esta expressão i::ml~oda a' amostra com u potenL
tencial da superfície dado por V := r Edx, obteremos para o campoo D
na supelficie em x=O, num tempo infinito:
E (00) o
Voltando com esta express.3.c) E:~lll (112), tiramos uma expres
sao para a carga que deixou x=O, qo:
(114)
A obtenção de q permite-nos determinar duas grandezas ao
carga total, Qt' e o primeiro momento da distribuição de cargas ,M.
A carga total pode ser obtida de (113) I fazendo a diferença
E(L) - E(O) e multiplicando por A, án!a da amostra. Usando também
(114) chega-se a
00
(115)
) primeiro momento da distribuição, na situação de inte-
resse, e:
Mas Pt foi determinado em (EU l e trazendo o seu valor
BIBLIOTECA DO INSTITUTO DE FISICA E oulMICA DE SÃO CARLOS • USP
FI S IC A
76
em M a.c~mq:
M=
resolvendo a filtima integral por partes teremos:
M = - l-~~ 11L 1 00l(-- -L) e + ---J [J Idx IN1t N1t o
(116)
5.3.1- Obtenção do centróide de carqJS
o centróide de cargas é definido como:
-X =
Subs ti tuindo M de (116) e Q'Lde (115) chega-se a:
-X =
1 1-N L [N-~_m _ ( 1 -N L
(l-e lt) lt Nl~ + L)e lt ](117)
o centróide de cargas pode ser determinado experiTlental-
mente I em amostras bimetalizadas (isto é, com dois eletrÔclios co
mo no caso da injeç~o ora sendo considerada) pelo mªtodo deI pulso
térmico aplicado sucessivamente nos dois eletrõdios(14).
E a express ão (117) mostra que de XI Nlt pode ser calcu
lado. Se a medida fornecer a carga tamb(~m (através de adequada c~
libraç~o, veja referªncia (14», o valor de Nlt sair~ mais simE
plesmente da (115), supondo naturalmente que a integral da corren
te durante a ,injeção tenha sido medida.
77
CAJ;'~'l'ULO \1
CONCLUSC)E:;
.Nos materiais l-D existe 1]TI! CTmpo crítico] a part ir do
qual a captura de portadores é deterrÜnada pelo campo elét :r::Lco.
Consideramos que a probabilidade de c~scape do portador Em ~:;esem
pre independente do tempo.
Em nosso trabalho obti vemo~ a característica volt agem-
corrente I no estado estacionário inLtuenciado por armadi 11 as r-ª.
s.as, para materiais l-D na situação de campo maior e no ertorno
do crítico. Na primeira situação a corrente mostrou véu·iaçao
quadr~tica com o potencial, quando Este ª baixo, e variaç~o li-
near com altos valores do potencial. Para campos da ordem do
crítido a an~lise da corrente depende tambl~mdo coefi.ciente de
difusão, Dois a captura é determinada pela ação conjunta do cam
po e da difusão.
Estudamos ainda o decaimento do potencial superfi cial,
em circuito aberto, em amostra l-D com armadilhas profundas e
carregada por um pulso de corona, nos casos de injeção total e paJ;..
cial de cargas. No caso de injeção t.otal a razão entre o poten-
cial residual e o inicialmente atin9j.do ª uma constante, que de
pende da densidade de armadilhas na cadeia I-D. Como o pot.en
cial é uma grandeza mensurável, podem03 assim determinar éI den-
sidade de armadilhas ao longo da cadei3..
Mostramos que, numa dada posiçao, a densidade de carga
nas armadilhas independe da forma corno as cargas entraram e sem
pre a mesma fra ·ão de carga injetada é capturada. A última con-
dição nos possibi li tou determinar a 'sucessão de potenciais resi
duais obtidos quando a amostra é recarregada ao potencial ini -
cial após cada descarga.
78
Pelo fa.to da densidade dr? canja numa J?osiçáo in.c1:~pen. -
der da forma de injeção foi POSSí\Ft:d cdlcularmos a ca.rsra' °primeiro momento da distribuição de CéJ~srêlS e daí o centrS de de
cargas, em circuito fechado.
Desta forma fica determinddD nm rneio de obtenção da
densidade de armadilhas ao longo da cacleia, pois tanto o:(~n
tróide quanto a carga total podem ~;c,r obtidos experimenta Lmente.
79
1 - WILSON, E.G. - J.Phys.C: Solid SLatc 1'bys. 1:1.., 2885 (l (W)
2 - SWORAKOWSKI,J & LEAL FERRElRA,G.I:'. -. ,I .Phys.D:App1..P ;\,~,.
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8 - CAMPOS,M. & GIACOMETTI,J.A. - J.l\ppl.Phys. 52, 7(1981)
9 - ELSAGOLTS,L. - Differential equat:ions and the calculus af
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10 - GUIMARÃES NETO,J.M. - COTImnicaçãcl p,;~ssoal
11 - KANAZAWA,K.K. & BATRA,I.P. - J.21.ppl.Phys. il, 1845(197:::)
12 .- FIGUEIREDO ,M.T. - Em comunicação pe:;soal, cedeu-me os J:"esul
tados obtidos na extensão da Fj.g. 13 para menores vél0
res de T.
13 - Em comunicação pes soal, o Prof. Gr OS,3 , B. relatou que, j r.nta
mente com o Pro;t.Von Seggern,H.,Lell1 feito medidas que indi
cam a uni-dimensionalidade do 'l'eflon'-I"EP.
14 - YOSHIDA,M. - "Montagem da técnica do pulso térmico e sua a
plicação ao estudo da evoluç21o d(~ cargas termicamente a.,.
tivadas da superfície". IFQSC ." USP - 1983, Cap.I pg.13.
