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VI T A G O R A SFACULDADE
Roseli A. Defassio - Eng. Elétrica- 4º Semestre
lista de Atividades nº 1
(Cálculo 3)
londrina
2011
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londrina2011
Roseli A. Defassio
lista de atividades nº 1
Trabalho apresentado à disciplina de Cálculo 111 do
Curso de Engenharia Elétrica, ministrada pelo Professor
Valdemir Antunes, da Faculdade Pitágoras - Campus
Metropolitana.
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VIT A G O R A SFA .CULDADE
a : : : z c : : : : ! I : I
FACULDADE PITÁGORAS - CAMPUS METROPOLITANA
Curso: Engenharia Elétrica - 4° Semestre
Aluno (a): Roseli A. Defassio
Disciplina: Cálculo 3
Professor (a): Valdemir Antunes
I:.
1- Dada a função abaixo, calcule sua derivada:
h) =x-e 3: o >
) \ ) t:~ : : + · a + :3 -,.J 3)( -2 3. . .
L - \ := .2.)(. t+ X. 3e.J ) 3)( .Q .3 ~'j z: 02Xe + "3 'f .. . e
) 3 '1 . . '\
Y : : I < - e . (c2-\-3x J
•3) No videogame da figura, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória v = 1 + (l/x), e podem
disparar suas balas na direção da tangente contra pessoas ao longo do eixo-x em x= 1,2,3,4 e 5, Determine a eq.
da tangente e se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em P(l ;2) por duas
maneiras:
a) Usando o conceito de limites
r e T X ~ X ) - ( ' k f ) ]
- n X
• •
b) Usando o conceito de derivadas f : > ( j)2)
) r-')} - 1 . --i ' v i ) _ ~ _ J
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- , c . Z -
- IU)2 -1
y=-Y-t5
O=-x+3
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: J -C·i).=- -)( + Jlj=-X-\-3
1
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4- Calcule as integrais abaixo:I .J ~
i) I ( x . J x 2+ldx ~ J("1-lX~~) ) 0 1 . . > <()
~/(M.f~; ~ ; ± J 5 ~:r--2~l)(~' ) " J JcL-/Ã o ~ íó O
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- ,...-----
~ X~A ~ f 4 \ ~ Jj O
[(" ~ '< lfO f~ I ] - : ; - . [ ? 1 - j ~~, G 1
O
•I) J co - xd x - = f(± ~ (..(.)() - > c ! " ) d.x
~ f c ~ > ( + -:rf~2x d)(
± x + ±~~LL{_),~
d ..-LL z: ~
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•
~ -X -\ - .LCL ~ 'X ~ x') -\ - ~; 2 %
z: ~()(--t-~~ÚY.JX)-TCc : : G
•
~ = 1cfx
•
2
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o) J eX
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Sex<xp>< c\x ~ e X " " " " x - f~)( . eKdx5v ~ óf}y,~d'" ,,;o-Uló x .5~\:,,fb"j. 0 1 x - = exS-e'Y"nl - I . . lÁ v - S v o U .. . t . J
Se,~~oI'll= :
e:~en')( -[-e:~x -Se?'~x.dxJ~é''$)( d)( s: e,x~v -t eXan)( -l S e.~x d xJ~ fex~x d - . , { : : : ; e~:: : ,-e-r,><+ e~x
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-)(
dv =e d~-xv= -e
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- J : ~ ') ( - LJô x-\ / y 4 y\I ~ d . . .h < - 2 _ < 1 0 )( -t- 1 ~ Y
q (á j: - J ~ 30\.1 l
c:2LJ
6- Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços de papelão com 12 cm de lado
(conforme figo abaixo). Cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontrar o
comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o máximo possível.
a) esboce o gráfico da função Volume V(x).
b) Encontrar o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o
máximo possível
» :' =jy~ ::;:: ;- G-Y
1 \ L t& -.2 -
"X = <---
ZV1
?~C o - n ' \ p r u . rne--n io -pC?V\o. .. ()
~ m:: ryyJ)ÚM..Q "r):?I. c.ou- ~
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~ y = I~-? -4fx~ I Y lt X
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•
e,
1) Faça a análise do domínio da equação do círculo que representa a sua peça e em seguida faça o seu gráfico,
r ' T b I> 2 -J I -I> Q :=Y e !J;;: 45 ----P>!j z: - -C i\.- . - V o. - )( ~ r-----r---__1
_.1_-,.
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Z
I.lI .3
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II -
2) Faça a análise do domínio da equação da hipérbole atribuindo valor para a=3 e b=2 e em
seguida faça o seu gráfico,
- X - 2 _ ~ = - 1
a~ h~
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•
~\e.. h~ ~o.p. V&
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S UP ERFíC IES - 3D
3) De o nome da superfície a partir da equação dada e esboce seu gráfico .
• •
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x2 y2 z:e) - + - + - = I e ache os valores de a e b quando fazemos um corte z=k=3 na superficie
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~~--~l-)-Vv\aJÚÃ..- ~ es a: ~ -
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9
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de a e b quando fazemos um corte Z=k=2 na uperficie dada,
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v : - - \ - : 1 -e: ~
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•h) z = -2x- - 2y2 ,e ache os valores de a e b, quando fazemos um corte z=k= -2 na superfície
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4-Esboce a superfície a partir da equação:
a) f(x,y) = -4+ x2 + ) 2 ;
=
~ ~ b
-~ O O
-3 ~ 1 - '!J
- o Z ~-v? -rW
- : -t:0 + .:
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b.1À= Ld:Jll~ A=-1 ')(!J
~3A= '\')(:!-=j
n 4 f i %. J )l ~ z: 1.nsA.=. !-! .;:J~'A.:::. ' : X ! = 1
che um valor aproximado da in egral dupla í 1 (3y - U) dAR
onde R é a região r angular ~·értices(- J, J) e (2, 3). Tome uma partição de R formada pelas retas .x ;;; O. X = 1 e y = 2 e sej ({ Y .) o centro da i-ésima sub.regiã~.
- - G
j ~C -O /' ::> i~ \S) _ l~ . ..2\5-oG(-o\'5) _-=t
b
~j. t(f;., '(..~~A z: (-=i-)< .1 )~ ( ~ X ! ) - T - C :,-ti)+ (Yl!i}+ [lnn) + (0)(1)=
(-1,3)
•0,5.
f2-b
•(1 • 1.5)
(-1 1) (2,1)
c : z
( 3. ~I'S- ~(j/~ ) - 3-2 .
(3 .J IS -~( -O .~) - ~
~
(3. ~,s - ~ ( J.~ J -:::D
o
@ fLl,~:, :2,5 )-f>
® -t'(-O,5 j 1.5) ~
@f(O,Sj J,5)-i>
@ f - (lI:) j J ,5 ) -;>
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2 Obtenha uma apr xímação do volume do sólido limitado pela superfície !{x, y) = 4 - ~l - -hy 2
pelo plano ;x;;;; 3, y ;; 2 e pelos trê planos coordenados. Para encontrar um valor aproximado d a integral dupla,vamos fazer uma partição da região 00
plano xy, traçando as retas x = 1, x = 2 e y = I e tomar ( ç , t -ri) no centroda i-é ima u -regíão. I
-:
/'
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r
k,:.O
ô! A :::: jj ~- 16.:(A.~ j~~~~
631\~ J~1=!
{ : ) J . j A.::. ~ ' 1 - 1 z: . 1 .
~s(\= 1)(~;:J
~"A= ~)(!"".!
® fCO,:,> i~,5)~ ( y - (0,,,»-<- - ( " S ) 2 . ) 3, 8 3,,{9 ~b
@FJ,Si1,s)o(iJ_L\~S~_(1~~fl - 3,b0'3
1 3
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1~ogX j')+ ( :5, ~05Y J ') t-
Á=~ " \ 3 f1 5-"=1y ~') ~ ~~1 1 -~"-t Y \ ) -+ (3,2'90 y i)=
e:21/s~
14
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)( u . : = . . -ix.._--;J
tA.2,2)( ~
'10. . . . J O I
O
. 1 1 <2
o < : ~ 4
ro l f o Z (4 - ~X2 - n,y2) dy dx4- Ache o volume do sólido limitado pela superfície J t J <
v - 3 J \" Q 3 J - 2- L lJ-~ -* d~
Q C j U q8 o
3 ~ l( ~ ) - 1 - - - « ~ ' ) - C ~
1 .l - lO1Q C j ~ ~
3 j ( ~ _ ,,:!i-\cU.1 0 ~ s)
L~-=2PJ:~ c2~
5- Calcule a área da região limitada (por Rx e Ry ).
~k~~o,z~ =- c 2 ' I -
- f - . . 2 x ~ O
' i - . ()(-o2) ~O
li"Q ) e \ i < = i J
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~=;~ x=-J\jl
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--- ---
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.r = ..••;6- Seja R a região limitada pelas equações y =O . Calcule a sua área.
= .j3x-18e e
o
(~
X ' l = = - - - & : 1 4 = " \ 1 3x- 1 " , & 1
O O J(
J. 1
~ç ; -fP ()
9 :3 3
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~~eov ~ ç.! + 'K-0
~+ 1d-~ =IJ<2\A ,~ 1
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':.
I
t.Ache um valor aproximado da íntegra! dupla ff{3x-2y+ l)dA
vértic (O. _ 2) e (3. O). JI.. _ onde R é a região retangular come considere (çj, r i > Faça uma partição de R com as retas x= I, x ""2 e y = = - 1
como o centro da i-ésima sub-região.
b l A . =. ~~ 1=. . 1~.2.f\::=. jXi::.J
~~~-= j~i:::J
~~ A -z: jx1::o 1
~sA z: ~ " ~ - = - jts ; fi = - ~ ' ) ( A = j
J .2- 3• • •
I I - - - f . . -
R~,
~ . ; 2 l(:;, I-~
p . y í< - S Rfo II
-~ -- - -l
~
®f (6 ,,:> .i - 0,'5 ') - 3(0,5) -~(- O ,5)~ ~ ~15
@ fel, 5 )- O,S') -4) 3CJ ,s) - ., ,2 (- 0, s") - \: ! ç , I 5
@t L~\ 'Sj-ü,'5)- 3{~,5)- ~(-o,s) 4: i -
@~}\'0,5 j - J,c,) - < > ':> 1 0 ,5 )- ;:)l-l ,c,h ~
@te .i.s, - .l,s) -" 3 C 1;';}-.2 (-\.c,J-H
®t(~lS)-1 ,5 )-1 > 3[..),5)- ~(-1/::J+j = = - jÁ,S
{ ;
? ' t(S; ')li ')1 . 1. A ~ ( : 3 J 'S x .~ ') 1- ( ~ , < 5y 1 ') -\-(9 ,sy ~-; ~-t- (s:~~~1 ) J-
J: I \ " 6 \ 5"~ 1- I!!,'S:d ) = = -
l~~
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13. Obtenha uma aproximação para o volume do sólido no pri meiro octante limitado pela esfera;xl-+ r + ~ = 64. pelos planos x ;;;;3, y :;; 3 e pelos três planos coordenados, Para achar um valoraproximado da integral dupla, faça uma partição da região no plano xy com as retas x = I. x :;;2.y "'"1 ey = 2. e considere (ç;. ri) como o centro da i-ésima sub-região,
~
~
R J~;.
K ' 3).
f \ 4 ~'5 ~J
Q~ R~ 1 < ' 3
! z .5 ~
2;:; - - J - x O < _~..2-t- ,
ç ; y
!j.tA:: .1 ;t< l-=J
Ô é) . A : : ' ~x~.:-J
~3A - :: J)(.1.::1
A~f \.= ~~!~j
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~~A .= 1xÂ.:::J
A<6~; 1x~.::j
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~f~F(s;)t\).L1d~-=\1;S~""~)~ (-l,'-IS~1)-+ (i ,l '& x A) -\ ( ~ , 'R 4 ) { 1J t-
(1-'7] t-I)+ (=l,ltS~~)k- C - ~ , ~ ~ ) < j ) - - \ ( :J., < 6 i;y J);- l - = J \ ~ : / 6 ) ( A J Z
G ? S ) 5 ~ V.V
21
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C alcu le a in teg ral iterada :
2 z13f f (l2xyl - &!t~)dy tlx.
I -I
• •
22,
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- e ,A:::: X
dLl ~~/..
d",d'll = - ctu .. .
; ; ( ' J . . . .
• •
33- Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f é uma função contínua
fI f( x ,y )d Aarbitrária em R, expresse R como soma de duas integrais iteradas.
: y = , - x ~ 4 4x + Y =
X 8u~ X~
O -'O0 2 J~ ~
x 1'/- i < : : : 4O L j
1 5J .. < o~ 1-
1---+--1
2 3
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' 1 - x = Yl ; < ; = ! -~+y (
4 7 < - t , : - \ : : : 9
r~~
2L t
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' Y - x : = ; ~
1 ' J ~ ~+x I~'X -1~~C j
\ ~:: ~-t; ' i]
25