Download - Incropera 5.60 No Matlab Implicito
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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Tecnologia e Geociências
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Análise Numérica do Resfriamento de de uma esfera maciça
Aluno : Marcelo Alexandre de Souza Júnior
Disciplina : Fenômenos de Transporte Computacional
Professor : Rita de Cássia Lima
Recife, 11 de Dezembro de 2012
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Trabalho realizado pelo aluno Marcelo Alexandre de Souza
Júnior para avaliação parcial da Disciplina Fenômenos de
transporte Computacional do Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de
Pernambuco.
Orientadora: Rita Cássia de Lima.
RECIFE – PERNAMBUCO
DEZEMBRO – 2012
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Problema Proposto
Uma esfera de de diametro inicialmente a é resfriada em um grande banho,
mantido a uma temperatura de e com um coeficiente de convecção de ( ⁄ ).As
propriedades termofísicas do material da esfera são: (
⁄ ), (
⁄ ) e
( ⁄ ).
a) Mostre, de maneiera qualitativa, as temperaturas do centro e da superfície da esfera em
função do tempo. b) Calcule o tempo necessário para superfície da esfera atingir a temperatura de .
c) Determine o fluxo térmico ( ⁄ ) na superfície externa da esfera no instante determinado
no item (b). d) Determine a energia ( ) que foi perdida pela esfera durante o processo de resfriamento até
a superfície da esfera atingir a temperatura de ( ). e) No tempo determinado na parte (b), a esfera é removida rapidamente do banho e coberta
por uma camada de isolante perfeito, de tal forma que não há mais perda de calor pela superfície da esfera. Qual será a temperatura da esfera quando ela atingir o regime permanente?
f) Calcule e represente graficamente os históricos das temperaturas na superfície e no centro da esfera para o período . Que efeito tem um aumento no coeficiente de
convecção para ( ( )⁄ ) sobre os históricos apresentados anteriormente?
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Solução Numérica
A solução numérica foi obtida pelo método do balanço de energia nos volumes de controle do cilindro na direção radial :
1) Balanço de Energia para os nós internos(Figura 1):
Figura 1: Volume de Contole do nó interno da esfera (Visão 2D).
Equação de Balanço na direção radial para os nós internos:
2 2 3 3
112
2
44 4
2 2 3 2 2m i m i i i
ii
r dT r dT r r dTk r k r c r r
dr dr dt
Ao discretizarmos as derivadas por diferenças finitas, obtemos:
2 2 3 31 1 1 1 11 1 4
4 42 2 3 2 2
n n n n n ni ii i i i
m i m i i i
T T T T T Tr r r rk r k r c r r
r r t
Que após algumas manipulações algébricas pode ser reescrita da seguinte forma:
1 1
1
1
1
2 2 2 3 3
2 3
...3
...3
2 2 2 2 2
2 2 2
n n
i i
n
i
m mi i i i i
mi i i
T Tr r t
Tr t
k kr r r c r rr r r r r
k r c r rr r r
3
n
iT
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2) Balanço de energia para o nó central (Figura 3) :
Figura 2: Volume de Controle do nó central (Visão 2D).
Equação de Balanço na direção radial para o nó central:
2 3
112
44
2 3 2m
r dT r dTk c
dr dt
Discretizando as derivadas por diferenças finitas, obtemos:
2 31 1 1
1 2 1 144
2 3 2
n n n n
m
T T T Tr rk c
r t
Que após algumas manipulações algébricas pode ser reescrita da forma:
1 1
1 2 12 2
6 61 n n nm mk t k t
T T Tc r c r
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3) Balanço de energia para o nó da superfície (Figura 4):
Figura 3: Volume de Controle do nó da superfície (Visão 2D).
Equação de Balanço na direção radial para o nó de superfície:
2
2 3
34
4 42 3 2
m N
r R
r dT dTk R h R T T c R
dr dt
rR
Discretizando as derivadas por diferenças obtemos:
2 1 1 1
2 31
3
4 42 3
4
2
n n n n
N N N N
m N
T T T Trk R h R T T R
r t
rc R
Que após algumas manipulações algébricas, pode ser reescrita na seguinte forma:
2 2
2 3 1 1 2 3
1
3 3
2 3 2 32 2
n n nm m
N N N
k kr rR hR R T R T hR T R T
r t r t
c r c rR R
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4) Balanço de Energia para o nó da superfície a partir do ítem “e”:
Equação de Balanço na direção raidal para o nó de superfície: 2
3
34
42 3 2
m
r R
r dT dTk R c R
dr dt
rR
Discretizando as derivadas por diferenças obtemos:
2 1 1 1
31
3
42 3
4
2
n n n n
N N N N
m
T T T Trk R R
r t
rc R
Que após algumas manipulações algébricas, pode ser reescrita na seguinte forma:
2 2
3 1 1 3
1
3 3
2 3 2 32 2n n nm m
N N N
k kr rR R T R T R T
r t r t
c r c rR R
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Resultados e Discussão
a)
Gráfico 1: Distribuição da Temperatura no Centro e na superfície da esfera ao longo do tempo.
Pode-se observar no Gráfico 1 que as temperaturas na esfera decrescem ao longo do tempo, devido ao gradiente de temperatura que provoca um fluxo de calor para fora da esfera.
Quando a temperatura da superfície atinge 415 K e a esfera é isolada, não há mais variação da energia interna, pois não há mais fluxo de calor para dentro ou para fora do corpo e a temperatura dentro da esfera se homogeiniza numa temperatura de equilíbriop constante.
b) O tempo para que a superfície da esfera atinja 415 K, é:
Para h=75[W/m2] t= 73 s
Para h=200[W/m2] t= 28 s
c) Fluxo Térmico
O fluxo térmico na superfície da esfera no instante em que a temperatura da esfera
atinge 415 K, é dado por: ( inf)Q hA Ts T
Para h=75[W/m2] Q = 20,1438 [W/m
2 ]
Para h=200[W/m2] Q = 53,7062 [W/m
2 ]
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d) Energia Interna
A energia interna é dada por:dT
dtU c
Para h=75[W/m2] U = 1,1393x10
06 (J)
Para h=200[W/m2] U = 2,9449x10
06 (J)
e) Temperatura de Equilíbrio
Para h=75[W/m2] Tequil=428 K
Para h=200[W/m2] Tequil=452 K
f)
Figura 4: Distribuição da temperatura no centro e na superfície da esfera para h = 75[W/m2] (à direita) e h = 200
[W/m2] (à esquerda).
Na Figura 4 pode-se observar as distribuições de temperatura na superfície da esfera e no centro da mesma em função do tempo para dois valores do coeficiente de convecção.
Para o valor mais elevado, observou-se uma queda mais brusca das temperaturas em função do tempo. O tempo necessário para que a superfície atingisse o valor de 415 K foi bem mais reduzido para o coeficiente de convecção elevado.(esposto no item b)
Para Tsup= 415 K
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Código do Programa em Matlab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Fenômenos de Transporte Computacional % % Profa. Rita de Cássia % % Problema 5.60 - Incropera (6ª Edição) % % Última atualização: 11/12/2012 % % Por: Marcelo Alexandre de Souza Júnior % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all close all clc % Dados do Problema proposto
Raio = 0.015; % [m] dr = 0.00015; % Incremento da malha na direção r km = 1.7; % [W*(m^-2)*(K^-1)] T_Infinito = 320; % [K] h1 = 200; % [W*(m^-1)*(K^-1)] h2 = 200; % [W*(m^-1)*(K^-1)] Tempo = 150; % [s] dt = 0.01; % Tamanho do passo no tempo Nt = Tempo/dt +1; % Número de passos no tempo dens = 400; % [kg*(m^-3)] c = 1600; % [J*(kg^-1)*(K^-1)] NP = Raio/dr+1; % Número de pontos M = sparse(NP,NP); % Matriz principal Resp = ones(NP,1); % Matriz dos termos Independentes T = ones(NP,1)*800;% Condição Inicial
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Montagem das Matrizes %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Pra facilitar a minha vida
A = (6*km*dt)/(dens*c*(dr^2)); B = (dens*c/(3*dt)); C = km/dr; D = h1*Raio^2; E = C*((Raio-dr/2)^2); F = B*((Raio^3)-(Raio-dr/2)^3); G = h1*T_Infinito*(Raio^2);
%%%%%%%%%%%%%% Matriz dos Coeficientes %%%%%%%%%%%%%%
% Equações dos nós internos % Equação do nó central
M(1,1) = (A+1); M(1,2) = -A;
for i = 2:NP-1 ri = (i-1)*dr;
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M(i,i+1) = -C*((ri+dr/2)^2); M(i,i-1) = -C*((ri-dr/2)^2); M(i,i) = (C*(((ri+dr/2)^2)+((ri-dr/2)^2)))+(B*(((ri+dr/2)^3)-... ((ri-dr/2)^3))); end
% Equação do nó da superfície
M(NP,NP-1) = -E; M(NP,NP) = D+E+F; %%% Fim da montagem da matriz dos coeficientes
% Contadores
T_centro(1) = 800; T_sup(1) = 800; cont = 0; % contador das iterações t = 0; % Contador do tempo
while (t < Tempo && T(NP) > 415)
Resp(1) = T(1); for i = 2:NP-1 ri = (i-1)*dr; Resp(i) = (B*(((ri+dr/2)^3)-((ri-dr/2)^3)))*T(i); end Resp(NP) = G+F*T(NP);
cont = cont+1; T = M\Resp; T_centro(cont+1) = T(1); T_sup(cont+1) = T(NP); t = t + dt; end
fluxo = h1*4*pi*(Raio^2)*(T(NP)-T_Infinito) % Fluxo de calor U = dens*c*(800 - 415)/(3* t) % Variação da ... % % ... energia interna
while t < Tempo
M(NP,NP-1) = -E; M(NP,NP) = E+F; Resp(1) = T(1); for i = 2:NP-1 ri = (i-1)*dr; Resp(i) = (B*(((ri+dr/2)^3)-((ri-dr/2)^3)))*T(i); end Resp(NP) = F*T(NP);
cont = cont+1; T = M\Resp; T_centro(cont+1) = T(1); T_sup(cont+1) = T(NP); t = t + dt;
end t;
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tem = [0:dt:150];
plot(tem,T_centro,'C',tem,T_sup,'LineWidth',2) xlabel('Tempo(s)') ylabel('Temperatura(K)') title('Distribuição de Temperatura (K); h = 200 (W*m^-2)') hleg1 = legend('Centro','Fronteira'); % % plot(T);