Mecânica Vetorial para
Engenheiros: Estática
Prof. Maycon Athayde
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
3 - 2
Contents
introdução
Forças externas e internas
Princípio de transmissibilidade: Forças
equivalentes
Vetor produtos de dois vetores
Momento de uma força sobre um ponto
Teorema de VARIGON
Componentes retangulares do momento de
uma força
Amostra Problema 3.1
Produto escalar de dois vetores
Produto escalar de dois vetores: Aplicações
Produtos triplo misto de três vetores
Momento de uma força torno de um eixo
Dado
Amostra Problema 3.5
Momento de um Casal
Além de Casais
Casais podem ser representados por
vetores
Resolução de uma força em uma força
em O e um par
Amostra Problema 3.6
Sistema de Forças: Redução a uma força
e um par
Redução adicional de um sistema de
forças
Amostra Problema 3.8
Amostra Problema 3.10
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3 - 3
introdução
• O tratamento de um corpo como uma única partícula não é sempre
possível. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos específicos de
aplicação das forças deve ser considerada.
• A maioria dos corpos em mecânica elementares são consideradas rígidas,
ou seja, as deformações reais são pequenas e não afetam as condições de
equilíbrio ou de movimento do corpo.
• Capítulo corrente descreve o efeito das forças exercidas sobre um corpo
rígido e como a substituição de um determinado sistema de forças com um
sistema equivalente simples.
– momento de uma força sobre um ponto
– momento de uma força sobre um eixo
– momento devido a um par
• Qualquer sistema de forças que actuam sobre um corpo rígido pode ser
substituído por um sistema equivalente que consiste de uma força que
actua num dado ponto e um binário.
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Forças externas e internas
• As forças que actuam sobre os
corpos rígidos são divididos em
dois grupos:
– As forças externas
– forças internas
• As forças externas são mostradas
num diagrama de corpo livre.
• Se sem oposição, cada força
externa pode conferir um
movimento de translação ou de
rotação, ou de ambos.
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Princípio de transmissibilidade: Forças equivalentes
• ? Princípio de transmissibilidade -
Condições de equilíbrio ou de
movimento não são afetados pela
transmissão de uma força ao longo de
sua linha de ação NOTA: F e F 'são forças
equivalentes.?.
• Mover o ponto de aplicação da
força F para o pára-choque
traseiro não afeta o movimento ou
as outras forças que atuam sobre o
caminhão.
• Princípio da transmissibilidade
nem sempre se aplicam na
determinação de forças internas e
deformações.
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3 - 6
Vetor produto de dois Vetors
• Conceito de momento de uma força sobre um
ponto é mais facilmente compreendida através de
aplicações do produto Vetor ou produto cruzado.
• Vetor produto de dois Vetors P e Q é definido
como a V Vetor que satisfaz as condições
seguintes:
• Linha de ação de V é perpendicular ao plano que
contém P e Q.
• Magnitude de V é
• Direção de V é obtido a partir da regra da mão
direita.
sinQPV
• Produto Vetor:
- Não é Comutativo,
- Não é distributivo,
- Não é associativo,
QPPQ
2121 QPQPQQP
SQPSQP
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Produto Vetor: Componentes retangulares
• Produtos Vetor de Vetores unidade cartesianas,
0
0
0
kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii
• Produtos Vetor em termos de coordenadas
retangulares
kQjQiQkPjPiPV zyxzyx
kQPQP
jQPQPiQPQP
xyyx
zxxzyzzy
zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
-
+
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Momento de uma força sobre um ponto
• A Vetor força é definida por sua magnitude e
direção. O seu efeito sobre o corpo rígido também
depende disso ponto de aplicação.
• O momento de F sobre O é definido como
FrMO
• O Vetor MO momento é perpendicular ao plano
que contém O e o vetor F.
• Qualquer força F ', que tem a mesma grandeza e direcção, como F, é
equivalente se também tem a mesma linha de acção e, portanto, produz o
mesmo momento
• Amplitude da MO mede a tendência da força para causar a
rotação do corpo em torno do eixo ao longo MO.
• O sentido do momento pode ser determinado pela regra da
mão direita.
FdrFMO sin
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Momento de uma força sobre um ponto
• Estruturas bidimensionais tem comprimento e largura,
mas negligenciável profundidade e são submetidos a
forças contidas no plano da estrutura.
• O plano da estrutura contém o ponto S e da força F.
MO, o momento da força de cerca de O é
perpendicular ao plano.
• Se a força tende a girar a estrutura dos ponteiros do
relógio, no sentido da Vetor momento é para fora do
plano da estrutura e a magnitude do momento é positivo.
• Se a força tende a rodar a estrutura de sentido anti-horário,
o sentido do momento é a Vetor para dentro do plano da
estrutura e a magnitude do momento é negativo.
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3 - 10
Varignon’s Theorem
• No momento em que cerca de obter O ponto
da resultante das várias forças simultâneas é
igual à soma dos momentos dos vários
momentos em torno do mesmo ponto O.
• Teorema de VARIGON torna possível
substituir a determinação direção do
momento de uma força F pelos momentos de
duas ou mais forças que compõem F.
2121 FrFrFFr
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Componentes retangulares do momento de uma força
kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
kMjMiMM
xyzxyz
zyx
zyxO
O momento de F sobre O,
kFjFiFF
kzjyixrFrM
zyx
O
,
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Componentes retangulares do momento de uma força
O momento de F sobre B,
FrM BAB
/
kFjFiFF
kzzjyyixx
rrr
zyx
BABABA
BABA
/
zyx
BABABAB
FFF
zzyyxx
kji
M
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Componentes retangulares do momento de uma força
Para estruturas bidimensionais,
yFxxF
MM
kyFxFM
y
ZO
xyO
FxyyFxx
MM
kFxyyFxxM
BAyBA
ZO
BAyBAO
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Problema3.1
1. força vertical de 100 libras é aplicada à
extremidade de uma alavanca que está ligada a
um veio de O.
2. Determine:
1. momento cerca de O,
2. A força horizontal em A que cria o
mesmo momento,
3. menor força em A, que produz o
mesmo momento,
4. localização para uma força vertical de
240 kg para produzir o mesmo
momento,
5. se qualquer das forças do b, c, e d é
equivalente à força inicial.
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3 - 15
Problema3.4
A placa rectangular é suportada pelos
suportes em A e B e por um fio CD.
Sabendo que a tensão do fio é de 200
N, determinar o momento em torno de
uma força exercida pelo arame em C.
Solução:
O MA momento da força F exercida
pelo fio é obtido por meio da avaliação
do produto Vetor,
FrM ACA
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Produto Escalar de Dois Vetores
• O produto Escalar ou ponto-produto entre
dois vetores P e Q é definido como
resultscalarcosPQQP
• Produto Escalar:
- São Comutativo,
- são distributiva,
- não são associativos,
PQQP
2121 QPQPQQP
undefined SQP
• Produtos escalares com os componentes da unidade cartesianas,
000111 ikkjjikkjjii
kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx
2222 PPPPPP
QPQPQPQP
zyx
zzyyxx
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Produto Escalar de Dois Vetores: Aplicação
• Angulo entre dois veotres:
PQ
QPQPQP
QPQPQPPQQP
zzyyxx
zzyyxx
cos
cos
• Projeção dos vetores nos seus dados eixos:
OL
OL
PPQ
QP
PQQP
OLPPP
cos
cos
de através de Projeção cos
zzyyxx
OL
PPP
PP
coscoscos
• Para um eixo definido por um vetor unitário:
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Produtos triplo misto de três Vetors
• Produto triplo misto de três Vetors,
alarsultadoEscQPS Re
• Os seis produtos triplos misto formado a partir de S, P e
Q têm magnitudes iguais, mas não é o mesmo sinal,
SPQQSPPQS
PSQSQPQPS
zyx
zyx
zyx
xyyxz
zxxzyyzzyx
QQQ
PPP
SSS
QPQPS
QPQPSQPQPSQPS
• Avaliando o produto triplo misto,
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Momento de uma força torno de um eixo Dado
• MO momento de uma força F aplicada no ponto A
cerca de um ponto O,
FrMO
• momento escalar MOL em torno de um eixo OL
é a projeção do Vetor MO momento para o
eixo,
FrMM OOL
• Momentos de F sobre os eixos coordenados
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
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3 - 20
Momento de uma força torno de um eixo Dado
• Momento de uma força sobre um eixo
arbitrário,
BABA
BA
BBL
rrr
Fr
MM
• O resultado é independente do ponto B
ao longo do eixo dado.
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Problema3.5
a) sobre A
b) sobre o bordo AB e
c) AG sobre a diagonal do cubo.
d) Determine a distância perpendicular
entre AG e FC.
Um cubo é acionado por uma força P,
como mostrado. Determinar o
momento de P
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Momento de um Binário
• Duas forças F e -F com a mesma magnitude,
linhas paralelas de ação, e sentido oposto são ditas
para formar um binário.
• Momento de um binário,
FdrFM
Fr
Frr
FrFrM
BA
BA
sin
• Vetor momento do binário é independente da
escolha da origem dos eixos de coordenadas,
ou seja, é um Vetor livre que pode ser
aplicado em qualquer ponto com o mesmo
efeito.
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3 - 23
Momento de um binários
Dois binários terão momentos iguais se
• 2211 dFdF
• os dois binários se encontram em planos
paralelos, e • os dois binários têm o mesmo sentido, ou
a tendência para provocar a rotação na
mesma direcção.
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3 - 24
Adição de binário
• Consideremos dois planos intersectando
P1 e P2, com cada uma contendo um par
222
111
planein
planein
PFrM
PFrM
• Vetores Resultantes Também Formam
binários
21 FFrRrM
• Pelo teorema de VARIGON
21
21
MM
FrFrM
• Soma de dois binário também é um binário que
é igual à soma dos dois Vetor binário
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binários podem ser representados por vetores
• Um binário pode ser representada por um Vetor com
magnitude e direcção igual ao momento do binário.
• Vetors binários podem obedecer à lei de adição de Vetors.
• Vetors binários Vetors são livres, ou seja, o ponto de
aplicação não é significativa.
• Vetors binários pode ser resolvido em Vetors
componentes.
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ReSolução de uma força em uma força em O e um par
• Força Vetor F não pode ser simplesmente transferido para O sem
modificar sua ação sobre o corpo.
• Colocar Vetors força iguais e opostas em O não produz nenhum
efeito líquido sobre o corpo.
• As três forças pode ser substituída por uma força equivalente a
Vetor e binários Vetor, ou seja, um sistema de força-binário.
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ReSolução of a Force Into a Force at O and a Couple
• Movendo F de A para um ponto diferente O’ requer a
adição de um binário de vetores diferentes MO’
FrMO
'
• O momento de F sobre O e O’ está relacionado,
FsM
FsFrFsrFrM
O
O
''
• Movendo o sistema de binários de força de O para O’ requer a
adição de um momento de força de O sobre O’.
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Problema3.6
Determinar os componentes do
binário único equivalente aos
binários mostrados.
Solução:
• Anexar 2 forças iguais e opostas lb na
direção +/- x em A, produzindo, assim, três
casais para que os componentes de
momento são facilmente computados.
• Alternativamente, calcule a soma dos
momentos das quatro forças em torno de
um único ponto arbitrário. O ponto D é
uma boa escolha, apenas duas das forças
vão produzir contribuições momento não
zero.
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Sistema de Forças: Redução de uma Força e Casal
• Um sistema de forças pode ser substituída por uma colecção
de sistemas de força-par actuando num dado ponto O
• A força e binários Vetors podem ser combinados em um
Vetor força resultante e um binário resultante Vetor,
FrMFR R
O
• O sistema de força-binário em O podem ser movidas para
S 'com a adição do momento de R cerca de O,
RsMM R
O
R
O
'
• Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem ser reduzidos
para o mesmo sistema de força-binário.
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3 - 30
Redução adicional de um sistema de forças
• Se a força resultante ea binário em O são perpendiculares
entre si, que podem ser substituídas por uma única força
atuando ao longo de uma nova linha de ação.
• sistema de força-binário resultante para um sistema de
forças será mutuamente perpendiculares se:
• 1) As forças são concorrentes,
• 2) as forças são coplanares, ou
• 3) as forças são paralelas?.
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Redução adicional de um sistema de forças
• Sistema de forças coplanares é reduzidos
para o sistem forças que são
mutuamente perpendiculares
R
OMR
and
• O sistema pode ser reduzido a uma
única força movendo a linha de acção
até que o seu momento
sobre O torna
R
OM R
• Em termos de coordenadas retangulares, R
Oxy MyRxR
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3 - 32
Problema3.8
Para o feixe, reduzir o sistema de
forças mostrados em (a) um sistema
de-força binário equivalente em A, (b)
um sistema binário de forças
equivalente em B, e (c) uma força
única ou resultante.
Nota: Uma vez que as reações de
apoio não estão incluídos, o sistema
dado não vai manter o feixe em
equilíbrio.
Solução:
a) Calcule a força resultante das
forças mostradas e o binário
resultante para os momentos das
forças sobre A.
b) Calcule a força resultante das forças
mostradas eo binário resultante para os
momentos das forças sobre A.
c) Determinar o ponto de aplicação
da força resultante de tal modo
que o seu momento sobre o A é
igual ao binário resultante a A.
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3 - 33
Problema3.10
Três cabos estão ligados ao suporte,
conforme mostrado. Substitua as
forças com um sistema força-
binário equivalente em A.
Solução:
• Determinar a posição Vetors relativos
dos pontos de aplicação das forças dos
cabos com relação a A.
• Resolve as forças em componentes
rectangulares.
• Calcule a força equivalente,
FR
• Calcule o casal equivalente,
FrM R
A