Conversão de Energia III
Aula 4.2
Máquinas de Relutância Variável
Prof. João Américo Vilela
Departamento de Engenharia Elétrica
Bibliografia
Conversão de Energia III
FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr. C. E UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: com
Introdução à Eletrônica De Potência. 7ª Edição, AMGH Editora LTDA, 2014.
Capítulo 8 – Máquinas de relutância variável e motores de passo
Capítulo 3 – Princípio de Conversão Eletromecânica de Energia
Bim, Edson.
Máquinas Elétricas e Acionamento. Editora Elsevier, 2009.
Capítulo 3 – Princípio de Conversão Eletromecânica de Energia
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
Coenergia é uma manipulação matemática que permite obter
a força diretamente como uma função da corrente.
Tomando como base a equação definida anteriormente.
( ) ( )xWixiW cmpcmp ,,' −=
A coenergia e definida como uma função de i e x tal que:
A dedução de coenergia é obtida usando a diferencial de i.λ
( ) didiid += .
( ) dxfdixdW cmpcmp −= ,
( ) ( ) ( ) ( )dxfdididixdWidxidW cmpcmpcmp −−+=−= ,.,'
( ) dxfdixidW cmpcmp += ,'
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
Coenergia é uma função com duas variáveis independentes i e x. Sua
diferencial pode ser expressa como:
dxx
Wdi
i
WxidW
i
cmp
x
cmp
cmp
+
=
''),('
( )
x
cmp
i
xiW
=
,'
( )
i
cmp
cmpx
xiWf
=
,'
Onde a derivada parcial foi obtida mantendo x
constante.
Onde i foi mantido constante para se obter a
derivada parcial.
( ) dxfdixidW cmpcmp += ,'
Como i e x são variáveis independentes as equações acima devem ser
iguais para todos os valores de di e dx. Assim, igualando os termos,
tem-se:
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
Coenergia é uma função com duas variáveis independentes i e x. Sua
diferencial pode ser expressa como:
( ) +=b
cmp
a
cmpcmp dWdWxiW2caminho2caminho
00 '','
( ) ( ) ',','0
dixixiW
i
cmp =
Por analogia ao calculo da energia temos o
calculo da coenergia.
ixL = )(( ) 2)(2
1,' ixLxiW cmp =
Em sistema magnéticos lineares a coenergia é dada por:
Sendo:
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
A força pode ser determinada pela derivada parcial da coenergia
( ) 2)(2
1,' ixLxiW cmp =
É a mesma equação para calculo da força obtida utilizando a energia.
Os dois métodos devem apresentar a mesma resposta.
O calculo da força a partir da coenergia essa energia deve ser explicita
em função de i.
( )
dx
xdLiixL
xx
xiWf
ii
cmp
cmp
)(
2)(
2
1,' 22 =
=
=
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
Se o sistema for magneticamente linear (somente considerando a
permeabilidade do entreferro, que é uma constante)
O conjugado e obtido por analogia ao calculo da força que é a derivada
parcial da coenergia por x:
( )
i
cmp
cmp
iWT
=
,'
( ) 2)(2
1,' iLiW cmp =
Em um sistema de deslocamento mecânica rotacional, a coenergia pode
ser expressa em termo da corrente e do deslocamento angular θ.
( ) ( ) ',','0
diiiW
i
cmp =
d
dLifcmp
)(
2
2
=Sendo:
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
Pode se mostrar que a energia magnética armazenada também pode ser
expressa em termos da densidade de energia do campo magnético
integrado no seu volume V.
dVB
WV
cmp
= .2
2
Para materiais magnéticos moles (em que B=0 quando H=0) e com
permeabilidade constantes. Pode-se calcular a energia com segue:
dVdBHWV
B
cmp
=
0
'
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
dVH
WV
cmp = 2
.'
2
Em termos de teoria de campo, para materiais magnéticos moles (em que
B=0 quando H=0) e com permeabilidade constantes (B=µ.H). Pode-se
calcular a coenergia com segue:
dVdHBWV
H
cmp
=
0
0
'
Conversão de Energia III
O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de
permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito
maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no
êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador
que produz uma corrente em função de x dada por:
Exercício
][)( Ad
xIxi o
=
Conversão de Energia III
Exercício
g
ANxL
gap
=
2)(
2
0
A indutância depende somente do entreferro (permeabilidade infinita).
−=−=
d
xdlxdlAgap 1)(
( )g
dxdlNxL
−=
2
1)(
2
0
O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de
permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito
maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no
êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador
que produz uma corrente em função de x dada por:
Conversão de Energia III
O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de
permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito
maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no
êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador
que produz uma corrente em função de x dada por:
Exercício
][)( Ad
xIxi o
=
( )g
dxdlNxL
−=
2
1)(
2
0
dx
xdLifcmp
)(
2
2
=( )
−
=
g
dxdlN
dx
d
d
xIo
2
1
2
12
0
2
dd
x
g
dlNIf ocmp
1
4
22
0
2
−=
22
0
2
4
−=
d
x
g
lNIo
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
Em sistema linear (sem saturação) a energia e a coenergia são
numericamente iguais.
22
2
1
2
1Li
L=
A representação da energia pelo fluxo concatenado que é
a representação pela energia e pela corrente que é a
representação pela coenergia.
A indutância relaciona características elétrica com magnéticas, mas se o
circuito magnético saturar (não linear) a relação deixa de ser verdadeira.
iWW cmpcmp =+ '
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
A força produzida por um campo magnético não pode depender se foi
calculada a partir da energia ou da coenergia. Ambos os métodos devem
fornecer o mesmo resultado.
( )
x
xWf
cmp
cmp
−=
,
A variação Δx produz uma variação de Δi que
produz uma variação da energia -ΔWcmp.
Com base na equação de força acima temos que:
fcmp=(área sombreada )/ Δx
Conversão de Energia III
Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
A força também pode ser calculada pela derivada parcial da coenergia
para corrente constante.
A variação Δx produz a variação Δλ que produz a
variação da coenergia ΔW’cmp.
Com base na equação de força acima temos que:
fcmp=(área sombreada )/ Δx
( )
i
cmp
cmpx
xiWf
=
,'
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Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia
A área das duas figuras sombreadas é diferente pelo triangulo abc de
lados Δi e Δλ de modo que no limite Δx → 0 as áreas são iguais. Assim, a
força produzida pelo campo magnético não depende de a determinação
ser feita a partir da energia ou coenergia.
Conversão de Energia III
O circuito magnético mostrado na figura abaixo é feito de aço de alta
permeabilidade. O rotor está livre para girar em torno de um eixo vertical.
As dimensões estão mostradas na figura.
a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em
termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.
Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito
do espraiamento.
b) A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos
entreferros está limitada a 1,65T para evitar saturação excessiva do
aço. Calcule o conjugado máximo para r1 = 2,5cm, h = 1,8cm e
g=3mm.
Exercício
Conversão de Energia III
a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em
termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.
Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito
do espraiamento.
Exercício
Calcular a coenergia em função do ângulo do rotor
g
iNH g
.2
.= 0=
→=
aço
aço
aço
BH
dVH
WV
cmp = 2
.'
2 Se H é constante basta
multiplicar pelo volume.
VH
Wg
cmp =2
.'
2
0Volume do entreferro
que está submetido a
densidade de campo.
Conversão de Energia III
a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em
termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.
Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito
do espraiamento.
Exercício
Calcular a coenergia em função do ângulo do rotor
+= ).5,0(..2 1 grhgV
( )
+
= ).5,0(..2
.2
..
2' 1
2
0 grhgg
iNW cmp
Volume de dois
entreferros.
( )g
grhiNW cmp
.4
).5,0.(...' 1
2
0 +=
Conversão de Energia III
a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em
termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.
Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito
do espraiamento.
Exercício
Calculo do torque:
( ) ( )g
grhiNiWT
i
cmp
cmp.4
).5,0.(...,'1
2
0 +=
=
Considerando a corrente constante o torque
é constante e atua no sentido de aumentar o
ângulo de sobreposição θ do rotor e as
faces polares do estator.
Conversão de Energia III
a) A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos
entreferros está limitada a 1,65T para evitar saturação excessiva do
aço. Calcule o conjugado máximo para r1 = 2,5cm, h = 1,8cm e
g=3mm.
Exercício
( )g
grhiNTcmp
.4
).5,0.(... 1
2
0 +=
0
BH g = ]/[10.31,1
10..4
65,1 6
7mA==
−
).5,0.(... 1
2
0 grhgHT gcmp +=
( )( ) )10.3.5,010.5,2.(10.8,1.10.3.10.31,1.10..4 3223267 −−−−− += cmpT
].[09,3 mNTcmp =