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Conversão de Energia III

Aula 4.2

Máquinas de Relutância Variável

Prof. João Américo Vilela

Departamento de Engenharia Elétrica

Bibliografia


FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr. C. E UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: com

Introdução à Eletrônica De Potência. 7ª Edição, AMGH Editora LTDA, 2014.

Capítulo 8 – Máquinas de relutância variável e motores de passo

Capítulo 3 – Princípio de Conversão Eletromecânica de Energia

Bim, Edson.

Máquinas Elétricas e Acionamento. Editora Elsevier, 2009.

Capítulo 3 – Princípio de Conversão Eletromecânica de Energia


Determinação da Força e Conjugado a partir da coenergia

Coenergia é uma manipulação matemática que permite obter

a força diretamente como uma função da corrente.

Tomando como base a equação definida anteriormente.

( ) ( )xWixiW cmpcmp ,,' −=

A coenergia e definida como uma função de i e x tal que:

A dedução de coenergia é obtida usando a diferencial de i.λ

( ) didiid += .

( ) dxfdixdW cmpcmp −= ,

( ) ( ) ( ) ( )dxfdididixdWidxidW cmpcmpcmp −−+=−= ,.,'

( ) dxfdixidW cmpcmp += ,'



Coenergia é uma função com duas variáveis independentes i e x. Sua

diferencial pode ser expressa como:

dxx

Wdi

i

WxidW

i

cmp

x

cmp

cmp

+

=

''),('

( )

x

cmp

i

xiW

=

,'

( )

i

cmp

cmpx

xiWf

=

,'

Onde a derivada parcial foi obtida mantendo x

constante.

Onde i foi mantido constante para se obter a

derivada parcial.

( ) dxfdixidW cmpcmp += ,'

Como i e x são variáveis independentes as equações acima devem ser

iguais para todos os valores de di e dx. Assim, igualando os termos,

tem-se:



Coenergia é uma função com duas variáveis independentes i e x. Sua

diferencial pode ser expressa como:

( ) +=b

cmp

a

cmpcmp dWdWxiW2caminho2caminho

00 '','

( ) ( ) ',','0

dixixiW

i

cmp =

Por analogia ao calculo da energia temos o

calculo da coenergia.

ixL = )(( ) 2)(2

1,' ixLxiW cmp =

Em sistema magnéticos lineares a coenergia é dada por:

Sendo:



A força pode ser determinada pela derivada parcial da coenergia

( ) 2)(2

1,' ixLxiW cmp =

É a mesma equação para calculo da força obtida utilizando a energia.

Os dois métodos devem apresentar a mesma resposta.

O calculo da força a partir da coenergia essa energia deve ser explicita

em função de i.

( )

dx

xdLiixL

xx

xiWf

ii

cmp

cmp

)(

2)(

2

1,' 22 =

=

=



Se o sistema for magneticamente linear (somente considerando a

permeabilidade do entreferro, que é uma constante)

O conjugado e obtido por analogia ao calculo da força que é a derivada

parcial da coenergia por x:

( )

i

cmp

cmp

iWT

=

,'

( ) 2)(2

1,' iLiW cmp =

Em um sistema de deslocamento mecânica rotacional, a coenergia pode

ser expressa em termo da corrente e do deslocamento angular θ.

( ) ( ) ',','0

diiiW

i

cmp =

d

dLifcmp

)(

2

2

=Sendo:



Pode se mostrar que a energia magnética armazenada também pode ser

expressa em termos da densidade de energia do campo magnético

integrado no seu volume V.

dVB

WV

cmp

= .2

2

Para materiais magnéticos moles (em que B=0 quando H=0) e com

permeabilidade constantes. Pode-se calcular a energia com segue:

dVdBHWV

B

cmp

=

0

'



dVH

WV

cmp = 2

.'

2

Em termos de teoria de campo, para materiais magnéticos moles (em que

B=0 quando H=0) e com permeabilidade constantes (B=µ.H). Pode-se

calcular a coenergia com segue:

dVdHBWV

H

cmp

=

0

0

'


O relé mostrado na figura abaixo é construído de material de

permeabilidade infinita com um êmbolo móvel. A altura do êmbolo é muito

maior que ao comprimento do entreferro (h>>g). Encontre a força no

êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador

que produz uma corrente em função de x dada por:

Exercício

][)( Ad

xIxi o

=


Exercício

g

ANxL

gap

=

2)(

2

0

A indutância depende somente do entreferro (permeabilidade infinita).

−=−=

d

xdlxdlAgap 1)(

( )g

dxdlNxL

−=

2

1)(

2

0












Exercício

][)( Ad

xIxi o

=

( )g

dxdlNxL

−=

2

1)(

2

0

dx

xdLifcmp

)(

2

2

=( )

−

=

g

dxdlN

dx

d

d

xIo

2

1

2

12

0

2

dd

x

g

dlNIf ocmp

1

4

22

0

2

−=

22

0

2

4

−=

d

x

g

lNIo



Em sistema linear (sem saturação) a energia e a coenergia são

numericamente iguais.

22

2

1

2

1Li

L=

A representação da energia pelo fluxo concatenado que é

a representação pela energia e pela corrente que é a

representação pela coenergia.

A indutância relaciona características elétrica com magnéticas, mas se o

circuito magnético saturar (não linear) a relação deixa de ser verdadeira.

iWW cmpcmp =+ '



A força produzida por um campo magnético não pode depender se foi

calculada a partir da energia ou da coenergia. Ambos os métodos devem

fornecer o mesmo resultado.

( )

x

xWf

cmp

cmp

−=

,

A variação Δx produz uma variação de Δi que

produz uma variação da energia -ΔWcmp.

Com base na equação de força acima temos que:

fcmp=(área sombreada )/ Δx



A força também pode ser calculada pela derivada parcial da coenergia

para corrente constante.

A variação Δx produz a variação Δλ que produz a

variação da coenergia ΔW’cmp.

Com base na equação de força acima temos que:

fcmp=(área sombreada )/ Δx

( )

i

cmp

cmpx

xiWf

=

,'



A área das duas figuras sombreadas é diferente pelo triangulo abc de

lados Δi e Δλ de modo que no limite Δx → 0 as áreas são iguais. Assim, a

força produzida pelo campo magnético não depende de a determinação

ser feita a partir da energia ou coenergia.


O circuito magnético mostrado na figura abaixo é feito de aço de alta

permeabilidade. O rotor está livre para girar em torno de um eixo vertical.

As dimensões estão mostradas na figura.

a) Deduza uma expressão para o conjugado, que atua no rotor, em

termos da dimensões e do campo magnético dos dois entreferros.

Assuma que a relutância do aço seja desprezível e despreze o efeito

do espraiamento.

b) A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos

entreferros está limitada a 1,65T para evitar saturação excessiva do

aço. Calcule o conjugado máximo para r1 = 2,5cm, h = 1,8cm e

g=3mm.

Exercício





do espraiamento.

Exercício

Calcular a coenergia em função do ângulo do rotor

g

iNH g

.2

.= 0=

→=

aço

aço

aço

BH

dVH

WV

cmp = 2

.'

2 Se H é constante basta

multiplicar pelo volume.

VH

Wg

cmp =2

.'

2

0Volume do entreferro

que está submetido a

densidade de campo.





do espraiamento.

Exercício

Calcular a coenergia em função do ângulo do rotor

+= ).5,0(..2 1 grhgV

( )

+

= ).5,0(..2

.2

..

2' 1

2

0 grhgg

iNW cmp

Volume de dois

entreferros.

( )g

grhiNW cmp

.4

).5,0.(...' 1

2

0 +=





do espraiamento.

Exercício

Calculo do torque:

( ) ( )g

grhiNiWT

i

cmp

cmp.4

).5,0.(...,'1

2

0 +=

=

Considerando a corrente constante o torque

é constante e atua no sentido de aumentar o

ângulo de sobreposição θ do rotor e as

faces polares do estator.


a) A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos

entreferros está limitada a 1,65T para evitar saturação excessiva do

aço. Calcule o conjugado máximo para r1 = 2,5cm, h = 1,8cm e

g=3mm.

Exercício

( )g

grhiNTcmp

.4

).5,0.(... 1

2

0 +=

0

BH g = ]/[10.31,1

10..4

65,1 6

7mA==

−

).5,0.(... 1

2

0 grhgHT gcmp +=

( )( ) )10.3.5,010.5,2.(10.8,1.10.3.10.31,1.10..4 3223267 −−−−− += cmpT

].[09,3 mNTcmp =

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