Download - Cap02 Lachtermacher PO
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Capítulo 2Programação LinearResolução Gráfica
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Conteúdo do Capítulo
• Problemas de Programação Linear
– Resolução pelo método gráfico
– O Problema do Pintor
– Minimização
– Restrições Redundantes
– Solução Múltipla, Ilimitada e Inviável
• Caso Alumilâminas S.A.
• Caso Esportes Radicais S.A.
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Modelos Matemáticos
• Em casos de informação estruturada ou semiestruturadas, entre os modelos
matemáticos já utilizados, encontramos:
– Programação Linear e Inteira
– Modelos de Previsão
– Simulação
– Sistemas Especialistas
– PERT/CPM - Gráficos de Gantt
– Árvore de Decisão
– Métodos de Apoio Multicritério
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Problemas de Otimização
• Em problemas reais de otimização, busca-se maximizar ou minimizar uma
quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito
de variáveis de entrada.
• As variáveis de entrada podem ser:
– Independentes uma das outras.
– Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais restrições.
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Aplicações deOtimização Matemática
• Determinação de Mix de Produtos
• Scheduling
• Roteamento e Logística
• Planejamento Financeiro
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Programação Matemática
• Um problema de programação matemática é um problema de otimização
no qual o objetivo e as restrições são expressos como funções
matemáticas e relações funcionais
ïïî
ïïí
ì
³=£
ïïþ
ïïý
ü
=
nnn
n
n
n
b
b
b
xxxg
xxxg
xxxg
xxxfz
:
),...,,(
:
),...,,(
),...,,(
:a Sujeito
),...,,( :Otimizar
2
1
21
212
211
21
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Variáveis de Decisão
• x1 , x2,...,xn , são as chamadas Variáveis de Decisão.
w As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do
problema, e que podemos escolher (decidir) livremente.
w As variáveis de decisão representam as opções que um administrador têm
para atingir um objetivo.
w Quanto produzir para maximizar o lucro?
w Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira?
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Programação Linear
• Um problema de programação matemática é linear se a função-objetivo
e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto
é, na forma abaixo:
e
nnn xcxcxcxxxf +++= ...),...,,( 221121
g x x x a x a x a xi n i i in n( , , . . . , ) . . .1 2 1 1 2 2= + + +
),...,,( 21 nxxxf
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Quebrando a Linearidade
• A presença de qualquer das expressões abaixo tornam o problema não linear.
– Exemplos:
•
•
•
( ) 1 para 1 ¹nx n
( ) a basequalquer para log 1xa
aa x devalor qualquer para 1
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Programação Linear
Exemplos
0,
60020180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
³£+
£+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2032
s.r.
2min
21
21
21
21
³=+
³+
+
xx
xx
xx
xx
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Programação Linear
Áreas de Aplicação
• Administração da Produção
• Análise de Investimentos
• Alocação de Recursos Limitados
• Planejamento Regional
• Logística
– Custo de transporte
– Localização de rede de distribuição
• Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de
comunicação.
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Programação Linear
Problema na Forma Padrão• Existem 4 características para um problema na forma padrão:
– A função-objetivo é de Maximizar;
– As restrições têm sinal de menor ou igual;
– As constantes de todas as restrições são não negativas;
– As variáveis podem assumir valores não negativos.
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0x,...x,x,x
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
xc...xcxcZ
n321
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
nn2211
³£+++
£+++£+++
+++= :a Sujeito
Maximizar
Não negativos
Programação Linear
Problema na Forma Padrão
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Exemplos
• Forma Padrão wForma Não Padrão
0,
60020180
2032
s.r.
2min
21
21
21
21
³=+
³+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2042s.r.
max
21
21
21
21
³
£+
£+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2042s.r.
max
21
21
21
21
³
£+
£+
+
xx
xx
xx
xx
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Programação Linear
Hipótese de Aditividade
• Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades
totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência
entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados,
tanto na função-objetivo como nas restrições.
• Esta é a própria hipótese de linearidade do PPL
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Programação Linear
Hipótese de Proporcionalidade
• O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada
variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor
constante dada uma variação constante da variável de decisão;
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Programação Linear
Hipótese de Divisibilidade
• Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em
qualquer nível de fracionamento, isto é, qualquer variável de decisão pode
assumir qualquer valor positivo fracionário.
• Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial
de programação linear, chamado de problema inteiro.
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Programação Linear
Hipótese de Certeza
• Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas.
• Em problemas reais quase nunca satisfeita
– as constantes são estimadas.
• Requer uma análise de sensibilidade, sobre o que falaremos
posteriormente.
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Programação Linear
Terminologia
• Solução
– No campo de Programação Linear é qualquer especificação de valores
para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se
trata de uma escolha desejável ou permissível.
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Exemplo de Solução
0,
800100180
2042
max
21
21
21
21
³£+
£+
+=
xx
xx
xx
s.r.
xxz
x1 = 3 ; x2 = 2 )2,3(=S
x1 = 3 ; x2 = 4 )4,3(=S
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Classificação das Soluções
• Solução Viável– É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas;
• Solução Inviável– É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de
não-negatividade não são atendidas;
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Exemplos de Solução Viávele Inviável
0,
800100180
2042
max
21
21
21
21
³£+
£+
+
xx
xx
xx
s.r.
xx x1 = 3 ; x2 = 2S = (3, 2)solução viável: todas as restrições não são violadas
x1 = 3 ; x2 = 4S = (3, 4)solução inviável: pelo menos uma das restrições é violada
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Valor da Função-Objetiva
• É especialmente importante verificar como fica o valor da função-objetivo (z) nas soluções viáveis que podemos determinar:
0,
800100180
2042
max
21
21
21
21
³£+
£+
+=
xx
xx
xx
s.r.
xxz)1,1(=S 2=z
)1,2(=S 3=z
)2,3(=S 5=z
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A Solução Ótima
• A Solução Ótima é uma solução viável especial.
• Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função-objetivo otimizado é chamada de ótima;
• A grande questão é como determinar a solução ótima.
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Programação Linear
Solução Gráfica• Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução
ótima de um problema de programação linear pode ser encontradagraficamente.
Max Z x x= +5 21 2
1x (b)£ 42
x x (c)+ £2 91 2
s r x (a)£ 3. .
x x (d)³ ³0 01 2,
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Programação Linear
Solução Gráfica
21 4
1
2
x13
x2
x £423
4
x £31
x ³01
x ³02
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x £ 42
Programação Linear
Solução Gráfica
92 12 xx -=
121
29
2 xx -=
x £ 31
x1
92 21 xx £+
x ³ 01
x ³ 02
x2
(3,0)(0,0)
(0,4)(3,4)
LimiteReta92 21 xx =+
121
29
2 xx -£Região Limitada
(1,4)
(3,3)
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Programação Linear
Solução Gráficax2
x1
(0,4)(1,4)
(0,0) (3,0)
SoluçãoViável
(3,3)
21 2510 xxZ +==
= SoluçãoÓtima
21 x2x521Z +==
(3,3)21 x2x50Z +==
(0,0)
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Programação Linear
Solução Gráfica – Exercício• Considere o seguinte o problema de LP
Encontre a solução ótima.
0,
2446
1242 ..
33
21
21
21
21
³£+£+
+
xx
xx
xxrs
xxMax
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Programação Linear
Solução Gráfica - Exercício
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
02 ³x
01 ³x x1
(0,3)
(6,0)
1242 21 £+ xx
(4,0)
(0,6)
2446 21 £+ xx5
4
6
7
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Programação Linear
Solução Gráfica - Exercício
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
x1
5
4
6
7
21 330 xxZ +==
21 336 xxZ +==
21 335,13 xxZ +==
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Exercício Recomendado 1
max 4x1 + 3x2s.r.x1 + 3x2 £ 72x1 + 2x2 £ 8x1 + x2 £ 3x2 £ 2x1, x2³ 0
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Solução do Exercício 1
Solução Ótima
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Exercício Recomendado 2
max 4x1 + 8x2s.r.3x1 + 2x2 £ 18x1 + x2 £ 5x1 £ 4x1, x2 ³ 0
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Solução do Exercício 2
Solução Ótima
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max 21 3xx +s.r.
0,
10216
304
21
21
21
³£+
³+
xx
xx
xx
Exercício 3
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Solução do Exercício 3
w Sem Soluções Viáveis
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O Problema do Pintor
• Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece
todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os
vende por R$5,00 e R$3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3
quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito
em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos
(detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira.
Quantos quadros de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua
receita?
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A Decisão do Pintor
• O que o desenhista precisa decidir?
• O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?
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A Decisão do Pintor
• O que o desenhista precisa decidir?
• O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?
wA decisão dele é como usar as 8 horas diárias.
wQuantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.
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A Decisão do Pintor
• Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação
linear para resolvê-lo;
• Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos que
ele faz por dia, respectivamente.
• O objetivo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.
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O Modelo para a Decisão do Pintor
Máx z x x= +5 31 2
• Função-objetivo Maximizar a receita
1s r x £ 3. .w Restrição de vendas de quadros
grandes
x £ 42
w Restrição de vendas de quadros pequenos
x x+ £1,8 81 2
w Restrição de tempo
x ³ 01
, x ³ 02
w Não negatividade
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O Modelo para a Decisão do Pintor
970
135
2
21370
135
2
21
35
350
+-=
+==
-=
+==
xx
xxz
xx
xxz
c
c(3 ; 50/18)
88,1 21 £+ xx 31 £x
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Programação Linear
Solução Gráfica - Minimização
0,
2045
1553
6
5
2 ..
97 min
21
21
21
2
1
21
21
³³+³+
££
£+-+
xx
xx
xx
x
x
xxrs
xx• Encontre a solução ótima:
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x11086
51 £x
42
62 £x
221 £+- xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
Programação Linear
Solução Gráfica - Exercício
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Programação Linear
Solução Gráfica - Exercício
+==
117415
197
2
2165415 97
+-= xx
xxz
c
197
2
21 970
-=
+==
xx
xxz
c
(40/13,15/13)
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Programação Linear
Restrições Redundantes• Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de
restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis
deste.
• É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de
soluções viáveis.
• Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima
e mesmo conjunto de soluções viáveis.
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• Considere o problema
0,
2045
1553
6
5
12
2 ..
106 min
21
21
21
2
1
21
21
21
³³+³+
££
³+£+-
+
xx
xx
xx
x
x
xx
xxrs
xx
Programação Linear
Restrições Redundantes
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Programação Linear
Restrições Redundantes
x11086
51 £x
42
62 £x
221 £+- xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
12 21 ³+ xx
Restrição Redundante
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Programação Linear
Solução Múltipla
0,
2045
1553
6
5
2 ..
106 min
21
21
21
2
1
21
21
³³+³+
££
£+-+
xx
xx
xx
x
x
xxrs
xx
• Encontre a solução ótima:
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Programação Linear
Solução Múltipla
x11086
51 £x
42
62 £x
221 £+- xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
SoluçõesMúltiplas
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Programação Linear
Solução Ilimitada
0,
2045
1553
6
2 ..
106 max
21
21
21
2
21
21
³³+³+
££+-
+
xx
xx
xx
x
xxrs
xx
• Encontre a solução ótima:
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x1108642
62 £x
221 £+- xx10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1553 21 ³+ xx
2045 21 ³+ xx
02 ³x
01 ³x
Programação Linear
Solução IlimitadaCresce indefinidamente
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• Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de
soluções viáveis é vazio.
• Considere o problema
0,
20
12 ..
max
21
21
21
21
³³+£+
+
xx
xx
xxrs
xx
Programação Linear
Solução Inviável
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Programação Linear
Solução Gráfica - Exercício
01 =x
x2
01 ³x
02 =x 02 ³x x1
12 21 =+ xx 12xx 21 £+ 2021 =+ xx 2021 ³+ xx
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
10
8
12
14
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Caso Alumilâminas S.A.
• A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando
espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para
todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa.
Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a
outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16
toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.
Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de
lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma
capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2
toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é
de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas
médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para
atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da
função objetivo).
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• Variáveis de Decisão
– x1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo
– x2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de Janeiro
• Função-Objetivo
– Minimizar Custo de Produção (mil R$) =
21 200100 xx +
Caso Alumilâminas S.A.
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• Restrições de Demanda– Placas Finas
– Placas Médias
– Placas Grossas
• Restrições de Não Negatividade
1628 21 ³+ xx
611 21 ³+ xx
2872 21 ³+ xx
0, 21 ³xx
Caso Alumilâminas S.A.
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Caso Alumilâminas S.A.
O Modelo
0,2872
6111628
200100
21
21
21
21
21
³³+³+³+
+
xxxxxxxx
xxmins.r.
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Caso Alumilâminas S.A.
Solução Gráfica
Z = 920x1 = 14/5 e x2 = 16/5
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Caso Esportes Radicais S.A.
• A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de
montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais
disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite
de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de
processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3
horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a
comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de
cada paraquedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$
40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes
Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).
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Caso Esportes Radicais S.A.
• Variáveis de Decisão
– x1 – Quantidade de Paraquedas a serem produzidos
– x2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos
• Função-Objetivo
– max 60x1 + 40x2
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Caso Esportes Radicais S.A.
• Restrições de Produção
– Linha 1
– Linha 2
• Restrições de Não Negatividade
1001010 21 £+ xx
4273 21 £+ xx
0, 21 ³xx
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Caso Esportes Radicais S.A.
O Modelo
0,4273
1001010
4006
21
21
21
21
³£+£+
+
xxxxxx
xxmaxs.r.
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Caso Esportes Radicais S.A.
Solução Gráfica
Z = 600x1 = 10 , x2 = 0