cap02 aula02 variavel_complexa_funcoes

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Sinais e Sistemas Unidade 2 Conceitos de Matemática de Variável Complexa Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. [email protected] Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. [email protected]

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Page 1: Cap02 aula02 variavel_complexa_funcoes

Sinais e SistemasUnidade 2 ‐

Conceitos de Matemática de 

Variável Complexa

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Introdução

Propriedades dos números complexos

Operações com números complexos

Fundamentos axiomáticos

Funções de variável complexa

Funções harmônicas complexas

Resíduos e pólos

Conteúdo da unidade

Aula 01

Aula 02

Aula 03

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3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Aula 02

Funções de variável complexa–

Funções unívocas e plurívocas

Funções inversas e transformações–

Funções elementares

Funções polinomiais•

Funções racionais algébricas

Fórmula de Euler

(expoentes complexos)•

Funções exponenciais

Funções logarítmicas•

Funções algébricas e transcendentais

Funções harmônicas complexas–

Funções trigonométricas circulares

Funções  trigonométricas hiperbólicas

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4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

z

= qualquer conjunto de números (variável complexa)

“z” muitas vezes é

chamada de variável independente enquanto que “w” é chamada de variável dependente

Exemplo:

f(z) = z², então, f(2j) = (2j)²

= ‐4

Variáveis e funções

Se podemos associar a cada variSe podemos associar a cada variáável complexa vel complexa ““zz””

um ou um ou  mais valores de uma varimais valores de uma variáável complexa vel complexa ““ww””,,

dizemos que dizemos que ww

éé

funfunçção de ão de zz

e escrevemos e escrevemos ww

= = ff((zz))..

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5Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

Exemplos–

w

= z²

Função unívoca (z

= ‐15‐8j

w

= 161+240j)

w

= z1/2

Função plurívoca

(z

= ‐15‐8j

w

= 1‐4j

ou w

= ‐1+4j)

Funções unívocas e plurívocas

Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde somente um valor de corresponde somente um valor de ww, ,  dizemos que dizemos que ww

éé

uma uma funfunçção unão uníívocavoca

de de zz..

Se a cada valor de Se a cada valor de z z corresponde mais de um valor de corresponde mais de um valor de ww, ,  dizemos que dizemos que ww

éé

uma uma funfunçção ão plurpluríívocavoca

de de zz

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6Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

Notação:

z

= g(w) =  f ‐1(w)

Funções inversas

Algumas vezes, dada uma funAlgumas vezes, dada uma funçção ão ww

= = ff((zz), podemos obter o ), podemos obter o  que se conhece por que se conhece por funfunçção inversaão inversa

de de ff..

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7Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

Igualando as partes reais e imaginárias temos queu

= u(x, y)   e

v

= v(x, y)

Transformações

Se  Se  ww

= = uu

+ + vjvj

(onde (onde uu

e e vv

são funsão funçções reais) ões reais) éé

uma funuma funçção ão  ununíívoca de  voca de  zz

= = xx

+ + yjyj

(onde (onde xx

e e yy

são reais), podemos são reais), podemos 

escrever escrever uu

+ + vjvj

= = ff((xx

+ + yjyj))..

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8Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

Uma transformação leva de um conjunto de pontos (curva PQ)  em outro conjunto de pontos, dito imagem, (curva P’Q’)

Exercício:Seja  w

= z² e  z

= x

+ yj.

a)

Obtenha a transformação z

wb)

Obtenha a imagem P(1, 2) (plano z) no plano w

a) w

= z²

u

+ vj

= (x

+ yj)²

u

+ vj

= x²

y² + 2xyjLogo, u

= x²

e  v

= 2xy

b) 

P(1, 2)  P’(‐3, 4) 

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9Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

As funções polinomiais são definidas por

Onde             ,  a1

, …, an

são constantes complexas e n

é um inteiro  positivo, dito o grau do polinômio P(z)

A transformação                        é

chamada de transform. linear

Funções polinomiais

1 10 1 1

n nn nw a z a z a z a P z

w az b

0 0a

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10Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

As funções racionais algébricas são definidas por

Onde P(z) e Q(z) são polinômios

O caso especial

É

conhecido como transformação bilinear

ou linear fracionária

Funções racionais algébricas

P zwQ z

, 0P az bzw cz dQ cz dz

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11Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

Seja a série infinita  ex

= 1 + x

+ x2/2! + x3/3! + ...–

A mesma possui validade quando  x

= θj

Assim, expandindo a série, obtém‐se:

Observar que

Fórmula de Euler

θ cosθ senθ, 2,71828je j e

θ

θ cosθ senθj

z r r j

z re

Forma compacta de expressar uma variável complexa

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12Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

As funções exponenciais são definidas por

Onde  e = 2,71828 …

é a base natural dos logaritmos

Se a é real e positivo, logo

Onde  ln

a

é o logaritmo natural

de a–

Se a = e, esta reduz‐se à

anterior

Propriedades:

Funções exponenciais

cos senEulerz x yj x yj xw e e e e e y j y

lnz azw a e

1 2 1 2

1 2 1 2

a)

b)

z z z z

z z z z

e e e

e e e

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13Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

A função logarítmica natural é inversa da função exponencial

Onde–

Notar que  ln

z

é uma função plurívoca

cujo ramo principal

é

Mudança de base:

Propriedades:

Funções logarítmicas

ln ln 2 , 0, 1, 2,w z r j k k θ π

2 , ej j kz e e r z z θ θ π θ

ln ln , 0 2w z r j θ θ π

lnlog

lnaz

w za

1 2 1 2log log logz z z z

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14Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções de variável complexa

Se w

é uma solução da equação polinomial a seguir, ondesão polinômios em z

e n

é um 

inteiro positivo, então w

= f(z)

é

chamada função algébrica

de z

Qualquer função que não puder ser expressa como solução da equação  anterior é chamada de função transcendental

Exemplos:

funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas

Funções algébricas e transcendentais

1 10 1 1 0n n

n nP z w P z w P z w P z

0 10, , , nP z P z P z

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15Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Seja z

uma variável complexa

Funções harmônicas complexas

Funções circulares

sen2

zj zje ez

j

cos2

zj zje ez

sen

tgsen

zj zj

zj zj

z e ez

z j e e

05

1015

-5

0

5

x 104

-1

0

1

2

x 105

Ângulo (rad)Real

Imag

inár

iowt

= linspace(0,4*pi,1000); a = 1;  b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sin(z);

plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel

('Ângulo (rad)');  ylabel

('Real')zlabel

('Imaginário')

wt

= linspace(0,4*pi,1000); a = 1;  b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sin(z);

plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel

('Ângulo (rad)');  ylabel

('Real')zlabel

('Imaginário')

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Funções harmônicas complexas

Propriedades

2 2

2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

a)  sen cos 1

b)  1 tg sec

c)  1 cotg csec

d)  sen sen

e)  cos cos   

f)  sen sen cos cos sen

g)  cos cos cos sen sen

z z

z z

z z

z z

z z

z z z z z z

z z z z z z

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Funções harmônicas complexas

Seja z

uma variável complexa

senh2

z ze ez

cosh2

z ze ez

senhtgh

senh

z z

z zz e e

zz e e

wt

= linspace(0,4*pi,1000); a = 1;  b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sinh(z);

plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel

('Ângulo (rad)');  ylabel

('Real')zlabel

('Imaginário')

wt

= linspace(0,4*pi,1000); a = 1;  b = 1;z = wt*(a + b*j); w1 = sinh(z);

plot3 (wt, real(w1), imag(w1));xlabel

('Ângulo (rad)');  ylabel

('Real')zlabel

('Imaginário')

Funções hiperbólicas

05

1015

-10

12

x 105

-6

-4

-2

0

2

x 104

Ângulo (rad)Real

Imag

inár

io

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Funções harmônicas complexas

Propriedades

2 2

2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

a)  cosh senh 1

b)  1 tgh sech

c)  cotgh 1 csech

d)  senh senh

e)  cosh cosh   

f)  senh senh cosh cosh senh

g)  cosh cosh cosh senh senh

z z

z z

z z

z z

z z

z z z z z z

z z z z z z

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19Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

Funções harmônicas complexas

Relação entre funções circulares e hiperbólicas

a)  sen senh

b)  cos cosh

c)  tg tgh

d)  senh sen

e)  cosh cos

f)  tgh tg

zj j z

zj z

zj j z

zj j z

zj z

zj j z

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20Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.

[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New  York: McGraw‐Hill, 1996.

Bibliografia