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Projeto via lugar das razes
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Relao entre polos do sistema subamortecido com Tp, Ts e :
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d= frequncia de oscilao amortecida
d= frequncia exponencial amortecida
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Muitas vezes um sistema com mais de 2 polos ou com zeros pode
ser aproximado a um sistema de segunda ordem com apenas 2 polos
complexos dominantes ou at mesmo a um sistema de primeira ordem.
-,
ordem (ou primeira ordem, se for o caso).
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Seja:
Se o sistema for subamortecido, os polos sero:
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Como regra prtica, se:
,
o sistema em questo pode ser aproximado por um sistema de segunda.
Da mesma forma, se:
,
pode ser aproximado por um sistema de primeira ordem.
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Introduo
Exemplo de problema: o lugar das
razes passa por A, porm B no faz
parte. Assim, necessrio alterar o lugar
das razes para que o ponto B seja
interceptado (no caso da figura, ir
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deixar a resposta mais rpida (-.n)
sem alterar o%UP(mesmooucos )).
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Projeto via lugar das razes
O projeto de controladores proporciona aos sistemas:
Melhoria da resposta transiente (geralmente PD e avano de fase);
Melhoria do erro de estado estacionrio (geralmente PI e atraso de
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Melhoria da resposta transiente e melhoria do erro de estado
estacionrio simultaneamente (PID e avano e atraso de fase).
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Projeto via lugar das razes
Os compensadores que utilizam integrao pura ou derivao pura
(PI, PD e PID) so chamados de compensadores ideais e devem ser
implementados com estruturas ativas.
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,
ser implementados por estruturas passivas.
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Projeto via lugar das razes
Considere o sistema abaixo,
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onde:
G(s) = FT do processo a ser controladoGc(s) = FT do controlador/compensador
H(s) = FT da realimentao
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Projeto via lugar das razes (PI)
Controlador PI:
O posicionamento de um polo na origem melhora o erro de estado
estacionrio, uma vez que o tipo do sistema aumenta em uma unidade.
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um polo na origem, e passar a ser tipo 1.
Idealmente, para melhorar o erro sem alterar a resposta transitria,
adiciona-se um polo na origem e o zero prximo a ele.
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Projeto via lugar das razes (PI)
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Projeto via lugar das razes (PI)
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Projeto via lugar das razes (PI)
Assim, para que o lugar das razes passe pelo ponto desejado,
adiciona-se o zero do compensador PI prximo ao polo na origem,
conforme mostrado anteriormente na figura(c).
Dessa forma, a contribuio angular do polo na origem e do zero do
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,
razes e o tipo do sistema aumenta.
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Projeto via lugar das razes (PI)
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(Nise)
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Projeto via lugar das razes (PI)
Exemplo (Nise, Exemplo 9.1): Dado o sistema abaixo(a), com fator
de amortecimento() igual a 0,174, mostre que a adio do PI conforme
mostrado em (b) reduz o erro em regime permanente a zero para
entrada degrau sem afetar significativamente a resposta transitria.
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Projeto via lugar das razes (PI)
O polo na origem aumenta o tipo do sistema e o zero em -0,1
(prximo ao polo na origem) faz com que a contribuio angular do
controlador seja praticamente nula (ngulo do polo e do zero do PI so
praticamente iguais, ento se cancelam). Dessa forma, a contribuio
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aproximadamente zero.
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Projeto via lugar das razes (PI)
Pode ser observar que ser possvel aproximar o sistema que de
terceira ordem para um sistema de segunda ordem:
15
20
25
Root Locus
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-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Real Axis (seconds-1)
ImaginaryAxis(seconds-1)
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Projeto via lugar das razes (PI)
O primeiro passo verificar se o sistema tem = 0,174. Se no tiver,
deve-se ajustar o ganhoK(que ser o ganho do controlador PI). Nesse
caso, K dever ser 164,6 para ser igual a 0,174, conforme
apresentado a seguir:
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Projeto via lugar das razes (PI)
Obs.:
cos () =
= 180 100,02 = 79,98
cos (79,98) = 0,17399 =
--
A equao caracterstica : EC(s) = 1 + MA = 0
Substituindo s = -0,694 +-j3,926 na EC(s) em funo de K,
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c ega-se a = ,
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Projeto via lugar das razes (PI)
O erro em regime permanente para entrada degrau :
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p ,
Obs.: sendo K = 164,6, deve-se multiplicarG(s) (que a FT da
planta) por esse valor. Assim:
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Projeto via lugar das razes (PI)
Adiciona-se o controlador
PI com o polo na origem e o
zero em -0,1. Para que ainda
se tenha = 0,174, deve-se
fazer um pequeno ajuste em
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K, que passar a ser 158,2
(isso se deve ao fato de que o
ponto s desejado para =
0,174 agora ser um pouco
diferente:
s = -0,678 +-j3,837).
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Projeto via lugar das razes (PI)
Observa-se que possvel ainda fazer a aproximao para segunda
ordem e os polos de MF do sistema compensado so aproximadamente
os mesmos do sistema no compensado, fazendo com que a resposta
transitria seja praticamente a mesma, porm com o tipo do sistema
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,
nesse caso).
A resposta do sistema com e sem compensador pode ser observada
a seguir.
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Projeto via lugar das razes (PI)
Tende a 1 (erro nulo)
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Tende a 0,892 (erro de 0,108)
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Projeto via lugar das razes (PI)
A FT do controlador projetado ficou:
Se comparar com a FT do PI normalizada j vista, ou seja:
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ficaria:
Assim,
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Projeto via lugar das razes (PI)
Exerccios:
Nise, cap. 9, problemas 1 e 2.
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